2018届高中数学人教A版推理与证明单元测试(Word版,含答案)17

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2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题第二章推理与证明 2.1.1 Word版含解析

合情推理与演绎推理
合情推理
课时过关·能力提升
基础巩固
数列,…中的值为()
解析,猜想.
答案
下列类比推理恰当的是()
.把()与()类比,则有()
.把()与()类比,则有()
.把()与()类比,则有()
.把()与·()类比,则有·()··
解析选项没有从本质上类比,是简单类比,从而出现错误.
答案
下列关于归纳推理的说法错误的是()
.归纳推理是由一般到一般的推理过程
.归纳推理是由特殊到一般的推理过程
.由归纳推理得出的结论不一定正确
.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
解析由归纳推理的定义与特征可知选项错误,选项均正确,故选.
答案
如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角.根据数组中数的构成规律,知所表示的数是()
解析经观察、分析杨辉三角形可以发现:从第行开始,每行除外,每个数都是它肩上的两数之和,如第行的第个数为,它肩上的两数为和,且.由此可推知,故选.
答案
若在数列{}中,……,则.
解析前项共使用了…个奇数由第个到第个共个奇数的和组成,即(×)(×)…(×).
答案
观察下列等式()()(),……根据上述规律,第四个等式为.
答案()
对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题.
解析利用类比推理可知,平面中的直线应类比空间中的平面.
答案夹在两个平行平面间的平行线段相等。

2018届高三数学人教A版文复习习题：第七章不等式、推

单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为,则不等式bx2-5x+a>0的解集为()A. B.C.{x|-3<x<2}D.{x|x<-3或x>2}3.下面四个推理中,属于演绎推理的是()A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 015的末两位数字为43B.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似的,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.(2017浙江,4)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)5.(2017北京丰台一模,文8)某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛.该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛,其中有两个班获奖.比赛结果揭晓之前,甲同学说:“两个获奖班级在2班、3班、4班中”,乙同学说:“2班没有获奖,3班获奖了”,丙同学说:“1班、4班中有且只有一个班获奖”,丁同学说:“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是()A.乙,丁B.甲,丙C.甲,丁D.乙,丙6.(2017福建厦门一模,文7)实数x,y满足则z=4x+3y的最大值为()A.3B.4C.18D.247.(2017湖南岳阳一模,文10)已知O为坐标原点,点A的坐标为(3,-1),点P(x,y)的坐标满足不等式组若z=的最大值为7,则实数a的值为()A.-7B.-1C.1D.78.(2017安徽安庆模拟)设实数m,n满足m>0,n<0,且=1,则4m+n()A.有最小值9B.有最大值9C.有最大值1D.有最小值19.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件10.(2017山东菏泽一模,文9)已知实数x,y满足约束条件若z=的最小值为-,则正数a的值为()A. B.1C. D.11.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+〚导学号24190983〛12.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.观察分析下表中的数据:正方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.14.(2017广东揭阳一模,文11改编)已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R)恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则的最小值为.15.已知a,b,μ∈(0,+∞),且=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是.16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= .〚导学号24190984〛单元质检卷七不等式、推理与证明1.D∵2x+2y=1≥2,∴≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.2.C由题意知a>0,且,-是方程ax2-5x+b=0的两根,∴解得∴bx2-5x+a=-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2,故选C.3.D选项A,B都是归纳推理,选项C为类比推理,选项D为演绎推理.故选D.4.D画出约束条件所表示的平面区域为图中阴影部分所示,由目标函数z=x+2y得直线l:y=-x+z,当l经过点B(2,1)时,z取最小值,z min=2+2×1=4.又z无最大值,所以z的取值范围是[4,+∞),故选D.5.B假设乙的说法是正确的,则丁也是正确的,那么甲丙的说法都是错误的,如果丙是错误的,那么1班、4班都获奖或1班、4班都没有获奖,与乙的说法矛盾,故乙的说法是错误,则丁也是错误的;故说法正确的是甲、丙.6.D画出满足条件的平面区域,如图示:由解得A(3,4),由z=4x+3y得y=-x+z,结合图象得直线过点A(3,4)时,z最大,z的最大值是24,故选D.7.C不等式组的可行域如图阴影部分:O为坐标原点,点A的坐标为(3,-1),点P(x,y),z==3x-y,z=的最大值为7,可得3x-y=7,由可得B(3,2),代入x-y=a,可得a=1.8.C因为=1,所以4m+n=(4m+n)=5+.又m>0,n<0,所以-≥4,当且仅当n=-2m,即m=,n=-1时等号成立,故5+≤5-4=1,当且仅当m=,n=-1时等号成立,故选C.9.B设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=≥2=20,当且仅当(x>0),即x=80时等号成立,故选B.10. 实数x,y满足约束条件的可行域如图阴影部分.已知a>0,由z=表示过点(x,y)与点(-1,-1)连线的斜率,且z的最小值为-,所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小,由解得A,z=的最小值为-,即=-,解得a=.故选D.11.B不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2∈(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+.故选B.12.B若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选B.13.F+V-E=2三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.14.12抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R)恒过第三象限上一定点A,∴A(-1,-3),∴m+n=,又=6+3≥6+6=12,当且仅当m=n=时等号成立.15.(0,16]∵a,b∈(0,+∞),且=1,∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).∴a+b的最小值为16.∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ.∴0<μ≤16.16.1 000由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是,公差是的等差数列,含n项的系数为首项是,公差是-的等差数列,因此N(n,k)=n2+n=n2+n.故N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1 000.。

2018秋新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章推理与证明 2.1.1

02第二章推理与证明2.1　合情推理与演绎推理2.1.1　合情推理课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是( )A.合情推理是正确的推理B.合情推理是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理是从特殊到特殊的推理,故选项D正确.2数列5,9,17,33,x,…中的x等于( )A.47B.65C.63D.128=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.3下列类比推理恰当的是( )A.把a(b+c)与log a(x+y)类比,则有log a(x+y)=log a x+log a yB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b nD.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c4如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形.根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是( )A.2B.4C.6D.8,每行除1外,每个数都是它肩上的两数之和,如第6行的第2个数5,它肩上的两数是1和4,且5=1+4.由此可推知a=3+3=6,故选C.5用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+2,后一个图形比前一个图形多6根火柴棒,第一个图形为8根,可以写成a1=8=6+2.又a2=14=6×2+2,a3=20=6×3+2,…,所以可以猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2.6在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为 .析V1V2=13S1ℎ113S2ℎ2=S1S2·ℎ1ℎ2=14×12=18.∶87观察下列等式1‒12=121‒12+13‒14=13+141‒12+13‒14+15‒16=14+15+16……据此规律,第n 个等式可为 .,第n 个等式的左侧是数2n 项和,而右侧是数n+1项到第列{(-1)n -1·1n }的前列{1n}的第2n 项的和,故为1‒12+13‒14+…+12n -1‒12n =1n +1+1n +2+…+12n .‒12+13‒14+…+12n -1‒12n =1n +1+1n +2+…+12n 8古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数≥3),以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:为n (n +1)2=12n 2+12n .记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k 三角形数 N (n ,3)=12n 2+12n ,正方形数N (n ,4)=n 2,五边形数N (n ,5)=32n 2‒12n ,六边形数N (n ,6)=2n 2-n ,…………可以推测N (n ,k )的表达式,由此计算N (10,24)= .:含n 2项的系数为首项,含n 项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,因此N (n ,k )是12,公差是‒12的等差数列N (10,24)0=[12+(k -3)·12]n 2+[12+(k -3)·(-12)]n =k -22n 2+4-k 2n .故=24-22×102+4-242×10=1 00.9三角形与四面体有下列相似性质:(1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质,填写下表:三　角　形四　面　体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半,且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心“外在”性质,合理寻找类比对象对二者的“内在”性质进行探究.三角形和四面体分别是平面图形和空间图形,三角形的边对应四面体的面,即平面的线类比到空间为面,三角形的中位线对应四面体的中位面(三条棱的中点所确定的三角形面),三角形的内角对应四面体的二面角,三角形的内切圆对应四面体的内切球.10已知sin 230°+sin 290°+sin 2150°=32,sin 25°+sin 265°+sin 2125°=32,sin 221°+sin 281°+sin 2141°=32.通过观察上述等式的规律,写出一般性规律的命题,并给出证明.,且三个角成公差为60°的等差数列,等式右边都sin 2α+sin 2(α+60°)+sin 2(α+120°)是32,所以得一般性规律的命题为=32.证明如下:sin 2α+sin 2(α+60°)+sin 2(α+120°)=1-cos2α2+1-cos (2α+120°)2+1-cos (2α+240°)2=32‒cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2αc2=32‒cos2α-12cos2α-3sin2α-12cos2α+3sin2α2=32.能力提升1已知{b n }为等比数列,b 5=2,则b 1b 2b 3…b 9=29.若{a n }为等差数列,a 5=2,则{a n }的类似结论为( )A .a 1a 2a 3…a 9=29B .a 1+a 2+…+a 9=29C .a 1a 2…a 9=2×9D .a 1+a 2+…+a 9=2×9,从而有a 1+a 2+…+a 9=9个2+2+…+2⏟=2×9.2定义A*B ,B*C ,C*D ,D*B 依次对应下列4个图形:则下列4个图形中,可以表示A*D ,A*C 的分别是( )A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)①②③④可归纳得出,符号“*”表示图形的叠加,字母A 代表竖线,字母B 代表大矩形,字母C 代表横线,字母D 代表小矩形,则表示A*D 的是图形(2),表示A*C 的是图形(4),故选C .3设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x+2)=13,f (1)=2,则f (2 019)等于( )A.13B.2C .132D .213f (x )·f (x+2)=13,f (1)=2,∴f (3)=13f (1)=132,f (5)=13f (3)=2,f (7).=13f (5)=132,f (9)=13f (7)=2,…∴归纳得f (2n-1)={2,n 为奇数,132,n 为偶数.∴f (2 019)=f (2×1 010-1)C .=132.故选★4设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r=2Sa +b +c.类比这个结论可知:四面体S ‒ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半S ‒ABC 的体积为V ,则R 等于( )A .V S 1+S 2+S 3+S 4B .2VS 1+S 2+S 3+S 4C .3V S 1+S 2+S 3+S 4D .4VS 1+S 2+S 3+S 4O ,则球心O 到四个面的距离都是R ,所以四面体的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,则四面体的体积为V R=13(S 1+S 2+S 3+S 4)R ,故=3VS 1+S 2+S 3+S 4.5设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4, , ,T 16T 12成等比数列.,加法类比于乘法,减法类比于除法,故可得类比结论为“设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4.,T 8T 4,T 12T 8,T 16T 12成等比数列”案T 8T 4　T 12T86设n 是正整数,f (n )=1+12+13+14+ (1),计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是 .n 个式子左边应为f (2n ),右边应f (2n )≥为n +22,即一般结论为n +22.(2n )≥n +227已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=≥2),计算S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表‒23,且Sn +1S n+2=an (n 达式.S n≥2),+1S n+2=an (n ∴S n≥2),+1S n+2=Sn ‒Sn ‒1(n ≥2).即1S n =‒2‒Sn ‒1(n ∴当n=1时,S 1=a 1=‒23;当n=2时,1S 2=‒2‒S 1=‒43,S 2=‒34;当n=3时,1S 3=‒2‒S 2=‒54,S 3=‒45;当n=4时,1S 4=‒2‒S 3=‒65,S 4=‒56.猜想S n =∈N *.‒n +1n +2,n★8已知椭圆具有以下性质:M ,N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为k PM ,k PN ,则k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)写出具有类似特征的性质,并加以证明.,抓住椭圆和双曲线同属于圆锥曲线而具有的相似性质,从而得到结论.:已知M ,N 是双曲,点P 是双曲线线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)上关于原点对称的两个点上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为k PM ,k PN ,那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明:设点M ,P 的坐标分别为(m ,n ),(x ,y ),则点N 的坐标为(-m ,-n ).∵点M (m ,n )在双曲,线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)上n 2∴m 2a 2‒n 2b 2=1,得=b 2a2m 2‒b 2.同理y 2=b 2a2x 2‒b 2.∴y 2‒n 2=b 2a2(x 2‒m 2).∴k PM ·k PN =y -n x -m ·y +nx +m =y 2-n 2x 2-m 2),=b 2a 2·x 2-m 2x 2-m 2=b 2a 2(定值即k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.。

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人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2第二章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.有一段演推理是的:“若直平行于平面,直平行于平面内的所有直;已知直b? 平面α,a? 平面α,直 b∥平面α,直 b∥直 a”,个然是的,是因 ()A. 大前提B. 小前提C.推理形式D.非以上解析“若直平行于平面 ,直平行于平面内的所有直”是的 ,即大前提是的.故 A .答案 A已知∈ N* 猜想f( x)的表达式()2.f( x+1)),A .f(x)C.f(x)解析当 x= 1 ,f(2)当x=2 ,f(3)当x=3 ,f(4)故可猜想 f(x) B .答案 B3.如所示,4只小物座位,开始鼠,猴,兔,猫分坐1,2,3,4 号座位 ,如果第 1 次前后排物互座位 ,第 2 次左右列物互座位 ,第 3 次前后排物互座位⋯⋯交替行下去,那么第 2 018次互座位后 ,小兔坐在 ()号座位上 .A.1B.2C.3D.4解析由意得第 4 次互座位后 ,4 只小物又回到了原座位,即每 4 次互座位后,小物回到原座位 ,而 2 018= 4×504+ 2,所以第 2 018 次互座位后的果与第 2 次互座位后的果相同,故小兔坐在 2 号座位上 , B .答案 B4.已知x∈(0,+∞),不等式x≥ 2,x≥ 3,x≥ 4,⋯ ,可推广 x≥ n+ 1, a 的 ()n2C.22(n- 1)nA .2 B.n D.n123n 解析∵第一个不等式中 a= 1,第二个不等式中a= 2 ,第三个不等式中a= 3 ,∴第 n 个不等式中a=n .答案 D5.若△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 , ()A. △A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形C.△A1B1C1是角三角形 ,△A2B2 C2是角三角形D.△A1B1C1是角三角形 ,△A2 B2C2是角三角形解析因正弦在 (0° ,180°)内是正 ,所以△A1B1C1的三个内角的余弦均大于0,因此△A1B1C1是角三角形 .由于△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 ,因此△A2B2C2不可能直角三角形 ,故假△A2 B2C2也是角三角形,并 cos A1= sin A2, cosA1= cos(90° -A2),所以 A1= 90° -A2 .同理 cos B1= sin B2,cos C1= sin C2,有 B1= 90° -B2 ,C1= 90° -C2 .又 A1+B 1+C 1= 180° ,(90° -A 2)+ (90°-B2)+(90° -C2)= 180° ,即A2+B 2+C 2= 90° .与三角形内角和等于180°矛盾 ,所以原假不成立.故 D .答案 D6.察下列各式:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4,a4+b 4= 7,a5+b 5= 11,⋯ , a10+b 10等于 ()A.28B.76C.123D.199解析利用法:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4= 3+ 1,a4+b 4= 4+3= 7,a5 +b 5= 7+ 4= 11,a6+b 6= 11+ 7= 18,a7+b 7= 18+ 11= 29,a8 +b 8= 29+ 18= 47,a9+b 9= 47+29= 76,a10+b 10= 76+ 47= 123.律从第三开始,其果前两果的和.答案 C7.大于或等于 2 的自然数的正整数运算有如下分解方式:2= 1+322= 1+3+ 5324= 1+ 3+ 5+ 723= 3+ 543= 13+ 15+ 17+ 19根据上述分解律23的分解中最小的正整数是21, m+n 等于 () ,若 m = 1+ 3+ 5+⋯ + 11,nA .10 B.11 C.12 D.132解析∵m = 1+ 3+ 5+ ⋯ + 11∴m=6.∵23= 3+ 5,33= 7+ 9+11, 43= 13+15+ 17+ 19,∴53= 21+ 23+25+ 27+ 29.又 n3的分解中最小的正整数是21,∴n3= 53,n= 5,∴ m+n= 6+ 5= 11.答案 B8.于奇数列1,3,5,7,9,⋯ ,在行如下分:第一有 1 个数 {1}, 第二有 2 个数 {3,5}, 第三有3个数 {7,9,11}, ⋯⋯ ,依此推 ,每内奇数之和S n与其的号数n(n∈N* )的关系是 ()A. S n=n 2B. S n =n 3C.S n=n 4D.S n=n (n+ 1)解析当 n= 1,S1=1;当n= 2 ,S2= 8= 23;当n= 3 ,S3= 27=33.猜想 S n=n 3.故 B .答案 B9.古希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数,比如 :(1)(2)他研究 (1) 中的 1,3,6,10,⋯ ,由于些数能表示成三角形,将其称三角形数;似地 ,称 (2)中的 1,4,9,16,⋯的数正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知 ,第 n 个三角形数为 a n第 n 个正方形数为 b n=n 2,由此可排除选项D(1 378 不是平方数 ),将选项 A,B,C 代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项 C,故选 C.答案 C10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示 ,在平行四边形ABCD 中 ,有2222AC +BD = 2(AB +AD ),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中,等于A.2( AB2+AD 2 +C.4(AB 2+AD 2 +解析如图 ,连接 A1C1,AC,则四边形 AA1C1C 是平行四边形,故A1C2+连接 BD ,B1D 1,则四边形 BB1D 1D 是平行四边形 ,故又在 ?ABCD 中 ,AC2+BD 2=2(AB 2+AD 2),则故选 C.答案 C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时 ,甲说 :我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市 ;乙说 :我没去过 C 城市 ;丙说 :我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B 城市 ,因此甲一定去过 A 城市和 C 城市 .又乙没去过 C 城市 ,所以三人共同去过的城市必为A, 故乙去过的城市就是 A .答案 A312.已知函数f(x)=x +x ,a,b,c∈R ,且 a+b> 0,b+c> 0,c+a> 0,则 f(a)+f (b)+f (c)的值一定比零(填“大”或“小”).3解析∵f(x)=x +x 是R上的奇函数 ,且是增函数 ,又由 a+b> 0 可得 a>-b ,∴f(a)>f ( -b)=-f (b),∴f(a)+f (b) >0.同理 ,得 f(b)+f (c)> 0,f(c) +f (a)> 0.三式相加 ,整理得 f(a)+f (b)+f (c) >0.答案大13.在平面几何中,△ABC 的内角平分线CE 分 AB 所成线段的比为把这个结论类比到空间在三棱锥中如图所示平面平分二面角且与相交于则类比后得到的结论是解析∵CE 平分∠ ACB,而平面 CDE 平分二面角A-CD-B ,可类比成△故结论为△△△答案△△14.已知集合{ a,b,c} = {0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b= 2;③c≠0有且只有一个正确,则 100a+ 10b+c 等于.解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时 ,则 a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立 ;(2)当②成立时 ,则 a= 2,b= 2,c=0,此种情况不成立 ;(3)当③成立时 ,则 a= 2,b≠2,c≠0,即 a= 2,b= 0,c=1,所以 100a+ 10b+c= 100×2+ 10×0+ 1=201.故答案为 201.答案 20115.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如下数表-1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2⋯第 k 行有 2k-1个数 ,第 t 行的第 s 个数 (从左数起 )A(t,s), A(6,10)=.01234个数 ,A(6,10) 数列的第41 .解析前 5 行共有 2+2 + 2 + 2 + 2 =31∵ a n-答案三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学中,以下五个式子的都等于同一个常数:①s in 213° +cos217° -sin 13° cos 17°;②s in 215° +cos215° -sin 15° cos 15°;③s in 218° +cos212° -sin 18° cos 12°;④s in 2(-18° )+ cos248° -sin( -18°)cos 48° ;⑤s in 2(-25° )+ cos255° -sin( -25°)cos 55° .(1)从上述五个式子中一个 ,求出个常数 ;(2) 根据 (1)的算果 ,将同学的推广三角恒等式,并明你的.解法一 (1)② 式,算如下:sin215° +cos215° -sin 15° cos 15°=130°= 1(2)三角恒等式sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)明如下 :sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= sin2α+(cos 30° cos α+ sin 30° sin α)2-sin α·(cos 30° cos α+ sin 30 °sin α)= sin2ααcosααcosα解法二 (1) 同解法一 .22(2)三角恒等式sin α+ cos (30° -α)-sin α·cos(30° - α)明如下 :22-°-2α60° cos 2α+ sin 60° sin 2α)αcosαsin 2α2α2α2α2α2α) = 12α2α17.(8分)已知函数f(x)=a x-(1)证明函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 ;(2)用反证法证明方程 f( x)=0 没有负数根 .分析对第 (1) 小题 ,可用定义法证明;对第 (2)小题 ,可按反证法证明命题的步骤加以证明.证明 (1)设 x1,x2是 (- 1,+ ∞)内的任意两个实数,且 x1<x 2.∵a> 1,又x1+ 1> 0,x2+ 1> 0,--于是 f(x2)-f(x1)故函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 .(2)假设存在x0<0( x0≠-1) 满足 f( x0)= 0,则于是 0<-且 0-即这与假设 x0< 0 矛盾 ,故方程 f(x)= 0 没有负数根 .18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证 :ta-(2)设 x∈R ,a 为非零常数 ,且 f(x+a )试问是周期函数吗证明你的结论-(1) 证明由两角和的正切公式得ta--即 ta命题得证 .-(2)解猜想 f(x)是以 4a 为周期的周期函数 . 证明过程如下 :∵ f(x+ 2a)=f [(x+a )+a ]∴f(x+ 4a)=f [(x+ 2a)+ 2a]=∴ f(x)是以 4a 为周期的周期函数.故 f(x) 是周期函数 ,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0<b<a< e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想 a b与 b a的大小关系 ;(2)证明你的结论 .(1) 解取 a= 2,b= 1 可知 a b>b a,又当 a= 1,b时,a b>b a,由此猜测 a b>b a对一切 0<b<a< e 成立 .(2)证明要证 a b >b a对一切 0<b<a< e 成立 ,需证 ln a b> ln b a,需证 bln a>a ln b,需证设函数 f(x)∈ (0,e),-f'(x)当x∈ (0,e)时 ,f'(x)> 0 恒成立 .所以 f(x)在(0,e)内单调递增,所以 f(a)>f (b), 即所以a b>b a.20.(10分)已知数列{ a n}和{ b n}满足:a1=λ,a n+1其中为常数为正整数(1)求证 :对任意实数λ,数列 { a n } 不是等比数列 ;(2)求证 :当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是等比数列 ;(3) 设 S n为数列 { b n} 的前 n 项和 ,是否存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 S n>- 12?若存在 ,求实数λ的范围 ;若不存在 ,请说明理由 .分析解答本题 ,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.(1) 证明假设存在实数λ,使得数列{ a n}是等比数列,则有又因为 a2所以--即则 9=0,这是不可能的.所以假设不成立,原结论成立 .故对任意实数λ,数列 { a n} 不是等比数列.(2)证明因为λ≠-18,所以 b1=- (λ+ 18)≠0.又b n+ 1= (-1)n+ 1[a n+ 1-3(n+ 1)+21]= (-1)n+-==所以 b n≠0,所以∈N *).故当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是以 -(λ+ 18)为首项 ,为公比的等比数列.(3)解当λ≠-18 时,由 (2)得-b n=- (λ+ 18) ·-所以 S n- -=当λ=- 18 时 ,b n= 0,从而 S n= 0,(* )式仍成立 .要使对任意正整数n,都有 S n>- 12,即解得λ- -令 f(n) =1-则当n为正奇数时,1<f (n)≤当n为正偶数时≤ f(n)< 1,故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)所以λ<20综上所述 ,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有 S n>- 12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6).。

2018秋新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章推理与证明 2.2.2

2.2.2　反证法课时过关·能力提升基础巩固1下列命题不适合用反证法证明的是( )A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B.两个不相等的角不是对顶角C.平行四边形的对角线互相平分D.已知x,y∈R,且x+y>2,求证:x,y中至少有一个大于12当用反证法证明命题“设a,b为实数,则关于x的方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根至少有一个”的否定为“没有”.3设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于( )A.0B .13C.12D.14已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数),且a>b,则两个数列中序号与数值均相同的项有( )A.0个B.1个C.2个D.无穷多个,即存在n,使得a n=b n,则an+2=bn+1,即an+1=bn,则bn>an,即b>a,这与已知a>b矛盾.故不存在n,使得a n=b n,应选A.5有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”.四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是( )A.甲B.乙C.丙D.丁6当用反证法证明:“自然数a ,b ,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为( )A .a ,b ,c 都是偶数B .a ,b ,c 都是奇数C .a ,b ,c 中至少有两个偶数D .a ,b ,c 中都是奇数或至少有两个偶数a ,b ,c 的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a ,b ,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ,b ,c 中都是奇数或至少有两个偶数”.7已知平面α∩平面β=直线a ,直线b ⊂α,直线c ⊂β,b ∩a=A ,c ∥a ,求证:b 与c 是异面直线.若利用反证法证明,则应假设　.空间中两直线的位置关系有3种:异面、平行、相交,∴应假设b 与c 平行或相交.与c 平行或相交8用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①A+B+C=90°+90°+C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故假设错误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC 中有两个直角,不妨设A=B=90°.上述步骤的正确顺序为 .:否定结论、导出矛盾、得出结论,知正确的顺序应为③①②.9在△ABC 中,若AB=AC ,P 是△ABC 内的一点,∠APB>∠APC ,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分:假设和两类.,∠BAP<∠CAP 的对立面是∠BAP=∠CAP 或∠BAP>∠CAP.BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP10已知x ,y>0,且x+y>2.求证:1+x y ,1+y x 中至少有一个小于2.,不要忽略x>0,y>0.2,≥2≥2.设1+x y ,1+y x 都不小于即1+x y ,1+y x ∵x>0,y>0,∴1+x ≥2y ,1+y ≥2x.∴2+x+y ≥2(x+y ),即x+y ≤2,这与已知x+y>2矛盾.2.∴1+x y ,1+y x 中至少有一个小于能力提升1已知a ,b 是异面直线,如果直线c 平行于直线a ,那么c 与b 的位置关系为( )A .一定是异面直线B .一定是相交直线C .不可能是平行直线D .不可能是相交直线c ∥b ,而由c ∥a ,可得a ∥b ,这与a ,b 异面矛盾,故c 与b 不可能是平行直线,应选C .2设x ,y ,z 都是正实数,a=x+1y ,b =y +1z ,c =z +1x ,则a ,b ,c 三个数( ) A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2a ,b ,c 都小于2,则a+b+c<6.①而a+b+c=x ≥6,当且仅当x=y=z=1时,等号成立.②+1x +y +1y +z +1z 显然①与②矛盾,所以选项C 正确.3设a ,b ,c 是正数,P=a+b-c ,Q=b+c-a ,R=c+a-b ,则“PQR>0”是“P ,Q ,R 同时大于零”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.充分性:若PQR>0,则P ,Q ,R 同时大于零或其中有两个负数一个正数,不妨假设P<0,Q<0,R>0.∵P<0,Q<0,∴a+b<c ,b+c<a ,∴a+b+b+c<c+a ,∴b<0,这与a ,b ,c 是正数矛盾.故P ,Q ,R 同时大于零.4对于定义在实数集R 上的函数f (x ),如果存在实数x 0,使f (x 0)=x 0,那么x 0叫做函数f (x )的一个“好点”.已知函数f (x )=x 2+2ax+1不存在“好点”,则a 的取值范围是　. f (x )=x 2+2ax+1存在“好点”,亦即方程f (x )=x 有实数根,所以x 2+(2a-1)x+1=0有实数根,则Δ=(2a-1)2-4=4a 2-4a-3≥0,解得a ≤a ≥‒12或32,故当f (x )不存在“好点”时,a 的取值范围是‒12<a <32.(-12,32)5用反证法证明“若x 2-(a+b )x+ab ≠0,则x ≠a ,且x ≠b ”时应假设结论为 .,一定要全面否定,“x ≠a ,且x ≠b ”的否定为“x=a 或x=b ”.或x=b6完成反证法证题的全过程:已知{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7}={1,2,3,4,5,6,7}.求证:乘积p=(a 1-1)·(a 2-2)·…·(a 7-7)为偶数.证明:假设p 为奇数,则均为奇数.因为奇数个奇数之和为奇数,故有　为奇数.而　=0.从而有0为奇数,与0为偶数矛盾,这一矛盾说明p 为偶数.1-1,a 2-2,…,a 7-7(a 1-1)+(a 2-2)+…+(a 7-7)(a 1-1)+(a 2-2)+…+(a 7-7)★7已知a ,b ,c ∈(0,1),求证:(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不可能都大于14.(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 都大于14,即(1-a )b >14,(1‒b )c >14,(1‒c )a >14,三式相乘,得(1-a )a (1-b )b (1-c )c >164.又(1-a )a ≤(1-a +a 2)2=14.同理(1-b )b ≤14,(1‒c )c ≤14.以上三式相乘得(1-a )a (1-b )b (1-c )c ≤164,这与(1-a )a (1-b )b (1-c )c ,>164矛盾故假设不成立,即结论得证.★8设{a n },{b n }是公比不相等的两个等比数列,c n =a n +b n ,证明数列{c n }不是等比数列.{c n }是等比数列,利用{a n },{b n }是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.{c n }是等比数列,则(a n +b n )2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①∵{a n },{b n }是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p ,q ,∴a 2n =an ‒1an +1,b 2n =bn ‒1bn +1.代入①并整理,得2a n b n =a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n (pq +qp ),即2=p q +qp .②当p ,q 异号②相矛盾;时,p q +qp <0,与当p ,q 同号时,∵p ≠q ,②相矛盾.∴p q +qp >2,与故数列{c n }不是等比数列.。

2018届高考数学二轮复习：推理与证明单元测试卷AB卷含解析

2018届高考数学二轮复习：推理与证明+单元测试（A ）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知a <b <0，下列不等式中成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <1 C ．a <4－bD ．1a <1b2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋23．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( ) A ．2 n ＋1 2B ．2n n ＋1C ．22n －1D ．22n －14．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，则第100项为( )A ．10B ．14C ．13D ．1005．(2015·大连高二检测)用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)7．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( ) A ．a ＝12，b ＝c ＝14 B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c8．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2016(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x9．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 中至多有一个是偶数D ．假设a 、b 、c 中至多有两个偶数11．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－bC ．1bD ．－1b12．已知f (x )＝x 3＋x ，a 、b 、c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( ) A ．一定大于零 B ．一定等于零 C ．一定小于零D ．正负都有可能第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“因为AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC 、BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________. 14．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”； ④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑤“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”．以上类比得到的结论正确的是________. 16．(2015·天津和平区高二期中)观察下列等式：1＝1 13＝1 1＋2＝3 13＋23＝9 1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225 … …可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________.(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本题满分10分)观察下面所示的“三角数阵”12 234 3 477 451114115第1行第2行第3行第4行第5行…………记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．19．(本题满分12分)已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．20．(本题满分12分)已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边．求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.21．(本题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．(本题满分12分)(2014·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x－12x2＋x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .章末检测（A ）答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分) 1． [答案] C[解析] 令a ＝－2，b ＝－1，满足a <b <0，则a 2>b 2，a b ＝2>1，1a >1b ，故A 、B 、D 都不成立，排除A 、B 、D ，选C ． 2． [答案] C[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2. 3． [答案] B[解析] a 2＝S 2－S 1＝22a 2－1，∴a 2＝13，a 3＝S 3－S 2＝32·a 3－22·a 2＝9a 3－4×13，∴a 3＝16.a 4＝S 4－S 3＝42·a 4－32a 3＝16a 4－9×16，∴a 4＝110.由此猜想a n ＝2n n ＋1 .4． [答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n n ＋1 2≤100即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14. 5． [答案] B[解析] 因为②⇒①，所以①是②的必要条件． 6． [答案] A[解析] 若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A ． 7． [答案] A[解析]令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3 a －b ＋c ＝19 2a －b ＋c ＝727 3a －b ＋c ＝34，所以a ＝12，b ＝c ＝14. 8． [答案] A[解析] 由已知，有f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，可以归纳出：f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N *)．所以f 2016(x )＝f 4(x )＝sin x . 9． [答案] A[解析] ∵对∀n ∈N *总有c n ∥b n ，则存在实数λ≠0，使c n ＝λb n ，∴a n ＝λn ，∴{a n }是等差数列． 10． [答案] B[解析] 对命题的结论“a 、b 、c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a 、b 、c 都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”． 11． [答案] B[解析] f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b . 12． [答案] A[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数，由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0，同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．[答案] 菱形对角线互相垂直且平分 14．[答案] x2n－1 x ＋2n[解析] 由已知可归纳如下：f 1(x )＝x21－1 x ＋21， f 2(x )＝x 22－1 x ＋22，f 3(x )＝x23－1 x ＋23， f 4(x )＝x 24－1 x ＋24，…， f n (x )＝x 2n －1 x ＋2n .15． [答案] ①②[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．16．[答案] n 2 n ＋1 24 [解析] 由条件可知：13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2 ＝[n n ＋1 2]2＝n 2 n ＋1 24. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．[分析] 观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果． (2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a 3－a 2，a 4－a 3，a 5－a 4，从而归纳出(3)的结论．[解析] 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6,16,25,25,16,6.(2)a 2＝2，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝11. (3)∵a 3＝a 2＋2，a 4＝a 3＋3，a 5＝a 4＋4，由此归纳：a n ＋1＝a n ＋n . 18．[解析] 设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3 x 1－x 2x 1＋1 x 2＋1 .∵a >1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0. 又∵x 1>－1，x 2>－1， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 19．[解析] 类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，则 N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上，∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b2a 2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．20．[分析] 利用分析法得出c 2＋a 2＝b 2＋ac ，再利用综合法证明其成立． [解析] 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3.化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 21．[解析] (1)设等差数列公差为d ，则3a 1＋3×22d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝1＋2＋(n －1)×2＝2n ＋2－1， S n ＝1＋2＋2n ＋2－12n ＝n (n ＋2)． (2)b n ＝S nn ＝n ＋ 2.用反证法证明．设b n ，b m ，b k 成等比数列(m ，n ，k 互不相等)，则b n b k ＝b 2m ，即(n ＋2)(k ＋2)＝(m ＋2)2，整理得：nk －m 2＝2(2m －n －k )，左边为有理数，右边是无理数，矛盾，故任何不同三项都不可能成等比数列． 22．[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x －1)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e .(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)，令u (x )＝e x－x 2－32，则u ′(x )＝e x－12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x－12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e－2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e >0，所以f (x )>16x 3－12x .2018届高考数学二轮复习：推理与证明+单元测试（B ）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n 2用的是( )A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．特殊推理2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥BC3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数4．已知f(x＋1)＝2f xf x ＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A.42x＋2B.2 x＋1C.1x＋1D.2 2x＋15．已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．正方形是矩形D．其他6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0个B．1个C ．2个D ．3个7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于( )A.12B ．－1C ．2D ．39．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能等于0D ．可正也可负第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)10．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为_________．11．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是______．12．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AEEB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 13．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．14．1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．15．设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．16．设a ，b ，c 为一个三角形的三边，s ＝12(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s <2a .17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并写出其通项公式； (2)用三段论证明数列{a n }是等比数列．18．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a 与cb 的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B 不可能是钝角．章末检测（B ）答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．C 9．A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)10．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 11．a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥1) 12.AE EB ＝S △ACD S △BCD三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 13．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．14．解假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数，∴m ≠(3＋1)n .∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项．15．证明当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 a ＋b 2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立．16．证明要证s <2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s <s 2b ，即证b <s .因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．17．解 (1)由a n ＝2－S n ，得a 1＝1；a 2＝12；a 2＝14；a 4＝18，猜想a n＝(12)n －1(n ∈N *)．(2)对于通项公式为a n 的数列{a n }，若a n ＋1a n＝p ，p 是非零常数，则{a n }是等比数列，大前提因为通项公式a n ＝(12)n －1，又a n ＋1a n＝12，小前提所以通项公式为a n ＝(12)n －1的数列{a n }是等比数列．结论18．(1)解 b a <c b .证明如下：要证ba <cb ，只需证b a <c b ，∵a ，b ，c >0，∴只需证b 2<ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac，∴b 2≤ac ，又a ，b ，c 均不相等，∴b 2<ac 成立．故所得大小关系正确．(2)证明方法一若角B 是钝角，则cos B <0.由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0，这与cos B <0矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．方法二若角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b >a ，b >c ，所以1a >1b >0，1c >1b >0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．。

2018年高中数学人教A版选修2-2第2章推理与证明检测A习题含解析

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于()A.28B.32C.33D.27解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得x=32.答案B2用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是()A.将结论与条件同时否定,推出矛盾B.肯定条件,否定结论,推出矛盾C.将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件答案B3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面”.()A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C.答案C4已知c>1,a=,b=-,则正确的结论是()A.a>b C.a=b解析∵a=B.a<bD.a,b大小不定,b=-,而-,∴a<b.-答案B5下列结论正确的是() A.当x>0,且x≠1时,lg x+≥2B.当 x>0 时,≥2C.当 x ≥2 时,x+ 的最小值为 2D.当 0<x ≤2 时,x- 无最大值解析选项 A 错在 lg x 的正负不明确;选项 C 错在等号成立的条件不存在;根据函数 f (x )=x- 的单调性,当 x=2 时,f (x )取最大值 ,故选项 D 错误.答案 B6 观察下列各式:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则 a 10+b 10=()A.28C.123B.76D .199解析利用归纳法:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4=3+1,a 4+b 4=4+3=7,a 5+b 5=7+4=11,a 6+b 6=11+7=18,a 7+b 7=18+11=29,a 8+b 8=29+18=47,a 9+b 9=47+29=76,a 10+b 10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案 C7 设 x i ,a i (i=1,2,3)均为正实数,甲、乙两位同学由命题“若 x 1+x 2=1,则推理得出了新命题:≤( )2”分别甲:若 x 1+x 2+x 3=1,则 ≤( )2;乙:若 x 1+x 2+x 3+x 4=1,则 ≤()2.他们所用的推理方法是()A.甲、乙都用演绎推理B.甲、乙都用类比推理C.甲用演绎推理,乙用类比推理D.甲用归纳推理,乙用类比推理答案 B8 已知数列{a n }的前几项为,…,则猜想数列{a n }的通项公式为( )A.a n =B.a n =- --C.a n =D.a n =---解析,…,于是猜想数列{a n }的通项公式为a n =-.答案 C9 已知数列{a n }的前 n 项和 S n =n 2· a n (n ≥2,n ∈N ),而 a 1=1,通过计算 a 2,a 3,a 4,猜想 a n 等于()A.C.B.-D.-解析∵S n =n 2· a n (n ≥2),a 1=1,∴S 2=4a 2=a 1+a 2⇒a 2=,S 3=9a 3=a 1+a 2+a 3⇒a 3=,S 4=16a 4=a 1+a 2+a 3+a 4⇒a 4=答案 B.故猜想 a n = .10 用数学归纳法证明“1++…+时,左边应增加的项数是()-<n(n ∈N *,n>1)”时,由 n=k (k>1)不等式成立,推证 n=k+1 A.2k -1 B.2k -1 C.2kD.2k+1答案 C二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 已知 x ,y ∈R ,且 x+y<2,则 x ,y 中至多有一个大于 1,在用反证法证明时,假设应为.解析“至多有一个大于 1”包括“都不大于 1 和有且仅有一个大于 1”,故其对立面为“x ,y 都大于 1”. 答案 x ,y 都大于 112 观察数列,3, ,3 ,…,写出该数列的一个通项公式为.解析将各项统一写成根式形式为 ,…即,…,被开方数是正奇数的 3 倍,故 a n =- (n ∈N *).答案 a n =- (n ∈N *)13 以下是对命题“若两个正实数 a 1,a 2 满足=1,则 a 1+a 2≤”的证明过程:证明:构造函数 f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2=2x 2-2(a 1+a 2)x+1,因为对一切实数 x ,恒有 f (x )≥0,所以 Δ≤0,从而得 4(a 1+a 2)2-8≤0,所以 a 1+a 2≤ . 根据上述证明方法,若 n 个正实数满足+…+ =1,你能得到的结论为 (不必证明).解析依题意,构造函数 f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x-a n )2,则有 f (x )=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x+1,Δ= - …-4n=4(a 1+a 2+…+a n )2-4n ≤0,即有 a 1+a 2+…+a n ≤ .答案 a 1+a 2+…+a n ≤14 若等差数列{a n }的前 n 项之和为 S n ,则 S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12 成等差数列.类比以上结论有:若等比数列{b n }的前 n 项之积为 T n ,则 T 4,, ,成等比数列.解析本题是数列与类比推理相结合的问题,既考查了等差数列与等比数列的知识,又考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力.答案15 设 C 1,C 2,C 3,…为一组圆,其作法如下:C 1 是半径为 a 的圆,在 C 1 的圆内作四个相等的圆 C 2(如图),每个圆 C 2 和圆 C 1 都内切,且相邻的两个圆 C 2 均外切;在 C 2 的每一个圆中,用同样的方法作四个相等的圆 C 3,依此类推作出 C 4,C 5,C 6,….(1)其中 C 2 中每个圆的半径长等于 (用 a 表示);(2)猜想 C n 中每个圆的半径长为 (用 a 表示,不必证明).答案(-1)a ( -1)n-1a三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8 分)若 x ,y>0,且 x+y>2,求证:<2 和 <2 中至少有一个成立.证明假设≥2,且 ≥2,则 1+x ≥2y ,1+y ≥2x ,所以(1+x )+(1+y )≥2y+2x ,即 x+y ≤2,与题设矛盾.故假设不成立,原命题成立.17(8 分)已知命题“若数列{a n }是等比数列,且 a n >0,则数列{b n },b n =… (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.解类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{a n }是等差数列,则数列…也是等差数列.证明如下:{b n },b n =设等差数列{a n }的公差为 d ,则 b n =…-=a 1+ (n-1),所以数列{b n }是以 a 1 为首项, 为公差的等差数列.18(9 分)设 n ∈N *,x n 是曲线 y=x 2n+2+1 在点(1,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式;(2)记 T n =-,证明:T n ≥ .(1)解 y'=(x 2n+2+1)'=(2n+2)x 2n+1,曲线 y=x 2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2,从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1).令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 x n =1-(2)证明由题设和(1)中的计算结果知.T n =--.当 n=1 时,T 1= .当 n ≥2 时,因为--- - - - -,所以 T n > ×…× -.综上可得对任意的 n ∈N *,均有 T n ≥ .19(10 分)如图,设抛物线 y 2=2px (p>0)的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A ,B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC ∥x 轴.求证:直线 AC 经过原点 O.证明因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+,代入抛物线方程,可得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2=-p2.因为BC∥x轴,且点C在准线x=-上,所以点C的坐标是-,,故直线CO的斜率为k=-即k也是直线OA的斜率.故直线AC经过原点O.20(10分)设f(n)=1++…+,问是否存在关于自然数n的函数g(n)使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)·[f(n)-1]对于n≥2的一切自然数都成立?若存在,证明你的结论.解当n=2时,由f(1)=g(2)·[f(2)-1],=2,得g(2)=--当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)-1],=3,得g(3)=--猜想g(n)=n(n≥2).下面用数学归纳法证明:当n≥2时,等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立.①当n=2时,由上面计算知,等式成立.②假设当n=k时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1]恒成立.-则当n=k+1时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)·-k=(k+1)[f(k+1)-1],所以当n=k+1时,等式也成立.由①②知,对一切n≥2的自然数n,等式都成立,故存在函数g(n)=n,使等式成立.。

推理与证明测试(人教A版)(含答案)

推理与证明测试（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.下面几种推理是合情推理的是( )（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是．A.（1）（2）B.（1）（3）C.（1）（2）（4）D.（2）（4）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比推理2.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：合情推理3.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数是( )A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：合情推理4.已知函数对应关系如表所示，数列满足，，则=( )A.3B.2C.1D.不确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：归纳推理5.演绎推理“因为对数函数（，）是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：演绎推理6.表示不超过的最大整数，例如.，，，……依此规律，那么=( )A.210B.230C.220D.240答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：归纳推理7.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有( )只蜜蜂.A.55986B.46656C.216D.36答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：归纳推理8.观察下列式子：，，，…，可以猜想结论为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：由题意，经归纳推理，选C.试题难度：三颗星知识点：归纳推理9.已知数列的通项公式是，将数列中各项进行如下划分：第1组1个数，第2个数，第3个数，以此类推，…，则第16组的第1个数是( ) A.239 B.269C.699D.2009答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：归纳推理10.已知“有序整数对”按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）…，则第62个“有序整数对”是( )A.（7，5）B.（8，4）C.（9，3）D.（10，2）答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：归纳推理。

人教A版高中数学选修一第二章推理与证明答案.docx

第二章合情推理与演绎推理答案 2.1.1 合情推理与演绎推理(1)1、d n a a n )1(1-+=2、B3、A4、()nn n n )1(1169411+-++-+-+Λ 5、θθθn cos 23cos 22cos 2 6、V+F —E=2 7、解：9)5(,5)4(,2)3(,0)2(====f f f f可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数 4)4()5(,3)3()4(,2)2()3(=-=-=-∴f f f f f f 猜测得出1)1()(-=--n n f n f 有)1(432)2()(-++++=-n f n f Λ)2)(1(21)(-+=∴n n n f 因此)2)(1(21)(,5)4(-+==n n n f f8、解：4211223⨯=432212233⨯=+44332122333⨯=++4544321223333⨯=+++()414321223333+=+++++n n Λ由此可以有求和的一般公式为()414321223333+=+++++n n Λ2.1.2合情推理与演绎推理(2)1、C2、D3、D4、类比5、（1）圆柱面（2）两个平行平面6、()()()x C x S x S 22= ()()()()()y S x C y C x S y x S +=+7、在等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，()*,,,Nq p n m ∈，则q p n ma a a a⋅=⋅8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。

2017-2018学年高中数学第二章推理与证明测评A 新人教A版选修2-2

【优化设计】2017-2018学年高中数学第二章推理与证明测评A 新人教A版选修2-2(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”,但大前提错误D.使用了“三段论”,但小前提错误答案:C2.观察下面图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.■B.△C.□D.○解析:由每一行中图形的形状及黑色图形的个数,则知A正确.答案:A3.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A.各正三角形内任一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.答案:C4.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:记a n+b n=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)= f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.答案:C5.数列{a n}满足a1=,a n+1=1-,则a2 015等于()A.B.-1 C.2 D.3解析:∵a1=,a n+1=1-,∴a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-,a5=1-=-1,a6=1-=2,∴a n+3k=a n(n∈N*,k∈N*).∴a2 015=a2+3×671=a2=-1.答案:B6.已知f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(n)不能等于()A.f(1)+2f(1)+…+nf(1)B.fC.D.f(1)解析:f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=1,得f(2)=2f(1),令x=1,y=2,f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)︙f(n)=nf(1),所以f(1)+f(2)+…+f(n)=(1+2+…+n)f(1)=f(1).所以A,D正确.又f(1)+f(2)+…+f(n)=f(1+2+…+n)=f,所以B也正确.故选C.答案:C7.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和S n与其组的编号数n的关系是()A.S n=n2B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)解析:∵当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;∴归纳猜想S n=n3,故选B.答案:B8.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4a6>a3a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()A.b4+b8>b5+b7B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b8解析:b5+b7-b4-b8=b4(q+q3-1-q4)=b4(q-1)(1-q3)=-b4(q-1)2(1+q+q2)=-b4(q-1)2.∵b n>0,q>1,∴-b4(q-1)·<0,∴b4+b8>b5+b7.答案:A9.已知x>0,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,则a的值为()A.2nB.n2C.22n-2D.n n解析:由x+≥2,x+=x+≥3,x+=x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,故a=n n.答案:D10.将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2 012项与5的差,即a2 012-5=()A.2 018×2 012B.2 018×2 011C.1 009×2 012D.1 009×2 011解析:由已知可得a2-a1=4a3-a2=5a4-a3=6……a2 012-a2 011=2 014.以上各式相加得a2 012-a1==1 009×2 011.∵a1=5,∴a2 012-5=1 009×2 011.答案:D第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11.在△ABC中,D为BC的中点,则),将命题类比到三棱锥中得到的命题为.答案:在三棱锥A-BCD中,G为△BCD的重心,则)12.用数学归纳法证明+…+(n>1且n∈N*),第一步要证明的不等式是.解析:∵n>1,∴第一步应证明当n=2时不等式成立,即.答案:13.f(n)=1++…+(n∈N*),经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,推测当n≥2时,有.解析:观测f(n)中n的规律为2k(k=1,2,…),不等式右侧分别为,k=1,2,…,所以f(2n)>(n≥2).答案:f(2n)>(n≥2)14.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,…,x n,总满足[f(x1)+f(x2)+…+f(x n)]≤f,称函数f(x)为D上的凸函数;现已知f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数,则△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.解析:因为f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数(小前提),所以(sin A+sin B+sin C)≤sin(结论),即sin A+sin B+sin C≤3sin.因此,sin A+sin B+sin C的最大值是.答案:15.观察下图:则第行的各数之和等于2 0112.解析:经观察知,图中的第n行的各数构成一个首项为n,公差为1,共(2n-1)项的等差数列,其各项和为:S n=(2n-1)n+=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.令(2n-1)2=2 0112,得2n-1=2 011,故n=1 006.答案:1 006三、解答题(本大题共5小题,共40分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题6分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:.证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0.要证明原不等式成立,只需证明a,即证b2-ac<3a2,从而只需证明(a+c)2-ac<3a2,即(a-c)(2a+c)>0,因为a-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0,所以(a-c)(2a+c)>0成立,故原不等式成立.17.(本小题6分)已知实数x,且有a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,求证:a,b,c中至少有一个不小于1.证明:假设a,b,c都小于1,即a<1,b<1,c<1,则a+b+c<3.∵a+b+c=+(2-x)+(x2-x+1)=2x2-2x+=2+3,且x为实数,∴2+3≥3,即a+b+c≥3,这与a+b+c<3矛盾.∴假设不成立,原命题成立.∴a,b,c中至少有一个不小于1.18.(本小题8分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a1,a2∈R,且a1+a2=1,求证:.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+.因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-8()≤0,从而得.(1)若a1,a2,…,a n∈R,且a1+a2+…+a n=1,请写出上述结论的推广式;(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.(1)解:若a1,a2,…,a n∈R,a1+a2+…+a n=1,则+…+.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x++…+=nx2-2x++…+.因为对一切x∈R,都有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(+…+)≤0,从而证得+…+.19.(本小题10分)已知等差数列{a n}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{b n}的前n项和为S n,且S n=1-b n.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=a n·b n,求证:c n+1≤c n.(1)解:∵a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,且数列{a n}的公差d>0,∴a3=5,a5=9,公差d==2.∴a n=a5+(n-5)d=2n-1.由题意得,当n=1时,b1=S1=1-,∴b1=.当n≥2时,b n=S n-S n-1=(b n-1-b n),∴b n=b n-1(n≥2).∴数列{b n}是以为首项,为公比的等比数列.∴b n=.(2)证明:由(1)知,c n=a n·b n=,c n+1=,∴c n+1-c n=≤0.∴c n+1≤c n.20.(本小题10分)用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=12,右边=×1×(4×1-1)=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1),则当n=k+1时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=k(4k2-1)+(2k+1)2=k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2=(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]=(2k+1)(2k2+5k+3)=(2k+1)(k+1)(2k+3)=(k+1)(4k2+8k+3)=(k+1)[4(k+1)2-1],即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式成立.。

20172018学年高中数学人教A版选修22：阶段质量检测(二) 推理与证明 Word版含解析

阶段质量检测（二）推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选B f(2)＝22＋1，f(3)＝23＋1，f(4)＝24＋1，猜想f(x)＝2x＋1.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知D 成立． 8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2nn ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b 2>a ＋b 2⇒lg a ＋b2>lg a ＋b2. 答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b＝6ab，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ， ∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证 6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1，这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾，所以a n ＋1＝a n 不成立．故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝⎛⎭⎫1－19＝23， x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝⎛⎭⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎫1－125＝35. (3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22(n ＋1).证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1))＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1＋1)2＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2＝12·k ＋3k ＋2＝(k ＋1)＋22[(k ＋1)＋1].∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n ∈N *，猜想x n ＝n ＋22(n ＋1)都成立．。

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2练习：第2章推理与证明2.1.2 Word版含解析

第二章 2.1 2.1.2A 级基础巩固一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin (x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin (x 2＋1)是奇函数．以上推理导学号 18674162( C )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确[解析] 函数f (x )＝sin (x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C ．2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是导学号 18674163( D )A ．①B ．②C ．①②D ．③[解析] 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．3．下面几种推理过程是演绎推理的是导学号 18674164( A )A ．两条直线平行，同位角相等．由此可知，若∠A 、∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，则∠A ＝∠BB ．某校高一(1)班有45人，高一(2)班有46人，高一(3)班有48人，由此得出该校高一各班的人数均不超过50C ．由平面上圆的性质，推测空间球的性质D ．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式[解析] “两条直线平行，同位角相等”是一般性原理，∠A 、∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，故∠A ＝∠B ，因此是演绎推理．4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为导学号 18674165( A )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误[解析] “直线平行于平面，则平行于平面内所有直线”错误，故选A ．5．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理导学号 18674166( A )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致 [解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确． 6．若a >b >0，c <d <0，则一定有导学号 18674167( B ) A ．a d >b cB ．a d <b cC ．a c >b dD ．a c <b d[解析] ∵c <d <0，∴1d <1c <0，又∵a >b >0，∴a d <bc .选B ．二、填空题7．已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为3、4、5，所以△ABC 是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是__一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形__.导学号 186741688．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：导学号 18674169 大前提__所有一次函数的图象都是一条直线__．小前提__函数y ＝2x ＋5是一次函数__．结论__函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线__．三、解答题9．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ．求证：四边形ABCD 为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理.导学号 18674170[解析] ①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等．(大前提)如果△ABC和△CDA的三边对应相等．(小前提)则这两个三角形全等．(结论)符号表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC⇒△ABC≌△CDA．②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．(大前提)如果△ABC和△CDA全等，(小前提)则它们的对应角相等，(结论)符号表示：△ABC≌△CDA⇒∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D．③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提)直线AB、DC和直线BC、AD被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]则AB∥DC，BC∥AD．[结论(同理)]④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(大前提)四边形ABCD中，两组对边分别平行，(小前提)四边形ABCD为平行四边形．(结论)符号表示：AB∥DC且AD∥BC⇒四边形ABCD为平行四边形．B级素养提升一、选择题1．“在四边形ABCD中，∵AB CD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程导学号18674171(A)A．省略了大前提B．省略了小前提C．是完整的三段论D．推理形式错误[解析]上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为导学号 18674172( B )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误[解析] 用小前提“S 是M ”，判断得到结论“S 是P ”时，大前提“M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分．3．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是导学号 18674173( A )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误[解析] 大前提错误，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数，故选A ． 4．下面几种推理过程是演绎推理的是导学号 18674174( A )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式[解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．二、填空题5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__A 城市__.导学号 18674175[解析] 由甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A ，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A 城市．6．以下推理中，错误的序号为__①__.导学号 18674176 ①∵ab ＝ac ，∴b ＝c ； ②∵a ≥b ，b >c ，∴a >c ；③∵75不能被2整除，∴75是奇数； ④∵a ∥b ，b ⊥平面α，∴a ⊥α.[解析] 当a ＝0时，ab ＝ac ，但b ＝c 未必成立． 7．已知数列{a n }满足a 1＝12，且前n 项和S n 满足S n ＝n 2a n ，则a n ＝ 1n ＋n.导学号 18674177 [解析] 解法一：(归纳法)a 1＝12，a 2＝16，a 3＝112，a 4＝120，寻找分母的规律，a 1＝11×2，a 2＝12×3，a 3＝13×4，a 4＝14×5，所以a n ＝1n (n ＋1).解法二：(演绎推理)S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，所以(n 2＋2n )a n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋2，a n a n －1＝n －1n ＋1，…，a 4a 3＝35，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13，所以a n ＋1a 1＝2(n ＋2)(n ＋1).因为a 1＝12，所以a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2).又因为a 1＝12＝11×2.三、解答题8．用三段论证明：已知{a n }是各项均为正数的等差数列，l ga 1，l ga 2，l ga 4成等差数列，又b n ＝1a 2n，n ＝1,2,3…，证明{b n }为等比数列.导学号 18674178[解析] 因为l ga 1，l ga 2，l ga 4成等差数列，所以2l ga 2＝l ga 1＋l ga 4，即a 22＝a 1·a 4.设等差数列{a n}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，这样d2＝a1·d，从而d(d－a1)＝0.而d＝0，则{a n}为常数列，相应{b n}也是常数列，此时{b n}是首项为正数，公比为1的等比数列．若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)·d＝2n·d，b n＝1a2n ＝1 d·12n.这时{b n}是首项为b1＝12d ，公式为12的等比数列．综上知{b n}为等比数列．C级能力提高1．(2017·北京文，14)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：导学号18674179①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__6__；(2)该小组人数的最小值为__12__.[解析](1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.(2)设男学生人数为x(x∈N＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.又2(x－2)>x，解得x>4，即x＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.2．已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.导学号18674180(1)求证：|c|≤1.(2)当－1≤x≤1，求证：－2≤g(x)≤2.[解析](1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1.(2)当a>0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，所以－2≤g(x)≤2. 当a<0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，g(x)＝f(1)－c，所以－2≤g(x)≤2.综上所述，－2≤g(x)≤2.。

2018年秋高中数学章末综合测评2 推理与证明新人教A版选修1-2

章末综合测评(二) 推理与证明(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是( )A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案C[根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.]2．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )【导学号：48662104】A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥BCA[这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.]3．在△ABC中，tan A·tan B＞1，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定A[∵tan A·tan B＞1，∴A，B只能都是锐角，∴tan A＞0，tan B＞0,1－tan A·tan B＜0.∴tan (A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B＜0.∴A＋B是钝角．∴角C为锐角．故选A.]4．下列推理正确的是( )A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin (x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)D[(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．]5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )【导学号：48662105】A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0D [因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.故选D.]6．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个B [若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．]7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )【导学号：48662106】①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个C [类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．]8．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199C [利用归纳法，a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．]9．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )【导学号：48662107】A ．sin (α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin (α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos (α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos (α＋β)＜cos α＋cos βD[因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．]10．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有( ) A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－nB[令n＝10时，验证即知选B.]11．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差，即a2 018－5＝( )图1A．2023×2018 B．2023×2017C．1012×2016 D．1012×2017D[a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．∴a n－5＝n－n＋2，∴a2 018－5＝2 017×2 0242＝2 017×1 012.]12．如图2中(1)，在△ABC中，AB⊥AC于点A，AD⊥BC于点D，则有AB2＝BD·BC，类似地有命题：如图(2)，在三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A在△BCD内的射影为O，则S2△ABC＝S△BCO·S△BCD，那么上述命题( )【导学号：48662108】图2A．是真命题B．增加条件“AB⊥AC”后才是真命题C．是假命题D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”后才是真命题A[由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分别与题图(1)中的AB，BD，BC进行类比即可．严格推理如下：连结DO并延长交BC于点E，连结AE (图略)，则DE ⊥BC ，AE ⊥BC .因为AD ⊥面ABC ，所以AD ⊥AE .又因为AO ⊥DE ，所以AE 2＝EO ·ED ，所以S 2△ABC ＝(12BC ·EA )2＝12(BC ·EO )·12(BC ·ED )＝S △BCO ·S △BCD .故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1) [“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．]14．当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N *时，你能得到的结论是________.【导学号：48662109】(a －b )(a n ＋an －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1 [根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N *时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n＋an －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.]15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]16．现有一个关于平面图形的命题：同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.【导学号：48662110】a 38[解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2. [证明] (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根． [解] (1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．19．(本小题满分12分)观察：①tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1，②tan 5°·tan 10°＋t an 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1.由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广.【导学号：48662111】[解] 从已知观察到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，因此猜测推广式为若α＋β＋γ＝π2，且α，β，γ都不为k π＋π2(k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtanγ＋tan γtan α＝1.证明如下：由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ. 因为tan (α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－γ＝1tan γ.又因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)＝1tan γ (1－tan αtan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)·1tan γ＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.20．(本小题满分12分)如图2，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱长均为a ，D ，E 分别为C 1C 与AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .图2(1)求证：A 1B ⊥AD ； (2)求证：CE ∥平面AB 1D . [证明] (1)连接A 1D ，BD ，DG ，∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱，∴四边形A 1ABB 1为正方形， ∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点，∴△A 1C 1D ≌△BCD ，∴A 1D ＝BD ， ∵G 为A 1B 中点， ∴A 1B ⊥DG . 又∵DG ∩AB 1＝G ， ∴A 1B ⊥平面AB 1D ，又∵AD ⊂平面AB 1D ， ∴A 1B ⊥AD .(2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ， ∴GE ⊥平面ABC . ∵DC ⊥平面ABC ，∴GE ∥DC ，∵GE ＝DC ＝12a ，∴四边形GECD 为平行四边形，∴EC ∥GD ，又∵EC ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ， ∴EC ∥平面AB 1D .21. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根.【导学号：48662112】[证明] (1)法一：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－x 1＋－x 1－x 2＋x 1＋x 2＋＝x 2－x 1x 1＋x 2＋>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．法二：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－x －x ＋2＝a xln a ＋3x ＋2∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3x ＋2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1. ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．22. (本小题满分12分) (1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).【导学号：48662113】[解] (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a )．依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )，令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a.同理得y N ＝－ay 0x 0－a.所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)．所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝{a ，y N }，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2)．。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.2.1.2 Word版含解析

第2课时分析法课时过关·能力提升基础巩固1分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件答案A2欲证2-成立,只需证()A.(2-)2<()2B.(2-)2<()2C.(2+)2<()2D.(2-)2<(-)2解析由分析法知,欲证2-,只需证2+,即证(2+)2<()2,故选C.答案C3要证明<2,可选择的方法有下面几种,其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.特殊值法D.其他方法答案B4分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且a+b+c=0,求证:-a索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0答案C5将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整:要证≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证,即证,由于显然成立,因此原不等式成立.答案a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥06用A,B,C和a,b,c分别表示△ABC的三个内角和三条边.求证:当tan A·tan B>1时,△ABC为锐角三角形.证明要证三角形为锐角三角形,只需证A,B,C均为锐角,只需证tan A,tan B,tan C均为正.因为tan A tan B>1,且A+B<π,所以tan A>0,且tan B>0.又因为tan C=tan[180°-(A+B)]>0,=-tan(A+B)=-所以A,B,C均为锐角,即△ABC为锐角三角形.7已知a,b,m是正实数,且a<b,求证:.证明由a,b,m是正实数,故要证,只需证a(b+m)<b(a+m),只需证ab+am<ab+bm,只需证am<bm.而m>0,所以只需证a<b.由条件知a<b成立,故原不等式成立.8设|a|<1,|b|<1,求证:<1.证明要证<1,只需证|a+b|<|1+ab|,只需证(a+b)2<(1+ab)2,只需证a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2,只需证a2-a2b2+b2-1<0,只需证(a2-1)(b2-1)>0.当a2<1,b2<1,即|a|<1,|b|<1时,上式成立.所以原不等式成立.9设a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))证明方法一(分析法):要证a3+b3>a2b+ab2成立,即证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.又因为a+b>0,所以只需证a2-ab+b2>ab成立,即证a2-2ab+b2>0成立,即证(a-b)2>0成立.而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):a≠b⇔a-b≠0⇔(a-b)2>0⇔a2-2ab+b2>0⇔a2-ab+b2>ab.注意到a,b∈(0,+∞),a+b>0,由上式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).所以a3+b3>a2b+ab2.能力提升1若a≥0,P=,Q=,则P,Q的大小关系是()A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值确定解析要比较P,Q,只需比较P2=2a+7+2与Q2=2a+7+2,只需比较a2+7a与a2+7a+12的大小,显然前者小.答案C2要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0解析因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,故选D.答案D★3已知a,b,μ∈(0,+∞),且=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是.解析∵a,b∈(0,+∞),且=1,∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=16,当且仅当b=3a时等号成立.∴a+b的最小值为16.∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ成立,故0<μ≤16.答案(0,16]4若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.解析当x>0时,(当且仅当x=1时,取等号),要使≤a恒成立.只需≤a即可.故a≥.答案.5已知a>0,>1.求证:-证明要证,-只需证1+a>,-只需证(1+a)(1-b)>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,所以a-b>ab.只需证->1,即>1.由已知a>0,>1成立,成立.所以-6已知a>0,用分析法求证:≥a+-2.证明要证≥a+-2,只需证+2≥a+,又a>0,故只需证,即要证a2++4+4≥a2+2++2+2,只需证2, 只需证4≥2.即a2+≥2.而此不等式显然成立,故原不等式成立.★7已知2tan A=3tan B..求证:tan(A-B)=-分析观察条件与结论,结论中出现二倍角,可把二倍角公式化为单角,再将分式化为整式,同时等式的左边可用差角正切公式,再结合已知等式消去角A,此时将等式中的常数2化为2(sin2B+cos2B),可以发现等式中两边是关于sin B与cos B的二次式,再逆用公式tan B=将弦化为切即可完成证明.证明因为2tan A=3tan B,所以tan A=tan B.,要证tan(A-B)=-,只需证---只需证,即证,只需证tan B(2+sin2B)=(2+3tan2B)sin B cos B,只需证tan B(2cos2B+3sin2B)=(2+3tan2B)sin B cos B,只需证tan B=(2+3tan2B)·,即证tan B(2+3tan2B)=(2+3tan2B)tan B.因为tan B(2+3tan2B)=(2+3tan2B)tan B显然成立,所以tan(A-B)=成立.-。

2018单元滚动检测卷高考数学理人教A版全国通用：精练

单元滚动检测十三推理与证明、算法、复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·青岛质检)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．－12D.122．观察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，…，则72016的末两位数字为( )A ．49B ．43C ．07D ．013．(2016·黄岗质检)已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．2B ．－1C.12D.144．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥05．(2016·安徽“江淮十校”第三次联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…等于( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－526．(2016·宝鸡质检)定义某种运算s ＝a b ，运算原理如程序框图所示，则2ln e＋2(13)－1的值为( )A ．12B ．11C ．8D ．47．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋18．(2016·沈阳质检二)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取( ) A ．7B ．8C ．9D ．109．(2016·西安地区八校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为( )A ．k ＜6?B ．k ≤6?C ．k ＜7?D ．k ≤7?10．(2016·陕西第三次质检)已知整数按如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( ) A ．(4,8) B ．(5,7) C ．(6,6)D ．(7,5)11．(2016·湖南长郡中学月考二)某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类(n ∈N *)，分别编号为1,2，…，n ，买家共有m 名(m ∈N *，m ＜n )，分别编号为1,2，…，m .若a ij ＝⎩⎨⎧1，第i 名买家购买第j 类商品，0，第i 名买家不购买第j 类商品，1≤i ≤m,1≤j ≤n ，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( ) A ．a 11＋a 12＋…＋a 1m ＋a 21＋a 22＋…＋a 2m B ．a 11＋a 21＋…＋a m 1＋a 12＋a 22＋…＋a m 2 C ．a 11a 12＋a 21a 22＋…＋a m 1a m 2 D ．a 11a 21＋a 12a 22＋…＋a 1m a 2m12．(2016·陕西质检二)小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)．小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a 1，a 2，a 3，…，a 10.现有三种说法： ①若a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 10，则必是第一题答错，其余题均答对；②若a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 10，则必是第一题答对，其余题均答错；③有可能a 5＝2a 10. 其中正确的个数是( ) A ．1B ．0C ．3D ．2第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知i 为虚数单位，a ∈R .若a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，则复数z ＝a ＋(a －2)i 在复平面内对应的点位于第________象限．14．(2016·济南一模)执行如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x 的取值范围是________．15．(2016·湖南长郡中学月考)对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎨⎧3，5，33＝⎩⎨⎧7，9，11，43＝⎩⎨⎧13，15，17，19，….依此，若m 3的“分裂数”中有一个是2015，则m ＝________.16．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数(shù)，三三数(shǔ)之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？________.(只写出一个答案即可) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，求z ·z 的值；(2)求满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数z ； (3)计算(21－i )2016＋(1＋i 1－i)6(i 是虚数单位).18.(12分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：给出如下变换公式：x ′＝错误!将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h 变成q ；如5→5＋12＝3，即e 变成c.(1)(2)按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc ，那么原来的明文是什么？19.(12分)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入；②从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算；③输出函数值y .若D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.(1)求y ＝4的概率；(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率.20.(12分)用数学归纳法证明不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1(n ∈N *)．21.(12分)在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，则1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.类比上述结论，在四面体ABCD 中，你能得到怎样的猜想，并予以证明.22.(12分)已知a＝(cos x＋sin x，sin x)，b＝(cos x－sin x，2cos x)．(1)求证：向量a与向量b不可能平行；(2)若f(x)＝a·b，且x∈[－π4，π4]，求函数f(x)的最大值及最小值.答案精析1．A [∵1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋2a ＋15i ，∴2－a 5＝0，2a ＋15≠0，∴a ＝2.故选A.]2．D [71,72,73,74,75，…的末两位数字分别为07,49,43,01,07，…，周期性出现(周期为4)，而2 016＝4×504，所以72 016的末两位数字必定和74的末两位数字相同，故选D.]3．C [由于a ＝2，i ＝1；a ＝12，i ＝2；a ＝－1，i ＝3；a ＝2，i ＝4；…，由此规律可知，a ＝2，i ＝3k ＋1；a ＝12，i ＝3k ＋2；a ＝－1，i ＝3k ＋3，其中k ∈N *.从而可知当i ＝20时，退出循环，此时a ＝12.] 4．D [要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0，只要证(a 2－1)(b 2－1)≥0.] 5．C [设1＋11＋11＋…＝x ，则1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)．故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.]6．A [由程序框图知s ＝a b ＝⎩⎨⎧a (b ＋1)，a ≥b ，b (a ＋1)，a ＜b ，∴2ln e ＝212＝3,2(13)－1＝23＝9， ∴2ln e ＋2(13)－1＝12，故选A.]7．C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，故选C.]8．B [据已知可转化为1×(1－12n )1－12＞12764，整理得2n＞128，解得n ＞7，故原不等式的初始值为n ＝8，故选B.]9．A [依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1，c ＝2，a ＝1，b ＝2；进行第二次循环时，k ＝2，c ＝3，a ＝2，b ＝3；进行第三次循环时，k ＝3，c ＝5，a ＝3，b ＝5；进行第四次循环时，k ＝4，c ＝8，a ＝5，b ＝8；进行第五次循环时，k ＝5，c ＝13，a ＝8，b ＝13；进行第六次循环时，k ＝6，因此当输出的值是13时，判断框内应为“k ＜6？”．]10．B [由已知数对得数对中两个数的和为2的有1对，和为3的有2对，和为4的有3对，…，和为n 的有n －1对，且和相等的数对的第一个数以1为公差递增，从n ＝2到n ＝11共有数对1＋2＋3＋…＋10＝55，n ＝12时有11个数对，分别是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，故第60个数对是(5,7)，故选B.]11．C [因为a ij ＝⎩⎨⎧1，第i 名买家购买第j 类商品，0，第i 名买家不购买第j 类商品，1≤i ≤m,1≤j ≤n ，所以若第i名买家同时购买第1类和第2类商品，则a i 1a i 2＝1，否则a i 1a i 2＝0，所以同时购买第1类和第2类商品的人数是a 11a 12＋a 21a 22＋…＋a m 1a m 2，故选C.]12．C [对于①，若第一题答对，则a 1＝1，a 1≥a 2，与题意不符，所以第一题答错，若剩余的9道题有答错的，不妨设第k (k ≥2)道题答错，则a k ≤a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答对，①正确；对于②，若第一道题答错，则a 1＝0，a 1≤a 2，与题意不符，所以第一题答对，若剩余的9道题有答对的，不妨设第k (k ≥2)道题答对，则a k ≤a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答错，②正确；对于③，设前5道题答对x 道题，后5道题答对y 道题，则由a 5＝2a 10得x5＝2·x ＋y 10，解得y ＝0，即当后5道题均答错时，a 5＝2a 10，③正确．综上所述，正确结论的个数为3，故选C.] 13．四解析因为a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以a ＝1.所以z ＝1－i 对应的点在第四象限． 14．[－2，－1]解析若x ∉[－2,2]，则f (x )＝2∉[14，12]，不合题意；当x ∈[－2,2]时，f (x )＝2x ∈[14，12]，得x ∈[－2，－1]． 15．45解析由题意不难找出规律，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，m 增加1，累加的奇数个数便多1，我们不难计算2015是第1008个奇数，若它是m 的分解，则1至m －1的分解中，累加的奇数一定不能超过1008个． ∴1＋2＋3＋…＋(m －1)<1008,1＋2＋3＋…＋(m －1)＋m ≥1008，即m (m －1)2<1008，m (m ＋1)2≥1008，解得m ＝45. 16．23(23＋105(n －1)，n ∈N *均可)解析由题意可得物体的个数为3m ＋2＝5n ＋3＝7k ＋2，m ，n ，k ∈N *，所以物体的个数可以是23. 17．解 (1)∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ＝－34－14i ，∴z ·z ＝(－34＋14i)(－34－14i)＝316＋116＝14. (2)由已知得，z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ，即z ＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－i 2.(3)原式＝[(21－i )2]1008＋(1＋i 1－i )6＝(2－2i )1008＋i 6＝i 1008＋i 6＝i 4×252＋i 4＋2＝1－1＝0.18．解 (1)g →7→7＋12＝4→d ；o →15→15＋12＝8→h ；d →4→42＋13＝15→o. 则明文good 的密文为dhho. (2)逆变换公式为x ＝⎩⎨⎧2x ′－1(x ′∈N ，1≤x ′≤13)，2x ′－26(x ′∈N ，14≤x ′≤26)，则有s →19→2×19－26＝12→l ； h →8→2×8－1＝15→o ； x →24→2×24－26＝22→v ； c →3→2×3－1＝5→e. 故密文shxc 的明文为love.19．解 (1)∵D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.∴第一步：从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入，共有5种方法，第二步：从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算，共有2种方法， ∴该运算共有f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)，g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，g (5)，10种方法，而满足y ＝4的有f (1)，g (2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y ＝4的概率P ＝210＝15.(2)输出结果是奇数有以下几种情况：f (2)，f (4)，g (1)，g (3)， g (5)，共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率 P ＝510＝12.20．证明 ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ＞k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1，要证当n＝k ＋1时不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，得2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，当n ∈N *时，不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1成立．21．解猜想：在四面体ABCD 中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.证明：如图所示，连接并延长BE ，交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD ，又AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.∵CD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥CD ，又AE ⊥CD ，AB ∩AE ＝A ，AB ⊂平面ABF ，AE ⊂平面ABF ，∴CD ⊥平面ABF ，又AF ⊂平面ABP ，∴在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2，∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.22．(1)证明假设a ∥b ，则a ＝k b (k ≠0，k ∈R )，有⎩⎨⎧cos x ＋sin x ＝k (cos x －sin x )， ①sin x ＝2k cos x ，②将②代入①，整理得cos x (1＋2k )＝k cos x (1－2k )，即cos x (－2k 2－k －1)＝0，∵－2k 2－k －1＜0恒成立，∴cos x ＝0，代入②得sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾．∴向量a 与向量b 不可能平行．(2)解由题知f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2(22cos2x ＋22sin2x )＝2sin(2x ＋π4)，∵－π4≤x ≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f (x )有最小值－1.。

2017_2018学年高中数学第一章推理与证明学业质量标准检测新人教A版选修1_2

第一章推理与证明时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过对随机变量K2的研究，得到了若干个临界值，当其观测值k≤2.072时，对于两个事件A与B，我们认为导学号 18674085( C )A．有95%的把握认为A与B有关系B．有99%的把握认为A与B有关系C．没有充分理由说明事件A与B有关系D．确定事件A与B没有关系[解析]依临界值表排除A、B，选项D不正确，故选C．2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x ＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是导学号 18674086 ( D )A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm以下D．身高在145.83cm左右[解析]线性回归方程只能近似描述，不是准确值．3．某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是导学号 18674087( C )C．97.5% D．99.5%[解析]∵K2＝6.023>5.024，故其可信度为97.5%.4．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施导学号 18674088( A )A．有关C．关系不明确D．以上都不正确[解析]由公式计算得K2＝100× 48×12－38×2 250×50×86×14≈8.306>6.635，则认为“实验效果与教学措施有关”的概率为0.99.5．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：临界值表：根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是导学号 18674089 ( C )A．97.5% B．99%C．99.5% D．99.9%[解析]∴7.879<K2≈8.12<10.828，故有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别之间有关系．6．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是导学号 18674090( A )[解析]题图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．故选A．7．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是导学号 18674091( D ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[解析] y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ＝b ^x ＋a ^中，x 的系数b ^>0(或b ^<0)，故①④错．8．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表2，则与性别有关联的可能性最大的变量是导学号 18674092( D )表1A ．成绩 C ．智商D ．阅读量[解析] 因为K 21＝52× 6×22－14×10216×36×32×20＝52×8216×36×32×20， K 22＝52× 4×20－16×12 216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，K 23＝52× 8×24－12×8 216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，K 24＝52× 14×30－16×2 216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则K 24>K 22>K 23>K 21，所以阅读量与性别有关联的可能性最大． 9．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过导学号 18674093( D ) A ．(2,2)点 B ．(1.5,0)点 C ．(1,2)点D ．(1.5,4)点[解析] 计算得x ＝1.5，y ＝4，由于回归直线一定过(x ，y )点，所以必过(1.5,4)点．10．下面是调查某地区男女中学生是否喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从下图可以看出导学号 18674094( C )A ．性别与是否喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生中喜欢理科的比为60%[解析] 从图中可以看出，男生喜欢理科的比例为60%，而女生比例为仅为20%，这两个比例差别较大，说明性别与是否喜欢理科是有关系的，男生比女生喜欢理科的可能性更大一些．11．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d，得K 2＝110× 40×30－20×20 260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确的结论是导学号 18674095( C )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”12．以下关于线性回归的判断，正确的个数是导学号 18674096( D )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A 、B 、C 点；③已知直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势． A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝bx ＋a ^才是回归直线，∴①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69， ∴③正确；④正确，故选D ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．给出下列实际问题：导学号 18674097 ①一种药物对某种病的治愈率； ②两种药物治疗同一种病是否有关系； ③吸烟者得肺病的概率； ④吸烟人群是否与性别有关系； ⑤上网与青少年的犯罪率是否有关系．其中，用独立性检验可以解决的问题有__②④⑤__.[解析] 独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事情的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．14．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：导学号 18674098__0.001__ [解析] 可计算K 2的观测值k ＝11.377>10.828.15．在2016年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：导学号 18674099通过分析，y 对商品的价格x 的回归直线方程为 y ^＝－3.2x ＋40 .[解析] ∑i ＝15x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑i ＝15(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －－b ^x －＝40，故回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40.16．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：导学号 18674100由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为__70__杯．(已知回归系数b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b x －)[解析] 根据表格中的数据可求得x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ^＝y －－b ^x －＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)考察黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病的关系．调查了457株黄烟，得到下表中数据，请根据数据作统计分析.导学号 18674101附：K 2＝ a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d[解析] K 2＝457× 25×142－80×210 2235×222×105×352≈41.61，由于41.61>10.828，说明有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的． 18．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：导学号 18674102(1)计算x 与y (2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验； (3)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，求回归系数． [解析] (1)根据数据可得：x ＝77.7，y ＝165.7，∑10i ＝1x 2i ＝70 903，∑10 i ＝1y 2i ＝277 119，∑10i ＝1x i y i ＝132 938，所以r ＝0.808，即x 与y 之间的相关系数r ≈0.808.(2)因为r >0.75，所以可认为x 与y 之间具有线性相关关系． (3)b ^＝0.398，a ^＝134.8.19．(本题满分12分)(2016·江西抚州市高二检测)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：导学号 18674103生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．附：K 2＝n a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d[解析] 将2×2列联表中的数据代入计算公式，得K 2的观测值k ＝100 60×10－20×10 270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下可以认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．20．(本题满分12分)某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试利用列联表和等高条形图判断监督员甲在不在生产现场对产品质量好坏有无影响.导学号 18674104[解析] 根据题目所给数据得如下2×2列联表：所以ad －bc 产品质量好坏有关系．相应的等高条形图如图所示．图中两个阴影部分的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场时样本中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场时样本中次品数的频率明显高于甲在生产现象时样本中次品数的频率．图此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．21．(本题满分12分)(2017·全国Ⅰ文，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：导学号 18674105≈0.212，∑i ＝116i －8.5 2≈18.439，∑i ＝116(x i －x )(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －3s ，x ＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y2，0.008≈0.09.[解析] (1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ＝∑i ＝116x i －xi －8.5∑i ＝116x i －x2∑i ＝116i －8.5 2≈－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①由于x ＝9.97，s ≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －3s ，x ＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为 115(16×9.97－9.22)＝10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.22．(本题满分12分)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：导学号 18674106族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：K 2＝ a ＋b ＋c ＋d ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d，当K 2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K 2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K 2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K 2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)限购令的概率．[解析](1)K2＝40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a、b、c、d、e，其中a、b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de共10种，其中ab、ac、ad、ae、bc、bd、be为有利事件数，因此所求概率P＝710.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题第二章推理与证明 2.3 Word版含解析

数学归纳法
课时过关·能力提升
基础巩固
用数学归纳法证明≥(≥∈*),第一步应验证()
.当时,不等式成立
.当时,不等式成立
.当时,不等式成立
.当时,不等式成立
解析由题知的最小值为,所以第一步验证当时,不等式成立,选.
答案
已知()…,则()
()共有项,当时()
()共有()项,当时()
()共有()项,当时()
()共有()项,当时()
解析由题意知()的最后一项的分母为,
故(),排除选项,选项.
又()…,
所以()的项数为.
故选.
答案
已知为正偶数,用数学归纳法证明…时,若已假设当(≥,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证() .当时,等式成立
.当时,等式成立
.当时,等式成立
.当()时,等式成立
解析因为假设(≥,且为偶数),故下一个偶数为,故选.
答案
用数学归纳法证明不等式…(∈*)成立,其初始值至少应取()
解析左边…,代入验证可知的最小值是.
答案
用数学归纳法证明……,则当时,等式左边应在的基础上加上()
.
.
.
解析当时,左边…,当时,左边….
答案
用数学归纳法证明“当为正奇数时能被整除”,当第二步假设(∈*)命题为真时,进而需证时,命题为真.解析因为为正奇数,所以奇数之后的奇数是.
答案
在用数学归纳法证明“(∈*)能被整除”的过程中,当时,式子()()应变形为.
答案()()
用数学归纳法证明
…<(≥∈*).
分析验证当时不等式成立→假设当时不等式成立→
证明当时不等式成立→结论。

2018-2019学年高中数学推理与证明2.1.1合情推理习题新人教A版

第一章 2.1 2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是( D )①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[解析]由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4．因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D．2．(2018·潍坊高二检测)已知a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110，则数列{a n}的一个通项公式为a n＝( B )A．2n ＋2B．2n n＋C．22n－1D．22n－13．平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比到空间中可以得到( D )A．空间中平行于同一直线的两条直线平行B．空间中平行于同一平面的两条直线平行C．空间中平行于同一直线的两个平面平行D．空间中平行于同一平面的两个平面平行4．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色是( A )○○○●●○○○●●○○○●●A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性较大D ．黑色的可能性较大5．(2018·郑州高二检测)下面使用类比推理，得出的结论正确的是( C ) A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ” B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ” C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n”6．(2017·长春三模)设n ∈N ＋( A ) A ．33…3n 个 B ．33…32n －1个 C ．33…32n －1个D ．33…32n 个[解析]＝102n－19－n－9＝n－29＝10n－13＝33…3n 个个．故选A ．二、填空题7．(2018·聊城模拟)高三某班一学习小组的A 、B 、C 、D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D 在画画．[解析] ∵以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：则由表格知A∵③“C ∴C 在散步，则D 在画画，故答案为画画． 8．观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)． [解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)．三、解答题9．(2018·德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系．[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC ．证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC ． ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE ．∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE ，S △BCD ＝12BC ·DE ．在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD ．10．已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34．请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34．证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋＋2a2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34． B 级素养提升一、选择题1．(2018·金台区期中)下面几种是合情推理的是( B )①已知两条直线平行同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 ③数列{a n }中，a n ＝2n －1推出a 10＝19④数列1,0,1,0，…推测出每项公式a n ＝12＋(－1)n ＋1·12．A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④[解析] ①为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理．②：由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；③是从一般→特殊的推理，是演绎推理．④是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理．故选B ．2．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边长的一半 (3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( C ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)D ．都不对[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．二、填空题3．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则圆的面积S 圆＝πr 2，过点P的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝πab ．类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1．[解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S 椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理．4．观察下列等式：(sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2；(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3；(sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4；(sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5；…… 照此规律，(sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π2n ＋1)－2＝43n (n ＋1)．[解析] 根据已知，归纳可得结果为43n (n ＋1)．三、解答题 5．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2．类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ，S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…，S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1．将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n ．由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1n3＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n n ＋n ＋6．6．(2018·隆化县高二检测)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[解析] 如图(1)所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2．又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2． ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2．类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ．则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2．如图(2)，连接BE 延长交CD 于F ，连接AF ．∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD ．而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF ．在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2．在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2 ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．C 级能力拔高已知椭圆具有如下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，写出具有类似的性质，并加以证明．[解析] 类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设M (m ，n )，P (x ，y )，则N (－m ，－n )，因为点M (m ，n )在双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2．同理，y 2＝b 2a2x 2－b 2．则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。

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2017-2018学年度xx学校xx月考卷
一、选择题(共15小题,每小题5.0分,共75分)
1.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
2.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有()
A． 3颗
B． 5颗
C． 10颗
D． 27颗
3.平行于同一直线的两直线平行，∵a∥b，b∥c，
∴a∥c.这个推理称为()
A．合情推理
B．归纳推理
C．类比推理
D．演绎推理
4.如图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第1个图中有4根火柴棒，第2个图中有7根火柴棒，则在第51个图中有火柴棒()
A． 150根
B． 153根
C． 154根
D． 156根
5.用数学归纳法证明不等式(1＋2＋3＋…＋n)(1＋＋＋…＋)≥n2＋n－1成立，初始值n 0至少应取()
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
6.[x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]＝3.
S 1＝＝3，
S 2＝＝10，
S 3＝＝21，
…，依此规律，那么S10等于()
A． 210
B． 230
C． 220
D． 240
7.观察如图数表规律，可得从数2 013到2 014的箭头方向是()
A．
B．
C．
D．
8.在演绎推理“因为平行四边形的对角线互相平分，而正方形是平行四边形，所以正方形的对角线互相平分．”中“正方形是平行四边形”是“三段论”的()
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．其他
9.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r等于()
A．
B．
C．
D．
10.把长为8 cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6 cm2，则打开后梯形的周长是()
A． (10＋2) cm
B． (10＋) cm
C． 22 cm
D． 18 cm
11.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于()
A． 1
B． 2
C． 3
D． 0
12.将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，…，点(0,1)处标7，…，依此类推，则标签2 0152的格点的坐标为()
A． (1 008,1 007)
B． (1 007,1 006)
C． (1 007,1 005)
D． (1 006,1 005)
13.若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是()
A．a2＋b2＋c2≥2
B． (a＋b＋c)2≥3
C．＋＋≥2
D．abc(a＋b＋c)≤
14.观察下列不等式：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
1＋＋＋＋<，
….
照此规律，第五个不等式为1＋＋＋＋＋<()
A．
B．
C．
D．
15.观察下面关于循环小数化分数的等式：＝，＝＝，
，，据此推测循环小数，可化成分数
()
A．。

2018届高中数学人教A版 推理与证明单元测试(Word版,含答案)17