2013-2014学年高中数学《1.6 三角函数模型简单应用》一课一练2 新人教A版必修4
高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用2 新人教A版必修4
4xA 0.3846, Nhomakorabea2
xB 5.6154
o
6 12 18 24
y5sin( x)5
26
x
xC 12.3846,
xD 17.6154
探究活动
货船可以在0时30分左右进港，早晨5 时30分左右出港；或在中午12时30分左 右进港，下午17时30分左右出港. 每次 可以在港口停留5小时左右.
探究活动
新知探究
h0
2634
-23°26´
0° 23°26´
M 40°
A
B
C
M Ctah n0Ctan2 h6 0034'2h0 ppt课件
巩固练习
某市的纬度是北纬
21°34′，小王想在某住
宅小区买房，该小区的楼
高7层，每层3米，楼与楼 之间相距15米，要使所买 楼房在一年四季正午的太
15 15
6
阳不被前面的楼房遮挡，
y 2.5sin x 5
6
6
4
P
2
y=-0.3x+6.1
o 2 4 6 8 10 12
x
典例分析 P点的坐标如何求得呢？ 数形结合，二分法求近似解：
时间 实际水深 安全水深 是否安全
6．0 6．5 7．0
5米 4．3米 安全 4．2米 4．1米 较安全 3．8米 4．0米 危险
y
8
y 2.5sin x 5
3、在整个探究过程，我们用到数学 常见的一些思想方法： （1）数学中的转化思想； （2）估算的思想； （3）数形结合的思想； （4）“二分法”思想。
典例分析
例1．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值. 当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值. 如果在 北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h0 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳
高三数学《1.6 三角函数模型简单应用》一课一练1
1.6 三角函数模型简单应用一、选择题1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．41- D ．62．2sin 5cos )(+-⋅=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 B ．()π,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ4．若函数)(x f 是奇函数，且当0<x 时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时，)(x f 的表达式为（ ）A ．x x 2sin 3cos +B ．x x 2sin 3cos +-C ．x x 2sin 3cos -D ．x x 2sin 3cos --5．下列函数中是奇函数的为( )A ．y=xx xx cos cos 22-+B ．y=xx x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosx D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+)二、填空题 6．在满足xx4πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ．7．已知()sin 4f x a x =+（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则()2f -=__________．8．若︒>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________．9．由函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=6563sin 2ππx x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________．10．函数1sin(2)2y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是三、解答题11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象.①试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式 ②为了使)sin(ϕω+=t A I 中t 在任意一段1100秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数ω的最小值为多少？12．讨论函数y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质13．函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈， （1）求g a ()的表达式；（2）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值14．已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1()f x f x f x ++=-(1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=，求f()的值.15．已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求ϕω和的值．参考答案一、选择题1．Ｂ 2．D 3．C 4．B 5．Ｄ 二、填空题6．1 7．3 8．︒<<︒300θ 9．π3410．,2k k Z πθπ=+∈三、解答题11．（1）)3100sin(300ππ+=t I （2）629=ω12．定义域：(kπ-4π,kπ+4π),k ∈Z;值域]0,(-∞；奇偶性：偶函数；周期性：周期函数，且T=π;单调性：在(kπ-4π,kπ] (k ∈Z)上递增，在［kπ,kπ+4π)上递减13．2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222(cos )12()22aa x a a R =----∈ (1)函数()f x 的最小值为()g a1.122aa <-<-当时即时，cos 1x =-由得 22()2(1)12122a a g a a =-----= 2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2ax =由得 2()122a g a a =---3.122aa >>当时即时，cos 1x =由，22()2(1)1222a a g a a =----得＝14a -综上所述得 21(2)()12(22)214(2)a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=---≤≤⎨⎪->⎪⎩－(2) g a a ()=∴-≤≤1222有 2211243022a a a a -=++=－－得 13()a a ∴=-=-或舍221()2(cos )1222a a a f x x a =-=----将代入 211()2(cos )22f x x =++得cos 1x =当 2()x k k Z π=∈即时得 max ()5f x =14．(1)由1()(2)1()f x f x f x ++=-，故f(x+4)=)2(1)2(1+-++x f x f =1()f x -f(x+8)=f(x+4+4)=1(4)f x -+=f(x)，即8为函数()f x 的周期(2)由 f(x+4) =1()f x -，得f(5) =1(1)f -=∴f()=f(5+250×8)=f(5)=3 15． 由f （x ）为偶函数，知|f （0）|=1,结合πϕ≤≤0，可求出2πϕ=．又由图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，知043=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，即043cos =ωπ 又0>ω及()()()2,1,01232,,2,1,0243=+=∴=+=k k k k ωππωπ ． 当k=0,1即32=ω，2时，易验证f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单减；k≥2时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调的函数．综上所述22,32πωϕ==或。
高中数学1.6 三角函数模型的简单应用1
【目标导学】
用三角函数模型解决一些具有周 期变化规律的实际问题.
例1.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求这一天的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式. 解：（1）观察图象可知，这段时间的 最大温差是20ºC。 （2）从图中可以看出，从6时到14时的 图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周 期的图象，所以
因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故
故，所求函数解析式为
ห้องสมุดไป่ตู้
例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。 解：函数图象如下：
y
1
x
-1
π 观察图象可知，函数y=|sinx|的的周期是 。
练习:
函数
的最小值是-2,
其图象在一个周期内最高点与最低点横坐标
的差是 ,且图象过点(0,1),求函数解析式.
作业： P65 T1 、 T2
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用(1)练习(含解析)新人教A版必修4(2
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1.6 三角函数模型的简单应用（一）一、选择题：1。
如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（)A．该质点的运动周期为0。
7 sB．该质点的振幅为5 cmC．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D．该质点在0。
3 s和0.7 s时运动速度为零【答案】B【解析】由题图可知,该质点的振幅为5 cm。
故选B.2．与图中曲线对应的函数解析式是（)A．y＝|sin x｜B．y＝sin |x|C．y＝－sin ｜x｜D．y＝－｜sin x｜【答案】C【解析】注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D．当x∈（0，π）时，sin |x|>0,而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C．3. (2016·烟台高一检测）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin错误!（0≤t≤20)给出，F（t）的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的( ）A．［0，5] B．［5，10］C．[10，15] D．[15，20]【答案】C【解析】当10≤t≤15时，有错误!π〈5≤错误!≤错误!〈错误!π，此时F（t）＝50＋4sin 错误!是增函数，即车流量在增加．故应选C．4．(2016·杭州二中期末）一种波的波形为函数y＝－sin π2x的图象，若其在区间［0,t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是( ）A．5 B．6C．7 D．8【答案】C【解析】函数y＝－sin错误!x的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7。
人教版高中数学必修四练习1.6三角函数模型的简单应用
基础达标1．设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 旋转过的弧的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )．解析 令所对的圆心角为θ，由OA ＝1，知l ＝θ，sin θ2＝d 2，所以d ＝2sin θ2＝2sin l 2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)． 答案 C2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳上各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将如同( )．A ．甲B ．丙C ．丁D ．戊解析 因为绳波从乙点传到戊点正好是一个周期，经过12周期，绳波正好从乙点传到丁点．又在绳波的传播过程中，绳上各点只是上下振动，即纵坐标在变，横坐标不变，所以经过12周期，乙点位置将移至它关于x 轴的对称点处，即横坐标不变，纵坐标与图中的丁点相同． 答案 C3．(2012·巢湖市质量检测)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )． A ．[0,5] B ．[5,10] C ．[10,15]D ．[15,20]解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C. 答案 C4．已知某种交流电电流I (A)随时间t (秒)的变化规律可以用函数I ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π2表示，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在0.5秒内往复运行________次．解析 周期T ＝2π100π＝150(秒)，从而频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次． 答案 255．(2012·盐城高一检测)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转．当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]． 解析 经过t s 秒针转了π30t rad.由图知sin πt 60＝d25，所以d ＝10sin πt 60. 答案 10sin πt606．某城市一年中12个月的平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 解析 据题意得28＝a ＋A,18＝a －A ，解得a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(10－6)＝23＋5cos 2π3＝20.5.答案 20.57．在波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D (t )的表达式是D (t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)＋12，其中t 表示某天的序号，t ＝0表示1月1日，以此类推．(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？解 (1)白昼时间最长的一天，即D (t )取得最大值的一天，此时t ＝170对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t ＝353时，D (t )取得最小值，即12月20日白昼最短．(2)D (t )>10.5，即3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)＋12>10.5，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)>－12，t ∈[0,365]，∴49<t <292,292－49＝243.所以约有243天的白昼时间超过10.5小时．能力提升8．已知A 1，A 2，…A n 为凸多边形的内角，且lgsin A 1＋lgsin A 2＋……＋lgsin A n ＝0，则这个多边形是( )． A ．正六边形 B ．梯形 C ．矩形D ．含锐角菱形解析 由题意，得sin A 1·sin A 2·…·sin A n ＝1，∴sin A 1＝sin A 2＝…＝sin A n ＝1，∴A 1＝A 2＝…＝A n ＝90°. 根据多边形的内角和得n ×90°＝(n －2)×180°，解得n ＝4.答案 C9．(2012·菏泽高一检测)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为________． 解析 由题可知T2＝7－3＝4， ∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.又⎩⎨⎧5＋92＝B ，9－52＝A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝7.即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7(*)又过点(3,9)，代入(*)式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.由3π4＋φ＝π2，且|φ|<π2，得φ＝－π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)．答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)10．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作：y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据.(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解(1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)＝A cos ωt＋b，并且周期T＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6，由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.∴A＝0.5，b＝1.∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋1>1.∴cos π6t>0.∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.。
【高中数学】《1.6 三角函数模型的简单应用(1)》测试题
【高中数学】《1.6 三角函数模型的简单应用（1）》测试题【高中数学】《1.6三角函数模型的简单应用（1）》测试题一、多项选择题一.一束光线与玻璃成角，穿过折射率为1.5(折射率=，其中为入射角，为折射角)厚度为的一块玻璃，则光线在玻璃内的行程是().a、不列颠哥伦比亚省。
考查目的：考查三角函数模型的物理应用及计算.回答：B解析：∵，∴在玻璃中行程为.2.2002年在北京举行的国际数学家大会的会徽是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。
弦图是一个由四个全等直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示）。
如果小正方形的面积是1，大正方形的面积是25，直角三角形的较小锐角是，那么（）a.1b.c.d.目的：检验勾股定理、三角函数的定义，以及将实际问题转化为三角函数评估问题的能力答案：c.分析：根据问题的意思，大正方形和小正方形的边长分别为5和1。
让直角三角形中较长的直角边为3.已知函数，其中.若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则().a、它是区间的递增函数。
B.它是区间的递增函数c.在区间上是减函数d.在区间上是减函数目的：研究三角函数的周期性和单调性答案：a.分析：增长幅度∵, ∵ 是二、填空题4.现在是北京时间10点。
将时针和分针之间的角度设置为考查目的：考查三角函数的求值，以及将实际问题转化为数学问题的能力.答复:解析：∵，∴.5.如果函数图像和直线之间只有两个不同的交点，则函数的值范围为考查目的：考查正弦函数的图象和数形结合思想.答复:解析：，画图，由数形结合思想可知，.6.设其中为非零常数，如果是，则考查目的：考查三角函数的诱导公式、正弦函数的周期性和函数性质的综合应用能力.答案：1解析：.三、回答问题7.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数.（1）找出这段时间内的最大温差⑵写出这段曲线的函数解析式.目的：研究函数的图像和性质，以及将实际问题转化为数学问题的能力答案：⑴20(℃)；⑵分析：⑴ 从图中可以看出，这一时期的最大温差为30-10=20℃；⑵在图中，从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，∴，解得.由图知，，这时.建议用上述公式代入综上所述，所求解析式为.8.已知函数（）的部分图像如下图所示⑴求函数的解析式；⑵ 此时，找到函数的最大值和最小值以及相应的值考查目的：考查函数的图象和性质，以及分析推理能力.答复:⑴; （2）当时的最大值；当时，最小值为解析：⑴由图像知，.∵，∴.又∵图象经过点，∴，且，∴，∴.(2) ∵ 当，也就是，在那个时候，的最大值是；当，也就是，在那个时候，最小值是。
高中数学《1.6 三角函数模型简单应用》一课一练2 新人教A版必修4
1.6 三角函数模型简单应用1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)(0,2)απ∈；(3)α是第三象限角；(4)α∈R．分别求角α。
3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程210x kx k -++=的两个根，求角θ．4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．y1-2π2π5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cos xy aa的一个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a应是多少cm?8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]上的单调性。
9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4π，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ，（1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦.11．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数AB PO R S Q据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=ϖ的图象。
高中数学《1.6 三角函数模型简单应用》一课一练1 新人教A版必修4
1.6 三角函数模型简单应用一、选择题1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．41- D ．62．2sin 5cos )(+-⋅=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞si nB 则A+B 的取值是 （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 B ．()π,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ4．若函数)(x f 是奇函数，且当0<x 时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时，)(x f 的表达式为（ ）A ．x x 2sin 3cos +B ．x x 2sin 3cos +-C ．x x 2sin 3cos -D ．x x 2sin 3cos --5．下列函数中是奇函数的为( )A ．y=xx xx cos cos 22-+B ．y=xx x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosxD ．y=lg(sinx+x 2sin 1+)二、填空题 6．在满足xx4πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ．7．已知()sin 4f x a x =+（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则()2f -=__________．8．若︒>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________．9．由函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=6563sin 2ππx x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________．10．函数1sin(2)2y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是三、解答题11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象.①试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式 ②为了使)sin(ϕω+=t A I 中t 在任意一段1100秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数ω的最小值为多少？12．讨论函数y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质13．函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈，（1）求g a ()的表达式；（2）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值14．已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1()f x f x f x ++=-(1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=f(2005)的值.15．已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求ϕω和的值．参考答案一、选择题1．Ｂ 2．D 3．C 4．B 5．Ｄ 二、填空题6．1 7．3 8．︒<<︒300θ 9．π3410．,2k k Z πθπ=+∈三、解答题11．（1）)3100sin(300ππ+=t I （2）629=ω12．定义域：(k π-4π,k π+4π),k∈Z;值域]0,(-∞；奇偶性：偶函数；周期性：周期函数，且T=π;单调性：在(k π-4π,k π] (k∈Z)上递增，在［k π,k π+4π)上递减13．2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222(cos )12()22aa x a a R =----∈ (1)函数()f x 的最小值为()g a1.122aa <-<-当时即时，cos 1x =-由得 22()2(1)12122a a g a a =-----=2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2ax =由得 2()122a g a a =---3.122aa >>当时即时，cos 1x =由，22()2(1)1222a a g a a =----得＝14a -综上所述得 21(2)()12(22)214(2)a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=---≤≤⎨⎪->⎪⎩－(2) g a a ()=∴-≤≤1222有 2211243022a a a a -=++=－－得13()a a ∴=-=-或舍221()2(cos )1222a a a f x x a =-=----将代入 211()2(cos )22f x x =++得cos 1x =当 2()x k k Z π=∈即时得 max ()5f x =14．(1)由1()(2)1()f x f x f x ++=-，故f(x+4)=)2(1)2(1+-++x f x f =1()f x -f(x+8)=f(x+4+4)=1(4)f x -+=f(x)，即8为函数()f x 的周期(2)由 f(x+4) =1()f x -，得f(5) =1(1)3f -=3 15． 由f （x ）为偶函数，知|f （0）|=1,结合πϕ≤≤0，可求出2πϕ=．又由图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，知043=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，即043cos =ωπ 又0>ω及()()()2,1,01232,,2,1,0243=+=∴=+=k k k k ωππωπ ． 当k=0,1即32=ω，2时，易验证f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单减；k≥2时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调的函数．综上所述22,32πωϕ==或。
人教A版数学必修四《1.6三角函数模型简单应用》一课一练1.docx
1.6 三角函数模型简单应用一、选择题1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．41- D ．62．2sin 5cos )(+-⋅=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 B ．()π,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ4．若函数)(x f 是奇函数，且当0<x 时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时，)(x f 的表达式为（ ）A ．x x 2sin 3cos +B ．x x 2sin 3cos +-C ．x x 2sin 3cos -D ．x x 2sin 3cos --5．下列函数中是奇函数的为( )A ．y=xx x x cos cos 22-+B ．y=xx xx cos sin cos sin -+ C ．y=2cosx D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+)二、填空题 6．在满足xx4πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ．7．已知()3sin 4f x a x b x =++（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则()2f -=__________．8．若︒>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________．9．由函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=6563sin 2ππx x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________．10．函数1sin(2)2y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是三、解答题11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象.①试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式 ②为了使)sin(ϕω+=t A I 中t 在任意一段1100秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数ω的最小值为多少？12．讨论函数y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质13．函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈， （1）求g a ()的表达式；（2）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值14．已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1()f x f x f x ++=-(1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=3-，求f(2005)的值.15．已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求ϕω和的值．参考答案一、选择题1．Ｂ 2．D 3．C 4．B 5．Ｄ 二、填空题6．1 7．3 8．︒<<︒300θ 9．π34 10．,2k k Z πθπ=+∈三、解答题11．（1）)3100sin(300ππ+=t I （2）629=ω12．定义域：(kπ-4π,kπ+4π),k ∈Z;值域]0,(-∞；奇偶性：偶函数；周期性：周期函数，且T=π;单调性：在(kπ-4π,kπ] (k ∈Z)上递增，在［kπ,kπ+4π)上递减13．2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222(cos )12()22aa x a a R =----∈ (1)函数()f x 的最小值为()g a1.122aa <-<-当时即时，cos 1x =-由得 22()2(1)12122a a g a a =-----=2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2ax =由得 2()122a g a a =---3.122aa >>当时即时，cos 1x =由，22()2(1)1222a a g a a =----得＝14a -综上所述得 21(2)()12(22)214(2)a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=---≤≤⎨⎪->⎪⎩－(2) g a a ()=∴-≤≤1222有 2211243022a a a a -=++=－－得13()a a ∴=-=-或舍221()2(cos )1222a a a f x x a =-=----将代入 211()2(cos )22f x x =++得cos 1x =当 2()x k k Z π=∈即时得 max ()5f x =14．(1)由1()(2)1()f x f x f x ++=-，故f(x+4)=)2(1)2(1+-++x f x f =1()f x -f(x+8)=f(x+4+4)=1(4)f x -+=f(x)，即8为函数()f x 的周期(2)由 f(x+4) =1()f x -，得f(5) =13(1)3f -=∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)=33 15． 由f （x ）为偶函数，知|f （0）|=1,结合πϕ≤≤0，可求出2πϕ=．又由图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，知043=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，即043cos =ωπ 又0>ω及()()()2,1,01232,,2,1,0243=+=∴=+=k k k k ωππωπ ． 当k=0,1即32=ω，2时，易验证f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单减；k≥2时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调的函数．综上所述22,32πωϕ==或。
高二数学 三角函数模型的简单应用1 (2)
所以
MC
h0 tanC
h0 tan 260 34
2.000h0
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高 两倍的间距。
三角应用题的一般步骤是：
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解 量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的 数学模型．
面盖一新楼，要使新
楼一层正午的太阳全年 不被前面的楼房遮挡， 两楼的距离不应小于多 少？
Φ-δ θ
Φδ
太阳光 太阳光
Φ-δ 太阳光 θ
δ
hº
-23º26'
0º
23º26' M 40º A
BC
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在 地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取 太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26’。依题意两楼 的间距应不小于MC。
12
④利用最低点或最高点在图像上，该点的坐
标满足函数解析式可得
例2 画出函数 y sin x 的图象并观察其周期。
y
-3π
-2π
-πx
想一想：你知道它的奇偶性吗？观察它的图 象，找出它的单调区间。
思考：1.画出 y cos x 的图像并观察其周期.
2 3
2
2
2
3 2
10
0 6 10 14 x
练习：如图所示为函数 y Asin(x ) b, ( )
的部分图象．求出函数的解析式
2
y
y 2sin(2x ) 1
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用2练习含解析新人教A版
1.6 三角函数模型的简单应用 （二）一、选择题：1. 已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin 160πt ＋110.其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】 C【解析】 由题意可得f ＝1T ＝160π2π＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80，故选C 项． 2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s【解析】 依题意是求函数s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6的周期，T ＝2π2π＝1，故选D 项． 【答案】 D3．函数f (x )的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos x xC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2 【解析】 观察图象知函数为奇函数，排除D 项；又函数在x ＝0处有意义，排除B 项；取x ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，A 项不合适，故选C 项．【答案】 C4．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：则适合这组数据的函数模型是( )A ．y ＝a cos πx 6B ．y ＝a cos （x －1）π6＋k (a ＞0，k ＞0) C ．y ＝－a cos （x －1）π6＋k (a ＞0，k ＞0) D ．y ＝a cos πx 6－3 【答案】 C【解析】 当x ＝1时图象处于最低点，且易知k ＝－5.9＋22.82＞0.故选C ． 二、填空题：5.如图，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为________．【答案】 y ＝r sin(ωt ＋φ)【解析】 当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt ，则∠POx ＝ωt ＋φ，由任意角的三角函数定义知P 点的纵坐标y ＝r sin(ωt ＋φ)．6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y a =+()()πcos 61,2,3,,126A x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⋯来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.【解析】由题意可知281852A -==，2818232a +==. 从而()π5cos 6236y x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦故10月份的平均气温为π5cos 42320.56y ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭℃三、解答题7.如果某地夏天从814～时用电量变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，其图象如图所示．(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．【答案】(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度 (2)[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ 【解析】(1)观察题中图象知最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，半个周期为14862T =-=，∴12T =. 2ππ6T ω==，()15030402b =⨯+=，()15030102A =⨯-=， ∴π10sin 406y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 将8x =，30y =代入上式，解得π6ϕ=. ∴所求解析式为[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭．。
高一数学三角函数模型的简单应用2.
1.6三角函数模型的简单应用第二课时1.函数/(x) = 2sinSx + 0),xw (其中q >0,阀< 彳: 的最小正周期是兀，且/(0) = V3 ,能否「确定函数f (x)的图象和性质?2.三角函数的应用十分广泛，对于与角有关的实际问题，我们可以建立一个三角函数，通过研究其图象和性质或进行定量分析，就能解决相应问题.这是一种数学思想，需要结合具体问题的研究才能领会和掌握.三角匡数性质探究一：建立三角函数模型求临界值如图，设地球表面某地正午太阳高度角为e , 5为此时太阳直射纬度，＜p 为该地的纬度值•当地夏半年込取正值，冬半年6取负值.如果在北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为ho的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少?思考图中e、6、＜p 这三个角之间的关系是什么？思考2：当太阳高度角为e时，设高为h°的楼房在地面上的投影长为h,那么0、h。
、h三者满足什么关系？思考3：根据地理知识，北京地区一年中,正午太阳直射什么纬度位置时，物体的影子最短或影子最长?思考4：如图，A 、 北回归线、赤道、 面上的投影点.要使新楼一层正午 的太阳全年不被 前面的楼房遮挡,思考6：综上分析，要使新楼一层正午 的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼B、南回归线时楼顶在地 两楼的临界距离 应是图中哪两点之的距离不应小于多少?探究二：建立三角函数模型解决最值问题某地拟修建一条横断面为等腰梯形的水渠（如图），为了降低成 本，必须尽量减少水与水渠周壁的接触面•若水渠横断面面积设计为定值S,渠 低？思考1:修建水渠的成本可以用哪个几何 量来反映?思考2：设想将AD+DC+CB 表示成某个变 量的函数，那么自变量如何选取？深问应怎样修建才能使修建成本最思考3：取NBCE=x为自变量，设y=AD+ DC+CB,那么如何建立y与x的函数关系？思考4：考虑x的实际意义，这个函数的定义域是什么？思考5：注意到S、h为常数，要使y的值最小，只需研究哪个三角函数的最小值?思考6：对于函数你有什么办法求出当x 为何值时，k 取思考7：如何对原问题作出相应回答?IS : h V! E 最小某市的纬度是北 纬21 °34，,小王想在某 住宅小区买房，该小区的最低应该选择第几层的房?如图，甲船在点A 处测得乙船在 北偏东60°的B 处，并以每小时10海里的 速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东0角方向直线航行，并与乙船在C 处相遇,北, \C楼高7层，每层3米，楼与楼买楼太阳不被前面的楼房遮挡, 求甲船的航速.:e A!作业：P65习题 1.6A组：1, 2, 3.t。
【精品提分练习】高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用
1.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( )(3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为52A ．( )[解析] (1)错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为20×20.4＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．如图161为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．图1610．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．]3．如图162所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．图162y ＝－6sin π6x [设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)则A ＝6， T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .][合 作 探 究·攻 重 难](1)A B C D (2)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】[思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．(2)依据y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0－cos x ，cos x ＜0画图，并判断此函数的性质．(1)C [(1)y ＝x ＋sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y ＝|cos x |图象如图所示．由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .][规律方法]一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝|f x的图象，只需将y ＝f x 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝fx 的图象，应保留y ＝f x 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.[跟踪训练] 1．函数f (x )＝2sin x(x ∈[－π，π])的图象大致为( )A B C D A [f (－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2－1＝0.5，f (0)＝2sin 0＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin π2＝2，f (π)＝2sin π＝20＝1.由此知选项A 符合要求．]t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】[思路探究] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． [解] 列表如下：(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝Aωx ＋φ表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[跟踪训练]2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】[思路探究] (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω. (2)解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ [解] 由y ＝12cos π6t ＋1＞1.25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z .又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即10＜t ＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：[解] 函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．[当 堂 达 标·固 双 基]1．与图163中曲线对应的函数解析式是( )图163A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.]2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3s 时，s 1与s 2的大小关系是( )【导学号：84352130】A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定C [当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2.]3．如图164表示电流强度I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为()图164A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π3 C [A ＝300，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，ω＝2πT ＝100π，I ＝300sin(100πt ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0，得100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，得φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2.] 5．如图165，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．图165(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1， ∴sin φ＝－1， ∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.。
高中数学 1.6三角函数模型的简单应用课时作业 A必修4 试题(共3页)
1．6三角函数模型(móxíng)的简单应用4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，点B的位置将移至〔〕A．点A B．点B C．点C D．点D 5．如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O间隔水面2米，水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的间隔〔米〕与时间是〔秒〕满足函数关系，那么有 ( )A 、B 、y2mO PC、D、6．将钟表上的时针(shízhēn)作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8：05时，时针与分针构成的角度是7．单摆从某点开场来回摆动，离衡位置O的位移s〔cm〕和时间是t〔s〕的函数关系式为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间是为。
8．，那么可化间为。
12．挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间是t〔s〕时相对于平衡位置〔即静止位置〕的高度为〔cm〕，且满足〔1〕经过多长时间是小球振动一次〔即周期是多少〕？〔2〕小球1s能振动多少次〔即频率是多少〕？13．受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回(fǎnhuí)海洋。
某港口水的深度y〔米〕是时间是〔，单位：时〕的函数，记作，下面是该港口在某季节每深的数据：0 3 6 9 12 15 18 21 24t〔时〕y〔米〕经长期观察，)(tfy=曲线可以近似地看做函数的图象。
(1)根据以上数据，求出函数)y=的近似表达式；f(t(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的间隔为5米或者5米以上时认为是平安的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的间隔 )为。
假如该船想在同一天内平安进出港，问它至多能在港内停留多长时间是(忽略进出港所需的时间是)？内容总结（1）13．受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞（2）根据以上数据，求出函数的近似表达式。
高一数学三角函数模型的简单应用2
探究一：建立三角函数模型求临界值
【背景材料】如图，设地球表面某地正午太
阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ
为该地的纬度值.当地夏半年δ取正值，冬半
年δ取负值. 如果在北京地区（纬度数约为
北纬40°）的一幢高为h0的楼房北
面盖一新楼，要使新
φ-δ
楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮 挡，两楼的年 中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体 的影子最短或影子最长？
太阳直射北回归线时物体的影子最 短，直射南回归线时物体的影子最 长.
思考4：如图，A、B、C分别为太阳直射
北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地
面上的投影点.要
使新楼一层正午
的太阳全年不被
前面的楼房遮挡，
两楼的临界距离
应是图中哪两点
h0
之间的距离？
-23°26´
0°
23°26´
M 40°
A
B
C
2.在解决实际问题时，要学会具体问题 具体分析，充分运用数形结合的思想， 灵活的运用三角函数的图象和性质进行 解答.
作业: P65习题1.6A组：1，2，3.
；https:///char/ 虚拟货币人物介绍 比特币人物介绍
思考1：图中θ、 δ、φ这三个角 之间的关系是什 么？
φ-δ
θ
φ
太阳光
δ
θ=90°－∣ φ－δ∣ .
思考2：当太阳高度角为θ时，设高为 h0的楼房在地面上的投影长为h，那么 θ、h0、h三者满足什么关系？
h=h0 tanθ.
1.6 三角函数模型的简单应用 第二课时
问题提出
1.函数
的最小正周期是 ，且
，能否
确定函数f(x)的图象和性质？
高中数学1.6三角函数模型的简单应用精品课堂同步练习试题
1.6 三角函数模型的简单应用一、选择题 1、设()sin ,6xf x x R π=∈，则(1)(2)(2002)f f f +++的值等于 （ ）A 、12BCD2、如果44x ππ-≤≤，那么2()cos sin f x x x =+的最小值是 （ ） AB、 C 、1-D3、有一半径为r 的圆形水池，甲、乙两人从一条直径的两端同时同向沿池做圆周运动，已知甲速是乙速的两倍，乙绕池一周为止，若以θ表示乙在t 时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙二人的直线距离，则()l f θ=的图象大致为 （ ）A 、B 、C 、D 、二、填空题4、电流强度I 随时间t 变化的函数关系是5sin100I t π=，电流强度I 变化的频率为___________5、一树干被台风吹断折成60︒角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度是_______________6、在高出地面30m 的小山顶上建一座电视塔CD ，今距离B 点60m 的地面取点A 。
若测得AC 与AD 所张的角为45︒，则电视塔高为_______________----ABCD三、解答题7、某公司的职工活动室全天24小时对职工开放，在通常情况下，活动室的工作人员固定，但在每天的两个活动高峰期，需增加一名机动工作人员管理，下面是活动室工作人员经过长期统计而得到的一天中从0时到24时记录的时间t（小时）与到活动室活动人数y的关系表：（2）若活动室的活动人数达到140人时需机动工作人员进入活动室帮助管理，该机动工作人员应何时进入活动室？每天在活动室需要工作多长时间？。
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1.6 三角函数模型简单应用
1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？
2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫
⎪⎝⎭
； (2)(0,2)απ∈；
(3)α是第三象限角；(4)α∈R．分别求角α。
3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程2
10x kx k -++=的两个根，求角θ．
4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；
（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．
5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?
6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？
7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖
时，为确保对接成直角，在铁板上的下
剪线正好是余弦曲线：cos x
y a a
的一
个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ?
8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，
2
π
]上的单调性。
9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4
π
，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ，
（1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；
（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.
10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦.
11．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某
日水深的数
A
B P
O R S Q
据：
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin
y +=ϖ的图象。
12．已知△ABC 的两边a, b ，它们的夹角为C 1︒试写出△ABC 面积的表达式； 2︒当∠C 变化时，求△AABC 面积的最大值。
13．已知定义在区间2
[,]3
ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6
π
-
=x 对称，当
2[,
]6
3
x π
π∈-
时，函数()sin()(0,0,)2
2
f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<，
其图象如图所示.
求函数()y f x =在2
[,]3ππ-的表达式；
14．绳子绕在半径为50cm 的轮圈上，绳子的下端B 处悬挂着物体W ，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W 的位置向上提升100cm?
15．如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一个周期的图像. (1)写出f(x)的解析式；
(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式. （1）试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间？（忽略进出港所需的时间）
参考答案
x
1． 略 2．(1)6
π
α=-
(2)76
πα=
或116
πα=
(3)76
2,k k Z παπ=
+∈(4)76
2,k k Z παπ=
+∈或
6
2,k k Z π
απ=-
+∈。
3．由已知得：sin cos (1)sin cos 1(2)
k
k θθθθ+==+⎧⎨⎩2(1)2(2)-⨯得212(1)k k ++=
∴k 2
-2k-3=0即k=3或k=-1.
又sin 1,cos 1θθ≤≤则sin cos 2k θθ+=≤，因此k=3舍去。
∴k=-1, 则sin cos 1θθ+=-, sin cos 0θθ=, ∴32
π
θ=
或θπ= 4．由已知A ＋C ＝ ，A ＋B ＋C ＋D ＝2 得A ＝ －C ，则sin A ＝sin （ －C ）＝sin C ， 又A ＋B ＝2 －（C ＋D ），
故cos （A ＋B ）＝cos[2 －（C ＋D ）]＝cos （C ＋D ）. tan （A ＋B ＋C ）＝tan （2 －D ）＝－tan D ． 5．设出厂价波动函数为y 1＝6+Asin(ω1x+φ1) 易知A ＝2 T 1＝8 ω1＝
4π 43π+φ1＝2π⇒ φ1＝-4π ∴y 1＝6+2sin(4πx-4π
)
设销售价波动函数为y 2＝8+Bsin(ω2x+φ2) 易知B ＝2 T 2＝8 ω2＝4π 45π +φ2＝2
π⇒φ2＝-43π
∴y 2＝8+2sin(
4
πx-43π
) 每件盈利 y ＝y 2-y 1＝［8+2sin(4πx-43π)］-［6+2sin(4πx-4
π
)］ ＝2-22sin 4
π
x 当sin
4πx ＝-1⇒ 4πx ＝2k π-2
π
⇒x ＝8k-2时y 取最大值 当k ＝1 即x ＝6时 y 最大 ∴估计6月份盈利最大 6．略
7．弯脖的直径为12 cm ，则周长为12cm π，周长正是函数cos x y a a
=的一个周期，即
212T a ππ==，得6a cm =．
8．解：f (x )=|sin2x|
f (-x )=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x )
-
∴f (x )为偶函数 T=2
π 在[0,4π]上f (x )单调递增；在[4π,2
π
]上单调递减
9．解：（1）在直角三角形OPS 中 SP=2sin θ，OS=2cos θ 矩形的宽SP=2sin θ 因∠ROQ=
4
π
所以OR=RQ=SP=2sin θ
矩形的长RS=OS －OR=2cos θ－2sin θ
所以面积：y=(2cos θ－2sin θ)2sin θ (0﹤θ<4
π)
10．31000 11．1）10t 6
sin 3y +π
= 2）由5.1110t 6sin
3≥+π，即21t 6sin ≥π，解得z k ,k 26
5t 6k 26∈π+π≤π≤π+π )z k (5k 12t 1k 12∈+≤≤+，在同一天内，取k=0，1得17t 13,5t 1≤≤≤≤
∴该船希望在一天内安全进出港，可1时进港，17时离港，它至多能在港内停留16小时。
12
1︒如图：设AC 边上的高h=asinC
x
o
π
-π
-π
C D b A
2︒当C=90︒时[sinC]max =1 ∴[S △ABC ]max =ab 2
1
13．（1）当2
[,
]63
x π
π∈-时，()sin()3f x x π
=+，当x ∈2[,]3ππ-时()sin f x x =-
14．设需x 秒上升100cm .则π
π15
,100502460=∴=⨯⨯⨯x x （秒）
15． (1)f(x)=2sin(4πx+4π) (2)g(x)=2sin(4πx-4
π)。