2018届天津市第一中学高三下学期第五次月考数学(文)试题
2025届江苏省徐州市第一中学高三下学期第五次调研考试语文试题含解析
2025届江苏省徐州市第一中学高三下学期第五次调研考试语文试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
1、阅读下面的诗歌，完成下面小题。
月下［俄］费特我和你一道漫步，在月亮的清辉里。
我的心快醉了，在神秘的沉默里。
池塘像一块闪亮的明镜，小草在呜咽不息，磨坊、小河和远处都已沉浸在月亮的清辉里。
能够悲伤？能够不活着？在这迷人的世界。
我们静静地走着，在月亮的清辉里。
1．下列对本诗相关内容的理解，不正确的一项是（A．“我和你一道漫步”，此句交代了人物和事件，从诗歌内容看“你”可以是“我”相恋的爱人。
B．“在神秘的沉默里”，“神秘的沉默”这个短语让读者联想到二人散步时气氛静谧、欢愉而融洽。
C．“磨坊、小河和远处都已沉浸／在月亮的清辉里”，诗意拓展，转人到对美好自然风景的描绘。
D．“我们静静地走着／在月亮的清辉里”，由“我和你”转为“我们”，二人的关系更为亲密。
2．下列对本诗艺术特色的分析鉴赏，不正确的一项是A．“池塘像一块闪亮的明镜”，运用了比喻修辞，“闪亮的明镜”生动贴切地描绘了池塘的平静。
B．“小草在呜咽不息”，赋予小草以人的行为特征，表现了悲伤、凄凉的情感，营造了忧伤的氛围。
C．“能够悲伤？能够不活着？”，使用反问语气，诗歌的节奏略为加快，强调了对生活的热切之情。
D．这首诗歌描绘了在月下美景中散步的所见所闻所感，语言优美，风格轻快而柔美，并富有音乐性。
3．“我的心快醉了”中“醉了”一词有什么妙处？请结合全诗进行分析。
4．“在月亮的清辉里”这句在诗中出现了三次，请问有什么艺术效果？2、阅读下面的文字，完成下面小题。
杜甫之所以能有集大成之成就，是因为他有可以集大成之容量。
而其所以能有集大成之容量，最重要的因素，乃在于他生而禀有一种极为难得的健全才性——那就是他的博大、均衡与正常。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ， 即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ， 即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件， 故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<， 所以a c b <<， 故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =， 由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （ ）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾． 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（ ） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=， 故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（ ）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个 【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确； 对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确， 故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题 分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象： 当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______． 【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==， 所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=， 因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2． 故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为 ；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为 ．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系， 因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=． （2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1． 故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=． （1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ． 【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥， 又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)， 所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)， 设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-， 由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)， 设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=， 则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭， 即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+， 所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >， 所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=， 经检验满足212b >， 所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ； （3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解． 【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==， 则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ． 设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围； （3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-， 由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-． （2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立， 即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立； 当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥， 令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零， 故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥． 综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--， 因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=， 又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=， 所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=， 因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减， 故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。
天津市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(附答案)
天津一中2018-2019-2 高一年级数学学科模块质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100 分，考试用时90 分钟。
第I 卷1 页，第II 卷至2 页。
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
一．选择题1.以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,且a cos B = ( 2c - A ，则角A 的大小为（）ππππA．B．C．D．6 4 3 23.在∆ABC 中，若AB ⋅AC = 2 且∠BAC = 30 ，则∆ABC 的面积为（）A B．C D4.设α、β、γ为平面，为m、n、l 直线，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β,α⋂β=l, m ⊥l ，则m ⊥β B．若α⋂γ=m,α⊥γ, β⊥γ，则m ⊥βC．若α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α，则m ⊥β D．若n ⊥α,n ⊥β, m ⊥α，则m ⊥βB．C．D．2 3 4 151 1 1 1 1 1A．13B．23C．43D．26．点G 为∆ABC 的重心，AB = 2, BC =1, ∠ABC = 60 ，则AG ⋅CG =（）A．-59B．-98C．59D．197.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点O 是正方形ABCD 的中心，关于直线A1O 下列说法正确的（）A．A1O / / D1C B．A1O / / 平面B1CD1C．A1O ⊥BC D．A1O ⊥平面AB1D18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等, 则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A．39.平行六面体ABCD -A B C D 的底面ABCD 是菱形，且∠C CB =∠C CD =∠BCD = 60 ，CD = 2, C C =3 ，则二面角C-BD -C 的平面角的余弦值为（）1 2 1A．12B．13C3D310．如图，在 ∆ABC 的边 AB 、AC 上分别取点 M 、N ，使AM = 1 AB , AN = 1 AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = λ PN , PM = μCP ，3 2则 λ的值为（ ） μA ． 83B ． 38C ． 16D ． 6二．填空题11．已知向量 a , b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a + b |=，则 | 2a - b |=．12 如图， PA ⊥ 平面ABC ， ∠ACB = 90 且PA = AC ，AC = 2BC ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于．13.如图,在直棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = AA 1 = 2 , 则二面角 A 1 - BC 1 - C 的平面角的正弦值为．14.在 △ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 2b (2b - c ) cos A = a 2 + b 2 - c 2 ，则内角 A 的值为 ．15.已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB 1 的中点，则点 B 1 到平面 ADE 的距离为．16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠BAD = π， AB = AD = 2 ，若 M 、N3分别是边 AD 、BC 上的动点，满足 AM = λ AD ， BN = (1 - λ )BC ，其中λ ∈ (0,1) ，若 AN ⋅ BM = -2 ，则 λ 的值为 ．Nα 1 αα17. 设f (α) =m ⋅n ,其中向量m = ( n = (2 in , cos-1) .2 4 2（1）若f (α) =-1 ,求cos( π-α) 的值；3 2（2）在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,若a cos B +b cos A + 2c ⋅ cos C = 0 ,求函数f ( A) 的取值范围.18. 如图，在几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD , E 为AB 中点.（1）求证：AN / / 平面MEC ；（2）求证：AC ⊥BN .19．如图1 所示，在矩形ABCD 中，AB = 2 A D = 4 ，E 为CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，如图2 所示，O、H、M 分别为AE、BD、AB 的中点，且DM = 2 .（1）求证：OH / / 平面DEC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面ABCE .20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O、E 分别是AD、AB 的中点，AB = 6, AP =5，∠BAD = 60 . （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的正切值。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（ ） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，， 【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解 【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð， 故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--， 若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>， 因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解 【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数， 所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-， 得2m =-， 故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（ ） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>， 则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立． 令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-， 令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0， 故0a ≤，即实数a 的最大值为0． 故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增， 所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <， 要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12． 如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-， 则()2122f x x x =-+． 如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <， 所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1． 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令99090x -=，则20x =（立方米）， 故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______． 【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-， 则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数， 则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-， 又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ， 所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>， 则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+， 当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得； （2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==， 因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②， 由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ， 所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =， 经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根， 即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增， 且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤， 解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可； （2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=． 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=， 所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意． 当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立． 综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数． 【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x． 设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增； 所以，当1x >时，min [()]==g x g a ， 因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ， 故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ， 所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ， 则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数． 又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号． 因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ， 结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x， 所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ． 由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ． 因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2018~2019学年天津市第一中学初三上10月份月考数学试卷
B. 或
C.
D. 不能确定
10. 若关于 的一元二次方程
A.
C.
且
有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）．
B.
且
D.
且
11. 如图，当 时
与
A.
在同一坐标系内的图象可能是（ B.
）．
C.
D.
12. 如图，已知抛物线
和直线
．我们约定：当 任取一值时 对应的函数值分别
为 、 ，若
，取 、 中的较小值记为 ．若
（共66分）
19. 解下列方程 （1） （2） （3） （4）
． ． ．
．
20. 回答问题： （ 1 ）不解方程，求方程 （ 2 ）求证：无论 取何值，方程
的两个根 、 的和与积． 总有两个不相等的实数根．
21. 用 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的
15. 拋物线的顶点为
，与 轴交于点
，则该抛物线的解析式为
．
16. 已知点
，
为
．
，
在函数
的图象上，则 ， ， 的大小关系
17. 已知抛物线
的顶点在坐标轴上，则 的值为
．
18. 如图，二次函数
（
列结论：①
；②
；③
的结论是
（填序号）．
）的图象的顶点在第一象限，且过点 和
．下
；④
；⑤当
时， ，期中正确
三、解答题
2018~2019学年10月天津和平区天津市第一中学初三 上学期月考数学试卷
一、选择题
（共36分，每小题3分）
1. 已知一元二次方程
A.
天津市第一中学2019届高三下学期第五次月考英语试题(含答案)
2018--2019--2 天津一中高三年级五月考英语试卷第I 卷（选择题，共95 分）第一部分：英语知识运用（共两节，满分45 分）第一节单项填空（共15 小题；每小题1 分，满分15 分）从A、B、C、D 四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
1. --- He traveled around the world alone when he was sixteen years old. --- Wow, . A. that's really something B. good luck.C. I'm with you on thatD. it's not a big deal2. I felt very happy to get a one-month break from work last year I could travel with my family to Paris.A. whereB. whenC. whichD. that3. I'm never going to guess the answer if you don't give me a .A. orderB. signalC. clueD. outline4. --- I beg your pardon, but I didn’t quite catch you. --- Oh, I myself.A. am talking toB. have talked toC. talked toD. was talking to5. No notice should be of what your mother says --- she's just in abad mood. A. paid B. taken C. required D. needed6. It wasn’t right to me that such near neighbors not know one another.A. couldB. wouldC. shouldD. might7. I heard the news on the radio last night there was a terrible storm on the way. A.that B. which C. how D. where8. My mother often makes a schedule to keep herself of what she is to do duringthe day.A. remindB. to remindC. remindedD. reminding9. you exercise regularly as well, you won’t be able to lose weight only by eating less. A. Once B. When C. If D. Unless10. the tower building, where you can see the whole city.A. Standing on the top ofB. If you climb toC. When you reach the top ofD. Get to the top of11. --- Have you seen a red backpack on this seat?--- I saw a man walking away with , but I am not sure whether it is yours. A.one B. it C. that D. the one12. Make sure you have your passport with you all the time in a foreign country, which wouldcause trouble.A. somehowB. meanwhileC. otherwiseD. anyway13. All the students felt discouraged because the exercise was the abilities of most of the class.A. underB. beyondC. againstD. over14. --- Ms. Smith, thank you for inviting us. The food you cooked is very delicious. ---_.A. I practice every dayB. I am glad you like it.C. No, I d on’t think soD. Well, it’s not good enough15. Now the flowers look healthy again. I figure that they would have died if I them two days ago.A. don't waterB. didn't waterC. hadn't wateredD. haven't watered第二节完形填空（共20 小题；每小题1.5 分，满分30 分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从31-50 各题所给的四个选项A、B、C、D 四个选项中，选出最佳选项。
天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)
天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（ ）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（ ）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解 （2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。
天津市实验中学2024-205学年高三上学期第二次月考试题 地理试题
2025届高三年级第二次质量调查地理学科试卷命题人：高三地理备课组审核人：高三地理备课组一、单选题(共20题, 每题3分, 共60分)下图为世界两岛屿位置示意图。
据此完成下列小题。
1. 乙岛位于甲岛的什么方向( )A. 西北B. 东北C. 西南D. 东南2. 关于两岛的描述正确的是( )A. 甲岛位于东半球B. 乙岛位于西半球C. 乙岛面积比甲岛面积小D. 乙岛东西方向长约57km定向越野运动是指运动员利用地图和指北针到访地图上所指示的各个点标，以最短时间按顺序到达所有点标并到终点者为胜。
某中学组织郊区定向越野活动，图为比赛用地图。
完成下面小题。
3. 关于图中各点标路段的说法正确的是( )A. 1—2路段全程上坡B. 3标点处可看见6标点处C. 3—4 路段实际路线长度短于 240米D. 4、5标点处海拔可能相同4. A桥处的河流流向( )A. 自西北向东南B. 自西南向东北C. 自东南向西北D. 自东北向西南下图为“部分地区昼夜分布示意图”(图中阴影部分表示黑夜，其他部分表示白昼)。
读图完成下列各题。
5. 此时北京时间是( )A. 6时B. 8时C. 12时D. 14时6. 下列关于图中的判断，正确的是 ( )A. 该图是以北极点为中心的极地俯视图B. 太阳直射点的坐标是(23°26', 180°)C. 该日是夏至日，甲、乙、丙三地中昼最长的是甲地D. 一年中甲、乙、丙三地昼夜长短变化幅度最小的是乙地下图为“伦敦时间12月22日6:00, B地(30°N, 90°E)垂直上方的俯视图”，图中的外圈为以B为中心的圆，此时C地太阳高度为0°。
完成下面小题。
7. 此时与B 地同日期的范围大致占了全球的( )A. 1/4B. 1/2C. 2/3D. 3/48. 此时A、B的太阳高度差为 ( )A. 23.5°B. 36.5°C. 47°D. 53.5°草莓是一种酸甜多汁的水果，也是日常生活中的常见水果，现在很流行采摘体验式旅游观光，于是越来越多的农户选择大棚栽种草莓，这样既可以种植销售也能方便游客观光。
2023届天津市南开中学高三第五次月考生物试题(解析版)
2023届天津市南开中学高三第五次月考生物试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列对图示有关实验的说法中正确的是A．用菠菜做色素提取与分离实验，含量最高的是甲图中色素带①B．若乙图表示正在发生质壁分离的植物细胞，其吸水能力逐渐减弱C．丙图中培养酵母菌的锥形瓶应封口放置一段时间，目的是让酵母菌繁殖D．丁图表示洋葱根尖的培养，洋葱底部必须接触到烧杯内液面【答案】D【分析】分析图甲：色素带①到①依次是胡萝卜素、叶黄素、叶绿素a、叶绿素b。
分析图乙：该细胞中细胞壁与原生质层已经分开，可能处于质壁分离状态，也可能处于质壁分离的复原状态或动态平衡状态。
分析图丙：图中酵母菌进行的是无氧呼吸，产物是酒精和二氧化碳。
分析图丁：表示洋葱根尖的培养，洋葱底部要接触到烧杯内液面，以便供给植物水分，利于根尖的生长。
【详解】A、秋天用黄色菠菜叶做色素提取与分离实验，含量最高的是甲图中色素带①，如果用绿色的叶片，色素含量最高的是甲图中色素带①，A错误；B、若乙图表示正在发生质壁分离的植物细胞，细胞内溶液浓度逐渐增大，其吸水能力逐渐增强，B错误；C、丙图中培养酵母菌的锥形瓶应封口放置一段时间，目的是消耗瓶中的氧气，保证酵母菌后面进行的是无氧呼吸，C错误；D、丁图表示洋葱根尖的培养，洋葱底部必须接触到烧杯内液面，这样才能保证水分的供应，D正确。
故选D。
2．微管是构成细胞骨架的重要组分，参与细胞内物质运输、细胞迁移、极性建立和形态维持等多种生命活动。
细胞中的微管具有多种多样的形态和结构，如下图所示，下列与微管有关的说法正确的是（）A．中心体和纺锤体等都是由微管参与构成的B．由纤维素构成的微丝微管是细胞骨架的重要结构C．通过药物抑制微管的形成使有丝分裂停止在后期D．微管和内质网分别相当于囊泡运输的高速公路和交通枢纽【答案】A【分析】微管是构成细胞骨架的重要组分，参与细胞内物质运输﹑细胞迁移、极性建立和形态维持等多种生命活动。
天津市第一中学2023-2024学年高三下学期第四次月考试题语文含答案
天津一中2023-2024-2高三年级语文学科第四次月考本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟考生务必将答案涂写在答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！I卷（共33分）一、阅读下面的文字，完成1-3题，共9分。
随着生成式人工智能的发展，数字人正在成为电商界的新宠。
数字人虚拟主播拥有栩栩如生的面容、（）的表情、悦耳的声音，大有替代真人主播的架势。
成本更低成为虚拟主播受到热捧的驱动力。
数字人能24小时不间断直播，帮助商家（）零散时段的流量，部分场景下的带货数据（）。
但据此就得出“数字人吃上了主播饭”的结论还为时尚早。
数字人口型对不上、音画不同步、问答反馈慢……这些客观存在的痛点都指向一个问题，就是虚拟主播。
1.依次填入上文三个括号处的词语，最贴切的一项是（）A.多变抓取精彩绝伦B.丰富捕获可圈可点C.丰富赚取精彩绝伦D.多变捕捉可圈可点2.上文画线句有语病，下列修改最恰当的一项是（）A.成本更低以至虚拟主播受到热捧B.成本更低导致虚拟主播受到热捧C.成本更低赢得虚拟主播受到热捧D.成本更低是虚拟主播受到热捧的驱动力3.将下列短语依次填入上文横线处，衔接自然的一项是（）A.交互性不足、缺乏真实感，影响了买家的消费体验B.真实感缺乏、交互性不足，影响了买家的消费体验C.真实感不足、缺乏交互性，影响了买家的消费体验D.影响了买家的消费体验—一缺乏真实感、交互性不足二、阅读下面的文字，完成4-6题，共9分。
材料一：（摘编自费孝通《乡土中国》第四章“差序格局”思维导图）材料二：《乡土中国》中“差序格局”一词高度概括了中国传统的社会结构、人际关系的逻辑和传统文化的特点，具有丰富的文化意蕴和鲜明的社会特征。
一是差序格局的等级性。
差序格局中的“序”，有等级之意。
在儒家文化中，我国社会结构尤为注重人伦。
“伦是有差等的次序。
”君臣、父子、夫妇、政事、长幼、上下等都有着严格的伦理界限，不可逾越。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考语文试题及答案
天津一中 2022-2023-1 高三年级语文学科第一次月考（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间150 分钟。
考生务必将答案涂写在答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷（39 分）一、（共24 分，每小题 3 分）阅读下面的文字，完成各题。
“锦江春色来天地，玉垒浮云变古今”。
在岁月沧桑中，成都涌现出多少位卓绝千古的风流人物，上演过多少出的传奇！一代代文人学士地咏歌这片土地的壮丽、丰饶和繁华。
成都，是一座有历史的城市。
三星堆文化的考掘、金沙遗址的横空出世，渐次掀开了古代蜀国身上神秘面纱，那些精妙绝伦的青铜神像，太阳神鸟金箔，无一不在向世人炫耀着这片土地上的远古文明，在向世人默默地诉说：中华文明的源头一处，古老的蜀地也曾经是辉煌的中心。
公元三世纪初，这片华．夏．西南的一隅，凭借其得天独厚的山川物产，凭借其济济人才的智勇忠义，书写了一段令人津津乐道的历史。
一千多年前，诗仙李．白．见证了成都当时独领大唐风骚的繁华。
李白是以组诗的形式塑造成都魅像的第一位唐代诗人，他在高歌“九天开出一成都，万户千门入画图”的时候，成都已跻身“扬一益二”的殊荣。
“益”是益州，就是成都。
安史之乱以后，北方经济地位下降，长江流域地位上升。
扬．州．、成都成为全国最繁华的工商业城市。
一座城市，①，就有了底蕴；②，③；④，⑤；有了灵魂，一切都变得生机盎然，欣欣向荣。
成都的气韵，从锦官城的迷蒙细雨中氤氲，从浣．花．溪．畔．的千朵万朵中飘荡，从宽窄巷子的舌尖温情中洋溢，让“诗和远方”成了人们魂萦梦牵的向往。
1.依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A．回肠荡气不厌其烦诡谲不止B．回肠九转不厌其烦诡诞不只C．回肠九转不胜其烦诡谲不止D．回肠荡气不胜其烦诡诞不只2文中画波浪线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A.李白是以组诗的形式塑造成都魅像的第一位唐代诗人，他在高歌“九天开出一成都，万户千门入画图”的时候，成都已跻身“扬一益二”的序列。
重庆市第一中学校2024届高三下学期5月月考测试数学试题(含答案与解析)_6502
重庆第一中学2024届高三下期5月月考试题数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2,3A =，{}2log 1B x x =<，则A B ⋂=R ð（ ）A. {}3B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}0,2,32. 已知{}n a 是实数集内的等比数列，满足21a =，681a =，则4a =（ ） A. 3B. 3-或3C. 9D. 9-或93. 已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面积为（ ） A. 3πB. 12πC. 27πD. 48π4. 已知定义在R 上函数()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()()2log 3x a f x =++，则()3f -=（ ） A. 1B. 1-C. 2D. 2-5. 如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（ ）种.A. 10B. 20C. 60D. 1206. 已知正数a ，b 满足111a b+=，则3ab b +的最小值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 12的7. 已知直线y x =与函数()ln y x a b =++的图象相切（,a b ∈R ），则e a b +（e 为自然对数的底数）的最小值为（ ） A. 0B. 1C. 2D. e8. “四二一广场”是重庆第一中学校文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB 长度为2a （0a >），坐标原点O 为AB 中点且点A ，B 均在x 轴上，若动点P 满足2PA PB a ⨯=，那么点P 的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若1a =，点P 在第一象限且3cos 4POB ∠=，则PA =（ ）A.12B.C.D. 2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知随机变量X 和Y ，下列说法正确是（ ）A. X 和Y 是分类变量，则2χ值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握越大B. 若()()E X E Y =，则()()D X Y D =C. 若1~9,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2D X = D. 若()2~0,Y N σ，则()()11P Y P Y <=>-10. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线两个焦点分别为1F ，2F ，过2F线相交于点P，若12PF F =，则双曲线的离心率可能是（ ）A.B.1+C.1+D.2的的11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法.其基本思想是：通过对待排序序列{}12,,,n x x x 从左往右，依次对相邻两个元素{}1,k k x x +（1k =，2，L，n 1-）比较大小，若1k k x x +>，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{}2,1,4,3进行冒泡排序，首先比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,4,3，然后比较{}2,4，无需交换位置，最后比较{}4,3，又需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,3,4，最终完成了冒泡排序.同样地，序列{}1,4,2,3需要依次交换{}4,2，{}4,3完成冒泡排序.因此，{}2,1,4,3和{}1,4,2,3均是交换2次的序列.现在对任一个包含n 个不等实数的序列进行冒泡排序（3n ≥），设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为n a ，只需要交换1次的序列个数为n b ，只需要交换2次的序列个数为n c ，则下列说法正确的有（ ） A. ()12n n n a -=B. 1n b n =-C. 11n n c c n +=+-D. 222n n n c --=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 的共轭复数是z ，若20242i i z z z ⋅=⋅+，则z =___________. 13. 已知()()cos 2sin f x x x ϕ=++的最大值为3，则tan2ϕ=___________.14. 如图，已知棱长均为4正四棱锥P -ABCD 中，M 和N 分别为棱AB 、PC 的中点，过M 和N 可以作平面α使得//PB α，则平面α截正四棱锥P -ABCD 所得的截面面积为___________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb -=. （1）求A 的大小；的（2）若sin 3sin C B =，BC 边上的中线AD，求ABC 的面积.16. 在一种新能源产品的客户调查活动中发现，某小区10位客户有4人是该产品的潜在用户，小刘负责这10人的联系工作，他先随机选择其中5人安排在上午联系，剩余5人下午联系. （1）设上午联系的这5人中有ξ个潜在用户，求的ξ分布列与期望；（2）小刘逐一依次联系，直至确定所有潜在用户为止，求小刘6次内即可确定所有潜在用户的概率. 17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -侧棱长为2，2AC =，AB BC =，D ，E ，F 分别为11A B ，1BB ，BC 的中点.（1）证明：平面DEF ⊥平面11ACC A ；（2）若直线DE 与平面ABC 所成的角大小为π4，求二面角A DE F --的余弦值. 18. 已知()2,0F -，()3,0A ，直线l ：92x =-，动点P 到l 的距离为d ，满足32PF d =，设点P 的轨迹为C ，过点F 作直线1l ，交C 于G ，H 两点，过点F 作与1l 垂直的直线2l ，直线l 与2l 交于点K ，连接AG ，AH ，分别交直线l 于M ，N 两点. （1）求C 的方程； （2）证明：KN KM =；（3）记GMK ，HNK 的面积分别为1S ，2S ，四边形AGKH 的面积为3S ，求312S S S +的范围.19. 函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数()f x 在0x x =处的极限定义如下：0∀ε>，存在正数δ，当00x x δ<-<时，均有()f x A ε-<，则称()f x 在0x x =处的极限为A ，记为()lim f x A =，例如：()2f x x =在1x =处的极限为2，理由是：0∀ε>，存在正数2εδ=，当01x δ<-<时，均有222122x x εε-=-<⨯=，所以()lim 22x =.已知函数()()2e g x a x=-，的()(]()()ln ,0,e ,e,xx h x x g x x ∞⎧∈⎪=⎨⎪∈+⎩，（0a >，e 为自然对数的底数）.（1）证明：()g x 在e x =处的极限为e a ；（2）若21e=a ，()()12h x h x =，12x x <，求1112x x x ⋅的最大值； （3）若()e lim x A f x →=，用函数极限的定义证明：()()()elim e x f x x g A a →+=+. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2,3A =，{}2log 1B x x =<，则A B ⋂=R ð（ ）A. {}3B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}0,2,3【答案】D 【解析】【分析】解对数不等式求出集合B ，然后由集合的补集运算和交集运算可得. 【详解】由2log 1x <解得()0,2B =，所以(][),02,B ∞∞=-⋃+R ð， 所以{}0,2,3A B ⋂=R ð. 故选：D2. 已知{}n a 是实数集内的等比数列，满足21a =，681a =，则4a =（ ） A. 3 B. 3-或3C. 9D. 9-或9【答案】C 【解析】【分析】由等比中项的性质即可求解.【详解】由等比中项可得，242681a a a ==，又22420a a q q ==>， 于是49a =. 故选：C.3. 已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面积为（ ） A. 3π B. 12πC. 27πD. 48π【答案】B 【解析】【分析】由轴截面正三角形可得2,l r h ==，进而由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等可求半径，从而可得圆锥的底面积. 【详解】几何体如图所示：因为轴截面PAB 是正三角形，所以2,l r h ==.圆锥的侧面积等于2π2πrl r =，圆锥的体积等于231π3r h r =，由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，得232ππr r =，得r =. 故圆锥的底面积为2π12πr =. 故选：B.4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()()2log 3x a f x =++，则()3f -=（ ） A. 1 B. 1-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，所以()00f =，由此可得a 的值，进而由()3f 可得()3f -的值.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2log 003a f =+=， 解得2log 3a =-，则()()22log 3lo 3g f x x =+-，()222log log 1o 3632l g f ===-，所以()()331f f -=-=-. 故选：B.5. 如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（ ）种.A. 10B. 20C. 60D. 120【答案】A 【解析】【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果. 【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=. 故选：A.6. 已知正数a ，b 满足111a b+=，则3ab b +的最小值为（ ） A. 8 B. 9C. 10D. 12【答案】B 【解析】【分析】将111a b +=变形为ab a b =+，代入3ab b +，再通过常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为111a b+=，所以ab a b =+，所以()114344559b a ab b a b a b a b a b ⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当33,2a b ==时，等号成立，所以3ab b +的最小值为9.故选：B7. 已知直线y x =与函数()ln y x a b =++的图象相切（,a b ∈R ），则e a b +（e 为自然对数的底数）的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. e【答案】C 【解析】【分析】设切点为()00,Q x y ，根据切点在切线和曲线上，以及切点处的导数等于切线斜率，联立求解可得1a b +=，则e e 1a a b a +=-+，构造函数()e 1xf x x =-+，利用导数求最小值即可.【详解】设直线y x =与函数()ln y x a b =++的图象相切于点()00,Q x y ，则()0000ln y x y x a b =⎧⎨=++⎩，所以()00ln x a b x ++=，又()1ln x a b x a '⎡⎤++=⎣⎦+，所以011x a =+，即01x a +=，所以0ln1b x +=，即0b x =，所以1a b +=，所以e e 1a a b a +=-+， 令()e 1xf x x =-+，则()e 1xf x '=-，当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减； 当0x >时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增. 所以，当0x =时，()f x 取得最小值()()min 02f x f ==， 所以e a b +的最小值为2. 故选：C8. “四二一广场”是重庆第一中学校文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB 长度为2a （0a >），坐标原点O 为AB 中点且点A ，B 均在x 轴上，若动点P 满足2PA PB a ⨯=，那么点P 的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若1a =，点P 在第一象限且3cos 4POB ∠=，则PA =（ ） 的A.12B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，根据双纽线的定义求出点P 的轨迹方程，设,OP r POB θ=∠=，则()cos ,sin P r r q q ，代入方程求出OP ，再在POB 中，利用余弦定理求出PB ，即可得解.【详解】()()1,0,1,0A B -，设(),P x y ， 由双纽线的定义得1PA PB ⨯=，1=，化简得()()222222x y x y +=-，显然1OB =，设,OP r POB θ=∠=，则()cos ,sin P r r q q ， 代入方程()()222222x y x y +=-，得()422222cos sin 2cos 2r r r θθθ=-=，所以()22912cos 222cos 1221164r θθ⎛⎫==-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，由余弦定理得22211312cos 1214242PB OP OB OP OB POB =+-∠=+-⨯⨯⨯=，所以PB =，所以1PA PB==. 故选：C.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知随机变量X 和Y ，下列说法正确的是（ ）A. X 和Y 是分类变量，则2χ值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握越大B. 若()()E X E Y =，则()()D X Y D =C. 若1~9,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2D X = D. 若()2~0,Y N σ，则()()11P Y P Y <=>-【答案】CD 【解析】【分析】根据2χ的意义可判断A ；根据平均数与方差的意义可判断B ；由二项分布的方差公式求解可判断C ；由正态分布的对称性可判断D .【详解】对于A ，2χ值越大，X 和Y 有关系的可能性就越大，则“X 与Y 独立”的把握越小，A 错误； 对于B ，平均数相等，数据的分散程度不一定相等，即方差不一定相等，B 错误； 对于C ，若1~9,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()129233D X =⨯⨯=，C 正确； 对于D ，若()2~0,Y N σ，则由正态分布的对称性可知()()11P Y P Y <=>-，D 正确.故选：CD10. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线两个焦点分别为1F ，2F ，过2F线相交于点P ，若12PF F =，则双曲线的离心率可能是（ ）A.B.1+C.1+D.2【答案】AD 【解析】【分析】根据题意，分双曲线的渐近线的斜率ba <和b a>2PF x =，结合余弦定理和双曲线的定义，求得x 的值，进而求得双曲线的离心率，得到答案.【详解】由题意，可得122F F c =，因为12PF F =，则1PF =，设2PF x =，①若双曲线的渐近线的斜率b a <，则2e =<，如图（1）所示，因为过2F 112π3PF F ∠=， 由余弦定理得2222π12422cos3c c x c x =+-⨯⋅⋅，整理得22280x cx c +-=，解得2x c =或4x c =-（舍去），所以1221)a PF PF c =-=-，可得1)a c =-，所以离心率为2c e a ===<，满足题意，所以A 正确；②若双曲线的渐近线的斜率b a >2e =>，如图（1）所示，因为过2F 11π3PF F ∠=， 由余弦定理得222π12422cos3c c x c x =+-⨯⋅⋅，整理得22280x cx c --=，解得4x c =或2x c =-（舍去），所以122(4a PF PF c =-=-，可得(2a c =，所以离心率为22c e a ===+>，满足题意，所以C 正确， 故选：AD.11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法.其基本思想是：通过对待排序序列{}12,,,n x x x 从左往右，依次对相邻两个元素{}1,k k x x +（1k =，2，L，n 1-）比较大小，若1k k x x +>，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{}2,1,4,3进行冒泡排序，首先比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,4,3，然后比较{}2,4，无需交换位置，最后比较{}4,3，又需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,3,4，最终完成了冒泡排序.同样地，序列{}1,4,2,3需要依次交换{}4,2，{}4,3完成冒泡排序.因此，{}2,1,4,3和{}1,4,2,3均是交换2次的序列.现在对任一个包含n 个不等实数的序列进行冒泡排序（3n ≥），设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为n a ，只需要交换1次的序列个数为n b ，只需要交换2次的序列个数为n c ，则下列说法正确的有（ ） A. ()12n n n a -=B. 1n b n =-C. 11n n c c n +=+-D. 222n n n c --=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，不妨设序列的n 个元素为1,2,3,,n ，再根据等差数列前n 项和公式即可判断A ；得出只要交换1次的序列的特征即可判断B ；确定元素1n +在新序列的位置，再分类讨论即可判断C ；结合C 选项，利用累加法即可判断D.【详解】不妨设序列的n 个元素为1,2,3,,n ， 对于A ，交换次数最多的序列为{},1,,2,1n n - ， 将元素n 冒泡到最右侧，需交换n 1-次， 将元素n 1-冒泡到最右侧，需交换2n -次，L故共需要()()()()()1111122122n n n n n n -+---+-+++== ，故A 正确；对于B ，只要交换1次的序列是将{}1,2,3,,n 中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有n 1-个这样的序列，即1n b n =-，故B 正确；对于C ，当n 个元素的序列顺序确定后，将元素1n +添加进原序列， 使得新序列（共1n +个元素）交换次数也是2， 则元素1n +在新序列的位置只能是最后三个位置， 若元素1n +在新序列的最后一个位置，则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有n c 个）， 若元素1n +在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换，故原序列交换次数为1（这样的序列有1n b n =-个）， 若元素1n +在新序列的倒数第三个位置，则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个）， 因此111n n n c c n c n +=+-+=+，故C 错误； 对于D ，考虑3n =时，则序列有{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1共6种情况， 交换次数分别为0,1,1,2,2,3，故需要交换2次的序列有{}{}2,3,1,3,1,2共2个，因此32c =， 由C 知1n n c c n +=+，则()()()123121341n n n c c n c n n c n --=+-=+-+-==++++-()()()2122234122n n n n n +---=++++-==，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：在解根数列新定义相关的题目时，理解新定义是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 的共轭复数是z ，若20242i i z z z ⋅=⋅+，则z =___________. 【答案】i - 【解析】【分析】设i z a b =+，代入条件中，根据复数相等列方程组求解可得.【详解】设i,,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-， 因为()50620244i i 1==，所以()()()2i i i i 1a b a b a b +=+-+，整理得2222i 1b a a b -+=++，所以221220a b b a ⎧++=-⎨=⎩，解得0,1a b ==-，所以i z =-.故答案为：i -13. 已知()()cos 2sin f x x x ϕ=++的最大值为3，则tan 2ϕ=___________.【答案】1- 【解析】【分析】先写出()f x 的展开式，然后利用辅助角公式求最大值，进而得sin 1ϕ=-，从而可得结果. 【详解】()()()cos 2sin cos cos sin 2sin f x x x x x ϕϕϕ=++=+-， 由辅助角公式可得()f x3=，化简得954sin ϕ-=，即sin 1ϕ=-，解得π2π,Z 2k k ϕ=-∈， 所以，()4tanta n 24n ta 1k k ϕππ⎛⎫⎛⎫π-=-=-∈Z ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭. 故答案为：1-.14. 如图，已知棱长均为4的正四棱锥P -ABCD 中，M 和N 分别为棱AB 、PC 的中点，过M 和N 可以作平面α使得//PB α，则平面α截正四棱锥P -ABCD 所得的截面面积为___________.【答案】【解析】【分析】取AP 中点为E ，取BC 中点为F ，易证明//PB 平面EMFN ，再通过取四等分点G ，可证明截的面就是五边形GEMFN ，最后通过证明四边形EMFN 是矩形，再来计算截面的面积即可.【详解】取AP 中点为E ，取BC 中点为F ，连结四点可得四边形EMFN ， 结合题意可知//,//EM PB NF PB ，所以//EM NF ，同理：//,//EN AC MF AC ，所以//EN MF ，即四边形EMFN 是平行四边形， 因为//,EM PB EM ⊂平面EMFN ， PB ⊄平面EMFN ，所以//PB 平面EMFN ， 设MF BD H = ，可得14HB BD =，再在PD 上取点G ，满足14PG PD =，此时//HG PB ，所以//////HG PB EM NF ，可得截面五边形GEMFN ， 由正四棱锥可知：PO ⊥平面ABCD ，且MF ⊂平面ABCD ，所以PO MF ⊥，又因为BD MF ⊥，BD PO O = ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，所以MF ⊥平面PBD ， 又因为PB ⊂平面PBD ，所以MF PB ⊥，又因为//NF PB ，所以MF NF ⊥，从而可得四边形EMFN 是矩形，由正四棱锥所有棱长均为4，可知12MF AC ==122EM PB ==，所以四边形EMFN 的面积为2MF EM ⋅==， 再由14HB BD =，//HG PB ，可知：334HG PB ==又因为2EM =，所以三角形EMG 的面积为()32⨯-=１２，所以截面五边形GEMFN 的面积为+=故答案为：四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb -=. （1）求A 的大小；（2）若sin 3sin C B =，BC 边上的中线AD ，求ABC 的面积. 【答案】（1）2π3；（2） 【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合sin sin cos cos sin B A C A C =+化简可得；（2）根据正弦定理角化边，由()12AD AB AC =+平方可得2b =，6c =，再由面积公式可得. 【小问1详解】由正弦定理边化角得1sin cos sin sin 2A C CB -=， 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2-=+A C C A C A C ，即1sin cos sin 2C A C -=，因为()0,π,sin 0C C ∈>，所以1cos 2A =-，因为()0,πA ∈，所以2π3A =. 【小问2详解】由sin 3sin C B =得3c b =，因为()12AD AB AC =+，AD =， 所以()()2222117244AB AC AB AC c b bc =++⋅=+- ， 所以2229328b b b +-=，即2b =，所以6c =，所以11sin 2622ABC S bc A ==⨯⨯= 16. 在一种新能源产品的客户调查活动中发现，某小区10位客户有4人是该产品的潜在用户，小刘负责这10人的联系工作，他先随机选择其中5人安排在上午联系，剩余5人下午联系.（1）设上午联系的这5人中有ξ个潜在用户，求的ξ分布列与期望；（2）小刘逐一依次联系，直至确定所有潜在用户为止，求小刘6次内即可确定所有潜在用户概率. 【答案】（1）分布列见详解，()2E ξ=（2）43630【解析】【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求出相应概率，即可得分布列，再由期望公式可得期望； （2）6次内确定所有潜在用户有：前4次抽到的全是潜在用户；前4次抽到3个潜在用户，第5次抽到一个潜在用户；前5次抽到3个潜在用户，第6次抽到一个潜在用户，共三种情况，根据组合知识结合古典概型概率公式可得. 【小问1详解】由题知，ξ服从超几何分布，可能取值有0,1,2,3,4，所以()()()504132646464555101010C C C C C C 15100,1,2C 42C 21C 21P P P ξξξ=========， ()()23146464551010C C C C 513,4C 21C 42P P ξξ======.得分布列为：ξ 01 2 3 4P142 521 1021 521 142所以()1510510123424221212142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【小问2详解】记确定所有潜在用户所需要的联系次数为X ，则()()()343544456101010C C C 1114,5,6C 210C 63C 21P X P X P X =========. 所以，6次内即可确定所有潜在用户的概率为111432106321630++=. 17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，2AC =，AB BC =，D ，E ，F 分别为11A B ，1BB ，BC 的中点.的（1）证明：平面DEF ⊥平面11ACC A ； （2）若直线DE 与平面ABC 所成的角大小为π4，求二面角A DE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OB ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，证明两个平面的法向量垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量法求解即可. 【小问1详解】取AC 的中点O ，连接OB ， 因为AB BC =，所以OB AC ⊥，如图，以点O 为原点,OA OB 所在直线为,x y 轴，在平面11ACC A 内过O 作垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系，设OB b =， 则()11,,2,0,,1,,,02222b b D E b F ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()1,,1,1,0,222b DE DF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =，则有102220b n DE x y z n DF x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令2x =，则1,0z y ==， 所以()2,0,1n =，因为y 轴⊥平面11ACC A ，则可取平面11ACC A 的法向量为()0,1,0m =，则0n m ⋅= ，所以n m ⊥ ，所以平面DEF ⊥平面11ACC A ； 【小问2详解】 因为z 轴⊥平面ABC ，则可取平面ABC 的法向量为()0,0,1p =， 因为直线DE 与平面ABC 所成的角大小为π4，所以πcos ,sin4DE p DE p DE p⋅====b =，则()()12,,1,0,02D E A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故111,222DE AD ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的法向量为()111,,q x y z =，则有1111111021202q DE x y z q AD x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =111,0y z ==，所以()q =，所以cos ,n q n q n q ⋅===，由图可知二面角A DE F --锐二面角， 所以二面角A DE F --18. 已知()2,0F -，()3,0A ，直线l ：92x =-，动点P 到l 的距离为d ，满足32PF d =，设点P 的轨迹为C ，过点F 作直线1l ，交C 于G ，H 两点，过点F 作与1l 垂直的直线2l ，直线l 与2l 交于点K ，连接AG ，AH ，分别交直线l 于M ，N 两点. （1）求C 的方程； （2）证明：KN KM =；（3）记GMK ，HNK 的面积分别为1S ，2S ，四边形AGKH 的面积为3S ，求312S S S +的范围.【答案】（1）22195x y +=（2）证明见解析 （3）2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用坐标公式代入32PF d =得到C 的轨迹方程22195x y +=；（2）利用方程组思想，先求出交点1122(,),,()G x y H x y 满足的韦达定理，再利用这两个坐标写直线方程去求出交点()11159,223y M x ⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎝⎭和()22159,223y N x ⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎝⎭，最后利用韦达定理去证明2MN K y y y +=，即可； （3）利用所求的坐标去表示()312=AMN S S S S -+ ，然后把312S S S +转化到韦达定理上来，可得到32221+31S m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，然后求出取值范围即可.小问1详解】为【由()2229329242PF d x y x ⎡⎤=⇒++=+⎣⎦，得到：()22294443681x x y x x +++=++， 即：22225945195x y x y +=⇒+=，所以C 的方程为22195x y +=； 【小问2详解】 证明：要证KN KM =，即证明K 为MN 的中点，如图：易知：1l 的斜率不为0，可设直线方程111222,(,),(,),l x my G x y H x y =-： 联立：221952x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元得：()225920250m y my +--=， 得到()222Δ=400100599009000m m m ++=+>，则1212222025,5959m y y y y m m -+==++， 可得AG 方程为()1133y y x x =--，令92x =-，得到()111523y y x =--， 所以()11159,223y M x ⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎝⎭，同理：()22159,223y N x ⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎝⎭，即()()121212121515152323255M N y y y y y y x x my my ⎛⎫+=--=-+ ⎪----⎝⎭()()221212221212222520252515155959=52520252525255959m m my y y y m m m m m y y m y y m m m m -⎛⎫-⎛⎫ ⎪-+++=-=- ⎪ ⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭-+++⎝⎭， 直线()22l y m x =-+：，令92x =-，得到52K m y =， 所以有2M N K y y y +=，而M N K x x x ==，所以K 为MN 的中点，即KN KM =；【小问3详解】由()12121219191922224S S MK x NK x MN x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()3121219=322AMN S S S S MN S S ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭ ， 得：()()312121212193151522=11119594MN S S S x x m y y MN x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=-=-+++++++ ()2221559112031559m m m m m +=-=-+++ ()22222262322==1+313131m m m m m ++⎛⎫= ⎪+++⎝⎭， 因为22221+,2313m ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥+⎝⎭⎝⎦，所以3122,23S S S ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19. 函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数()f x 在0x x =处的极限定义如下：0∀ε>，存在正数δ，当00x x δ<-<时，均有()f x A ε-<，则称()f x 在0x x =处的极限为A ，记为()lim f x A =，例如：()2f x x =在1x =处的极限为2，理由是：0∀ε>，存在正数2εδ=，当01x δ<-<时，均有222122x x εε-=-<⨯=，所以()lim 22x =.已知函数()()2e g x a x =-，()(]()()ln ,0,e ,e,x x h x x g x x ∞⎧∈⎪=⎨⎪∈+⎩，（0a >，e 为自然对数的底数）.（1）证明：()g x 在e x =处的极限为e a ；（2）若21e =a ，()()12h x h x =，12x x <，求1112x x x ⋅的最大值； （3）若()e lim x A f x →=，用函数极限的定义证明：()()()elim e x f x x g A a →+=+. 【答案】（1）证明见解析（2）2ee e +（3）证明见解析【解析】【分析】（1）要使得()e g x a ε-<，即e x a ε-<，再根据题意即可得证；（2）利用导数求出函数的单调区间，令()()12h x h x m ==，确定m 的范围，再将1112,x x x 分别用m 表示，构造函数，利用导数求出最大值即可；（3）有()e lim x f x A →=结合（1），对任意正数ε，取122εεε==，112212,,δδδδδδδ≤⎧=⎨>⎩，0∀ε>，当0e x δ<-<时，有()()()()()()()e e f x g x A a f x A g x a +-+=-+-，即可得证.【小问1详解】要使得()e g x a ε-<，即()2e e a x a ε--<，即()e a x ε-<，即e x a ε-<，所以0∀ε>，存在整数a εδ=，当0e x δ<-<时，均有()()e e e g x a a x a x a a εε-=-=⋅-<⋅=，所以()elim e x g x a →=； 【小问2详解】 当0e x <≤时，()ln x h x x =，则()21ln 0x h x x '-=≥， 所以函数()h x 在(]0,e 上单调递增， 当e x >时，()()()221212e e e eh x g x x x ==-=-单调递减，因为()()12h x h x =，12x x <，所以120e x x <<<，令()()12h x h x m ==，因为()()1e e eh g ==，0x →时，()h x ∞→-，x →+∞时，()h x ∞→-， 所以1,e m ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()1h x m =，得11ln x m x =，得11ln x mx =，得()111e e x mx m x ==，得111e x m x =， 由()2h x m =，得222e e x m =-， 所以()11212e 2e e x m x x m ⋅=-， 令()()2e 2e e m p m m =-，1,e m ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 则()()12e e e m p m m +=--'，令()0p m '=，得21e m =-， 当21e m <-时，()0p m '>，当211e em -<<时，()0p m '<， 所以函数()p m 在2,1e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在211,ee ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2ee max21e e p m p +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 即1112x x x ⋅的最大值为2e e e +；【小问3详解】 因为()elim x f x A →=， 所以10ε∀>，存在正数1δ，当10e x δ<-<时，均有()1f x A ε-<；由（1）知()elim e x g x a →=， 即20ε∀>，存在正数2δ，当20e x δ<-<时，均有()2e f x a ε-<，对任意正数ε，取122εεε==，112212,,δδδδδδδ≤⎧=⎨>⎩， 0∀ε>，当0e x δ<-<时， 有()()()()()()()e e f x g x A a f x A g x a +-+=-+-()()12e f x A g x a εεε≤-+-=+=，所以()()()elim e x f x g x A a →+=+. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
天津市第一中学2022届高三上学期第三次月考语文试题 Word版含答案
Evaluation Only. Created with Aspose.Words. Copyright 2003-2016 Aspose Pty Ltd.天津一中、益中学校2020-2021-1高三班级语文学科三月考质量调查试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺当!第Ⅰ卷（36分）一、（12分，每小题3分）1．下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是A．吐．（tǔ）槽社会不公，埋怨怀才不遇，因而踟．（c hí）蹰不前，这不过是找一个堂皇的借口而已。
当你拂去往日心灵的积弊与尘垢，用婴儿水晶般的瞳孔端详世界的时候，你会发觉即使是在严冬季节，周遭仍旧暗涌着奇迹抽芽带来的层层新绿。
B．中华文明硕果累累（lěi），仰韶的彩陶、良渚（z hǔ）的玉器、唐之金银、宋之陶瓷，元明清不胜枚举，这些手艺不经意间将生活艺术化，让后人仰而视之，诚惶诚恐。
C．雄心期决胜，壮志在必克。
我们要多些一往无前的进取意识、乘．（chénɡ）势而上的机遇意识、敢于担当的责任意识，汇聚全体国民的磅礴力气，再接再厉，砥砺攻艰，铿（kēng）锵前行，争取更大的成功。
D．站在兵马俑（yǒng）坑前，我们观察的秦朝文物几近全部。
细心倾听，甚至可以听见金戈铁马的嘶杀声。
这令人震惊的兵马俑，不过是秦文明中的沧海一粟（sù）。
2．依次填入下面横线上的词语最恰当的一项是（1）为了搞清事故的缘由，公安部门打算立案。
（2）我们必需学会如何在纷繁简单的干扰中剥离出“演绎”的成分，去伪存真，真相，呈现出万事万物的真实状态。
（3）为了弄清这句话的出处，推断对方说法的真伪，老先生跑了很多图书馆，了大量的文献资料。
A．侦查厘清披阅B．侦查理清批阅C．侦察理清披阅D．侦察厘清批阅3．下列各句中，没有语病的一句是A．蓟县滑雪场九成以上受伤者为初学滑雪者，大部分在未接受专业指导或训练的情况下直接进入中高级滑道，从而导致自己受伤或撞伤他人概率更大。
天津市天津中学2023-2024学年高二上学期第一次月考语文试题
天津市天津中学20232024学年高二上学期第一次月考语文试题一、选择题共54分1. 下列词语字音字形全对的一项是（）A. 万众瞩目复辟pì励行节约弄巧成拙zhuóB. 奋发图强颠簸bǒ押解jiè萎靡不振mǐC. 侮辱wū寒喧xuān土坯pī孤苦伶仃D. 勉强qiáng 撕杀寒噤jìn 歼灭jiān【答案】B【解析】【详解】本题考查学生识记现代汉语常用字字音、字形的能力。
A.“复辟“的“辟”应读bì；“励行节约”的“励”应为“厉”；“弄巧成拙”的“拙”应读zhuō。
C.“侮辱”的“侮”应读wǔ；“寒喧”的“喧”应为“暄”。
D.“勉强”的“强”应读qiǎng；“撕杀”的“撕”应为“厮”。
故选B。
阅读下面的文字，完成下面小题。
科学有什么用？这真的是个的问题。
知道地球围着太阳转有什么用？光合作用不会因为我们不知道这一点就停止，人类还是一样昼作夜息。
知道电磁波有什么用？我们一样熟练地使用，天涯若比邻；一样用X光检查身体，保障健康。
这样的事情可以说是。
科学技术是第一生产力,被历史和无数事实证明的伟大论断。
但是，这句话不能的理解，认为“科学技术必须是生产力”或者“不能马上转化为生产力的科学技术就是无用的”。
布鲁诺绝不是因为预测到今天的人造卫星，才用生命捍卫“日心说”“新宇宙观”的；詹姆斯•麦克斯韦在1865年做出关于电磁学的理论预测时，也肯定不会知道将开启一个新世界。
虽然今天的基础科学与应用科学不再，科学发现到技术突破的时间也越来越短，但距离仍然存在。
从某种程度上说，科学的发展就是人类对自然认识不断加深的过程。
很多时候，科学研究的出发点仅仅因为我们是人，我们有发现美的需求和满足好奇心的渴望。
因为人类的幸福感，（）。
也只有在对自然的不断认识中，我们才能更清楚地认识自我。
这正是人之所以为人的原因。
2. 依次填入文中横线上的成语，全都恰当的一项是（）A. 擢发难数不胜枚举蠡测管窥大相径庭B. 众口难调不胜枚举蠡测管窥泾渭分明C. 擢发难数琳琅满目孤陋寡闻泾渭分明D. 众口难调琳琅满目孤陋寡闻大相径庭3. 文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A. 科学技术是第一生产力,是被历史和无数事实证明的伟大论断。
2023届高三下半年第五次月考历史题带参考答案(天津市第一中学)
选择题古代阿拉伯世界曾经流传过一句名言：“希腊人只有一只眼睛，唯有中国人才有两只眼睛”，15世纪的意大利旅行家巴尔巴罗在中东还听到这样说法：“希腊人仅懂得理论，唯有中国人才拥有技术”，马克思则说：“如果希腊是正常儿童，中国则是早熟儿童”。
对以上看法理解正确的是A. 人们对古希腊和中国文明的优劣看法不同B. 古中国与古希腊拥有足以媲美的文明成就C. 将东西方文明加以比较是由来已久的视角D. 人们的历史认识总是以身处时境作为参照【答案】D【解析】从材料“希腊人仅懂得理论，唯有中国人才拥有技术”“如果希腊是正常儿童，中国则是早熟儿童”可以看出，人们认识历史是以自身所处环境为参照的，故D项正确；ABC项材料中无法体现。
选择题根据张履祥《补农书》中所载资料，明朝末期江南地区农村家庭的投资结构如下图所示，这反映出此时江南的农业A.经营更趋市场化B.减少犁耕依赖C.生产日趋专业化D.注重精耕细作【答案】D【解析】由材料数据可知，明朝末期江南地区农村家庭投资主要集中在肥料、播种和灌溉上，这是精耕细作的表现，故D正确；材料数据和市场化、专业化无关，故AC错误；材料体现不出减少犁耕依赖，故B错误。
选择题某史学家提出用“地中海时代—欧洲时代—大西洋时代”的历史发展次序来代替“上古—中古—近古”的历史发展次序。
这一历史分期法旨在强调A.资本主义在西方不断扩展的历史进程B.人类由分散走向整体发展的历史过程C.西方在世界文明史发展中的中心地位D.海外贸易在资本主义发展中的决定意义【答案】C【解析】依据所学知识可知，“地中海时代—欧洲时代—大西洋时代”的历史发展次序是以西方为中心来叙述的，故C正确；这一历史分期法不是强调资本主义的不断扩展，故A错误；这不是全球史观的表现，故B 错误；材料也不是强调海外贸易的作用，故D错误。
选择题马克思笔下的“无产阶级”多指从事体力劳动的工人，1891年，恩格斯在《致国际共产主义者大学生代表大会》的信中提出了“脑力劳动无产阶级”的新概念，这种变化的根源在于A. 无产阶级已至登上历史舞台B. 科学在生产中的地位逐渐提高C. 无产阶级的构成日益复杂化D. 体力劳动和脑力劳动差别消失【答案】B【解析】根据题干“1893年”可知处于第二次工业革命时期，结合所学可知第二次工业革命的突出特点是科学与技术紧密结合，推动经济的发展，题干材料反映的正是科学在生产中的地位，B项正确。
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天津一中、益中学校2017-2018学年度高三年级五月考试卷数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分，共40分.1.集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，3{|log (2)1}B x x =-≤，则()R AC B =（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x x <-≥或C ．{|2}x x ≥D ．{|12}x x x ≤->或2.设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“0x R ∃∈，20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，210x x ++<” D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题4.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是（ ）A ．1B ．12-C ．54-D ．138- 5.若抛物线22(0)y px p =>的焦点到双曲线2218x y p-=的渐近线的距离为24p ，则抛物线的标准方程为（ ）A ．216y x =B ．28y x =C ．24y x =D ．232y x = 6.已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 4x y +=，则113x y+的最小值是（ ） A ．4 B ．22 C ．2 D ．237.已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，当0x <时，()()1f x x x =-.则关于m 的不等式()()2110f m f m -+-<的解集为（ ）A ．[)0,1B ．(2,1)-C ．(2,2)-D ．[0,2) 8.已知函数()24sin sin 24x f x x ωπω⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭()22sin 0x ωω->在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．[)1,+∞ D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知复数13aiz i+=-是纯虚数（其中i 为虚数单位，a R ∈），则z 的虚部为 ． 10.已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，则a = ． 11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知直线y ax =与圆C ：222220x y ax y +--+=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则圆C 的面积为 ．13.在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且3AD AE =，3BC BF =，若向量AB 与DC 的夹角为60，则AB EF ⋅的值为 ．14.定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，()21,1121,13x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩.若关于x 的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--. （1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值.16.为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度，某电视台在甲、乙两地各随机抽取了8名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示.（1）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷的平均分与方差.（2）若从甲地被抽取的8名观众中再邀请2名进行深入调研，求这2名观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上的概率.17.如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BF BC ⊥，BF CE <，2BF =，1AB =，5AD =.（1）求证：BC AF ⊥； （2）求证：//AF 平面DCE ；（3）若二面角E BC A --的大小为120，求直线DF 与平面ABCD 所成的角.18.已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足122n n n S a +=-，其中*n N ∈.（1）设2nn na b =，证明：数列{}n b 是等差数列； （2）设2n n n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T <；（3）设14(1)2n bn n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n N ∈），试确定λ的值，使得对任意*n N ∈，都有1n n d d +>成立.19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点()6,1P -，且12PF F ∆的面积为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为2的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且()CD AB R λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程. 20.设函数()2ln f x x a x =-，()()2g x a x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点1x ，2x ； （i ）求满足条件的最小正整数a 的值. （ii ）求证：12'02x x F +⎛⎫>⎪⎝⎭.参考答案一、选择题1-5: BBDCA 6-8: CAD二、填空题9. 1 10. e 11.8163π+ 12. 6π 13. 7 14. 1,82156⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题15.【答案】（1）55-；（2）255-. 【解析】试题分析：（1）首先根据正弦定理sin sin a bA B=得到2a b =，再根据余弦定理即可求得cos A 的值；（2）根据（1）的结论和条件，由cos A 求得sin A ，然后根据sin 4sin a A b B =求得sin B ，再求cos B ，然后由二倍角公式求sin 2B ，cos 2B ，最后代入sin(2)B A -的展开式即可. 试题解析：（1）由sin 4sin a A b B =及sin sin a bA B=，得2a b =. 由2225()ac a b c =--及余弦定理，得222cos 2b c aA bc+-=5555acac -==-.（2）由（1）可得25sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin 5sin 45a A Bb ==. 由（1）知A 为钝角，所以225cos 1sin 5B B =-=. 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=， 故sin(2)sin 2cos cos 2sin B A B A B A -=-4532525()55555=⨯--⨯=-. 16.【解析】试题分析：（1）利用茎叶图数据，即可求出答案； （2）根据茎叶图数据，利用方差公式即可求解；（3）从8人中任取2人，利用列举法能求出参加调研的观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上的概率； 解析：（1）依题意，1(70280490288x =⨯+⨯+⨯+甲9124835)85+++++++=， 1(70180490358x =⨯+⨯+⨯+乙0035025)85+++++++=；（2）2221[(7885)(7985)8s =-+-甲222(8185)(8285)(8485)+-+-+-222(8885)(9385)(9585)]35.5+-+-+-=，2221[(7885)(8085)8s =-+-乙222(8085)(8385)(8585)+-+-+-222(9085)(9285)(9585)]41+-+-+-=.（3）依题意，所有的事件的可能性为()78,79，()78,81，()78,82，()78,84，()78,88，()78,93，()78,95，()79,81，()79,82，()79,84，()79,88，()79,93，()79,95，()81,82，()81,84，()81,88，()81,93，()81,95，()82,84，()82,88，()82,93，()82,95，()84,88，()84,93，()84,95，()88,93，()88,95，()93,95，共28种，其中满足条件的为()78,93，()78,95，()79,93，()79,95，()81,93，()81,95，()82,93，()82,95，()84,93，()84,95，()88,93，()88,95，共12种，故所求概率123287P ==.17.（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AB BC ⊥，又∵BF BC ⊥，AB ，BF 是平面ABF 内的两条相交直线，∴BC ⊥平面ABF ，∵AF ⊂平面ABF ，∴BC AF ⊥.（2）在CE 上取一点M ，使CM BF =，连FM ，∵//BF CE ，∴//BF CM ， ∴四边形BCMF 为平行四边形，∴//MF BC ，∴//MF AD ，∴四边形ADMF 为平行四边形，∴//AF DM ，∵DM ⊂平面DCE ，AF ⊄平面DCE ，∴//AF 平面DCE . （3）∵BC AB ⊥，BC BF ⊥，∴ABF ∠就是二面角E BC A --的平面角， ∴120ABF ∠=，∵2BF =，1AB =，5AD =，∴222cos AF AB BF AB BF ABF =+-⋅∠7=，∴在直角ADF ∆中，2223DF AD AF =+=，过F 作FN 与AB 的延长线垂直，N 是垂足，∴在直角FNB ∆中，3FN =， ∵BC ⊥平面ABF ，BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABF ⊥平面ABCD ， ∴FN ⊥平面ABCD ，∴FDN ∠是直线DF 与平面ABCD 所成的角， 在直角FDN ∆中，31sin 223FN FDN DF ∠===，∴30FDN ∠=. 18.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1λ=-. 【解析】解：（1）当1n =时，1124S a =-，∴14a =， 当2n ≥时，1112222n n n n n n n a S S a a +--=-=--+， ∴122n n n a a --=，即11122n n n n a a ---=， ∴11n n b b --=（常数），又112a b =，∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列，1n b n =+. （2）12(1)2nn n n c b n -=⋅=+⋅，2231222n n n T +=++⋅⋅⋅+，211212222n n n n n T ++=+⋅⋅⋅++，相减得23111111122222n n n n T ++=+++⋅⋅⋅+-21111(1)12211212n n n -+-+=+--1311222n n n ++=--，∴213333222n n n nn n T ++=--=-<. （3）由1n n d d +>，得124(1)2n n n λ+++-⋅114(1)2n n n λ-+>+-⋅，234(1)2n n n λ+⋅+-⋅1(1)20n n λ++-⋅>，134(1)230n n n λ+⋅+-⋅⨯>， 12(1)0n n λ-+->，当n 为奇数时，12n λ-<，∴1λ<；当n 为偶数时，12n λ->-，∴2λ>-，∴21λ-<<，又λ为非零整数，∴1λ=-.19.【答案】（1）22184x y +=；（2）λ最小值263，直线l 的方程为y x =. 【解析】（1）由12PF F ∆的面积可得12122c ⋅⋅=，即2c =，∴224a b -=. ① 又椭圆C 过点()6,1P-，∴22611a b+=. ②由①②解得22a =，2b =，故椭圆C 的标准方程为22184x y +=. （2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离2m d =，由弦长公式可得2222822m AB m =-=-.将y x m =+代入椭圆方程22184x y +=，得2234280x mx m ++-=， 由判别式()221612280m m ∆=-->，解得2323m -<<.由直线和圆相交的条件可得d r <，即22m <，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-.设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得()2121224CD x x x x =+-2216832293m m -=⋅-24123m =-.由CD AB λ=，得22412382m CD AB mλ-==-2228134m =+-. ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ取得最小值263，此时直线l 的方程为y x =. 20.【答案】（1）()f x 的单调增区间为2,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为20,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（2）（i ）3；（ii ）见解析.解：（1）()22'2(0)a x af x x x x x-=-=>. 当0a ≤时，()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞，此时()f x 无单调减区间.当0a >时，由()'0f x >，得22a x >，()'0f x <，得202ax <<， 所以函数()f x 的单调增区间为2,2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为20,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）（i ）()()'22a F x x a x =---22(2)x a x a x---=(2)(1)(0)x a x x x -+=>. 因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.所以()F x 的最小值02a F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln 402aa +->， 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数， 且()()381220,34ln1ln 10216h h =-=-=-，所以()02,3a ∈，()00h a =. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()332ln30F =->，()10F =，所以3a =时，()f x 有两个零点. 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.（2）证明：不妨设120x x <<，于是()21112ln x a x a x ---()22222ln x a x a x =---， 即()21112ln x a x a x ---()22222ln 0x a x a x -+-+=，22112222x x x x +--1122ln ln ax a x ax a x =+--()1122ln ln a x x x x =+--. 所以221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--.因为'02a F ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0F x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0F x >，故只要证1222x x a +>即可，即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--， 即证()()22121212ln ln x x x x x x -++-22112222x x x x <+--，也就是证11221222lnx x x x x x -<+. 设12(01)x t t x =<<. 令()22ln 1t m t t t -=-+，则()()()()222114'11t m t t t t t -=-=++. 因为0t >，所以()'0m t ≥， 当且仅当1t =时，()'0m t =， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数.又()10m =，所以当()0,1m ∈，()0m t <总成立，所以原题得证.。