弹塑性力学讲义 第十章弹性力学的能量原理

V
V S
取
V
=0 ， 得
(k ) ij

或
ij dV V f i u i dV S X i u i dS ——虚位移方程

V ( ij , j f i )u i dV S
(k )

(k ) ( X i n j ij )dS 0
ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而 =0，表明由 ui(k)
V V

V
(1) ( 2 ) ij ij
(1) ( 2 ) ( 2 ) (1) ( 2 ) (1) dV Eijkl kl ij dV E klij kl ij dV ij ij dV V
W12=W21
第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做 的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上 所做的功。
1 ( k1 ) ( k 2 ) 1 ( k1 ) ( k 2 ) ij u i , j ji u j ,i 2 2
( k1 ) ( k 2 ) ( k1 ) ( k 2 ) ij u dV ,j i ij ij dV V V
代入虚功方程左端，得
( k1 ) ( k2 ) ( k1 ) ( k2 ) We f i ui( k2 ) dV ij dV ij ij dV , j ui V V V
导出ij 满足静力方程， 所以由=0 即为真解应满足的控制方程。
(k)
最小势能原理的表述： 在位移满足几何方程和位移边界条件的前 提下， 如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条 件，则该位移必使势能
为驻值（极值） 。如可能位移使 的变分
=0， 则该位移相应应力必满足静力方程。 =0 等价与静力方程。
：
之差称为虚位移 ui，而由两种可能
两种可能位移 ui
和 ui
(k2)
位移状态对应的可能应变
ij(k1)、ij(k2)之差
在V内
ij =(ui,j +uj,i )/2 ui =0
1.5 虚应力
在 su 上齐次位移边界条件。
ij
：
；在 V 内：ij,j = 0；
ij = ij(k1)-ij(k2)


代入 Uc 表达式
1 2 (1 ) ij kk ll dV 2E V


徐芝纶的弹性力学
上册 P.346（11－1） 1.2 可能位移
ui(k)和可能应变 ij(k)：
(k )
(k) 可能位移 ui ：在 V 内连续且可微，在 su 上满足 u i
ui 。
可能应变ij ：由 ui 通过几何方程导出的
（2）已将几何关系引入
ij =(ui,j +uj,i )/2 ;
在 su 上 ;
(k) （3）ui 为可能位移： u i u i
（4）在各向同性线性材料应变能 U 的表达式为徐芝纶（上册）P.345
（11－5）式。
2．由
(k)
中寻求真实位移
(k)
ui(k)为可能位移,有无穷多。因此，与其对应的势能
2.2 虚功方程的证明：
S X i
( k1 ) ( k2 ) ui dS
( k1 ) ( k2 ) ( k1 ) ( k2 ) n j ij ui dS ( ij ui ), j dV S V
( k1 ) ( k 2 ) ( k1 ) ( k 2 ) ij dV ij u i , j dV , j ui V V
第十章
弹性力学的能量原理
弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题求解体系——静力法。 在前面各章中就围绕平面问题、 扭转问题和空间轴对称问题进行了具 体分析和研究。弹性力学问题的解法还有另一种解法：以能量形来建 立弹性力学求解方程——能量法 （从数学意义上说也可认为变分法） 。 本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。 在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概念和术语。
W

0
当材料为线弹性时
W Wc
但
1 ij ij 2
U U c ij ij dV
V
W W ( ij ) , Wc Wc ( ij )
在各向同性线性材料，应力——应变关系
ij
U
E 1
ij kk ij 1 2
(k) (k)
(k ) ) ij (u i(,kj) u (jk ,i )
1 2
1.3 可能应力 可能应力
ij(k)： ij(k)：在 V 内满足 ij,j(k)+fi =0
在 s 上满足
(k ) X i n j ij
满足静力方程
1.4 虚位移
ui 和虚应变 ij
(k1)
第五节
5.1 虚应力原理 1．虚应力方程 运用虚功原理， 但第一种状态为真实变形状态， ui 和
虚应力原理和最小余能原理
ij 、 fi、X i
、
ui ;
第二状态为自平衡状态的可能应力（或真实应力的变分）ij； 满足：ij,j = 0 在 V内 在 s 上（在 s 上无面力）
njij = 0
ij
Su
S
ij 在 su 上产生 Xi（在 su 上有反力） X i
根据虚功方程 2．虚应力方程表达
Su V
We X i u i dS ij ij dV Wi
弹性体（变形体）的应变与位移处于相容状态，对于任意虚设的
齐次容许应力ij 及位移边界上的虚反力Xi，虚应力在应变上做的 虚功等于虚反力在给定位移 5.2 最小余能原理 1．变形体的总余能c
Q EA
Q 第二状态引起的 易求 ：
x Q A
y z 0
x
y z x
Q EA ,
yb
Q b EA

P Pb Q EA
虚位移原理和最小势能原理
第四节
4.1 虚位移原理
运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡的状态，ij、fi、
E 2 ij kk ll dV ——徐芝纶的弹性力学上 2(1 ) V 1 2
册 P.346（11－3） 如在将几何关系引入上式
U=U(ui)
上册 P.346（11－5）
应变能是位移的函数
徐芝纶的弹性力学
ij
Uc
1 (1 ) ij kk ij E
( 2)
( 2)
( 2)
程。 根据虚功方程 第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上做功
(1) ( 2 ) W12 f i (1) u i( 2) dV X i(1) u i( 2) dS ij ij dV V S V
第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上做功
X i 、 ui ;
而第二状态为可能变形状态，为真实状态位移的变分:
、
ui
ij =(ui,j +uj,i )/2
在 su 上
在V内 虚设状态
ui =0
做功
根据虚功方程， 真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上

V
f i u i dV X i u i dS ij ij dV
无穷多。 要从
也有
(k)
中找真实位移：
（1）=0 （2）引入本构关系
V
真实位移应满足的方程。
U V WdV f i u i dV X i u i dS
Vபைடு நூலகம்S
ij ij dV f i u i dV X i u i dS
将虚功方程用于线弹性体可导出功的互等定理。 同一弹性体处于 两种真实状态。 第一种状态： 程。
( 2) ( 2) 第二种状态： f i 、 X i 、 u i
(1) (1) (1) f i (1) 、 X i(1) 、 u i(1) 、 ij 、 ij 、 u i 满足所有方
( 2)
、 ij 、 ij 、 u i 满足所有方
( 2 ) (1) W21 f i ( 2) u i(1) dV X i( 2) u i(1) dS ij ij dV V S V
对于线弹性体本构关系
ij E ijkl kl
E ijkl
ij kl

kl 2W E klij ij kl ij
S V
弹性体应力与外力处于平衡状态， 对于任意虚设的齐次微小位移 及应变， 则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功— —虚位移方程。将虚位移方程重新改写
右＝ ij
V
1 (u i , j u j ,i )dV ij u i , j dV V 2
V
( ijui ), j dV ij , jui dV
( k1) X i n j ij
第二种状态：弹性体处于可能变形状态 ui 在 s =su:
(k2)
、ij
(k2)
;
u i( k2 ) u i
;
则第一种状态外力在第二种状态可能位移作的外力虚功等 于第一种状态可能应力在第二种状态可能应变上作的虚变形功。 ——虚功原理
( k1 ) ( k2 ) We f i ui( k2 ) dV X i ui( k2 ) dS ij ij dV Wi V S V
(k)=U(k)(ui(k))+V(k)(ui (k))= (k)(ui(k))
(k ) U ( k ) WdV W ( ij )dV V V