咸阳市2020年高考模拟检测(二)文科数学答案
2020年陕西咸阳高三二模数学试卷(文科)
2020年陕西咸阳高三二模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集，，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．A. B. C. D.3.已知向量，，则（ ）．A.B.C.D.4.边长为的正方形内有一个半径为的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为，则圆周率的值为（ ）．A.B.C.D.5.已知奇函数，则的值为（ ）．A.B.C.D.6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为和，高为，则该刍童的表面积为（ ）．A.B.C.D.8.一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道．当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”．事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（ ）．A.甲B.乙C.丙D.不确定9.若，且，则的值为（ ）．A.B.C.D.10.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（ ）．A.B.C.D.11.将函数的图象向右平移个单位长度后得函数图象，若为偶函数，则（ ）．A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数，满足不等式组 ，则的最大值为14.已知一个样本 ，，， 的平均数为 ，方差为 ，则 ．15.已知定义在上的函数满足，且，则 ．16.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知等差数列满足，，其前项和为．求数列的通项公式及．若，求数列的前项和．（1）（2）18.某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，随机调查了本市某中学高三文科班名学生每周课外阅读时间（单位：小时）与高三下学期期末考试中语文作文分数，数据如下表：根据上述数据，求出高三学生语文作文分数与该学生每周课外阅读时间的线性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩．从这人中任选人，这人中至少有人课外阅读时间不低于小时的概率．参考公式：，其中，．参考数据：，，．（1）（2）19.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点在上．若为的中点，证明：平面．若，，三棱锥的体积为，试求的值．20.已知椭圆: （）过点，且其离心率为 ， 过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点．【答案】解析:∵，，∴，则，故选：．解析:方法一：（1）（2）求椭圆的方程．是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数．若在上存在极大值，求的取值范围．若轴是曲线的一条切线，证明：当时，．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程．若射线与的异于极点的交点为，与的交点为，求．（1）（2）23.已知关于的不等式有解，记实数的最大值为．求的值．正数，，满足．求证：．A1.C2.本题考查复数的运算．由题意得，∴的虚部为，故选．方法二：∵，∴的虚部为，故选．解析:∵向量，，∴，，，则，∴．故选．解析:边长为的正方形内有一个半径为的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），∵它落在该圆内的概率为，∴，解得．故选：．解析:B 3.C 4.D 5.因为奇函数，∴，则．故选：．解析:，，若，根据线面平行的性质定理，；反之，若，，，根据线面平行的判定定理，所以，故前者能推出后者，后者也能推出前者，故选．解析:根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以该几何体的表面积为：．故选：．解析:如果甲说的是假话，则甲抽到立体几何，乙丙说的是真话，则乙抽到数列，这与丙相矛盾，故甲是真话，若乙说的是假话，则乙抽到是三角题，则甲抽到数列题，丙抽到是立体几何，若丙说的是假话，则乙抽到是数列题，则甲抽到三角题，则丙抽到是立体几何，故那么抽到立体几何题的是丙．故选．解析:A 6.B 7.C 8.D 9.∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，即∴，即，∴．故选．解析:由双曲线的方程可得右焦点坐标为：，渐近线的方程为：，而由抛物线的方程的焦点坐标为，所以两个焦点连线的斜率为：，由题意可得，，解得，故选：．解析:将函数的图象向右平移个单位长度后得函数图象，则，若为偶函数，则，，即，，∵，∴当时，，即，当时，，A 10.D 11.此时不具备单调性，故，错误，当时，，此时为增函数，故正确．故选：．解析:∵在上单调递增，∴在上恒成立，∴在上恒成立，∴．故选．解析:实数，满足不等式组，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所在区域为可行域，目标函数变形为，斜率为，随变化的一组平行直线，与直线经过可行域中点时有最大值，解方程组，解得点坐标为，C 12.13.则，故的最大值为．14.解析:∵ 一个样本 ，，， 的平均数为 ，方差为 ，∴ 解得．15.解析:∵即，∴，∴为周期函数，且周期为，∴，∵，∴，∴．故答案为：．16.解析:由正弦定理可知，∴．由余弦定理知，∴，∴．∵，∴，∴，∴的面积．（1）（2）（1）（2）解析:设等差数列的公差为，则，解得：，，∴，，．（错位相减法）．，①①式两边同时乘，得，②①②可得，，，，.解析:根据表中数据，计算，，．，∴关于的线性回归方程为：，当时，．预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩．设这人阅读时间依次为，，，，，的同学分别为，，，，，，从中任选人，基本事件是，，，，，，，，，，，，，，共种，（1），．（2）．17.（1），．（2）．18.（1）（2）其中至少人课外阅读时间不低于小时的事件是，，，，，，，，共种，故所求的概率为．解析:连接交于，连接，∵为矩形，∴为的中点，又为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．由题设，，∴的面积为．∵棱锥的体积为，∴到平面的距离为．∵平面，∴平面平面，过在平面内作，垂足为，则平面，而平面，于是．（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）∵，∴．则．解析:椭圆经过点，∴，又∵，解之得，．所以椭圆的方程为．当直线的斜率不存在时，由对称性，设，．∵，在椭圆上，∴，∴ ∴到直线的距离为，．当直线的斜率存在时，设的方程为，由，得．设，，则，．∵，∴，∴．∴，即．∴到直线的距离为，（1）．（2）存在，．20.（1）（2）（1）（2）故存在定圆与直线总相切．解析:，令，得，，当时，，单调递增，无极值，不合题意；当时，在处取得极小值，在处取得极大值，则，又，所以；当时，在处取得极大值，在处取得极小值，则，又，所以．综上，的取值范围为．由题意得，，或，即（不成立），或，解得，设函数，，当或时，；当时，，所以在处取得极小值，且极小值为，又，所以当时，，故当时，．解析:曲线（为参数）可化为普通方程：，由可得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．射线与曲线的交点的极径为，（1）．（2）证明见解析．21.（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为．（2）．22.（1）（2）射线与曲线的交点的极径满足，解得，所以．解析:，若不等式有解，则满足，，∴．由（）知，，当且仅当，时，取等号，所以原命题成立．（1）．（2）证明见解析．23.。
陕西省咸阳市2024届高三下学期高考模拟检测(二)数学(文科)试题含答案
咸阳市2024年高考模拟检测（二）数学（文科）试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()1i 34i z -=+，则复数z 的共轭复数的虚部为（）A.12-B.72C.7i 2-D.72-2.已知集合105x A x x ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B = ð（）A.()1,4- B.[]1,4- C.(]1,5- D.()4,53.已知在边长为1的菱形ABCD 中，角A 为60°，若点E 为线段CD 的中点，则AE EB ⋅=（）A.32B.34C.34-D.32-4.已知角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点()1,2P -，则cos 2α=（）A.35B.95-C.35-D.755.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（）A.30B.58C.60D.906.执行右侧的程序框图，则输出的结果是（）A.5050B.4950C.166650D.1717007.已知平面区域Ω中的点满足()()0x y x y -+<，若在圆面222x y +≤中任取一点P ，则该点取自区域Ω的概率为（）A.12 B.14C.16D.188.已知函数()3sin 3f x x x =+，若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为（）A.3,23⎡-⎣B.[]3,3- C.3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.33,22⎡-⎢⎣⎦9.已知三条不重合的直线l ，m ，n 和两个不重合的平面α，β，则下列说法错误的是（）A.若l m ∥，m n ∥，则l n ∥B.若l α∥，αβ∥，则l β∥C.若m αÞ，n βÞ，m β∥，n α∥，且直线m ，n 异面，则αβ∥D.若αβ⊥，l αβ= ，m αÞ，m l ⊥，则m β⊥10.若将()ln ln ln y x y x =+-确定的两个变量y 与x 之间的关系看成()y f x =，则函数()f x 的大致图像为（）A. B.C. D.11.已知点F 为双曲线221169x y -=的右焦点，过点F 的直线l （斜率为k ）交双曲线右支于M ，N 两点，若线段MN 的中垂线交x 轴于一点P ，则MN PF=（）A.54B.58C.45D.8512.已知函数()2cos 2a f x x x =+，若0x =是函数()f x 的唯一极小值点，则a 的取值范围为（）A.[)1,+∞ B.()1,1- C.[)1,-+∞ D.(],1-∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a ，b ，12，14，18，20，且总体的平均值为10.则11a b+的最小值为_____________.14.P 为抛物线24y x =上任意一点，点()2,4A ，设点P 到y 轴的距离为d ，则PA d +的最小值为____________.15.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边，若cos sin a b C B =+，设点D 为边AC 的中点，且4BD AC ==，则ABC S =△_____________.16.已知三棱锥D ABC -中，4AB =，3AC =，5BC =，DB ⊥底面ABC ，且4DB =，则该三棱锥的外接球的表面积为_____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目.要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合.某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：历史物理合计男生12425女生91625合计104050附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.1000.0500.0100.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828（1）根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；（2）从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率18.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 满足()2221212n n n a a a +++⋅⋅⋅+=，*N n ∈.（1）若1n n n b a a +=-，请判断并证明数列{}n b 的单调性；（2）若211n n n c a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC ，若AE CD BF ∥∥，5AE =，4CD =，3BF =.（1）求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；（2）求该几何体的体积.20.（本小题满分12分）已知两圆1C ：()22125x y -+=，2C ：()2211x y ++=，动圆C 在圆1C 的内部，且与圆1C 相内切，与圆2C 相外切.（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点()1,0M -，()1,0N ，过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，求PQN △的内切圆面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()e x f x a x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()ln ln f x x a x ++≥，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC △面积的最大值.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2133f x x x =++-.（1）解不等式()5f x >；（2）设函数()2312g x x x m =-++，若函数()f x 与()g x 的图像无公共点，求参数m 的取值范围.咸阳市2024年高考模拟检测（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.B3.C4.C5.D6.D7.A 8.A 9.B 10.C11.D12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.15115.16.41π三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分7.解：（1）将表中的数据带入，得到()()()()()()222502161687.87925251040n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-===>++++⨯⨯⨯.所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关.（2）由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A ，B ，C ，女生2名，设为D ，E ，从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等可能的，其中至少有一名女生的情况有AD ，AE ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共计有7种情况，所以P （至少有一名女生）710=.18.解：（1）因为()()222*1212n n n a a a n +++⋅⋅⋅+=∈N ①，当1n =时，211a =；当2n ≥时，()22212112n n n a a a --++⋅⋅⋅+=②，①-②得：()()()211222n n n n n a n n +-=-=≥，又1n =时，2211n a a ==，又0n a >，所以n a =，则1n n n b a a +=-=，又1n n b b +-=-=所以，数列{}n b是单调递减数列.（2）()21111111nn nca a n n n n+⎛⎫===-⎪++⎝⎭则12311111111223341 n nS c c c cn n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n=-=++.19.解：（1）证明：设M，N分别为EF，AB边的中点，连接MN，DM，CN；因为AE⊥平面ABC，AE CD BF∥∥，5AE=，4CD=，3BF=，所以4MN CD==，且MN CD∥，即四边形CNMD为平行四边形，可得MD CN∥，在底面正三角形ABC中，N为AB边的中点，则CN AB⊥，又AE⊥平面ABC，且CNÞ平面ABC，所以AE CN⊥，由于AE AB A=，且AE ABÞ、平面ABFE，所以CN⊥平面ABFE，因为MD CN∥，CN⊥平面ABFE，则MD⊥平面ABFE，又MDÞ平面DEF，则平面DEF⊥平面AEFB.（2）过点F做平行于底面ABC的平面FPQ，ABC PFQ F PQDEV V V--=+=三棱柱四棱锥20.解：（1）设点(),C x y为所求曲线轨迹上任意一点，由题意知：15CC r=-，21CC r=+，121262CC CC C C+=>=，由椭圆的定义知，点C是以（-1，0），（1，0）为焦点，3a=的椭圆.所以点C 的轨迹方程为22198x y +=.（2）由题意知，直线PQ 的斜率不为0，故设直线方程为1x my =-，联立()22221,8916640981,x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-⎩，()()()2221646489230410m m m =-+⨯⨯+=+>△，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221689m y y m +=+，1226489y y m =-+，1221481289PNQS MN y y m =-==+△，又PNQ △的周长l 为4×3=12，所以PNQ△的内切圆半径228189S r l m ===+，令t =，则1t ≥，设函数()18f t t t=+，()218f t t '=-，在[)1,+∞上()0f t '>，函数()f t 单调递增，即()9f t ≥，则89r ≤，此时PNQ △的内切圆面积的最大值2max 6481S r ππ==.21.解：（1）因为()e x f x a x =-，定义域为R ，所以()e 1x f x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0xa ≤，故()e 10x f x a '=-<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x '>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增，综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，在()ln ,a -+∞上单调递增.（2）因为()e x f x a x =-，所以()ln ln f x x a x ++≥等价于ln ln e ln ln e ln a xx a x x x x +++≥+=+，令()e x g x x =+，上述不等式等价于()()ln ln g a x g x +≥，显然()g x 为单调增函数，∴原不等式等价于ln ln a x x +≥，即ln ln a x x ≥-，令()ln h x x x =-，则()111x h x xx -'=-=，在()0,1上()0h x '>，()h x 单调递增；在()1,+∞上()0h x '<，()h x 单调递减，∴()()max 11h x h ==-，1ln 1ln e a ≥-=，即1e a ≥，∴a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22230x y x +--=，即()2214x y -+=，又∵直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），∴直线l 的一般方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=.（2）将直线l 的参数方程cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）带入()2214x y -+=中，得到()()22cos 1sin 14t t αα-++=，化简可以得到：2204t t πα⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则124t t πα⎛⎫+=--⎪⎝⎭，1220t t =-<，1212AB t t t t =+=-=====圆心C 到直线l 的距离d ==，则13sin 21sin 2222ABC S AB d αα-++=⋅⋅=≤=△，当且仅当3sin 21sin 2αα-=+，即sin 21α=时取等号.所以ABC △的面积的最大值为2.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】解：（1）()125,,2121334,1,252,1,x x f x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=++-=--<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩若()5f x >，即1,2255x x ⎧≤-⎪⎨⎪->⎩或11,245x x ⎧-<<⎪⎨⎪->⎩或1,525,x x ≥⎧⎨->⎩解之得35x <-或75x >，则原不等式的解集为3755x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.（2）函数()2312g x x x m =-++，若函数()f x 与()g x 的图像无公共点，即()()f x g x =在[)1,+∞上无解，可得：23720x x m ---=在[)1,+∞上无解，即()2min372m x x <--，[)1,x ∈+∞，因为函数227733723612y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当[)1,x ∈+∞时，min 7312y =-，所以7312m <-，即m 的取值范围为73,12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2020年全国高考仿真模拟文科数学试卷(二)解析版
四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四
个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十
-1-
尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( )
11．若 x，y，z∈R＋，且 3x＝4y＝12z，x＋y∈(n，n＋1)，n∈N，则 n 的值是( ) z
2
3
6
12
答案 C
解析 ∵等边三角形 ABC 的边长为 2，∴A→B·A→C＝B→A·B→C＝C→A·C→B＝2，
-3-
又A→E＝λA→B，A→F＝μA→C，
∴E→C＝E→B＋B→C＝B→C＋(1－λ)A→B，F→B＝F→C＋C→B＝(1－μ)A→C－B→C，
∴E→B·F→C＝(1－λ)·A→B·(1－μ)A→C＝(1－μ)(1－λ)A→B·A→C ＝2(1－μ)(1－λ)＝2， 3
7．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)·e－|x|(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则 Aω的可能取值 为( )
-2-
A.π
B．π
C.3π
象关于 y 轴对称，∴f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋π，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ 2
＝π，∴f(x)＝Acosωx·e－|x|，∵f(0)＝2，∴A＝2，∵f(1)＝f(3)＝0， 2 ∴cosω·1e＝cos3ω·e13＝0，∴cosω＝cos3ω＝0，取ω＝π2，则 Aω＝π.故选 B.
2020 年全国高考仿真模拟试卷(二)
数学（文科）解析版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．
2020年陕西省高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年陕西省高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2≤x≤3}，函数f(x)=ln(1−x)的定义域为集合B，则A∩B=()A. [−2,1]B. [−2,1)C. [1,3]D. (1,3]2.设复数z=1+2i(其中i为虚数单位)，则z.等于()A. 1−2iB. 1+2iC. −2iD. 2i3.已知向量a⃗=(x,3)，b⃗ =(2,−2)，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 5B. √26C. 2√5D. 104.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. 12B. 13C. 16D. 1125.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖；丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的；成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是()A. 甲和丁B. 乙和丁C. 乙和丙D. 甲和丙6.定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，则f(2)等于()A. 4B. 6C. −4D. −67.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若m⊂α，n⊂α，l⊂β，m//l，n//l，则α//βB. 若m//α，n//α，m//β，n//β，则α//βC. 若m⊂α，m∩n=A，l⊥m，l⊥n，l⊥β，则α//βD. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β8.函数f(x)=√3sin2ωx−cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法不正确的是()A. 函数y=f(x+π12)是奇函数B. 函数f(x)的图象关于直线x=5π6对称C. 在原点左侧，函数f(x)的图象离原点最近的一个对称中心为(−5π12,0)D. 函数f(x)在[−π6,π2]上单调递增9.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M(x0,4)到焦点F的距离|MF|=54x0，则p=()A. 2B. 4C. 1D. 510.已知曲线y=ae x+xlnx在点处的切线方程为y=2x+b则()A. a=e,b=−1 B. a=e,b=1C. a=e−1,b=1D.11.已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则sin2α+sinαcosα+1等于()A. 115B. 25C. 85D. 7512.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，点(4,1)在双曲线上，则该双曲线的方程为()A. x24−y2=1 B. x220−y25=1 C. x212−y23=1 D. x28−y2=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件{x+y−1≥0x−3y+3≥0x≤3，则z=2x−y的最大值为______．14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成如表的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选______参加比赛．15. △ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD =33，sinB =513，cos∠ADC =35，则AD 为______ ． 16. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为________cm 3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，a 5=0.3，a 12=3.1，求a 18+a 19+a 20+a 21+a 22的值．18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，△ABP 为等腰直角三角形，且AB =AP =2，AD =CD =1．(1)求证：CD ⊥AP ；(2)若CD ⊥PD ，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. 某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：(1)请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C ？ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ．20. 已知函数f(x)=x 2e x ．(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若f(x)<a(x +1)在x ∈(−2,+∞)上有解，求a 的取值范围．21. 已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的四个顶点围成的菱形的面积为4√3，椭圆的一个焦点为(1,0)． (1)求椭圆的方程；(2)若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2=−34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t (t 为参数)，以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P(−1,2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 已知函数f (x )=|x −m |−|x −3m −1|．(1)若m=1，求不等式f(x)<1的解集；(2)对任意的x∈R，有f(x)≤f(2)，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵B={x|x<1}；∴A∩B=[−2,1)．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，交集的运算．2.答案：B解析：解：∵z=1+2i =1+−2i−i2=1−2i，∴z.=1+2i，故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：根据题意，向量a⃗=(x,3)，b⃗ =(2,−2)，若a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =2x+3×(−2)=0，解可得x=3，故向量a⃗=(3,3)，则a⃗+b⃗ =(5,1)；则|a⃗+b⃗ |=√52+12=√26；故选：B．根据题意，由向量垂直与向量的数量积之间的关系可得a⃗⋅b⃗ =2x+3×(−2)=0，解可得x=3，即可得向量a⃗的坐标，由向量的坐标运算公式可得a⃗+b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量的坐标运算，关键是求出向量a⃗+b⃗ 的坐标．4.答案：B解析：本题考查古典概型的计算与应用，属基础题．分别找出基本事件总数与事件“乙、丙两人恰好参加同一项活动“包含的基本事件数，直接利用公式即可得到最后结果．解：将甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组，共有3种分法，分别是：(甲乙，丙丁)，(甲丙，乙丁)，(甲丁，乙丙)，事件“乙、丙两人恰好参加同一项活动“包含一个基本事件，所以乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为1．3故选B．5.答案：B解析：本题主要考查合情推理的应用，分析甲乙丙丁说话之间的联系即可求出答案．解：若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁中有一个获奖，这与“丙的猜测是错误的”相矛盾；因此乙和丁的猜测同时错误，甲和丙的猜测同时正确，故乙和丁获奖．故选B．6.答案：B解析：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，属较易题．根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．解：∵定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，∴f(2)=−f(−2)=−[−(−2)2−2]=6，故选：B．。
2020年陕西省高考数学模拟试卷(文科)(二) (含解析)
2020年陕西省高考数学模拟试卷(文科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=()A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2.若复数x=2，其中i为虚数单位，则z−=()1+iA. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.曲线f(x)=xe x−1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2eB. eC. 2D. 15.“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“—”和“——”，其中“—”在二进制中记作“1”，“——”在二进制中记作“0”，例如二进制数1011(2)化为十进制的计算如下：1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20=11(10).若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为()A. 0B. 12C. 13D. 146. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n ⊥β，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知cosα=17,α∈(0,π2)，则cos(α−π3)等于( )A. −1114B. 3√314 C. 5√314D. 13148. 将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为( )A. 7B. 6C. 5D. 49. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f(x)=1x−1，则f(12)等于( )A. −23B. 23C. −2D. 210. 已知双曲线C:x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，M 是双曲线上的一点，且满足F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2a 2=0，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3]B. [√3,+∞)C. (1,√2]D. [√2,+∞)11. 已知函数f(x)=|lnx |+x ，若f(x 1)=f(x 2)，其中x 1≠x 2，则( )A. x 1+x 2<2B. x 1+x 2>2C. 1x 1+1x 2>2D. 1x 1+1x 2<212. 已知直线x −y −2=0与x 轴交于点M ，与抛物线y 2=2px(p >0)交于A ，B 两点，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p =( )A. 12B. 1C. 2D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______． 14. 已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−2,1)，则|2a ⃗ −b⃗ |= ______ ． 15. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的面积的最大值是______．16.在四棱锥P−ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形．若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n}的前n项的和S n．18.为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”)(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？(2)在上述样本中，学校从成绩为[140,150]的学生中随机抽取2人进行学习交流，求这2人来自同一个班级的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.82819.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB．(1)求证：平面BCE⊥平面CDE；(2)若AB=1，求四棱锥C−ABED的体积．20.函数f(x)=1．xln x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若21x>x a对任意x∈(0,1)都成立，求实数a的取值范围．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，它的右焦点是F(1,0).椭圆上一动点P(x0,y0)(不是顶点)满足k PA⋅k PB=−12．(1)求椭圆的方程；(2)设过点P且与椭圆相切的直线为m，直线m与椭圆的右准线l交于点Q，试证明∠PFQ为定值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =1+2cosα,y =1+sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π4)=√2． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 的对称中心为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求△PAB 的面积．23. 已知函数f(x)=x 2+2|x −1|．(1)求不等式f(x)>|2x|x的解集；(2)若f(x)的最小值为N ，且a +b +c =N ，(a,b ，c ∈R).求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：A解析：解：z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，则共轭复数z−=1+i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：本题考查统计图表，根据图表，逐项分析即可．解：由图可看出2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多为3829.4万部，故A正确，由图可看出下半年手机市场各月份出货量基本都是在3000∼3650万部之间，而上半年各月份波动较大，故B正确，由当月的同比可以看出只有4月，5月略有增长，其它的是负增长，故可得2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量，故C正确;2018年12月的手机出货量为3044.41−14.7％≈3569.05，8月手机出货量为3087.51−5.3％≈3260.30，故错误．故选D．4.答案：C解析：本题主要考查导数的几何意义，比较基础．求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．解：函数的导数为f′(x)=e x−1+xe x−1=(1+x)e x−1，当x=1时，f′(1)=2，即曲线f(x)=xe x−1在点(1,1)处切线的斜率k=2．故选C．5.答案：D解析：本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．依题意，列出所有可能的情况，计算相应的二进制数所对应的十进制数，选取得到的二进制数所对应的十进制数大于2的情况，运用概率公式计算即可．解：依题意，记符号“—”为a，记“——”为b，从两类符号中任取2个符号进行排列，排列情况有：ab，ba，aa，bb，共4种情况，①若ab，即10，则10(2)=1×21+0×20=2；②若ba，即01，则01(2)=0×21+1×20=1；③若aa，即11，则11(2)=1×21+1×20=3；④若bb，即00，则00(2)=0×21+0×20=0；故得到的二进制数所对应的十进制数大于2，只有③一种情况，，故得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为：14故选D．6.答案：C解析：本题考查了空间线面关系及充分必要条件，属于基础题．由空间线面关系及充分必要条件得：因为m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”⇔“α⊥β”，即“m⊥n”是“α⊥β”的充要条件，得解．解：因为m ⊥α，n ⊥β， 则“m ⊥n ”⇔“α⊥β”，即“m ⊥n ”是“α⊥β”的充要条件， 故选：C ．7.答案：D解析：本题主要考查两角差的余弦公式的应用．由两角差的余弦公式与同角三角函数关系直接求解．解：因为cosα=17,α∈(0,π2)，所以sinα=√1−cos 2α=√1−172=4√37,所以．故选D ．8.答案：C解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题． 求出平移后函数解析式，可得−ωπ6+π3=kπ+π2，k ∈Z ，求得ω的最小值．解：∵将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度， 得到y =sin(ωx −ωπ6+π3)的图象关于y 轴对称， ∴−ωπ6+π3=kπ+π2，k ∈Z ， 则ω的最小值为5， 故选：C ．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性的应用，题目基础．由函数f(x)为偶函数可得f(12)=f (−12)，借助已知求解即可．。
2020年陕西省高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，函数的定义域为集合B，则A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，复数，则其共轭复数的虚部为A. 2B.C. 2iD.3.已知向量，且，则的值为A. B. C. D.4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. B. C. D.5.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的．成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知俩人获奖，则获奖的是A. 甲和丁B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁6.设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则A. B. 2 C. 4 D. 67.已知m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，，，，则B. 若，，，，则C. 若，，，，，则D. 若，，，则8.已知函数的最小正周期为，则该函数图象A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称9.已知抛物线C：上一点到焦点F的距离，则A. 2B. 4C. 1D. 510.已知曲线在点处的切线方程为，则A. ，B. ，C. ，D. ，11.已知，则A. B. 3 C. D.12.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，则该双曲线的方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足，则的取值范围是______．14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩单位：秒的平均数与方差制成如表的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选参加比赛．15.如图，在中，D是边BC上一点，，，则______ ．16.如图，圆锥型容器内盛有水，水深3dm，水面直径放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为______dm三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列中，已知，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ求．18.如图，四边形ABCD是直角梯形，，，且有，，．证明：平面ABCD；若四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积．19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如下所示：甲商场五天的销售情况销售第x天12345第x天的销量y1113121514试计算购买该产品的顾客的平均年龄；根据甲商场这五天的销售情况，求x与y的回归直线方程．参考公式：回归直线方程中，，．20.已知函数．求函数的单调区间；函数，求的解的个数．21.已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为．求椭圆的方程；若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为，，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，曲线C的参数方程是为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，求．23.已知函数．若，求不等式的解集．对任意的，有，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，属于基础题．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，．故选：B．2.答案：A解析：解：，，则共轭复数的虚部为2．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查向量垂直的充要条件、向量数量积的坐标运算、根据向量的坐标求长度的方法．根据便可得出，从而求出x值，进而求出的坐标，从而求出的值．【解答】解：，，，，，．故选D．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，基本事件，考查了运算求解能力，属于基础题．先求得基本事件的总数为6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．解：由题意，甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个小组共有3种情形：甲、乙，丙、丁，甲、丙，乙、丁，甲、丁，乙、丙，所以分别参加两项活动有6种情况；因为乙、丙两人恰好在一起的情形只有1种：甲、丁，乙、丙，所以乙、丙两人参加同一项活动有2种情况；所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选：B．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题．本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．【解答】解：由题意，可知：乙、丁的预测是一样的，乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故乙、丁的预测不成立，乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，甲、丙的预测成立，丁必获奖．乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，丙不获奖，乙获奖．从而获奖的是乙和丁．故选D．6.答案：A解析：解：是定义在R上的周期为2的奇函数，，，当时，，即，得，当时，，，故选：A．根据函数奇偶性和周期性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和周期性的性质进行转化是解决本题的关键．解析：解：由m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在A中，若，，，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，，，则与相交或平行，故B错误；在C中，若，，，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故D正确．故选：D．在A中，与相交或平行；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：，的最小正周期为，，，，可得函数关于点对称，故A正确，B错误，，可得C错误，D错误．故选：A．由两角和的余弦函数公式可得，利用周期公式可求的值，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，周期公式，余弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于基础题．9.答案：A解析：解：由抛物线的定义可知，，，，即，点在抛物线上，，由解得，或舍负，故选：A．由抛物线的定义可知，，与已知条件结合，得；把点M的坐标代入抛物线方程可得，结合即可解出p的值．本题考查抛物线的定义，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，属于基础题．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得，可得a，进而得到切点，代入切线方程可得b的值．【解答】解：的导数为，由在点处的切线方程为，可得，解得，故切点为，可得，即．故选D．11.答案：D解析：解：，，即，则，则，故选：D．根据同角三角函数关系求出的值，利用弦化切结合1的代换进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及1的代换，结合弦化切是解决本题的关键．12.答案：C解析：【分析】利用双曲线的离心率，以及双曲线经过的点，求解双曲线的几何量，然后得到双曲线的方程．本题考查双曲线方程的综合应用，双曲线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．【解答】解：由题意双曲线的离心率为得，，，，，，双曲线C的方程为：．故选：C．13.答案：解析：解：不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是过和区域内的点的直线的斜率，所以最大值是过与连接的直线斜率为，最小值是过与连接的直线斜率为，所以的取值范围是首先画出平面区域，根据的几何意义求范围．本题考查了简单线性规划的问题解答，关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义．14.答案：甲解析：解：根据题意，由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数，而甲乙的方差小于丙的方差，则三人中甲的平均数最高且方差最小，故应该选甲参加比赛；故答案为：甲根据题意，分析可得三人中甲的平均数最高且方差最小，由平均数、方差的统计意义分析可得答案．本题考查平均数、方差的统计意义，属于基础题．15.答案：解析：解：不妨设，则．在中，由余弦定理可得：，解得．取BD的中点E，连接AE，则，．在中，由正弦定理可得：，解得．故答案为：．不妨设，则在中，由余弦定理可得：解得可得cos B，在中，由正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：如图，设铁球的半径为r，则放入铁球后水深为3r，上底面半径为，此时铁球与水的体积和为．原来水的体积为，铁球的体积为，则，解得．铁球的体积．故答案为：．由题意画出截面图，设铁球的半径为r，利用体积相等求解r，则球的体积可求．本题考查圆锥与球的体积，是基础的计算题．17.答案：解：因为是等差数列，，，所以解得，则，分，，，，构成首项为，公差为9的等差数列．则分解析：Ⅰ依题意，，两式相减得，将代入一式可得，则通项公式可求．Ⅱ因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，且首项，公差，则其前n项和可求．本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等差数列的定义等，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．18.答案：解：证明：在中，，，，，，即，又，，平面ABCD．由得面ABCD，，，，，，平面PAD，，，由题意得，，中，由余弦定理得．，，，，，四棱锥的表面积．解析：推导出，，由此能证明平面ABCD．由面ABCD，四棱锥的体积为，求出，由，，得平面PAD，，，由此能求出四棱锥的表面积．本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：购买该产品的顾客的平均年龄为；，．，．与y的回归直线方程为．解析：由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率得答案；由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求．本题考查频率分布直方图，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：由，得，故，令，解得：，令，解得：，故函数在递减，在递增；令得，若，则，递减，而，故有1个零点，若，得时，，时，，在递增，在递减，，令，则，当时，，当时，，在递减，在递增，而，故时，，有2个零点，当时，，有1个零点，综上，时，有1个解，当时，有2个解．解析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间尽快；令，求出函数的导数，得到函数的最大值，通过讨论a的范围，判断函数的零点个数即的解的个数．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：由题意可知，，，因此，解得，，故椭圆的方程为．设，，当直线MN的斜率存在时，设方程为，由，消y可得，，则有，即，，，所以．点O到直线MN的距离，所以．又因为，所以，化简可得，满足，代入，当直线MN的斜率不存在时，由于，考虑到OM，ON关于x轴对称，不妨设，，则点M，N的坐标分别为，，此时，综上，的面积为定值．解析：依题意，，，由此可求得，，进而得到椭圆的方程；分情况讨论，当直线MN的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立，可得弦长，点O到直线MN的距离d，进而表示出面积，再根据题设条件得出结果；当直线MN的斜率不存在时，可直接求出点M，N的坐标，进而求得面积；综合即可得出结论．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，考查直观想象，逻辑推理以及化简求解能力，属于中档题．22.答案：解：根据，直线l的极坐标方程转换为直角坐标方程为：．曲线C的参数方程是为参数，消去参数m，转换为直角坐标方程为．直线l转换为参数方程为为参数，代入直角坐标方程为．得到：，所以：，．所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，，因为，所以或所以，所以不等式的解集为：；因为所以，因为任意的，有，所以，即，即，，，在同一坐标系中的图象如下：所以，所以实数m的取值范围为：解析：当时，，分段解不等式．可得，任意的，有，即，令，，利用，在同一坐标系中的图象求解．本题考查了绝对值不等式的解法、性质．属于中档题．。
【2020咸阳二模】文科数学试题及答案解析
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）文科数学注意事项：1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；4．本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 集合{}1M x x =≤，{}1,0,1,2N =-，则M N =I A ．{0,1} B ．{1,0,1}- C ．{1,1}- D.{0,1,2} 2. 已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i +B ．13i -+C ．13i -D ．13i -- 3. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是 A.这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B.这五年，2015年出口额最少 C.这五年，2019年进口增速最快 D.这五年，出口增速前四年逐年下降4. 已知数列121321,,,,n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅-是首项为1，公差为2得等差数列，则3a 等于A.9B.5C.4D.25. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测 算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包 含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部 分，据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ．10 C.185 D.325 6. tan(345)-=oA.23+B. 23-C. 23-D. 237. 已知3100.323log ,log ,0.2a b c ===,则,,a b c 大小关系为A. b c a <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c <<8.双曲线22122:1(0,0)x yC a b a b-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆2222:()4c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的离心率为A. 23B. 3C. 5D.59. 已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题：①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为A . ②③ B. ②③④C. ①④D. ①②③10.函数2()1x x f x e =-的大致图像是A B C D11.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,6,高为3,则它的外接球的表面积为A. 4πB.8πC. 16πD. 20π 12. 已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则b = A. ln a a B. 2ln a a C. 1aD.ln a a第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题:第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题:第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13. 函数ln(3)y x =-的零点是 __ .14. 数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-,则n a =_____ .15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量12()t h 3(/)y mg m 013(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）实验表明，当药物释放量30.75(/)y mg m <对人体无害. (1)k =____;(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）16. 已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则____.OA OB ⋅=u u u r u u u r三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()3cos f x x x =-. (I )求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ) 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()1,3,2f A a c ===,求边b 的长和C ∠的大小.18.（本小题满分12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的把握认为“性别” 与“问卷结果”有关？男 女 总计 合格 不合格 总计分)的男女学生问卷中任意选2个,求这2个学生性别不同的概率. 附：20()P k k ≥ 0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,22,AB DC ABC AB DC BC E ∠===o为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点,B C 不重合）.(I )求证:平面EMN ⊥平面PBC ；(Ⅱ) 设三棱锥B EMN -和四棱锥P EBCD -的体积分别为1V 和2V ,当N 为BC 中点时，求12V V 的值.20.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，它的四个顶点构成的四边形面积为.（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,,M N求证：直线MN 恒过一个定点. 21．（本小题满分12分）已知函数()(0),()ln 1xf x axe a ag x x x =∈≠=++R,. （I ）讨论()f x 的单调性;(Ⅱ) 当1a =时，证明：对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0,ρθθ-=直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2R πθαρ=+∈,其中k απ≠()k z ∈.（I ）写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. （Ⅰ）求正数m 的值；（Ⅱ）设,,a b c ∈+R ，且a b c m ++=，求证:2221a b c b c a++≥.BBCDEMNP2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）文科数学参考答案一、选择题：BCDAC DCACB CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13. 4 14. 12n - 15. 2,40 16. 3-三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解: (I ) ()3cos 2sin()6f x x x x π=-=-令22()262k x k k z πππππ-≤-≤+∈,则2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈为函数()f x 的单调递增区间 ……………………6分 (Ⅱ)由 ()1f A =,得1sin()62A π-=,即3A π= 法1:由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,将,3,23A a c π===代入得2210b b -+=,即1b =,又3,2a c ==,即222a b c +=,∴2C π∠=综上, 1b =,2C π∠=……………………12分法2:由正弦定理得sin sin a c A C =,即32sin sin 3C π=,得sin 1C =,即2C π∠= 由勾股定理得22222(3)1b c a =-=-=综上, 1b =,2C π∠=……………………12分18.（本小题满分12分） 解：(I )根据茎叶图可得2240(1041016)360 3.956 3.8412614202091K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯知有0095以上的把握认为“性别” 与“问卷结果”有关.……………………6分(Ⅱ) 从茎叶图可知, 成绩在60分以下(不含60分)的男女学生人数分别是4人和2人,分别用,,A B,C D 和,E F 表示,基本事件为:,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF共有15个,其中性别不同的基本事件有,,,,,,,AE AF BE BF CE CF DE DF 共8个,所求概率为815.BCDEMNP……………………12分 19．（本小题满分12分）(I )证明: ∵PE EB ⊥,,PE ED EB ED E ⊥=I∴PE ⊥平面EBCD又PE 平面PEB , ∴平面PEB ⊥平面EBCD而BC 平面EBCD , BC EB ⊥, ∴平面PBC ⊥平面PEB 由,PE EB PM MB ==知EM PB ⊥,可知EM ⊥平面PBC又EM 平面EMN , ∴平面EMN ⊥平面PBC ……………………6分(Ⅱ)解: ∵N 为BC 中点∴1124EBNEBCDEB BNS S EB BC ∆⋅==⋅,点,M P 到平面EBCD 的距离之比为12∴12111113122483EBC EBCD SV V S ∆=⋅=⋅= ……………………12分20.（本小题满分12分）解: （I ）依题意得2221222222a b c a b c a ⎧⎪=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪⎩解得22221a b c ⎧=⎨==⎩ 即椭圆22:12x C y += ……………………5分 （Ⅱ）（II ）法1：设点0(2,)P y ，1122(,),(,),M x y N x y其中222211222,2x y x y +=+=，由PM OM ⊥，PN ON ⊥得10201211221,122y y y y y y x x x x --⋅=-⋅=--- 即2222111102222020,20x y x y y x y x y y +--=+--= 注意到222211222,2x y x y +=+=，于是110220220,220x y y x y y --=--= 因此1122(,),(,)M x y N x y 满足0220x yy --=由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0). ……………………12分法2：设点0(2,)P y ,过点P 且与圆222x y +=相切的直线为,PM PN ,切点分别为,,M N 由圆的知识知, ,M N 是圆以OP 为直径的圆222200(1)()1()22y yx y -+-=+和圆222x y +=的两个交点,由222222002(1)()1()22x y y y x y ⎧+=⎪⎨-+-=+⎪⎩消去二次项得直线MN 方程为 0220x y y --=,由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0).……………………12分 21．（本小题满分12分） 解: （I ）()(1)xf x a x e '=+ 当0a >时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞]Z ;当0a <时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞Z ]. ……………………5分 (Ⅱ)法1： ()()f x g x ≥，即ln 1(0)xxe x x x ---> 令()ln 1(0)xF x xe x x x =--->， 则11()(1)1(1)()xx F x x e x e x x'=+--=+- 令1()xx e x ϕ=-，显然()x ϕ在(0,)+∞Z，注意到1()20,(1)102e ϕϕ=<=->，于是存在01(,1)2x ∈使得0001()0xx e x ϕ=-=，可知()F x 在00(0,),(,)x x +∞]Z ∴0min 000000001()()ln 110xF x F x x e x x x x x x ==---=⋅-+-= ∴()0F x ≥,即0x >,()()f x g x ≥综上，当1a =时，对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立. ……………………12分法2:先证1xe x ≥+,令()1xh x e x =--,则0()1xxh x e e e '=-=-,知()h x 在(,0),-∞](0,)+∞Z ,于是()(0)0h x h ≥=,即1x e x ≥+∴ln ln 1x x xxe ex x +=≥++,当且仅当ln 0x x +=时取等号∴当1a ≥时, 对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立 ……………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（I ）曲线C ：2cos 4sin ρθθ-0=，即22cos 4sin ρθρθ-0=化为直角坐标方程为：24x y = ……………………5分（Ⅱ）法1：212cos 4sin 04sin cos ρθθαραθα⎧-=⇒=⎨=⎩，即124sin cos OA αρα== 同理2224sin()4cos 2sin cos ()2OB πααρπαα+===+ ∴22114sin 4cos 8161622cos sin sin cos sin 2OAB S OA OB ααααααα∆==⋅==≥当且仅当sin 21α=，即()4k k z παπ=+∈时取等号即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………10分 法2：显然12l l ⊥，设直线1:l y kx =，直线21:l y x k=-(0)k ≠ 2212440,0,4x y x kx x x k y kx ⎧=⇒-===⎨=⎩，得124OA x =-=同理4OB ===∴21111488()1622OAB k S OA OB k k k∆+==⋅==+≥ 当且仅当1k k=，即1k =±时取等号即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………10分 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）解：不等式20x m x +-≤，即不等式222x m x x x m x +≤⇔-≤+≤∴3x m m x ≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，而0m >，于是x m ≥依题意得1m = ……………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1a b c ++=，原不等式可化为222a b c a b c b c a++≥++ 法1：∵,,a b c ∈+R ，222a b ab +≥∴22a a b b ≥-，同理22b b c c ≥-，22c c a a ≥- 三式相加得222a b c a b c b c a ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号 综上 2221a b c b c a++≥ ……………………10分 法2：由柯西不等式得1a b c =++=≤ （,,a b c ∈+R ，且1a b c ++=）整理得2221a b c b c a ++≥（当且仅当13a b c ===时取等号）……………………10分 法3:不妨设0a b c ≥≥>,则2221110,0a b c c b a≥≥>≥≥>,由排序不等式知反序和最小,所以222222111111a b c a b c b c a b b c⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅,即222a b c a b c b c a ++≥++ 综上 2221a b c b c a ++≥（当且仅当13a b c ===时取等号） ……………………10分。
2020年陕西省高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1]B．[，1）C．（0，]D．（0，）2．已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0D．￢p：∃x∈R，log3x＜03．若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28πB．32πC．36πD．40π6．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．87．如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的S等于（）A．B．C．D．8．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣9．曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2C．6e2D．9e210．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．11．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）12．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a是实数，且是一个纯虚数，则a=_______．14．已知正项数列{a n}满足a n+1（a n+1﹣2a n）=9﹣a，若a1=1，则a10=_______．15．若向量=（3，1），=（7，﹣2），则的单位向量的坐标是_______．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y 轴上一点，则△APF面积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．18．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．19．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）设AB=BC=，求三棱锥P﹣AEF的体积．20．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．21．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1]B．[，1）C．（0，]D．（0，）【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M和集合N，然后再求出集合M∩N．．【解答】解：集合M={x|}=[，3），函数f（x）=ln（1﹣）=[0，1），则M∩N=[，1），故选：B．2．已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0D．￢p：∃x∈R，log3x＜0【考点】复合命题的真假．【分析】利用命题的否定即可判断出．【解答】解：命题p：∃x∈R，log3x≥0，则￢p：∀x∈R，log3x＜0．故选：C．3．若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用平方差公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tan，则sin4α﹣cos4α=（sin2α+cos2α）•（sin2α﹣cos2α）=sin2α﹣cos2α===﹣，故选：B．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28πB．32πC．36πD．40π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体，求解其体积相加即可．【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为2，体积为：22π•2=8π．圆台的底面半径为4，上底面半径为2，高为3，体积为：=28π，几何体的体积为：36π．故选：C．6．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．7．如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的S等于（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S=的值．【解答】解：n=5时，k=1，S=0，第一次运行：S=0+=，k=1＜5，第二次运行：k=1+1=2，S==，k=2＜5，第三次运行：k=2+1=3，=，k=3＜5，第四次运行：k=3+1=4，S==，k=4＜5，第五次运行：k=4+1=5，S==，k=5，结束运行，输出S=．故选：D．8．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离不大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离不大于1的概率P==．故选A．9．曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2C．6e2D．9e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0求得与y，x轴的交点，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：y=e的导数为y′=e，可得在点（6，e2）处的切线斜率为e2，即有在点（6，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣6），即为y=e2x﹣e2，令x=0，可得y=﹣e2；令y=0，可得x=3．即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为•3•e2=e2．故选：A．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入点（，﹣3）可得φ值，可得解析式，再由f（α）=1和同角三角函数基本关系可得．【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1， +φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，故选：C．11．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可．【解答】解：∵∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，∴当x≥0时函数f（x）为减函数，∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），即f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：D12．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时及当m=﹣1，n=0时，满足条件．【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0，∴直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示．又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a是实数，且是一个纯虚数，则a=﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=是纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知正项数列{a n}满足a n+1（a n+1﹣2a n）=9﹣a，若a1=1，则a10=28．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式变形得到a n+1﹣a n=3，即数列{a n}是公差为3的等差数列，求出等差数列的通项公式得答案．【解答】解：由a n+1（a n+1﹣2a n）=9﹣，得，即，∴a n+1﹣a n=±3，又数列是正项数列，∴a n+1﹣a n=3，即数列{a n}是公差为3的等差数列，∵a1=1，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+3（n﹣1）=3n﹣2，则a10=3×10﹣2=28．故答案为：28．15．若向量=（3，1），=（7，﹣2），则的单位向量的坐标是（﹣，）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】求出向量，从而求出的单位向量的坐标即可．【解答】解：∵向量=（3，1），=（7，﹣2），则=（﹣4，3），由=5，得单位向量的坐标是（﹣，），故答案为：（﹣，）．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为6+9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的焦点，直线AF的方程以及AF的长，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，求得m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y=﹣2x+6，|AF|==15，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由判别式为0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d==，即有△APF的面积的最小值为d•|AF|=××15=6+9．故答案为：6+9．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（I）根据基本不等式求出ac的最大值，利用余弦定理得出cosB的最小值；（II）利用余弦定理列方程解出a，c，cosB，使用正弦定理得出sinA．【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosB===．∵ac≤（）2=．∴当ac=时，cosB取得最小值．（II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．∵=accosB=3．∴9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15．又∵a+c=3，∴ac=6．∴a=2，c=或a=，c=2．∴cosB=，sinB=．由正弦定理得，∴sinA==1或．∴A=或A=．18．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为=0.3∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为X ﹣2 2 4P 0.04 0.54 0.42∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．19．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）设AB=BC=，求三棱锥P﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取PA 中点G ，连结FG ，DG ，由题意可得四边形DEFG 为平行四边形，得到EF ∥DG 且EF=DG ，再由PD ⊥底面ABCD ，可得平面PAD ⊥平面ABCD ，进一步得到平面PAB ⊥平面PAD ，由PD=AD ，PG=GA ，可得DG ⊥PA ，而DG ⊂平面PAD ，得到DG ⊥平面PAB ，从而得到EF ⊥平面PAB ；（2）连接PE ，BE ，可得，求解直角三角形得到PD=1，然后利用等积法把三棱锥P ﹣AEF 的体积转化为B ﹣AEF 的体积求解．【解答】（1）证明：取PA 中点G ，连结FG ，DG ，由题意可得BF=FP ，则FG ∥AB ，且FG=，由CE=ED ，可得DE ∥AB 且DE=， 则FG=DE ，且FG ∥DE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，则EF ∥DG 且EF=DG ，又PD ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ABD ，则平面PAB ⊥平面PAD ，由PD=AD ，PG=GA ，可得DG ⊥PA ，而DG ⊂平面PAD ，∴DG ⊥平面PAB ，又EF ∥DG ，得EF ⊥平面PAB ；（2）解：连接PE ，BE ，则，∵AB=BC=，∴BC=1，则PD=1，∴V P ﹣AEF =V B ﹣AEF ====．20．设O 是坐标原点，椭圆C ：x 2+3y 2=6的左右焦点分别为F 1，F 2，且P ，Q 是椭圆C 上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；（Ⅱ）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率．【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1，即有a=，b=，c==2，由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，可得直线PQ的方程为y=（x﹣2），代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，由弦长公式可得|PQ|=•=•=，由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|，则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）=12（6k2﹣m2+2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣+m2=0，由于m≠0，故k2=，∴直线PQ的斜率k为±．21．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，则+4=．于是g′（x）≤=≤0．从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用即可化为直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．【解答】解：（I）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=，t1t2=﹣，∴|AB|=|t1﹣t2|===，当α=时，|AB|的最小值为4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转化为≤1，解出即可．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6，解得：x≥7，﹣1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解，x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6，解得：x≤﹣7，故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}；（2）x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，﹣1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，故f（x）的最大值是1，若存在实数x满足f（x）=log2a，只需≤1即可，解得：0＜a≤2．2020年9月8日。
2020年陕西省咸阳市二模 文科数学(含答案)
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）文科数学第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合M={x|x≤1},N={-1,0,1,2},则M∩N=A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{1,-1} D.{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，复数z=(1+i)(2+i)的共轭复数z =A.1+3iB.-1+3iC.1-3iD.-1-3i3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体。
自2015年以来，“一带一路”建设成果显著。
右图是2015-2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是A.这五年，出口总额之和比进口总额之和大B.这五年，2015年出口额最少C.这五年，2019年进口增速最快D.这五年，出口增速前四年逐年下降4.已知数列121321,,,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1,公差为2得等差数列，则3a 等于A.9B.5C.4D.25.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是16.5A B.1018.5C 32.5D 6.tan(345)︒-=.23A +.23B -+.23C --.23D 7.已知100.3233log ,log ,0.2,a b c ===则a,b,c 大小关系为A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c8.双曲线C 12222:1(0,0x y a b a b -=>>)的一个焦点为F(c,0)(c>0),且双曲线C 1的两条渐近线与圆C 2222:()4c x c y -+=均相切,则双曲线C 1的离心率为23.3A .3B 5.2C .5D 9.已知a,b 为两条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,下列命题:①若α∥β,α∥γ,则β∥γ②若a ∥α,a ∥β,则α∥β③若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β④若a ⊥α,b ⊥α,则a ∥b其中正确命题序号为A.②③B.②③④C.①④D.①②③10.函数2()|1|x x f x e =-的大致图像是11.正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一个球面上,6,高为3,则它的外接球的表面积为A.4πB.8πC.16πD.20π12.已知函数()xf x e b =+的一条切线为y=a(x+1),则b=A.alna2.ln B a a 1.C aln .a D a第II 卷本卷包括必考题和选考题两个部分.第13题~第21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.13.函数y=ln(x-3)的零点是____14.数列{}n a 的前n 项和为21,nn S =-n a =___15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m 3)与时间t （h ）的函数关系为1,0211,2kt t y tkt⎧<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩,（如图所示）实验表明,当药物释放量y<0.75(mg/m 3)对人体无害.(1)k=_____;(2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过____分钟人方可进入房间.(第一问2分,第二问3分)16.已知AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅=__.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数()cos .f x x x =-(I)求函数f(x)的单调递增区间;(II)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若f(A)=1,a c ==2,求边b 的长和∠C 的大小.18.(本小题满分12分)为了响应国家号召,促进垃圾分类,某校组织了高三年级学生参与了"垃圾分类,从我做起"的知识问卷作答,随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分,作出如图所示的茎叶图,成绩大于70分的为"合格".(I)由以上数据绘制成2×2联表,是否有95%以上的把握认为"性别"与"问卷结果"有关?（II ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，求这2个学生性别不同的概率。
2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x∈N|–5<x<4}，N={–2,0，2，4，6}，则M∩N=()A. {0,2，4}B. {–2,0，2}C. {2}D. {0,2}2.已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.如图是2017年1−11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是()A. 从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B. 从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C. 92#汽油与95#汽油价格成正相关D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌4.若等差数列{a n}满足a n+1=−a n+n，则a5=()A. 92B. 94C. 114D. 1345.如图，在边长为a的正方形内随机地撒一把豆子，落在正方形内的豆子粒数为m，落在阴影内的豆子粒数为n，据此估计阴影的面积为()A. na2mB. ma2nC. nma2D. mna26.tan70°+tan50°−√3tan70°tan50°的值为()A. √3B. √33C. −√33D. −√37. 设a =log 0.60.5，b =log 2(log 38)，则( )A. a <1<bB. a <b <1C. b <1<aD. 1<b <a8. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2−4x +3=0有交点，则C 的离心率的取值范围是( )A. (1,2√33] B. (1,43]C. [43,+∞)D. [2√33,+∞) 9. 已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A. α⊥β，α∩β=a ，a ⊥b ，则b ⊥αB. α⊥β，β⊥γ，则α//γC. α∩β=a ，β∩γ=b ，α⊥β，则a ⊥bD. α//β，β⊥γ，则α⊥γ10. 函数f (x )=e −x −e xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.11. 已知四棱锥P −ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面AC ，PA =2AD =2，则它外接球表面积为( )A. √6πB. 6πC. 32πD. √63π 12. 函数f(x)=ax 2+bx +lnx 在点(1,f(1))处的切线方程为y =4x −2，则b −a =( )A. −1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.函数f(x)=(x−1)ln xx−3的零点是________.14.已知数列{a n}的前n项和为S n=3n−1(n∈N∗)，则a4=______ ．15.抛物线y2=8x的焦点为F，弦AB过F，原点为O，抛物线准线与x轴交于点C，∠OFA=2π3，则tan∠ACB=______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间￡(单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z的变化关系．Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a⋅b t，Q=a⋅log a t.利用你选取的函数，求得：(I)西红柿种植成本最低时的上市天数是(1)；(Ⅱ)最低种植成本是(2)(元/100kg)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设函数f(x)=sinxcosx−cos2(x+π4)．(1)求函数f(x)在区间[−π8,π2]上的最值；(2)在△ABC中，若f(A2)=0，a=1，b=c，求△ABC的面积．18.某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主;饮食高于70的人，饮食以肉类为主.)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表．主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关⋅并写出简要分析。
2020届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）
2020届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．集合{}|1M x x =≤，{}1,0,1,2N =-，则M N =( )A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】B【解析】根据交集的运算即可求解. 【详解】{}1|M x x =≤，{}1,0,1,2N =-{1,0,1}M N ∴⋂=-故选：B 【点睛】本题主要考查了交集的运算，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i + B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】B【解析】先根据复数的乘法计算出z ，然后再根据共轭复数的概念直接写出z 即可. 【详解】由()()1213z i i i =++=+，所以其共轭复数13z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降 【答案】D【解析】根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【详解】对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.4．已知数列1a ，21a a -，32a a -，…，1n n a a --是首项为1，公差为2得等差数列，则3a 等于( ) A ．9 B ．5C ．4D ．2【答案】A【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出24a =，再由()32212a a a a ---=，即可得出答案. 【详解】12111,2a a a a =--= 24a ∴=()32212a a a a ---=()3221224419a a a a ∴=++-=++-=故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．165B ．185C ．10D ．325【答案】B【解析】边长为3的正方形的面积S 正方形＝9，设阴影部分的面积为S 阴，由几何概型得8002000S S =阴正方形，由此能估计阴影部分的面积． 【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，则边长为3的正方形的面积S 正方形＝9， 设阴影部分的面积为S 阴，∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分， ∴8002000S S =阴正方形， 解得S 阴800800189200020005S =⨯=⨯=正方形， ∴估计阴影部分的面积是185．故选：B ． 【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．()tan 345-︒=( )A ．2B ．2-C ．2--D ．2【答案】D【解析】由诱导公式以及两角差的正切公式求解即可. 【详解】()()tan 345tan345tan 36015tan15︒︒︒︒︒-=-=--=()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒︒︒︒︒︒︒-=-==-+⋅故选：D 【点睛】本题主要考查了利用诱导公式求三角函数值，属于基础题.7．已知2log 3a =，310log b =，0.30.2c =，则a ，b ，c 大小关系为( ) A ．b c a << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】C【解析】根据对数函数和指数函数的单调性，确定a ，b ，c 的范围，即可得出答案. 【详解】2221log log 3log 242=<<=，332log 9log 10=<，0.300.20.21<=12,2,1a b c ∴<<><即c a b << 故选：C 【点睛】本题主要考查了对数和指数的比较大小问题，属于中档题.8．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的离心率为( )A．3BCD【答案】A【解析】根据直角三角形的边角关系得出b a =，再由离心率公式即可得出答案. 【详解】 设渐近线by x a=与该圆交于点B ，O 为坐标原点 在Rt OBF ∆中，tan c BFBOF OB∠===b a ∴=3c e a ∴====故选：A 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.9．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C【解析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.10．函数()21x x f x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数值恒大于0,排除A ,根据函数不是偶函数,排除C ,根据x 趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除D ,故选:B . 【详解】因为()21xx f x e =-0>,所以A 不正确; 函数()21x x f x e =-不是偶函数,图象不关于y 轴对称,所以C 不正确;当0x >时,2()01x x f x e =>-, 当x 趋近于正无穷时,2x 和e 1x -都趋近于正无穷,但是e 1x-增大的速度大于2x 增大的速度,所以()21xx f x e =-趋近于0,故D 不正确. 故选:B 【点睛】本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.11．正四棱锥P ABCD -6，高为3，则它的外接球的表面积为( ) A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π【答案】C【解析】根据几何关系确定球心的位置，再结合勾股定理得出半径，最后由球的表面积公式求解即可. 【详解】连接,AC BD ，相交于点E ，连接PE设正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R ，则O 在PE 上，连接OD22(6)(6)23BD =+=，3DE ∴=3,OE R OD R =-=，222OE OD ED =-222(3)(3)R R ∴-=-，解得2R =即它的外接球的表面积为24216ππ⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查了多面体的外切球问题以及求球的表面积，属于中档题. 12．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，0a >，则b =( ) A ．ln a a B ．2ln a aC ．1aD ．ln aa【答案】A【解析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，求解即可. 【详解】设切点为()()00,1x a x +()00x f x e a '==，0ln x a ∴= ()()001f x a x =+ ()0001x x e b e x ∴+=+即0ln 0ln ln x a b x ea e a a ==⋅=故选：A 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.二、填空题13．函数ln(3)y x =-的零点是______. 【答案】4【解析】解方程ln(3)0x -=，即可得出答案. 【详解】ln(3)0x -=，解得4x =则函数ln(3)y x =-的零点是4 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了求函数的零点，属于基础题.14．数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则n a =______.【答案】12n -【解析】由1121n n S --=-，由()12n n n a S S n -=-≥，即可得出n a .【详解】21n n S =-()11221n n S n --∴=-≥()1112222n n n n n n a S S n ---==∴--=≥，经检验1n =也适合，则12n n a故答案为：12n - 【点睛】本题主要考查了由n S 与n a 的关系求通项公式，属于中档题.15．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量()3/y mg m 与时间t(h)的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示），实验表明，当药物释放量()30.75/y mg m<对人体无害. （1）k =______；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过______分钟人方可进入房间.【答案】2 40 【解析】（1）由12t =时，1y =，即可得出k 的值； （2）解不等式组10.75122tt ⎧≥<⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即可得出答案.【详解】（1）由图可知，当12t =时，1y =，即11212k k =⇒=⨯ （2）由题意可得10.75122tt ⎧≥<⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得23t >则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过260403⨯=分钟人方可进入房间. 故答案为：（1）2；（2）40 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题.16．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=______.【答案】3-【解析】当直线AB 的斜率不存在时，得出,A B 的坐标，根据数量积公式得出3OA OB ⋅=-，当直线AB 的斜率存在时，设:AB y kx k =-，并与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可得出3OA OB ⋅=-. 【详解】由题意得，(1,0)F当直线AB 的斜率不存在时，(1,2),(1,2)A B -，则112(2)3OA OB ⋅=⨯+⨯-=- 当直线AB 的斜率存在时，设:AB y kx k =-，()()1122,,,A x y B x y 由24y kx ky x=-⎧⎨=⎩，得2440ky y k --= 所以124y y =-，()21212116y y x x==即1212143OA OB x x y y ⋅=+=-=- 综上，3OA OB ⋅=- 故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的交点问题以及数量积的计算，属于中档题.三、解答题17．已知函数()cos f x x x =-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()1f A =，a =2c =，求边b 的长和C ∠的大小. 【答案】（1）22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）1b =，2C π∠=. 【解析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的单调性得出函数()f x 的单调递增区间；（2）由()1f A =，得出3A π=，由余弦定理得出b ，再根据勾股定理得出C ∠的大小.【详解】（1）()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-≤-≤+（k z ∈）则22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）为函数()f x 的单调递增区间； （2）由()1f A =，得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3A π= 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，将3A π=，3a =，2c =代得2210b b -+=， 即1b =，又3a =，2c =，即222+=a b c∴2C π∠=综上，1b =，2C π∠=.【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及利用余弦定理解三角形，属于中档题. 18．为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.男 女 总计 合格 不合格 总计（1）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？（2）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，求这2个学生性别不同的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ n a b c d =+++【答案】（1）列联表见解析，有；（2）815. 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算2K 即可作出判断； （2）利用列举法以及古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）根据茎叶图可得2240(1041016)360 3.956 3.8412614202091K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯知有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关.（2）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，分别用A ，B ，C ，D 和E ，F 表示基本事件为：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共有15个其中性别不同的基本事件有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF共8个所求概率为815.【点睛】本题主要考查了独立性检验解决实际问题以及计算古典概型问题的概率，属于中档题. 19．如图，在直角梯形ABCD中，//AB DC，90ABC∠=︒，22AB DC BC==，E 为AB的中点，沿DE将ADE∆折起，使得点A到点P位置，且PE EB⊥，M为PB 的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）.（1）证明：平面EMN⊥平面PBC；（2）设三棱锥B EMN-和四棱锥P EBCD-的体积分别为1V和2V，当N为BC中点时，求12VV的值.【答案】（1）证明见解析；（2）18.【解析】（1）利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质得出EM BC⊥，再由面面垂直的判定定理证明平面EMN⊥平面PBC；（2）求出三角形EBN和正方形EDBC的面积比，由点M，P到平面EBCD的距离之比，结合棱锥的体积公式，即可得出12VV的值.【详解】（1）证明：∵PE EB⊥，PE ED⊥，EB ED E=，,EB ED⊂平面EBCD∴PE⊥平面EBCD又BC⊂平面EBCD，∴PE BC⊥BC EB⊥，,PE BE⊂平面PEB，PE BE E⋂=∴BC⊥平面PEBEM⊂平面PEBEM BC∴⊥由PE EB=，PM MB=知EM PB⊥又,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B =EM ∴⊥平面PBC又EM ⊂平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面PBC （2）∵N 为BC 中点∴1124EBNEBCDEB BNS S EBBC ∆⋅==⋅， 点M ，P 到平面EBCD 的距离之比为12∴12111113122483EBC EBCD SV V S ∆=⋅=⋅=【点睛】本题主要考查了证明面面垂直以及棱锥体积的有关计算，属于中档题.20．椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，它的四个顶点构成的四边形面积为22（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；（2）设点()02,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，由PM OM ⊥，PN ON ⊥，结合斜率公式化简得出110220x y y --=，220220x y y --=，即()11,M x y ，()22,N x y 满足0220x yy --=，由0y 的任意性，得出直线MN 恒过一个定点(1,0). 【详解】（1）依题意得22212222 222a bca bca⎧⎪=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得22221ab c⎧=⎨==⎩即椭圆C：2212xy+=；（2）设点()02,P y，()11,M x y，()22,N x y其中22112x y+=，22222x y+=由PM OM⊥，PN ON⊥得1011112y y yx x-⋅=--，2022212y y yx x-⋅=--即221111020x y x y y+--=，222222020x y x y y+--=注意到22112x y+=，22222x y+=于是110220x y y--=，220220x y y--=因此()11,M x y，()22,N x y满足220x yy--=由0y的任意性知，1x=，0y=，即直线MN恒过一个定点(1,0).【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.21．已知函数()xf x axe=（a R∈，0a≠），()ln1g x x x=++.（1）讨论()f x的单调性；（2）当1a=时，证明：对任意的0x>，()()f xg x≥恒成立.【答案】（1）见解析（2）证明见解析.【解析】（1）由导数证明单调性即可；（2）构造函数()()()ln1xF x f x g x xe x x=-=---，利用导数证明不等式即可. 【详解】（1）()(1)x f x a x e '=+当0a >时，()01f x x '>⇒>-，()01f x x '<⇒<-()f x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；当0a <时，()01f x x '>⇒<-，()01f x x '<⇒>-()f x ∴在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减.（2）令()()()ln 1xF x f x g x xe x x =-=---（0x >）则11()(1)1(1)xx F x x e x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭ 令1()xx e xϕ=-，显然()x ϕ在(0,)+∞上单调递增注意到1202ϕ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10e ϕ=-> 于是存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00010xx e x ϕ=-=可知()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增∴()0min 000000001()ln 110x F x F x x e x x x x x x ==---=⋅-+-= ∴()0F x ≥，即0x >，()()f x g x ≥综上，当1a =时，对任意的0x >，()()f x g x ≥恒成立. 【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数单调性以及不等式的恒成立问题，属于中档题. 22．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=，直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是θα=（ρ∈R ）和2πθα=+（ρ∈R ），其中k απ≠（k z ∈）.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点A ，B ，求OAB ∆的面积最小值.【答案】（1）24x y =；（2）16.【解析】（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；（2）利用极径的几何意义，联立曲线C ，直线1l ，直线2l 的极坐标方程，得出||,||OA OB ，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出OAB ∆的面积最小值.【详解】（1）曲线C ：2cos 4sin 0ρθθ-=，即22cos 4sin 0ρθρθ-=化为直角坐标方程为：24x y =；（2）2cos 4sin 0ρθθθα⎧-=⎨=⎩124sin cos αρα⇒=，即124sin ||cos OA αρα== 同理2224sin 4cos 2||sin cos 2OB πααρπαα⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ∴22114sin 4cos 816||||1622cos sin sin cos |sin 2|OAB S OA OB ααααααα∆==⋅==≥ 当且仅当sin21α=，即4k παπ=+（k z ∈）时取等号即OAB ∆的面积最小值为16 【点睛】本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题. 23．已知关于x 的不等式||20x m x +-≤解集为[)1,+∞（0m >）. （1）求正数m 的值；（2）设,,a b c +∈R ，且a b c m ++=，求证：2221a b c b c a++≥.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】（1）将不等式||20x m x +-≤化为22x x m x -≤+≤，求解得出x m ≥，根据解集确定正数m 的值；（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出22a a b b≥-，22b b c c ≥-，22c c a a ≥-，三式相加，即可得证. 【详解】（1）解：不等式||20x m x +-≤，即不等式||222x m x x x m x +≤⇔-≤+≤∴3x m m x ≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，而0m >，于是x m ≥依题意得1m =（2）证明：由（1）知1a b c ++=，原不等式可化为222a b c a b c b c a++≥++ ∵,,a b c +∈R ，222a b ab +≥∴22a a b b≥-，同理22b b c c ≥-，22c c a a ≥-三式相加得222a b c a b c b c a++≥++，当且仅当a b c ==时取等号综上2221a b c b c a++≥.【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.。
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解：（I ）曲线 C ： cos2 4sin 0 ，即 2 cos2 4 sin 0
化为直角坐标方程为： x2 4 y
……………………5 分
（Ⅱ）法
1：
cos2
4 sin
0
1
4 sin cos2
，即
OA
1
4 sin
cos2
同理 OB 2
4 sin()
cos
2
2 ()
2
4 cos sin2
由 y0 的任意性知, x 1, y 0 , 即直线 MN 恒过一个定点 (1, 0) . ……………………12 分
法 2：设点 P(2, y0 ) , 过点 P 且与圆 x2 y2 2 相切的直线为 PM , PN , 切点分别为 M , N, 由圆
2
的知识知, M , N 是圆以 OP 为直径的圆 (x 1)2 ( y y0 )2 12( y0)2 和圆 x2 y2
0)
x2
4 y
x2
4kx
y kx
0, x1
0, x2
4k，得 OA 1 k 2 x1
x2 4 k 1
k2
同理 OB 4
1 1 k
( 1 )2 k
4
1k2 k 2
∴ SOAB
1 2
OA
OB
1 4k 1 2
k 2 4
1k 2 k2
8 k 2 1 8( k k
1 ) 16 k
当且仅当 k 1 ，即 k 1时取等号 k
即 OAB 的面积最小值为16
……………………10 分
23. （本小题满分 10 分）选修 4- 5：不等式选讲
（Ⅰ）解：不等式 x m 2x 0，即不等式 x m 2x 2x xm 2x
x m
∴
x
m 3
，而
m
0
，于是
x
m
依题意得 m 1
……………………5 分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 a b c 1，原不等式可化为
∴ xex exln x x l n x 1,当且仅当 x ln x 0 时取等号
∴当 a 1时, 对任意的 x 0 , f (x) g(x) 恒成立
……………………12 分
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22. （本小题满分 10 分）选修 4- 4: 坐标系与参数方程
a2 b2 c2 a b c
bca 法 1：∵ a,b, c R+ ， a2 b2 2ab
∴ a2 2a b ，同理 b2 2b c ， c2 2c a
b
c
a
三式相加得 a2 b2 c2 a b c ，当且仅当 a b c 时取等号 bca
综上
a2 b2
c2
1
bca
……………………10 分
当 a 0 时, f (x) 在 (, 1) ( 1, ); 当 a 0 时, f (x) 在 (, 1) ( 1, ).
……………………5 分
( Ⅱ) 法 1： f (x) g(x) ，即 xex x ln x 1(x 0)
令 F(x) xex x l n x 1( x 0) ，
则 F(x) (x 1)ex 11(x 1)(ex 1)
解:
（I
）依题意得
1 2
2a
2b
2
2
,
解得
b2
a2 c2
2 1
cபைடு நூலகம்2 a2
即椭圆 C : x2 y2 1 2
……………………5 分
（Ⅱ）（II ）法 1：设点 P(2, y0 ) ， M (x1, y1), N(x2, y2 ),
其中 x12 y12 2, x22 y22 2 ，由 PM OM ，
即 b 1,又 a 3, c 2 ,即 a2 b2 c2 ,∴ C 2
综上, b 1, C 2
……………………12 分
法
2:
由正弦定理得
a sin
A
c sin C
,
即
3 sin
2 sin C
,
得 sin
C
1 ,
即
C
2
3
由勾股定理得 b c2 a2 22 ( 3)2 1
综上,
b 1, C
2
18. （本小题满分 12 分）
解：( I ) 根据茎叶图可得
……………………12 分
K 2 40(104 10 16)2 360 3.956 3.841 2614 20 20 91
知有 95 0 0 以上的把握认为“性别” 与“问卷结果”有关.
……………………6 分
( Ⅱ) 从茎叶图可知, 成绩在 60 分以下( 不含 60 分) 的男女学生人数分别是 4 人和 2 人, 分别用 A, B, C, D 和 E, F 表示, 基本事件为: AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF,CD,CE,CF, DE, DF, EF 共有15 个, 其中性别不同的基本事件有 AE, AF, BE, BF,CE,CF, DE, DF 共 8 个, 所求概率为 8 .
所以 a2 1 b2 1 c2 1 a2 1 b2 1c21 , 即a2 b2 c2 a b c b c a b b c bca
综上 a2 b2 c2 1（当且仅当 a b c 1时取等号） ……………………10 分
bca
3
5
15
1
……………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
( I ) 证明: ∵ PE EB , PE ED, EB ED E ∴ PE 平面 EBCD 又 PE 平面 PEB , ∴平面 PEB 平面 EBCD
而 BC 平面 EBCD , BC EB , ∴平面 PBC 平面 PEB 由 PE EB, PM MB 知 EM PB ,可知 EM 平面 PBC 又 EM 平面 EMN , ∴平面 EMN 平面 PBC ……………………6 分
0
∴ F(x) 0 ,即 x 0 , f (x) g(x)
综上，当 a 1时，对任意的 x 0 , f (x) g(x) 恒成立. ……………………12 分
法 2:先证 ex x 1,令 h(x) ex x 1,则 h(x) ex 1 ex e0,知 h(x) 在 (, 0) ,
(0, ) ,于是 h(x) h(0) 0 ,即 ex x 1
2
2
点,
由
(x
1)2
( y
x2 y2 2
y0 )2 12( y0)2 消去二次项得直线 MN 方程为
2
2
2 2x y0 y 0, 由 y0 的任意性知, x 1, y 0 , 即直线 MN 恒过一个定点 (1, 0) .
……………………12 分
2 的两个交
21．（本小题满分 12 分）
解: （I） f (x) a(x 1)ex
解: ( I ) f (x) 3 sin x cos x 2sin(x ) 6
令 2k x 2k (k z) , 则[2k, 2k 2 ](k z) 为函数 f (x) 的单调递
2
6
2
3
3
增区间
……………………6 分
( Ⅱ) 由 f (A) 1, 得 sin( A ) 1 ,即 A
62
3
法 1:由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A,将 A , a 3, c 2代入得 b2 2b 1 0, 3
PN ON 得 y1 y0 y1 1,y2 y0 y2 1
x1 2 x1
x2 2 x2
即 x12 y12 2x1 y1y0 0,x22 y22 2x2 y2 y0 0
注意到 x12 y12 2, x22 y22 2 ，
于是 2 2x1 y1y0 0, 2 2x2 y2 y0 0
因此 M (x1, y1), N(x2, y2 ) 满足 2 2x yy0 0
3
∴ SOAB
1 2
OA
OB
1 2
4 sin cos2
4sicno2s
8 sin cos
16 sin 2
16
当且仅当 sin 21，即k (k z) 时取等号 4
即 OAB 的面积最小值为16
……………………10 分
法
2：显然 l1
l2 ，设直线 l1
:
y
kx
，直线 l2
:
y
1 x k
(k
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）
文科数学参考答案
一、选择题：BCDAC DCACB CA
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置.
13. 4
14. 2n1
15. 2, 40
16. 3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分）
x
x
令(x) ex 1 ，显然(x) 在 (0, ) ，注意到(1) e 2 0, (1) e 1 0 ，于是存
x
2
在
x0
(
1 2
,1)
使得
(
x0
)
ex0
1 x0
0，可知 F(x) 在 (0, x0 )
, (x0, )
∴ F (x)min F (x0 ) x0ex0
x0 lnx0
1
x0
1 x0
x0 x0 1
法 2：由柯西不等式得1 a b c a b b c c a
b