矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案

2 场所在的空间区域是除原点以外的 z 2 x 2 y 2 的点所组成的空间部分。
等值面为 z 2 ( x 2 y 2 ) sin2 c, ( x 2 y 2 0) ， 当 sin c 0 时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外） ； 当 sin c 0 时，是除原点外的 xOy 平面。
习题 1
解答
1 ．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 x a cos t , y b sin t 2
解：
x 3sin t , y 4sin t , z 3cos t
1 r a cos ti b sin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。
2
由图可见，其图形都符合所论之事实。 5．用以下二法求数量场 u xy yz zx 在点 P 1, 2, 3 处沿其矢径方向的方向导数。
1 2
直接应用方向导数公式； 作为梯度在该方向上的投影。
解： 1 点 P 的矢径 r i 2 j 3k , 其模 r 14 . 其方向余弦为
即函数 u 沿梯度 grad u M 4i 4 j 12k 方向的方向导数最大 最大值为 grad u 4. 画出平面场 u
M
176 4 11 。
1 2 1 3 ( x y 2 ) 中 u 0, ,1, ,2 的等值线，并画出场在 M 1 ( 2, 2 ) 与点 2 2 2
故所求点为 1,1 1 ,

1 1 1 i j k 3 9 27
1 1 1 , , 3 9 27
习题 2 解答
1 ．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
1 u
1 ; Ax By Cz D
2
2 u arc sin
M
2 xi xy 2 j 3 z 4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
4i 3k ，其方向余弦为
cos
4 3 , cos 0, cos . 5 5
u u u 2 xz 3 4, 4 yz 0, 3 x 2 z 2 2 y 2 12, x y z
(t 2 1)i (4t 3) j (2t 2 6t )k ,
dr dt
[2ti 4 j (4t 6)k ] t 2 4i 4 j 2k
t 2
于是切线方程为
x5 y5 z4 x5 y5 z4 ,即 4 4 2 2 2 1
x 2 y 2 4,
x y 0, x y 0 为二直线，其余的都是以 Ox 轴为实轴的等轴双曲线
（如下图, 图中 G1 grad u M ,
1
G2 grad u M , ）
2
由于 grad u xi yj , 故
grad u M 2i 2 j ,
1
grad u M 3i 7 j ,
M
M
5。
于是所求方向导数为
u l
(
M
u u u 1 2 3 24 cos cos cos ) 7 ( 1) 5 x y z 14 14 14 14 M
3 ．求数量场 u x 2 yz 3 在点 M 2,1, 1 处沿哪个方向的方向导数最大？
dx dy dz 2 . 2 ( x y )z x y
由
dx dy 1 1 2 得 C1 ， 2 x y x y
d ( x y) dz d ( x y ) dz ,即 . 解得 x y C 2 z . 2 2 ( x y)z x y z x y
1 14
2 grad u P
(
u u u i j k ) 5 i 4 j 3k , x y z P
6
r0
u l
r 1 2 3 i j k. r 14 14 14
grad u P r 0 5
P
故
1 14
4
2 14
3
3 14
⑴
平面的法矢量为 n i 2 j k ，由题知
n i 2tj 3t 2 k i 2 j k 1 4t 3t 2 0
得 t 1,
1 。将此依次代入⑴式，得 3
1 t 3
| t 1 i j k , |
dx dt
1,
M
dy dt
2t
M
t 1
2,
dz dt
3t 2
M
t 1
3，
3 14
其方向余弦为 cos
1 14
, cos
2 14
, cos
.
又
u x
(6 xz y ) M 7,
M
u y
x M 1,
M
u z
(3 x 2 2z )
解：
因
u grad u l 0 grad u cos ， l
当 0 时，方向导数最大。
grad u M (
u u u i j k) x y z M
M
( 2 xyz 3 i x 2 z 3 j 3 x 2 yz 2 k )
4i 4 j 12k ,
x2 y2 2 ．求数量场 u 经过点 M 1,1, 2 的等值面方程。 z
解：经过点 M 1,1, 2 等值面方程为
u
x 2 y 2 12 12 1， z 2
即 z x 2 y 2 ，是除去原点的旋转抛物面。 3 ．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2 y 4 0 相切的等值线方程。 解：设切点为 x0 , y0 ，等值面方程为 xy c x0 y0 ，因相切，则斜率为
A dr 0 ，
或
dx dy dz 2 2 2 xy x y zy
有 xdx ydy ,
dx dz . x z
解之得
x 2 y 2 C1 , (C 1 , C 2 为任意常数 ) z C x 2
5. 求矢量场 A x 2 i y 2 j ( x y) zk 通过点 M (2,1,1) 的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为
2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk
， 其 图 形 是 平 面 4x 3 y 0 与 圆 柱 面
2 x 2 z 2 3 之交线，为一椭圆。
2．设有定圆 O 与动圆 c ， 半径均为 a ， 动圆在定圆外相切而滚动， 求动圆上一定点 M 所描曲线的矢量方程。 解：设 M 点的矢径为 OM r xi yj ， AOC ， CM 与 x 轴的夹角为
z x y2
2
解： 1 场所在的空间区域是除 Ax By Cz D 0 外的空间。 等值面为
1 1 ， 这是与平 C 1或Ax By Cz D 0 （C1 0为任意常数） Ax By Cz D C1
面 Ax By Cz D 0 平行的空间。
模为 |
dr | 1 4t 2 4t 4 1 2t 2 dt
dr dr i 2tj 2t 2 k /| | 于是切向单位矢量为 dt dt 1 2t 2
2 6 ．求曲线 x a sin t , y a sin 2t , z a cos t , 在 t

cos
1 14
, cos
2 14
, cos
3 14
.又
u x
( y z ) P 5,
P
u y
( x z ) P 4,
P
u z
( x y) P 3
P
所以
u l 5
(
P
u u u cos cos cos ) x y z P 4 2 14 3 3 14 22 14 。
4
处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为
r a sin2 ti a sin2tj a cos tk
切向矢量为

dr a sin 2ti 2a cos 2tj a sin tk dt
dr dt
t
在t

4
处，

4
ai a
2 k 2
7. 求曲线 x t 2 1, y 4t 3, z 2t 2 6t 在对应于 t 2 的点 M 处的切线方程和 法平面方程。 解：由题意得 M (5,5,4), 曲线矢量方程为 r 在 t 2 的点 M 处，切向矢量
在点 M ( 2,0,1) 处有
所以
u 4 3 ( 4) 0 0 12 4 l 5 5
4
2 ．求数量场 u 3 x 2 z xy z 2 在点 M 1, 1,1 处沿曲线 x t , y t 2 , z t 3 朝 t 增大一方的方向导数。 解：所求方向导数，等于函数 u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点 M 所对应的参数为 t 1 ,从而在点 M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为

22 14
。
6，求数量场 u x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z 在点 O(0,0,0) 与点 A(1,1,1) 处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为 0？ 解： grad u （2 x y 3）i (4 y x 2) j (6z 6)k ,
故r
(2a cos a cos 2 )i (2a sin a sin2 ) j