2.1_平面向量的实际背景及基本概念_基础

2.1平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量. 4．理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2.向量的表示方法:(1)字母表示法:如,,,a b c等.(2)几何表示法:以A 为始点，B 为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB 表示向量，通常我们就说向量AB .要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．要点三：向量的有关概念1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 要点诠释：（1）向量a 的模||0a．（2）向量不能比较大小，但||a是实数，可以比较大小．2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的．3．单位向量:长度等于1个单位的向量. 要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量:长度相等且方向相同的向量. 要点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 要点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:0与任一向量共线.要点诠释：1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【典型例题】类型一：向量的基本概念例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？ （1）密度；（2）浮力；（3）风速；（4）温度．【思路点拨】抓住向量的两个特征：长度和方向进行辨析．【解析】浮力和风速既有大小又有方向，所以是向量，其他的量只有大小没有方向，不是向量．故（2）（3）是向量，（1）（4）不是向量．【总结升华】 实际问题中的一些量，如温度、电量等，尽管它们有正、负之分，但没有方向，故表示数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．向量和数量是有本质区别的两个概念． 举一反三：【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（ ）A ． 质量B ． 速度C ．位移D ．力 【答案】 A 例2．（2015春 山东梁山县期中）下列说法： ①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行； ③共线向量一定相等； ④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量． 其中，说法错误的是________． 【答案】①②③⑤⑥【解析】①平行向量不一定相等，因此①不正确； ②不相等的向量可能平行，因此②不正确； ③共线向量不一定相等，因此③不正确； ④相等向量一定共线，正确；⑤长度相等的向量不一定是相等向量，因此⑤不正确；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量，不一定正确．例如：给出不共线的非零向量a ，b，它们都与0 平行，此时a ，b不共线．综上可得：说法错误的是①②③⑤⑥． 故答案为：①②③⑤⑥举一反三：【变式1】判断下列命题的正误： （1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若向量a 与向量b 不共线，则a 与b都是非零向量；（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量。

（6）若非零向量,AB CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线；（7）共线的向量一定相等； （8）相等的向量一定共线． 【答案】√√√××××√【变式2】下列说法正确的个数是( )①向量//AB DC，则直线//AB 直线;CD②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量AB 既是有向线段AB ；④在平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =.A.0个B.1个C.2个D.3个 【答案】C类型二：向量的表示方法例3．在如图所示的坐标系中，用直尺和圆规画出下列向量．（1）||3OA =，点A 在点O 正西方向；（2）||OB =B 在点O 北偏西45°方向；（3）||2OC =，点C 在点O 南偏东60°方向．【解析】 如图所示．【总结升华】准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．例4．如下图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：(1)与向量HG相等的向量；(2)与向量HG平行的向量；(3)与向量HG模相等的向量；(4)与向量HG模相等、方向相反的向量．【解析】(1)与向量HG 相等的向量有EF.(2)与向量HG 平行的向量有EF 、FE 、AC、CA 、GH .(3)与向量HG 模相等的向量有GH 、EF 、FE.(4)与向量HG 模相等、方向相反的向量有GH 、FE.举一反三：【变式1】（2016 安徽泗县月考）如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点和终点的向量中，（1）找出与向量EF相等的向量； （2）找出与向量DF共线的向量．【解析】（1）∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点， ∴EF ∥BA ，且12EF BA =， 又D 是BA 的中点，∴EF BD DA == ，∴与向量EF 相等的向量是,BD DA；（2）∵D ，F 分别为BA ，AC 的中点， ∴DF ∥BC ，且12DF BC =， 又E 是BC 的中点，∴DF BE EC == ，∴与向量DF 相等的向量是,BE EC．【变式2】（1）与向量OA相等的向量有多少个？并把这些向量写出来． （2）是否存在与向量OA长度相等、方向相反向量？ （3）与向量OA共线的向量有哪些？【解析】（1）3个 CB 、DO 、EF （2）存在 AO 、OD 、FE 、BC（3）向量OA 共线的向量有：AO 、BC 、CB 、OD 、DO 、EF 、、、FE AD DA ．类型三：利用向量相等或共线进行证明例5．如图所示，四边形ABCD 中，AB DC =，N 、M 分别是AD 、BC上的点，且CN MA =．求证：DN MB = ．【思路点拨】证明DN MB =，要证明这两个向量的方向相同和大小相等． 【证明】 ∵AB DC = ，∴||||AB DC =且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴||||DA CB =且DA ∥CB ．又∵DA 与CB的方向相同，∴CB DA = ．同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM NA =．∵||||CB DA = ，||||CM NA = ，∴||||MB DN =，又DN 与MB 的方向相同，∴DN MB = ．【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系．若AB DC = ，则||||A B D C =且AB ∥CD ． 举一反三：【变式1】（2015 湖南芙蓉区模拟）在△ABC 所在平面上有一点P ，使得PA PB PC AB ++=，试判断P 点的位置．【解析】∵PA PB PC AB ++= ，∴PA PC AB PB AB BP AP +=-=+=，∴2PC AP PA AP =-= ，所以AP 与PC共线，即点A ，P ，C 共线，故点P 为线段AC 的三等分点处（靠近点A ）．【巩固练习】1．下列物理量中不是向量的个数是（ ）．（1）质量 （2）速度 （3）力 （4）加速度 （5）路程 （6）密度 （7）功 （8）电流强度 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．下列说法中错误的是（ ）．A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等3．（2016 合肥月考）设O 是正△ABC 的中心，则向量 AO ，OB ，OC是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．平行向量C ．模相等的向量D ．相等向量4．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA共线的向量共有()A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个5．（2015春 浙江安吉县期中）设O 为等边三角形ABC 的中心，则向量AO ，OB ，OC是（ ）A ．有相同起点的向量B ．平行向量C ．模相等的向量D ．相等向量6．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）． A ．一条线段 B ．一段圆弧 C ．圆上一群孤立的点 D ．一个半径为1的圆7．四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，HE 与CG 相交于点M ，则下列关系不一定成立的是()A ．|AB |＝|EF|B. AB 与FH共线 C.BD 与EH共线D.DC 与EC共线8．下列命题正确的是( )A ．向量a 与b 共线，向量b 与c 共线，则向量a 与c共线 B ．向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c不共线C ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线D ．向量a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量9．对于下列命题：①相反向量就是方向相反的向量；②不相等的向量一定不平行；③相等的向量一定共线；④共线的单位向量一定相等；⑤共线的两个向量一定在同一条直线上。