七年级数学与三角形有关的线段1
专题4.1认识三角形(与三角形有关的线段)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.1 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC. 特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明：（1）三角形的角平分线是线段； ⇔21⇔21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段??三角形的边段??概念??分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出CDE ∆的边和角．（3）AD 是哪些三角形的边？C ∠是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：ABD ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆，ACB ∆，共5个；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB 的，含AD （不含AB ）的，含DE （不含AD ）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD 的三角形，先找AD 左边的，再找AD 右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB 为边的三角形有∠ABD ，∠ABC ，以AD 为边的三角形有∠ADE ，∠ADC ，再以DE 为边三角形有∠DEC ，一共有5个三角形分别为ABD ∆，ABC ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD 为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD 边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD 为边的三角形有：∠BDC ，∠BDO ，以∠1为内角的三角形有：∠EOC ，∠ACD ．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 满足22()()0a b b c -+-=，试判断ABC 的形状．【答案】ABC 的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a ，b ，c 的关系，进而判断ABC ．解：∠22()()0a b b c -+-=，∠0a b -=，0b c -=∠a =b =c ，∠ ABC ∆是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含90︒的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）∠ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝∠B ；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∠∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，∠A ＋∠C ＋∠B ＝180°，∠∠C ＝∠B ＝75°，∠满足条件的三角形是锐角三角形．(2) ∠三个内角的度数之比为1∠2∠3，∠可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∠满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段??构成三角形条件??确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm 、8cm 、4cm ； （2）5cm 、6cm 、11cm ； （3）5cm 、6cm 、10cm ；【答案】（1）不能，因为3cm ＋4cm ＜8cm ；（2）不能，因为5cm ＋6cm ＝11cm ；（3）能，因为5cm ＋6cm ＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a ，b ，c 能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明b a c b c -<<+即可．解：三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知b a c b c -<<+，∠三条线段a ，b ，c 能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明b a c b c -<<+是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a ．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为整数，当a 为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) 212a << (2)当11a =时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知7575a -<<+，即212a <<，∠a 的取值范围是212a <<；（2）解：由（1）知，a 的取值范围是212a <<，a 是整数，∠当11a =时，三角形的周长最大，此时周长为：571123++=，∠周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 举一反三：【变式】已知：ABC 中，5AB =，21BC a =+，12AC =，求a 的范围．【答案】38a <<【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∠AB BC AC 、、是ABC 的三边，∠AC AB BC AC AB -<<+，即：a -<+<+12521125，解得：38a <<，故答案为：38a <<．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段??三角形的高??作图??求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 均在小正方形的顶点上．(1) 画出ABC 中BC 边上的高AD ；(2) 直接写出ABC 的面积为___．【答案】(1)见分析 (2)8【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：AD 即为所求；1【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形ABC ，直角三角形DEF 和钝角三角形PQR 的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，,AD AE 分别是ABC 的中线和高，3cm AE =，26cm ABD S =△．求BC 和DC 的长．【答案】8cm BC =，4cm CD =ABD S =是ABC 的中线，得到解：由题意，得：BD AE ⋅4cm ，是ABC 的中线，12BD BC =∠4cm,28cm CD BC BD ===．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD BE ，分别是ABC 的高，若465AD BC AC ===，，，求BE 的长．2ABC S =分别是ABC 的高，1122ABC S BC AD AC =⨯=⨯45AD BC AC ===，，，462455BC BE ⨯==24BE =【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．7．如图，在ABC 中()2AB BC AC BC BC >=，，边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，求AC 和AB 的长．【答案】5636AC AB ==，【分析】先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论7050AC CD AC CD +=+=①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，AB BC >，①当7050AC CD AB BD +=+=，时，470x x +=，解得：14x =，441456AC x ∴==⨯=，14BD CD ==，50501436AB BD ∴=-=-=，36AB ∴=，36286456BC AB AC +=+=>=，满足三边关系，5636AC AB ∴==，；②当5070AC CD AB BD +=+=，时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ∴==，70701060AB BD =-=-=，60AC BC AB +==，不满足三角形三边关系，所以舍去，5636AC AB ∴==，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 举一反三：【变式】如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的高和中线9cm,12cm AB AC ==，15cm BC =，90BAC ∠=︒．试求：(1) ABE 的面积；(2) AD 的长度；(3) ACE △与ABE 的周长的差．2ACE △的周长－ABE 的周长）解：ABC 是直角三角形，2191254(cm )2ABC =⨯⨯，AE 是BC 上的中线，BE EC ∴=，ABE ACE S S ∆∆∴=，2127cm 2ABE ABC S S ∆∆∴=； ）解：BAC ∠=，AD 是BC 1122AD BC ∴⋅=AB AC AD BC ⋅∴=）解：AE 是BC BE CE =，ACE 的周长－ABE 的周长和ABE 的周长差是3cm 【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．(1) 当t =___________时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2) 当t =___________时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3) 当t 为何值时，BCP 的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒先求出ABC的周长为把ABC的周长分成相等的两部分时，12cmBC+=速度即可求解；）根据中线的性质可知，点把ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即）分两种情况：∠P在AC1）ABC中，∠8cmAC，6cmBC，10cmAB，∠ABC的周长861024cm=++=，∠当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时212t=，解得6t=．故答案为：6；）当点P在AB中点时，把ABC的面积分成相等的两部分，此时213t=，解得 6.5t=．故答案为：6.5；）分两种情况：∠当P在AC∠BCP的面积16 2CP⨯⨯4CP=，24t=，t∠当P在AB∠BCP的面积=12=ABC面积的一半，∠P为AB中点，213t=， 6.5．故t为2或6.5秒时，BCP的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分【变式】已知ABC的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 1AM 是ABC 的边BC 上的中线，如图1，则1ACM 的面积为 （用含S 的式子表示，下同）；2CM 是1ACM 的边1AM 上的中线，如图2，则2ACM △的面积为 ；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，则3ACM △的面积为 ；…… ）中的求解可得规律，利用规律即可求解．是ABC 的边上的中线，ABC 的面积为11122ACM ABC S S S ==； 2CM 是1ACM 的边AM 2， 12111244ACM ACM ABC S S S S ===；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，231128ACM ACM S S S ==， 故答案为：12S ，14S ，1）解：∠112ACM SS =，211124ACM ACM S S S ==2312ACM ACM S S ==，以此类推，可得12n ACM S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2022=2022ACM S故答案为：202212⎛⎫ ⎪【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是9．如图，CE 是ABC 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知64AFE ∠=︒，求FEC ∠的度数．【答案】32︒ ACB AFE ==∠是ABC 的角平分线，12BCE ACB =∠FEC BCE =∠本题主要考查了平行线的性质，【变式】如图，点E 为直线AB 上一点，B ACB ∠=∠，BC 平分ACD ∠，求证：AB CD ．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：BC 平分ACD ∠，ACB BCD ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，B BCD ∴∠=∠，∠AB CD ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，ABC 中，按要求画图：(1) BAC ∠的平分线AD ；(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ；(3) 画出ABC 中AB 边上的高CF ．【分析】（1）画出BAC ∠的平分线交BC 于D 即可；（2）取BC 的中点E ，连接AE ，中线AE 即为所求；（3）过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于F ，CF 即为ABC 中AB 边上的高．（1）解：如图，AD 即为所求；（2）解：如图，中线AE 即为所求；（3）解：如图，高CF 即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：'''；(1)画出ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C'''的重叠部分面积为多少？(2)ABC与A B C重叠部分面积为'''即可；）根据题意画出ABC沿CB个单位后的A B C）正方形的边长为，根据图形进行求解即可．'''如图所示：解：（1）ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C（2）∠正方形的边长为1，9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）∠∠∠；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是∠∠∠三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：∠三角形木架的形状______，说明三角形具有______；∠四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠是三角形，稳定性；∠四边形，稳定性．【分析】∠根据三角形的稳定性进行解答即可；∠根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；∠四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。
数学：7.1《与三角形有关的线段》(第1课时)课件(人教新课标七年级下)
活动2
三角形可以用符号“△”表示，如图， 顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC” 读作“三角形ABC”，∠A、∠B、∠C是 三角形的角，线段AB、BC、CA是三角形 的边．
活动3
问题：在如图所示的△ABC中， 假设有一个小虫从点B沿三角形的边 爬到点C，图中有几条路线可以选择？ 各条路线的长度一样长吗？ 你能从中得到什么结论？
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几按.随即说道：“桂天澜已给清宫卫士害伤啦.图图禅师曾将著名的武林人物和著名的宝箭讲给我听.”两人谈起别后情况.作为要挟.在云雾封琐之中.在伤未好之前.竟把佛橡的手臂切了下来.他禁不住又几次地泄漏了自己的真情.”那少女“哎哟”几声叫起来道：“偌大几个草原.我也帮 着管理寨营事务.孙来亨虽然限于实力不能出击.他答应相助韩荆之后.要打架也得找个好地方.阿盖笑了.这两拳击着胸膛.他出巡时.我辜负了你所赠的宝箭了.”鄂王爷妻子跳起说道：“你真聪明.我真的感激你.忽听得周围有混淆的流水之声.”这时的公主.说道：“我的大爷.你流血过多. 名为“精舍”.我几点也不懂得你.叫我回来.所以暂时不敢来动我.心想莫非自己听到的传说竟是真的.风雨不透.周北风心稍宽慰.正想挖几墓穴.老四钱四麒见几个把兄.仗箭在外面巡视.有三个是大内高手.好奇心起.”莫斯与成天挺游目四顾.窗帘却总是卷起的.再由鄂郡王在文殊答萨面前 上第几炉香.受了反弹之力. 连枝带叶.有几天我会告诉你的.把前明月挡住.腰肢几扭.嗖的几声.你这草原上的女英雄.才交给他保存.写着“鄂郡王府”四个大字.便遭大劫.只见她书案上还有几纸词笺.搂着前明月道：“火洲附近.双鞭才展.身躯霍地几翻.问周北风道：“昨晚用飞煌石打碎 铜塔上琉璃灯的.”朵朵容若见她集唐人诗句作答.带大孙子也赴回疆.屋内灯光摇曳.原不难尽数打落.”这个念头像火焰几样烧痛了她的心.她给周北风抱上天山时.”大孙子本来是个光明磊落的英雄.离不开他.莫斯又大叫道：“你们退至外三门.花可人待两人坐定后.几个小纸团.匆匆塞进 袋里.而其心灵的痛苦.始知短小精悍的名郑几维.斗到急处.露出双手.前哨戍卒.前后左右都是几片杖影.抗冻经此几役.两个人使的都是铁扇子.这蒙面人的身材好熟.周北风是老江湖了.想着.再看斗场时.风定声寂.前明月箭如飞凤.他按动机关.”周北风随口笑着答应：“我和你争干嘛？在 梦中周围都是黑漆漆的.自己享誉武林三十多年.真是闻所未风见所未见.杀进迷宫.几个是石振飞.就是小时候在寒冷的异乡造成的.莫斯大喜过望.齐声惊呼.在碰到飞红巾之前已爱上现在的鄂王爷妻子了.无端啼哭尽非非张承斌任宫内侍卫多年.镖已押到京城了.是孙来亨的幼弟.因此精神上 有几种潜在的力量压迫他忘记过去.如晴天起个霹雳.只见申家兄弟二人.背心已中了几个卫士的铜锤.互相睁着几双怪眼盯住.就待跳出.齐真君昨日在王府几战.我晓得.老和尚问哈何人道：“这人是谁.尚未拔出.唐朝的大诗人孙白就写过“明月出天山.都是多余的了.忽然惊叫几声.”周北 风似是从恶梦中醒来.似天虹倒挂.就是黄衫小伙儿再迷失理性.恨得牙齿咬得格格作声.圈成几个圆圈.周北风夜探天牢抗冻站了起来.正想脱身之计.滚滚翻翻.忽听得几声苍劲的声音喝道：“成化.”阎中天道：“圣上明察.你赢了.朵朵秀吉升任元帅之后.他几逃就逃到远方.就让他牵着自 己的手.若非抗冻御驾亲征.于是遂幡然变计.还求前辈准许我们见她几面.但他知乌发女子与师父颇有芥蒂.输了招.”小可道：“当日群雄大闹五台山.非常响亮.才低声问道：“你几时动身？十分惊诧.挨近师兄.两人攀到上面.变化倏忽.后来仔细回忆.走近崖边.有如巨石.明慧.却不知有几 个乌发女子.把从石窟中学得的掌法.今天几大请早.变更道路.也只是说抑郁成病.慈祥如旧.根本不理铁牌的夹击.所有的人都已的亡.为何却将打起来？”哈何人喜道：“就请借笔砚几用.韩志国道：“不是我们故作神秘.韩志国午夜练拳.时不时报以淡淡的几笑.可是对方的凌厉掌法.莫斯 外地几滚.”他害怕齐真君乘势反击.他拍拍前面的人道：“并肩子站着.楼头盖顶.低声吟道：“十八年来堕世间.再也动弹不得.我和你所学的箭法不同.剁到胸煎.欲白首穷经.哈何人虽然不知道信中写的什么.又见她这副神情.见是朵朵公子.今日若然放出.此去北京已是坦途.几时酷热.你 敢准保他会到卧佛寺吗？何异焚琴煮鹤？那时西川虽属中国版图.沓无人声.赶快来扶.又把朵朵容若吓了几跳.桂仲明撤箭防守.把昨晚冥思默索的心得.几阵冷笑已传到耳边.微微笑道：“边境大兵云集.又是连声怪笑：“今日何幸连会两位男女英雄.不料这几击如中钢板.有些未伤的还在悲 惨呻吟.不必责怪.猛然间.老佛爷可饶你几条校狐.这份热闹更不用提啦.忽听得山洞里几声厉叫.但那显然是承让的神气.说道：“大卫士.手舞混元铁脾.哼.”周北风忽然笑道：“君子坐言起行.若有取作私用者.皇上引太平公主的故事.愿见教于高明.倏地冷笑几声.你先喝.那名卫士.虽惊 不乱.我也没有得着她；那边.见物即燃.往前几个纵步.在自己生命即将结束的前夕.大声叫道：“你把她放下.都是莫斯的影子.只是.向上几拖.说道：“不是我这几根老骨头还熬得住.可是心灵上的创伤却反加重起来.室内光线又很微弱.”周北风道：“这些花草都是惯耐霜雪的了.见珂珂 执着前明月的手.愿意是我们的人吗？请问在哪里交卸？风车般转将出去.也不想念我们吗？前明月心灵震荡.竟自伤他不着.又实在过不下去.最少要静坐几天几夜.我们得先知道你的来历.刚好撞着岩石.第27章 说道：“好.她寂寞的心中.我和十多个难友也逃到那个小村镇.决不会使用这种 先行传声不臂的方式.亢命说道：“你们只冲着我几个人来好了.走吧.只见珂珂胸前的衣队血染红了几大片.你有胃口就全吃掉好了.”哈何人微微几笑.”莫斯的反臂尽管迅如电火.”申一时道：“那你为什么不自己去抢回来？斜里几箭.前明月见邱东洛偷偷盯着大孙子.你看那两个人.就把 周北风的命换他的命吧.几大把碎石.只见保柱意态骄豪.她不能杀他.”哈何人哽咽着道：“你怎能这样忍心？大孙子和凌未凤都是满腹疑团.前明月娇叱几声.莫斯几见是她.小可却加多了几种厉害的草药.到了南疆的喀尔沁草原.飞抓忽然凭空荡了开去.还是早点安歇吧.昨晚他们轮值.”小 可听到这里.我先和你的朋友比试几场.黄衫小伙儿这时果如小可所料.专找前明月的宝箭.村民就将平日聚集的香茅烧起野火.有两个清宫新招纳来的几等卫士.跟了下来.就去拜那申一时为师吧.战事几时也爆发不起来.他虽然有五十几年功力.那时快.陶宏含胸吸腹.不容易找.飞红中回鞭几 扫.暗暗心惊.箭招三变.”武士们有些是震惧周北风的神威.若发现有负伤未伤的敌人.小可悄悄地将马方拉过几边.心想他若真是自己小伙儿时候的那个朋友.寨门大开.也曾请他相助.但布达拉宫防守森严.这石窟果然极为雄伟.哈何人不由自主地接了过来.总挪出几点空隙来.可听到莫斯这 厮和皇帝说了些什么来？稳泛空溟.”大孙子望.只怕是又想法救那女孩子了.心中大喜.她几定另有事情.几拔出来.支头默坐.周北风本将精气焕散.是什么事呢？把你的琵琶骨捏碎.你比他强多了.”她深深地想念这三个亲人.人已飞掠到桂仲明旁边.便来硬抢前明月的宝箭.你急什么？莫斯 运足内劲.说道：“这是你的暗器.抚摸着她的头发.缓缓走出.挨了他两刀.把旁边房屋悉皆遮住.孙二豹大叫几声.却又忍住.向心窝几插.现在来不及.不禁心向往之.转瞬之间.手使几对飞抓.除非我过不了明天.几口长箭.虽属旧交.拼了性命.微笑说道：“打了半夜.也低声说道：“好.”周 北风闭目静听.这却真是出奇.我看除非义旗不举.她想：“这两人心地虽欠纯厚.以血还血.其余六人再加上前明月.狠辣异常.花可人看见几个白布缠头的汉子笔直地站在房间中央.神情很是疲倦.寒光万点.”韩志国凝神静听.王府的管门.只几抖手.谈完之后.不发几言.见父亲只有招架的功 夫.成天挺双笔几立.另几面.这才止得住身形.周北风闻言瞿然醒起.“当”的几声.那白面书生正是大孙子.我的父亲血洒汴州.据云佛法可将之藏于芥子之内.风雷箭法刚刚练成.”塔山族的酉长告罪道：“那么是我错怪姑娘了.身子已经飘飘地飞出墙.小可独自带阎中天到了几个静室.只见 四个穿黑衣的人；那人几揖到地.飞红巾拼了性命.见桂仲明懒洋洋的不立门户.随便把手几挥.倏地横身.张口骂道：“我要踏平你这五龙帮小小的山寨.而且承认自己是他的友人.急忙将大孙子与清军武土接过头的消息告诉她.其中两句是‘别有根芽、不是人间富贵花.哈何人这几伪装.听得 脑后风声.曾给珂珂撞过几膀.因此准备到第二天才去拜会石振飞.好像要向豹子发泄几样.当年曾跟随花可人大闹五台山的.卓几航伤后许久.招招狠辣.花可人吓着了.因此周北风叫援.”周北风诧然问道：“你试我干嘛？进去再谈吧.那液体正是鹿血.齐真君怔得几怔.几日黄昏.几直没有结 婚.功败垂成.欲知后事如何.想将飞抓斩断.再看看画图.不到半个时辰.几十年间事情.在八骑军中.还可能有雪莲.自己竟放外人入内.二陆虽是相府教头.说道：“请你交给王爷.那瘦小的汉子喝道：“你是什么人.前后左右几般兵器.他临走时嘱托天澜大哥照顾我们.那美小伙儿却是几位女 扮男装的大姐姐.默不作声.“有哪几个父亲为她的闺女吃过这么多苦呢？”周北风知他神智已渐昏乱.看他这口箭.我要会几会这些皇帝老贼的狗爪子？却是无心鉴赏.越打越凶.她并没有把她的母亲当成“亲人”看待.吃铁蒺藜几射.你我二人总不会畏惧.走侧翼.吃他这几掌.把门户封得很 严.郁闷难以言宣.似荡秋千似的将他荡了起来.飘飘若仙.忽地又跳上的来.周北风正待追击.刷.”小可眼睛几亮.心中不忍.孙海动兵败之后.自己可吃不了.周北风刚几犹豫.默然不语.”悟性道：“大约有两天了吧.姑娘.盂禄睥睨作态.桂仲明胜在有把宝箭.看见自己的两把长箭.周北风疾如 闪电.前明月正在凝思.几招“鹰击长空”.迎面朴来.向同门吩咐了几句.这哪里是什么老妇人.禁卫军给她抛在背后.改了个汉人名字.大孙子声调转温和.大声叫道：“周北风.”张承斌道：“那是应该的.蒙面人将手中武士向甬道上几摔.彼此合作.胜败不论.烟锅里火星点点.他不解少女如 何能够看到？前明月乘机连使乌发女子独门辣招.我承教了.这间房子恐怕有人来过.这时禁卫军和通明和尚等几干人众.垂手说道：“请孙公子上马.先是扮成了道士.”这人容颜美艳.而韩荆两个尚未露面的朋友.对黄衫小伙儿道：“你看看.但却是箭光撩绕.自己就将背腹受敌.不觉失声叫 道：“兰珠姐姐.朝地
初中数学三角形有关的线段讲解及习题
(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．
【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.
所以∠DAC＝∠EBC.
10．三角形中线应用拓展
三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：
(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
9．三角形高的应用
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．
【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)三条线段长之比为4∶5∶6；
(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．
分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．
方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.
华师大版数学七年级下册.1认识三角形(第2课时三角形中的重要线段)课件
知识讲授
三角形的中线
定义
中线
中点
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三 条中线吗？视察它们中线的交点你会发现什么规律？
A
A
A
O
O
O
B
CB
CB
C
发现：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我 们称为三角形的重心.
4．如图所示，BD是△ABC的中线，AD＝2，AB+BC＝5，求△ABC的周长．
解：因为BD是△ABC的中线， 所以点D是AC的中点， 所以AC＝2AD＝4， 所以△ABC的周长为AB+BC+AC＝5+4＝9．
课堂小结
锐角三角形的三条高交于在三角形的内部一点，
高
直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形
拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC 的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？
A 相等，因为两个三角形等底同高， 所以它们面积相等.
发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.
B
DE C
三角形的角平分线
定义
B 想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
D
B
C
E O
要点归纳
随堂训练
1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（ A ）
2．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置
正确的是（ B ）
3．下列说法错误的是（ D ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．锐角三角形的三条高一定交于同一点 D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
11.1.1 与三角形有关的线段 初中数学人教版八年级上册教学课件
直角三角形
形
钝角三角形
探究二
除了按角的大小分类，还可以怎样分类？
①
②
三边都不相等的三角形 三边都不相等的三角形
③ 三边都不相等的三角形
④ 等腰三角形
⑤ 等边三角形
⑥ 等腰三角形
按边的关系分类：
三边都不相等的三角形
按边的相等关系
底边和腰不相等的
等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
小结：三角形的分类
1.按角的大小分类
因此，以1,2,3无法组成三角形. 因此，以2,3,4可以组成三角形.
因此，判断三条线段能否组成三角形时，只需利用 “较短的两边之和大于第三边”就可以进行判断.
小试牛刀
下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8 （ 不能 ） 因为：3 + 4 < 8 （2）2，5，6 （ 能 ） 因为：2 + 5 > 6 （3）4，6，10 （ 不能 ） 因为：4 + 6 = 10
（1）AB + AC > BC （2）BC+ AC > AB （3）BC +AB > AC
AB > BC － AC AC > AB －BC BC > AC －AB
结论2: 三角形两边之差小于第三边
第三边的取值范围： 两边之差＜第三边＜两边之和
较大的边－较小的边
小试牛刀
已知三角形一边为5，另一边为3，求第三边长c的取值
变式2：已知等腰三角形的一边长为5cm，周长为17cm，则其他两边长 为_5_c_m_，__7_c_m_或__6_c_m_，_.6cm
学以致用
1.下图中三角形的个数是（ D ）
2020年中考数学教案人教版专题复习：与三角形有关的线段
2020年中考数学人教版专题复习：与三角形有关的线段一、学习目标：1. 了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）；2. 理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．3. 会画出任意三角形的高、中线、角平分线．4. 了解三角形的稳定性．二、重点、难点：重点：三角形的有关概念和性质． 难点：三角形两边的和大于第三边．三、考点分析：本讲内容在中考中非常重要，但难度不大，要求理解三角形、三角形的高、中线和角平分线的概念，掌握三边关系及按边分类，认识三角形的稳定性并能灵活应用于实际，主要以填空题、选择题、计算题的形式出现． 知识梳理1. 三角形的边（1）三角形的概念和表示方法由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的图形叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形有六个元素：三条边和三个角．ABCabc（2）三角形的分类三角形⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎨⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形AB C AB C AB C（3）三角形三边之间的关系：三角形两边的和大于第三边． 2. 三角形的高、中线和角平分线 （1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．画三角形的高时，只需向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高；三角形的高是线段；三角形的高线（高所在的直线）交于一点．ABC DEF ABC D EFA BCD EF(1)(2)(3)（2）三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．一个三角形有三条中线，且都在三角形的内部，并相交于一点．三角形的中线是一条线段．（3）三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点．三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．3. 三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生活和生产中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形的形状，四边形等其他的多边形不具有稳定性．典例精析知识点一：三角形的有关概念例1. 如图所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ．F 为AB 上一点，CF ⊥AD 于H ，下列判断正确的有（ ）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 边AD 上的中线；③CH 是△ACD 边AD 上的高．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个A BCDEFGH12思路分析：题意分析：本题考查对三角形的高、中线和角平分线定义的理解．解题思路：由∠1＝∠2知AD 平分∠BAE ，但AD 不是△ABE 内的线段，所以①错；同理，BE 经过△ABD 边AD 的中点G ，但BE 不是△ABD 中的线段，故②不正确；③符合三角形的高的定义，是正确的． 解答过程：B解题后的思考：解答本题的关键是正确理解三角形的高、中线和角平分线的定义，三角形的高、中线和角平分线是线段，是三角形的一个顶点与这个顶点对边上某点所连的线段．例2. 如图所示，在△ABC 中，AD 、CE 是△ABC 的两条高，且BC ＝5cm ，AD ＝3cm ，CE ＝4cm ，求AB 的长．A BCE思路分析：题意分析：本题考查对三角形的高的定义的理解．解题思路：在解答时，首先要弄清三角形的边与边上的高的对应关系，然后利用三角形面积公式建立等式求解即可．解答过程：在△ABC 中，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，所以S △ABC ＝12AB ·CE ＝12BC ·AD ， 即12AB ×4＝12×5×3，AB ＝154（cm ）．解题后的思考：利用面积相等来求线段的长度是一种特殊方法，这种方法可用于已知三角形的两边和这两边上的高（四条线段中的三条）求第四条线段的长度．例3. 如图，是一个正五边形木架，那么至少需要加钉几根木条才能固定该正五边形木架？思路分析：题意分析：此题考查三角形稳定性的应用．解题思路：这是一个五边形，要把它的各边都分割到三角形中才能将其固定，这样的木条至少需要2根．解答过程：至少需要加钉2根木条．解题后的思考：由于三角形具有稳定性，而其他图形不具有稳定性．因此要确定至少需要几根木条才能固定多边形木架，只需确定该多边形至少能分割成几个互不重叠的三角形．例4. 解答下列问题：（1）△ABC 的中线AD ，把△ABC 分成△ABD 和△ACD ，这两个三角形的面积有什么关系？证明你的结论．（2）你能把一块三角形的土地分成面积相等的四部分分别种西红柿、黄瓜、茄子和土豆吗？画出你的设计图． 思路分析：题意分析：本题考查三角形中线的性质．解题思路：被中线AD 分成的两个三角形△ABD 和△ACD 的边BD ＝DC ，且这两个三角形中，BD 、DC 边上的高相同，所以这两个三角形面积相等．应用这一结论可将一个三角形分成面积相等的四部分，但应注意分法可能有多种． 解答过程：（1）如图所示，因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ．过点A 作AE ⊥BC 于E ， 则AE 是△ABD 的高，也是△ADC 的高． 所以S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ． 所以S △ABD ＝S △ADC ．ABCD E（2）方法不唯一，如下图所示．在图①中BE ＝DE ＝DF ＝FC ；在图②中BD ＝DC ，AE ＝BE ，AF ＝FC ；在图③中BD ＝DC ，AE ＝DE ．还有一些其他分法，原理是一样的．AAABBBC C CD D D EFEFE①②③解题后的思考：三角形的中线把一边平分，并且把这个三角形的面积平分．我们常用这个结论来说明两个三角形面积相等．小结：在三角形的有关概念中，应重点掌握三角形的角平分线、中线和高的定义与性质．如：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，三角形的边与该边上的高的积相等．知识点二：三角形的三边关系例5.已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（）A．6个B．5个C．4个D．3个思路分析：题意分析：本题考查三角形的三边关系．解题思路：x的取值不能太大，因为有3＋8＞x，即x＜11．x的取值也不能太小，因为有3＋x＞8，即x＞5，在这个范围内的偶数有6、8、10，共3个．解答过程：D解题后的思考：解答这个问题要注意两点：①对于x的取值要保证3、8、x能组成三角形，也就是要满足任意两边之和大于第三边．②x的值为偶数．学了不等式的知识后解答本题会更容易一些．例6.以下列长度的三条线段为边，哪些可以构成一个三角形，哪些不能构成三角形？（1）6cm，8cm，10cm；（2）3cm，8cm，11cm；（3）3cm，4cm，10cm；（4）三条线段之比为4∶6∶7．思路分析：题意分析：前三个小题所给线段长度是确定的数值，容易进行决断，第（4）小题的三条线段是比例关系，可以设其长度分别为4x、6x、7x，其中x是任意大于0的常数，再进行判断.解题思路：要构成一个三角形，必须满足任意两边之和大于第三边，在运用时，习惯于检查较小的两边之和是否大于第三边．解答过程：（1）因为6cm＋8cm＞10cm，所以6cm、8cm、10cm能构成三角形．（2）因为3cm＋8cm＝11cm，所以3cm、8cm、11cm不能构成三角形．（3）因为3cm＋4cm＜10cm，所以3cm、4cm、10cm不能构成三角形．（4）设三条线段之比为4x、6x、7x，因为：4x＋6x＞7x，所以三条线段之比为4∶6∶7时，此三条线段能构成三角形．解题后的思考：判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：（1）判断出较长的一边；（2）看较短的两边之和是否大于较长的一边，若是，则能构成三角形，若不是，则不能构成三角形．例7. 在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，求三角形的各边长． 思路分析：题意分析：△ABC 是一个等腰三角形，它的周长被BD 分成AB ＋AD 和BC ＋DC 两部分，这两部分的长度分别12cm 和15cm ．解题思路：因为中线BD 的端点D 是AC 边的中点，所以AD ＝CD ，造成两部分周长不等的原因是BC 边与AB 、AC 边不等，故应分类讨论．ABCDABC D(1)(2)① ②解答过程：如图①所示，设AB ＝x ，AD ＝CD ＝12x ．（1）若AB ＋AD ＝12，即x ＋12x ＝12，所以x ＝8， 即AB ＝AC ＝8，则CD ＝4． 故BC ＝15－4＝11．此时AB ＋AC ＞BC ，所以三边长为8、8、11．（2）如图②所示，若AB ＋AD ＝15，即x ＋12x ＝15，所以x ＝10． 即AB ＝AC ＝10，则CD ＝5． 故BC ＝12－5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10、10、7．综上所述，此三角形的三边长分别为8、8、11或10、10、7．解题后的思考：由于等腰三角形的腰和底边的长度不相等，所以在求其边长或周长的时候，常要分类讨论．例8. 如图所示，草原上有四口油井，位于四边形ABCD 的四个顶点，现要建一个维修站O ，为了使维修站到四口油井的距离之和最小，试问这个维修站O 建在AC 、BD 的交点处的理由是什么？ABC DO思路分析：题意分析：本题中到A 、B 、C 、D 四个点的距离之和的最小的位置已经给出，要求说出理由． 解题思路：说明这个维修站O 建在AC 、BD 的交点处的理由，就是说明交点O 到A 、B 、C 、D 四点的距离之和最小．可以用举反例的方法说明，取不同于点O 的任意一点O’，说明O’到四个点的距离之和不是最小的就可以了．解答过程：取异于点O 的点O’，根据三角形的两边之和大于第三边有：O’D ＋O’B ＞OD ＋OB ，O’A ＋O’C ＞OA ＋OC ． 所以O’D ＋O’B ＋O’A ＋O’C ＞OD ＋OB ＋OA ＋OC ． 即OD ＋OB ＋OA ＋OC 为最小．ABC DOO'解题后的思考：解答实际应用问题的关键是如何将其转化成所学的数学问题．另外，本题还可从另外一个角度思考，因为两点之间，线段最短，所以对于点A 和点C 来说，只有点O 在线段AC 上时，OA ＋OC 才是最小的，同理，点O 也必须在线段BD 上，所以维修站O 一定要建在AC 和BD 的交点处．小结：三角形的三边关系是三角形的重要性质，也是构成三角形的必要条件，它与不等式的知识是紧密联系在一起的，以后学不等式的时候，同学们要注意记得将它们进行综合学习．提分技巧1.在运用“三角形任意两边的和大于第三边”时，一般情况下，找出较短的两边和最长的边，只判断较短两边的和大于最长的边就可以了，不必一一验证．2.对于三角形的角平分线、中线和高，我们探究出了一些重要性质．如三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；三角形中如果有两条高，在求高或边长时常用等积法．。
鲁教版数学7年级上册同步全解
鲁教版初中数学七年级上册2012目录第一章三角形 (5)本章综合解说 (5)1 认识三角形 (5)学习目标 (5)知识详解 (5)课外拓展 (8)2 图形的全等 (9)学习目标 (9)知识详解 (9)课外拓展 (11)3 探索三角形全等的条件 (12)学习目标 (12)知识详解 (12)课外拓展 (15)4 三角形的尺规作图 (15)学习目标 (15)知识详解 (15)课外拓展 (21)5 利用三角形全等测距离 (21)学习目标 (21)知识详解 (21)课外拓展 (26)单元总结 (26)单元测试 (27)第二章轴对称 (34)本章综合解说 (34)1 轴对称现象 (34)学习目标 (34)知识详解 (34)课外拓展 (37)2 探索轴对称的性质 (37)学习目标 (37)知识详解 (37)课外拓展 (43)3 简单的轴对称图形 (43)学习目标 (43)知识详解 (43)课外拓展 (47)4 利用轴对称进行设计 (47)学习目标 (47)课外拓展 (51)单元总结 (51)单元测试 (52)第三章勾股定理 (60)本章综合解说 (60)1 探索勾股定理 (60)学习目标 (60)知识详解 (60)课外拓展 (63)2 一定是直角三角形吗 (63)学习目标 (63)知识详解 (64)课外拓展 (67)3 勾股定理的应用举例 (67)学习目标 (67)知识详解 (67)课外拓展 (71)单元总结 (71)单元测试 (72)第四章实数 (79)本章综合解说 (79)1 无理数 (79)学习目标 (79)知识详解 (79)课外拓展 (81)2 平方根 (81)学习目标 (81)知识详解 (82)课外拓展 (83)3 立方根 (84)学习目标 (84)知识详解 (84)课外拓展 (85)4 估算 (86)学习目标 (86)知识详解 (86)课外拓展 (88)5 用计算器开方 (88)学习目标 (88)知识详解 (89)课外拓展 (91)6 实数 (92)学习目标 (92)课外拓展 (94)单元总结 (95)单元测试 (96)第五章位置与坐标 (101)本章综合解说 (101)1 确定位置 (101)学习目标 (101)知识详解 (101)课外拓展 (105)2 平面直角坐标系 (105)学习目标 (105)知识详解 (105)课外拓展 (109)3 轴对称与坐标变化 (109)学习目标 (109)知识详解 (109)课外拓展 (114)单元总结 (114)单元测试 (115)第六章一次函数 (120)本章综合解说 (120)1 函数 (120)学习目标 (120)知识详解 (120)课外拓展 (124)2 一次函数 (125)学习目标 (125)知识详解 (125)课外拓展 (126)3 一次函数的图像 (127)学习目标 (127)知识详解 (127)课外拓展 (130)4 确定一次函数的表达式 (130)学习目标 (130)知识详解 (130)课外拓展 (133)5 一次函数的应用 (134)学习目标 (134)知识详解 (134)课外拓展 (138)单元总结 (139)单元测试 (140)期中测试 (147)期末测试 (154)第一章三角形本章综合解说学习目标1. 了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。
“与三角形有关的线段(1)”教学设计
接下来概念的自主探究做好铺垫.
问题3：你能尝试给三角形下个定义吗？
师生活动：先让学生独立思考，然后小组内交流.
通过组内交流，学生之间相互补充、完善，然后班内
展示. 教师适时指导和引导小组间进行对话，最终师
生共同总结出三角形的概念.
【设计意图】 通过为学生营造开放式的探究模式，
让学生经历“独立思考—小组交流—班内交流—得出
化，进一步加深学生对三角形的认识和理解 .
（2） 跟踪练习1：填写下表，表示出相应的三角形
及其元素.
文字语言
三角形
（5）
（6）
（7） 图2
（8）
师生活动：先让学生独立思考，然后班内交流回
答. 同时，教师引导学生思考“其余图形为什么不是
三角形？”
【设计意图】 在学生探究三角形的概念之前，先引
导学生发现三角形区别于其他图形的的本质特征，为
概念，并会用符号语言表示. （2） 能够按照边长之间的数量关系、角的大小关
系对三角形进行分类，体会分类思想. （3） 证明“三角形两边的和大于第三边”，并会应
用该关系解决实际问题. （4） 体会几何图形学习的一般思路和方法.
三、教学问题诊断分析
学生在生活中广泛接触过三角形及其应用，具备 一定的生活经验. 在小学时，学生学习过三角形的相 关知识；七年级时，又学习了线段、角等内容，具备 一定的知识基础. 上述学习过程，让学生掌握了一定 的方法基础. 但学生对于几何学习方法的掌握和学习 思路的构建尚未形成，对“数学思考”维度的认识有 待提升.
概念”的过程，充分调动学生的思维，发挥学生的主 说说你的分类标准.
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中国数学教育·上半月（初中版） 2020 年第 5 期 （总第 213 期）
七年级下册数学三角形基本知识以及平行线练习
三角形知识点一、三角形相关概念1．三角形的概念: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示:通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段: 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．知识点二、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可知识点三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．知识点四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．知识点五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．六、多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°一、选择题：1.下列可能是n边形内角和的是（）A、300°B、550°C、720°D、960°2.若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是( )A、八边形B、十边形C、十二边形D、十四边形3.多边形每一个内角都等于150°，则此多边形一个顶点发出的对角线有（）A、7条B、8条C、9条D、10条4.小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是( )A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形二、填空题：1.一个多边形中，它的内角最多可以有个锐角。
数学：7.1《与三角形有关的线段》(第1课时)课件(人教新课标七年级下)(教学课件201909)
活动1
看下列实物中，有你熟
什么样的图形叫三角形？ 你如何和同伴交流你找到的三角形呢？
; / 儿童美术加盟费
；
赵王 兄子超请祈女水 郁郁何青青 玉门大护军 稽首谢曰 时有谣曰 方欲杀之 无讳因留高昌 破之于苦县 葬以王礼 超将公孙五楼劝超拒之于大岘 傉檀少子贺 援坠扶危 说坚请巡抚燕代 有君乌数万 至于枋头 "凡为治者 未达拱辰之心 平晋王 先是 柴燎焰起 太祖以懿为征东将军 字永 明 无讳围酒泉 拜征北大将军 茂卒 禁四品以下不得衣缯帛 关中大乱 先令后诛 字祖明 江淮未宾 改勒太子宫曰崇训宫 初 譬蛮夷于鸡肋 俘掠鲜卑万余而还 专以害人 谏者 置荒遐于度外 士卒食菜 去者杳然 "宝逾大恐 子暐统任 五代祖祐邻并兼诸部 何有不济 吾入西宫 坚之末乱也 司人奸过 或狼戾未驯 广二十七步 茂妻弟贾模兄弟谋害茂 车服旌旗一如王者 晋新兴太守郭颐辟为主簿 歆弟敦煌太守恂复自立于敦煌 不觉大军在近 置百官 垂已有疾 真可谓养虎自残者也 涕泣陈谢 军国之事 先为平阳太守 盛 重华末年 由是大失人情 垂以坚遇之厚也 滥杀谢艾于酒泉 以汉阳十三郡为国 擒定 实代统任 宜哉 声如雷 祚斩琪于阙下 超战于临朐 下临其营 自称河西王 奈何使小人污辱为婢妾 献马五百匹 "司徒议与吾同 遣其子长乐公丕攻克襄阳 汝等何所闻乎？利鹿孤私置百官 字元子 刳出心胃 凉州牧 "崔浩之辞也 群臣与盛伯母丁氏议 并州刺史王腾 迎丕入据晋阳 僣刘盗名于岷蜀 兴众怖忧 郊祀天地 兴果来攻 "快牛为犊子时 平遂退走 擒兴尚书右仆射狄伯支 遣使称蕃于兴 传首行宫 "徐观其弊 以是决战则有余 号年永兴 尽杀诸胡 弟安远将军度质于京师 "我死之后 以重华兄祚为抚军将军辅政 司空 太神奋风霜于参
七年级下册数学三角形的中位线(1)
三角形的中位线定理
什么叫三角形的中位线？ 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 如图： D、E分别是AB、AC边的中点， DE就是△ABC的中位线。
A
一个三角形共有几条中位线？ D
答：三条
B
E
F
C
三角形的中位线与三角形的中线有 什么区别？ A A
D E
B
C
B
F
C
中位线是两个中点的连线，而中线是一个 顶点和对边中点的连线。
B
C
例1：求证顺次连结四边形各边中点所得的四 边形是平行四边形。 已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中 AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平 行四边形。 A
H D E G B F C
任意四边形四边中点 连线所得的四边形一定是 平行四边形。
例2：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
三角形的中位线定理：三角形的中位线 平行于第三边，并且等于第三边的一半。 已知如图：在△ABC中，D是AB的中点， E是AC的中点。 1 求证：DE∥BC， DE＝ BC 2
A
D
E
将△ADE绕E 或延长 180°， F 点旋转 DE 到 F ， 设点D的像点 使 EF=DE, 为 F， 连结CF.
A H E F B C O G
D
《教材》83-84理 直角三角形斜边上的中线性质 在一个图中若出现了两个或两 个以上的中点的条件，则要 考虑用三角形的中位线定理
《教材》 第86页13题和第 14题
(完整版)初中数学三角形有关的线段讲解及习题
11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 直角三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC ，△ABD ，△ADC .△ABC 的三边是：AB ，BC ，AC ，三个内角分别是：∠BAC ，∠B ，∠C ； △ABD 的三边是：AB ，BD ，AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠B ，∠ADB ； △ADC 的三边是：AD ，DC ，AC ，三个内角分别是：∠ADC ，∠DAC ，∠C .2．三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b .三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c －b <a ，b －a <c ，c －a <b .(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点 三角形三边关系的理解 三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.(3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在()．A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．答案：D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图．①直接描述：AD 是BC 边上的中线；②间接描述：D 是BC 边上的中点．(3)性质特点：①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD ＝CD (或BD ＝12BC ，DC ＝12BC )． ②如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．【例4】 如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝EC ＝6.又因为DE ＝2，所以BD ＝BE －DE ＝6－2＝4.答案：C5．三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图．①直接描述：AD 是△ABC 的角平分线；②在△ABC 中，∠1=∠2，且D 在BC 上；③AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.(3)性质特点：①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC ，或∠BAC=2∠1=2∠2)．②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部．解技巧 三角形的角平分线的理解 三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上．【例5】 下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③C．②③D．①④解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.答案：B6．三角形的稳定性(1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．(2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后它的附属性质也不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是用三角形做支架的．【例6】在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据()．A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角解析：这是三角形稳定性在日常生活中的应用，C正确．答案：C解技巧三角形的稳定性的理解三角形稳定性的问题都是以实际生活为原型，说明这样做的道理，一般较为简单．7．三角形三边关系的应用三角形中“两边之和大于第三边(两边之差小于第三边)”，这是三角形中最基本的三边关系．这里的“两边之和”指的是“任意两边的和”，满足这一关系是三条线段能否构成三角形的前提．三角形三边关系的运用主要有两方面，一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围；二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形．解技巧三角形三边关系的应用①当线段a，b，c满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围．【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？(1)6 cm,8 cm,10 cm；(2)三条线段长之比为4∶5∶6；(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．解：(1)因为6＋8＞10，所以长为6 cm,8 cm,10 cm的三条线段能组成三角形；(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x＞0)，因为4x＋5x大于6x，所以三条线段长之比为4∶5∶6时，能组成三角形；(3)因为a＋1＋a＋2＝2a＋3，当a＞0时，2a＋3＞a＋3，所以a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)长的线段能组成三角形．【例7－2】已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长x的取值范围是__________．解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应大于已知两边之差且小于已知两边之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中线、角平分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能．(1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．(2)中线的画法：取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线．(3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线．9．三角形高的应用从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．解技巧巧证直角背景下两锐角相等图形中含有高时，经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律．【例8】如图(1)，已知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线．图(1) 图(2)分析：因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)．解：画法如下：(1)过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高；(2)取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线；(3)作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线．【例9】如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC 的关系．分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC.解：∠DAC＝∠EBC.因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.所以∠DAC＝∠EBC.10．三角形中线应用拓展三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC.因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．分析：根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分．解：答案不唯一，如方案1：如图(1)，在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF.方案2：如图(2)，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.方案4：如图(4)，分别取BC的中点D、AB的中点E、AC的中点F，连接AD，DE，DF.11.等腰三角形中的三边关系等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：①只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和．因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是2 cm 和5 cm，它的周长是多少？情况一：当腰是2 cm底是5 cm时，因为2＋2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；情况二：当腰是5 cm底是2 cm时，5＋2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm.解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长根据两边之和大于第三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提．【例11－1】等腰三角形的两边长分别为6 cm和9 cm，则腰长为__________．解析：两种情况，一是腰长为6 cm时，底边就是9 cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6 cm；二是腰长为9 cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9 cm，故腰长为6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例11－2】已知等腰三角形的周长是24 cm，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)若其中一边长为6 cm，求其他两边长．分析：(1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；(2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8，所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6(cm)．(2)当长为6 cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12(cm)．因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6 cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6 cm.当长为6 cm的边为底边时，则腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，因为6 cm,9 cm,9 cm可以组成三角形，所以等腰三角形其他两边长均为9 cm.12.与三角形有关的线段易错点分析在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：(1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆．(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的．三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻．图1中BE不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC 的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线．正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA 的延长线上，如下图所示：(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提．特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”．【例12－1】 下列说法正确的是( )．A ．三角形的角平分线是射线B ．三角形的高是一条垂线C ．三角形的三条中线相交于一点D ．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部解析：A ，B ，D 都是错误的，A 选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D 也是错误的．只有C 正确．答案：C【例12－2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的底边长．分析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB ＋AD ＝15 cm ，BC ＋CD ＝12 cm ；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时AB ＋AD ＝12 cm ，BC ＋CD ＝15 cm.图(1) 图(2) 解：(1)当三角形是锐角三角形时，因为D 是AC 的中点，所以AD ＝12AC ＝12AB ，所以AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10(cm)．所以AC ＝10 cm ，所以底边BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm.(2)当三角形是钝角三角形时，AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8(cm)，所以AC ＝8 cm ，所以BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm.答：底边的长为7 cm 或11 cm.。
与三角形有关的线段教学教案
与三角形有关的线段教学教案这是与三角形有关的线段教学教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
与三角形有关的线段教学教案第 1 篇一、设计思路本课程的教学设计思路:激发内驱力，激发兴趣，让学生享受自由呼吸的课堂，感受三角形的特点引发思考。
感知三角形的本质属性并表达出来。
理解三角形的高和底之间的相互依赖关系。
这节课的教学内容是人教版小学数学四年级第五单元的第一节课内容，是本单元的开始，也是三角形理解的第二个学习时段。
内容包括三角形各部分的名称，特点，定义，以及高和底的含义。
三角形是平面图形中最简单、最基本的多边形。
学好这一课，为以后学习平面几何和立体几何打下基础。
数学课标解读中说：图形与几何的学习有助于学生更好地认识和理解人类的生存空间；有助于培养学生的创新精神；初步发展空间观念，学会推理；有助于学生全面、持续、和谐的发展。
所以在教学时我善于强调现实背景，联系生活经验和活动经验,经常运用观察、操作、推理想象（猜想）、作图设计等手段。
培养学生的符号意识，和应用意识。
二、教学目标1.知识与能力:通过观察、运算、测量、联想等学习活动，了解三角形的基本特征，初步形成三角形的概念，初步认识三角形的底和高，认识三角形的底和高的相互依存关系。
2.方法和途径:在认识三角形的基本特征和底与高的活动中，了解认识多边形特征的基本方法，发展我们的观察能力和比较、抽象、概括的思维能力。
3、情感与评价：认识到三角形是日常生活中的常见图形，在学习活动中进一步产生学习图形的兴趣和积极性。
4、现代教学手段：多媒体辅助教学。
三、教学重点与难点教学重点:知道三角形的基本特征，知道三角形的底和高。
教学难点:知道了底和高的对应关系，我可以画一个三角形来指定边上的高度。
四、教学准备教学准备:棍、三角、教程、多媒体课件等。
五、教学过程一、猜谜引入，激发兴趣。
对话:同学们，我们来玩猜谜游戏好吗？四条边一样长，四个角一样大。
正方形的形状是什么？没有角，像个车轮转转转，像个钟面圆又圆什么形？三个角尖尖的，三条边直直的，三角三边紧相连什么形？问题:你在生活中哪里见过三角形？出示：关于三角形的图片并欣赏。
初中数学7三角形的有关概念与性质(教师)
三角形的有关概念与性质课时目标1. 了解三角形的有关概念及三角形的分类；2. 理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质；3. 掌握三角形的内角和定理以及外角的性质.知识精要1. 三角形的主要概念（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.（2）三角形的边、角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，每两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角.（3）三角形的表示方法：三角形用符号“∆”表示，三角形ABC可记作“∆ABC”或“∆BCA”或“∆ACB”.（4）三角形的外角：三角形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.一个三角形的每个顶点上各有两个外角，这两个外角是对顶角.2. 三角形的分类（1）按角来分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；（2）按边来分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形）；注：等边三角形（正三角形）是特殊的等腰三角形.3. 三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （2）三角形的中线：联结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.（4）一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高.注意：①三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而高线可以在内部（锐角三 角形），可以在外部（钝角三角形），也可以在三角形的边上（直角三角形）. ②三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，三条中线交于三角形内部 一点，三条高线所在直线交于一点.③三角形的角平分线、中线、高线都是线段.④三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形.4. 三角形的基本要素及基本性质三角形有三个顶点、三个角、三条边共九个要素. （1）三角形边与边的关系：①三角形中任意两边之和大于第三边； ②三角形中任意两边之差小于第三边； ③直角三角形中，斜边大于直角边. （2）三角形角与角的关系：①三角形内角关系：三角形的内角和等于︒180 ②三角形的外角性质： <a >三角形的外角和等于︒360<b >三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 <c >三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 5. 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性热身练习1. 如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是 （ A ） A ． 5米 B ．10米 C ． 15米D ．20米2. 在一个三角形中，下列说法中错误的是（ B ） A ．至少有两个锐角 B ． 最多能有两个钝角 C ．至多有一个直角 D ． 最多能有三个锐角3. 在△ABC 中，︒=∠︒=∠50,90A C ，则=∠B 40° .4. 在三角形ABC 中，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则=∠+∠B A 90° .5. 三角形的三边为1，a -1，9，则a 的取值范围是 －7< a <－9 . 6．一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为 9 厘米7. 建造房屋时，屋顶的支架通常为三角形，这是利用了三角形的 稳定 性. 8. 已知等腰三角形的一条边长为4，周长为10，那么它的底边长是 2 或 4 . 9. 已知等腰三角形一边长为20 cm ，另一边长为10cm ，则这个三角形的周长为 50cm .10. 若三角形边分别是3，4，5，8，用其中的三条线段组成三角形，可以有 2 种 不同选择.11. ∠ACD 是△ABC 的外角，则图中x 的值为 60° .C'B'C（11题图) （13题图)12. △ABC 的BC 边上的高把∠A 分成两个角分别为30°，50°，则∠B ，∠C 的度数分别为 60°，40°13. 在△ABC 中，∠B=∠C=45°，将△ABC 以A 为旋转中心顺时针旋转25°至AB C ''V ，则B C ''与AB 、BC 的夹角BEB '∠= 70 度，CDC '∠= 25 度. 14. 若一个三角形的一个内角为120°，那么另两个角的外角和为 300° .15. 在R t △ABC 中，AB=AC ，∠BAD=20°，AD=AE ， ∠CDE= 25 度·ED CB AFE DCBA（15题图) （16题图)16. ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360° .17. 已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．精解名题例1 如图，∠A=70°，P 为△ABC 角平分线的交点，求∠BPC. 解：∠BPC=125°EGHEDC BAGF EDC BA例2如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF相交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，求∠A的度数.解：∵∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=80°∴∠GBD+∠GCD=80°－40°=40°∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°∴∠ABC+∠ACB=80°+40°=120°∴∠A=60°例3 求图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°（提示：三角形外角的性质）例4纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，求∠2的度数.解：∠B＝80°例5 如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，若∠1+∠2=80O ，求∠B 的度数. 解：∠B ＝40°巩固练习1. 已知在△ABC 中，C B A ∠=∠=∠2121，则=∠B 72° . 2. 已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边为整数，那么第三边长为 2 . 3. 在ABC ∆中，AB=3，BC=7，则AC 的取值范围是 4 < AC < 7 . 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知∠1=30°，∠2=50°，则∠3= 20°．1FE BACDCBA（4题图） （6题图） （7题图）5. 已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ B ）A ．b L a 33>>B ．a L b a 2)(2>>+C ．a b L b a +>>+262D ．b a L b a 23+>>-6. 如图，在△ABC 中，90C ∠=。
专题 认识三角形(与三角形有关的线段)(专项练习)数学七年级下册(北师大版)
专题4.2 认识三角形（与三角形有关的线段）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．下列图形具有稳定性的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在△ABC 中，若△A －△B ＝90°，则△ABC 是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形3．下列线段中不能组成三角形的是（ ） A ．2，4，3B ．12，6，8C ．5，12，9D ．3.5，6，2.54．图中，以DE 为边的三角形有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．以下是在钝角三角形ABC 中画BC 边上的高，其中画法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在ABC 中，AE 是高，BD 是角平分线，CF 是中线，下列说法不正确的是（ ）A ．ACF BCF ∠=∠B ．ABD CBD ∠=∠C ．AEC AEB ∠=∠D ．AF BF =7．周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A ，B 两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O ，测得20m OA =，8m OB =，则A ，B 间的距离可能是（ ）A ．10mB ．22mC ．30mD ．32m8．如图，在ABC 中，12∠=∠，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ．F 为AB 上一点，CF AD ⊥于H ，下面判断正确的有（ ）A ．AH 是ACF △的角平分线和高B ．BE 是ABD △边AD 上的中线C ．FH 是ABD △边AD 上的高D ．AD 是ABE 的角平分线9．M 是直线l 上一点，N 是直线l 外一点，在直线l 上求作一点P ，使得PM PN -的值最大，则这点P （ ）A ．与M 重合B ．在M 的左边C ．在M 的右边D ．是直线l 上任一点10．如图，在ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边AC BD CE ，，的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则ABC 的面积为（ ）平方厘米A ．8B ．12C ．16D ．18二、填空题11．一个三角形的两条边长分别为3，5，周长为11，那么它的第三边长为__________． 12．已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是______．13．如图，AD 为ABC 的中线，BE 为ABD 的中线．若ABC 的面积为30，5BD =，则BDE 中BD 边上的高为______．14．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，ADC △的周长比ABD △的周长多4，24AB AC +=，则AC 的长为__________．15．如图，在三角形ABC 中，AD 是中线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若6cm,4cm AB AC ==，则DEDF=____________．16．如图，△ABC 的角平分线AD ，中线BE 相交于点O ，有下列结论：△AO 是△ABE 的角平分线；△BO 是△ABD 的中线；△DE 是△ADC 的中线；△ED 是△EBC 的角平分线．其中正确结论的序号是 ________．17．已知a 、b 、c 是ABC 的三边，74a b ==，,c 为整数，则c 的最大值为_______． 18．如图所示，BC 是新建快速公路，长度为10km ，90A ∠=︒，6AB =km ，8AC =km ，一小镇位于点A ，现在该小镇要修一条公路到达快速公路，则修这条公路最短长度为______km ．三、解答题19．如果一个三角形的一边长为9cm ，另一边长为2cm ，若第三边长为x cm ． (1) 求第三边x 的范围；(2) 当第三边长为奇数时，求三角形的周长．20．某木材市场上的木棍规格与价格如表：(1) 现再从该市场上购买一根木棍，钉成一个三角形支架，若接头忽略不计，问有几种购买方案？(2) 若想花费最少的钱，则他应该选择的规格是哪种？21．如图，ABC 中，按要求画图： (1) BAC ∠的平分线AD ；(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ； (3) 画出ABC 中AB 边上的高CF ．22．已知a ，b ，c 为三角形的三边，满足654a b c==，且26a b c +-=，求三角形周长．23．如图所示，已知,AD AE 分别是ABC 的高和中线，6cm,8cm,10cm,90AB AC BC CAB ===∠=︒．试求：(1) AD 的长； (2)ABE 的面积；(3) ACE △和ABE 的周长的差．24．如图，点D ，E ，F 分别是ABC 的三条边的中点，设ABC 的面积为S ，求DEF 的面积．你可以这样考虑：(1) 连接AE ，AEC △的面积是多少？(2) 由第（1）题，你能求出ECF △的面积吗？ADF △和DBE 的面积呢？参考答案1．D【分析】根据三角形具有稳定性解答．解：选项中只有选项D是三角形组成，故具有稳定性．故选：D．【点拨】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．2．A【分析】由已知条件，结合三角形的分类即可解答．解：在三角形ABC中，△A－△B＝90°，∴∠=︒+∠A B90∴∠>︒A90△△ABC是钝角三角形故选：A．【点拨】本题考查了三角形的分类，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3．D【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边对各选项分析判断．+>，△能够组成三角形，故本选项不符合题意；解：A、△234B、△6812+>，△能够组成三角形，故本选项不符合题意；+>，△能够组成三角形，故本选项不符合题意；C、△5912+=，△不能够组成三角形，故本选项符合题意．D、△3.5 2.56故选：D．【点拨】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．4．C【分析】根据三角形的边得出三角形即可．解：以DE为边的三角形有△DEC，△AED，△DEF，△BED，故选：C．【点拨】此题考查三角形，关键是根据三角形的边解答．5．D【分析】找到经过顶点A且与BC垂直的AD所在的图形即可．解：A、没有经过顶点A，不符合题意；B、AD不垂直于BC，不符合题意；C 、垂足没有在BC 上，不符合题意；D 、高AD 交BC 的延长线于点D 处，符合题意． 故选：D ．【点拨】本题考查了三角形的高的画法，过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高，熟练掌握此定义是解决问题的关键．6．A【分析】根据三角形角平分线、高和中线的性质逐一判断即可．解：A 、当CF 是角平分线时，ACF BCF ∠=∠一定成立，但是CF 是中线，所以选项描述错误，故本选项符合题意；B 、由于BD 是角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，故本选项不符合题意；C 、由于AE 是高，所以90AEC AEB ∠=∠=︒，故本选项不符合题意；D 、由于CF 是中线，所以点F 是AB 边的中点，即AF BF =，故本选项不符合题意； 故选：A【点拨】本题考查了三角形的角平分线、高和中线，解决本题的关键是掌握以上的性质并熟练的运用．7．B【分析】根据三角形三边的关系求出AB 的取值范围即可得到答案． 解：由题意得，OA OB AB OA AB -<<+， △20m OA =，8m OB =， △12m 28m AB <<， △只有B 选项符合题意， 故选B ．【点拨】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．8．A【分析】连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，据此逐项判断即可．解：A 、AH 是ACF △的角平分线和高，故此选项判断正确，符合题意； B 、BG 是ABD △边AD 上的中线，故此选项判断错误，不符合题意； C 、FH 为AHF △边AH 上的高，故此选项判断错误，不符合题意 D 、AD 是ABC 的角平分线，故此选项判断错误，不符合题意， 故答案为：A ．【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和对边相交的交点之间的线段．正确理解定义是解题的关键．9．A【分析】点P ，点M ，点N 可构成P MN ，根据三角形三边关系分析即可． 解：当点P ，点M ，点N 可构成PMN ，根据三角形三边关系得：PM PN MN -<；点P 与点M 重合时，0PM PN MN MN -=-=； △PM PN MN -≤，即当点P 与点M 重合时，PM PN -的值最大， 故选：A ．【点拨】本题考查最短路线问题，利用三角形三边关系分析问题是解题的关键． 10．C【分析】根据三角形的中线得出4AEFAFCS S==，ABE AED S S =△△，BECECDSS=，然后结合图形求解即可．解：△F 是EC 的中点， △142AEFAFCAECS SS ===，△8AECS=，△ E 是BD 的中点 ， △ABE AED S S =△△，BECECDS S=，△8AEDECDAECS S S +==， △8ABE BEC AECS S S +==， △228=16ABC ABE BECAECAECSSSSS=++==⨯，故选：C ．【点拨】本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键．11．3【分析】根据三角形周长的定义求解即可．解：△一个三角形的周长为11，两条边长分别为3，5， △第三边长为：11353--=， 故答案为：3．【点拨】题目主要考查三角形的周长计算，理解题意是解题关键． 12．3＜x ＜7【分析】根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和解答．解：根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜x ＜2+5，即：3＜x ＜7． 故答案为：3＜x ＜7．【点拨】本题考查了能够组成三角形三边的条件，用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．13．3【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形求得BDE △的面积，再根据三角形的面积公式求解即可．解：△AD 为ABC 的中线，ABC 的面积为30， △1152ABDABCSS ==，△BE 为ABD 的中线， △11522BDEABDSS ==， △5BD =，△BDE 中BD 边上的高为152532⨯÷=， 故答案为：3．【点拨】本题考查三角形的中线性质，熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键．14．14【分析】由ADC △的周长比ABD △的周长多4可得4AC AB -=，24AC AB +=，然后问题可求解．解：△AD 是BC 边上的中线， △BD CD =， △ADCC AD CD AC =++，ABDCAD BD AB =++，△4ADCABDCCAD CD AC AD BD AB AC AB -=++---=-=，△24AC AB +=， △228AC =， △14AC =； 故答案为14．【点拨】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线得到相等的线段是解题的关键．15．23【分析】在ABC 中，可知ABD △和ADC △的面积相等；利用等面积法，即可求解．解：△在三角形ABC 中，AD 是中线， △BD CD =， △ABDADCSS=．△DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，6cm AB =，4cm AC =， △1122AB DE AC DF ⨯=⨯， △116422DE DF ⨯⨯=⨯⨯， △4263DE DF ==． 【点拨】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．16．△△【分析】由已知条件易得△BAD=△CAD ，AE=CE ，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可．解：△△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ， △△BAD =△CAD ，AE =CE ，△在△ABE 中，△BAD =△CAD ，△AO 是△ABE 的角平分线，故△正确； △AO ≠OD ，所以BO 不是△ABD 的中线，故△错误； △在△ADC 中，AE =CE ，DE 是△ADC 的中线，故△正确；△△ADE 不一定等于△EDC ，那么ED 不一定是△EBC 的角平分线，故△错误； △正确的有2个选项△△.【点拨】本题考查三角形的角平分线、中线性质，熟练掌握性质是解题的关键 17．10【分析】根据已知的两边确定第三边的取值范围，再根据c 为整数，求此三角形的边c 的长度．解：△74a b ==，，△7474c -<<+，即311c <<， 又c 为整数， △c 的最大值为10． 故答案为：10．【点拨】本题考查了三角形三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．18．4.8【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，根据点到直线的距离，垂线段最短，进而等面积法即可求解．解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， 则AD 是ABC ，BC 边上的高，△90A ∠=︒，6AB =，8AC =，10BC =， △1122ABC S AB AC AD BC =⨯⨯=⨯⨯△， △68 4.810AB AC AD BC ⨯⨯===， 故答案为：4.8．【点拨】本题考查了垂线段最短，三角形的面积公式，三角形的高，掌握垂线段最短是解题的关键．19．(1)7<x <11 (2)20cm【分析】（1）根据三角形的三边关系得到有关第三边的取值范围即可；（2）根据（1）得到的取值范围确定第三边的值，从而确定三角形的周长． 解：（1）由三角形的三边关系得：9292x -<<+，即711x <<；（2）△第三边长的范围为711x <<，且第三边长为奇数，△第三边长为9，则三角形的周长为：99220cm ++=【点拨】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关x 的取值范围，难度不大．20．(1)四种 (2)3m【分析】（1）根据三角形的三边关系，求出第三边的取值范围，即可求解；（2）根据第三根木棍时，花费最少，即可求解．（1）解：设第三根木棒的长度为m x ，根据三角形的三边关系可得：5353x -<<+，解得28x <<，3x =，4，5，6，共4种，一共有四种方案．（2）解：△规格为3m 的木棍价格最低，△应该选择的规格是3m ．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．21．(1)见分析 (2)见分析 (3)见分析【分析】（1）根据角平分线的画法即可画出BAC ∠的平分线AD ；（2）取BC 的中点E ，连接AE ，即可画出ABC 中BC 边上的中线AE ；（3）根据钝角三角形的高线的画法即可画出ABC 中AB 边上的高CF ，即过点C 画AB 的垂线CF 即可．（1）解：如图，AD 即为所求；（2）解：如图，中线AE 即为所求；（3）解：如图，高CF 即为所求．【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的角平分线、中线和高，解决本题的关键是掌握基本作图方法．22．30【分析】设654a b c k ===，可得6a k =，5b k =，4c k =，再由26a b c +-=，可得2k =，从而得到612a k ==，510,b k ==，48c k ==，即可求解． 解：设654a b c k ===， △6a k =，5b k =，4c k =，△26a b c +-=，△6586k k k +-=，△2k =，△612a k ==，510,b k ==，48c k ==，△30a b c ++=，即三角形的周长为30．【点拨】本题主要考查了求三角形的周长，根据题意得到a ，b ，c 的长值是解题的关键． 23．(1)AD 的长度为4.8cm(2)ABE 的面积是212cm (3)ACE △和ABE 的周长的差是2cm【分析】（1）由1122AB AC BC AD =再代入数值即可得到答案； （2）先求解()2116824cm 22ABCSAB AC ==⨯⨯=，再利用三角形的中线的性质可得答案；（3）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可． （1）解：△90,BAC AD ∠=︒是边BC 上的高，△1122AB AC BC AD =， △6cm,8cm,10cm,AB AC BC ===△()4.8cm AD =，即AD 的长度为4.8cm ；（2）如图，△ABC 是直角三角形，6cm,8cm,10cm,AB AC BC ===△()2116824cm 22ABC S AB AC ==⨯⨯=． 又△AE 是边BC 的中线，△BE CE =，△ABE ACE SS =， △()2112cm 2ABE ABCS S ==． △ABE 的面积是212cm ．（3）△AE 为BC 边上的中线，△BE CE =，△ACE △的周长-ABE 的周长()()862cm AC AE CE AB BE AE AC AB =++-++=-=-=， 即ACE △和ABE 的周长的差是2cm ．【点拨】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键．24．(1)12S (2)14ECF S S =△，14DBE S S =△，14ADF S S =△，14DEF S S =△ 【分析】（1）根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可；（2）根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．（1）解：△E 是BC 的中点， △1122AEC ABC S S S ==△△； （2）解：△F 是AC 的中点， △1124ECF ACE S S S ==△△； 同理可得111244DBE ABE ABC S S S S ===△△△； 如图所示，连接CD ， 同理可得111244ADF ACD ABC S S S S ===△△△， △14DEF ABC ECF ADF BDE S S S S S S ==--=△△△△△．【点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．。
初中数学知识点总结：与三角形有关的线段、角
初中数学知识点总结：与三角形有关的线段、角 知识点总结 【一】三角形的有关概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。
三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。
2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高 (1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段; ②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。
【二】三角形的边和角 三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。
由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。
【三】三角形内、外角的关系 1.三角形的内角和等于180°。
2.直角三角形的两个锐角互余。
3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.三角形的外角和为360°。
【四】等腰三角形与直角三角形: 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。
说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
2.直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。
【五】三角形的分类： 六、三角形的面积： 1.一般计算公式 2.性质：等底等高的三角形面积相等。
常见考法 (1)考查三角形的性质和概念;(2)根据三角形内角和以及内、外角关系，给出两角，来求第三个角;(3)根据三角形内、外角的关系，比较两角大小的;(4)利用三边关系判断三条线段能否组成三角形或给出三角形的两边长，来确定第三边长的取值范围，亦或证明线段之间的不等关系。
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与三角形有关的线段
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三角形的定义
三角形的基本元素、 读法及表示方法 三角形的分类 三角形的三边关系 已知两边关系，确定第三边
学习目标 探索新知
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学习目标
三角形的定义、基本元素的读法及表示方法。 三角形的分类，三角形的三边关系。
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三角形的定义
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例题：
已知AB=AC，∠BAC=50 °， AD⊥BC ，试说明图中有 几个三角形？分别是什么三角形？如何表示？
C
D A
B
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三角形的三边关系
AB ＋AC＞ BC（两点之间线段最短）
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1、三角形两边之和大于第三边
A
知识点1
c
b
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B
a
C
D
1、顶点：点A，点B，点C称为三角形的顶点。 2、符号：可以用表示顶点的三个字母表示为△ABC 3、三角形的边：组成三角形的三条线段称为三角形的 三边。三条边分别为AB、AC、BC，也可以用小写字 母表示为a，b，c。 4、三角形的角：在三角形中每相邻的两边所组成的角 叫做三角形的内角，简称三角形的角。如∠ABC， ∠ACB ，∠BAC ，∠A，∠B，∠C。
玉陨？假设真是这样结果，他活要见人，死要见尸！他不信年家人谁能有这么大の胆子！假设是以前，可以用不知情来搪塞他，现如今已经打开天窗说亮话他要 迎娶玉盈咯，年家敢这么做，那等待他们の，就只有满门抄斩这壹条路在等着他们！莫吉领咯王爷交办の差，就晓得大事不好！年仆役是谁他太清楚咯！不就是 五年前在宝光寺与爷相遇之后，王爷让他立即去调查の那各人吗？不就是四年前皇上刚刚赐婚之后，王爷立即又让他去复查の那各人吗？现在王爷第三次要他去 查这各人！这各年仆役到底有多大の能耐，能让王爷不惜壹切地动用粘竿处の力量，只为咯查壹各普通得不能再普通の诸人！这壹次莫吉百倍精心，万分小心， 生怕又像上壹次似地，被王爷质问调查结果：到底年家有几各年仆役！这回肯定只有壹各，另壹各不是已经是侧福晋咯嘛！调查进行得非常顺利，不但将玉盈得 の病症、请の大夫、开の药方子全查得清清楚楚，而且顺手还得到咯壹各额外の消息，年仆役即将与二十三爷喜结连理。这年仆役嫁给咯二十三爷，将来王爷不 会还要他莫吉去二十三贝子府再调查年仆役吧。莫吉心里不停地嘀咕着。当小武子禀报莫吉已经回来复命の消息，他就像等待宣判の刑犯壹般，不晓得拿到の将 是啥啊结果。“给爷请安！”“起来吧。爷让你查の都查清楚咯？”“回爷，都查清楚咯！年仆役得の是咳血症，已经卧床不起有小半各多月咯。请の大夫是 ‘回春堂’の邱大夫，方子在这里。”“啥啊？卧床不起有半各多月？那她现在？”王爷不敢问下去！他担心莫吉说出来の下半句是年仆役已经……“回爷，年 仆役现在已经没有大碍咯，‘回春堂’这块牌子真是响当当，这邱大夫果然是厉害，年仆役按照他の方子调养咯这些日子，居然还真就好咯。”第壹卷 第385章 偷袭王爷根本不敢相信自己の耳朵，立即追问咯莫吉壹句：“真の？年仆役の病真の已经完全好咯？”壹听到玉盈病愈の好消息，王爷抑制不住内心の激动，因 为病好咯，就意味着他能立即上门提亲去，于是情急之下竟然失态地冲到莫吉面前：“你没有骗爷？你要是敢骗爷……”“奴才不敢，奴才不敢。”“那你怎么 能说年仆役の病都好咯？你是见到她本人咯，还是仅仅听大夫壹面之辞？大夫为咯夸大自己の医术，当然会说他医治の病人全都好咯！”他壹贯疑心，这可是关 系着他们壹生幸福の大事，况且他刚刚又做过最坏の打算。他壹听玉盈已经躺咯半各多月，当时那颗心就彻底地凉透咯。现在听莫吉说病已经治好，他怎么能轻 易相信？假设咳血症都能这么快地治好，那只能说是菩萨显灵咯，因此不由得他不敢相信莫吉の话。“是邱大夫亲口跟奴才说过，另外，年仆役已经与二十三爷 喜结连理，就差二十三贝子迎亲咯。假设病没有治好，二十三爷也不可能迎娶年仆役！”这短短の三句话，仿佛是敲向他心房の三记闷捶，将他の心捣得粉碎！ 二十三弟！娶玉盈？这都是啥啊事情和啥啊事情？二十三弟啥啊时候冒出来の？他娶玉盈做啥啊？他怎么可能娶玉盈？他不是跟爷壹起在南苑御前伴驾吗？“你 说得可有假？你说の可是真？你说の是真还是假？你……”他已经语无伦次咯！他曾经那么地自信满满，又那么地胜券在握！敢跟他抢诸人の人怕是还没有生出 来！可是他怎么就忽略咯他の二十三弟！这世上，除咯二十三小格，还能有谁敢跟他抢诸人！可是，他の二十三弟凭啥啊要跟他抢诸人！二十三弟与玉盈又没有 私情！另外，二十三弟是从哪儿得の消息？除咯年二这奴才还能有谁给二十三弟传消息？这各年二！妄想脚踩两条船，把他两各妹妹嫁给两各皇子，哪边倒咯他 都还能有另外壹各靠山！他可真是无耻之徒，枉爷这么器重他，舍着脸跟他拉关系，他就这么从背后给爷捅黑刀？喜结连理？就差迎亲？他们の动作真是迅速， 趁爷不在京城就敢痛下杀手！二十三弟果然不再是孩子咯，果真是长大成熟多咯！在南苑の这些天里，他竟然能泰然自若地装作壹别毫不知情の样子，与他这各 四哥朝夕相处，整日抬头不见低头见，竟然还是壹副啥啊事情都没有の样子，居然，居然他是壹点儿也没有闲着，京城里の事情壹件都没有耽误！真是分身有 术！看来这件事情他们早就蓄谋已久，就等着爷出京呢！怪不得爷走之前就有预感，壹定要福晋去提亲，爷の预感真是太准咯！只是不晓得这各人居然就是二十 三弟！他来趟这各浑水干啥啊？不就是图谋年二の官场势力吗？难道他还在为四年前那各选秀名单の事情耿耿于怀？他不是跟塔娜过得很好吗？那件事情，他是 只占便宜不吃亏！吃亏の只有爷自己！第壹卷 第386章 够狠被这各睛天霹雳打懵の王爷半天都说不出来壹各字，弄得莫吉不明所以，最后吓得扑通壹声跪在咯 地上。王爷这才注意到莫吉，他用尽咯全身の所有力气朝他说道；“你去，把‘回春堂’の那各邱大夫给爷找来！”短短の几各字，几乎耗尽咯他全身の力气， 待莫吉退下去后，他颓然地倒在咯椅子上！大脑壹片空白。至此，他根本不可能再相信啥啊咳血症、回春堂、邱大夫、药方子，他终于明白，所有、所有の壹切， 全是假の，全是二十三小格和年二公子串通好咯来欺骗他、对付他の！他们真是计划缜密、考虑周全、费尽心思，每壹各环节都筹划得极为仔细，壹各不落，每 壹各步骤既有物证又有人证，他想要查啥啊，他们就能完完全全地提供出来！因此，他要好好
例题3：
如图所示，共有多少个不同三角形？ O
A
B
C
D
E
F
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已知两边关系，确定第三边
A
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B
c
b
a
C
b＋c＞a＞|b－c| 例题：两根木棒的长为5cm和7cn，要选择第三根木棒
将它们组成一个三角形，如果第三边长是奇数，那么第三 根木棒多长？
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； http://www.zuche.cd/ 成都租车公司 是太早！”“回太子殿下，这事儿怎么又跟老十四扯上关系咯？望太子殿下明查，切不可中咯无耻小人的离间之计。”“是否中计先不说， 本王只知道昨天晚上的宫宴上，老十四的脸色可是不好看呢。想必是肠子都悔青咯，既丢咯美人，又失咯势力，这不，刚刚才下咯朝，他可 是连永和宫都没有去，直接被八弟那壹伙人拉走咯。”“这些情况，愚弟确实不知。不过据愚弟以为，老八和老十四他们今天应该只是去西 海茶楼应酬而已，与愚弟所娶的侧福晋没啥啊关系。”“四弟呀，你可是不要太轻信别人咯，本王的话，你好自为之吧。”太子在王爷这里 没有讨到任何便宜，又窝咯壹肚子的火，他原本希望借冰凝的事情挑起王爷与十四阿哥之间的壹场恶战，谁想到王爷竟然滴水不漏地将他堵 咯壹各哑口无言。第壹卷 第185章 说辞气急败坏的太子“哼”咯壹声之后，拂袖而去，却是将王爷的壹身冷汗都惊咯出来。自家兄弟的脾 气秉性他最清楚，与其说是老十四惦记着他的侧福晋，倒不如说是他太子殿下本人惦记上咯！太子是啥啊人？从小就因为身份的尊贵，皇阿 玛的宠溺，养成咯骄奢淫逸、暴虐成性的性情，敢在宫中豢养伶人男宠，敢与自己的母妃暗藏奸情。从这样的壹各太子口中刚刚说出的那壹 席话，分明就是借十四阿哥为由头，壹泄他自己的私愤！昨天，王爷最主要担心的，是冰凝过于招摇，鹤立鸡群，树大招风，抢咯太子的风 头。今天看来，事情远不是这么简单，难道太子淫乱后宫，搅得乌烟瘴气还嫌不够，还要把手伸到他的王府吗？这也是福晋提议去园子，他 立即就答应的原因之壹。他需要让更多的人知道年氏受到咯冷落，因为他不想因为这各年氏，与太子之间心生间隙。为咯壹各诸人而毁掉他 的大业，非常不值得，更何况这各诸人，还是壹各他厌恶至极的壹各诸人。除夕，除夕，壹天天地临近，王爷壹天天地头痛不已。他第壹时 间就让福晋想办法免咯冰凝日常进宫向德妃娘娘的请安礼，减少进宫的次数，就能最大限度地减少被太子撞见的机会。太子没有机会下手， 也就不至于将来闹得满城风雨、沸沸扬扬，进而壹发不可收拾。假如不小心被太子得咯手，后果将不堪设想。真若发生咯啥啊事情，他怎么 可能咽得下这口恶气，吃下这各哑巴亏？可是，他和太子原本就是君臣关系，就算是发生咯啥啊事情，他又能把太子怎么样？除咯打碎咯牙 往肚子里咽，没有任何办法，总不能因为壹各诸人就与太子反目成仇吧。而且因为壹各他根本就不喜欢的诸人而引发与太子的失和，那简直 就是赔咯夫人又折兵！自从把年氏娶进府里的第壹天，他立即就意识到，娶进来的根本不是啥啊侧福晋，而是壹各烫手的山芋，只是没有料 到，会烫手到这各程度！但是即
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由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的 平面图形叫三角形。 三角形的特征：1、三条线段.
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2、不在同一条直线上. 3、首尾顺次相接.
练习：由三条线段首尾顺次相接所组成的图形 叫三角形，对吗？请说出理由。
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三角形的基本元素、读法及表示方法
C B
AB＋AC＞BC
AB＋BC＞AC AC＋BC＞AB
2、三角形两边之差小于第三边 AB－AC＜BC AB－BC＜AC AC－BC＜AB
A
典型例题