【学习实践】九年级数学竞赛怎样求最值专题辅导教案
九年级数学竞赛怎样求最值专题辅导教
案
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对于（）
若a>0，则当时，；
若a<0，则当时，
．
【例题求解】
【例1】
设a、b为实数，那么的最小值是
．
思路点拨
将原式整理成关于的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设，将等式整理成关于的二次方程，利用判别式求最小值．
【例2】若，则可取得的最小值为
A．3
B．
c．
D．6
思路点拨
设，则可用只含的代数式表示，通过配方求最小值．
【例3】设、是方程的两个实根，当为何值时，有最小值，并求这个最小值．
思路点拨
由韦达定理知是关于的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量的取值范围，从判别式入手．注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：
当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．
【例4】甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、c三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供45吨，向B提供75吨，向c提供40吨．甲基地可安排60吨，乙基地可安排100吨．甲、乙与A、B、c的距离千米数如表，设运费为1元／．问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．
思路点拨
设乙基地向A提供吨，向B提供吨，这样总运费就可用含
，的代数式表示；因为0，，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值．
A
B
c
甲
5
6
乙
4
8
5
【例5】某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第天应付的养护与维修费为元．
如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维
修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗表示为使用天数的函数；按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?
思路点拨
在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数、以及在正实数范围内取值的变量，一定有，即当且仅当时，有最小值．
注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：；；（3）若，，则；若，，，则．
以上各式等号当且仅当
时成立．
学历训练
．当变化时，分式的最小值为
．
2．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为、
米．
3．已知实数、、满足，，则的最大值为
．
4．已知、、为三个非负实数，且满足，，若，则的最大值与最小值的和为
A．
B．
c．1
D．36
5．已知四边形ABcD的对角线Ac与BD相交于点o，若S△AoB=4，S△coD=9，则四边形ABcD的面积S四边形ABcD 的最小值为
A．2l
B．25
c．26
D．36
6．正实数、满足，那么的最小值为
A．
B．
c．1
D．
E．
7．启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是时，产品的年销售量将是原销售量的倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
试写出年利润S与广告费的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元?
把中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
项目
A
B
c
D
E
F
每股
5
2
6
4
6
8
收益
0．55
0．4
0．6
0．5
0．9
l
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．
8．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需
职工数和产值预测如下表：
作物品种
每亩地所需职工数
每亩地预计产值
蔬菜
100元
烟叶
750元
小麦
600元
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．
9．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm，面积为sm2．求s与x的函数关系式；
如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米?
能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
0．设、是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为
．
1．若抛物线与轴的交点为A、B，顶点为c，则△ABc的面积最小值为
2．已知实数、满足，且，则的最大值为
，最小值为
．
3．如图，B船在A船的西偏北45°处，两船相距10km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度2倍，那么A、B两船的最近距离为
km．
14．销售某种商品，如果单价上涨m％，则售出的数量就将减少，为了使该商品的销售金额最大，那么的值应该确定为
．
5．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
当每辆车的月租金定为3600元时，能租出
辆车；
设每辆车的月租金为x元，用含的代数式填空：
未租出的车辆数
租出的车辆数
所有未租出的车
辆每月的维护费
租出的车每
辆的月收益
当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?
6．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是和，它们与投入资金的关系有经验公式，．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润?
链接
课
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沪科版数学九年级上册《求最值问题》教学设计1
沪科版数学九年级上册《求最值问题》教学设计1一. 教材分析《求最值问题》是沪科版数学九年级上册的一章内容。
这一章节主要介绍了求最值问题的基本方法和技巧。
通过本章的学习，学生能够掌握一元一次不等式组、二元一次不等式组和函数的最值问题的求解方法。
教材内容主要包括最值问题的定义、求解方法、实例分析等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次不等式组和二元一次不等式组的知识，对于函数的最值问题可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已学的知识与最值问题相结合，并通过实例分析来加深学生对最值问题的理解。
三. 教学目标1.理解最值问题的定义和意义。
2.掌握一元一次不等式组、二元一次不等式组和函数的最值问题的求解方法。
3.能够运用所学知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：一元一次不等式组、二元一次不等式组和函数的最值问题的求解方法。
2.难点：函数的最值问题的求解方法。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解最值问题的定义、求解方法和相关实例，使学生掌握最值问题的求解技巧。
2.案例分析法：通过分析实际案例，引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对最值问题的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，内容包括最值问题的定义、求解方法和相关实例。
2.案例材料：准备一些实际案例，用于引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对最值问题的理解和掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入一些实际问题，引发学生对最值问题的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最值问题的定义和意义，介绍一元一次不等式组、二元一次不等式组和函数的最值问题的求解方法。
3.操练（10分钟）给出一些实例，让学生运用所学知识解决实际问题。
引导学生通过小组讨论和合作，共同解决问题。
4.巩固（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成。
通过练习，巩固学生对最值问题的理解和掌握。
求最值问题-沪科版九年级数学上册教案
求最值问题-沪科版九年级数学上册教案1. 教学目标1.1 知识目标通过本节课的学习，学生将掌握以下知识：1.掌握求最值问题的基本概念和解题方法。
2.能够运用最值问题求解实际问题。
1.2 能力目标1.培养学生的解决问题的能力和创新思维能力。
2.培养学生的数学运算能力和计算机应用能力。
2. 教学重难点2.1 教学重点1.求最大值和最小值的概念及其解题方法。
2.运用求最值问题解决实际问题。
2.2 教学难点1.拓展学生对求最值问题思路的拓展。
2.培养学生对求最值问题的自主发现和创新思维。
3. 教学过程3.1 操作性教学•在教学一开始，教师向学生介绍求最值问题的概念，提出“找最大的和最小的”这种思路，并且让学生自己练习这种思路。
•通过教师的讲解和实例的引导，学生学会了通过最值问题求解实际问题。
3.2 观察能力教学•在教学中，教师向学生展示各种实际问题，并且让学生思考如何运用最值问题求解。
让学生思考问题的过程，要关注数据量，要注意每个数据的意义和作用。
•通过对实际问题的分析和解决，让学生加深了对最值问题的认识，培养了学生的实践性和观察能力。
4. 教学评价4.1 教学效果评价•根据课堂的反馈，学生们掌握了求最值问题的基本方法。
•通过教师的引导和实际问题的分析，学生了解了最值问题的实际运用。
4.2 学生评价•学生们认为这堂课程内容容易理解，实用性很强。
•学生们对教师的引导和鼓励非常感激，感觉这节课的学习非常有意义。
5. 总结通过本节课的学习，学生们掌握了求最值问题的基本概念和解题方法，以及运用最值问题解决实际问题的能力。
同时，本节课程的教学侧重于实际问题，通过展示各种实际问题和呈现解决过程，培养了学生的实践性和观察能力。
中考数学最值问题教案
中考数学"最值"问题教案(1)课时计划：本课题共安排2课时教学目标：（1）复习中考数学中的最值问题；（2）培养学生全面的分析能力，渗透数形结合的思想。
教学重点：几何模型的最值问题。
教学难点：常见几何模型下的最值问题。
教学过程：一、导入最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用.无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
二、知识讲解“最值”问题大都归于两类基本模型：1、归于几何模型，这类模型又分为一下几种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”,凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”,凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
（3）归于“与圆相关的最值问题”2、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值三、模型分析利用几何模型求最值（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”条件：如下左图，A、B是直线同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线L的对称点A1，连结A1 B交L与点P，则PA+PB=A1 B 的值最小（不必证明）A/例1. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。
分析：首先分解此图形，构建如图模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P ，使PE+PB 最小，关键是找出点B 或E 关于AC 的对称点。
如图，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，3223DE =⨯=故PE+PB 的最小值为3。
数学竞赛初中讲解教案
数学竞赛初中讲解教案一、教学目标：1. 让学生掌握初中数学竞赛的基本题型和解题方法。
2. 培养学生解决数学问题的逻辑思维能力和创新意识。
3. 提高学生对数学竞赛的兴趣和自信心。
二、教学内容：1. 初中数学竞赛的基本题型：选择题、填空题、解答题。
2. 初中数学竞赛的解题方法：公式法、方程法、几何法、逻辑法等。
3. 初中数学竞赛的常见问题及解决策略。
三、教学过程：1. 导入：介绍数学竞赛的意义和价值，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解基本题型：选择题、填空题、解答题的解题方法和要求。
3. 讲解解题方法：公式法、方程法、几何法、逻辑法的应用实例。
4. 分析常见问题：学生遇到的常见问题及解决策略。
5. 练习与讲解：学生练习题目，老师进行讲解和指导。
6. 总结与反思：学生总结所学内容，反思自己的学习方法和策略。
四、教学评价：1. 学生能熟练掌握初中数学竞赛的基本题型和解题方法。
2. 学生能独立解决数学竞赛题目，提高解题速度和准确性。
3. 学生对数学竞赛的兴趣和自信心得到提高。
五、教学资源：1. 教学PPT：包含基本题型、解题方法、常见问题等内容。
2. 练习题目：针对不同题型和解题方法的练习题目。
3. 参考资料：数学竞赛相关的书籍和网络资源。
六、教学建议：1. 注重培养学生的逻辑思维能力和创新意识，引导学生主动探索和解决问题。
2. 鼓励学生多参加数学竞赛，提高解题能力和经验。
3. 教师要关注学生的学习进度和需求，及时进行教学调整和指导。
4. 结合现代教育技术，利用网络资源和教学软件，提高教学效果和学生的学习兴趣。
5. 定期进行教学评价，了解学生的学习情况，为教学改进提供依据。
初中数学竞赛专题选讲 最大、最小值(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大 最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-.∵在实数范围内(x+ab 2)2≥0， ∴若a>0时，当x=－a b2 时， y 最小值=a b ac 442-；若a<0时，当x=－ab2 时， y 最大值=a b ac 442-.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c －y=0. ∵x 在全体实数取值时， ∴ △≥0即b 2－4a(c －y)≥0， 4ay ≥4ac －b 2.若a>0，y ≥a b ac 442-，这时取等号，则y 为最小值a b ac 442-；若a<0，y ≤a b ac 442-，这时取等号，则y 为最大值ab ac 442-.有时自变量x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x 和y ， 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x 和y ，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).那么ab=a(k －a)=－a 2+ka=－(a －21k)2+42k .当a=2k时，ab 有最大值42k .证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+ak, a 2－ya+k=0.（这是关于a 的二次议程方程） ∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y 2－4k ≥0. ∴y ≤－2k (不合题意舍去)； y ≥2k . ∴ y 最小值=2k .解方程组⎩⎨⎧==+.2k ab k b a ， 得a=b=k .∴当a=b=k 时，a+b 有最小值 2 k .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数，求：x 2+y 2 的最大、最小值.解：由已知y 2=2362xx -, ∵y 是实数， ∴y 2≥0.即2362x x -≥0， 6x －3x 2 ≥0， x 2－2x ≤0.解得 0≤x ≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x 2+y 2=x 2+2362x x -=－21( x －3)2+29在区间0≤x ≤2中，当x=2 时，x 2+y 2有最大值 4. ∴当x=0时，x 2+y 2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.即 ⎪⎩⎪⎨⎧==+.21k ab k b a ，∴a 和b 是方程 x 2－21kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数，∴△≥0. 即(－2k )2－4k ≥0. 解得k ≥16；或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去. ∴当k ≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ，问EH 取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S 矩形=y, 则GH=xy . ∵△AHG ∽△ABC ，∴hxh a x y-= . ∴ y=4)2()(2ahh x h a h x h ax +--=-. aCE∴当x=2h时，y 最大值 =4ah .即当EH=2h时，矩形面积的最大值是4ah .例4. 如图已知：直线m ∥n ，A ，B ，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点P 在AC 上，BP 的延长线交直线m 于D.问：点P 在什么位置时，S △PAB +S △PCD 最小？ 解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b －x.∵m ∥n ，∴PA PCAB CD ＝. ∴CD=x x b a )(-S △PAB +S △PCD =21axSin α+21x x b a )(-(b －x) Sin α=21aSin α()222x x bx b x +-+=21aSin α(2x+)22b x b -. ∵2x ×x b 2=2b 2(定值)， 根据定理二，2x +x b 2有最小值.∴ 当2x =x b 2， x=b 221时，S △PAB +S △PCD 的最小值是 (2－1)abSin α. 例5.已知：Rt △ABC 中, 内切圆O 的半径 r=1. 求：S △ABC 的最小值.解：∵S △ABC =21ab ∴ab ＝2S △.∵2r=a+b －c, ∴c=a+b －2r. ∴a+b －2r=22b a + .两边平方，得 a 2+b 2+4r 2+2ab －4(a+b)r= a 2+b 2. 4r 2+2ab －4(a+b)r=0. 用r=1, ab=2S △ 代入， 得 4+4S △－4(a+b) =0. a+b=S △+1. ∵ab=2S △ 且a+b=S △+1.∴a, b 是方程x 2－(S △+1)x+2S △=0 的两个根.nmDa∵a,b 是正实数， ∴△≥0，即 [－(S △+1)]2－4×2S △ ≥0， S △2－6S △+1≥0 .解得 S △≥3+22或S △≤3－22. S △≤3－22不合题意舍去. ∴S △ABC 的最小值是3+22.例6.已知：.如图△ABC 中，AB=26+，∠C=30 . 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y －a. 根据余弦定理，得 (26+)2=a 2+(y －a)2－2a(y －a)Cos30写成关于a 的二次方程： (2+3)a 2－(2+3)ya+y 2－(8+43)=0. ∵a 是实数， ∴△≥0.即(2+3)2y 2－4(2+3)[y 2－(8+43)]≥0， y 2－(8+43)2 ≤0 .∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.又解：根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值. ∴当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，(26+)2=a 2＋b 2－2abCos30可求出 a=b=4+23. ……… 三、练习1. x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 满足. x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=. x 1x 2x 3x 4x 5，那么. x 5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3. 面积为100cm 2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a, b 均为正数且a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________.5. 若x>0, 则x+x9的最小值是________. 6.如图直线上有A 、B 、C 、D 四个点.那么到A ，B ，C ，D 距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7. 如右图△ABC 中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是 以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 8. 下列四个数中最大的是 ( )（A ） tan48 +cot48 ..(B)sin48 +cos48 . (C) tan48 +cos48 . (D)cot48 +sin48 . 9.已知抛物线y=－x 2+2x+8与横轴交于B ，C 两点，点D 平分BC ，若在横轴上侧的点A 为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是__________10. 如图△ABC 中，∠C=Rt ∠，CA=CB=1，点P 在ABPQ ⊥BC 于Q.问当P 在AB 上什么位置时，S △APQ 最大？ 11. △ABC 中，AB=AC=a ，以BC 为边向外作等边 三角形BDC ，问当∠BAC 取什么度数时AD 最长？12. 已知x 2+2y 2=1, x,y 都是实数，求2x+5y 2的最大值、最小值.13. △ABC 中∠B=60，AC=1，求BA+BC 的最大值及这时三角形的形状. 14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC 、AC 、AB 上，若BD ∶DC=CE ∶EA=AF ∶FA =k ∶(1－k) (0<k<1). 问k 取何值时，S △DEF 的值最小？16.△ABC 中，BC=2，高AD=1，点P ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且四边形PEAF 是平行四边形.问点P 在BC 的什么位置时，S PEAF 的值最大？C DA B AB参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S △=21×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大. 8. (A). 9. 3<AD ≤910. P 在AB 中点时，S △最大值=81， S △=222x x -⋅x 与2－x 的和有定值， 当x=2－x 时，S △值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD 最大，在△ABD 中，设∠BAD=α由正弦定理a Sin ain 230)30180(S AD ==--α，当150 －α=90 时， AD 最大. 12. 当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3).13. 当a=c 时，a+c 有最大值2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值r=(2－1)△S (仿例6).15. 当 k=21时，S △DEF =41S △ABC ，16.当PB=1时，S 有最大值21. 16. 当点P 是BC 中点时，面积最大值是12.。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第6讲-代数最值
A、B，且使得 SOAB OA OB 3 . （1）用 b 表示 k ；（2）求 OAB 面积的最小值。
（浙江竞赛题）
10.设 x1 ，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根，则 (x1 2x2 )(x2 x1) 的最大值
为
11.若抛物线 y x2 (k 1)x k 1与 x 轴的交点为 A、B，顶点为 C，则 ABC 的面积最小值为 .
x2
4y2 6xy 11y2
。
）
（太原市竞赛题）
D.3
例 3.（1）设 a、b 为实数，求代数式 a2 ab b2 a 2b 的最小值。（全国初中数学联赛题）
(2)实数 x、y、z 满足 x y z 5 ， xy yz xz 3 ，求 z 的最大值。（全国初中数学联赛题）
思路点拨 对于（1），引入参数设 a2 ab b2 a 2b t ，将等式整理成关于 a 的二次方程 a2 (b 1)a (b2 2b t) 0 ，利用判别式求最小值，对于（2）， x y 5 z ， xy 3 z(x y) 3 z(5 z) z2 5z 3 ，运用韦达定理构造方程。
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 6 讲 代数最值
在生活实践中，人们经常面对带有“最’字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、 产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这 就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点;
1.运用配方法求最值 2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值 3.建立函数模型求最值 4.利用基本不等式或不等式分析法求最值 【例题求解】
A、B 到原点的距离都小于 1，求 a b c 的最小值。
初中数学求最值的解法教案
初中数学求最值的解法教案教学目标：1. 理解求最值问题的意义和应用；2. 学会使用基本解法求解最值问题；3. 能够灵活运用各种解法解决实际问题。
教学内容：1. 求最值问题的定义和意义；2. 基本解法：解析法、图解法、代入法等；3. 实际问题中的应用。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入最值问题的概念，让学生举例说明最值问题的意义和应用；2. 引导学生思考最值问题的解决方法。
二、讲解基本解法（15分钟）1. 解析法：通过解析函数或方程，找到最值点；2. 图解法：通过绘制图形，找到最值点；3. 代入法：通过代入数值，找到最值。
三、实例讲解（20分钟）1. 举例讲解每个解法的具体步骤和应用；2. 让学生尝试解决一些实际的最值问题，并指导解题过程。
四、练习与讨论（15分钟）1. 给学生发放练习题，让学生独立解决；2. 组织学生进行小组讨论，分享解题方法和经验。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结求最值问题的解法及其应用；2. 提出一些拓展问题，激发学生的思考。
教学评价：1. 学生能够理解最值问题的意义和应用；2. 学生能够掌握基本解法，并能够灵活运用解决实际问题；3. 学生能够通过练习和讨论，提高解题能力和合作能力。
教学资源：1. 教材或教辅；2. 练习题；3. 图形绘制工具。
教学建议：1. 在教学中，要注重让学生理解最值问题的实际意义，举例说明其应用；2. 引导学生掌握基本解法，并能够灵活运用；3. 鼓励学生进行练习和讨论，提高解题能力和合作能力；4. 教师应注重学生的个体差异，给予不同的学生不同的指导和帮助。
求最值问题-沪科版九年级数学上册教案
求最值问题-沪科版九年级数学上册教案一、教学目标1.理解求最值的定义；2.掌握利用求最值的方法解决具体问题；3.增强数学分析和解决问题的能力。
二、教学内容求最值问题三、教学重点1.掌握如何利用最值方法解决问题；2.培养学生思维能力和判断力。
四、教学难点1.引导学生懂得如何利用最值方法解决复杂问题；2.引导学生养成细致耐心的思考习惯。
五、教学设计1. 活动一：引入•提出问题：如果我们要选出班里的数学优胜者，该如何选择？•分组讨论，给出不同的策略，比如按总分高低排名、按单科最高分排名等等；•再引出“求最值”的概念：找出最大值和最小值。
2. 活动二：案例讲解•通过一个例子的讲解，引出求最大值和最小值问题；•提醒学生在实际问题中也可以用类似的方法，例如在物流中找到最短的路线、在平面几何中确定某个点到几何图形的最短距离等。
3. 活动三：小组探究•分成小组，完成课本上的求最值问题；•在小组内自行探究解决方法；•由小组代表展示并讨论解题方法。
4. 活动四：提高训练•完成一些难度略大的填空题和解答题，通过这些题目，进一步巩固求最值方法；•通过分析需要在实际问题中运用的求最值技能，渐渐达到培养学生解决实际问题的能力的目的。
六、教学评价评价标准：根据小组探究的结果、个人解答题得到的分数进行评价，降低学生的竞争性，鼓励同学们合作共同提升。
七、扩展延伸数学作为一门工具性很强的学科，利用数学思维来解决生活中遇到的实际问题，是我们数学教学中的一个重要目标。
这种思维方式不仅可以运用到数学这一学科中，更可以运用到其他学科甚至未来的职业生涯中。
实际问题中求最值问题等不仅需要学生掌握强大而灵活的数学知识，也需要学生具备一定的分析判断能力以及解决问题的意识和信心。
所以我们应该在教学中注重如何能够有效地培养学生的思维能力和提高其解决实际问题的能力。
沪科版数学九年级上册《求最值问题》教学设计3
沪科版数学九年级上册《求最值问题》教学设计3一. 教材分析《求最值问题》是沪科版数学九年级上册的一章内容，主要介绍了利用配方法、公式法、不等式法等解决数学问题的方法。
这一章节在教材中处于重要的位置，既是对前面知识的巩固，又是为后面学习更高级数学内容做铺垫。
本章内容具有一定的难度，需要学生具备一定的逻辑思维能力和转化能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些基本的数学运算和逻辑推理有一定的掌握。
但他们在解决实际问题时，往往缺乏思路，不知从何入手。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解题能力。
三. 教学目标1.理解并掌握求最值问题的基本方法，如配方法、公式法、不等式法等。
2.能够运用所学的知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和转化能力，提高他们的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：掌握求最值问题的基本方法。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，并灵活运用所学知识解决。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动思考，积极探索。
2.通过实例分析，让学生了解最值问题的实际应用，提高他们的学习兴趣。
3.利用小组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队协作能力。
4.采用循序渐进的教学方法，由浅入深，使学生逐步掌握最值问题的解决方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，内容包括理论知识、实例分析、练习题等。
2.准备一些实际问题，用于课堂上的练习和巩固。
3.准备一些相关的学习资料，如教材、教辅等，供学生自主学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最值问题的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最值问题的基本方法，如配方法、公式法、不等式法等，并通过实例进行分析。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用所学的知识解决一些实际问题，培养他们的解题能力。
4.巩固（10分钟）对课堂上所讲的知识进行巩固，通过做一些相关的练习题，加深学生对知识的理解。
沪科版数学九年级上册《求最值问题》教学设计3
沪科版数学九年级上册《求最值问题》教学设计3一. 教材分析《求最值问题》是沪科版数学九年级上册的一章内容，主要介绍了利用配方法、公式法、不等式法等解决实际问题中的最值问题。
这一章节在整套教材中占据着重要的地位，既是对前面所学知识的巩固，也为后面学习更高级的数学知识打下基础。
本章内容通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握解决最值问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了代数、几何等基础知识，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于解决实际问题的最值问题，部分学生可能会感到困惑，难以将所学知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对不同学生的实际情况进行有针对性的指导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解决实际问题的最值问题的方法，能够运用配方法、公式法、不等式法等解决最值问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极面对困难、勇于挑战的精神。
四. 教学重难点1.重点：掌握解决实际问题的最值问题的方法。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生活实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.启发式教学法：在解决问题的过程中，引导学生进行思考、讨论，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：鼓励学生之间进行合作交流，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和问题，用于导入和巩固环节。
2.准备PPT课件，用于呈现问题和解答过程。
3.准备练习题，用于课后巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入最值问题，激发学生的学习兴趣。
如：某商场举行打折活动，商品原价为100元，打折力度为x折，求购买商品的实际支付金额。