高考数学一轮单元复习第72讲 坐标系
高三数学坐标系知识点
高三数学坐标系知识点在高三数学学习中，坐标系是一个非常重要的知识点。
坐标系是数学中用来描述点的位置的一个工具，它能够帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍高三数学中坐标系的相关知识点，包括直角坐标系、极坐标系和三维坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系之一。
它由两条垂直于彼此的数轴构成，分别为x轴和y轴。
在直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数表示，记作(x, y)。
其中，x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
这种表示方法被称为点的坐标。
直角坐标系中，我们可以通过两点之间的距离公式和两点之间的斜率公式来解决许多几何和代数问题。
距离公式可以用于计算两点之间的距离，斜率公式可以用于计算线段的斜率。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系。
它由极轴和极点组成。
极轴是一个从极点出发的无限长直线，极点则是极轴上的一个固定点。
在极坐标系中，每个点都可以用一个有序对(r, θ)来表示。
在极坐标系中，r表示点到极点的距离，θ表示该点与极轴的夹角。
这里的距离表示点到极点的距离的长度，夹角表示从极轴按逆时针方向旋转到点与极点连线之间的角度。
极坐标系的使用可以简化某些问题的解决方法，尤其是与圆和曲线相关的问题。
例如，通过表示一个点在极坐标系中的坐标，我们可以更容易地描述和绘制圆弧和螺旋线等曲线。
3. 三维坐标系三维坐标系是用来描述在三维空间中点的位置的坐标系。
它由三个彼此垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
在三维坐标系中，每个点都可以用一个有序的实数三元组(x, y, z)来表示。
三维坐标系的应用非常广泛，例如在几何中，我们可以通过三维坐标系来计算空间中两点之间的距离，并求解空间直线和平面的交点等问题。
在物理学中，三维坐标系可以用来描述和分析物体的运动和力学性质。
总结：高三数学中的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和三维坐标系。
直角坐标系通过x轴和y轴来表示一个点的位置，极坐标系通过距离和角度来表示一个点的位置，而三维坐标系则是用三个坐标轴来描述一个点的位置。
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
高考直角坐标系知识点
高考直角坐标系知识点直角坐标系是高考数学中非常重要的知识点，它是解析几何的基础，也是理解和应用各种图形的关键。
在高考中，对直角坐标系的掌握不仅需要了解其定义和性质，还需要能够运用直角坐标系解决各类问题。
下面将从直角坐标系的基本概念、坐标变换、方程表示以及运动问题等几个方面进行探讨。
一、直角坐标系的基本概念直角坐标系由x轴和y轴组成，它们在原点O处相交，x轴和y 轴分别表示水平方向和垂直方向。
我们可以将平面上的任意一点P表示为有序数对(x, y)，其中x表示点P在x轴上的横坐标，y表示点P 在y轴上的纵坐标。
直角坐标系的单位长度可以根据具体问题进行选择，通常为1个单位长度表示1个单位，如1cm或1m。
二、坐标变换在直角坐标系中，我们常常需要进行坐标变换，即将一个点的坐标表示从一个直角坐标系变换到另一个直角坐标系中。
坐标变换有两种类型：平移和旋转。
平移是指将一个点沿着指定方向按照指定的距离进行移动，保持其在新的坐标系中的位置不变。
平移的规律可以用方程表示，对于点P(x, y)的平移，新的坐标为P'(x+a, y+b)，其中a表示在x轴上平移的距离，b表示在y轴上平移的距离。
旋转是指将一个点绕着某个中心按照指定的角度进行旋转，保持其在新的坐标系中的位置不变。
旋转的规律可以用方程表示，对于点P(x, y)的旋转，新的坐标为P'((x-c)cosθ-(y-d)sinθ+c, (x-c)sinθ+(y-d)cosθ+d)，其中c表示旋转中心的横坐标，d表示旋转中心的纵坐标，θ表示旋转的角度。
三、方程表示直角坐标系能够方便地表示各种图形的方程。
在直角坐标系中，我们可以将直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线等形状用方程的形式表示出来，从而方便地进行计算和分析。
对于直线，方程一般表示为y = kx + b，其中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
我们可以根据直线上的两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)求出斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)，然后可以根据斜率和一个点的坐标求出直线的方程。
高考数学中的坐标系及相关概念
高考数学中的坐标系及相关概念坐标系是高考数学中的一个非常重要的概念，它将我们所研究的问题与数轴或者平面上的点一一对应。
在高考数学中，我们会涉及到不同类型的坐标系，如直角坐标系和极坐标系，不同的坐标系对应的相关概念也不同。
接下来，让我们一起来探究高考数学中的坐标系及相关概念。
一、直角坐标系直角坐标系通常也被称作笛卡尔坐标系，它是一种平面坐标系，由两条数轴所构成，也就是我们经常说的x轴和y轴。
在直角坐标系中，我们可以用有序数对表示平面上的点，即(x,y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
这两个数分别对应我们平面上的水平和垂直方向。
例如，点A的坐标为(2,3)，表示它在x轴上的坐标为2，y轴上的坐标为3。
与之对应，我们可以将一条直线或者一个图形用一条或者多条方程式表示出来，这样方便我们对它们进行进一步的分析和计算。
在高考数学中，我们常常需要根据已知的条件，求解出未知量的值。
在直角坐标系中，我们可以使用代数的方法进行求解，比如我们可以通过联立两个方程式，解出它们的解集。
另外，在直角坐标系中还有一些特殊的图形，如直线、抛物线、圆等，它们都有自己的特殊性质和求解方法。
在应用题中，我们还可以利用直角坐标系解决实际问题，如计算两个地点之间的距离、判断一个点是否在一个矩形之内。
二、极坐标系相比于直角坐标系，极坐标系更为抽象，也更为灵活。
在极坐标系中，一个点不再是用有序数对表示，而是用它与极轴的距离和极角的度数表示。
其中极轴是数学家所定义的一条射线，它的角度为0度。
极角表示该点与极轴的夹角，通常用弧度制表示。
例如，一个点离极轴的距离为2，与极轴的夹角为60度，则它的极坐标为(2, Pi/3)。
其中，Pi/3是60度的弧度制表示。
在高考数学中，极坐标系通常用来描述一些特殊的图形，如双曲线、极坐标方程、极坐标直角坐标系等。
利用极坐标系可以帮助我们更好地理解这些图形的特点和性质。
另外，在应用题中，也会有一些需要用到极坐标系的情形，如描述风向和风速、计算一艘船到某个港口的距离和角度等。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
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课前自助餐课本导读一、直角坐标系在给定坐标系下，任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．二、极坐标系 1 ．基本概念在平面上取一个定点O，自点O引一射线OX ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点O称为极点，射线OX 称为极轴．2．极径与极角设M是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角，那么，有序数对(ρ，θ) 称为点M 的极坐标，其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．三、球坐标系与柱坐标系1 ．球坐标系在空间任取一点O作为极点，从O引两条互相垂直的射线OX 和OZ 作为极轴，再规定一个单位长度和射线OX 绕OZ 轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．设P是空间一点，用r表示OP 的长度，θ表示以OZ 为始边，OP 为终边的角，φ表示半平面XOZ 到半平面POZ 的角．那么，有序数组(r ，θ，φ) 就称为点P的球坐标．2 ．柱坐标系在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的OZ 轴，可得空间柱坐标系．设P是空间一点，P在过O且垂直于OZ 的平面上的射影为Q，取OQ ＝ρ，∠xOQ ＝θ，OP ＝z，那么，点P的柱坐标为有序数组(ρ，θ，z) ．四、求曲线的极坐标方程的基本步骤第一步建立适当的极坐标系；第二步在曲线上任取一点P(ρ，θ) ；第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程．题型二极坐标与直角坐标方程的互化例2 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ. (1) 把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 求经过⊙O1 、⊙O2 交点的直线的直角坐标方程．【解析】以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)∵x ＝ρcosθ，y＝ρsin θ，∴由ρ＝4cosθ，得ρ2 ＝4ρcosθ，∴x2 ＋y2 ＝4x. 即x2 ＋y2 －4x ＝0为⊙O1 的直角坐标方程．同理x2 ＋y2 ＋4y ＝0为⊙O2 的直角坐标方程．题型三极坐标的应用例 3 过原点的一动直线交圆x2 ＋(y －1)2 ＝1于点Q，在直线OQ 上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|. 用极坐标法求动直线绕原点一周时P点的轨迹方程．【思路分析】根据题意画出图形，如图所示，以O为极点建立极坐标系，由|PQ| ＝|PR| 建立等式关系，求出点P的极坐标轨迹方程，再化为直角坐标方程即可．【解析】以O为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如图所示，过P作PR 垂直直线y＝2，则|PQ| ＝|PR|. 设P(ρ，θ) ，Q(ρ0 ，θ) ，则有ρ0 ＝2sinθ. ∵|PR| ＝|PQ| ，∴|2 －ρsinθ| ＝|ρ－2sinθ|. ∴ρ＝±2 或sinθ＝±1 ①即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2 ＋y2 ＝4或x＝0. 探究3 用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．探究4 找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．类似地，找出空间一点的球坐标，则应先找出φ角(OP 与Oz 轴正向所夹的角)及r的值(r ＝|OP|) ．从而将它转为平面极坐标的问题，其极径ρ＝rsin φ. 关于极坐标系(1) 极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可．(2) 由极径的意义知ρ≥0 ，当极角θ的取值范围是[0,2π] 时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0) 建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．(3) 极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极点是“一对多”的关系．但不同的极坐标可以写出统一的表达式．如果(ρ，θ) 是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ) 或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k∈Z) 都可以作为点M的极坐标．选考部分??选修4-4?? 第1课时课前自助餐授人以渔课时作业*高考调研?? 新课标高考总复习高三数学（人教版）高考调研??新课标高考总复习数学（文）选修4－4 坐标系与参数方程第1课时坐标系1．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2 ．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3 ．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程. 7>2011 ?? 考纲下载从目前参加新课标高考的省份对本部分内容的考查来看，主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极坐标方程与极坐标方程的简单应用，预测2012 年高考在试题难度、知识点考查等方面，不会有太大的变化. 请注意！答案 D 教材回归答案 C 4．极坐标方程分别为ρ＝2cosθ与ρ＝2sinθ的两个圆的圆心距为________ ．授人以渔题型一平面直角坐标系下图形的变换题型四柱坐标系与球坐标系例4 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为500 m ，每要邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．本课总结选考部分??选修4-4?? 第1课时课前自助餐授人以渔课时作业*高考调研?? 新课标高考总复习高三数学（人教版）1．曲线y＝sin3x 由正弦曲线y＝sinx经过怎样的变换得到( )A．横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍B．横坐标不变，纵坐标也不变C．横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变D．横坐标压缩为原来的，纵坐标不变 2．将极坐标(2，)化为直角坐标为( ) A．(0,2) B．(0，－2)C．(2,0) D．(－2,0)3．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1答案 5．设点M的柱坐标为(2，，4)，则它的直坐标为________．答案(1，－，4)例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换，后的图形．(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.【解析】由伸缩变换得到(*)(1)将(*)代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形方程是x′＋y′＝0.因此，经过伸缩变换后，直线2x＋3y＝0变成直线x′＋y′＝0(2)将(*)代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝1.因此，经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成椭圆＋＝1.探究1 (1)解决该类问题时，要注意变换时点的坐标之间的,对应关系．(2)平面坐标系中几种常见变换①平移变换在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点为P′(x′，y′)，则有(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示为②伸缩变换一般地，由所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换(当k>1时，表示伸长；当k<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里，P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点)．思考题1 在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2 变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．【解析】设变换为可将其代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4，直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.(2)由解得即⊙O1、⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.探究 2 极坐标和直角坐标互化关系式或是解决本例的突破口．思考题2 (1)点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．(2)点P的极坐标为(3，－)，则点P的直角坐标为________．【解析】由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它们之间可以互化，则或 (1)x＝1，y＝－，∴ρ＝2，tanθ＝－，θ＝.故极坐标为(2，)．(2)ρ＝3，θ＝－，故x＝ρcosθ＝，y＝－，从而点的直角坐标为(，－)．【答案】(1)(2，) (2)(，－) 思考题3 (2010??深圳)求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．【解析】建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝.PQ是抛物线的弦，若点P的极角为θ，则点Q的极角为π＋θ.因此有。
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解析：取O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直 线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)．
∵点A在直线ρcosθ＝4上． ∴ρ0cosθ0＝4.① ∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝π2， 而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝π4， ∴ρ0＝ 2ρ，且θ0＝θ－π4.② 把②代入①，
解析：因为x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，所以原方程可化为ρ2－ 8ρsinθ＝0.
所以ρ＝0或ρ＝8sinθ. 经检验，得所求的极坐标方程为ρ＝8sinθ. 答案：ρ＝8sinθ
4．极坐标方程ρ＝6cosθ－π3的直角坐标方程为__________． 解析：原方程可化为ρ＝6cosθcosπ3＋6sinθsinπ3， 方程两边同乘ρ，得ρ2＝3ρcosθ＋3 3ρsinθ， 由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得所求的直角坐标方程为 x2＋y2－3x－3 3y＝0.
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长 度，如图所示．
(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是
(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐
标的互化公式如表：
答案：x2＋y2－3x－3 3y＝0
5．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是_______，它 与方程θ＝π4(ρ＞0)所表示的图形的交点的极坐标是__________．
解析：圆心的极坐标为(1,0)，半径为1，θ＝
π 4
与圆的交点的极
坐标为
2，π4.
答念 (1)极坐标系： 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做①__，从O点引一条 射线Ox，叫做②___，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取 逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为③_____.
高考数学中的坐标系与几何知识点
高考数学中的坐标系与几何知识点坐标系与几何是高考数学中的重要组成部分，主要考查考生对坐标系的理解与应用，以及平面几何、空间几何的基本知识。
以下是该知识点的主要内容：一、坐标系1. 直角坐标系直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴（横轴和纵轴）所围成的平面区域。
在直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数（横坐标，纵坐标）来表示。
2. 参数方程参数方程是另一种描述曲线的方法，它将曲线上的点与一个参数（通常为角度或弧长）联系起来。
参数方程通常分为两种：极坐标方程和参数方程。
3. 极坐标系极坐标系是由原点、半径和角度三个参数来描述一个点的位置。
在极坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ)，其中r是点与原点的距离，θ是点与正半轴的夹角。
4. 空间坐标系空间坐标系是由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴、z轴）所围成的空间区域。
在空间坐标系中，每个点都可以用三个有序实数（x坐标，y坐标，z坐标）来表示。
二、平面几何1. 点、线、面点、线、面是平面几何最基本的概念。
点是没有长度、宽度、高度的实体；线是由无数个点连成的，有方向但没有宽度的实体；面是由无数个线连成的，有长度和宽度的实体。
2. 直线方程直线方程是描述直线位置关系的一组式子。
在平面直角坐标系中，直线方程通常分为两种：点斜式和一般式。
3. 圆圆是由平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点组成的。
圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
4. 三角形三角形是由三个顶点、三条边和三个内角组成的。
三角形的性质包括：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和为180度。
三、空间几何1. 点、线、面与平面几何类似，空间几何中的点、线、面也有类似的概念。
在空间几何中，点是没有长度、宽度、高度的实体；线是由无数个点连成的，有方向但没有宽度的实体；面是由无数个线连成的，有长度和宽度的实体。
2. 空间直线方程空间直线方程是描述空间直线位置关系的一组式子。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解70---坐标系
高考数学一轮复习考点知识专题讲解坐标系考点要求1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．知识梳理 1．伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内任意一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r ,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ<π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a ,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0<θ<π)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.(√)(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(√) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(×) (4)tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线．(×)教材改编题1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C ．(1,0)D ．(1，π) 答案B解析方法一由ρ＝－2sin θ， 得ρ2＝－2ρsin θ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1， 圆心坐标为(0，－1)， 其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.方法二由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.2．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是()A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3 答案A解析先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.3．在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案1＋ 2解析由⎩⎨⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y2可将直线ρcos θ＋ρsin θ＝a 化为x ＋y －a ＝0，将ρ＝2cos θ，即ρ2＝2ρcos θ化为x 2＋y 2＝2x ，又∵直线与圆相切，∴圆心(1,0)到直线x ＋y －a ＝0的距离d ＝|1－a |2＝1，解得a ＝1±2， ∵a >0，∴a ＝1＋ 2.题型一 极坐标与直角坐标的互化例1(1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为() A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1 答案C解析ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝1，即x 2＋y 2＝0或x ＝1. (2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z )答案C解析∵ρ＝(－1)2＋(3)2＝2， tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.教师备选在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，C 2：ρ2＝13－4sin 2θ. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)曲线C 1，C 2的交点为M ，N ，求以MN 为直径的圆与y 轴的交点坐标． 解(1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，得ρ⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝22， 将⎩⎨⎧ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x代入上式得x ＋y ＝1，即C 1的直角坐标方程为x ＋y －1＝0， 同理，由ρ2＝13－4sin 2θ，可得3x 2－y 2＝1， ∴C 2的直角坐标方程为3x 2－y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧3x 2－y 2＝1，x ＋y ＝1得3x 2－(1－x )2＝1，即x 2＋x －1＝0， ∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－1，则MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，由弦长公式，可得|MN |＝1＋(－1)2|x 1－x 2|＝2×1－4×(－1)＝10. ∴以MN 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝⎛⎭⎪⎫1022＝52. 令x ＝0，得14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94，∴y ＝0或y ＝3，∴以MN 为直径的圆与y 轴的交点坐标为 (0,0)或(0,3)．思维升华 (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边同时平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验． 跟踪训练1已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的方程为x ＋y ＝3，C 3是一条经过原点且斜率大于0的直线．(1)以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，求C 1与C 2的极坐标方程；(2)若C 1与C 3的一个公共点为A (异于点O )，C 2与C 3的一个公共点为B ，当|OA |＋3|OB |＝10时，求C 3的直角坐标方程．解(1)曲线C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝1，整理得x 2＋y 2－2x ＝0，转换为极坐标方程为ρ＝2cos θ.曲线C 2的方程为x ＋y ＝3，转换为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－3＝0. (2)因为曲线C 3是一条经过原点且斜率大于0的直线， 则极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，由于C 1与C 3的一个公共点为A (异于点O )， 故⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝α，所以|OA |＝2cos α，C 2与C 3的一个公共点为B ， 所以⎩⎨⎧ρcos θ＋ρsin θ＝3，θ＝α，所以|OB |＝3cos α＋sin α.由于|OA |＋3|OB |＝10，所以2cos α＋cos α＋sin α＝10， 即3cos α＋sin α＝10， 310cos α＋110sin α＝1， 当sin α＝110，cos α＝310时，tan α＝13，故曲线C 3的直角坐标方程为y ＝13x .题型二 求曲线的极坐标方程例2(2022·梧州模拟)在极坐标系中，已知三点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)若A ，B ，C 三点共线，求ρ的值；(2)求过O ，A ，B 三点的圆的极坐标方程．(O 为极点)解以极点为坐标原点，以极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，(1)因为A ，B 两点的极坐标分别为A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2，所以其直角坐标分别为A (2,0)，B (0，－2)，即直线AB 的方程为y ＝x －2， 因为C 点的极坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6，所以其直角坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线AB 的方程， 可得12ρ＝32ρ－2，解得ρ＝2()3＋1. (2)因为OA ⊥OB ，所以AB 的中点(1，－1)即为圆心， 半径r ＝12＋(－1)2＝2，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2， 即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ＝0， 即ρ＝2cos θ－2sin θ. 教师备选已知曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的直角坐标方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解(1)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2，所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤 (1)将已知条件转化到直角坐标系中． (2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程． (3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程．跟踪训练2(2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解(1)因为M (ρ0，θ0)在C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ， 在Rt△OPQ 中，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt△OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 题型三 极坐标方程的应用例3(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点． 当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2， 所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2， 所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.教师备选在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解(1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)， 点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题意知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为 (x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. 思维升华 极坐标方程及其应用的解题策略(1)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．(2)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．跟踪训练3在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离． 解(1)由ρ2＝161＋3sin 2θ，得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16， 则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16， 即x 216＋y 24＝1. 直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0. (2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0,2π)， 则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为 d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin (θ－α)－9|2≤9＋72， 所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.课时精练1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ<2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 2．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径r ＝2，点P 的极坐标为(2，π)，过P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程； (2)求|PA |·|PB |的值．解(1)∵圆C 的圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴y ＝2sinπ4＝1，x ＝2cos π4＝1， 即圆心的直角坐标为(1,1)， ∴圆C 的直角坐标方程为 (x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)点P 的极坐标为(2，π)， 化为直角坐标为P (－2,0)． 当直线l 与圆C 相切于点D 时， 则|PD |2＝|PC |2－r 2＝(－2－1)2＋(0－1)2－(2)2＝8， ∴由切割线定理得|PA |·|PB |＝|PD |2＝8.3．(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解(1)曲线C 1的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，整理得x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，转换为极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0. 由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(2)由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3，得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0， 设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7， ∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA ||OB | ＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 4．(2019·全国Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3是弧CD .(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．解(1)由题设可得，AB ，BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知 若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.5．(2022·鹰潭模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝4.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2，C 3的极坐标方程分别为ρ＝2sin θ，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(1)若曲线C 2，C 3相交于异于极点的点Q ，求点Q 的直角坐标；(2)若直线l ：θ＝α(ρ∈R )与C 1，C 2相交于异于极点的A ，B 两点，求|AB |的最大值．解(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，将⎩⎨⎧x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，可得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ；由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2cos θcos π6－2sin θsin π6＝3cos θ－sin θ，得ρ2＝3ρcos θ－ρsin θ，将⎩⎨⎧x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，可得C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x －y . 联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2y ，x 2＋y 2＝3x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，所以点Q 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.(2)由(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝4， 可得x 2＋y 2＋23x ＋2y ＝0，将⎩⎨⎧x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，可得C 1的极坐标方程为ρ2＋23ρcos θ＋2ρsin θ＝0， 则ρ＝－23cos θ－2sin θ. 设A (ρA ，α)，B (ρB ，α)，则ρA ＝－23cos α－2sin α，ρB ＝2sin α， 所以|AB |＝|ρB －ρA |＝|4sin α＋23cos α|＝27⎪⎪⎪⎪⎪⎪27sin α＋37cos α＝27|sin(α＋β)|⎝ ⎛⎭⎪⎫sin β＝37，cos β＝27，因为|sin(α＋β)|≤1，所以|AB |＝27|sin(α＋β)|≤27. 故|AB |的最大值为27.。
高考数学第一轮复习：《坐标系》
高考数学第一轮复习：《坐标系》最新考纲1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ.以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin_θ，由此得ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．3．常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos θ圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r，π2，半径为r的圆ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a过点⎝⎛⎭⎪⎫a，π2，与极轴平行的直线ρsin θ＝a1．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为()(A)一条射线和一个圆(B)两条直线(C)一条直线和一个圆(D)一个圆C解析：由ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，得cos θ＝0或ρ＝4sin θ.当cos θ＝0时，θ＝π2 (ρ∈R)，极坐标方程表示一条直线；当ρ＝4sin θ时，极坐标方程表示一个圆．故选C.2．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析：由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点2，π3对应的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6对应的直角坐标方程为x＋3y＝6，由点到直线距离公式可得，所求距离为|1＋3×3－6|12＋(3)2＝1.答案：13．直线3x－2y＋1＝0经过⎩⎨⎧x′＝3x，y′＝2y变换后的直线方程为________．解析：由变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝y ′2，代入直线方程，得3×x ′3－2×y ′2＋1＝0，即x ′－y ′＋1＝0，所以变换后的直线方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝04．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C相交于A ，B 两点，则|AB |＝______.解析：化极坐标方程为直角坐标方程，化参数方程为普通方程，联立直线l 和曲线C 的方程，求出交点A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式求解．由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t ，得y 2－x 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322， 故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.答案：2 5 5．给出下列命题：①点(3,2)经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧3x ′＝x ，2y ′＝y后所得点的坐标为(1,1)．②将函数y ＝sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin x 的图象．③在极坐标系中，点2，π3与2，－5π3为同一点．④在极坐标系中，方程ρcos θ＝1表示圆．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①正确．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝13x，y′＝12y，则点(3,2)经过变换φ后的点的坐标为(1,1)．②正确．将函数y＝sin 2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin212x＝sin x 的图象．③正确．极坐标系中，点2，π3与2，π3＋2kπk∈Z为同一点．④错误．极坐标系中，方程ρcos θ＝1表示垂直于极轴的直线．答案：①②③考点一平面直角坐标系中的伸缩变换(1)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x，y′＝3y，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为________．(2)函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π4经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x，y′＝12y后的解析式为________．答案：(1)y′＝3sin 2x′(2)y′＝12sin⎝⎛⎭⎪⎫x′＋π4【反思归纳】平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx(λ>0)，y′＝μy(μ>0)的作用下得到的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝f⎝⎛⎭⎪⎫x′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．【即时训练】 若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin x ′＋π6得 3y ＝3sin2x ＋π6，整理得y ＝sin2x ＋π6，故f (x )＝sin2x ＋π6. 所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π. 考点二 极坐标与直角坐标的互化(1)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．解析：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ≤2π)． (2)解法一 把ρ＝x 2＋y 2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ，得x 2＋y 2＝8·y x 2＋y2，即x 2＋y 2－8y ＝0， 即x 2＋(y －4)2＝16.解法二 方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x 2＋y 2－8y ＝0.【反思归纳】 (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．【即时训练】 在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)求经过O ，A ，B 三点的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋a cos θy ＝1＋a sin θ(θ是参数，a ＞0)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 解析：(1)O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，又因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入可求得经过O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θy ＝1＋a sin θ (θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝a 2，因为圆C 1与圆C 2外切，所以2＋a ＝2，解得a ＝2－ 2.考点三 简单曲线的极坐标方程及应用已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．解析：(1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2. 【反思归纳】 (1)求曲线的极坐标方程，就是找出动点M 的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程f (ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．(2)极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解直角或斜三角形． (3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解，然后再转化为极坐标方程，注意方程的等价性．【即时训练】 已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝2a sin θ(a 是非零常数)．(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若两圆的圆心距为5，求a 的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. 所以⊙O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1.由ρ＝2a sin θ，得ρ2＝2aρsin θ. 所以⊙O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ， 即x 2＋(y －a )2＝a 2. (2)⊙O 1与⊙O 2的圆心距为12＋a 2＝5，解得a ＝±2.极坐标方程的应用在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 审题指导关键点所获信息求曲线C 2与C 3交点的直角坐标 化曲线C 2与C 3的极坐标方程为直角坐标方程求|AB |的最大值化曲线C 1的参数方程为极坐标方程， 利用极坐标求距离最大值解题突破：(1)联立曲线C 2与C 3的直线坐标方程；(2)由两点间距离公式和三角等变换求|AB |的最大值.解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4sin α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 课时作业1．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ.(1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值． 解：(1)由题意可得C 1：x 2＋2y 2＝2；l ：2y ＋x －4＝0. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离 d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝|2sin (θ＋π4)－4|3≥23＝233.当且仅当θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．所以点Q 到直线l 的距离的最小值为233.2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由题意可得圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设点P (p 1，θ1)，由⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝π3，解得⎩⎨⎧ρ1＝1，θ1＝π3.设点Q (ρ2，θ2)，由⎩⎨⎧ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，θ＝π3，解得⎩⎨⎧ρ2＝3，θ2＝π3，所以|PQ |＝2.3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.4．在直角坐标xOy 中，在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ＝4cos θ(0≤θ＜π2)，C 2：ρcos θ＝3.(1)求C 1与C 2的交点的极坐标；(2)设点Q 在C 1上，OQ →＝23QP →，求动点P 的极坐标方程．解析：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3ρ＝4cos θ，cos θ＝±32，∵0≤θ＜π2，θ＝π6，ρ＝23交点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (2)设P (ρ，θ)，Q (ρ0，θ0)且ρ0＝4cos θ0，θ0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，由已知 OQ →＝23QP →，得⎩⎨⎧ρ0＝25ρθ0＝θ，∴25ρ＝4cos θ，点P 的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.5．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋sin 2θ，过点P (1,0)的直线l 交曲线C 于A 、B两点．(1)将曲线C 的极坐标方程化为普通方程；(2)求|P A |·|PB |的取值范围．解：(1)由ρ＝21＋sin 2θ得ρ2(1＋sin 2θ)＝2， 得曲线C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，代入x 22＋y 2＝1得(cos 2α＋2sin 2α)t 2＋2t cos α－1＝0 设A 、B 对应参数分别为t 1、t 2，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝1cos 2α＋2sin 2α＝11＋sin 2α∈[12，1]， ∴|P A |·|PB |的取值范围是[12，1]．6．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝cos θsin 2θ.(1)求C 的直角坐标方程，并求C 的焦点的直角坐标；(2)已知点P (1,0)，若直线l 与C 相交于A 、B 两点，且1|P A |＋1|PB |＝2，求△F AB 的面积．解：(1)原方程变形为ρ2sin 2θ＝ρcos θ，∴C 的直角坐标方程为y 2＝x ，其焦点F (14，0)． (2)把l 的方程代入y 2＝x 得t 2sin 2α－t cos α－1＝0则t 1＋t 2＝cos αsin 2α，t 1t 2＝－1sin 2α由1|P A |＋1|PB |＝2得|P A |＋|PB |＝2|P A |·|PB |，即|t 1－t 2|＝2|t 1t 2|，平方得(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4t 21t 22∴cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝4sin 4α，∴sin 2α＝1∵α是直线l 的倾斜角，∴α＝π2∴l 的普通方程为x ＝1，且|AB |＝2，点F 到AB 的距离d ＝1－14＝34∴△F AB 的面积S ＝12|AB |×d ＝12×2×34＝34.7．在直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径为12，现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)设M ，N 是圆C 上两个动点，满足∠MON ＝2π3，求 |OM |＋|ON |最小值．解析：(Ⅰ)圆C 的直角坐标方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，即x 2＋y 2－y ＝0， 化为极坐标方程为ρ2－ρsin θ＝0，整理可得：ρ＝sin θ；(Ⅱ)设M (ρ1，θ)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋2π3， |OM |＋|ON |＝ρ1＋ρ2＝sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3 ＝12sin θ＋32cos θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤θ≤π0≤θ＋2π3≤π，得0≤θ≤π3，π3≤θ＋π3≤2π3， 故32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，即|OM |＋|ON |的最小值为32. 8．在平面直角坐标系 xOy 中，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋22ty ＝1＋22t (为参数)，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线与圆C 交于A ，B 两点，求cos ∠AOB 的值．解析：(Ⅰ)由直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝－1＋22t y ＝1＋22t得，其普通方程为 y ＝x ＋2，∴直线的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋2.又∵圆C 的方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝5， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(Ⅱ)将直线：ρsin θ＝ρcos θ＋2，与圆C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ 联立，得(4cos θ＋2sin θ)(sin θ－cos θ)＝2，整理得sin θcos θ＝3cos 2θ，∴θ＝π2，或tan θ＝3.不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tan θ＝3.于是，cos ∠AOB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＝31010.。
2021年高考数学 7.7空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理课时提升作业 理 北师大版
2021年高考数学 7.7空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理课时提升作业理北师大版一、选择题1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )(A)y轴上(B)xOy平面上(C)xOz平面上(D)yOz平面上2.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则|OB|等于( )(A)(9,0,16) (B)25(C)5 (D)133.以棱长为1的正方体ABCD -A 1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )(A)(0,,) (B)(,0,)(C)(,,0) (D)(,,)4.点M(x,y,z)在坐标平面xOy内的射影为M1,M1在坐标平面yOz内的射影为M2,M2在坐标平面xOz内的射影为M3,则M3的坐标为( )(A)(-x,-y,-z)(B)(x,y,z)(C)(0,0,0)(D)(,,)5.已知向量a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),且k a-b与a-3b互相垂直,则k的值是( )(A)1 (B) (C) (D)-6.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=(3,λ,)平行,则λ= ( )(A) (B)(C)- (D)-7.正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为( )(A)8 (B)27 (C)64 (D)1288.有以下命题:①如果向量a,b与任何向量不能构成空间的一个基底,那么a,b的关系是不共线;②O,A,B,C 为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;③已知a,b,c是空间的一个基底,则a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是( )(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③9.(xx·济宁模拟)设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )(A)(,,) (B)(,,)(C)(,,) (D)(,,)二、填空题10.(能力挑战题)正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时,·的取值范围是.11.给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为,则该点的坐标为.12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三个向量共面,则实数λ= .13.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是.14.如图,直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点, 则异面直线C1D与A1C的夹角的余弦值为.三、解答题15.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(,,0),点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求向量的坐标.(2)设向量和的夹角为θ,求cosθ的值.答案解析1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.2.【解析】选C.由题意得点B的坐标为(3,0,-4),故|OB|==5.3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB1的中点,由于A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为(,0,).4.【解析】选C.依题意得,M1的坐标为(x,y,0),M2的坐标为(0,y,0),M3的坐标为(0,0,0).【变式备选】在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′,则点M′关于原点对称的点的坐标为( )(A)(-2,0,-3) (B)(-3,0,-2)(C)(2,0,3) (D)(-2,0,3)【解析】选C.由题意得,点M′的坐标为(-2,0,-3),故点M′关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧(1)关于哪个轴对称,对应轴上的坐标不变,另两个坐标变为原来的相反数.(2)关于坐标平面对称,另一轴上的坐标变为原来的相反数,其余不变.(3)关于原点对称,三个坐标都变为原来的相反数.(4)空间求对称点的坐标的方法,可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆.5.【解析】选D.∵k a-b=(k+1,-k-2,k-1),a-3b=(4,-7,-2),(k a-b)⊥(a-3b),∴4(k+1)-7(-k-2)-2(k-1)=0,∴k=-.6.【解析】选C.由a∥b得,==,解得λ=-.7.【解析】选C.设正方体的棱长为a,根据条件则有a=,解得a=4,所以体积为43=64.8.【解析】选C.对于①,“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系一定是共线”,所以①错误.②③正确.9.【解析】选A.=+=+×(+)=+[(-)+(-)]=(++),由OG=3GG1知,==(++),∴(x,y,z)=(,,).10.【解析】因为MN是它的内切球的一条弦,所以当弦MN经过球心时,弦MN的长度最大,此时MN=2,以A′为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性,不妨设M,N分别是上下底面的中心,则两点的空间坐标为M(1,1,2),N(1,1,0),设P点坐标为P(x,y,z),则=(1-x,1-y,2-z),=(1-x,1-y,-z),所以·=(1-x)2+(1-y)2-z(2-z),即·=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1.因为点P为正方体表面上的动点,所以根据x,y,z的对称性可知,·的取值范围与点P在哪个面上无关,不妨设点P在底面A′B′C′D′内,此时有0≤x≤2,0≤y≤2,z=0,所以此时·=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1=(x-1)2+(y-1)2,所以当x=y=1时,·=0,此时·最小,但当P位于正方形的四个顶点时,·最大,此时有·=(x-1)2+(y-1)2=2,所以·的最大值为2,所以0≤·≤2,即·的取值范围是[0,2].答案:[0,2]11.【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,|P0P|=,即=,∴(x-4)2=25.解得x=9或x=-1.∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).答案:(9,0,0)或(-1,0,0)【变式备选】在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为.【解析】设点C的坐标为(0,0,z),由条件得|AC|=|BC|,即=,解得z=.答案:(0,0,)12.【解析】由题意设c=t a+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),∴∴答案:13.【解析】设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),由=2知x=-,y=,z=3,故P(-,,3).由两点间距离公式可得||=.答案:14.【解析】以A为原点建立空间直角坐标系,如图,A1(0,0,2),C(0,1,0), D(1,0,1),C1(0,1,2).则=(1,-1,-1),=(0,1,-2),||=,||=,·=1,cos<,>==,故异面直线C1D与A1C的夹角的余弦值为.答案:15.【解析】(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E,在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=.∴DE=CD·sin30°=,OE=OB-BD·cos60°=1-=.∴D点坐标为(0,-,),即向量的坐标为(0,-,).(2)依题意知,=(,,0),=(0,-1,0),=(0,1,0).所以=-=(-,-1,),=-=(0,2,0).则cosθ====-.•29590 7396 玖28419 6F03 漃35841 8C01 谁922253 56ED 园R o20467 4FF3 俳k32269 7E0D 縍jg37349 91E5 釥。
人教版第七章平面直角坐标系72知识点精练无答案.docx
7.2坐标方法的简单应用选取恰当的参照点作为坐标的原点建立平面直角坐标系1 考点：由已知点的坐标确定其他点的坐标例1、图是象棋盘的一部分，若“帅”位于点（1, -2）上，“相”位于点（3,-2）上，“炮”位于点（）A 、 （一1, 1）B 、 (一 1, 2)C 、 (-2, 1)D 、 (—2, 2)1、 某学校的平面示意图如图1所示，如果实验楼所在位置的坐标为（一2, -3）,教学楼所在位置的坐标为（ — 1, 2）,那么图书馆所在的位置的坐标为 ________ o2、 如图2是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0, 2）表示左眼，用（2, 2）表示右眼，那么嘴的位置可以表 示成（）A 、（1, 0）B 、（-1,0）C 、（-1,1）D 、（1,-1）3、 ___________________________________________________________________________________ 如图3所示，进行“找宝”游戏，如果宝藏藏在（4, 5）字母牌的下面，那么应该在字母 ___________________________ 的下面寻找。
4、如图4所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3, 4）,则顶点M> N 的坐标可能是（）5、如图5的方格纸中，每个小方格是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置分别用（2, 2）、（4,3）來表示。
请在小方格的顶点上确定一点C,连接AB. AC. BC,使AABC 的面积为2个平方单位。
则点C 的位置可能为（）!小结：点&，y ）右左平移。
个单位长度时，得到（兀±d，P :St ： >；知识点一: 用坐标表示地理位B 、M (4, 0) , N (8, 4) D 、M (3, 0)N (7, 4)BAA 、 (4, 4)B. (4, 2)C. (2, 4)考点2：建立适当的坐标系求点的坐标6.图中标明了小林家附近的一些地方: (I) 写出学校和超市的位置;某星期六，小林从家出发，沿（一3, —2） , （—2, — 1） , （ —2(2, 3） , （3, 2）的路线转了一圈，又回到了家里，写出他经过的地方。