创新教程2016年高考数学大一轮复习第二章第8节函数与方程课时冲关理新人教A版

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2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第8章第1节直线与方程

2016年新课标高考· 大一轮复习讲义
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(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 α 的 ______ 正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ ______ tanα ，倾斜角是90°的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式
第八章
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第八章
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第1节直线与方程
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越大，斜率就越大；越大，斜率也越大．
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2．直线方程的五种形式名称点斜式已知条件方程适用范围
斜率k与点 (x0，y0)
y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝ _____________ x0 y＝kx＋b ___________ 不含垂直于x 轴的直线
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式 y2－y1 为 k＝ . x2－x1
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第八章
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质疑探究1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章第8节函数与方程

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与x轴的交点零点个数
(x1,0)，(x2,0) 2
(x1,0) 1
无交点 0
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第二章
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1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(
则一定有f(a)·f(b)<0； ③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点； ④若函数 f(x) 在 (a ， b) 上单调且 f(a)·f(b)<0 ，则函数 f(x) 在 [a，b]上有且只有一个零点．
其中正确的是(
A．①② C．③④
)
B．②③ D．①④
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第二章
函数零点的
关系
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第二章
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函数零点的存在定理函数存在零点的判断方法
图象在[a，b]上连续不断，若f(a)f(b)<0，则y ＝f(x)在(a，b)内存在零点．解方程f(x)＝0 利用零点存在性定理数形结合
Ⅰ. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． Ⅱ. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
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第二章
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整合· 主干知识
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三位有效数字)为________．解析：由题意知，函数零点在区间 (1.5562,1.5625) 内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. 答案：1.56

《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章函数、导数及其应用_7

第9节函数模型及应用
Ⅰ.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． Ⅱ.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
整合·主干知识
几类函数模型及其增长差异
(1)几类函数模型
⑤指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．
其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号) 解析： ① 错误．当 x∈(0,2) 和 (4 ，＋ ∞ ) 时， 2x>x2 ，当 x∈(2,4)时，x2>2x. ②正确．由两者的图象易知． ③错误．增长越来越快的指数型函数是y＝a·bx＋c(a>0， b>1)．
分段函数模型
[典例赏析 3] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新启动了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y＝1312xx32－－8200x02x＋＋58004000x0，，xx∈∈[[112404，，154040]，，
所以经过 1 分钟，物体的温度为 5 摄氏度． (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度，即 θ≥2 恒成立，亦 m·2t
＋22t≥2 恒成立，亦即 m≥221t－212t恒成立．令21t＝y，则 0<y≤1， ∴m≥2(y－y2)恒成立，
由于 y－y2≤14，∴m≥12. 因此，当物体的温度总不低于 2 摄氏度时，m 的取值范围是12，＋∞.
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200 元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章第2节函数的单调性与最值

质疑探究 1 ：若函数 f(x) 在区间 C 和区间 D 上都是增 ( 减 ) 函数，则函数f(x)在区间C∪D上是增(减)函数吗？
1 提示：不一定．如函数 f(x)＝x在区间(－∞，0)及(0，＋∞) 上都是减函数，但在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数，如取 x1＝－1，x2＝1，x1<x2，但 f(x1)>f(x2)不成立．
第二章
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第2节函数的单调性与最值
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第二章
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第二章
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整合·主干知识聚焦·热点题型提升·学科素养提能·课时冲关
1．给出下列命题：
①函数 f(x) 的图象如图所示，则函数 f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)； ② 若定义在 R 上的函数 f(x) ，有 f( － 1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数；
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函数y＝f(x)的单调区间．质疑探究 2 ：当一个函数的增区间 ( 减区间 ) 有多个时，能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？提示：不能直接用 “∪” 将它们连接起来．例如，函数 y
＝x2－3x的单调增区间有两个： (－∞，－1)和(1，＋∞)，不能
写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
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第二章

创新教程高考数学大一轮复习冲关集训1 理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习冲关集训1 理新人教A版1．(2015·武威市凉州区一诊)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e.解：(1)解：f′(x)＝a e x＋(ax－2)e x＝(ax＋a－2)e x.由已知得f′(1)＝0，即(2a－2)e x＝0，解得a＝1.当a＝1时，在x＝1处函数f(x)＝(x－2)e x取得极小值，所以a＝1.(2)解：f(x)＝(x－2)e x，f′(x)＝e x＋(x－2)e x＝(x－1)e x.所以函数f当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]单调递增，f min(x)＝f(m)＝(m－2)e m.当0<m<1时，m<1<m＋1，f(x)在[m,1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f min(x)＝f(1)＝－e.当m≤0时，m＋1≤1，f(x)在[m，m＋1]上单调递减，f min(x)＝f(m＋1)＝(m－1)e m＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m －2e m，m ≥1，－e ，0<m <1，m －1e m ＋1，m ≤0.(3)证明：由(Ⅰ)知f (x )＝(x －2)e x，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .令f ′(x )＝0得x ＝1.因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0，所以f max (x )＝0，f min (x )＝－e ，所以，对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f max (x )－f min (x )＝e.2．(2015·常州市监测)已知函数f (x )＝ln x －x －ax，a ∈R . (1)当a ＝0时，求函数f (x )的极大值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a >1时，设函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －1＋x －1＋a x －1，若实数b 满足b >a 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )，g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：4<b <5.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0得x ＝1.列表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值↘所以f (x )(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax2. 令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，记Δ＝1＋4a .(ⅰ)当a ≤－14时，f ′(x )≤0，所以f (x )单调减区间为(0，＋∞)；(ⅱ)当a >－14时，由f ′(x )＝0得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a2，①若－14<a <0，则x 1>x 2>0，由f ′(x )<0，得0<x <x 2，x >x 1；由f ′(x )>0，得x 2<x <x 1.所以，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；②若a ＝0，由(1)知f (x )单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)； ③若a >0，则x 1>0>x 2，由f ′(x )<0，得x >x 1；由f ′(x )>0，得0<x <x 1.f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. 综上所述：当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14<a <0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；当a ≥0时，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. (3)证明： g (x )＝|ln(x －1)|(x >1)．由g ⎝⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1b －1＝|ln(a －1)|.∵1<a 2. 由g (b )＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2得|ln(b －1)|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b －1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 12[a －1＋b －1]，(*)因为a －1＋b －12≥a －1b －1＝1，所以(*)式可化为ln(b －1)＝2ln 12[(a －1)＋(b －1)]，即b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1＋b －12.令b －1＝t (t >1)，则t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2，整理得t 4－4t 3＋2t 2＋1＝0，从而(t －1)(t 3－3t 2－t －1)＝0，即t 3－3t 2－t －1＝0.记h (t )＝t 3－3t 2－t －1，t >1.h ′(t )＝3t 2－6t －1，令h ′(t )＝0得t ＝1－233(舍去)，t ＝1＋233，列表：t ⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋233⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋233，＋∞h ′(t ) －＋ h (t )↘↗所以，h (t )在 ⎛⎪⎫1，1＋23单调减，在 ⎛⎪⎫1＋23，＋∞单调增，又因为h (3)<0，h (4)>0，所以3<t <4，从而4<b <5.对应学生用书理55页文52页3．(2015·临沂市质检)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值； (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0<a <b ，比较f b －f a2与b －ab ＋a的大小，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0，代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x2<0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)ln b －ln a 2－b －a b ＋a ＝12 ln b a －ba －1ba＋1，∵0<a 1.构造函数φ(x )＝12ln x －x －1x ＋1，(x >1)，则φ′(x )＝12x －x ＋1－x －1x ＋12＝12x －2x ＋12＝x －122x x ＋12>0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增，又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴x >1时，φ(x )>0，即12ln x >x －1x ＋1，则有12ln b a >b a －1b a＋1成立，即ln b －ln a 2>b －a b ＋a.即f b －f a2>b －ab ＋a. 4．(2015·湖北省八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ，x >0h x ，x ≤0，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．解：(1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，①g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e－x －9，即 g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1ex －9.②由①②联立解得：g (x )＝e x－3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1，由h (－3)＝－2，解得a ＝－1.∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1. ∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1.(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max . ∵F ′(x )＝－e x＋(1－x )(e x－3)＋3＝－x e x＋3，F ″(x )＝－e x (1＋x )，当x ∈[－1,1]时，F ″(x )≤0，∴F (x )在[－1,1]上单调递减，∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0.∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ－1＝7－a ≥0，φ1＝a ＋3≥0，解得－3≤a ≤7，∴实数a 的取值范围为[－3,7]． (3)f (x )的图象如图所示：令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T 1＝－1，T 2＝ln 5，f (x )＝－1有两个解，f (x )＝ln 5有3个解．∴f [f (x )]＝2有5个解．5．(理科)(2015·漳州市质检)给出定义在(0，＋∞)上的三个函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－af (x )，h (x )＝x －a x ，已知g (x )在x ＝1处取极值．(1)求实数a 的值，并确定函数h (x )的单调性； (2)求证：当1<x <e 2时，恒有x <2＋f x 2－f x成立；(3)若函数y ＝m －g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题设，g (x )＝x 2－a ln x ，则g ′(x )＝2x －ax.由已知，g ′(1)＝0，即2－a ＝0⇒a ＝2.于是h (x )＝x －2x ，则h ′(x )＝1－1x，且x ∈(0，＋∞)．由h ′(x )＝1－1x>0⇒x >1，h ′(x )＝1－1x<0⇒0<x <1.所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数．(2)当1<x <e 2时，0<ln x <2，即0<f (x )<2，欲证x <2＋f x 2－f x ，只需证x [2－f (x )]<2＋f (x )，即证f (x )>2x －1x ＋1.设γ(x )＝f (x )－2x －1x ＋1＝ln x －2x －1x ＋1，则γ′(x )＝1x－2x ＋1－2x －1x ＋12＝x －12x x ＋12.当1<x <e 2时，γ′(x )>0，所以γ(x )在区间(1，e 2)上为增函数．从而当1<x <e 2时，γ(x )>γ(1)＝0，即f (x )>2x －1x ＋1，故x <2＋f x2－f x .(3)∵y ＝2ln x －x 2＋m ，则y ′＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故y ′＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，y ′>0；当1<x <e 时，y ′<0.故函数y ＝φ(x )在x ＝1处取得极大值φ(1)＝m －1. 又φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，φ(e)＝m ＋2－e 2，φ(e)－φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e2<0，则φ(e)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，∴y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是φ(e)． y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧φ1＝m －1>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2. 5．(文科)(2015·大连市二模)设函数f (x )＝ln x －cx (x ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤x 2恒成立，求c 的取值范围；(3)设函数f (x )有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1·x 2>e 2. 解析：(1)∵f (x )＝ln x －cx ，∴x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －c ＝1－cxx.当c ≤0时，f (x )单调增区间为(0，＋∞)；当c >0时，f (x )单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f (x )单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)∵f (x )≤x 2，∴ln x －cx ≤x 2，∴c ≥ln x x－x .设g (x )＝ln x x －x ，∴g ′(x )＝1－ln x －x 2x2， ∴g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． ∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴c ≥－1.(3)证明： f (x )有两个相异零点，ln x 1＝cx 1，ln x 2＝cx 2， ①∴ln x 1－ln x 2＝c (x 1－x 2)， ∴ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝c ，② 而x 1·x 2>e 2，等价于ln x 1＋ln x 2>2，即cx 1＋cx 2>2， ③由①②③得：ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋x 2)>2.不妨设x 1>x 2>0，则t ＝x 1x 2>1，上式转化为ln t >2t －1t ＋1(t >1)．设H (t )＝ln t －2t －1t ＋1(t >1)，则H (t )＝t －12t t ＋12>0，故函数H (t )是(1，＋∞)上的增函数，所以H (t )－H (l )＝0，即不等式ln t >2t －1t ＋1成立，故所证不等式x 1·x 2>e 2成立.6．(理科)(2015·南平市质检)设函数g (x )＝x 2－2x ＋1＋m ln x ，(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求过点P (0，－1)且与曲线y ＝g (x )－(x －1)2相切的切线方程； (2)求函数y ＝g (x )的单调增区间；(3)若函数y ＝g (x )有两个极值点a ，b ，且a <b ，记[x ]表示不大于x 的最大整数，试比较sin[g a ][gb ]与cos([g (a )][g (b )])的大小．解：(1)曲线方程为y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)．由y ′＝1x 得切线的斜率k ＝1x 0，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过点P (0，－1)，所以－1－ln x 0＝－1，即x 0＝1，故所求切线方程为x －y －1＝0.(2)函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋mx.令g ′(x )>0并结合定义域得2x 2－2x ＋m >0，对应一元二次方程的判别式Δ＝4(1－2m )．①当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≥0，则函数g (x )的增区间为(0，＋∞)；②当0<m <12时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞；③当m ≤0时，函数g (x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞. (3)g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋m x ，令g ′(x )＝0得2x 2－2x ＋m ＝0，由题意知方程有两个不相等的正数根a ，b (a 0，m2>0解得0<m <12，解方程得b ＝1＋1－2m 2，则120，即函数g (b )是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上的增函数，所以1－2ln 24<g (b )<0，故g (b )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，0.则[g (b )]＝－1.同理可求0<a <12，g (a )＝a 2－2a ＋1＋(－2a 2＋2a )ln a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g ′(a )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12ln a <0，即函数g (a )是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的减函数，所以1－2ln 24<g (a )<1，故g (a )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，1，则[g (a )]＝－1或[g (a )]＝0. 当[g (a )]＝－1时，sin[g a ][g b ]>cos([g (a )][g (b )])；当[g (a )]＝0时，sin[ga ][gb ]<cos([g (a )][g (b )])． 6．(文科)(2015·南平市质检)已知函数f (x )＝e x－x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知t 为实数，求函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值；(3)定义在区间D 上的函数g (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 及实常数m ，当x ∈[a ，b ]时，g (x )的取值范围恰为[a ＋m ，b ＋m ]，则称区间[a ，b ]为g (x )的一个同步偏移区间，m 为同步偏移量．试问函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知f (1)＝e －1，f ′(x )＝e x－1. ∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝e －1， ∴切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x . (2)令f ′(x )＝e x－1＝0得x ＝0.①当t ≥0时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f min x ＝f (t )＝e t－t . ②当－2<t <0时，在[t,0]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减；在[0，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，∴f min (x )＝f 极小(x )＝f (0)＝1.③当t ≤－2时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减，f min (x )＝f (t ＋2)＝et ＋2－t －2.∴f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e t ＋2－t －2，t ≤－21，－2<t <0e t －t ，t ≥0(3)函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．证明如下：假设函数g (x )＝[f (x )＋x ](x 2－1)＝(x 2－1)e x存在同步偏移区间[a ，b ]，则g ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x.∵x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ga ＝a 2－1e a ＝a ＋m ，g b ＝b 2－1e b ＝b ＋m ，即方程(x 2－1)e x＝x ＋m 有两个大于1的相异实根．设φ(x )＝(x 2－1)e x －x －m (x >1)，则φ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x－1. ∵x >1，φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增.∴φ(x )在区间(1，＋∞)上至多有一个零点与方程(x 2－1)e x＝x ＋m 有两个大于1的相异实根矛盾，∴假设不成立，即g (x )在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间． [备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第2章函数、导数及其应用2

第二章第2节对应学生用书课时冲关理(五)/第241页文(五)/第209页一、选择题1．(2014·北京高考)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x | 解析：由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D.答案：B2．(2015·宁波模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x ) ＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈ [－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2(x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8) 解析：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.答案：B 4．(2015·山东济宁二模)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f (log 18x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭⎫12，2 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：由f (x )＝f (－x )＝f (|x |) 得f (|log 18 x |)＞f ⎝⎛⎭⎫13，于是|log 18x |＞13，解出答案，可知选B. 答案：B5．(2015·杭州模拟)已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m 、n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n ＞0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n ＞0解析：设F (x )＝f (x )－f (－x )，由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数，∴F (x )为R 上的减函数，∴当m ＜n 时，有F (m )＞F (n )，即f (m )－f (－m )＞f (n )－f (－n )成立，因此当f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A.答案：A6．设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k .若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则函数f ⎝⎛⎭⎫12(x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：f ⎝⎛⎭⎫12(x )＝ ⎩⎨⎧ f (x )，f (x )≤12，12，f (x )＞12＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，12，x ∈(－1，1)，如图所示，函数f ⎝⎛⎭⎫12(x )在区间[1，＋∞)上单调递减．答案：D二、填空题7．(2014·天津高考)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．解析：函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)8．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，其对称中心为(－2a ，a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 答案：[1，＋∞)9．(2015·辽宁沈阳模拟)设函数f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K ，取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，f K (x )的单调递增区间为________．解析：当f (x )>12时，f K (x )＝12无单调递增区间，所以f (x )≤12，即⎝⎛⎭⎫12|x |≤12，所以x ≥1或x ≤－1，结合图象知单调递增区间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．(2015·荆州市质检)函数f (x )＝|x 3－3x 2－t |，x ∈[0,4]的最大值记为g (t )，当t 在实数范围内变化时，g (t )的最小值为________．解析：令g (x )＝x 3－3x 2－t ，则g ′(x )＝3x 2－6x ，令g ′(x )≥0，则x ≤0或x ≥2，在[0,2]上g (x )为减函数，在[2,4]上g (x )为增函数，故f (x )的最大值g (t )＝max{|g (0)|，|g (2)|，|g (4)|}，又|g (0)|＝|t |，|g (2)|＝|4＋t |，|g (4)|＝|16－t |，在同一坐标系中分别作出它们的图象，由图象可知，在y ＝16－t (t ≤16)与y ＝4＋t (t ≥－4)的交点处，g (t )取得最小值，由16－t ＝4＋t ，得2t ＝12，t ＝6，∴g (t )min ＝10.答案：10三、解答题11．(2015·昆明模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x， x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12，f (x )＝x ＋12x＋2， ∴f ′(x )＝1－12x 2，当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )＞0恒成立，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，f (x )取最小值，f (1)＝72.故f (x )min ＝72. (2)要使f (x )＞0，x ∈[1，＋∞)恒成立，即x 2＋2x ＋a ＞0，x ∈[1，＋∞)恒成立．设g (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，∴当x ∈[1，＋∞)时，g (x )min ＝3＋a .∴3＋a ＞0，∴a ＞－3即可，∴a ∈(－3，＋∞)．12．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0成立． (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f ⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x <－1. (3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须有g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第2章函数、导数及其应用10

第二章第10节对应学生用书课时冲关理(十三)/第257页文(十三)/第225页一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )] ＝3(x 2－a 2)．答案：C2．(2015·合肥模拟)若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2D ．－4 解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4. 故选D. 答案：D3．(2015·长沙模拟)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.29 B.19 C.13D.23 解析：y ′＝f ′(x )＝x 2＋1，在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝2，所以切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23，⎝⎛⎭⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪－23＝19，故选B. 答案：B4．(2015·青岛模拟)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．2B ．－14C ．4D ．－12解析：因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′(1)＝2.又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.答案：C5．(2015·太原模拟)设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( )A ．f (－1)＝f (1)B ．f (－1)>f (1)C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2， f (－1)＝4，故f (－1)>f (1). 故选B. 答案：B6．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2 解析：∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 答案：A7．(2015·东营一模)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.答案：C8．(2015·济南模拟)已知曲线y 1＝2－1x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值为( )A ．－2B ．2 C.12D ．1解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1.答案：D9．(2015·郑州模拟)已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (x ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－1解析：f ′(x )＝2sin x cos x ＋2a ＝sin 2x ＋2a ，直线l 的斜率为－1，由题意知关于x 的方程sin 2x ＋2a ＝－1无解，所以|2a ＋1|>1，解得a <－1或a >0，选B.答案：B10．已知f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．答案：C11．已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，若函数f (x )的图象上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则m 的值为( )A ．－13B ．－12C.13D.12解析：∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴过点P (1，m )的切线斜率k ＝f ′(1)＝－1－4a . 又点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0， ∴－1－4a ＝3，∴a ＝－1，∴f (x )＝23x 3＋2x 2－3x .又点P 在函数f (x )的图象上，∴m ＝f (1)＝－13.答案：A 二、填空题12．(2015·衡阳模拟)若曲线y ＝2x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为________________．解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x ，则4x 0＝4⇒x 0＝1，所以y 0＝2，所以切线方程为：y －2＝4(x －1)⇒4x －y －2＝0.答案：4x －y －2＝013．(2015·黄冈一模)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝_______.解析：f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案：－12014．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x≥2.答案：[2，＋∞)15．(2015·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1－sin 2xcos 2x ·sin2x＝________.解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，由f ′(x )＝2f (x )得－cos x ＝3sin x ，即tan x ＝－13.1－sin 2x cos 2x －sin 2x ＝2sin 2x －cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x －11－2tan x＝19－11－23＝1115. 答案：111516．(2015·广东江门调研)曲线y ＝ln(2x )上任意一点P 到直线y ＝2x 的距离的最小值是________．解析：如图，所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y ＝2x 两平行线间的距离，也即切点到直线y ＝2x 的距离．由y ＝ln x ，则y ′＝1x ＝2，得x ＝12，y ＝ln ⎝⎛⎭⎫2×12＝0，即与直线y ＝2x 平行的曲线y ＝ln(2x )的切线的切点坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，y ＝ln(2x )上任意一点P 到直线y ＝2x 的距离的最小值，即15＝55. 答案：5517．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围为________．解析：y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立， ∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2. 答案：[－2,2] [备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第8章第7节曲线与方程

答案：y2＝x
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第八章
2016年新课标高考· 大一轮复习讲义
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5 ．已知 M( － 2,0) ， N(2,0) ，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
整合· 主干知识
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1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 F(x ， y) ＝ 0 之间
具有如下关系：
方程F(x，y)＝0的解． (1)曲线C上点的坐标都是_____________________ (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都____________ 在曲线C上．那么这个方程叫做____________ 曲线的方程，这条曲线叫做____________ 方程的曲线．
答案：D
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→ → 4．已知点 A(－2,0)、B(3,0)，动点 P(x，y)满足PA· PB＝x2 －6，则点 P 的轨迹方程是______________________．
→ → 解析：PB＝(3－x，－y)，PA＝(－2－x，－y)， → → ∴PA· PB＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2 ＝x.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
人教A数学

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第2章函数、导数及其应用12

第二章第12节对应学生用书课时冲关(十五)第261页一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，1，1<x ≤2，则定积分⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.83 B ．2 C.43D.13解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x＝13x 3|10＋x |21＝43. 故选C. 答案：C2．(2015·厦门模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，得m ＝2，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以f (－x )＝x 2－x ，所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56.故选A. 答案：A3．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ， ∴k ＝100 N/m ，则W ＝⎠⎛00.06 100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18(J)．故选A. 答案：A4．(2015·合肥模拟)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e －e)＝e 2－2e. 故选B.答案：B5．(2015·南昌模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83∈(2,3)， b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4>3，c ＝⎠⎛02sin x d x＝(－cos x )|20＝1－cos 2＜2，所以c ＜a ＜b . 故选D. 答案：D6．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176 B.143 C.136D.116解析：∵v (t )>0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分， ∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝⎝⎛⎭⎫13t 3－12t 2＋2t | 21＝176. 答案：A7．(2015·中山模拟)已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t 的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x )|t 0＝t 2－t ，由t 2－t ＝6得t ＝3或t ＝－2(舍去)．故选B.答案：B8．由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为( ) A.43 B.54 C.56D.34解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x 3，解得交点坐标是(1,1)．故由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝14x 4|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21＝14＋12＝34.故选D. 答案：D9．(2015·石家庄模拟)已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A ．π2B ．4C ．πD ．－9π解析：∵a 4＋a 8＝π，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A.答案：A10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(－1≤x <0)，cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32 B ．1 C ．2D.12答案：A11．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －x 312|20＝83.答案：C12．(2015·珠海模拟)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2(t 为常数且t ∈(0,1))所围成图形(阴影部分)面积的最小值为( )A.14 B.13 C.12D.23解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝t 2，x >0，得x ＝t .故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3|t 0＋⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x |1t ＝43t 3－t 2＋13，令S ′＝4t 2－2t ＝0，因为0<t <1，所以t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14，故选A.答案：A 二、填空题13．(2015·昆明模拟)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝________. 解析：⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln x ＋2x |32 ＝92＋ln 32. 答案：92＋ln 3214．(2015·南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy ＝1和直线y ＝x 以及直线y ＝3的图象如图所示，曲线xy ＝1与直线y ＝x 和y ＝3所围成的平面图形的面积为________．解析：所求区域面积为S ＝⎠⎜⎛13113⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3. 答案：4－ln 315．已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为 ⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2－13x 3|k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 答案：216．(2015·成都模拟)函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是________．解析：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t＝⎠⎛0x ⎝⎛⎭⎫sin t ＋12sin 2t d t ＝⎝⎛⎭⎫－cos t －14cos 2t |x 0 ＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2 x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2，当cos x ＝－1时取等号．答案：2 [备课札记]————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————高考大题冲关导数综合应用的热点问题导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用．题型一利用导数研究函数性质综合问题对应学生用书理52页文49页[典例赏析1] (理科)(2014·重庆高考)已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．[思维导引](1)先求导函数f′(x)，再利用f′(x)为偶函数和曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c建立关于a，b的方程组求解；(2)把c＝3代入函数解析式，利用基本不等式求f′(x)的最小值，进而确定f′(x)的符号，从而确定函数f(x)的单调性；(3)对c 分类，讨论方程f′(x)＝0是否有实根，从而确定极值．[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c ＋c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164，t 1t 2>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．[典例赏析1] (文科)(2014·广东高考)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12. [思维导引] (1)由函数的导数与函数的单调性之间的关系求解；(2)先由a <0得函数的单调性，求得函数的最大值是f (0)或f (1)再讨论求解得答案．[解] (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )，若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0， ∴f (x )在R 上单调递增．若a <1，则Δ>0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为()－∞，－1－1－a 和()－1＋1－a ，＋∞，单调递减区间为()－1－1－a ，－1＋1－a .(2)当a <0时，Δ>0，且f (0)＝1， f ⎝⎛⎭⎫12＝3124＋a 2，f (1)＝73＋a ，此时x 1<0，x 2>0，令x 2＝12得a ＝－54.①当－54<a <0时，x 1<0<x 2<12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增． (ⅰ)若－54<a <－712，则f (0)＝1>f ⎝⎛⎭⎫12， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12； (ⅱ)当－712≤a <0时，f (0)≤f ⎝⎛⎭⎫12， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12；②当a ＝－54时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12. ③当－2512<a <－54时，f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12. ④当a ≤－2512时，f ⎝⎛⎭⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12.综上，当a ∈⎣⎡⎭⎫－712，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－54∪⎝⎛⎦⎤－∞，－2512时，不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12；当a ∈⎝⎛⎭⎫－2512，－54∪⎝⎛⎭⎫－54，－712时，存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12.函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值．1．(2015·呼伦贝尔市二模)已知函数f (x )＝1＋ln xx ，(x ≥1)．(1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由； (2)若f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－ln xx2.∵x ≥1，∴ln x ≥0，∴f ′(x )≤0，故f (x )在[1，＋∞)单调递减． (2)f (x )≥kx ＋1⇔(x ＋1)(1＋ln x )x ≥k .记g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x )x，g ′(x )＝[(x ＋1)(1＋ln x )]′x －(x ＋1)(1＋ln x )x 2＝x －ln x x 2.再令h (x )＝x －ln x 则h ′(x )＝1－1x . ∵x ≥1则h (x )≥0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴[h (x )]min ＝h (1)＝1>0，从而g ′(x )>0，故g (x )在[1，＋∞)上也单调递增，∴[g (x )]min ＝g (1)＝2，∴k ≤2.题型二利用导数证明不等式[典例赏析2] (2013·新课标全国高考Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.[思维导引] (1)f ′(x )＝0解得m ，在f (x )的定义域内确定f ′(x )>0，f ′(x )<0的区间即得其单调区间；(2)m ≤2时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，只要f (x )＝e x －ln(x ＋2)>0即可，故只要f (x )min >0，确定函数f (x )的最小值点后论证其最小值大于0.[解] (1)解：f ′(x )＝e x －1x ＋m.由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时， ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )>0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋2)2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.导数研究实数区间D 上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间D 上成立，不等式在区间D 上恒成立，求参数k 的范围”等．(1)证明区间D 上不等式成立的策略：构造函数f (x )，把不等式转化为证明f (x )>0，f (x )<0等，把其转化为求函数f (x )在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值和值域端点值与0的比较得证．(2)根据区间D 上不等式恒成立求参数k 范围的策略：如果能够分离参数k ，即得到φ(k )>f (x )或φ(k )<f (x )，问题等价于求函数在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值与值域端点值得到关于k 的不等式解之；如果不能分离参数，则在含有参数的情况下，其处理策略同证明区间D 上不等式成立的策略．2．(2015·湛江一模)已知f (x )＝ln(x ＋1)，g (x )＝12ax 2＋bx (a ，b ∈R )．(1) 若b ＝2且h (x )＝f (x －1)－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝0，b ＝1，求证：当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立； (3) 利用(2)的结论证明：若x >0，y >0，则x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2. 解：(1)当b ＝2时，h (x )＝ln x －12ax 2－2x∴h ′(x )＝1x－ax －2.∵h (x )有单调减区间，∴h ′(x )<0有解，即1－ax 2－2xx <0∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有解． (ⅰ)当a ≥0时符合题意；(ⅱ)当a <0时，Δ＝4＋4a >0，即a >－1. ∴a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)当a ＝0，b ＝1时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－x ，∴φ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.∵x >－1，讨论φ′(x )的正负得下表：∴当x ＝0时φ(x )有最大值0，即φ(x )≤0恒成立，∴当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立． (3)证明：∵x >0，y >0， ∴x ln x ＋y ln y －(x ＋y )ln x ＋y2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －lnx ＋y 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln y －ln x ＋y 2 ＝x ln 2xx ＋y ＋y ln 2yx ＋y＝－x ln x ＋y 2x －y ln x ＋y2y＝－x ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y .由(2)有－x ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y >－x ·y －x 2x －y ·x －y 2y ＝0∴x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2.题型三利用导数研究恒成立问题对应学生用书理53页文50页[典例赏析3] (2015·珠海检测)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12，a ∈R .(1)当a ＝－13时，求f (x )的最大值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|恒成立，求实数a 的取值范围． [思维导引] (1)对函数f (x )求导，得到f (x )的单调递增区间和单调递减区间，进而得到f (x )最小值； (2)对函数f (x )求导，然后对a 分情况进行讨论得到f (x )的单调区间； (3)分①当a ≥0时， ②当a ≤－1时， ③当－1<a <0时进行讨论，在这三种情况中分别找到a 的范围，最后取并集．[规范答题] (1)当a ＝－13时，f (x )＝23ln x －13x 2＋12，f ′(x )＝23x －23x ＝2－2x23x ＝－2(x ＋1)(x －1)3x，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，所以f (x )max ＝f (1)＝16.(2)函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.下面对参数进行如下讨论：当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a ，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞，f ′(x )<0. 故f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． (3)不妨设0<x 1≤x 2：①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递增，即证g ′(x )＝f ′(x )－4＝a ＋1x＋2ax －4≥0，即2ax 2－4x ＋a ＋1≥0(x >0)恒成立．当a ＝0时，则由－4x ＋1>0得x >14，不合题意，即a ≠0，则a >0.根据二次函数y ＝2ax 2－4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向上，对称轴x ＝1a >0，所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0，解得a ≥1(a ≤－2舍去)．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，即f (x 2)＋4x 2≤f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递减，即证g ′(x )＝f ′(x )＋4＝a ＋1x＋2ax ＋4≤0，得2ax 2＋4x ＋a ＋1≤0(x >0)恒成立.根据二次函数y ＝2ax 2＋4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向下，对称轴x ＝－1a >0，所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0，解得a ≤－2(a ≥1舍去)． ③当－1<a <0时，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减，此时|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2)－4x 2≥f (x 1)－4x 1恒成立或者f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立，由上可知a ≥1或a ≤－2，这与－1<a <0不符，故此情况无解．综上所述：实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为函数在给定区间上的最值问题求解．(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．3．(2015·青岛一模)已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，af ′(x )＋4a 2x ≥ln x －3a －1恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a >0时，试讨论f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．解：(1)由题意知f (x )＝23x 3－3x ，所以f ′(x )＝2x 2－3.又f (3)＝9，f ′(3)＝15，所以曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程为15x －y －36＝0. (2)由题意2ax 2＋1≥ln x ，即a ≥ln x －12x 2对一切x ∈(0，＋∞)恒成立．设g (x )＝ln x －12x 2，则g ′(x )＝3－2ln x2x 3.当0<x <e 32时，g ′(x )>0；当x >e 32时，g ′(x )<0.所以当x ＝e 32时，g (x )取得最大值g (x )max ＝14e 3，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14e 3，＋∞. (3)f ′(x )＝2x 2－4ax －3，f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14， f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14. ①当a >14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使得f ′(x 0)＝0.因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1，x 0)内f ′(x )>0，在(x 0,1)内f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内是增函数，f (x )在(x 0,1)内是减函数，故a >14时，f (x )在(－1,1)内有且只有一个极值点，且是极大值点．②当0<a ≤14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14≤0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0.又因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1,1)内f ′(x )<0，则f (x )在(－1,1)内为减函数，故没有极值点．综上可知：当a >14，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为1；当0<a ≤14时，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为0.题型四利用导数研究方程的根(或函数的零点) 对应学生用书理54页文51页[典例赏析4] (2015·包头市二模)已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝kx －1有实数解，求实数k 的取值范围．[思维导引] (1)在定义域范围内，解不等式f ′(x )>0得单调递增区间，解不等式f ′(x )<0得单调递减区间；(2)将实数k 分离出来，转化为求函数的值域．[规范答题] (1)函数的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝x (2ln x ＋1)令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)>0，得2ln x ＋1>0，即x >e e；令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)<0，得2ln x ＋1<0，即0<x <ee；所以，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，e e 时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫ee ，＋∞时，f (x )单调递增 (2)由f (x )＝kx －1，得x 2ln x ＝kx －1，所以有k ＝x ln x ＋1x(x >0)，设g (x )＝x ln x ＋1x ，g ′(x )＝ln x ＋x 2－1x 2g ′(1)＝0，当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x >0时，g (x )min ＝g (1)＝1 所以k ≥1，k 的取值范围是[1，＋∞)．研究方程根，可以通过构造函数g (x )的方法，把问题转化为研究构造的函数g (x )的零点问题．研究函数g (x )零点的策略是：(1)如果函数g (x )在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在．(2)如果函数g (x )在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g (x )的极值与零的大小，以及函数g (x )的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．4．已知函数f (x )＝x 2－2a ln x －bx .(1)若a ＝－12，函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的最大值；(2)若b ＝0，关于x 的方程f (x )－2ax ＝0有唯一解，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意a ＝－12时，f (x )＝ln x ＋x 2－bx ，且在其定义域(0，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x＋2x －b ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即b ≤1x ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴只需b ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋2x min . ∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴b ≤22，故b 的最大值为2 2.(2)记(g )x ＝f (x )－2ax ＝x 2－2a ln x －2ax ， g ′(x )＝2x －2a x －2a ＝2x(x 2－ax －a )．若方程f (x )＝2ax 有唯一解，即g (x )＝0有唯一解. 令g ′(x )＝0，得x 2－ax －a ＝0.因为a >0，x >0，所以x 1＝a －a 2＋4a 2<0(舍去)，x 2＝a ＋a 2＋4a2. 当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)是单调递减函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上是单调递增函数．当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )min ＝g (x 2)．因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧ g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2a ln x 2－2ax 2＝0，x 22－ax 2－a ＝0，两式相减得a ln x 2＋ax 2－a ＝0，因为a >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0(*)．设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝ 0至多有一解．因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，从而解得a ＝12.1．(2015·武威市凉州区一诊)已知函数f (x )＝(ax －2)e x 在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e. 解：(1)解：f ′(x )＝a e x ＋(ax －2)e x ＝(ax ＋a －2)e x . 由已知得f ′(1)＝0，即(2a －2)e x ＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，在x ＝1处函数f (x )＝(x －2)e x 取得极小值，所以a ＝1. (2)解：f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]单调递增， f min (x )＝f (m )＝(m －2)e m . 当0<m <1时，m <1<m ＋1，f (x )在[m,1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增， f min (x )＝f (1)＝－e. 当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f min (x )＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f min(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(m －2)e m ，m ≥1，－e ，0<m <1，(m －1)e m ＋1，m ≤0.(3)证明：由(Ⅰ)知f (x )＝(x －2)e x ， f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x . 令f ′(x )＝0得x ＝1.因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0，所以f max (x )＝0，f min (x )＝－e ，所以，对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f max (x )－f min (x )＝e.2．(2015·常州市监测)已知函数f (x )＝ln x －x －a x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极大值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a >1时，设函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪f (x －1)＋x －1＋a x －1，若实数b 满足b >a 且g ⎝⎛⎭⎫bb －1＝g (a )，g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，求证：4<b <5.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0得x ＝1.列表：所以f (x )的极大值为f (1)＝－1.(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax 2.令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，记Δ＝1＋4a .(ⅰ)当a ≤－14时，f ′(x )≤0，所以f (x )单调减区间为(0，＋∞)；(ⅱ)当a >－14时，由f ′(x )＝0得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a 2，①若－14<a <0，则x 1>x 2>0，由f ′(x )<0，得0<x <x 2，x >x 1；由f ′(x )>0，得x 2<x <x 1.所以，f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a2，＋∞，单调增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；②若a ＝0，由(1)知f (x )单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)； ③若a >0，则x 1>0>x 2，由f ′(x )<0，得x >x 1；由f ′(x )>0，得0<x <x 1. f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. 综上所述：当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14<a <0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；当a ≥0时，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. (3)证明： g (x )＝|ln(x －1)|(x >1)．由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1b －1＝|ln(a －1)|.∵1<a 2. 由g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2得|ln(b －1)|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b －1＝2⎪⎪⎪⎪ln 12[(a －1)＋(b －1)]，(*)因为a －1＋b －12≥(a －1)(b －1)＝1，所以(*)式可化为ln(b －1)＝2ln 12[(a －1)＋(b －1)]，即b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1＋b －12. 令b －1＝t (t >1)，则t ＝⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2，整理得t 4－4t 3＋2t 2＋1＝0，从而(t －1)(t 3－3t 2－t －1)＝0，即t 3－3t 2－t －1＝0.记h (t )＝t 3－3t 2－t －1，t >1.h ′(t )＝3t 2－6t －1，令h ′(t )＝0得t ＝1－233(舍去)，t ＝1＋233，列表：所以，，h (4)>0，所以3<t <4，从而4<b <5.对应学生用书理55页文52页3．(2015·临沂市质检)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值； (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x 有唯一的公共点；(3)设0<a <b ，比较f (b )－f (a )2与b －ab ＋a 的大小，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0，代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122－34x 2<0，∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)ln b －ln a 2－b －a b ＋a ＝12 ln b a －b a－1b a ＋1，∵0<a 1.构造函数φ(x )＝12ln x －x －1x ＋1，(x >1)，则φ′(x )＝12x －x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝12x －2(x ＋1)2＝(x －1)22x (x ＋1)2>0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增，又当x ＝1时，φ(1)＝0， ∴x >1时，φ(x )>0，即12ln x >x －1x ＋1，则有12ln b a >ba－1b a ＋1成立，即ln b －ln a 2>b －a b ＋a .即f (b )－f (a )2>b －a b ＋a.4．(2015·湖北省八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，(x >0)h (x )，(x ≤0)，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．解：(1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9，①g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e －x－9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1e x －9.②由①②联立解得：g (x )＝e x －3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设 h (x )＝ax (x ＋2)＋1，由h (－3)＝－2，解得a ＝－1.∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1. ∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1.(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6， F (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max . ∵F ′(x )＝－e x ＋(1－x )(e x －3)＋3＝－x e x ＋3，F ″(x )＝－e x (1＋x )，当x ∈[－1,1]时，F ″(x )≤0，∴F (x )在[－1,1]上单调递减， ∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0.∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ(－1)＝7－a ≥0，φ(1)＝a ＋3≥0，解得－3≤a ≤7， ∴实数a 的取值范围为[－3,7]． (3)f (x )的图象如图所示：令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T 1＝－1，T 2＝ln 5，f (x )＝－1有两个解，f (x )＝ln 5有3个解． ∴f [f (x )]＝2有5个解．5．(理科)(2015·漳州市质检)给出定义在(0，＋∞)上的三个函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－af (x )，h (x )＝x －a x ，已知g (x )在x ＝1处取极值．(1)求实数a 的值，并确定函数h (x )的单调性； (2)求证：当1<x <e 2时，恒有x <2＋f (x )2－f (x )成立；(3)若函数y ＝m －g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题设，g (x )＝x 2－a ln x ，则g ′(x )＝2x －ax .由已知，g ′(1)＝0，即2－a ＝0⇒a ＝2.于是h (x )＝x －2x ，则h ′(x )＝1－1x，且x ∈(0，＋∞)．由h ′(x )＝1－1x >0⇒x >1，h ′(x )＝1－1x<0⇒0<x <1.所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数．(2)当1<x <e 2时，0<ln x <2，即0<f (x )<2，欲证x <2＋f (x )2－f (x )，只需证x [2－f (x )]<2＋f (x )，即证f (x )>2(x －1)x ＋1.设γ(x )＝f (x )－2(x －1)x ＋1＝ln x －2(x －1)x ＋1，则γ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2. 当1<x <e 2时，γ′(x )>0，所以γ(x )在区间(1，e 2)上为增函数．从而当1<x <e 2时，γ(x )>γ(1)＝0，即f (x )>2(x －1)x ＋1，故x <2＋f (x )2－f (x ).(3)∵y ＝2ln x －x 2＋m ，则y ′＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x，∵x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，故y ′＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，y ′>0；当1<x <e 时，y ′<0. 故函数y ＝φ(x )在x ＝1处取得极大值φ(1)＝m －1. 又φ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，φ(e)＝m ＋2－e 2， φ(e)－φ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则φ(e)<φ⎝⎛⎭⎫1e ， ∴y ＝φ(x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是φ(e)．y ＝φ(x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧φ(1)＝m －1>0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2. 5．(文科)(2015·大连市二模)设函数f (x )＝ln x －cx (x ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤x 2恒成立，求c 的取值范围；(3)设函数f (x )有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1·x 2>e 2. 解析：(1)∵f (x )＝ln x －cx ，∴x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －c ＝1－cx x.当c ≤0时，f (x )单调增区间为(0，＋∞)；当c >0时，f (x )单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. (2)∵f (x )≤x 2，∴ln x －cx ≤x 2，∴c ≥ln xx －x .设g (x )＝ln xx －x ，∴g ′(x )＝1－ln x －x 2x 2，∴g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． ∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴c ≥－1.(3)证明： f (x )有两个相异零点，ln x 1＝cx 1，ln x 2＝cx 2，① ∴ln x 1－ln x 2＝c (x 1－x 2)， ∴ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝c ，②而x 1·x 2>e 2，等价于ln x 1＋ln x 2>2，即cx 1＋cx 2>2，③ 由①②③得：ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋x 2)>2.不妨设x 1>x 2>0，则t ＝x 1x 2>1，上式转化为ln t >2(t －1)t ＋1(t >1)．设H (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，则H (t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，故函数H (t )是(1，＋∞)上的增函数，所以H (t )－H (l )＝0，即不等式ln t >2(t －1)t ＋1成立，故所证不等式x 1·x 2>e 2成立.6．(理科)(2015·南平市质检)设函数g (x )＝x 2－2x ＋1＋m ln x ，(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求过点P (0，－1)且与曲线y ＝g (x )－(x －1)2相切的切线方程； (2)求函数y ＝g (x )的单调增区间；(3)若函数y ＝g (x )有两个极值点a ，b ，且a <b ，记[x ]表示不大于x 的最大整数，试比较sin [g (a )][g (b )]与cos([g (a )][g (b )])的大小．解：(1)曲线方程为y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)．由y ′＝1x 得切线的斜率k ＝1x 0，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过点P (0，－1)，所以－1－ln x 0＝－1，即 x 0＝1，故所求切线方程为x －y －1＝0.(2)函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋mx.令g ′(x )>0并结合定义域得2x 2－2x ＋m >0，对应一元二次方程的判别式Δ＝4(1－2m )．①当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≥0，则函数g (x )的增区间为(0，＋∞)；②当0<m <12时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞； ③当m ≤0时，函数g (x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞. (3)g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋mx，令g ′(x )＝0得2x 2－2x ＋m ＝0，由题意知方程有两个不相等的正数根a ，b (a 0，m 2>0解得0<m <12，解方程得b ＝1＋1－2m 2，则120，即函数g (b )是⎝⎛⎭⎫12，1上的增函数，所以1－2ln 24<g (b )<0，故g (b )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，0.则[g (b )]＝－1. 同理可求0<a <12，g (a )＝a 2－2a ＋1＋(－2a 2＋2a )ln a ，a ∈⎝⎛⎭⎫0，12，g ′(a )＝－4⎝⎛⎭⎫a －12ln a <0，即函数g (a )是⎝⎛⎭⎫0，12上的减函数，所以1－2ln 24<g (a )<1，故g (a )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，1，则[g (a )]＝－1或[g (a )]＝0.当[g (a )]＝－1时，sin [g (a )][g (b )]>cos([g (a )][g (b )])；当[g (a )]＝0时，sin [g (a )][g (b )]<cos([g (a )][g (b )])．6．(文科)(2015·南平市质检)已知函数f (x )＝e x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知t 为实数，求函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值；(3)定义在区间D 上的函数g (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 及实常数m ，当x ∈[a ，b ]时，g (x )的取值范围恰为[a ＋m ，b ＋m ]，则称区间[a ，b ]为g (x )的一个同步偏移区间，m 为同步偏移量．试问函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知f (1)＝e －1，f ′(x )＝e x －1. ∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝e －1， ∴切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x . (2)令f ′(x )＝e x －1＝0得x ＝0.①当t ≥0时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f min x ＝f (t )＝e t －t .②当－2<t <0时，在[t,0]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减；在[0，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，∴f min (x )＝f 极小(x )＝f (0)＝1.③当t ≤－2时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减，f min (x )＝f (t ＋2)＝e t ＋2－t －2.∴f min(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e t ＋2－t －2，t ≤－21，－2<t <0e t－t ，t ≥0(3)函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．证明如下：假设函数g (x )＝[f (x )＋x ](x 2－1)＝(x 2－1)e x 存在同步偏移区间[a ，b ]，则g ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x .∵x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (a )＝(a 2－1)e a＝a ＋m ，g (b )＝(b 2－1)e b＝b ＋m ，即方程(x 2－1)e x ＝x ＋m 有两个大于1的相异实根．设φ(x )＝(x 2－1)e x －x －m (x >1)，则φ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x －1. ∵x >1，φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增.∴φ(x )在区间(1，＋∞)上至多有一个零点与方程(x 2－1)e x ＝x ＋m 有两个大于1的相异实根矛盾，∴假设不成立，即g (x )在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章函数、导数及其应用 10

第10节导数的概念与计算
Ⅰ.了解导数概念的实际背景．
Ⅱ.通过函数图象直观理
解导数的几何意义． Ⅲ.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常 1 数)，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数． Ⅳ.能利用
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．

所以导函数为周期函数．
又因为y＝f(x)是奇函数，则有：f(－x)＝－f(x)两边同时求导，得f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，所以导函数为偶函数．答案：B

f1＋2x－f1 4．设 f(x)是可导函数，且满足 lim ＝－1，则 2 x Δx→0 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
f(x)＝logax f(x)＝ln x f(x)＝tan x f(x)＝cot x
1 f′(x)＝ xln a 1 f′(x)＝x 1 f′(x)＝ 2 cos x 1 f′(x)＝－ 2 sin x

1 质疑探究：如果 f(x)＝ln |x|，则 f′(x)＝x？提示：正确，分x>0，x<0去绝对值，求导数可得．
解析：令 2x＝Δx，由 x→0，得 Δx→0， f1＋Δx－f1 则有 lim ＝－1，即 f′(1)＝－1， Δ x Δx→0 由导数的几何意义知，y＝f(x)在(1，f(1))处切线斜率为－1.

答案：－1

5．给出下列命题： ①y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x ＝x0处的导数值； ②求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)； ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点； ④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线； ⑤若f(x)＝f′(a)x2＋lnx(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.

创新教程高考数学大一轮复习冲关集训2 理新人教A版

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习冲关集训2 理新人教A版1．(2015·怀化市一模)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，向量b ＝(cos x ，－sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最小正周期和对称轴方程； (2)若x 是第一象限角且3f (x )＝－2f ′(x )，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值.解：(1)∵g (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴最小正周期T ＝2π2＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．(2)由3f (x )＝－2f ′(x )，得3cos 2x ＝4sin 2x . 3cos 2x －3sin 2x ＝8sin x cos x (cos x －3sin x )(3cos x ＋sin x )＝0， ∴cos x －sin x ＝0或3cos x ＋sin x ＝0，又x 是第一象限角，∴cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋131－13＝2.2．(2015·南昌市一模)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12sin x ＋32cos x 与b ＝(1，y )共线，设函数y ＝f (x )．(1)求函数f (x )的周期及最大值；(2)已知△ABC 中的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若锐角A 满足f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝3，且a ＝7，sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．解：(1)∵a 与b 共线， ∴12y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝0，则y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f (x )的周期T ＝2π.当x ＝2k π＋π6，k ∈Z 时，f max (x )＝2.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＋π3＝3，∴sin A ＝32. ∵0<A <π2，∴A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得sin B ＋sin C ＝b ＋c a sin A ，即13314＝b ＋c 7×32，∴b ＋c ＝13.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，即49＝169－3bc ，∴bc ＝40.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.3．(2015·茂名市一模)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b . 解：(1)∵a ＝2b sin A ，由正弦定理得sin A ＝ 2sin B sin A ．由于sin A ≠0，故有sin B ＝12.又∵B 是锐角，∴B ＝30°. (2)依题意得S △ABC ＝12ac sin 30°＝12×33×5×12＝1534. ∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得b 2＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝27＋25－45＝7，∴b ＝7.4．(2015·日照市一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)在△ABC 中，若A ＝π4，锐角C 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝12，求BC AB 的值．解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6－π3＝sin C ，由已知，sin C ＝12，又角C 为锐角，所以C ＝π6.由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sinπ6＝2212＝ 2. 5．(2015·临沂市质测)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)的最小正周期是π，将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．(1)求g (x )的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝45，b ＝2，△ABC 的面积为3，求边长a 的值．解：(1)f (x )＝32sin 2ωx ＋12(cos 2ωx ＋1)－12＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6∵f (x )的最小正周期是π，且ω>0， ∴2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象．再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位，得到y ＝sin x 的图象，故g (x )＝sin x .(2)由(1)知g (x )＝sin x ，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ＝45，∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.∵△ABC 的面积为3，∴12bc sin A＝3.又∵b ＝2，∴12×2·c ·35＝3，得c ＝5.由a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝22＋52－2×2×5×45＝13，得a ＝13.[备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)复习冲关集训3

1．(2015·常德期末)在1和2之间依次插入n (n ∈N *)个正数a 1，a 2，a 3，…，a n ，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，令b n ＝2log 2T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2n ，设S n ＝b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b nc n，求S n .解：(1)方法一：设等比数列1，a 1，a 2，a 3，…，a n,2的公比为q ，则2＝1·q n ＋1，∴q n＋1＝2，∴T n ＝1·a 1·a 2·…·a n ·2＝1·q ·q 2·…·q n ·q n ＋1＝q 1＋2＋3＋…＋(n ＋1)＝q(n ＋1)(n ＋2)2＝2n ＋22， ∴b n ＝2log 2T n ＝2log 22n ＋22＝n ＋2.故数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋2.方法二：设等比数列1，a 1，a 2，a 3，…，a n,2的公比为q ，则2＝1·q n ＋1，∴q ＝21n ＋1，∴a m ＝1·q m ＝⎝⎛⎭⎫21n ＋1m ＝2m n ＋1，∴T n ＝1·a 1·a 2·…·a n ·2＝1×21n ＋1×22n ＋1×…×2n n ＋1×2＝21＋1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝2n ＋22，∴b n ＝2log 2T n ＝2log 22n ＋22＝n ＋2.故数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋2.方法三：由T n ＝1·a 1·a 2·…·a n ·2，T n ＝2·a n ·a n －1·…·a 1·1，得T 2n ＝(1×2)(a 1×a n )(a 2×a n －1)…(2×1)，由等比数列的性质得T 2n ＝2n ＋2， ∴T n ＝2n ＋22，∴b n ＝2log 2T n ＝2log 22n ＋22＝n ＋2.故数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋2.(2)由c n ＝2n ，得S n ＝32＋422＋523＋…＋n ＋22n ，∴12S n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋22n ＋1. 由错位相减法求得12S n ＝32＋122＋123＋124＋…＋12n －n ＋22n ＋1，∴S n ＝4－n ＋42n .2．(2015·湖南师大附中月考)对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设数列{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝74.(1)求数列{a n }的通项公式，并判断数列{S n }是否为“减差数列”；(2)设b n ＝(2－na n )t ＋a n ，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，求实数t 的取值范围．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则1＋q ＋q 2＝74，即4q 2＋4q －3＝0，所以(2q －1)(2q ＋3)＝0. 因为q >0，所以q ＝12，所以a n ＝12n －1，S n ＝1－12n1－12＝2－12n －1，所以S n ＋S n ＋22＝2－12n －12n ＋2<2－12n ＝S n ＋1，所以数列{S n }是“减差数列”． (2)由题设知，b n ＝2t －n 2n －1t ＋12n －1＝2t －tn －12n －1. 由b n ＋b n ＋22t (n ＋1)－12n ，化简得t (n －2)>1. 又当n ≥3时，t (n －2)>1恒成立，即t >1n －2恒成立，所以t >⎝⎛⎭⎫1n －2max ＝1.故t 的取值范围是(1，＋∞)．对应学生用书理103页文100页3．(2015·青岛一模)已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n .数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项、第a 2项、第a 3项、…、第a n 项删去后，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2013项的和．解：(1)∵d n ＝3＋(－1)n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n2＝3n . ∵b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根， ∴b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，又b 4>b 2，∴b 2＝4，b 4＝16，∴q 2＝b 4b 2＝4，∵q >1，∴q ＝2，∴b n ＝b 2·q n －2＝2n .(2)由题意知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项、……删去后构成的新数列{c n }中，奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8，T 2013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2012)＝2×(1－81007)1－8＋4×(1－81006)1－8＝20×81006－67.4．(理科)(2015·鹰潭市模拟)已知数列{}a n 满足：na n ＋1＝()n ＋2a n ＋n ，n ∈N *且a 1＝1. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)令b n ＝()－1n ＋1()a n －12，数列{}b n 的前项和为T n ，求证：n ≥2时，T 2n －1<ln2且T 2n >ln2解：(1)易知：a n ＋1()n ＋1()n ＋2＝a nn ()n ＋1＋1()n ＋1()n ＋2，n ∈N *令c n ＝a n n ()n ＋1得，c n ＋1＝c n ＋1n ＋1－1n ＋2，c 1＝12若n ≥2，则c n ＝()c n －c n －1＋()c n －1－c n －2＋…＋()c 2－c 1＋c 1＝1－1n ＋1＝nn ＋1当n ＝1时，c 1＝12也满足上式，故c n ＝nn ＋1，n ∈N *所以 a n ＝n 2，(n ∈N *) (2)易知：b n ＝()－1n＋11n()n ∈N * T 2n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＋12n－2⎝⎛⎭⎫12＋14＋16＋…＋12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， T 2n －1＝T 2n ＋12n ＝1n ＋1n ＋1＋…＋12n －1，先证不等式x >0时，xx ＋1<ln ()x ＋1<x令f ()x ＝ln ()x ＋1－x ，()x >0，则f ′()x ＝－xx ＋1<0，()x >0∴f ()x 在()0，＋∞上单调递减，即f ()x <0 同理：令g ()x ＝ln ()x ＋1－xx ＋1，()x >0，则 g ′()x ＝x(x ＋1)2>0，()x >0 ∴g ()x 在()0，＋∞上单调递增，即g ()x >0，得证．取x ＝1n ，得1n ＋1<ln n ＋1n <1n ，所以T 2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <ln n ＋1n ＋ln n ＋2n ＋1＋…＋ln 2n2n －1＝ln2，T 2n －1＝1n ＋1n ＋1＋…＋12n －1>ln n ＋1n ＋ln n ＋2n ＋1＋…＋ln 2n2n －1＝ln24．(文科)(2015·温州十校联考) 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b .由题意知f ′(0)＝b ＝2n,16n 2a －4nb ＝0， ∴a ＝12，b ＝2n ，∴f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *.又数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n ，f ′(x )＝x ＋2n ， ∴1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2n . 由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝4(2n －1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝4也符合上式，∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)． (2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝4n2n ＋1.5．(2015·广州调研)已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t－1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23，所以1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1. 因为a 1＝35，所以1a 1－1＝23，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列．(2)由(1)知，1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n ，所以a n ＝3n3n ＋2.假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1). 由a n ＝3n3n ＋2与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)，得⎝⎛⎭⎫3s 3s ＋2－12＝⎝⎛⎭⎫3m 3m ＋2－1⎝⎛⎭⎫3t3t ＋2－1，即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s .因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s .又3m ＋3t ≥23m ＋t ＝2×3s ，当且仅当m ＝t 时，等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．6．(2015·景德镇质检)已知递增数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n ＋n )．(1)求a 1及数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＋1，a n －1·2a n －1＋1，n 为奇数，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，解得a 1＝1.当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n＋n )，所以a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋1)，即(a n －1)2－a 2n －1＝0，所以a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)．又因为数列{a n }为递增数列，所以a n －a n －1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n .(2)由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＋1，a n －1·2a n －1＋1，n 为奇数，n 为偶数，得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋1，(n －1)2n －1＋1，n 为奇数，n 为偶数，则T 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n ＝n (n ＋1)＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n .记S n ＝1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1，①则4S n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －1)×22n ＋1.②由①－②，得－3S n ＝2＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1，＝22＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1－2，所以－3S n ＝4(1－4n )1－4－(2n －1)22n ＋1－2，所以S n ＝4(1－4n )9＋(2n －1)22n ＋13＋23，即S n ＝(6n －5)22n ＋19＋109，故T 2n ＝(6n －5)22n ＋19＋n 2＋2n ＋109.[备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何4

第八章第4节对应学生用书课时冲关理(四十三)/第315页文(四十)/第279页一、选择题1．(2014·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：∵b a＝2,0＝－2c ＋10，∴c ＝5，a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1. 答案：A2．(2015·济南期末)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.32B.62C.233D.33解析：依题意可知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，设双曲线的渐近线方程为y ＝±kx ，则|2k |1＋k 2＝1，解得k 2＝13，即b 2a 2＝13，所以该双曲线的离心率e ＝ 1＋13＝233.故选C. 答案：C3．(2015·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 解析：依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24. 答案：D4．(2015·哈师大附中模拟)与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．y 2－2x 2＝1C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 解析：椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C. 答案：C5．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.答案：C6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为( ) A.233B.33 C ．2 D ．1 解析：因为双曲线的离心率为2，所以c a＝2，即c ＝2a ，c 2＝4a 2.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝4a 2，即b ＝3a ，因此b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥213＝233，当且仅当 a ＝13a 时等号成立．即b 2＋13a 的最小值为233.答案：A7．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→|＋|PF 2→|＝( ) A.10 B ．210 C.5 D ．219解析：∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝40，又||PF 1→|－|PF 2→||＝2a ＝2，∴||PF 1→|－|PF 2→||2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→|×|PF 2→|＝4，∴|PF 1→|×|PF 2→|＝18，||PF 1→|＋|PF 2→||2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|×|PF 2→|＝76，∴|PF 1→|＋|PF 2→|＝219.答案：D8．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.3＋12 D.5＋12解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c ， ∴b a ·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 答案：D9．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2，＋∞)解析：根据双曲线的对称性，若△ABE 是钝角三角形，则只要0<∠BAE <π4即可．直线AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |>|EF |就能使∠BAE <π4，故b 2a>a ＋c ，即b 2>a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，得e >2或e <－1，又e >1，故e >2.故选D.答案：D10．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 解析：由a 2＋1＝4，得a ＝3，则双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设点P (x 0，y 0)，则x 203－y 20＝1，即y 20＝x 203－1. OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 20＋2x 0＋x 203－1 ＝43⎝⎛⎭⎫x 0＋342－74，∵x 0≥3，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B.答案：B11．(2015·临沂联考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2,3)解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a<a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.答案：A二、填空题12．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.解析：由题意知a 2＝1，b 2＝－1m，则a ＝1，b ＝－1m .∴ －1m ＝2，解得m ＝－14. 答案：－1413．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，∠B 1F 1B 2＝60°，则c ＝3b ，即c 2＝3b 2，由c 2＝3(c 2－a 2)，得c 2a 2＝32，则e ＝62. 答案：62三、解答题14．(2014·山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，求双曲线的渐近线方程．解析：由题意可知，抛物线的焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.因为|F A |＝c ，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋a 2＝c 2，即＝⎝⎛⎭⎫p 22＝b 2.联立⎩⎨⎧ y ＝－p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1，消去y ，得x ＝± a 2＋a 2p 24b 2，即x ＝±2a .又因为双曲线截抛物线的准线所得的线段长为2c ，所以22a ＝2c ，即2a ＝c ，所以b ＝a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x .15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，求此双曲线的离心率e 的最大值．解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何6

第八章第6节对应学生用书课时冲关理(四十五)/第319页文(四十二)/第283页一、选择题1．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3，y ＝x ＋b ⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1，得AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b . 又M ⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b 在直线x ＋y ＝0上，可求出b ＝1，则|AB |＝ 1＋12·(－1)2－4×(－2)＝3 2.答案：C2．(2015·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：因为斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，所以ba >3，所以e ＝ca＝1＋b 2a2> 1＋(3)2＝2.所以双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．答案：B3．(2015·西安模拟)已知任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1上或其内部即可．从而m ≥1，又因为椭圆x 25＋y 2m＝1中m ≠5，所以m 的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．答案：C4．(2015·衡水模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：设双曲线离心率为e 1，椭圆离心率为e 2，所以e 1＝ a 2＋b 2a 2，e 2＝ m 2－b 2m 2，故e 1·e 2＝(a 2＋b 2)(m 2－b 2)a 2m2＝1，⇒(m 2－a 2－b 2)b 2＝0，即a 2＋b 2－m 2＝0，所以，以a ，b ，m 为边长的三角形为直角三角形．答案：B5．(2015·嘉定模拟)过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，则x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选D. 答案：D6．(2015·杭州模拟)F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点，第一象限内的点M 在椭圆上，若MF⊥x 轴，直线MN 与圆x 2＋y 2＝1相切于第四象限内的点N ，则|NF |等于( )A.213 B.45 C.214 D.35解析：因为MF ⊥x 轴，F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点，所以F (2,0)，M ⎝⎛⎭⎫2，55，设l MN ：y －55＝k (x －2)， N (x ，y )，则O 到l MN 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－2k ＋55k 2＋1＝1，解得k ＝255(负值舍去)．又因为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y －55＝255(x －2)⇒⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－53，即N ⎝⎛⎭⎫23，－53，所以|NF |＝ ⎝⎛⎭⎫2－232＋⎝⎛⎭⎫532＝213. 答案：A 二、填空题7．已知两定点M (－2,0)，N (2,0)，若直线上存在点P ，使得|PM |－|PN |＝2，则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝3x ＋2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x .其中是“A 型直线”的序号是________．解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x 2－y 23＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.答案：①③8．(2015·无锡模拟)若直线mx ＋ny ＝4与☉O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________．解析：由题意知：4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案：29．已知双曲线左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为其右支上一点，∠F 1PF 2＝60°，且S△F 1PF 2＝23，若|PF 1|，14|F 1F 2|2，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的离心率为________．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因此有m －n＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △PF 1F 2＝12·m ·n ·32＝23，m ·n ＝8.又m ＋n ＝12×4c 2＝2c 2⇒(m ＋n )2＝4c 4.①由余弦定理cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·|PF 2|＝m 2＋n 2－4c 22mn ＝12⇒m 2＋n 2＝8＋4c 2⇒(m ＋n )2＝4c 2＋24. ②①②两式联立解得c 2＝3⇒c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ＝8，m ＋n ＝6，m >n⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2，⇒2a ＝2，a ＝1，e ＝c a ＝ 3.答案： 3 三、解答题10．(2015·衡水模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到点Q (0,3)的距离最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解析：(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则|NQ |＝ (x －0)2＋(y －3)2＝ 4b 2－4y 2＋(y －3)2 ＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值为4b 2＋12＝4，解得b 2＝1，所以a 2＝4，椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， AB 方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0. 由Δ＝(24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，得k 2<15.x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x 0，y 0)，则x 0＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)，y 0＝1t (y 1＋y 2) ＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2). 由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2) ①又由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2<3，化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0，则8k 2－1>0，k 2>18，所以18<k 2<15②由①，得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2，联立②，解得3<t 2<4，所以－2<t <－3或3<t <2.11．(2015·石家庄模拟)椭圆x 2b 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF 2为正三角形，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的离心率满足0＜e ＜5－12，O 为坐标原点，求证：|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.(1)解：由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝ |BF 1|＋|BF 2|，∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2 为边AB 上的中线， ∴F 1F 2⊥AB .在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c4a 3，则c a ＝33，∴椭圆的离心率为33. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1，∴a ＞1＋52. ①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 4a 2， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2－322＋54a 2，∵a 2＞3＋52，∴OA →·OB →＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为： y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k 2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0， ∴∠AOB 恒为钝角，∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2. 12．(2015·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分． (1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14m ，线段MF 的中点N ⎝⎛⎭⎫1，18m －14在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14⎝⎛⎭⎫m ＝－12舍去. (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何2

第八章第2节对应学生用书课时冲关理(四十一)/第312页文(三十八)/第275页一、选择题1．“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．答案：A2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C3．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝⎛⎭⎫a ，－32b ，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－ba >0，直线不经过第四象限．答案：D4．(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4, 故选B. 答案：B5．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：⊙C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2.⊙C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，半径r 2＝2. ∴|C 1C 2|＝13，∴|r 1－r 2|＝0<|C 1C 2|<r 1＋r 2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线．答案：B6．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0) (m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.答案：A7．(2015·郑州第一次质检)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.答案：D8．已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1B.45C.25D ．2解析：∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min ＝2－1＝1.答案：A9．(2015·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2D. 2解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.答案：C10．(2015·成都模拟)直线l ：mx ＋(m －1)y －1＝0(m 为常数)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，则下列说法正确的是( )A ．当m 变化时，直线l 恒过定点(－1,1)B ．直线l 与圆C 有可能无公共点C ．对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN 的长的最小值为2 3解析：直线l 可化为m (x ＋y )－(y ＋1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴l 过定点(1，－1)，故A 错；又(1－1)2＋(－1)2＝1＜4，∴点(1，－1)在⊙C 内部，∴l 与⊙C 恒相交，故B 错；当l 过圆心C (1,0)，即m ＝1时，圆心上存在关于直线l 对称的两点，故C 错．故选D.答案：D11．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8D ．8 2解析：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝ (a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.答案：C12．(2015·吉林模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时||OA →＋OB →＞33||AB→，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.答案：C 二、填空题13．(2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝⎛⎭⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 14．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：圆的方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1)15．(2014·重庆高考)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，∴圆心为C (－1,2)，半径为3.∵AC ⊥BC ，∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 9－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －3|22＝32，即(a －3)2＝9，∴a ＝0或a ＝6. 答案：0或616．(2015·吉林长春一调)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关系直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值为________．解析：将圆化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心坐标为C (－1,2)，代入直线2ax ＋by ＋6＝0，得－2a ＋2b ＋6＝0，即点(a ，b )在直线l ：－x ＋y ＋3＝0上，过C (－1,2)作l 的垂线，垂足设为D ，过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长DE 最短，于是有|CE |＝2，|CD |＝|6|2＝32，∴由勾股定理得|DE |＝4. 答案：417．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．解析：如图，取AC 的中点F ，BD 的中点E ，则OE ⊥BD ，OF ⊥AC .又AC ⊥BD ， ∴四边形OEMF 为矩形，设|OF |＝d 1，|OE |＝d 2，∴d 21＋d 22＝|OM |2＝3. 又|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22＝2(1＋d 22)·(4－d 22)＝2－⎝⎛⎭⎫d 22－322＋254. ∵0≤d 22≤3.∴当d 22＝32时，S 四边形ABCD 有最大值是5. 答案：5[备课札记]。

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何1

第八章第1节对应学生用书课时冲关理(四十)/第311页文(三十七)/第273页一、选择题1．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．60°或120°解析：由|k |＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.答案：C2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.答案：D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1. 答案：D4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，∴直线l 2恒过定点(0,2)．答案：B5．(2015·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变为y ＝－A B x －C B .∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0，∴其斜率k ＝－A B ＜0.又y 轴上的截距b ＝－C B ＞0，∴直线过第一、二、四象限．答案：C6．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m .∴m ＝－6或m ＝12.故应选B.答案：B7．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为() A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：由题意设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案：D8．(2015·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：D9．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π2，3π4，故选C.答案：C10．(2015·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2 α ＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B11．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y －2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0.又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0,3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.答案：D12．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．33D ．2 5解析：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝2.答案：A二、填空题13．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 设l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 14．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1. ①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1. ②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝015．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据均值不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：1616．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________．解析：取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎨⎧ a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， ∴B (3,5)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4， ∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x－2y＋7＝0. 答案：x－2y＋7＝0 [备课札记]。

2016版高考数学大一轮复习课件：第2章-第8节函数与方程

基础知识点
只有一根在 m，n 之间
核心考向
菜单
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方法技巧
Δ＝0， m＜－2ba＜n，
或 f(m)·f(n)＜0
课时限时检测
第九页，编辑于星期五：二十三点五十五分。
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基础知识点
方法技
1．若函数 f(x)＝x2＋mx＋1 有两个零点，则实数 m 的取巧
规律方法 2 已知函数有零点求参数取值范围常用的方
基础知识点
法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，
方法技巧
再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题
加以解决；课
核
时
心考
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标
测
菜单
第二十二页，编辑于星期五：二十三点五十五分。
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基础知识点
思想方法之七解决方程根问题的一大“利器” ——数形结合
方法技巧
利用函数处理方程解的问题，方法如下：
(1)方程 f(x)＝a 在区间 I 上有解⇔a∈{y|y＝f(x)，x∈I}，
⇔y＝f(x)与 y＝a 的图象在区间 I 上有交点．
技巧
()
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】 B 课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第十四页，编辑于星期五：二十三点五十五分。
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2016版创新设计高考总复习数学人教A版课件第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程

考点突破考点二根据函数零点的存在情况，求参数的值
【例 2】已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ex2(x＞0)． (1)若 y＝g(x)－m 有零点，求 m 的取值范围；利用数形结合 (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根．
解 (1)法一 ∵g(x)＝x＋ex2≥2 e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，
由根与系数的关系，
得(a－2)＋(a2－1)＋1＜0，即a2＋a－2＜0， ∴－2＜a＜1.
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考点突破考点三与二次函数有关的零点问题
【训练3】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．
2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零
点．
3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个
数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
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课堂小结易错防范
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝ f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
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考点突破考点二根据函数零点的存在情况，求参数的值
【训练 2】(1)函数 f(x)＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是( ) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) (2)见下一页
所以f(x)＝x2＋x.

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【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第二章第8节函数与方程课时冲关理新人教A 版对应学生用书课时冲关理十一第253页文十一第221页一、选择题1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析：A 中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B 中函数的图象不连续；D 中函数在x 轴下方没有图象，故选C.答案：C2．(2015·荆门调研)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选B.答案：B3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x >0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B.答案：B4．(2015·北京高考)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：方法一：对于函数f (x )＝6x－log 2x ，因为f (2)＝2>0，f (4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x与g (x )＝log 2x 的大致图象，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2,4)．答案：C5．(2015·天津模拟)函数f (x )＝|tan x |，则函数y ＝f (x )＋log 4x －1与x 轴的交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：函数y ＝f (x )＋log 4x －1与x 轴的交点个数，为方程f (x )＋log 4x －1＝0的解的个数，即方程f (x )＝－log 4x ＋1解的个数，也即函数y ＝f (x )，y ＝－log 4x ＋1的图象交点个数，作出两个函数图象可知，它们有3个交点．故选C.答案：C6．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝x 和y ＝cos x 的图象，如图，由于x >1时，y ＝x >1，y ＝cos x ≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x －cos x ＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.答案：B7．(2015·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.答案：C8．(2015·郑州模拟)已知x 0是函数f (x )＝11－x＋ln x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0解析：令f (x )＝11－x ＋ln x ＝0.从而有ln x ＝1x －1，此方程的解即为函数f (x )的零点．在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象如图所示．由图象易知，1x 1－1＞ln x 1，从而ln x 1－1x 1－1＜0，故ln x 1＋11－x 1＜0，即f (x 1)＜0.同理f (x 2)＞0.答案：D9．(2015·金华模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 解析：依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －f，f f ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋m ＋m ＋，[m －2＋m ＋m ＋m －＋2m ＋m ＋，解得14<m <12.答案：C10．(2015·济南模拟)设函数f 1(x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f 2(x )＝log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2解析：依题意知x 1>x 2>0，且log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝0，log 12 x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝0，则log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x1＝log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝－log 2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，所以log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2<0＝log 21，所以0<x 1x 2<1.答案：A11．(2015·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①y ＝2x ；②y ＝－2x ；③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x>0，所以y ＝2x没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1，故选D.答案：D 二、填空题12．(2015·烟台模拟)函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为________．解析：由f (x )＝0得cos x ＝log 8x ，设y ＝cos x ，y ＝log 8x ，作出函数y ＝cos x ，y ＝log 8x 的图象，由图象可知，函数的零点个数为3.答案：313．(2015·浙江协作体模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．解析：由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 值，解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14；解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f [f (x )]＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，214．已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．解析：令x ＋2x＝0，即2x＝－x ，设y ＝2x，y ＝－x ；令x ＋ln x ＝0，即ln x ＝－x ，设y ＝ln x ，y ＝－x .在同一坐标系内画出y ＝2x，y ＝ln x ，y ＝－x ，如图：x 1<0<x 2<1，令x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0，∴x ＝1＋52，即x 3＝3＋52>1，所以x 1<x 2<x 3.答案：x 1<x 2<x 315．(文科)已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．解析：因为f (－x ＋2)＝f (－x )，所以y ＝f (x )为周期函数，其周期为2.在同一直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )和y ＝log 7x 的图象如图，当x ＝7时，f (7)＝1，log 77＝1，故y ＝f (x )与y ＝log 7x 共有6个交点．答案：615．(理科)(2015·河北邯郸一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12＋x 2＋2x ，x <0，f x －，x ≥0，且函数y ＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x <0时，f (x )＝(x ＋1)2－12，把函数f (x )在[－1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数y ＝f (x )在[0,1)上的图象，继续右移可得函数f (x )在[0，＋∞)上的图象．如果函数y ＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，即函数y ＝f (x )，y ＝－ax 的图象有三个不同的公共点，当－a >0时，易知a 无解．当－a <0时，－a <－12即a >12，综上知，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[备课札记]。