勾股总复习
《勾股定理》复习课件ppt
答案5
根据勾股定理和相似三角形的性质，BD² = AB² - AD² = AC² + BC² - (AC + CD)² = 4² + 6² - (4 + 2)² = 20。 所以 BD = √20 = 2√5。
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勾股定理公式
a² + b² = c²，其中a和b是直角三 角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的证明方法
欧几里得证明法
利用相似三角形的性质和比例关系， 通过一系列的逻辑推理证明勾股定理 。
毕达哥拉斯证明法
利用正方形的性质和勾股定理的关系 ，通过构造两个正方形证明勾股定理 。
勾股定理的应用场景
实际问题求解
要点一
勾股定理在三维空间的应用
要点二
勾股定理在三维空间的应用示例
勾股定理不仅适用于平面图形，还可以应用于三维空间中 的几何体。
在解决三维几何问题时，可以使用勾股定理来计算空间几 何体的边长或体积。
04
勾股定理的解题技
巧和策略
利用勾股定理求边长
总结词
勾股定理是解决直角三角形问题的重要工具 ，通过已知两边长，可以求出第三边长。
详细描述
勾股定理公式为$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$为斜边长，$a$和$b$为直角边长。已知 $a$、$b$和$angle C = 90^circ$，可以通
过勾股定理求出第三边长$c$。
利用勾股定理证明三角形为直角三角形
总结词
勾股定理也可以用来证明一个三角形是否为直角三角形。
详细描述
勾股定理复习课件理的回顾 • 勾股定理的常见题型解析 • 勾股定理的变式和推广 • 勾股定理的解题技巧和策略 • 勾股定理的练习题和答案解析
勾股定理全章综合复习
勾股定理全章综合复习A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2)已知a, b, c为厶ABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形(3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )2 2 2A. a: b: c=8 : 16 :仃B. a - b =cC. a2=(b+c)(b-c)D. a: b: c=13 : 5 : 12(4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形(5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为________(6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。
例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
(2)已知三角形三边的比为1 : 3 : 2,则其最小角为。
考点三：勾股定理的应用例1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3）（2）如图，△ ABC 为直角三角形，分别以 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积 关系，可得（ ） A. S 1+ S 2> S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S ID.以上都不是 （3 ）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个 正三角形，其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关 系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+Sv S 1D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形ED.（图AB, BC47 2)例2:求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为______mm．（2）如图2，直线l上有三个正方形a b c，，，若a c，的面积分别为5和11，则b的面积为（）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16 Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C++∠∠∠的度数．解：连结1801506060ABC图1abc图21A2A3A4A5A5E2E11114C1A2A3A4A5A5E2E11114C3C2C图332A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理，得：224532215C E C E =+==，2245324117A E A E =+==，44332A C A C ==，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠ 122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力． 专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =； （C ）222c a =； （D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7.5米； （C ）12米； （D ）8米AB C4、下列说法中正确的有（）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)n n n n-+>，则ABC是直角三角形。
勾股定理专题复习及题型讲解
勾股定理复习一、要点精练 （一）勾股定理1、(填空题)已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________。
2、(填空题)已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
3、 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）（A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,64、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A ）22d S d + （B 2d S d - （C ）222d S d + （D ）22d S d + 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+. 所以22a b d S +=+所以a b c ++=222d S d ++. 故选（C ）5、直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91 解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()222a b a b a +=-+. 整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b . 因为只有81是3的倍数.故选（C ）6、在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.7、直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91（二）勾股定理的验证及其验证过程的相关应用1、下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2. ④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2、（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+72 3、如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.解:根据题意，有123S S S +=，即222111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.整理,得222a b c +=.故此三角形为直角三角形.4、如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S = 解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =． 5．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==，则斜边AB 之长为______. 解： AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已知，图55,25AD BE ==，所以222240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加，得()225654x y +=，所以2252213.AB x y =+==（三）勾股定理的应用1、在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125-=，所以这个直角三角形的面积为1125302⨯⨯=.2、如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得 22222.50.7 2.4AC AB BC =-=-= 由12.4,0.4AC AA ==,得11 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中, 由勾股定理,得222211112.52 1.5B C A B AC =-=-= 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-=故选(C)3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.解：由勾股定理，知最短距离为()()222288210BD AC AB CD =+-=+-=.4、（四）直角三角形的判别图11、下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是A 、a=2，b=3,c=4B 、a=7,b=24,c=25C 、a=6,b=8,c=10D 、a=3,b=4,c=52、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是ο30，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定 3、4、如图，在等腰直角ABC ∆的斜边上取异于C B ,的两点F E ,,使,45ο=∠EAF 求证：以CF BE EF ,,为边的三角形是直角三角形。
第十八章 勾股定理总复习
第十八章勾股定理总复习：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DACA B D人教版八年级下册勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。
2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。
4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。
5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。
练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ． 故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝， 故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝ ．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。
期末复习(二) 勾股定理
解：根据题意，得 ， .又 ， .又 ， .
（2） 的度数.
[答案] ， ， ， ， 为直角三角形， .由（1）得 为等腰直角三角形， ， .
重难点3 勾股定理在实际生活中的应用
【例3】如图，高速公路的一侧有 ， 两个村庄，它们到高速公路所在直线 的距离分别为
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
解：这个零件符合要求. ， ， . .又 ， ， . .
（2）求这个零件的面积.
[答案] 由（1）知 ， ，∴这个零件的面积为 .
19.（12分）给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
A
A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
第5题图
5.如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中
C
A. B. C. D.
第7题图
7.图1是由边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2所示的正方体，则图1中正方形的顶点 , 在图2围成的正方体中的距离是( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在 中， 于点 ， ， ， ，则 的为( )
B
A. B. C. D.
3.图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高 ，连杆 ，灯罩 .如图2，转动 ， ，使得 成平角，且灯罩端点 离桌面 的高度 为 ，求 的距离.
解：过点 作 于点 . ， ，∴四边形 为矩形. ， . ， ，
∴在 中， . 的距离为 .
勾股定理复习与提升
01
利用相似三角形的性质、四边形面积公式、向量等不同方法证
明勾股定理。
勾股定理的变形
02
在解决实际问题时，可以根据需要将勾股定理进行变形，如$(c-
a)^2 + b^2 = c^2$等。
勾股定理的应用范围
03
勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到任意三角形和
多边形中。
勾股定理的易错点与注意事项
勾股定理在物理学中的应用
力学分析
光学分析
在力学分析中，勾股定理可以用来确定物 体的运动轨迹、速度和加速度等参数，以 确保物体的运动状态和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为的正确性。
在光学分析中，勾股定理可以用来确定光 的传播路径、折射率和反射率等参数，以 确保光的传播特性和行为的正确性。
电磁学
在电磁学中，勾股定理可以用来确定电磁 波的传播方向、幅度和相位等参数，以确 保电磁波的传播特性和行为的正确性。
02 勾股定理的拓展
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三边满足勾股定理的关系，那么这个三 角形是直角三角形。具体来说，如果$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$和$b$是直角 三角形的两条直角边，$c$是斜边，那么这个三角形是直角三角形。
证明方法：假设三角形ABC是直角三角形，且角C是直角。那么根据勾股定理，我们 有$a^2 + b^2 = c^2$。如果$a^2 + b^2 neq c^2$，则说明角C不是直角，与 假设矛盾。
勾股定理在几何图形中的应用
在几何图形中，勾股定理的应用非常广泛。例如，在直角三角形中，可以利用勾股定理来求解直角三角形的角度或边长；在 等腰三角形中，可以利用勾股定理来证明底边的垂直平分线就是高线；在矩形中，可以利用勾股定理来证明矩形的对角线相 等。
勾股定理专题复习
专题复习一 勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题归类：专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
八年级上册第一章《勾股定理》复习要点
八年级上册第一章《勾股定理》复习要点知识点一：勾股定理要点：⑴.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，⑵.历史文化： 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。
⑶格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 =82 +152 =64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17【典例精析】1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．3．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形， 这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c2＝ ＋ ．化简后即为 c 2＝ ．知识点二：直角三角形的判别要点; *如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。
（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）【典例精析】1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A.5、6、7 B.1、4、9 C.5、12、13D.5、11、12A C 160bc图1－1 2、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶1553、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。
4、将直角三角形的三条边同时扩大4倍后，得到的三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？知识点三：勾股定理的综合应用【典例精析】1、如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD 的长。
勾股定理知识点及复习题
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S = 4 - ab c^ 2ab c 22大正方形面积为 S =(a - b)2=a 22ab - b 2化简可证方法三：S 弟形=-(a b) (a b)2S 弟形1 1=2S ADE • S ABE =2 — ab — C 2，化简得证3 .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角 这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明存在的数量关系，它只 三角形的三边就不具有 了所考察的对象是直角勾股定理的复习—、勾股定理的内容1、 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2、 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2亠b 2 =c 23、 证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是用拼图的方法验证勾股定理思路：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式推导出勾股定理4 1 ab (b -a)2=c 2，化简可证： a? - b =c 22方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.三角形4 .勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
在AABC 中, /C=90，贝V c = . a 2■ b 2, b = ,c 2—a 2, a = .c 2-b 2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题(注：在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜 边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)， 构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.)5、在数轴上作出表示、n (n 为正整数)的点.ab易错点：(1)已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论.(2)另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；使用勾股定理的前提是直角三角形；(2)在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；例3.若（二）、例题解析 考点一：已知两边求第三边 例1 .在 ABC 中，.C =90 . ⑴已知 AC =6， BC =8 .求AB 的长 ⑵已知AB =17, AC =15，求BC 的长例4:在Rt △ ABC 中, a , b , c 分别是三条边, 求边长c . 剖析：由于审题不仔细，容易忽视了/B=90°错把c 当成了斜边.温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用 c2=a2+b2例2.如图，由Rt △ ABQ 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm,则正方形M 与正方形N 的面积之和为 ______________ cm 2a 、b 、c, a 2 =144,b 2 =25,则c 2 二 ______________例5:已知一个Rt △ ABC 的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是 剖析：此题并没有告诉我们已知的边长 4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论.温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论.例6：已知a,b,c 为/ ABC 三边，a=6, b=8, b<c ，且c 为整数，则c= 剖析：此题并没有告诉你/ ABC 为直角三角形，因此不能乱用勾股定理.正解：由b<c ，结合三角形三边关系得 8vcv6+8，即8vcv14，又因c 为整数，故c 边 长为 9、10、11、12、13.温馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中 是否为直角三角形.例2.已知两线段的长为6cm 和8cm 当第三条线段取 ___________________ 时，这三条线段能组 成一个直角三角形。
勾股定理考前总复习
【勾股定理】考点一：勾股定理的直接应用例1（1）△ABC中，c=3,a2+b2+c2=(2)△ABC中, a2+b2+c2=50,c=例2．把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的几倍？（）A、2B、4C、3D、5例3.正方形的面积是2，它的对角线长为（）A、1B、2 C D、2例4将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如右图所示，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（）A、h≤17cmB、h≥8cmC、15cm≤h≤16cmD、7cm≤h≤16cm例5.有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m例6在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则ABC的周长多少例7:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?例8如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．例9、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
考点二：勾股树例1．如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长 为8cm ，则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm例2．如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______例3、(2009·湖州中考)如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．例4、（2009·宜宾中考）已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 例5（在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则1S考点三：求第三条边长的双解问题例1．若Rt ABC 中，90C ︒∠=且c=37,a=12，则b=（ ） A 、50 B 、35 C 、34 D 、26例2．已知两线段的长为6cm 和8cm ，当第三条线段取 时，这三条线段能组成一个直角三角形。
勾股定理总复习
勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（C为斜边最长，c＞a，c＞b ）注释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。
（3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2，a2=c2－b2， b2=c2－a23.图形解释：4.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数成为勾股数.例如：（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（7，24，25）注释：勾股数的每一项的整数倍的组合也是勾股数，例如（3，4，5）的二倍（6，8，10）同样也为勾股数。
知识点一：已知两边求第三边1．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边①若a＝5，b＝12，则c＝________；②若c＝41，a＝40，则b＝________；③若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________ ,a：b：c＝ .2. 在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．3. 已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= 。
5. 如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3，则AB的长是多少?总结：在应用勾股定理进行计算时，一定要分清哪条是直角边哪条是斜边。
【同步训练一】1. 在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)若∠A=30°，a=1，则c=________,b=_________；(4)若∠A=45°，a=1，则c=________,b=_________2．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．3．已知直角三角形的两边长为6、8，则另一条边长是________________．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB= 。
18章__勾股定理总复习
2、等腰三角形两底角相等
有两个相等角的三角形是等腰三角形 的逆命题： 。
勾 股 数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
1、在直角三角形ABC中,∠C=90°，
（１）已知ａ：ｂ＝３；４，ｃ＝２５， 求ａ和ｂ
（２）已知∠Ａ＝３０°ａ＝３，求
ｂ和ｃ
（３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８， 求ａ和ｂ
２、直角△的两边长为８和１０，求第三 边的长度．６或 164
３、已知等边三角形的边长为２厘米， 则它的高为 ，面积为 ．
４、判断以线段ａ、ｂ、ｃ为 边的△ＡＢＣ是不是直角△
（１）a= 7 ,b= 3 ,c=2
(2)a=9
b=8 C=6
５．请完成以下未完成的勾股数： 24 17 （1）8、15、_______；（2）10、26、_____． ６．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是 2.4 _______． ７长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能搭成(首尾连接)直 角三角形的个数为( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米 1.5米
2.2米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
D
A
C
B
小明想要检测雕塑底座正 面的 AD 边和BC边是否分别 垂直于底边AB,但他随身只带 了卷尺.
(1) 你能帮助小明解决这个问题 吗?
D
A
C
B
小明想要检测雕塑底 座正面的 AD 边和BC边是 否分别垂直于底边AB,但他 随身只带了卷尺. (2) 小明量得AD长是30 厘米,AB长是40厘米, BD 长是50厘米，AD边垂直 于AB边吗?为什么？
勾股定理总复习
特殊直角三角形——三角尺问题
等腰直角三角形：三角比1:1:2；三边比1:1:
在△ABC中，∠C=90°，AC= BC，则
C
1
∠A=∠B=45°，AB=
AC=BC=AB/ =
AC=
BC
1
B :2
AB/2
A
含30 °的直角三角形：三角比1:2:3；三边比1: 在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=60° AB=2BC；BC=AB/2 AC= AB= 2 BC；BC=AC/ AC/3；AC= = AC/3 AB /2. C B 1
勾股定理
变式：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b， 斜边长为c，那么a2=c2-b2 或 b2=c2-a2 c a 即有： b 习题：如图，△ABC中，∠C=90°， AB垂直平分线交BC于D 若BC=8， AD=5，求AC的长。
已知等腰三角形的腰长为6，高为4，求它的底边长。 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方 是( ) （A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25
习题：在数轴上作出表示
的点。
直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边是多少？ 作法：(如图)在数轴上找出表示3的点A，则OA=3， 过点A作直线l垂直于OA， 在l上取点B，使AB=2，
1 l 1B 1 1
A C O 1 2 3
习题：在数轴上作出表示 习题：在数轴上作出表示
+1 的点。 的点。
直角三角形的判定——勾股定理的逆定理
2
A
特殊直角三角形——三角尺问题
习题：如图，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在 一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一 边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30度角，则三角板的最大边的长为_____。
勾股定理
勾股定理——总复习一、基础训练：1、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若===c b a 则,4,3 。
2、下列各组数列作为三角形三边，不是勾股数的有 。
（1）0.3、0.4、0.5；（2）4、5、6；（3）8、15、17；（4）6、8、10；3、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的20倍，则其斜边扩大到原来的（ ）A 、19倍B 、20倍C 、21倍D 、40倍4、如图，隔湖有A 、B 两点，从与BA 方向成直角的BC 方向上的C 点测得CA=10千米，CB=6千米，AB= 千米。
5、有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是12米，高是5梯子，正好到A 点的正上方B 点，则梯子最短要 米？二、知识点小结1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用b 、c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 。
2、如果三角形的三边长a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形就是直角三角形。
三、课堂练习：1、一个直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为 。
2、如图，斜边为17cm ，一条直角边长为15cm 的直角三角形的面积是多少？15cm3、如图，某人为横渡一条河，由于水流影响，实际上岸地点C 偏离到达点B ，BC=400m ，结果他在水中实际游了500m ，则该河流的宽度是多少？B 400m C500mA4、一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则，旗杆折断前高多少米？5、已知在三角形ABC 中，∠A=450,AC=6、如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4，在底面A 处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A 相对的B四、课堂小结：1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a 、b 、c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+。
2、如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形就是直角三角形。
五、作业布置：完成复习报第4版。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第18章 勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 证．方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边cbaHG F ED C BAbacbac cabcab a bc cbaE D CBA在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。
第十八章勾股定理
用心 爱心 专心 1第十八章 勾股定理总复习一．主要知识点 １．勾股定理如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理cbaHG F EDCBAbacbac cabcaba bcc baED CBA法一 法二 法三 方法一：4E F G H S S S ∆+=正方形正方形A B C D，2214()2a b b a c⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S a b ca b c=⨯+=+大正方形面积为222()2S a b aa b b=+=++所以222a bc+=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222A D E AB E S S a b c∆∆=+=⋅+梯形3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c+=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等,当他们同时扩大n 倍时，仍可组成直角三角形。
4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c+=，那么它是直角三角形，其中c 为斜边。
二．巩固练习1. 在长方形ABCD 中，已知BC=10cm ，AB=5cm ，则对角线BD= cm 。
2. 如图，在正方形ABCD 中，对角线为22，则正方形边长为 。
3. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的 。
4. 三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是 三角形。
5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米。
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勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和. 从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
③作长为n 的线段。
（利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
） 2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c ）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。
若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。
（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。
如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数）② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
（2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练.二、本章解题技能归纳1、直角三角形的性质与判定小结 （1）直角三角形的性质：角的关系：直角三角形两锐角互余。
边的关系：直角三角形斜边大于直角边。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
双垂图：双垂图中的线段关系。
（2）直角三角形的判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。
2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c ，由勾股定理知道：222c b a =+。
变形得：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。
3、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边 （1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：2:3。
（2）含有45°的直角三角形的三边的比为：2:1:1。
（3）等边三角形的边长为a ，则高为23a ，面积为243a 。
三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”（1 如左图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积S1,S2,S3有什么关系？ 答：（2）如图：∠C=90°，△ABC 的面积为20，在AB 的同侧，分别以AB,BC,AC 为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为勾股定理知识技能和题型归纳（二）——题型一、基础练习（要求熟练掌握）1、在ΔABC 中，a ,b ,c 为三边长.(1)当∠A =90°时，三边关系 . (2)当∠C =90°时，三边关系 .(3)当222b c a =+时， =90°.2、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC=a,AC=b,AB=c . （1） 已知a =5,b =12,则c = ; （2） 已知b =6,c =10, 则a = （3） 已知a =2,c =5,则b = ；（4） 已知a =15,b=20, 则△ABC 的周长= ； （5） 已知a =2, c =2.5, 则△ABC 的面积= ； （6） 已知a : c =3:5, a + c =32, 则b = ;（7） 已知c =10, a : b =3:4, 则a = , b = ，斜边上的高= 。
3、已知△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =5， 求AB 的长。
4、在△ABC 中，∠C =90°，AB =20。
（1）若∠B=45°，求BC 、AC 。
（2）若∠A =60°，求BC 、AC 。
5、求下列图中未知数x 、y 、z 的值：x= ;y= ; z = ;ba二、与其它章节知识的联系6、在△ABC 的三边 c b a ,,，且442222b ac b c a -=-，判断△ABC 的形状。
7、若△ABC 的三边c b a ,,满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，判断 △ABC 的形状。
8、△ABC 的三边c b a ,,，满足c a b b a ,161210022+=++边的长是55352-+=-x x x 的解，求△ABC 中最大角的度数。
9、用本章学过的知识判断直线33+=x y 与331+-=x y 的位置关系，说明理由。
10、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？11、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
12、如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25千米，C、D为两个村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15 千米，CB=10千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E的的距离相等，则E应建在距A多少千米处？13、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最短路程是多少？码头应建在何处？三、典型数学思想、方法的训练(一)方程思想进行计算14、小明用一根长30厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下，其中一条线段的长度比较短线段长7厘米，比较长线段短1厘米，请你帮助小明判断一下，他围成的三角形是直角三角形吗？15、已知△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC、AC 的中点，AD=5，BE=102，求AB的长.16、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。
这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？17、如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求22FGAB的值．(二)构造直角三角形18、已知△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，求△ABC的面积。
19、已知△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2-2，求BC的长。
20、已知：如图，AB＝AC＝20，BC＝32，D为BC边上一点，∠DAC＝90°．求BD的长．21、（1）写出三种用“构造斜边长为7的直角三角形的方法”作长为7的线段的方案。
（2）能否通过“构造直角边长为7的直角三角形的方法” 来作长为7的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由。
DB（3）在（1）中，作长为7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7的线段，对于正整数k ，能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为k 的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。
(三)勾股定理与变换22、已知矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一平面内C '处，BC '与AD 交于点E ，AD=8，AB =4，求DE 的长。
23、（2004年荆州中考）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种证明方法。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到'''D C AB 的位置，连结'CC ，设c AC b BC a AB ===,,，请利用四边形''BCC D 的面积证明勾股定理。
1)()(231221=+h h h h 24、△ABC 中,CD 是AB 边上的中线，AC =8，BC =6，CD =5，判断△ABC 的形状。
(四)面积法:25、设321,,h h h 表示三角形的三条高，如果 ，那么这个三角形是什么三角形？26、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。
27、已知：平面直角坐标系xOy 内，点A（-），B），C (0,－3)， （1）判断ABC ∆的形状并说明理由；（2）若点D的坐标为(4)-，求BCD ∆中CD 边上的高h 的值.28.如图，已知直线133+-=x y 与x 轴、y 轴分别 交于点A 、B ,以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰RtΔABC , ∠BAC =90O ,且P (1,a )为坐标系中 的一个动点.(1)求ΔABC 的面积ABC S ∆；(2)证明不论a 取任何实数，ΔBOP 的面积是一个常数； (3)要使得ΔABC 和ΔABP 的面积相等，求实数a 的值.(五)代数计算证明几何问题:29、求证：直角三角形中两直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．30、如图△ABC 中，∠C =90°，M 是CB 的中点，MD ⊥AB 于D ，AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形。
FA 31、正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，AF =AD 41，求证：CE ⊥EF .32、（1）已知：如图，CD ⊥AB ，OA ＞OB ， 求证：①2222BC AD BD AC +=+；②2222AC BC AD BD -=-.（2）运用（1）的结论可以证明下列命题： 已知：如图，设M 是△ABC 内部任意一点， MD ⊥AB 于G ，ME ⊥BC 于K ，MF ⊥CA 于H ， BD=BE ，CE=CF ，求证：AD=AF ；AB(六)图形的割、补与拼图33、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=52，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。