16 薛定谔方程与一维无限深势阱
一维无限深势阱
6.ξ一维无限深势阱考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内：0,,x x a U x a⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩ 如右图这种势叫一维无限深势阱因x U 不含 t ，属于定态问题。
体系所满足的定态薛定谔方程是：()2222d E x a dx ψψμ-=<① ()22022d U E x a dx ψψψμ-+=≥② ②中，0U →∞由波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，②式才能成立，所以，有：ψ=0，x a ≥现求解①式，改写为：2221222222020sin cos ,d E dxE d x a dx A x B x x aψψμψμααψψαα+=⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭=+<令：则：，其解为： （本身上方说的解可表为如下振荡函数形式：sin x α，cos ,i x x e αα±，但因现在势阱具有空间反射不变性，()()x x U U -=能量本征函数必定有确定的宇称曾书——P49——所以，只能取sin x α，或cos x α的形式。
根据ψ的连续性，因②式得ψ=0，x a ≥，于是：,sin cos 0sin cos 0sin 0cos 0x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。
（物理问题对ψ的要求）所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2)n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2)n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回1222E μα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得体系的能量本征值为：2222,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。
薛定谔方程的应用
n 1,2,3...0 x a
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中完 全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。
5
2 、方程解的物理意义
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是 波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端 来回反射,必定形成德布罗意驻波。
2) 最低能量 (零点能) ——波动性
22
E1 2ma2 0
9
n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方 势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
E
En1
En
(2n 1)
2 2
2ma 2
(2n 1)E1
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽 很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子 性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的;
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
0
a
x
阱内: （0＜x＜a) U x 0
阱外: (x<0 & x>a) U x
一维无限深方势阱中的能量本征态
一维无限深方势阱中的能量本征态1. 引言在量子力学中，一维无限深方势阱是一个经典的问题。
研究一维无限深方势阱中的能量本征态，可以帮助我们更好地理解量子力学中的基本概念和原理。
通过对这一问题的深入探讨，我们可以揭示能量本征态的性质、数学描述以及物理意义，从而为我们理解更为复杂系统的量子行为奠定基础。
2. 能量本征态的概念能量本征态是指在某一势场中，系统的波函数满足薛定谔方程，并且具有确定的能量值。
在一维无限深方势阱中，系统的势能在有限区间内为无穷大，而在无限远处为零。
在区间内，粒子的动能足够克服势能，所以能量本征态中的波函数不为零，在无穷远处趋于零。
3. 数学描述对于一维无限深方势阱，我们可以通过薛定谔方程来描述能量本征态。
薛定谔方程可以写作：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \] 其中 \( E \) 为能量本征值，\( \psi(x) \) 为能量本征态的波函数，\( m \) 为粒子的质量，\( \hbar \) 为约化普朗克常数。
在一维无限深方势阱中，我们可以通过求解该薛定谔方程得到能量本征态的波函数形式和能量值。
4. 能量本征态的求解与性质通过求解一维无限深方势阱中的薛定谔方程，我们可以得到一系列的能量本征态。
这些能量本征态之间呈现离散的能级，且能级间隔相等。
这一性质恰好符合了量子力学中的能量量子化条件，从而验证了能量本征态的物理意义。
5. 主题文字的再次提及通过以上对能量本征态的深入讨论，我们可以看到，一维无限深方势阱中的能量本征态不仅是一个重要的量子力学问题，更是我们理解量子力学基本原理的重要工具之一。
能量本征态的性质和数学描述为我们提供了在量子力学中理解和描述复杂系统的基础。
6. 总结与回顾通过本文对一维无限深方势阱中的能量本征态的全面评估，我们不仅了解了能量本征态的基本概念和数学表达，更深入地理解了能量本征态的物理意义。
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。
其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。
在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。
1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。
这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。
2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。
解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。
3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。
对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。
这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。
4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。
这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。
个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。
对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。
定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
23.7薛定谔方程、一维势阱
r 的函数, r 的函数,而左边只
r r 1 f ( t ) 1 h2 2 r ih = r [ ( r ) + U ( r ) ( r )] = E f ( t ) t ( r ) 2m
p E= + U ( x, t ) 2m
此时的薛定谔方程为: 此时的薛定谔方程为:
2
h 2 2 Ψ( x , t ) Ψ ( x , t ) ih = + U ( x , t )Ψ ( x , t ) ⑤ 2 2m t x
6
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动,则其薛定谔方程为: 中运动,则其薛定谔方程为:
薛定谔方程
1
薛定谔是奥地利物理学家, 薛定谔是奥地利物理学家,著名的 是奥地利物理学家 理论物理学家, 理论物理学家,量子力学的重要奠基人 之一,同时在固体的比热,统计热力学, 之一,同时在固体的比热,统计热力学, 原子光谱及镭的放射性等方面的研究都 有很大成就. 有很大成就. 薛定谔的波动力学, 薛定谔的波动力学,是在德布罗意 提出的物质波的基础上建立起来的. 提出的物质波的基础上建立起来的. 他把物质波表示成数学形式, 他把物质波表示成数学形式,建立了称为薛定谔方程的量 子力学波动方程. 子力学波动方程.薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地 它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似. 位,它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似.薛定谔方程 是量子力学中描述微观粒子(如电子等 运动状态的基本定律, 如电子等)运动状态的基本定律 是量子力学中描述微观粒子 如电子等 运动状态的基本定律, 在粒子运动速率远小于光速的条件下适用. 在粒子运动速率远小于光速的条件下适用. 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作.由于他的影响, 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作.由于他的影响, 不少物理学家参与了生物学的研究工作, 不少物理学家参与了生物学的研究工作,使物理学和生物学相 结合,形成了现代分子生物学的最显著的特点之一. 结合,形成了现代分子生物学的最显著的特点之一. 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著,因而于1933年同英国 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著,因而于 年同英国 物理学家狄拉克共获诺贝尔物理学奖. 物理学家狄拉克共获诺贝尔物理学奖. 2
6-波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
P. 18 / 33 .
即：对非自由粒子
d 2
dx 2
8 2m
h2 (E
E p )
0
称为一维定态薛定谔方程。
三维定态薛定谔方程：
2
8 2m
h2
(E
E p )
0
其中， 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算符。
薛定谔 (Erwin Schrödinger， 1887-1961) 奥 地利著名理论 物理学家，量 子力学的重要奠基人，同 时在固体比热、统计热力 学、原子光谱及镭的放射 性等方面的研究都有很大 成就。1933年与物理学家 狄拉克共同荣获诺贝尔物 理学奖。薛定谔还是现代 分子生物学的奠基人。
量子物作理者：杨§茂波田函数Of薛fic定eX谔p方版程 一维无限深势阱
P. 19 / 33 .
三、一维无限深势阱
设：一粒子被约束在 (o, a) 一维空间，其势能函数为
0 (0 x a)
E p ( x 0或 x a)
ψ(x) (0 x a)
0 (x 0或 x a)
概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |2 粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) |2dv
量子物作理者：杨§茂波田函数Off薛ic定eX谔p 方版程 一维无限深势阱
P. 8 / 33 .
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
d 2
dx 2
( i2
一维无限深势阱薛定谔方程求解
一维无限深势阱薛定谔方程求解一维无限深势阱是量子力学中最经典的问题之一，其求解对于理解基本的量子力学原理以及波函数的性质具有重要的意义。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的行为的基本方程，通过求解薛定谔方程，我们可以获得系统的波函数及其相应的能级。
让我们来考虑一个无限深势阱，这个系统可以简单地用一个势能函数来描述。
在这个系统中，粒子只能在一个有限的空间区域内运动，而且势能在这个区域内是常数为零的。
首先，我们需要写出薛定谔方程。
对于一维情况，薛定谔方程可以写成：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx²+ V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，ψ(x)是系统的波函数，V(x)是势能函数，E是波函数对应的能量。
对于无限深势阱，势能函数在阱内为零，在阱外为无穷大。
因此，V(x)在阱外的值可以视为一个很大的正数。
接下来，我们需要考虑边界条件。
在无限深势阱中，粒子是被约束在一个有限空间内的。
因此，在边界处，粒子的波函数必须为零。
对于一个无限深势阱，边界条件可以写为ψ(0)=ψ(a)=0，其中，a是阱的宽度。
现在，让我们尝试求解薛定谔方程。
由于系统的势能在阱内为零，薛定谔方程可以简化为：-d²ψ(x)/dx² = k²ψ(x)，其中，k=√(2mE/ħ²)。
这是一个常微分方程，我们可以通过分离变量和积分来求解。
假设ψ(x)可以分解为两个函数的乘积：ψ(x) = X(x)Y(y)。
将这个假设代入方程中，并整理得：1/X(x) * d²X(x)/dx² = -1/Y(y) * dY(y)/dy = -k²。
我们可以分别对X(x)和Y(y)进行求解，然后将两个解再组合起来得到系统的波函数。
针对常微分方程1/X(x) * d²X(x)/dx² = -k²，我们可以得到其解为X(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)，其中，A和B是常数。
第12章薛定谔方程一维无限深方势阱中的粒子
狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程，它们是量 子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖。
§12.6.1 自由粒子薛定谔方程
粒子在 x 方向匀速直线运动，E、px 不变
i p x x E t Y x , t Y0e p2 2Y x , t x 2 Y x , t 2
x 2Y x , t 2
2 p xY x , t
算符(operator) —— 对波函数的运算、变换或操作。
例如
Y x，t ：算符 代表对波函数关于 t 求导； t t Y x，t ：算符 代表对波函数关于 x 求导； x x
ˆ ˆ xY x，t xY x，t ：算符 x 代表用 x 乘波函数；
§12.7.1 无限深方势阱中的粒子
一、一维无限深势阱 金属中自由电子的运动，是被限制在 一个有限的范围 —— 称为束缚态。 作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势 阱中运动，即它的势能函数为
问题的提出：
德拜：问他的学生薛定谔能不 能讲一讲 De Broglie 的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大 家介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。 由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动 遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象 重新建立。 薛定谔(1926)提出了描述微观粒子运动规律的非相对论 性的薛定谔方程.。
由上面可以看出：
Y ( x, t ) ~
2
2 i t ( x )e
( x)
2
即此时，概率密度也可以用 |(x) |2 来表示，即在定态下概率分 布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。(x) 称为定态 波函数。
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒【VIP专享】
C2 l / 2, l 为整数，但奇偶性与n相反 . 11
所以
(x)
C1
cos(n
a
x
l ).
2
归一化：
a/2 | (x) |2
a/ 2
dx
1 2
aC12
1
C1 2 / a .
波函数： (x) 2 cos( n x l ) ,
a a2
几率密度： (x) 2 2 cos2 (n x l ) ,
微粒在体积元 dV内出现的概率为：
dW | (x, y, z,t) |2 dV
2
波函数的归一化条件：
(x, y, z,t) 2 dV 1
波函数的标准条件：单值、有限、连续。 坐标和动量的不确定度关系
x Px / 2
能量和时间的不确定度关系
E t / 2
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程
来源：基本假定之一，不可证明，只可检验。
地位：低速运动微观粒子的基本规律，地位同牛顿 定律。
成功解释氢原子能级和电（磁）场中氢原子光谱线 的分裂， 分享1933年Nobel物理奖。
6
2、定态薛定谔方程
定态：粒子于力场中运动时，势能与时间无关， 总能量不随时间变化的状态。
定态波函数：用于描述处于定态的粒子的波函数。
量子物理第3讲 ——薛定谔方程 定态薛定谔方程
一维无限深势阱 一维有限高势垒
主要内容
六、薛定谔方程
1
德布罗意公式
v E mc2 , h h .
hh
P m
自由粒子物质波的波函数
(r ,
t
)
0e
i(
Et
Pr)
在某处发现一个微粒的概率正比于描述该微粒的 波函数振幅的平方。
一维无限深势阱中的能级公式(一)
一维无限深势阱中的能级公式(一)一维无限深势阱中的能级公式一维无限深势阱简介•一维无限深势阱是指在一维空间中的一个势能函数，其势能在有限范围内为无穷大，而在这个范围外为零。
•这个模型常用于量子力学研究中，用于描述束缚电子在限定区域内的能级结构。
能级公式的推导•根据经典力学的思想，势能为零区域内的粒子应该是运动不受限制的，因此在这个区域内的能量取任意值，可以看作连续的。
•而在势能无穷大的区域外，粒子无法存在，因此能量必须是有限的。
•具体推导过程如下：一维薛定谔方程•在量子力学中，波函数满足薛定谔方程。
•对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以表示为:d2ψdx2+2mℏ2(E−V(x))ψ=0•其中，ψ为波函数，x为位置坐标，m为质量，E为能量，V(x)为势能函数。
薛定谔方程的解•由于势能函数V(x)为零，因此在势阱内，薛定谔方程可以简化为:d2ψdx2+2mEℏ2ψ=0•这是一个二阶常微分方程，其解可以表示为：ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)•其中，A和B为常数，k为波数，可以表示为：k=√2mE ℏ2波函数的边界条件•在势阱内，波函数必须满足边界条件，在势能函数为无穷大的区域外，波函数必须趋于零。
•因此，当x=0时，ψ(0)=0；当x=L时，ψ(L)=0。
边界条件的限制•根据边界条件，可以得到以下关系式：Asin(k⋅0)+Bcos(k⋅0)=0Asin(kL)+Bcos(kL)=0•上述两个方程同时成立时，波函数满足边界条件。
求解能级•根据上述边界条件，可以解得k n L=nπ，其中n为正整数。
•将k n代入波数的公式中，可得能量的公式：E n=ℏ2k n22m=n2π2ℏ22mL2能级公式的解释与例子•以上推导得到的能级公式表明，在一维无限深势阱中，粒子的能量只能取离散的值，且与n的平方成正比。
–n越大，能级越高。
•这也意味着在一维无限深势阱中，粒子存在着多个能级，且能级之间的能量差是固定的。
15.5.1薛定谔方程一维无限深势阱 - 薛定谔方程一维无限深势阱
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数
2
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
2Ψ x 2
4π2 p h2
2
Ψ
Ψ i2π EΨ t h
自由粒子 (v c) E Ek p2 2mEk
一维运动自由粒子的含时薛定谔方程
h2 8π2m
aa
波动方程
d2
dx2
8π2 mE
h2
0
14
波函数
Ep
(x)
0, (x 0, x a) 2 sin nπ x, (0 x a) aa
o ax
概率密度 (x) 2 2 sin2 nπ x
aa
能量
En
n2
h2 8ma2
15
讨论： 1 粒子能量量子化
Ep
t)
e i 2 π ( Et
0
px) / h
e e i2πpx/ h i2πEt / h 0
(x)(t)
(x) ei2πpx / h 0
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d 2
dx 2
8π 2 m h2
(E
Ep
)
(x)
0
5
三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学,并建立了 量子力学的近似方法 .
1933年与狄拉克获诺贝尔 物理学奖.
1
一 薛定谔方程
1 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。
在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。
研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。
下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。
一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。
在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。
1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。
二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。
这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。
波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。
2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。
三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。
【PPT】一维无限深势阱(讨论课).
2 ( x,t ) －i E( x, t ) 2 ( x,t ) p x ( x, t ) 2 2 t x 自由粒子非相对论情况下：
2 px m 2 E Ek vx 2 2m
自由粒子波函数满足的微分方程：
2 i ( x , t ) ( x , t ) 2 t 2m x 2
2 2 2 2 三维： i ( 2 2 2 ) U (r , t ) t 2m x y z
引入拉普拉斯算符： 2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
2 2 U (r , t )] (r , t ) 则有： i (r , t ) [ t 2m —薛定谔方程 它是非相对论量子力学的基本方程。
4
a 2
3
2a 3
2 a
o
a
1 2a
一维无限深势阱结论总结：
能级
En n
2
2 2
2ma 2
能量是量子化的， n =1, 2, 3, … （量子数） 存在最低能量（零点能)
E1 0 2 2ma
2 2
这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二 象性这种固有属性所决定的。
n 2,6,10,
L4处的概率密度极大.
三、有限宽势垒和隧道效应
有限宽势垒
势函数
0 U（x ) { U0 x0 x0
入射
U(x)
U0
透射?
E
反射
入射能量 E <U0
Ⅰ区
1
0 Ⅱ区
2
x
经典：电子不能进入E < U的区域(因动能 0)。 量子：电子可透入势垒。 电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气。
一维无限深势阱
2008.5
25
对奇宇称态则不同，只当
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
即
V0a2
2h2
2m
，或
V0
2h2
2ma2
时
才可能出现最低的奇宇称能级。
2008.5
26
3、束缚态与分立谱的讨论
由以上分析可知，束缚态能量是分立的。
相应动量也是分立的。 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。
En
π 22 2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
2008.5
8
❖ 由波函数的归一性质定常数 B
a
(x) *(x)dx 1
0
a
B2sin 2kxdx 1
0
得
B 2 a
本征函数
n(x)
2 sin nπ x aa
( n 1,2,3,)
这组函数构成本征函数系。
2008.5
9
⑥定态波函数
n
n
2008.5
16
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
2008.5
17
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
Be
x
1(x)
Aex
A, B为待定常数.
0时， ' ' 0，
取极小值 向上弯曲
0时， ' ' 0，
取极大值 向下弯曲（见右图）
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程
自由粒子 的波函数
(r,
t)
i
0e
( EtPr )
,
可以看出：
E (r,t) i (r,t),
t
P
x
(r,
t
)
i
x
(r,
t
),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
y
(r,
t
)
i
y
(r,
t
),
2 2m
2
V
(r)
(r,
t)
i
t
(r,
t)
分离变量法：设 (r,t) (r) f (t)
i
则：
f (t)
df (t) dt
1 (r)
2 2m
2
V
(r)
(r)
7
i f (t)
df (t) dt
1 (r )
电子，当 E 1eV , V 0 2eV ,
o
a 2 A时 , T 0.51;
o
a 5A时 , T 0.006
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现 16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏” 17
例：质量为 m的粒子处于一维
对称势场
V (x)
0 , 0 x L;
V
(
x)
V0
,
x 0, x
近代物理量子3-薛定谔方程,无限深势阱 (2)
h
P
所以自由粒子的物质波为平面简谐波
类比经典波的复数表达式
沿+x方向运动的自由粒子波函数
i2π( t x )
Ψ (x,t) Ψ0e
将德布罗意波关系 E h 代入
h
P
得
Ψ e i2π( E t x )
Ψ (x,t) Ψ 0e h h/ p
i
1
(
Et
Px)
0
h 2π
在三维空间中运动的自由粒子的波函数
由波函数标准条件和边界条件定特解
由波函数在x=-a/2和x=a/2处连续，得：
Asin(ka / 2 ) 0
ka / 2 l1
Asin(ka / 2 ) 0 2 (l1 l2 ) l
ka / 2 l2
l
2
l为整数
l 0 o(x) Asinkx
l 1 e(x) Acoskx
i
t
2 2m
2 ( x2
2 y 2
2 z2 )
U (x.y.z.t)
引入拉普拉斯算符
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
三维含时薛定谔方程：
i 2 2 U (x.y.z.t) t 2m
3.定态薛定谔方程（重点）
若粒子在恒定势场中运动，(含常数势场U
即
U U(r)
与时间 t 无关
=
U0
)
定态波函数性质
1.一维有势场U(x,t) 中的粒子
•经典关系式
E Ek U (x,t)
•替换后关系式
E Px2 U (x,t) 2m
• 令其作用于波函数
(x,t)
i
t
(x,
t)
薛定谔方程及其简单应用
薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学 形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。
薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响， 不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物 学相结合，形成了现代分子生物学。
H
2
引入薛定谔方程的想法是：我们先假定自由粒子的波动是平面波，则微分方程的最基 本的形式可以由平面波引入，再由有势能存在的情况下作相应的修正得出薛定谔方程。 它的正确性是由其结果能够解释已知的实验事实，并且能够推断出尚未发现的实验现 象来验证的。
(0)0,(a)0
H
18
代入方程，得：
(0 )A si0 nB c0 o0 s
(a ) A sik) n a B (co k) a s0(
由此可得：
B0
Asikna0
若取A=0，则=0，表示粒子不在势阱出现，这违反粒子在势阱内运动的已知条件，
所以，有： sikna0即： kan, (n1,2,3 )
H
24
经典理论中，处于无限深方势阱中粒子
的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制， 各处概率相等。
| |2
n4
随着能级的升高，几率密度的峰值增多，
当
时，粒子在势阱内各处出现的概率
n 相等，量子力学的结果过渡到经典力学的情
况。
n3 n2
0
a/2
n1 a
从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运 动。。
75.5neV
当n>>1时，能量相对间隔
En En
21 nn
当
n 时
E E 量子化不显著。
n
n
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薛定谔方程与一维无限深势阱
1.选择题
（1）已知波函数：a x a
x 23cos
1)(πψ=
，则概率密度：a x a 23cos 122πψω==；所以在a x 65=
处的概率密度：a
a a a a 21
)45(cos 1)6523(cos 122=
=⋅=ππω.本题选（A ）
（2）若波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，即ψψD ='，但由于波函数满足归一化条件：12
='⎰
∞+∞
-dx ψ，
则粒子在空间各点出现的概率之和为1，保持不变。
所以粒子在空间的概率分布不变。
本题选（D ）
（3）微观粒子的德布罗意波是一种概率波。
本题选（C ）
（4）由图可知，在（A ）、（B ）、（C ）、（D ）中，（A ）的位置不确定度x ∆最大，（B ）的位置不确定度x ∆最小；
由不确定关系： ≥∆⋅∆x p x ，⇒一般在估算时可取： ≈∆⋅∆x p x ，则（A ）的动量不确定度x p ∆最小，粒子动量的精确度最高。
本题选（A ）2.填空题
（1）决定微观粒子在空间分布状态的函数称为波函数，该函数可由薛定谔方程来确定。
（2）),(t r ωψ
ψψ==*
2
表示粒子在t 时刻在位置r
附近单位空间内出现的概率。
（3）波函数的归一化条件是指：
12
=⎰
∞+∞
-dx ψ，粒子在空间各点出现的概率之和为1。
（4）已知波函数：a
x a x πψ3sin 2)(=
，则概率密度：a x a πψω3sin 222==，其中a x <<0；
又由正弦函数：1sin 1≤≤-x ，⇒1sin 02
≤≤x ，所以概率密度a 2=
ω最大时，13sin 2=a
x π，
⇒13sin
±=a
x π，⇒2)12(3ππ+±=k a x ，⇒612a
k x )(+±=；
联立⎪⎩⎪⎨⎧+±=<<6120a k x a x )(，解得粒子出现的概率最大的各个位置：61a x =，22a x =，653a x =.3.（1）一维无限深方势阱的宽度：nm 20.=a ，势阱中各能级的能量：2
2
28a
m h n E n =，其中⋅⋅⋅=321，，n ；势阱中最低能级，⇒基态，1=n ，⇒最低能级的能量：J 10518182
2
1-⨯==.a
m h E ；本题应补充：已知电子的质量：kg 1011931
-⨯=.m ！
（2）一维无限深方势阱中的波函数：a
x n a n πψsin 2=
，其中a x <<0；当电子处于第一激发态时，2=n ，波函数为：
a
x a πψ2sin 22=，⇒概率密度：a x a πψω2sin 222
2==，
又由正弦函数：1sin 1≤≤-x ，⇒1sin 02
≤≤x ，⇒概率密度最大值：110m 100012
-⨯==
.a
m ω；
当概率密度取最大值时，12sin
2
=a x π，⇒12sin ±=a x π，⇒2
122ππ)(+±=k a x ，⇒412a
k x )(+±=；
根据x 的取值范围：a x <<0，解得：nm 05041.==a x ，或nm 1504
32.==a
x 处概率密度取最大值。
（3）在).,(nm 1000的范围内电子出现的概率：
%502
1
)2cos 1(1sin 22020
220
2
==-===∆⎰⎰
⎰
a a a n dx a x n a dx a x n a dx G ππψ. 4.已知波函数：)(x l cx -=ψ，其中l x <<0，由波函数的归一化条件：
12
=⎰
∞+∞
-dx ψ，
⇒
1301520
22
==
-=⎰⎰
∞+∞
-l c dx x l cx dx l
)]([ψ，⇒5230
l
c =；在30l ~区间内发现粒子的概率：
%.)]([)]([992081
17
30
22
3
2
3
2
==
-=-==∆⎰
⎰⎰l l l dx x l x c
dx x l cx dx G ψ。