2012届高考数学课时复习题35

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是
( )
解析：(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0
⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.
结合图形可知选C. 答案：C
2．设D 是由⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －y )(x ＋y )≥0，y ≥0所确定的平面区域，记D 被夹在直线x ＝－1和x ＝t (t
∈[－1,1])间的部分的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )
解析：如图，由不等式组画出平面区域．根据题意，由函数S ＝f (t )的单调递增情况易选出答案B.
答案：B
3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x －y ＋1≥0，
x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )
A ．－2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当该直线经过该平面区域内的点(3,0)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是z ＝2x ＋y ＝2×3＋0＝6.
答案：C
4．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0y ≥a 0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( )
A ．a <5
B ．a ≥8
C ．5≤a ＜8
D ．a ＜5或a ≥8
解析：如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋5＝0
x ＝0的交点为(0,5)，
⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋5＝0
x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a ＜8.
答案：C
5．已知约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －3y ＋4≥0x ＋2y －1≥0
3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最
大值，则a 的取值范围为( )
A ．0＜a ＜1
3
B ．a ≥1
3
C ．a ＞1
3
D ．0＜a ＜1
2
解析：画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边界)，
如图，易知当a ＝0时，不符合题意；当a ＞0时，由目标函数z ＝x
＋ay 得y ＝－1
a x ＋z a
，
则由题意得－3＝k AC ＜－1
a ＜0， 故a ＞13.综上所述，a ＞13.
答案：C
6．设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －11≥03x －y ＋3≥0
5x －3y ＋9≤0
表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在
区域D 上的点，则a 的取值范围是( )
A ．(1,3]
B ．[2,3]
C ．(1,2]
D ．[3，＋∞)
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a >1时才能够使函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，由图可知当函数y ＝a x 的图象经过点A 时a 取得最大值，
由方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －11＝0，
3x －y ＋3＝0，
解得x ＝2，y ＝9，即点A (2,9)， 代入函数解析式得9＝a 2， 即a ＝3，故1<a ≤3. 答案：A
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分) 7．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥1y ≤2
x －y ≤0上，点M 的坐标为(3,0)，那么|PM |的最小值是
________．
解析：点P 所在的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，点M 到A (1,1)，
B (2，2)的距离分别为5，5，
又点M (3,0)到直线x －y ＝0的距离为322，故|PM |的最小值为32
2.
答案：
32
2
8．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，y ＋2≥0，
x －y ＋1≥0
表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则
区域D 的面积为________；z 的最大值为________．
解析：图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为
25
2
，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y 得，x ＝2，y ＝3时，有z max ＝5.
答案：
252
5 9．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥0x －y ≤0
0≤y ≤k
，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．
解析：如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直
线x ＋2y ＝0上，
B (－6,3)，
∴z min ＝－6＋3＝－3. 答案：－3
三、解答题(共3个小题，满分35分) 10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？
解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．
所以，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x ∈⎣⎡⎦⎤－5
2，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知
⎩⎪⎨⎪⎧
－x ≤y ≤x ＋5，－52
≤x ≤3，且x ∈Z ， 当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
11．某班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？
解：设可购买大球x 个，小球y 个．
依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＜100
x ≥10y ≥20
x ∈N *
y ∈N
*
，
其整数解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10y ＝20，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝20y ＝30，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝30y ＝30，⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝35y ＝29，…，
都符合题目要求(满足2x ＋y －100＜0即可)．
12．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解：法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：
z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足
⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.
z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0，8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.
比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足
⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.
让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移， 由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．。