第六章数值积分
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
第6章 1.数值积分
A0 + A1 + L + An = b − a b2 − a 2 A0 x0 + A1 x1 + L + An xn = 2 LL b n+ 1 − a n+ 1 A xn + A xn +L+ A xn = 1 1 n n 0 0 n+1
这是关于 A k 的线性方程组，其系数矩阵 的线性方程组，
R( f )=0,求积公式(1)能成为准确的等式。由于闭区 =0,求积公式(1)能成为准确的等式 求积公式(1)能成为准确的等式。
[a,b]上的连续函数可用多项式逼近 上的连续函数可用多项式逼近， 间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个 求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式， 求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式， f(x)成为准确等式 是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以 是衡量该公式的精确程度的重要指标， 下定义。 下定义。
n+1个节点的求积公式 定理 n+1个节点的求积公式 ∫ 数精度。 数精度。
b
a
f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( x k )
k =0
n
为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n 为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代 n+1个节点的求积公式 证:充分性 设n+1个节点的求积公式 ∫a f ( x)dx ≈ ∑Ak f ( xk )
∫
b a
f ( x ) dx ≈ =
∫
b a
P ( x ) dx =
b
∫ ∑
a
b
n
k =0
f ( x k )l k ( x ) dx
ch06 数值积分.ppt
❖ 求积系数： Ak
b
a lk ( x)dx
❖ 则数值积分公式为：
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
－15－
07:16
2。 插值型求积公式的代数精度与截断误差
1）截断误差：
b
b
R( f ) I ( f ) In ( f ) a f ( x)dx a Ln ( x)dx
lk (x)f(xk ) Rn ( x) f(xk )
k0
ik
(x ( xk
xi ) xi )
Rn
(
x
)
0in
－14－
07:16
故：
b
b
bn
f(x)dx
a
a Ln (x)dx
a
lk (x)f(xk )dx
k0
n
b
f(xk ) a lk ( x)dx
k0
n b
a lk ( x)dx f(xk ) k0
b
a ( f ( x) Ln ( x))dx
b f ( (n1) )
a (n 1)! wn1 ( x)dx
wn1 ( x x0 )( x x1 )...( x xn
2）代数精度：
❖ ∵：f (x)为任意次数小于等于n的多项式时，f(n+1)(x)=0 ❖ ∴：R(f)＝0，即In(f)=I(f)，求积公式精确成立 ❖ ∴：插值型求积公式至少具有n次代数精度
Ak，使得求积公式
b
a
f ( x )dx
n
Ak
f ( xk )
具有
至少 n 次代数精度
k 0
❖ 证明过程同于：前面充要条件的证明
机械求积公式
说明：（1）式的特点是用求积节点处的函数值的 线性组合来计算定积分的近似值。
数值求积方法是近似方法，为保证精度，希望所 提供求积公式对于“尽可能多”的函数准确成立。
【定义1】 如果公式(1)对于所有次数不超过m的多 项式都能准确成立，而对于某个(m+1)次多项式等式 不能准确成立，则称公式(1)具有m阶代数精度。
———Cotes公式
代数精度为5 阶
说明：
(1) P 157 表1列出了 n:1-8 时 Cotes系数;
n
(2) Cotes系数之和等于1,即 ci(n) 1 i0
(3) Cotes系数越接近越好, 如果Cotes系数 出现负数,舍入误差增长很快,公式不宜采用.
例3 设 f ( x) x3 5x2 6x , 分7 别用梯形公式
于所求曲边梯形的面积。
取 a,b内若干个节点 xk 处的高度 f xk ，通过加权平均
的方法生成平均高度 f ，这类求积公式称机械求积公式：
b
n
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )(b a)
i f ( xi ).........1()
i0
i0
xi 求积节点
i 求 积 系 数 ， 也 称 伴 随 节点xi的 权
例1 建立[-1,1]上以节点 x0 1, x1 0.5, x1 1 的数值积分公式.
三、插值型求积公式
从 另 一 角 度 考 虑 ， 用 关于{ xi }ni0的 插 值 多 项 式 的 积分 值 作为f ( x)的 定积 分 的近 似 值 ， 即
b
b
nb
a f ( x)dx a Ln ( x)dx a li ( x) f ( xi )dx
数值积分和数值微分ppt课件
5.2.2 数值微分
设函数 f(x)在[a,b]上可导，已知 f(x)在 x j 的函数 值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b . 如果 f(x)的解析表达式未知，问如何近似计算 f(x)在 某点 x=c 处的导数？特别是如何近似计算 f(x)在 x0, x1,, xn 的导数？
y4
未 知 函 数 f(x)
y3
已知结点
线 性 插 值 函 数 S41(x)
y2
y1
y0
y
0
x0
x1
x2
x3
x4
x
图5.9 复化梯形求积公式示意图
5.2.1 数值积分
容易求得
b a
Sn1
(
x)dx
的值为
1 n
Tn 2 j1 x j x j1 y j1 y j
(5.2.1)
如果划分 a x0 x1 xn b 将区间[a,b] n 等分，
b]为n等分，分点为 xk x0 kh k = 0, 1, 2,…, n
2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik 3）取和值，作为整个区间上的积分近似值。 这种求积方法称为复化求积方法。
j
值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b ，
5.2.2 数值微分
先考虑简化的问题：设划分 a x0 x1 x2 b 将 区间[a,b]二等分，记 h (b a) 2 ，已知 f(x)在 x j 的函
数值 y j f (x j ) (j=0,1,2). 记
L2 (x) c1(x x1)2 c2 (x x1) c3 是由结点 (x j , y j ) (j=0,1,2)确定的至多二次插值多项
数值分析之插值型数值积分
x1=b x
25
数值分析
梯形公式的余项和精度
梯形公式的余项为
R1
=
(b
− a)3 2
1 f ''( )t(t −1)dt, = (a + th) (a,b)
0
由第二积分中值定理得到 R1
= − (b − a)3 12
f
''(), (a,b)
注意到，此时的余项与代数精度保持一致。
26
数值分析
a j=0 xk − x j
n n t− j
(
h)dt
0 j=0 k − j
jk
jk
n
= h(
1
)
n
[
n
(t − j)]dt =
(−1)n−k h
nn
[ (t − j)]dt
j=0 k − j 0 j=0
k !(n − k )! 0 j=0
jk
jk
jk
= (b − a)ck(n) k = 0,1, , n
出定积分的近似值，即
b
b
a f ( x)dx a ( x)dx
6
数值分析
求积公式与代数精度
7
数值分析
6.1 求积公式及代数精度
数值求积公式的一般形式为
b
f (x)dx
a
n
k f (xk )
k =0
式 中 的 xk ( k= 0 , 1 , n称, 为) 求 积 节 点 并 且 有
a x0 x1 xn b，k (k = 0,1, , n) 称为求积系数，
28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350
第六章 数值积分(1)
Ln ( x ) = ∑ lk ( x ) f ( xk )
k =0
b a
n
∫
b a
f ( x)dx ≈ ∫ Ln ( x)dx
∫
b a
f ( x)dx ≈ ∫ Ln ( x)dx = ∫a ∑lk ( x) f ( xk )dx
b a
b n
= ∑ f ( xk )∫ lk ( x)dx = ∑ Ak f ( xk )
这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性, 这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义 因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义.
6.1 求积公式及其代数精度
一.求积公式的概念 求积公式的概念
I ( f ) = ∫ f ( x)dx
∑A
k =0
n
k
= b−a
Rn ( f ) = ∫ f ( x )dx − ∑ Ak f ( xk )
b a k =0
n
二. 求积公式的代数精度 定义： 定义： 如果求积公式
I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
对一切不高于m 次的多项式都恒精确成立 恒精确成立， 对一切不高于 次的多项式都恒精确成立，而对于某 次多项式不能精确成立 个m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 次多项式不能精确成立， m 次代数精度。 次代数精度。 定理： 定理： 求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
n
求积系数满足: 推论 求积系数满足
∑A
k =0k= b−a Nhomakorabea6.2 牛顿-柯特斯求积公式 牛顿牛顿-柯特斯公式是插值型求积公式的特殊形式 牛顿 柯特斯公式是插值型求积公式的特殊形式： 柯特斯公式是插值型求积公式的特殊形式： 求积节点 等距分布 分布： { xk }k = 0取等距分布：
计算方法-龙贝格资料
f
(2n )
若f ( x)在[a, b]变 化 不 大 ， 即f (n ) f (2n )， 则
b
a
b
f ( x)dx Tn
4
a f ( x)dx T2n
计算方法 © 2009, Henan Polytechnic University
5 July 2020
2
第六章 数值积分与数值微分
从而
b a
f
( x)dx
T2n
13（T2n
Tn）
即 ：b a
f
( x)dx
T2n
13（T2n
Tn）
由此可以认为，当T2n Tn 时,
b
a f ( x) T2n
计算方法 © 2009, Henan Polytechnic University
5 July 2020
3
第六章 数值积分与数值微分
5 July 2020
4
第六章 数值积分与数值微分
设h b a ,则 n
x0 x1 x2 x3
xn2 xn1 xn
T2n
h 4
n 1
{ f (a) 2 [
k 1
n 1
f (xk )
k 0
f
(
x k
1
)]
2
f (b)}
h 4
f
(a)
2
n1 k 1
f ( xk )
f (b)
h 2
计算方法 © 2009, Henan Polytechnic University
5 July 2020
1
第六章 数值积分与数值微分
若
用Tn及T2
分
数值计算数值积分
数值计算数值积分
数值积分是求解定积分的一种数值方法，它通过将定积分区间分割为若干小区间，在每个小区间上选用一个代表点，然后通过求出每个小区间上的面积之和来逼近定积分的值。
常见数值积分方法
矩形法
矩形法是一种最基本的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，然后在每个小区间的左端点、右端点或中点上求出函数的函数值，最后将这些函数值相加乘以区间长度，即为定积分逼近值。
梯形法
梯形法比矩形法在逼近定积分时更加精确，它将每一小块区间都近似看作平行四边形，通过求出每个小区间上的梯形面积之和来逼近定积分值。
辛普森法
辛普森法是一种更高精度的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，在每个小区间的两端和中点处分别求出函数的函数值，然后按照一定的公式将这些函数值组合起来求解定积分近似值。
总结
数值积分方法在数学、工程学等领域应用广泛，本文介绍了数值积分的三种常见方法，分别是矩形法、梯形法和辛普森法。
实际应用中可以根据不同的场景选择使用不同的数值积分方法，以更加准确地达到目标求解效果。
微积分 第六章 第一节 定积分的概念与性质
b
b
| f ( x) |dx a f ( x)dx a | f ( x) | dx ,
b
b
即 | a f ( x)dx | a | f ( x) |dx .
23
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
于是 f (x) 单调增加, f ( x) f (0) 0，
x ln(1 x)， x 0 .
于是
1
1
x dx ln(1 x)dx .
0
0
25
性质5（估值定理）
设 M及m 分别是 f ( x) 在区间[a, b] 上的最大值及
最小值，则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a) .
a
a
进一步，若 f (x) g(x) ，且 f ( x) 和g(x) 不恒等，则有
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx .
证 令 h( x) g( x) f ( x) 即可.
22
b
b
推论2 | f ( x)dx | | f ( x) |dx (a b)
a
a
证 | f (x)| f (x) | f (x)| ,
f ( x)dx lim 0
i 1
f (i )xi
可直接得出.
18
b
b
b
性质2 (1) a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
b
b
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx
(k为常数)
证略.
实验09数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09数值微积分与方程数值解（第6章）《数学软件》课内实验王平（第6章MATLAB数值计算）一、实验目的1.掌握求数值导数和数值积分的方法。
2.掌握代数方程数值求解的方法。
3.掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容1.求函数在指定点的数值导数某f(某)1程序及运行结果：某2某36某2某3某2,某1,2,3 022.用数值方法求定积分(1)I120cot24in(2t)21dt的近似值。
程序及运行结果：(2)I220ln(1某)d某1某2程序及运行结果：3.分别用3种不同的数值方法解线性方程组6某5y2z5u49某y4zu133某4y2z2u13某9y2u11程序及运行结果：4.求非齐次线性方程组的通解2某17某23某3某463某15某22某32某449某4某某7某22341程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_olution）：5.求代数方程的数值解(1)3某+in某-e某=0在某0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_olution）：(2)在给定的初值某0=1，y0=1，z0=1下，求方程组的数值解。
in某y2lnz70y33某2z10某yz50程序及运行结果：26.求函数在指定区间的极值某3co某某log某(1)f(某)在(0,1)内的最小值。
e某程序及运行结果：332(2)f(某1,某2)2某1在[0,0]附近的最小值点和最小值。
4某1某210某1某2某2程序及运行结果：7.求微分方程的数值解，并绘制解的曲线某d2ydy5y0d某2d某y(0)0y'(0)0程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y2=y,y1=y'，将二阶方程转化为一阶方程组：1'5yy1某1某y2'y2y1y(0)0,y(0)0218.求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线y'1y2y3y'yy213y'0.51yy123y1(0)0,y2(0)1,y3(0)1程序及运行结果：3三、实验提示四、教程：第6章MATLAB数值计算（2/2）6.2数值微积分p1556.2.1数值微分1.数值差分与差商对任意函数f(某)，假设h>0。
计算方法 第六章 数值积分(深)
ò
b
a
Ln ( x)dx
若f (x)在[a，b]上具有n+1阶导数，则 f (x)=Ln (x) + Rn (x) 其中
wn+ 1 ( x) =
f ( n1) Rn ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
ξ∈(a,b)
Õ (xi= 0
n
xi ) = ( x - x0 )( x - x1 ) L ( x - xn )
i= 1
。
b- a 1 2 (b - a 2 ) 2 1 (b m+ 1 - a m+ 1 ) m+ 1
15
ò
b
a
å
i= 1
f ( xi )Ai ， n ì b 0 ï ï ï òa x dx = å Ai = ï i= 0 ï ï n ï b ï ï x1dx = å Ai xi = ï òa í i= 0 ï ïM M ï ï ï b n ï ï ï ò x m dx = å Ai xim = ï a ï i= 0 ï î
3
6.1 数值积分公式的构造 及其代数精度
4
6.1 数值积分公式的构造及代数精度
定义：设函数f (x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意 插入若干个分点a=x0<x1<……<xn-1<xn= b，把 区间[a, b]分成n个小区间
[x0 , x1]，[x1 , x2]，…[xn-1 , xn]
å
n
f (xi )Vxi
i= 1
记λ=max（ △x1， △x2，… ，△xn ）(λ：细度) 如果不论对[a，b]怎样分法，也不论在小区间上 点如何取法，只要当λ→0时，和S总趋向于确定 的极限I，称极限I为函数f (x)在区间上的定积分
数值计算06-数值积分与数值微分
用 inline 函数定义被积函数： >> f=inline('2/sqrt(pi)*exp(-x.^2)','x'); >> y=quad(f,0,1.5)
y= 0.9661
• 矩形区域上的二重积分的数值计算
I yM xM f (x, y)dxdy ym xm
格式： 矩形区域的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM)
数值计算
第六章 数值积分与数值微分
1
§6.1 引 言
一、数值积分的必要性
讨论如下形式的一元函数积分
b
I ( f ) f (x)dx
a
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I ( f ) a f (x)dx F (b) F (a)
要求被积函数 F x
☞ 有解析表达式；
☞ f x的原函数 F x 为初等函数．
k 0
称为求积公式 余项(误差).
构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:
(i) 确定求积系数 Ak 和求积节点 xk；
(ii) 确定衡量求积公式好坏的标准； (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析.
数值积分的基本问题
针对某类函数，选择合适的求积结点和求积系数，使得求积 公式(1) 具有尽可能小的截断误差或尽可能高的代数精度。
2
若f ( x)在区间[a,b]上有四阶连续导数。则Simpson
公式的截断误差
R2
(b a)5
2880
f (4)( ) (a,b)
(6.3.8)
且具有三次代数精度。
Simpson3/8公式：
数值分析-第六章-数值积分
k 0
而对应的误差为
b
b f (n1) ( )
I In
(
a
f
(
x)
Ln
(
x))dx
a (n 1)! wn1(x)dx
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法
Romberg（龙贝格）积分
高斯型求积公式
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：b Nhomakorabean
a
f
(x
)dx
lim
n m a xxk
k01
xk
f
k( ，)
n
b
n
可用 xk f (xk ) 作为原积分的近似： a f (x)dx xk f (xk ) 。
k 1
k 1
进一步推广得到更一般的公式：
chap6数值积分与数值微分14
19 25 25 25 25 19
5
288 96 144 144 96 288
41 9
9
34
9
9
41
6
840 35 280 105 280 35 840
751 357 7 132 3 298 9 298 9 132 3 357 7 751 7 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80
a
当
n
=可2以时证, 可明2得当到n基为本偶S数im时pson
公式可证明其具有3
Newton-Cotes公式至少
次代数精度.
b
a
f
具有 (x)dx
nb+1a [次f 代(a数) 精4 度f (a
6
2
b)
f
(b)]
S
当 n = 4 时, 可得基本 Cotes 公式 可证明其具有5
f
(4) (),
[a, b]
当 f (x) C6[a, b] 时, 基本Cotes 公式的余项
RC
2(b a) (b a)6
945 4
f
(6) (),
[a,b]
Newton-Cotes公式数值稳定性
对什于么某是一数给值定稳的定算性法？，原始数据的误差为ε， 且假设在运算过程中的其他误差都是由ε引起 的，如果误差在一定条件下能够得到控制，即 数值计算结果的误差至多是原始数据误差ε的 同阶无穷小量，则称该算法是数值稳定的；否 则称该算法是数值不稳定的。
(n 1)!
n 1
(
x)
dx
.
数值分析原理第六章
第六章数值微分与数值积分本利用函数的插值理论，构造了相应的数值微分与数值积分计算公式，并通过Richardson （理查森）外推技巧提高了这些公式的计算精度；另外，本章还对所建立公式的收敛性及数值稳定性进行了分析；对于数值积分公式，还给出了精度的评价标准――代数精度，并由此出发，建立了精度最高的Gauss型求积公式．§6.1 引言尽管微积分是现代科学的重要基础与起点，并且已在物理、力学、化学、生物等自然科学领域以及经济、管理等社会科学领域中有了非常广泛的应用，然而在微积分计算中，还至少面临着如下问题．(1) 被积函数的原函数不易求出或者根本不能用初等函数表出．例如，概率积分2()(0)t xp t e dx t-=≤<∞和椭圆积分()(02)te t tπ=≤≤⎰(2) 函数的表达式形式过于复杂，对其直接进行积分、求导运算，计算量很大；甚至对于一些形式简单的函数进行积分，得到的原函数也可能非常复杂．例如Cxtgarctgxdx+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+⎰233332cos2更重要的是，尽管上式从形式上看是精确的，然而，用上式计算定积分时，因函数值不能做到精确计算，最终得到的结果仍然是近似的，并且所引入的正切值和反正切值的计算量也不小．(3) 函数本身就是离散函数，如实验数据等，用经典的微积分知识无法求其导数值和积分值．在计算机发展迅速的今天，上述困难可以用数值的方法予以解决．本章主要介绍常用的数值微积分公式及其相关理论．§6.2 数值微分公式在微分学中，函数的导数是通过导数定义或求导法则求得的．然而如果需要利用函数在相关离散节点处的函数值近似计算其导数，就要寻求其它的方法．一种方法是利用离散数据进行插值，然后用插值函数的导数作为被插值函数导数的近似；另一种方法是将不同点的函数值在某一点Taylor展开，然后用其线性组合建立函数的导数值近似表达；另外，还可以根9293据数值微分公式的截断误差，通过Richardson 外推技巧建立更高精度的数值微分公式．一、插值法考虑以表格形式给出的，定义于区间],[b a 上的离散函数：),,2,1,0( )(n i x f y i i ==，用第四章的插值方法建立该函数的插值多项式)(x p n ．由于多项式的导数容易求得，可以取)(x p n 的导数作为函数)(x f 导数的近似，即取)()(x p x f n'≈'．由 (1)1()()()() ()(1)!n n n f f x p x x a b n ξωξ++=+<<+ (6.1)得到)()!1()()()!1()()()()1(11)1(ξωωξ++++++'++'='n n n n n f dxd n x x n f x p x f (6.2)上式中的ξ是与x 有关的未知函数，因此对于)()1(ξ+n f dxd 很难做出估计．但是，在插值节点处的导数值)0()()!1()()()(1)1(n i x n f x p x f i nn i n i ≤≤'++'='++ωξ (6.3) 进而得到函数在插值节点处的数值微分公式的截断误差)()!1()()()()(1)1(i nn i n i i n x n f x p x f x R ++'+='-'=ωξ (6.4) 若函数)()1(ξ+n f在插值区间上有上界M ，即有M fn ≤+)()1(ξ则得到数值微分公式的误差估计)()!1()()()(1i ni ni i n x n Mx p x f x R +'+≤'-'=ω 可以看出，当插值节点之间的距离较为接近时，通过插值方法得到的数值微分公式有较高的精度．常用的数值微分公式是1=n 、2=n 时的插值型微分公式⑴ 一阶两点公式01()x x <94))()((1)()(0110x f x f h x f x f -≈'=' (6.5)100001111101()(),(,)2()(),(,)2hR x f x x hR x f x x ξξξξ''=-∈''=∈ (6.6)⑵ 一阶三点公式012()x x x <<()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-≈'-≈'-+-≈'210202*********)(21)(4321)(x f x f x f h x f x f x f h x f x f x f x f hx f (6.7) ()()()2200002221110222222021()(,)31()(,)61()(,)3R x h f x x R x h f x x R x h f x x ξξξξξξ⎧'''=∈⎪⎪⎪'''=-∈⎨⎪⎪'''=∈⎪⎩(6.8)利用类似的思路，还可以建立高阶导数的数值微分公式．从上面的数值微分公式的余项上来看，理论上步长h 取的越小，精度就越高．但在实际计算时并不这样简单．例6.1 设xe xf =)(，分别采用不同步长)15,2,1( 100 =⨯=-k h h k，使用公式(6.5)计算)1(f '的近似值．解 显然8459052.71828182)1(≈='e f ．取初始步长1.00=h ，分别记)1()1( f h f -+=∆，h d /∆=，e d error -=，用Matlab 软件编程计算，计算结果见表6.1．从表6.1可以看出，当步长从1.0=h 到7101.0-⨯=h 逐步减小时，得到的导数近似值的误差逐步减少；然而，随着步长的进一步减小，误差逐步增大．这是因为实际计算结果的误差是由截断误差和舍入误差共同决定的，由截断误差表达式可知，h 不宜过大；但当h 小到95表6.1 例6.1计算结果一定程度时，公式的分子出现相近数相减，同时分母趋于零，舍入误差导致有效数字位数急剧减少，也同样导致求解精度的降低．二、Taylor 展开法设函数)(x f 充分光滑，对于给定的步长h ，利用 Taylor 公式有+'''+''+'+=+32!3)(!2)()()()(h x f h x f h x f x f h x f (6.9) +'''-''+'-=-32!3)(!2)()()()(h x f h x f h x f x f h x f (6.10) 从而可建立数值微分公式hx f h x f h O h x f h x f x f )()()()()()(-+≈+-+=' (6.11)其截断误差为)(h O ．类似地，可以建立另一截断误差为)(h O 数值微分公式hh x f x f h O h h x f x f x f )()()()()()(--≈+--=' (6.12)如将式(6.9)和式(6.10)相减，可建立截断误差为)(2h O 数值微分公式96 hh x f h x f h O h h x f h x f x f 2)()()(2)()()(2--+≈+--+=' (6.13)类似地，将式(6.9)和式(6.10)相加，可得截断误差为)(2h O 的计算)(x f ''的数值微分公式222)()(2)()()()(2)()(hh x f x f h x f h O h h x f x f h x f x f -+-+≈+-+-+='' (6.14) 若利用更多点处的函数值(如 ),3(),2(h x h x ±±)的Taylor 展开式的线性组合，将可建立具有更高阶的截断误差的数值微分公式．三、Richardson 外推法假设利用某种数值方法得到某一量S 与步长h 有关的近似值)(*h S ，截断误差为+++=-k p k p p h a h a h a h S S 2121*)( (6.15)式中 <<<<<k p p p 210，系数 ,,21a a 非零，且),2,1(, =i a p i i 均是与步长h 无关的常数．用2/h 代替上述公式中的步长h ，得+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-kp k p p h a h a h a h S S 22222121*(6.16)如将上述两式进行加权平均，有望消去误差级数中的第一项，得到精度更高的数值计算公式．如在式(6.15)中，取*()()(),()2f x h f x h S f x S h h+--'==并且根据(5)24()()()()()23!5!f x h f x h f x f x f x h h h '''+--'=--- (6.17)可得(5)*24()()()()()()23!5!f x h f x h f x f x S S h f x h h h '''+--'-=-=--- (6.18)若将式(6.18)中的h 用2/h 替代，有24(5)*()()()()22()23!25!2h hf x f x h f x h f x h S S f x h +--'''⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (6.19)97将以上两式线性组合，并消去2h 的系数得)(2)()(31)2()2(34)(4h O hh x f h x f h h x f h x f x f +--+---+=' )()(31)2(344**h O h S h S +-= (6.20) 这是Richardson 外推算法的第一步．当然若有必要，还可以对式(6.20)继续进行外推运算（将式中的)(4h O 写成按h 幂次展开的形式）．例6.2 设x x x f cos )(2=，试用Richardson 外推法建立的数值公式(6.20)计算)0.1(f '的近似值（外推3次），初始步长取1.0=h ．计算结果精确到小数点后7位．解 计算结果见表6.2．表6.2 例6.2计算结果§6.3 Newton -Cotes 求积公式由高等数学的知识知，定积分⎰=badx x f f I )()(定义为如下和式的极限)()(01i ni i i f x xξ∑=+-式中011, [,](0,1,,1)n i i i a x x x b x x i n ξ+=<<<=∈=- ，极限过程为最大的子区间长度趋于0．这个定义本身就给出了一种计算积分近似值的方法．数值积分实际上就是用一些点处函数值的线性组合来近似计算定积分，即)(][)()()(0i ni i i n i i bax f A f E x f A dx x f f I ∑∑⎰==≈+== (6.21)式中{}ni i A 0=称为求积系数，{}ni i x 0=称为求积节点，它们均与被积函数)(x f 无关，][f E 表示98 求积余项，也称为求积公式的截断误差．追求理想的求积公式自然是希望其精确程度最高．概括起来，数值积分需研究如下三个问题 (1) 求积公式的具体构造；(2) 求积公式的精确程度衡量标准； (3) 求积公式的误差估计；这里通过引入被积函数的插值函数以及求积公式代数精度的概念分析上述三个问题．一、插值法建立求积公式设给定的1+n 个互异节点为{}],[0b a x ni i ⊂=，关于这些节点做被积函数的Lagrange 插值函数)(x L n ，于是有())()!1()()()(11x n f x L x f n n n ++++=ωξ (6.22)对式(6.22)两端在积分区间],[b a 上积分，得())()!1()()()( 11 ⎰⎰⎰++++=ban n ban badxx n f dx x L dx x f ωξ () )()!1()()( )( 11 0⎰⎰∑++=++=ban n bak nk kdx x n f dx x l x f ωξ (6.23)其中)(x l k 为关于节点{}ni i x 0=的Lagrange 插值基函数, 取⎰ban dx x L )(作为积分的近似值，构造出插值型求积公式)()(0k nk k bax f A dx x f ∑⎰=≈ (6.24)其中求积系数⎰=bak k dx x l A )( (6.25)同时，求得该求积公式的求积余项为()⎰+++=ban n dx x n f f E 11)()!1()(][ωξ (6.26)二、Newton -Cotes 求积公式99将节点等距分布时建立的插值求积公式称为Newton -Cotes 求积公式．它的思想最早出现于1676年Newton 写给Leibnitz （莱布尼茨） 的信中，后来Cotes （柯特斯） 对Newton 的方法进行了系统研究，于1711年给出了点数10≤的所有公式的权．下面列出几个最简单、最著名的Newton -Cotes 求积公式(1) 用区间中点做零次插值多项式，得到一点Newton -Cotes 求积公式，称为中点求积公式，即()():()2baa b f x dx b a f Mf +⎛⎫≈-= ⎪⎝⎭⎰(6.27) (2) 用区间两个端点做一次插值多项式，得到两点Newton -Cotes 求积公式，称为梯形求积公式，即()(()()):()2bab af x dx f a f b T f -≈+=⎰(6.28) (3) 用区间两个端点及中点做二次插值多项式，得到三点Newton -Cotes 求积公式，称为Simpson （辛普森）求积公式，即()()4():()62bab a a b f x dx f a f f b S f ⎛⎫-⎛+⎫⎛⎫≈++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(6.29)(4) 将区间四等分得到的五个节点（包括区间两个端点）做四次插值多项式，得到五点Newton -Cotes 求积公式，称为Cotes 求积公式，即()337()3212327() :()90424baf x dx b a a b a b a b f a f f f f b C f ≈-⎡+++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰(6.30)关于更详细的Newton -Cotes 求积公式的求积系数，可以查表6.3得到． 例6.3 试分别用一点、二点、三点、四点以及五点Newton -Cotes 公式计算积分dxx ⎰+10 11的近似值（计算结果取5位小数）． 解 利用中点求积公式，得66667.021111111 0 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⨯≈+⎰dx x利用梯形求积公式，得75000.0211211110 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯≈+⎰dx x 利用Simpson 求积公式，得100 表6.3 Newton -Cotes 求积公式系数69444.02121114161111 0 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⨯+⨯≈+⎰dx x利用四点Newton -Cotes 求积公式，得69375.0213211331113181111 0 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⨯++⨯+⨯≈+⎰dx x 利用Cotes 求积公式，得69317.0274311322111124111327901111 0 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⨯++⨯++⨯+⨯≈+⎰dx x 事实上原积分的准确值为12 01ln 0.693151dx x =≈+⎰可见这五个公式的近似积分的精确程度不同，求积节点越多，得到积分近似值越精确．101三、代数精度由Weierstrass （维尔斯特拉斯）多项式逼近定理[9]可知，对任意给定的精度要求，闭区间上的连续函数都可以用多项式近似．一个很自然的做法就是用精确积分的被积多项式的次数做为求积公式精确程度的度量．定义6.1 若求积公式对于任意的不高于m 次的代数多项式做为被积函数时都精确成立，而对某个m ＋1次多项式被积函数不精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度．由(6.26)式可知，n ＋1个求积节点的插值型求积公式的代数精度至少为n ．容易证明，求积公式具有m 次代数精度的充要条件是它对于m x x x x f ,,,1)(2=都准确成立，而对于1)(+=m x x f 不准确成立．通过代数精度的定义容易验证，中点公式、Simpson 公式、Cotes 公式的代数精度分别为1阶、3阶、5阶，但它们分别用到的是具有1个、3个以及5个求积节点的Newton -Cotes 公式．从中可以看到这样一个规律：当插值节点的个数)1(+n 是奇数时的Newton -Cotes 求积公式的代数精度至少为1+n 阶，其证明见参考文献[6]．利用代数精度的定义也可以确定数值积分公式中的相关参数，目标是使求积公式的代数精度尽可能高．只需要依次取被积函数)(x f 为 ,,,12x x ，并通过使求积公式准确成立来建立适当数目的方程，进而求解未知参数．例6.4 试确定参数C B A ,,，使得求积公式)2()1()0()(2Cf Bf Af dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高．解 根据代数精度的定义，令2,,1)(x x x f =时，求积公式精确成立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++3/84222C B C B C B A 解之得31,34,31===C B A取()3x x f =，则102 423=⎰dx x()()423134)2(103=⨯+=++Cf Bf Af 此时，该求积公式至少具有3次代数精度． 取()4x x f =，有53224=⎰dx x 但是()()32023134)2(104=⨯+=++Cf Bf Af 因此，当32,34,0===C B A 时，求积公式达到最高的代数精度，且代数精度的次数为3次． 例6.4实际上是积分区间取]2,0[时的Simpson 求积公式．可以看到，在固定求积节点的情况下，用待定系数法得到的求积系数和用插值法建立的求积公式的求积系数是相同的．这是因为，用待定系数法建立的形如式(6.21)的求积公式至少具有n 次代数精度，而至少具有n 次代数精度的求积公式一定是插值型的[6]．四、Newton -Cotes 求积公式的截断误差定理6.1 设函数)(x f 在积分区间],[b a 上具有连续的二阶导数，则中点求积公式的截断误差为3()[]() ()48M b a E f f a b ηη-''=<< (6.31)证明 由Taylor 展开公式2()()()2222!2a b a b a b f a b f x f f x x a b ξξ''++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-+-<< ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对上式两端在区间],[b a 上积分，有⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-''+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b a badx b a x f b a f a b x dx x f 22!2)(2)()(ξ由于函数22)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b a x x g 在积分区间],[b a 内不变号，而函数)(ξf ''在],[b a 上连103续，由积分第二中值定理知，在(,)a b 内存在一点η，使得)(48)(2!2)(][32ηηf a b dx b a x f f E b a M ''-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-''=⎰ 定理6.2 设函数)(x f 在积分区间],[b a 上具有连续的二阶导数，则梯形求积公式的截断误差为3()[]()()12T b a E f f a b ηη-''=-<< (6.32)证明 梯形求积公式的余项为()[]()() ()2!bT af E f x a x b dx a b ξξ''=--<<⎰由于))(()(2a x a x x --=ω在积分区间],[b a 内不变号，而函数)(ξf ''在],[b a 上连续，由积分第二中值定理知，在(,)a b 内存在一点η，使得)(12)())((!2)(][3ηηf a b dx b x a x f f E b a T ''--=--''=⎰ 定理6.3 设函数)(x f 在区间],[b a 上有连续的四阶导数，则Simpson 公式的截断误差为5(4)()[]()()2880S b a E f f a b ηη-=-<< (6.33)证明 对区间],[b a 上的函数)(x f ，构造次数不高于3次的插值多项式)(3x H ,使得)()( ),()(33b f b H a f a H ==22 ,2233⎪⎭⎫⎝⎛+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a f b a H b a f b a H不难得到()b a b x b a x a x f x H x f <<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=ξξ )(2)(!4)()()(243对上式两端在区间],[b a 上积分104 ()⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=bab abadx b x b a x a x f dx x H dx x f 24 3 )(2)(!4)()()(ξ 因Simpson 公式的代数精确度是3，所以()][)(24)(6 )(2)(!4)( )(24)(6)( 24333 f E b f b a f a f a b dx b x b a x a x f b H b a H a H a b dx x f S b aba+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎰⎰ξ式中()()())(2880)()(2)(!4)()(2)(!4)(][4524 24ηηξf a b dx b x b a x a x fdx b x b a x a x f f E b a baS --=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎰⎰定理6.3所使用的证明方法也可以用来证明定理6.1．对于更为复杂的Cotes 公式，有 定理6.4 设函数)(x f 在区间],[b a 上有连续的6阶导数，则Cotes 公式的截断误差为()6642()[]() ()9454b a b a E f f a b ηη--⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭(6.34)五、Newton -Cotes 求积公式的稳定性和收敛性本节简要分析Newton –Cotes 公式序列的收敛性及稳定性．定义6.2 Newton -Cotes 求积公式的收敛性是指，对于任意连续的被积函数，当求积节点的个数∞→n 时，截断误差序列满足0][lim =∞→f E n n ．Newton -Cotes 求积公式是基于等距插值建立起来的，但因当∞→n 时，插值函数不保证收敛到被插值函数，进而也不能保证0][lim =∞→f E n n ．Newton -Cotes 求积公式序列的稳定性主要考虑函数值)(i x f 计算的舍入误差对数值积分结果的影响．定义6.3 对于一个求积公式序列{}0()n n I f +∞=，假设在计算)(i x f 时，引入舍入误差i e ，即有i i i e x f x f +=)()(~，并记105)(~)~(),()(0i ni i n i ni i n x f A f I x f A f I ∑∑====如果对任意给定的小正数0>ε，只要误差i ie max =δ充分小，就有ε≤-=-∑=)](~)([)~()(0i i ni i n n x f x f A f I f I则称该求积公式序列{}0()n n I f +∞=是稳定的． 对于数值求积公式，有δ∑∑∑∑====≤≤=-ni in i ii in i i i i ni i A e A e A x f x f A 0)](~)([由于Newton -Cotes 求积公式对常数均能精确积分，当被积函数1)(≡x f 时，有在∞→n 的过程中，Newton -Cotes 求积公式序列的求积系数有正有负，nii A=∑的有界性不能保证，因而Newton -Cotes 求积公式得稳定性不能保证．基于上述稳定性、收敛性原因，在实际计算中，人们并不追求高阶的Newton -Cotes 求积公式，而是通过细化积分区间的方法，用复化求积公式来提高数值积分的精度．§6.4 复化求积法从积分的定义可以看出，增加求积节点数目可以提高数值积分的代数精度．但通过增加插值节点建立的高阶Newton -Cotes 求积公式的稳定性差．一种提高求积精度的方法是先将整个积分区间细分，然后在每个小的区间上使用低阶的Newton -Cotes 求积公式，这就是复化求积法．理论和数值结果都表明，这种方案可以获得理想的数值结果．一、复化梯形公式首先将积分区间],[b a n 等分，区间长度nab h -=，节点记为 (0,1,,)i x a ih i n =+= ，然后在每个小区间],[1+i i x x 上使用梯形公式，得106 ∑∑∑∑⎰⎰-=-=+-=-=''-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=''-+==+131131101)(12)()(2)(2)](12))()((2[)()(1n i i n i i i i i n i n i x x baf h b f x f a f h f h x f x f h dxx f dx x f i iηη略去上式最后一项，得到复化梯形公式⎪⎭⎫⎝⎛++=∑-=11)()(2)(2n i i n b f x f a f h T (6.35)其截断误差为3110() ()12n n T i i i i i h E f x x ηη-+=''=-<<∑定理6.5 设函数)(x f 在积分区间],[b a 上具有连续的二阶导数，则复化梯形公式的截断误差为2() ()12n T b a E h f a b ηη-''=-≤≤ (6.36)证明 因为)(x f ''在],[b a 上连续，则其在区间一定有最大值M 和最小值m ，即1(),(,)[,]i i i i m f M x x a b ηη+''≤≤∈⊂进而有M f n m n i i ≤''≤∑-=1)(1η由连续函数的介值定理知，存在一点[]b a ,∈η，使得∑-=''=''1)(1)(n i i f n f ηη故)(12)(122103ηηf h a b f h E n i i T n ''--=''-=∑-=从截断误差可以看出，复化梯形公式的代数精度仍为一阶．107二、复化Simpson 公式若在每个小区间上使用Simpson 公式，有()()∑∑∑∑∑∑⎰⎰-=-=-=+-=++-=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+10451110211045121101)(2880)(4)(2)(6)(2880)(4)(6)()(1n i i n i n i i i n i i i i i n i n i x x b af h b f x f x f a f h f h x f x f x f h dxx f dx x f i iηη上式略去最后一项，得到复化Simpson 公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑-=-=+111021)(4)(2)(6n i n i i i n b f x f x f a f h S (6.37)其截断误差为()51410() ()2880n n S i i i i i h E f x x ηη-+==-<<∑定理6.6 设函数()x f 在区间[]b a ,上有连续的四阶导数，则复化Simpson 公式的截断误差为()44() ()2880n S i b a E h f a b ηη-=-≤≤ (6.38)从截断误差可以看出，复化Simpson 公式的代数精度仍为三阶．对于上节的中点求积公式，使用同样的方法，也可以获得其对应的复化求积公式以及截断误差11022() ()48n n n i i M M h f x b a R h f a b ηη-+=⎛⎫= ⎪⎝⎭-''=≤≤∑可以证明这三个复化求积公式都是收敛的、稳定的[6]． 例6.5 使用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分⎰2/ 0cos πxdx 的近似值时，要求误差不超过510-，分别需要多少个求积节点？108 解 这里，(), , max 122a b b a b a h f n nηππη≤≤-''-====．从复化梯形公式的截断误差可知，要使得近似值的误差不超过510-，则需满足()521012max -≤≤≤''--ηηf h a b ba 解不等式得179.7170≥n取180=n ，相应的需要1811=+n 个求积节点；同理，用复化Simpson 公式计算时，需满足()5)4(4102880max -≤≤≤--ηηf h a b ba 由于()1max )4(=≤≤ηηf b a ，解541022880-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--n a b π得， 4.2688≥n ，因此，需要将区间进行5=n 等分，相应的需要1112=+n 个求积节点．三、区间逐次分半求积法使用复化求积公式计算积分值，要保证满足指定精度，依据截断误差，需要将中值定理使用时产生的被积函数的高阶导数在某一点η的绝对值放大为整个积分区间上的最大值，若最大值难求，还需进一步进行放大运算，势必导致过多地选取求积节点，影响计算效率．区间逐次分半求积法则避免了这种不便．它是根据规定的精度要求，在计算过程中把积分区间逐次分半，利用相邻两次求积结果之差来判别误差的大小，从而得到满足精度要求的积分近似值．下面以复化梯形公式为例来说明区间逐次分半求积法的计算过程．由复化梯形公式的误差估计式可以看到，)(2h O E n T ≈．当对n 较大时，可以认为2ch E n T ≈ (6.39)这里c 为常数，当将区间n 2等分时有222⎪⎭⎫⎝⎛≈h c E nT (6.40) 进而42≈--nnT I T I (6.41)即109)(3122n n n T T T I -+≈ (6.42)上式说明，若用n T 2作为准确值I 的近似值时，误差大约为)(312n n T T -．因此可以使用ε<-)(312n n T T 判断近似值n T 2的近似程度，其中ε为容许误差，这样就避免了被积函数高阶导数最值的估计．需要指出的是，在实际计算n T 2时，由于每次总是在前一次对分的基础上将区间再次对分，分点加密一倍，原分点上的函数值不需要重复计算，这样可以采用如下的递推公式减少计算量n a b h h i a f h T T n i n n -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∑=,212212 (6.43) 同理，也可以类似的给出基于复化Simpson 公式和复化Cotes 公式的区间逐次分半求积法，此时有)(15122n n n S S S I -+≈ (6.44) )(63122n n nC C C I -+≈ (6.45) 算法6.1 （复化梯形求积算法） 输入 区间端点b a ,及精度ε； 输出 积分近似值T ；Step 1 令1=n ，2/)(a b h -=，))()((0b f a f h T +=，/2h h =；Step 2 令0=F ，对n i ,,2,1 =，计算))12((h i a f F F -++=； //计算新节点函数值和 Step 3 计算hF T T +=2/0； //计算式(6.43)Step 4 若ε≤-0T T ，算法终止，输出T ；否则，赋值T T h h n n ===0,2/,2，转Step2． 算法6.2 （复化simpson 求积算法） 输入 区间端点b a ,及精度ε； 输出 积分近似值S ；110 Step 1 令2=n ，()4/a b h -=；Step 2 计算01()(),(()/2),F f a f b F f a b =+=+()6/)4(100F F a b S +-=，/2h h =； Step 3 令02=F ，对n i ,,2,1 =，计算()h i a f F F )12(22-++=；//计算新节点函数值和 Step 4 计算3/)42(210F F F h S ++=；Step 5 若ε≤-0S S ，算法终止，输出S ；否则，令S S h h n n ===0,2/,2，322F F F +=转Step3．例6.6 使用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分⎰10 sin dx x x的近似值，要求误差不超过510-=ε．解 使用区间逐次分半求积法的复化梯形公式和复化Simpson 公式进行求解．计算结果如表6.4所示，其中等分区间间距为：k a b h 2/)(-=，算例使用 ε<-n n T T 2和ε<-n n S S 2作为误差终止判断条件．表6.4 例6.6的计算结果§6.5 Romberg 求积法一、Romberg 求积法区间逐次分半求积法将)(312n n T T -或)(1512n n S S -处理成误差，将n T 2或n S 2作为积分111的近似值．分析近似表达式(6.45)和(6.47)后可以发现，既然)(n n S T 和)(22n n S T 都已经算出，自然地，误差)(312n n T T -或)(1512n n S S -也可以算出，那么将)(3122n n n T T T -+或)(15122n n n S S S -+整体作为积分的近似值，显然可进一步改善积分计算精度． 事实上，可以验证n n n n S T T T =-+)(3122 (6.46)上式表明对基于区间逐次分半求积的复化梯形公式进行误差校正得到复化Simpson 求积公式的计算值，从而把误差从)(2h O 提高到)(4h O ．类似地，有n n n n C S S S =-+)(15122(6.47) 即对基于区间逐次分半求积的复化Simpson 公式进行误差校正得到复化Cotes 求积公式的计算值，误差从)(4h O 提高到)(6h O ．我们称基于区间逐次分半求积的复化Cotes 公式进行误差校正得到的公式为Romberg （龙贝格）求积公式n n n n R C C C =-+)(63122 (6.48)它的误差阶是)(8h O ．二、Richardson 外推法Romberg 求积算法还可以通过Richardson 外推技巧得到．文献[4]给出了复化梯形公式的渐近展开形式的误差表达246246 ()bn af x dx T a h a h a h =++++⎰(6.49)其中， 642,,a a a 是与步长h 无关的常数．使用基于复化梯形公式的区间逐次分半求积法，可得梯形序列{}1n n T +∞=． 现将Richardson 外推技巧用到式(6.49)，经过一次外推得到112 (1)4(1)6246 41()33bn n af x dx T T a h a h =-+++⎰(6.50)而由式(6.46)知24133n n n S T T =-，于是有(1)4(1)646()bn af x dx S a h a h =+++⎰(6.51)这与定理6.6一致．类似地使用Richardson 外推技巧，还可以依次得到式(6.47)和式(6.48) ． 算法6.3（Romberg 算法）输入 积分区间端点参数b a ,及精度ε； 输出 积分近似值；Step 1计算初值()()1()()/2T b a f a f b =-+； Step2 令(1,2,;2)i b ah i n n-=== ，按式 (6.43) 计算梯形序列{}n T ； Step 3 分别按式 (6.46) 、式 (6.47)、 式 (6.48) 计算序列{}n S 、{}n C 、{}n R ； Step 4若(2)()R n R n ε-≤，算法终止，输出(2)R n ；否则，区间分半，转Step2．例6.7 使用Romberg 求积法计算定积分⎰+10 214dx x 的近似值，要求误差不超过710-=ε. 解 计算结果如表 6.5所示，其中等分区间间距为：n a b h 2/)(-=，算例使用ε<-n n C R 作为误差终止判断条件．表6.5 例6.7的计算结果容易计算358973.141592651410 2==+⎰πdx x可以看到，当4=k 时，使用基于复化梯形公式的区间分半求积法，误差是1130006510.03.1409416=-π但是通过外推之后，得到的龙贝格序列的误差减小为00000001.03.14159264=-π计算精度得到了很大提高．§6.6 Gauss 型求积公式前面研究的数值求积公式都是在积分区间内事先确定了1+n 个求积节点，然后通过待定系数法，按照使求积公式的代数精度达到最高的原则选取最佳求积系数（和通过插值的方法得到的求积系数是一致的）．已经知道，对于具有1+n 个求积节点的求积公式，其代数精度至少可以达到n 次．那么能否适当地选择求积节点的位置和相应的求积系数，使得求积公式具有更高甚至最高的代数精度？答案是肯定的．例如下面的求积公式()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-33331 1 f f dx x f 可以验证，该公式的代数精确度是3次，而前述的两点Newton -Cotes 公式即梯形求积公式的代数精度只能达到1次．实际上，对任意一组1+n 个互异求积节点n i i x 0}{=的插值型求积公式，当被积函数)(x f 取为22+n 次的多项式()()()2212021)(nn x x x x x x x ---=+ ω 时，总有0][][)()()(21021>=+==+=+∑⎰f E f E x A dx x f I i n ni i ban ωω(6.52)即对任意的1+n 个互异求积节点构造的求积公式的代数精度不能达到22+n 次，那么是否能够达到12+n 次，则是本节考虑的问题．一、Gauss 型求积公式一般地，如果选取1+n 个求积节点，要使求积公式对任意的12+n 次多项式精确成立，根据待定系数法，有114 01 22 0011 2222212121210011 1222b n a b n n a n n b n n n n n n a A A A dx b ab a A x A x A x xdx ba A x A x A x x dx n ++++++⎧++==-⎪⎪-⎪++==⎪⎨⎪⎪-⎪++==⎪+⎩⎰⎰⎰ (6.53) 理论上可以证明，上述非线性方程组的解是存在惟一的．也就是说，通过合理地选取求积节点及求积系数，可以使得求积公式的代数精度达到12+n 次．将这种具有1+n 个求积节点的具有12+n 次代数精度的求积公式称为Gauss 型求积公式，对应的一组求积节点称为一组Gauss 点．Gauss 型求积公式的求积节点和求积系数可以通过求解非线性方程组(6.53)得到，然而，直接求解该非线性方程组是复杂的．通常构造Gauss 型求积公式的方法是，首先通过正交多项式确定一组Gauss 点，然后再使用待定系数法或插值的方法求出Gauss 型求积公式的求积系数．定理6.7 对于插值型求积公式，其互异节点n i i x 0}{=是一组Gauss 点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式函数101()()()()n n x x x x x x x ω+=--- 与任意的次数不超过n 次的多项式函数)(x p 在积分区间[]b a ,上正交，即满足0)()(1=⎰+ban dx x p x ω (6.54)证明 (充分性） 对任意不超过2n +1次的多项式)(x g ，存在不超过n 次的多项式)(x q 和)(x r ，使得)()()()(1x r x x q x g n +=+ω (6.55)成立．对上式两端积分，得⎰⎰⎰⎰=+=+bab ab an badx x r dx x r dx x x q dx x g )()()()()(1ω (6.56)对互异节点组n i i x 0}{=，构造插值型求积公式，即取求积系数115),,1,0(0n k dx x xx x A b an kj j jkjk =--=⎰∏≠=(6.57)这样求积公式至少具有n 次代数精度． 利用代数精度概念有∑∑⎰====ni i i n i i i b ax g A x r A dx x r 0)()()((6.58)比较式(6.56)和式(6.58)，有∑⎰==ni i i b ax g A dx x g 0)()((6.59)这样求积公式具有2n +1次代数精度，积分节点是一组Gauss 点．(必要性) 节点n i i x 0}{=是一组Gauss 点，n i i A 0}{=是相应的Gauss 求积系数，这样的求积公式具有2n +1次代数精度．设)(x p 是任意不超过n 次的多项式，)()(1x x p n +ω不超过2n +1次．0)()()()(011==∑⎰=++ni i n i i b an x x p A dx x x p ωω(6.60)这说明式(6.54)成立．由定理6.7可知，只要能够找到与任意的次数不超过n 次的多项式函数)(x p 在区间],[b a 上正交的n +1次多项式函数，那么，这个函数的所有零点即为Gauss 点．下面以Legendre (勒让德) 多项式为例，介绍Gauss 型求积公式的构造过程．二、Gauss-Legendre 求积公式称形如∑⎰=-≈ni i i x f A dx x f 01 1)()((6.61)的Gauss 型求积公式为Gauss-Legendre 求积公式． 可以证明，该求积公式对应的n +1个Gauss 点正好是n +1次勒让德多项式121111)1(2)!1(1)(+++++-+=n n n n n x dxd n x p (6.62)116 的一组零点．在求得一组Gauss 求积节点后，求积系数可通过待定系数法或插值型求积公式的求积系数公式求得．表6.6给出了部分Gauss-Legendre 求积公式的求积节点和求积系数．表6.6 Gauss-Legendre 求积公式中的数据和上一节描述的求积公式不同的是，Gauss-Legendre 求积公式的积分区间是]1,1[-，对于定积分⎰badx x f )(，可以通过变量代换t ab b a x 22-++=(6.63) 将区间],[b a 上的积分转化为]1,1[-上的积分⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-++-=1 1 222)(dt t a b b a f a b dx x f ba(6.64) 然后再使用Gauss-Legendre 求积公式进行计算．例6.8 分别使用两点Gauss-Legendre 求积公式和四点Gauss-Legendre 求积公式计算定 积分⎰2/ 0cos πxdx 的近似值．解 作变量代换)1(4t x +=π，则⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==11 2/ 0)1(4cos 4cos dt t xdx I πππ117记⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(4cos )(t t πφ，因为节点5773503.00=t ，5773503.01-=t ，110==A A ，由两点Gauss-Legendre 求积公式得160.99847260))()((410≈+≈t t I φφπ同样地，取160.861136310=t ，10.8611363116t =-，360.339981042=t ，360.339981043-=t ，50.3478548410==A A ，490.6521451532==A A ，由四点Gauss-Legendre 求积公式得720.99999997))()()()((433221100≈+++≈t A t A t A t A I φφφφπ易知，1cos 2/ 0==⎰πxdx I ．四点Gauss-Legendre 求积公式的误差为710720.999999971-≤-而由例6.3可知，要求误差不超过510-，复化梯形公式和复化Simpson 公式分别需要181个求积节点和11个求积节点．可见，Gauss 型求积公式具有较高的计算精度．但是，当求积节点数目增加时，Gauss 点发生了变化，前面计算的函数值不能在后面使用．三、Gauss 型求积公式的截断误差及稳定性定理6.8 设被积函数)(x f 的2n +2阶导函数在区间],[b a 上连续，则Gauss 求积公式的截断误差为),())(()!22()(][21)22(b a dx x n f f R b a n n ∈+=⎰++ξωξ (6.65)证明 设)(12x H n +是满足如下插值条件的不超过2n +1次的插值多项式),,1,0()()()()(1212n k x f x H x f x H k kn k k n =⎩⎨⎧'='=++(6.66)则其插值余项可表示为118 ),())(()!22()()()(21)22(12b a x n f x H x f n n n ∈+=-+++ηωη(6.67)由于Gauss 型求积公式具有12+n 次代数精度，因此∑∑⎰==++==ni i i n i i n i b an x f A x H A dx x H 01212)()()((6.68)故，求积公式截断误差可以表示为 ∑⎰--=ni i i b ax f A dx x f f R 0)()(][⎰⎰+-=ban b adxx H dx x f )()(12dxx n f b an n ⎰+++=21)22())(()!22()(ωη (6.69)因为21))((x n +ω在求积区间上不变号，)(x f 的2n +2阶导函数在求积区间上连续，对式(6.69)使用积分第二中值定理便得到式(6.65) ．对于Gauss 型求积公式，其求积系数220(())(())0nbk i k k ai A A l x l x dx ===>∑⎰(6.70)其中， n i i x l 0)}({=是以Gauss 点n i i x 0}{=为插值节点的Lagrange 插值基函数．上式表明Gauss求积系数都大于零，进而得到如下定理定理6.9 Gauss 型求积公式序列是稳定的、收敛的．。
数值积分
2.0 引 言1.定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中F (x )是f (x )的原函数之一，可用不定积分求得。
然而在实际问题中，往往碰到以下问题： 1）被积函数f (x )是用函数表格提供的；2）被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算；3）大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如概率积分21x e dx-⎰，正弦型积分10sin xdx x ⎰，等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。
2.所谓数值积分就是求积分近似值的方法。
§2.1 机械求积公式 2.1.1 数值积分的基本思想基本思想：定积分的几何意义：曲线)(x f y =，直线b x a x ==,与x 轴所围成得曲边梯形得面积，无论被积函数是什么形式，只要近似计算曲边梯形面积，就可求定积分的值，这就是数值求积的基本思想。
积分中值定理⎰-=baf a b dx x f )()()(ξ，点ξ具体值未知，只要对平均高度)(ξf 提供一种数值算法，相应就求得一种数值求积方法。
（1） 用f (x )的零次多项式00()()y L x f x ==来近似代替()f x ,于是，110001()(()))(x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为左矩公式）1101110()()()()x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为右矩公式）110010110()()2()()2x x x x x x f x dx f dx x x f x x +≈+=-⎰⎰（为中矩公式）（2） 用f (x )的一次多项式011010110()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+--来近似代替()f x ,于是，[]101101010********()()1()()(()())2x x x x x x x x x x f x f x dx x x x x x f x dx L x dxx f x f x ⎛⎫--=+ ⎪--⎝⎭=-+≈⎰⎰⎰（为梯形公式）（3） 用f (x )的二次插值多项式,其中01x x x '<<011200010101101()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x '----'=+'''----'--+'--来近似代替()f x ,于是，112()()x x x x f x dx L x dx≈⎰⎰特别地：当011()2x x x '=+时，有10100101()()()4()()62x x x x x x f x dx f x f f x -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰（为Simpson 公式）一般在区间[a ,b ]上的定积分()ba f x dx⎰，就是在区间[a,b]内取n+1个点01,,,nx x x ，利用被积函数f (x )在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。
6c高斯型求积公式
定理
若节点 xk , k 0,1, , n 是高斯点，则以这些点为根
n
的多项式 ( x) ( x xk ) 是最高次幂系数为 1 的的勒让德多项
k 0
式，即
(n 1)! d n 1 ( x 2 1) n 1 L n 1 (2n 2)! dx n 1
计算方法
第六章 数值积分与数值微分
—— Gauss 求积公式
1
本讲内容
Gauss 求积公式
一般理论: 公式, 余项, 收敛性, 稳定性
Gauss-Legendre 求积公式
Gauss-Chebyshev 求积公式
无限区间的 Gauss 求积公式
2
Gauss 型求积公式
考虑求积公式
0.4674
20
1 1
f ( x ) dx Ai f ( xi )
i 0
9
n
简单 G-L 公式
n =0 时, Pn1 ( x) x G-L 求积公式:
1 1
Gauss 点: x0 0
将 f (x)＝1 代入求出 A0
f ( x ) dx 2 f (0)
1 2
n =1 时, Pn1 ( x ) (3 x 2 1) Gauss 点: x0 3 , x1 3
i 0
n
要证 xi 为 Gauss 点，即公式对 p(x) H2n+1精确成立 “ p( x) ( x)q( x) r( x) ” p(x), r(x)Hn 设
n1
b a
( x ) p( x )dx ( x)n1 ( x)q( x)dx ( x)r( x)dx
第六章 数值积分和数值微分答案
1. 求积分 11()f x dx -⎰两点的高斯公式为 11()(f x dx f f -≈+⎰,则 102()f x dx ⎰的两点高斯公式为4646f f⎛⎛++- ⎝⎝。
2. 1n +个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为 n 次。
3 n 个求积节点的高斯求积公式的代数精度为 2n-1 次；4. 求积分()baf x ⎰的辛卜生公式为()S f =()4()()62b a a b f a f f b -+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦。
5 确定求积公式的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。
3 1()[()()]''( )212a hah f x dx f a f a h h f a h λ+=++-+⎰解：当f(x)=1时，左边=1a ha dx h +=⎰右边=3"1[()()]()22h f a f a h h f a h h λ++-+= 左边=右边 当f(x)=x 时，左边=222a haah h xdx ++=⎰右边=23"12[()()]()222h ah h f a f a h h f a h λ+++-+=左边=右边 当f(x)= 2x 时，左边=2232333a haa h ah h x dx +++=⎰右边= 2233"133[()()]()223h a h ah h f a f a h h f a h λ++++-+=左边=右边当f(x)= 3x 时，左边=442()4a haa h a x dx ++-=⎰右边=3333"1()()[()()]()2222h a h a h a h h f a f a h h f a h λλ+++++-+=-要使得 左边=右边，则124λ=，12λ=当f(x)= 4x ,左边≠右边，所以它的精度次数是36求定积分()baf x dx⎰的辛卜生公式为()S f =()4()()62b a a b f a f f b -+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b a
f ( ) ( x a )( x b)dx 2
注意到对任意的 x [a, b] ， 有 ( x a)( x b) 0 ， 根据积分中值定理， 若 f "( x) C[a, b] ，有
f ( ) b f ( ) 3 E ( x a )( x b ) dx ( b a ) 2 a 12
b
ba A0 l0 ( x )dx , a 6 b 4( ba ) A1 l1 ( x )dx , a 6 b ba A2 l2 ( x )dx . a 6
b
ba ab ( f (a) 4 f ( ) f (b)) : S . 对应的求积公式为 f ( x)dx a 6 2
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式 Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法 Romberg（龙贝格）积分 高斯型求积公式
辛普森公式的误差
思考：辛普森公式的代数精度为 3 次？
例：利用辛普森公式求
b a
x3dx 。
ba ab b4 a 4 ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 解： S , 6 2 4
1 4 b 1 4 4 而精确积分有 x dx x |a (b a ) 。 a 4 4
a
b
b a
f ( n 1) ( ) wn 1 ( x)dx (n 1)!
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时， 对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
bx xa , l1 ( x) 取 n 1 ，节点为 x0 a ， x1 b 。有 l0 ( x) . ba ba
因此，
1 A0 l0 ( x)dx (b a) ， a 2 b 1 A1 l1 ( x)dx (b a) ， a 2 b ba ( f (a) f (b)) : T . 对应的求积公式为 f ( x)dx a 2
b
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
E I T
例：
b
a b
f ( x)dx (b a) f (a) f ( x)dx (b a) f (b)
左矩形公式，具 0 次代数精度；
右矩形公式，具 0 次代数精度；
a
b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ) 中矩形公式，具 1 次代数精度。 2
插值型求积公式
插值型求积公式： 想法：给定函数 f ( x ) ，若 f (x) g (x) ，且 g ( x) 积分比较好算， 那么有
b 3
故辛普森公式有 3 次代数精度!
辛普森公式的误差
f (3) ( ) ab E ( x a)( x )( x b)dx a 3! 2 b ab ab f [ x, a , , b]( x a)( x )( x b)dx a 2 2 b ab ( x a ) 2 ( x b) 2 f [ x, a , , b]d a 2 4 ab f [ x , a , , b] 2 2 2 2 b b ( x a ) ( x b ) a b ( x a ) ( x b ) 2 dx f [ x, a, , b] a a x 4 2 4
b a
f ( x)dx g ( x)dx 。
a
b
若取 g ( x) 为 f ( x ) 的插值多项式， 则对应的求积公式称为插值型求 积公式。
插值型求积公式
给定区间 [ a, b] ，取插值节点 a x0 x1 xn b ，我们有 Lagrange 插值多项式
n
Ln ( x) f ( xk )lk ( x) 。
数值积分的基本概念
数值积分的基本思想： 考察 有 I :
b
b
a
f ( x)dx ，若其原函数为 F ( x) ，即 F '( x) f ( x) ，则
a
f ( x)dx F (b) F (a) 。
困难：在可积函数中能够解析积分的函数相当少，而且即使可 以解析积分，让机器模拟人的思维也比较麻烦。借助于数值方法离 散化后计算积分的近似值，称为数值积分。
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：
bБайду номын сангаас
a
f (x ) dx
b
可用
x
k 1
n
k
f ( xk ) 作为原积分的近似： f ( x)dx xk f ( xk ) 。
a k 1
n m a xxk k 01 n
l i m xk f k( ，)
n
进一步推广得到更一般的公式：
b
a
f ( x )dx Ak f x (k ) I: n，
k 0
n
其中，xk 为求积节点， Ak 为求积系数，Ak 仅与 xk 的选取有关， 与 f ( x) 的具体形式无关。
代数精度
定义(代数精度)：若某个求积公式对次数 m 的代数多项式都能精确 成立， 但对 m 1 次多项式不一定精确成立， 则称该求积公式具有 m 次 代数精度。
辛普森公式：
辛普森公式
ab , x2 b 。 2
取 n 2 ，节点为 x0 a, x1 节点 x0 , x1 , x2 处基函数为
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x x0 )( x x2 ) l1 ( x) , ，对应的系数为 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
k 0
b b a
因此，有
f ( x)dx Ln ( x)dx f ( xk ) lk ( x)dx 。
a k 0 a
n
b
对应的求积公式为 I n
而对应的误差为
A
k 0
n
k
f ( xk ) ，其中 Ak lk ( x)dx 。
a
b
I I n ( f ( x) Ln ( x))dx