2020年天津市河北区高考数学一模试卷 (解析版)
2020届天津市河北区普通高中高三下学期总复习质量检测(一)(一模)数学试题(解析版)
∴ R2 ( 6 R)2 ( 3 )2 ,解得 R 6 ,
3
3
4
球体积为V 4 R3 4 ( 6 )3 6 .
3
34
8
故选:A.
【点睛】本题考查求球的体积,解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四
-5-
面体.
8.将函数
f
x
cos x 2
2sin
A. y x 2x
C. y e x x
B. y 2 x 2 D. y 2|x﹣| x2
【答案】D 【解析】 【分析】 对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果.
【详解】对于
A,函数
f
பைடு நூலகம்
x
x 2x
,当 x 0 时, y 0;当 x 0 时, y 0 ,所以不满足
题意.
对于 B,当 x 0 时, f x 单调递增,不满足题意.
对于 C,当 x 0 时, f x 0 ,不满足题意.
对于 D,函数 y 2 x﹣x2 偶函数,且当 x 0 时,函数有两个零点,满足题意. 故选 D.
-3-
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手:
(1)从函数 定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数 单调性,判断图象的变化趋势;
要.因此应是充分不必要条件.
-1-
故选:A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断,掌握充分条件和必要条件的定义是解题基 础. 3.已知直线 l : x ay 2 与圆 C : x2 y2 4 相交于 M , N 两点,若 MN 2 3 ,则直 线 l 的斜率为( )
A. 3 3
B. 3 3
A. {5}
B. {1,5}
2023年天津市河北区高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年天津市河北区高考数学一模试卷1. 设全集,集合,,则( )A. B. C. D.2.设,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.4. 为了了解学生在课外活动方面的支出情况,抽取了n个学生进行调查,结果显示这些学生的支出金额单位:元都在内,按分为4组,并整理得到如下频率分布直方图,其中支出金额在内的学生有234人,则n的值为( )A. 300B. 320C. 340D. 3605. 函数的图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知直线l:恒过点P,过点P作直线与圆C:相交于A,B两点,则的最小值为( )A. 2B.C. 4D.7. 设双曲线C:的一条渐近线与抛物线的一个交点为A,点B是抛物线的准线上一点,抛物线的焦点F为双曲线的一个焦点,且为等边三角形,则双曲线的方程为( )A. B. C. D.8. 已知a、b、c、d均为正实数,且,则的最小值为( )A. 3B.C.D.9. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则下列四个结论:①是的一个解析式;②是最小正周期为的奇函数;③的单调递减区间为,;④直线是图象的一条对称轴.其中正确结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 410. i是虚数单位,则的值为______ .11. 的展开式中的常数项为______ .12. 截角四面体亦称“阿基米德多面体”的表面由四个正三角形和四个正六边形组成,它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得到的几何体.若一正四面体的棱长为3,则由其截得的截角四面体的体积为______.13. 盒子里装有大小相同的4个白球和3个黑球.甲先从盒中不放回地取2个球,之后乙再从盒中取1个球,则甲所取的2个球为同色球的概率为______ ;记事件M为“甲所取的2个球为同色球”,事件N为“乙所取的球与甲所取的球不同色”,则在事件M发生的条件下,事件N发生的概率为______ .14. 在矩形ABCD中,若,,且,则的值为______ ,的值为______ .15. 设,函数,若恰有两个零点,则k的取值范围是______.16. 中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且求角B的大小;若,求的值.17. 如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,平面ABCD,,,点E在线段AB上,且求证:平面PBD;求直线PA与平面PCE所成角的正弦值;求平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值.18.设等比数列的前n项和为,,若,且,,成等差数列.求数列的通项公式;设,,其中表示不超过x的最大整数,求数列的前10项的和;设,,求数列的前n项和19. 已知椭圆C:的焦距为2,点在C上.求C的方程;若过动点P的两条直线,均与C相切,且,的斜率之积为,点,问是否存在定点B,使得?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.20. 已知函数求曲线在点处的切线方程;讨论函数的单调性;若对任意的,都有成立,求整数k的最大值.答案和解析1.【答案】D【解析】解:,,,集合,,故选:根据集合的基本运算即可求解.本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.【答案】A【解析】解:,解得或,故“”是“”的充分不必要条件.故选:根据充分与必要条件的概念即可求解.本题主要考查充分条件、必要条件的定义,属于基础题.3.【答案】B【解析】解:因为,,,所以故选:由已知结合指数函数及对数函数的单调性即可比较大小.本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用,属于基础题.4.【答案】D【解析】解:由频率分布直方图知:,即故选:由已知结合频率分布直方图列方程,解出n值.本题考查频率分布直方图,考查学生计算能力,属于基础题.5.【答案】A【解析】解:,函数是奇函数,排除B、时,,排除故选:判断函数的奇偶性,通过特殊值判断选项的正误即可.本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性,是基础题.6.【答案】B【解析】解:直线l:可化为,故点,由圆:可得圆心,半径,则当时,最小,此时,则由弦长公式可得故选:直线化为点斜式可求得点P坐标,再过点P作直线与圆相交,当直线与CP垂直时,取最小值,进而用两点式和距离公式即可求解.本题考查直线与圆的位置关系,涉及弦长公式的表示,点到直线的距离公式,直线的表达式等知识点,属中档题.7.【答案】B【解析】解:如图,抛物线准线与x轴的交点为C,,由抛物线,得,则双曲线的半焦距,由抛物线定义可知,时,AB与x轴平行,为等边三角形,,,,,,解得,将其代入,可得,则双曲线的一条渐近线方程为,即,联立,解得,双曲线的方程为故选:由已知抛物线方程求得双曲线的半焦距,再由已知求得A的坐标,可得双曲线的渐近线方程,结合隐含条件求得a与b的值,则答案可求.本题考查双曲线与抛物线的几何性质,考查数形结合思想,考查运算求解能力,是中档题.8.【答案】D【解析】解:由题意可得,当且仅当且时,取得最小值,故选:由,整理可得,然后结合基本不等式性质即可求解.本题主要考查了利用基本不等式求最值,属于基础题.9.【答案】B【解析】解:向左平移个单位长度后,则有:,①错误;,最小正周期为,但,不是奇函数,②错误;令,,解得,,则的单调递减区间为,,③正确;令,,解得,,令,,④正确.故选:由已知得,根据的性质,对应可求的性质.本题考查三角函数的性质,属于中档题.10.【答案】【解析】解:,则故答案为:先计算,再计算模长即可.本题主要考查复数模长的计算,属于基础题.11.【答案】45【解析】解:展开式的通项公式为,令,解得,故所求常数项为故答案为:根据已知条件,先求出展开式的通项公式,令x的指数为0,即可求解.本题主要考查二项式定理,属于基础题.12.【答案】【解析】解:因为原正四面体的棱长为3,则该正四面体的底面外接圆的半径为,所以该正四面体的高为,底面积为,所以该正四面体的体积为,同理可得棱长为1的正四面体的体积,则这个截角四面体的体积为故答案为:求出棱长为3的正四面体的体积和棱长为1的正四面体的体积,再用棱长为3的正四面体的体积减去四个棱长为1的正四面体的体积可得解.本题考查了正四面体的结构特征,考査了正弦定理,考査了三角形的面积公式,考查了锥体的体积公式,属于中档题.13.【答案】【解析】解:设事件A为“甲所取的2个球为同色球”,所以;,故答案为:;利用超几何分布求概率即可;利用条件概公式求解即可.本题考查条件概率,超几何分布的概率,属于基础题.14.【答案】 2【解析】解:如图,设,则,且,,,,且,解得,;在中,,,,,在中,,,,,,且,,故答案为:可画出图形,并设,得出,从而可得出,从而得出,解出,进而得出;然后可求出,,从而得出,并求出,然后根据向量数量积的计算公式即可求出的值.本题考查了向量数量积的计算公式,正余弦函数的定义,正切函数的定义,勾股定理,向量数乘的几何意义,考查了计算能力,属于基础题.15.【答案】【解析】解:因为函数,,当时,由可得,可得,当时,由可得,可得,令,则直线与函数的图象有两个交点,当时,,此时函数单调递减,当时,,由可得,由可得,所以,函数在上单调递减,在上单调递增,所以,函数的极小值为,且当时,,当时,,如下图所示:由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,此时函数有两个零点,因此,实数k的取值范围是故答案为:分析可知,令,由参变量分离法可知,直线与函数的图象有两个交点,利用导数分析函数的单调性与极值,数形结合可得出实数k的取值范围.本题考查函数零点与方程根的关系,属于中档题.16.【答案】解:由余弦定理,则,又,所以,即,由正弦定理可得,因为,所以,则,又,所以;因为,所以,所以,所以【解析】由余弦定理可得,再由正弦定理将边化角,即可得到,从而求出,即可得解;用同角三角函数的基本关系求出,即可求出、,再根据两角差的正弦公式计算可得.本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,属于中档题.17.【答案】证明:平面ABCD,平面ABCD,,,,,,,∽,,,,平面PBD,解:平面ABCD,平面ABCD,平面ABCD,,,为矩形,,,CD,PD两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,设平面PCE的一个法向量为,则,令,则,,平面PCE的一个法向量为,又,设直线PA与平面PCE所成角为,,;平面ABCD,取平面BCE的法向量为,则,,所以二平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值为【解析】根据线面垂直的性质可得,利用相似三角形的判定与性质可得,结合线面垂直的判定定理即可得出结果;根据题意和线面垂直的性质可得AD,CD,PD两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,求出各点的坐标,进而求出平面PCE的一个法向量,进而求得直线PA的方向向量,可求直线PA 与平面PCE所成角的正弦值;求得平面BCE的一个法向量,利用空间向量求平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值.本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属中档题.18.【答案】解:设等比数列的公比为q,,,成等差数列,,,,,,,,,,,数列的前10项的和为,,数列的前n项和…,…,相减可得…,化为:【解析】设等比数列的公比为q,由,,成等差数列,可得,化为,利用等比数列的通项公式即可得出由,,可得,,…,,进而得出数列的前10项的和.,,利用错位相减法即可得出数列的前n项和本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法、分类讨论方法、取整函数,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.【答案】解:由题意知,,解得,,故椭圆C的方程为设,显然,过点P的直线方程为,联立,得,因为直线l与C相切,所以,化简得,即,设直线,的斜率分别为,,显然,是上述关于k的一元二次方程的两个根,所以,化简得,即点P到坐标原点O的距离,故点P在以O为圆心,为半径的圆上,且是动点,而点A为该圆上一定点,当满足时,AB为圆O的直径,即点,所以存在点满足题意.【解析】将点代入椭圆方程中,并结合椭圆的几何性质,求得a和b的值,即可;设出过点P的直线方程,与椭圆C的方程联立,由判别式,探求出直线,的斜率满足的条件,再推理作答即可.本题考查直线与椭圆的位置关系,设出直线方程并与椭圆方程联立,结合已知条件及韦达定理推理求解是这类题的一般解题思路,考查逻辑推理能力和运算能力,属于难题.20.【答案】解:因为,所以,所以曲线在点处的切线的斜率为,又,所以函数在处的切线方程为因为,所以,令得,所以在上,单调递减,在上,单调递增.因为对任意的,都有,所以,令,,,由知,在上单调递增,在区间有唯一的零点,设该零点为,则,所以当时,,,单调递减,当时,,,单调递增,所以,所以,所以整数k的最大值为【解析】求导得,由导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为,计算,则切线方程为求导并分析的符号,进而可得的单调性.由对任意的,都有,可得在上恒成立,令,,只需,即可得出答案.本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.。
2020年天津市十二区县高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.1.已知全集U={0,1,2,3,4,5}集合A={1,2,3,5},B={2,4},则(∁U A)∪B为()A.{0,2,4}B.{2,3,5}C.{1,2,4}D.{0,2,3,5}2.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最大值为()A.0B.3C.6D.123.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A.y=x+1的图象上B.y=2x的图象上C.y=2x的图象上D.y=2x﹣1的图象上4.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.若a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C.命题“∃x0∈R,x02+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1>0”D.若“p且q”为假,则p,q全是假命题5.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率,点P是抛物线y2=4x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,x)的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为,则该双曲线的方程为()A.﹣=1B.﹣x2=1C.y2﹣=1D.﹣=16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且6S=(a+b)2﹣c2,则tanC等于()A.B.C.D.7.如图,PT切⊙O于点T,PA交⊙O于A,B两点,且与直径CT交于点D,CD=3,AD=4,BD=6,则PB=()A.6B.8C.10D.148.已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=m(|x﹣2|+|x﹣4|),(m>0),若函数y=f[f(x)]﹣4m恰有4个零点,则实数m的取值范围()A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.i是虚数单位,复数=.10.在的二项展开式中,x2的系数为.11.已知曲线y=x﹣1与直线x=1,x=3,x轴围成的封闭区域为A,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B,在区域B内任取一点P,该点P落在区域A的概率为.12.一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形,则该机器零件的体积为.13.直线l:(t为参数),圆C:ρ=2cos(θ+)(极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同),若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为,则实数a的取值范围为.14.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P是线段BC上一动点,Q是线段DC上一动点,,,若集合M=,N=.则M∩N=.三、解答题:本大题6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知函数,x∈R(Ⅰ)求f(x)最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.16.某大学自主招生考试面试环节中,共设置两类考题,A类题有4个不同的小题,B类题有6个不同的小题,某考生从中任抽取四道题解答.(Ⅰ)求该考生至少抽取到2道B类题的概率;(Ⅱ)设所抽取的四道题中B类题的个数为X,求随机变量X的分布列与期望.17.如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(Ⅰ)求证:AO⊥BE;(Ⅱ)求二面角F﹣AE﹣B的余弦值;(Ⅲ)若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为,求实数a的值.18.设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(Ⅰ)求椭圆E的离心率e;(Ⅱ)PQ是圆C:(x+2)2+(y﹣1)2=的一条直径,若椭圆E经过P,Q两点,求椭圆E的方程.19.己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列,且a1=﹣,a2=16a4,记b n=.(I)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数n,|m﹣1|≥3b n都成立,求实数m的取值范围;}的前n项和分别为S n,T n.证明:对任意的正整数n,都有2S n (Ⅲ)设数列{b2n},{b2n﹣1<2T n+3.20.已知函数f(x)=lnx﹣,g(x)=ax+b.(1)若函数h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx﹣图象的切线,求a+b的最小值;(3)当b=0时,若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1x2>2e2.(取e为2.8,取ln2为0.7,取为1.4)2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.1.已知全集U={0,1,2,3,4,5}集合A={1,2,3,5},B={2,4},则(∁U A)∪B为()A.{0,2,4}B.{2,3,5}C.{1,2,4}D.{0,2,3,5}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】由全集U及A,求出A的补集,找出A补集与B的并集即可.【解答】解:∵全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,2,3,5},∴∁U A={0,4},∵B={2,4},∴(∁U A)∪B={0,2,4}.故选A2.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最大值为()A.0B.3C.6D.12【考点】简单线性规划.【分析】由题意作平面区域,化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z,从而求得.【解答】解:由题意作平面区域如下,,化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z,结合图象可得,过点A(0,3)时有最大值为z=0+6=6,故选:C.3.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A.y=x+1的图象上B.y=2x的图象上C.y=2x的图象上D.y=2x﹣1的图象上【考点】程序框图.【分析】根据程序框图中的运算规律确定出所求函数解析式即可.【解答】解:根据题意得:程序框图输出的所有点都在函数y=2x﹣1的图象上,故选:D.4.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.若a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C.命题“∃x0∈R,x02+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1>0”D.若“p且q”为假,则p,q全是假命题【考点】命题的真假判断与应用.【分析】A.否命题是即否定条件又否定结论;B.根据充分条件和必要条件的概念判定即可;C.存在命题的否定:把存在改为任意,再否定结论;D.且命题的概念判断即可.【解答】A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故错误;B.若a,b∈R,则“ab≠0”可推出a≠0且b≠0,但由a≠0推不出ab≠0,故是充分不必要条件,故正确;C.命题“∃x0∈R,x02+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≥0”,故错误;D.若“p且q”为假,则p,q不全是真命题,故错误.故选B.5.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率,点P是抛物线y2=4x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,x)的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为,则该双曲线的方程为()A.﹣=1B.﹣x2=1C.y2﹣=1D.﹣=1【考点】双曲线的简单性质.【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程,双曲线的离心率,再利用抛物线的定义,结合P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为,可得FF1=,从而可求双曲线的几何量,从而可得结论.【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线的方程为x=﹣1,双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的e==,由P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为,由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|,可得|PF|+|PF1|的最小值为,当P,F,F1三点共线,可得最小值|FF1|==,即有c=,由c2=a2+b2,解得a=2,b=1,即有双曲线的方程为﹣x2=1.故选:B.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且6S=(a+b)2﹣c2,则tanC等于()A.B.C.D.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=ab•sinC,再由余弦定理,结合6S=(a+b)2﹣c2,得出3sinC﹣2cosC=2,然后通过(3sinC﹣2cosC)2=4,求出结果即可.【解答】解:△ABC中,∵S△ABC=ab•sinC,由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,且6S=(a+b)2﹣c2,∴3absinC=(a+b)2﹣(a2+b2﹣2abcosC),整理得3sinC﹣2cosC=2,∴(3sinC﹣2cosC)2=4.∴=4,化简可得5tan2C﹣12tanC=0.∵C∈(0,180°),∴tanC=,故选:C.7.如图,PT切⊙O于点T,PA交⊙O于A,B两点,且与直径CT交于点D,CD=3,AD=4,BD=6,则PB=()A.6B.8C.10D.14【考点】与圆有关的比例线段.【分析】圆中的性质相交弦定理、切割线定理应用.【解答】解:由相交弦定理得:AD•BD=CD•DT,即4×6=3×DT,解得DT=8设PB=x,PT=y因为PT为切线,所以DT⊥PT,在Rt△PDT中,PT2+DT2=PD2,即y2+64=(6+x)2①由切割线定理知,PT2=PB×PA,即y2=x×(x+10)②联立①②得,x=14故选:D8.已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=m(|x﹣2|+|x﹣4|),(m>0),若函数y=f[f(x)]﹣4m恰有4个零点,则实数m的取值范围()A.B.C.D.【考点】根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质.【分析】利用换元法将函数进行转化,利用数形结合以及分类讨论进行求解即可.【解答】解:设f(x)=t,(t>0)则由y=f[f(x)]﹣4m=0得f[f(x)]=4m,即f(t)=4m,则m(|t﹣2|+|t﹣4|)=4m,则|t﹣2|+|t﹣4|=4,得t=5,或t=1,若t=1,则f(x)=m(|x﹣2|+|x﹣4|)=1,即|x﹣2|+|x﹣4|=,若t=5,则f(x)=m(|x﹣2|+|x﹣4|)=5,即|x﹣2|+|x﹣4|=,设g(x)=|x﹣2|+|x﹣4|,(x≥0),∵函数f(x)是偶函数,∴要使函数y=f[f(x)]﹣4m恰有4个零点,则等价为当x≥0时,函数y=f[f(x)]﹣4m恰有2个零点,作出g(x)在[0,+∞)上的图象如图:①,即,即<m<,②,即,即0<m<,综上实数m的取值范围是,故选:B.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9.i是虚数单位,复数=.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】将复数分母实数化,分子、分母同乘以(1+i),化简即可.【解答】解:===;故答案为:.10.在的二项展开式中,x2的系数为90.【考点】二项式系数的性质.【分析】写出二项展开式的通项,再由x的指数等于2求得r,则答案可求.【解答】解:由,得=,由,得r=2.∴x2的系数为.故答案为:90.11.已知曲线y=x﹣1与直线x=1,x=3,x轴围成的封闭区域为A,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B,在区域B内任取一点P,该点P落在区域A的概率为.【考点】几何概型.【分析】根据积分的应用,求出区域的面积,利用几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:作出曲线对应的平面区域,则区域B是边长分别为1,2的矩形,则面积S B=2,区域A的面积S A=dx=lnx=ln3﹣ln1=ln3,则对应的概率P==,故答案为:12.一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形,则该机器零件的体积为.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体:上面是半球的一半、下面是正方体,由三视图求出几何元素的长度,由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积.【解答】解:根据三视图可知几何体是一个组合体:上面是半球的一半、下面是正方体,且球的半径是,正方体的棱长是3,∴几何体的体积V==故答案为:.13.直线l:(t为参数),圆C:ρ=2cos(θ+)(极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同),若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为,则实数a的取值范围为[,2].【考点】参数方程化成普通方程.【分析】求出直线l与圆C的普通方程得出圆C的半径,利用点到直线的距离公式列出不等式解出a的范围.【解答】解:直线l的普通方程为2x+ay﹣a=0.∵ρ=2cos(θ+),∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ,∴圆C的直角坐标方程为:x2+y2=2x﹣2y,即(x﹣1)2+(y+1)2=2.∴圆C的圆心为C(1,﹣1),圆C的半径r=.∵圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为,∴圆心C到直线l的距离0≤d≤.即0≤≤.解得.故答案为:[,2].14.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P是线段BC上一动点,Q是线段DC上一动点,,,若集合M=,N=.则M∩N=[,2].【考点】平面向量数量积的运算.【分析】用表示,根据λ的范围求出的范围,即M的范围,根据基本不等式求出N的范围,得出M∩N.【解答】解:∵,∴0≤λ≤1.=.==()=.==.∴=()•()=+=2λ.∴M==[0,2].∵a>b,ab=1,∴a﹣b>0,==≥2=.∴N={x|x=,a>b,ab=1}=[,+∞).∴M∩N=[,2].故答案为:.三、解答题:本大题6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知函数,x∈R(Ⅰ)求f(x)最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【分析】由三角函数公式化简可得f(x)=(1)由周期公式可得;(2)由x的范围和三角函数的最值可得.【解答】解:由三角函数公式化简可得f(x)=cos2x+cos2(x﹣)===(1)函数f(x)的最小正周期;(2)∵函数f(x)在单调递增,在单调递减,∵,∴.16.某大学自主招生考试面试环节中,共设置两类考题,A类题有4个不同的小题,B类题有6个不同的小题,某考生从中任抽取四道题解答.(Ⅰ)求该考生至少抽取到2道B类题的概率;(Ⅱ)设所抽取的四道题中B类题的个数为X,求随机变量X的分布列与期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)设事件A:”该考生至少取到2道B类题”,利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率.(2)随机变量X的取值分别为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列与期望.【解答】解:(Ⅰ)设事件A:”该考生至少取到2道B类题”,P(A)=.…(2)随机变量X的取值分别为0,1,2,3,4,…,,,,,…∴随机变量X的分布列为:X 0 1 2 3 4P…∴随机变量X的期望为:.…17.如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(Ⅰ)求证:AO⊥BE;(Ⅱ)求二面角F﹣AE﹣B的余弦值;(Ⅲ)若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为,求实数a的值.【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系;二面角的平面角及求法.【分析】(I)由等边三角形性质得出AO⊥EF,利用面面垂直的性质得出AO⊥平面EFCB,故AO⊥BE;(II)以O为原点建立空间直角坐标系,则=(0,0,1)为平面AEF的一个法向量,求出平面ABE的法向量,则cos<>与二面角的余弦值相等或相反.(III)令|cos<>|=,列方程解出a.【解答】证明:(Ⅰ)∵△AEF为等边三角形,O为EF的中点,∴AO⊥EF,又∵平面AEF⊥平面EFCB,平面AEF∩平面EFCB=EF,AO⊂平面AEF,∴AO⊥平面EFCB,又BE⊂平面EFCB,∴AO⊥BE.(Ⅱ)取CB的中点D,连接OD,则OD⊥EF,以O为原点,分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),E(a,0,0),F(﹣a,0,0),,,,∴,=(a,﹣a,0),设平面AEB的一个法向量,则,∴,令y=1,得=(,1,﹣1).平面AEF的一个法向量为,∴=﹣1,||=,||=1,∴,由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角,∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣.(Ⅲ),∴=4,||=,||=,∴cos<,>=,∴6a2﹣12a+16=10,解得a=1.18.设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(Ⅰ)求椭圆E的离心率e;(Ⅱ)PQ是圆C:(x+2)2+(y﹣1)2=的一条直径,若椭圆E经过P,Q两点,求椭圆E的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(I)运用分点坐标公式可得M的坐标,再由直线的斜率公式和离心率公式,计算即可得到;(II)解法一、设出PQ的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径,计算即可得到所求方程;解法二、设P(x1,y1),Q(x2,y2),代入椭圆方程,作差,结合直线的斜率公式,可得PQ的斜率,求得PQ的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程.【解答】解:(I)∵A(a,0)B(0,b)点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|∴M,,∴,∴∴椭圆E的离心率e为;(II)解法一:由(I)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.(1),依题意,圆心C(﹣2,1)是线段PQ的中点,且.易知,PQ不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入(1)得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2﹣4b2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,,由x1+x2=﹣4,得,解得.从而.于是,由,得,2b2﹣4=6,解得b2=5.故椭圆E的方程为.解法二:由(I)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.(1),依题意点P、Q关于圆C(﹣2,1)对称且,设P(x1,y1),Q(x2,y2)则,两式相减得﹣4(x1﹣x2)+8(y1﹣y2)=0,易知PQ不与x轴垂直,则x1≠x2,,∴PQ的斜率为,设其直线方程为,代入(1)得x2+4x+8﹣2b2=0∴x1+x2=﹣4.于是,由,得,2b2﹣4=6解得b2=5.故椭圆E的方程为.19.己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列,且a1=﹣,a2=16a4,记b n=.(I)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数n,|m﹣1|≥3b n都成立,求实数m的取值范围;}的前n项和分别为S n,T n.证明:对任意的正整数n,都有2S n (Ⅲ)设数列{b2n},{b2n﹣1<2T n+3.【考点】数列递推式;数列的求和.【分析】(Ⅰ)由a2=16a4,结合数列是非单调数列求出等比数列的公比,可得等比数列的通项公式;(Ⅱ)由b n=,得,分n为奇偶数求出{b n}的最大值,代入|m﹣1|≥3b n,解得m≥2或m≤0;(Ⅲ)放缩得到,代入S n﹣T n=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2n﹣b2n)可得2S n﹣2T n<3,即2S n<2T n+3.﹣1【解答】(Ⅰ)解:∵数列{a n}是公比为q的等比数列,且a1=﹣,a2=16a4,∴,解得q=,∵数列是非单调数列,∴q=﹣,则;(Ⅱ)解:由b n=,得,当n为奇数时,;当n为偶数时,,且{b n}为减函数,∴,则|m﹣1|≥3b n=1,解得m≥2或m≤0;(Ⅲ)证明:∵===,∴S n﹣T n=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2n﹣b2n)﹣1=.∴2S n﹣2T n<3,即2S n<2T n+3.20.已知函数f(x)=lnx﹣,g(x)=ax+b.(1)若函数h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx﹣图象的切线,求a+b的最小值;(3)当b=0时,若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1x2>2e2.(取e为2.8,取ln2为0.7,取为1.4)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)把f(x)和g(x)代入h(x)=f(x)﹣g(x),求其导函数,结合h(x)在(0,+∞)上单调递增,可得对∀x>0,都有h′(x)≥0,得到,由得到a的取值范围;(2)设切点,写出切线方程,整理得到,令换元,可得a+b=φ(t)=﹣lnt+t2﹣t﹣1,利用导数求其最小值;(3)由题意知,,把a用含有x1,x2的代数式表示,得到,不妨令0<x1<x2,记,构造函数,由导数确定其单调性,从而得到,即,然后利用基本不等式放缩得到,令,再由导数确定G(x)在(0,+∞)上单调递增,然后结合又得到,即.【解答】(1)解:h(x)=f(x)﹣g(x)=,则,∵h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴对∀x>0,都有,即对∀x>0,都有,∵,∴a≤0,故实数a的取值范围是(﹣∞,0];(2)解:设切点,则切线方程为,即,亦即,令,由题意得,令a+b=φ(t)=﹣lnt+t2﹣t﹣1,则,当t∈(0,1)时,φ'(t)<0,φ(t)在(0,1)上单调递减;当t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0,φ(t)在(1,+∞)上单调递增,∴a+b=φ(t)≥φ(1)=﹣1,故a+b的最小值为﹣1;(3)证明:由题意知,,两式相加得,两式相减得,即,∴,即,不妨令0<x1<x2,记,令,则,∴在(1,+∞)上单调递增,则,∴,则,∴,又,∴,即,令,则x>0时,,∴G(x)在(0,+∞)上单调递增,又,∴,则,即.2020年7月21日。
天津市河北区2020届高三总复习质量检测(一)(一模)数学试题
河北区2019-2020学年度高三年级总复习质量检测(一)数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷(选择题 共45分)注意事项:1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共9小题,每小题5分,共45分。
参考公式:· 如果事件A ,B 互斥,那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B ) · 如果事件A ,B 相互独立,那么 P (AB )=P (A )⋅P (B ) · 球的表面积公式 S =24R π球的体积公式 V =343R π其中R 表示球的半径一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{123456}U =,,,,,,{1234}A =,,,,{246}B =,,,则集合()U A B =U ð(A ){5} (B ){15},(C ){24}, (D ){12346},,,,(2)设a ∈R ,则“>2a ”是“24a >”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件(3)已知直线l :2x ay +=与圆C :224x y +=相交于M ,N两点,若MN =则直线l 的斜率为 (A3(B)3±(C(D)(4)已知双曲线22221(00)x y a b ab-=>>,的焦距为4,点(23),为双曲线上一点,则双曲线的渐近线方程为 (A )12y x =±(B )y x =±(C )33y x =±(D )3y x=±(5)已知函数()f x 的图象如图所示,则该图象所对应的函数可能是(A )()2x xf x =(B )()22xf x =-(C )2()2xf x x =-(D )()e xf x x =-(第(5)题图)(6)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在[0+)∞,单调递增,设3()2a f =,3(log 7)b f =,3(0.8)c f =-,则a ,b ,c 的大小关系为(A )b a c << (B )c b a <<(C )c a b << (D )a c b <<(7)在等腰梯形ABCD 中,222AB DC AD ===,60DAB ∠=︒,E 为AB 的中点,将ADE∆与BEC ∆分别沿ED ,EC 向上折起,使A ,B 重合为点F ,则三棱锥F DCE -的外接球的体积为(A )2π3 (B )6π (C )3π2(D )6π(8)将函数()cos(2sin)0)222xxxf x ωωωω=-+>的图象向左平移π3ω个单位长度,得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在π[0]4,为增函数,则ω的最大值为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4(9)已知函数23+21()ln 1x x x f x =x x >⎧⎨⎩,≤,,,- 若关于x 的方程()f x ax a =- 恰有1个实根,则实数a 的取值范围是(A )[10][1+)-∞U ,, (B )(1][01]-∞-U ,, (C )[11]-, (D )(1]1)-∞-+∞U ,,河北区2019-2020学年度高三年级总复习质量检测(一)数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2020届天津市部分区高考一模数学试题及答案
绝密★启用前2020届天津市部分区高考一模数学试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.已知a ,b R ∈,若2b ia i i+-=(i 是虚数单位),则复数a bi +是() A .12i - B .12i +C .2i -D .2i +答案:B根据复数的除法,先得到21a i bi -=-+,根据复数相等,求出参数,即可得出结果. 解:因为()()()21b i i b i a i bi i i i +-+-===-+-, 所以12a b =⎧⎨=⎩,因此12a bi i +=+.故选:B. 点评:本题主要考查复数的除法,以及由复数相等求参数的问题,属于基础题型. 2.设R θ∈,则22ππθ-<是“sin 0θ>”的()A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件 答案:A根据充分条件与必要条件的概念,以及正弦函数的性质,即可得出结果. 解: 若22ππθ-<,则222πππθ-<-<,即0θπ<<,所以sin 0θ>;若sin 0θ>,则22,k k k Z πθππ<<+∈,不能推出“22ππθ-<”.所以22ππθ-<是“sin 0θ>”的充分不必要条件.故选:A.点评:本题主要考查判断命题的充分不必要条件,涉及正弦函数的性质,属于基础题型. 3.已知函数()2ln f x x x ax =+-.若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行,则实数a =()A .72B .2C .32D .1答案:D先对函数求导,求得()13f a '=-;再由题意,得到32a -=,求解,即可得出结果. 解:因为()2ln f x x x ax =+-,所以()12f x x a x'=+-,则()13f a '=-; 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行, 所以32a -=,解得:1a =. 故选:D. 点评:本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题,属于基础题型.4.在ABC 中,90B ∠=︒,3AB =,4BC =,以边BC 所在的直线为轴,将ABC 旋转一周,所成的曲面围成的几何体的体积为() A .36π B .12π C .36 D .12答案:B根据旋转体的概念,结合题意得到该几何体是圆锥,根据体积计算公式,即可得出结果. 解:因为在ABC 中,90B ∠=︒,所以BC AB ⊥,若以边BC 所在的直线为轴,将ABC 旋转一周,所得的几何体是以BC 为高,以AB 为底面圆半径的圆锥,因为3AB =,4BC =, 因此,其体积为:()21123V AB BC ππ=⨯⨯⨯=.故选:B. 点评:本题主要考查求圆锥的体积,熟记圆锥的体积公式即可,属于基础题型.5.为普及环保知识,增强环保意识,某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试,这些学生的成绩(分)的频率分布直方图如图所示,数据(分数)的分组依次为[)20,40,[)40,60,[)60,80,[]80,100.若分数在区间[)20,40的频数为5,则大于等于60分的人数为()A .15B .20C .35D .45答案:C根据分数在区间[)20,40的频数,求出样本容量,再根据大于等于60分频率,即可得出对应的人数. 解:因为分数在区间[)20,40的频数为5,由频率分布直方图可知,区间[)20,40对应的频率为1(0.010.020.015)200.1-++⨯=, 因此样本容量为5500.1=, 所以,大于等于60分的人数为()500.020.0152035⨯+⨯=. 故选:C. 点评:本题主要考查频率分布直方图的简单应用,属于基础题型.6.已知函数()25x f x x =+.若131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(3log 5b f =,()0.26c f =.则a ,b ,c 的大小关系为() A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>答案:D先根据对数函数与指数函数的性质,得到13310log log 512<<<,0.261>,再根据函数单调性,即可判断出结果. 解:因为113333310log 1log log log 5lo 2g 312=<=<<=,0.261>,函数2x y =与5y x =都是增函数,所以()25xf x x =+也是增函数,因此(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭, 即c b a >>. 故选:D. 点评:本题主要考查由函数单调性比较大小,熟记指数函数与对数函数的性质即可,属于常考题型.7.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,其图象关于直线6x π=对称.给出下面四个结论:①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称;②点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心;③142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭;④()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中正确的结论为()A .①②B .②③C .②④D .①④答案:C先由函数周期性与对称轴,求出函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭,根据三角函数的平移原则,正弦函数的对称性与单调性,逐项判断,即可得出结果. 解:因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,其图象关于直线6x π=对称,所以2,62k k Z ππωππωϕπ⎧=⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩,解得2,6k k Z ωπϕπ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩, 因为2πϕ<,所以6π=ϕ,因此()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭;①将()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度后函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由2,6x k k π-=π∈Z 得,122k x k Z ππ=+∈,所以其对称中心为:,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故①错; ②由2,6x k k Z ππ+=∈,解得,122k x k Z ππ=-+∈,即函数()f x 的对称中心为,0,122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭;令512212k πππ-+=,则1k =,故②正确;③sin cos 26624f ππππ⎛⎫+== ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝,故③错; ④由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 即函数()f x 的增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,因此()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.即④正确. 故选:C. 点评:本题主要考查三角函数的性质,熟记正弦函数的对称性,单调性,周期性等即可,属于常考题型.8.设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ,B ,C ,D四点,若四边形ABCD 的面积为12,则双曲线的离心率是() A.3BC或3D.答案:A先由题意,得到四边形ABCD 为矩形,设点00(,)A x y 位于第一象限,得到004ABCD S x y =矩形;根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立,求出22010e x =,再由四边形面积,得到20x =,进而可求出离心率.解:根据双曲线与圆的对称性可得,四边形ABCD 为矩形;不放设点00(,)A x y 位于第一象限,则0000224ABCD S x y x y =⨯=矩形;因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为:b y x a =±,由00220010b y x a x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2220010b x x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即2220210a b x a +=,所以2222010c e a x ==, 又20004412ABCD b S x y x a===矩形,所以203a x b===因此22010e x ==整理得:4291001000e e -+=,解得:2109e =或210e =,所以e =或e = 又0a b >>,所以双曲线的离心率e ===因此3e =. 故选:A. 点评:本题主要考查求双曲线的离心率,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型. 9.在等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,60BAD ∠=︒,8AB =,4CD =.若M 为线段BC 的中点,E 为线段CD 上一点,且27AM AE ⋅=,则DM DE ⋅=() A .15 B .10 C .203D .5答案:D过点D 作DF AB ⊥于点F ,根据平面向量的基本定理,根据题意,得到3142AM AB AD =+,设DE tDC =,得到2t AE A AB D =+,再由27AM AE ⋅=,求出14t =;再由向量数量积运算,即可求出结果. 解:过点D 作DF AB ⊥于点F ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,且8AB =,4CD =,所以2AF =, 又60BAD ∠=︒,所以4cos60AFAD ==︒;因为M 为线段BC 的中点, 所以()()111131222242AM AB AC AB AD DC AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭, 又E 为线段CD 上一点,所以存在t R ∈,使得DE tDC =, 则2tAE AD AD DE AB =+=+, 由27AM AE ⋅=得3127422t AB AD A B D A ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22331274824tAB AD t AB AD AD AB ⋅+++⋅=, 即33184cos60641648cos60274824tt ⨯⨯⨯︒+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=, 解得:14t =; 所以()13118428DM DE AM AD AB A A A D AB B D ⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 231131311cos 606484615428321632162AB AD A AB AB AB D ⎛⎫=-⋅=-︒=⨯-⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭故选:D.点评:本题主要考查由向量数量积求参数,以及求平面向量的数量积,熟记向量数量积运算法则,以及平面向量基本定理即可,属于常考题型. 二、填空题10.已知集合{}2,2mA =,{}(),,B m n m n R =∈,且14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则A B =________.答案:12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭根据交集的结果,先求出2m =-,从而得到14n =,再求并集,即可得出结果.解: 因为{}2,2mA =,{}(),,B m n m n R =∈,14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,所以124m=,解得2m =-;因此14n =. 所以12,,24AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.故答案为:12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 点评:本题主要考查由集合的交集求参数,以及集合的并集运算,属于基础题型.11.在522x⎫⎪⎭-的展开式中,5x 项的系数为________(用数字作答). 答案:80-根据二项展开式的通项公式,写出通项,即可根据题意求解. 解:因为522x⎫⎪⎭-的展开式的通项为()()5521555222r r rr rrrT C C xx -+-==--,令5552r -=,则3r =, 所以5x 项的系数为()335280C -=-.故答案为:80-. 点评:本题主要考查求指定项的系数,熟记二项式定理即可,属于基础题型.12.设0a >,0b >,若a 与2b 的等差中项是2,则22log 2log a b +的最大值是________. 答案:2根据题意,先得到24b a +=,再由对数运算,以及基本不等式,即可求出结果. 解:因为a 与2b 的等差中项是2, 所以24b a +=,又0a >,0b >,则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤,当且仅当2a b =,即2,a b ==.故答案为:2. 点评:本题主要考查由基本不等式求最值问题,涉及等差数列,以及对数运算,属于常考题型. 13.已知圆()()22:1116C x y ++-=,过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ,B 两点,且AB =l 的方程为________. 答案:280x y -+=根据几何法求弦长的公式,先求出圆心到直线l 的距离,根据点到直线距离公式,列出等式,即可求出直线斜率,进而可求出结果. 解:由题意,圆()()22:1116C x y ++-=的圆心为()1,1-,半径为4r =, 又由题意可知,AB 为弦长,所以圆心到直线l的距离为:d ===设直线l 的方程为:3(2)y k x -=+,即230kx y k -++=,所以d ==d ==24410k k -+=,解得:12k =. 故直线l 的方程为280x y -+=. 故答案为:280x y -+=. 点评:本题主要考查由弦长求直线方程,熟记直线与圆位置关系,以及弦长的求法即可,属于常考题型.14.天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问题,且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响,若每答对1个问题,得1分;答错,得0分,最后按照得分多少排出名次,并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为34,12,p .若教师甲恰好答对3个问题的概率是14,则p =________;在前述条件下,设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数,则X 的数学期望为________. 答案:23;2312. 先根据独立事件的概率计算公式,由题意,求出23p =;结合题意确定X 可能取的值分别为0,1,2,3,求出对应的概率,即可计算期望. 解:因为教师甲恰好答对3个问题的概率是14,所以311424p ⨯⨯=,解得:23p =; 由题意,随机变量X 的可能取值分别为:0,1,2,3;所以3121(0)11142324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 31231231261(1)111111423423423244P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,31231231211(2)11142342342324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,31261(3)423244P X ==⨯⨯==,因此,()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为:23;2312. 点评:本题主要考查独立事件的概率,以及求离散型随机变量的期望,属于常考题型.15.已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩.若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立,则实数a 的取值范围是________. 答案:(][),31,-∞--+∞分0x =,0x <,0x >三种情况,结合分离参数的方法,分别求出a 的范围,即可得出结果. 解:由题意,当0x =时,不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立; 当0x <时,不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤,所以11a x x≤+-, 又当0x <时,11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,当且仅当1x x -=-,即1x =-时,等号成立;当0x >时,不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤,即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭;因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立, 所以,只需213a ≤--=-或1a ≥-. 故答案为:(][),31,-∞--+∞.点评:本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题,注意利用参变分离把问题转化为函数的最值问题,后者可利用基本不等式求最值,也可以利用二次函数的性质求最值,本题属于常考题型. 三、解答题16.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sinsin 2A Ba c A +=,c =23a b =.(1)求角C 的大小; (2)求()sin C B -的值.答案:(1)3π;(2. (1)根据正弦定理,诱导公式,以及二倍角公式,得出1sin22C =,进而可求出结果; (2)由(1)的结果,根据余弦定理,求出2b =,3a =,再求出cos B ,sin B ,即可根据两角差的正弦公式求出结果. 解:(1)因为sinsin 2A Ba c A +=,,,A B C 分别为三角形内角, 由正弦定理可得:sin sin sin sin 2CA C A π-=,因为()0,A π∈,故sin 0A ≠, 所以cossin 2sin cos 222C C C C ==, 又0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因此2sin 12C =,所以1sin 22C =,因此26C π=即3C π=; (2)由(1)得1cos 2C =,因为7c =,23a b =, 由余弦定理可得:22222229713714cos 231232b b a bc C ab b b +-+-===-=,解得:2b =;所以3a =,因此2222cos 72767a c b B ac +-===,所以221sin 1cos B B =-=,故()3212121sin sin cos cos sin 7272714C B C B C B -=-=⨯-⨯=. 点评:本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形,以及三角恒等变换求函数值的问题,属于常考题型.17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11ABB A ,11BB C C 均为正方形,且1111A B B C ⊥,M 为1CC 的中点,N 为1A B 的中点.(1)求证://MN 平面ABC ; (2)求二面角1B MN B --的正弦值;(3)设P 是棱11B C 上一点,若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215,求111B P B C 的值答案:(1)证明过程见详解;(2)45;(3)13.(1)先取1AA 中点为O ,连接ON ,OM ,根据面面平行的判定定理,得到平面//MON 平面ABC ,进而可得//MN 平面ABC ;(2)先由题意,得到11B C ,1B B ,11B A 两两垂直,以1B 为坐标原点,分别以1B B ,11B C ,11B A 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设11ABB A 边长为2,分别求出平面BMN和平面1B MN 的一个法向量,根据向量夹角公式,求解,即可得出结果;(3)先设[]1110,1B Pt B C =∈,得到()1,22,0PM t =-,根据空间向量的夹角公式,列出等式求解,即可得出结果. 解:(1)取1AA 中点为O ,连接ON ,OM , 因为M 为1CC 的中点,N 为1A B 的中点, 所以//ON AB ,//OM AC , 又AB平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,AC AB A ⋂=,所以平面//MON 平面ABC , 又MN ⊂平面MON , 所以//MN 平面ABC ;(2)因为四边形11ABB A ,11BB C C 均为正方形,所以11B C ,1B B ,11B A 两两垂直, 以1B 为坐标原点,分别以1B B ,11B C ,11B A 为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设11ABB A 边长为2,则1(0,0,0)B ,(2,0,0)B ,1(0,2,0)C ,(2,2,0)C ,1(0,0,2)A ,所以(1,0,1)N ,(1,2,0)M ,因此1(1,2,0)B M =,(0,2,1)MN =-,(1,2,0)BM -=, 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =,则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩,所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩,令1y =,则22x z =⎧⎨=⎩,因此()2,1,2m =;设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =,则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩,所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩,令1y =,则22x z =-⎧⎨=⎩,因此()2,1,2n =-,设二面角1B MN B --的大小为θ, 则1cos cos ,94m nm n m nθ⋅=<>===+, 所以sin θ==; (3)因为P 是棱11B C 上一点,设[]1110,1B Pt B C =∈,则(0,2,0)P t , 所以()1,22,0PM t =-,由(2)知,平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-, 又直线PM 与平面1MNB所成角的正弦值为215,记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有2sin cos ,151PM n PM n PM nα⋅=<>====, 整理得221850t t +-=,解得13t =或57t =-(舍)所以11113B P t BC ==.点评:本题主要考查证明线面平行,求二面角,已知线面角求其它量的问题,熟记面面平行的判定定理与性质,以及二面角,线面角的向量求法即可,属于常考题型.18.已知抛物线2:42C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点,C的准线与E 交于P ,Q 两点,且2PQ =. (1)求E 的方程;(2)过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ,且BO (O 为坐标原点)的延长线交E 于点M ,若直线AM 的斜率为1,求l 的方程.答案:(1)22142x y +=;(2)220x y ++=. (1)根据题意,先得到椭圆焦点坐标,再由2PQ =,得到222b a=,根据焦点坐标得到2222c a b =-=,两式联立,求出24a =,22b =,即可得出结果;(2)先由题意,设直线l 的方程为2x my =-,()00,B x y ,联立直线与椭圆方程,求出点B 坐标,根据对称性,得到M 的坐标,再由直线斜率公式,即可求出结果. 解:(1)因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0,由题意,可得:椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为())2,0,2,0-,又抛物线C 的准线与E 交于P ,Q 两点,且2PQ =,将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=,所以2b y a =±,则222b a =,即2b a =①, 又2222c a b =-=②,根据①②解得:24a =,22b =,因此椭圆E 的方程为22142x y +=;(2)由(1)得22142x y +=的左顶点为()2,0A -,设直线l 的方程为2x my =-,()00,B x y ,由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=,所以0242A m y y m +=+,因此0242m y m =+,所以20022422m x my m -=-=+,则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,又因为BO (O 为坐标原点)的延长线交E 于点M ,则M 与B 关于原点对称,所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭,因为直线AM 的斜率为1,所以2224212422mm m m +=--++,解得:2m =-, 因此,直线l 的方程为:220x y ++=. 点评:本题主要考查求椭圆的方程,以及根据直线与椭圆位置关系求直线方程的问题,属于常考题型.19.设{}n a 是等比数列,{}n b 是等差数列.已知48a =,322a a =+,12b a =,265b b a +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩,其中*m N ∈,求数列{}n c 的前2n 项和.答案:(1)12n na ,2nb n =;(2)2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++⎪⎝⎭. (1)先设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,根据等差数列与等比数列的基本量运算,以及题中条件,求出q 和d ,即可得出通项公式;(2)分别求出奇数项与偶数项的和,再求和,即可得出结果. 解:(1)设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d , 由48a =,322a a =+得4422q a a q =+,即2882q q =+,解得:2q ,所以4131a a q==,因此12n n a ,又12b a =,265b b a +=,所以142612262b b b b d =⎧⎨+=+=⎩,解得122b d =⎧⎨=⎩, 因此2n b n =;(2)因为21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩,其中*m N ∈,当n 为偶数时,121n n c b n =+=+, 所以2242(341) (222)n n n c c n c n +++++==+;当n 为奇数时,2nn n n c a b n ==⋅,记352113521...123252...(21)2n n M c c c c n --=++++=⋅+⋅+⋅++-⋅①则357214123252...(21)2n M n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②得357212132222222 (22)(21)2n n M n -+-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅()4224682212122122222...2(21)22(21)212n n n n n n -++-=+++++--⋅=+--⋅-()422212122121052(21)2221233n n n n n -++-⎛⎫=+--⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭,所以2110252939n n M +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭, 因此数列{}n c 的前2n 项和为2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++ ⎪⎝⎭.点评:本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算,以及数列的求和,熟记等差与等比数列的通项公式,以及求和的方法即可,属于常考题型.20.已知函数()()ln 1f x x m x m R =--∈在1x =处取得极值A ,函数()()1x g x f x e x -=+-,其中 2.71828e =…是自然对数的底数.(1)求m 的值,并判断A 是()f x 的最大值还是最小值; (2)求()g x 的单调区间;(3)证明:对于任意正整数n ,不等式2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立. 答案:(1)1m =;A 是最小值;(2)单调递减区间是()0,1,单调递增区间是()1,+∞;(3)证明过程见详解.(1)先对函数求导,根据题意,得到()10f '=,求出1m =,研究函数单调性,即可判断出结果; (2)对函数()1ln 1x g x ex -=--求导,得到()11x xe g x x--'=,令1()1x h x xe -=-,对其求导,研究其单调性,即可判断函数()1ln 1x g x ex -=--的单调性;(3)先由(1)得1x >时,ln 1x x <-恒成立,令112nx =+,则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,进而求和,即可得出结果. 解:(1)因为()ln 1f x x m x =--,0x >,所以()1m f x x'=-, 又()ln 1f x x m x =--在1x =处取得极值A , 则()110f m '=-=,即1m =;所以()111x f x x x-'=-=,由()10x f x x -'=>得1x >;由()10x f x x-'=<得01x <<, 所以函数()ln 1f x x x =--在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增, 因此()ln 1f x x x =--在1x =处取得最小值,即A 是最小值; (2)由(1)得()11ln 1ln 1x x g x x x e x e x --=--+-=--,所以()1111x x xe g x e x x---'=-=, 令1()1x h x xe-=-,则111()(1)x x x h x e xe x e ---'=+=+,因为0x >,所以1()(1)0x h x x e -'=+>恒成立,因此1()1x h x xe-=-在()0,∞+上单调递增;又(1)0h =,所以,当(0,1)x ∈时,()0h x <,即()0g x '<; 当()1,x ∈+∞时,()0h x >,即()0g x '>;所以函数()g x 的单调递减区间是()0,1,单调递增区间是()1,+∞; (3)由(1)知,()ln 1(1)0f x x x f =--≥=, 所以ln 1x x ≤-,当1x >时,ln 1x x <-恒成立;令112n x =+,则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭, 因此231111ln 1ln 1ln 1...ln 12222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111111122 (1112222212)n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++==-<-, 即2111ln 1111ln 222n e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因此2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评:本题主要考查根据函数极值点求参数,考查求函数单调性,以及导数的方法证明不等式,属于常考题型.。
2020届天津市河北区高三总复习质量检测(一)(一模)数学试题Word版
河北区2019-2020学年度高三年级总复习质量检测(一)数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷(选择题 共45分)注意事项:1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共9小题,每小题5分,共45分。
参考公式:· 如果事件A ,B 互斥,那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )· 如果事件A ,B 相互独立,那么P (AB )=P (A )⋅P (B )· 球的表面积公式 S =24R π 球的体积公式 V =343R π其中R 表示球的半径一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{123456}U =,,,,,,{1234}A =,,,,{246}B =,,,则集合()U A B =U ð(A ){5} (B ){15},(C ){24}, (D ){12346},,,,(2)设a ∈R ,则“>2a ”是“24a >”的(A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件(3)已知直线l :2x ay +=与圆C :224x y +=相交于M ,N两点,若MN =则直线l 的斜率为(A )33(B )33±(C )3 (D )3- (4)已知双曲线22221(00)x y a b ab-=>>,的焦距为4,点(23),为双曲线上一点,则双曲线的渐近线方程为 (A )12y x =±(B )y x =±(C )33y x =± (D )3y x=±(5)已知函数()f x 的图象如图所示,则该图象所对应的函数可能是(A )()2xx f x =(B )()22xf x =-(C )2()2xf x x =-(D )()e xf x x =-(第(5)题图)(6)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在[0+)∞,单调递增,设3()2a f =,3(log 7)b f =,3(0.8)c f =-,则a ,b ,c 的大小关系为(A )b a c << (B )c b a <<(C )c a b << (D )a c b <<(7)在等腰梯形ABCD 中,222AB DC AD ===,60DAB ∠=︒,E 为AB 的中点,将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED ,EC 向上折起,使A ,B 重合为点F ,则三棱锥F DCE -的外接球的体积为(A )2π3 (B )6π (C )3π2(D )6π(8)将函数()cos(2sin23cos)3(0)222xxxf x ωωωω=-+>的图象向左平移π3ω个单位长度,得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在π[0]4,为增函数,则ω的最大值为 (A )1 (B )2(C )3 (D )4(9)已知函数23+21()ln 1x x x f x =x x >⎧⎨⎩,≤,,,- 若关于x 的方程()f x ax a =- 恰有1个实根,则实数a 的取值范围是(A )[10][1+)-∞U ,, (B )(1][01]-∞-U ,, (C )[11]-, (D )(1]1)-∞-+∞U ,,河北区2019-2020学年度高三年级总复习质量检测(一)数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2020年天津市河北区高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)
2020年天津市河北区高考数学一模试卷(理科)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)1.已知集合M={x|1≤x≤3},N={x|x>2},则集合M∩(∁R N)=()A. {x|1≤x≤2}B. {x|x≥1}C. {x|1≤x<2}D. {x|2<x≤3}2.i为虚数单位,则复数=()A. B. C. - D. -3.设x∈R,则“(x+1)(x-2)>0”是“|x|≥1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(0,+∞)内单调递减,则()A. f(0)<f(log32)<f(-log23)B. f(log32)<f(0)<f(-log23)C. f(-log23)<f(log32)<f(0)D. f(log32)<f(-log23)<f(0)5.将函数f(x)=cos(x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,则所得函数的最小正周期为()A. πB. 2πC. 4πD. 8π6.在平面直角坐标系中,经过点P(2,-),渐近线方程为y=x的双曲线的标准方程为()A. B. C. D.7.已知边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕,将△ABC折成直二面角B-AD-C,则过A,B,C,D四点的球的表面积为()A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π8.设函数f(x)=当x∈[-,]时,恒有f(x+a)<f(x),则实数a的取值范围是()A. (,)B. (-1,)C. (,0)D. (,-]二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)9.执行如图所示的程序框图,则输出k的值是______.10.二项式的展开式中,常数项为______(用数字作答)11.设实数x,y满足约束条件,则z=3x+4y的最大值为______.12.若lg a+lg b=0,则的最小值是______.13.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有______ 个.14.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=60°,点E在CD上,满足,则=______.三、解答题(本大题共6小题,共80.0分)15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a-c=b,sin B=sin C.(Ⅰ)求cos A的值;(Ⅱ)求sin(2A+)的值.16.某小组共7人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动的次数为1,2,3的人数分别为2,2,3.现从这7人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(I)设A为事件“选出的2人参加义工活动的次数之和为4”,求事件A发生的概率;(Ⅱ)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及数学期望.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD∥BC,AD⊥AB,且PB=AB=AD=3,BC=1,M为棱PD上的点.(Ⅰ)若PM=PD,求证:MC∥平面PAB:(Ⅱ)求直线BD与平面PAD所成角的大小;(Ⅲ)求二面角C-PD-A的余弦值.18.已知公比为正数的等比数列{a n},首项a1=3,前n项和为S n(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n(n∈N*).19.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若过原点的直线l1与椭圆C交于P,Q两点,且在直线l2:x-y+2=0上存在点M,使得△MPQ为等边三角形,求直线l1的方程.20.已知函数f(x)=a ln x-x2+(2a-1)x,其中a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)求函数f(x)的极值;(Ⅲ)若函数f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围.-------- 答案与解析 --------1.答案:A解析:解:∵M={x|1≤x≤3},N={x|x>2},∴∁R N={x|x≤2},则集合M∩(∁R N)={x|1≤x≤2}.故选:A.根据集合补集交集的定义进行计算即可.本题主要考查集合的基本运算,根据补集交集的定义是解决本题的关键.比较基础.2.答案:B解析:解:=.故选:B.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.答案:A解析:解:由(x+1)(x-2)>0得x>2或x<-1,由|x|≥1得x≥1或x≤-1,则“(x+1)(x-2)>0”是“|x|≥1”的充分不必要条件,故选:A.根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键.比较基础.4.答案:C解析:解:根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-log23)=f(log23),又由f(x)在(0,+∞)内单调递减,且0<log32<1<log23,则有f(log23)<f(log32)<f(0),即有f(-log23)<f(log32)<f(0);故选:C.根据题意,由偶函数的性质可得f(-log23)=f(log23),结合函数的单调性可得f(log23)<f(log32)<f(0),分析即可得答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及对数大小的比较,属于基础题.5.答案:C解析:解:y=cos(x+)y=cos(x+)y=cos[(x+)+]=cos(x+),其周期T==4π.故选:C.将函数y=cos(x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)⇒y=cos(x+),再向左平移个单位⇒y=cos[(x+)+],从而可求得其周期.本题考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换及三角函数的周期性及其求法,关键是明确平移的法则(左加右减上加下减)及平移的单位与自变量的系数有关系,属于中档题.6.答案:B解析:解:根据题意,双曲线的渐近线方程为y=x,设双曲线方程为:,双曲线经过点P(2,-),则有8-1=a,解可得a=7,则此时双曲线的方程为:,故选:B.设出双曲线的方程,经过点P(2,-),求出a的值,即可得双曲线的方程.本题考查双曲线的几何性质,涉及双曲线的标准方程的求法,注意双曲线离心率公式的应用.7.答案:C解析:【分析】本题考查了折叠问题的应用,球的表面积公式的应用,属基础题.首先对平面图形进行转换,进一步求出外接球体的半径,最后求出球的表面积.【解答】解:如图所示:边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕,将△ABC折成直二面角B-AD-C,则:,BD=CD=1,设求的半径为r,故:(2r)2=1+1+3=5,所以:,所以S=,故球体的表面积为5π.故选:C.8.答案:C解析:解:a=0时,显然不符题意;当x∈[-,]时,恒有f(x+a)<f(x),即为f(x)的图象恒在f(x+a)的图象之上,则a<0,即f(x)的图象右移.故A,B错;画出函数f(x)=(a<0)的图象,当x=-时,f(-)=-a•-;而f(x+a)=,则x=-时,由-a(-+a)2+a-=-a•-,解得a=(舍去),随着f(x+a)的图象左移至f(x)的过程中,均有f(x)的图象恒在f(x+a)的图象上,则a的范围是(,0),故选:C.考虑a=0,a>0不成立,当a<0时,画出f(x)的图象和f(x+a)的大致图象,考虑x=-时两函数值相等,解方程可得a的值,随着y=f(x+a)的图象左移至f(x)的过程中,均有f(x)的图象恒在f(x+a)的图象上,即可得到a的范围.本题考查不等式恒成立问题解法,注意运用转化思想,化为图象之间的关系,由图象平移结合数形结合思想方法,考查运算能力,属于难题.9.答案:5解析:解:S=20,S>0成立,S=20-3=17,k=2S=17,S>0成立,S=17-6=11,k=3S=11,S>0成立,S=11-9=2,k=4S=2,S>0成立,S=2-12=-12,k=5S=-12,S>0不成立,输出此时k=5,故答案为:5根据程序框图进行模拟运算即可.本题主要考查程序框图的识别和判断,利用模拟运算法是解决本题的关键.10.答案:112解析:解:依题意,二项式的展开式的第k+1项为:T k+1==•,由8-=0解得,k=6,所以常数项为:=112,故答案为:112.根据二项展开式的通项处理即可本题考查了二项式定理,主要考查了二项展开式的通项,属于基础题.11.答案:18解析:解:作出约束条件,所示的平面区域,如图:作直线3x+4y=0,然后把直线向可行域平移,结合图形可知,平移到点A时z最大,由,可得A(2,3),此时z=18.故答案为:18.先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各交点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数z=3x+4y的最大值.本题主要考查了线性规划中的最值问题,属于基础题.12.答案:2解析:解:依题意lg a+lg b=0,所以a>0,b>0,且lg ab=0,即ab=1,所以≥2==2.当且仅当=,即a=,b=时,取得等号.故填:2.因为lg a+lg b=0,所以ab=1,利用基本不等式即可得到的最小值.本题考查了基本不等式,在使用基本不等式时,注意使用条件为“一正,二定,三相等”,本题属于基础题.13.答案:120解析:解:根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;分两种情况讨论:①首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有3×24=72个,②首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有2×24=48个,共有72+48=120个.故答案为:120.根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;进而对首位数字分2种情况讨论,①首位数字为5时,②首位数字为4时,每种情况下分析首位、末位数字的情况,再安排剩余的三个位置,由分步计数原理可得其情况数目,进而由分类加法原理,计算可得答案.本题考查计数原理的运用,关键是根据题意,分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征,进而可得其可选的情况.14.答案:解析:解:由题意可知:点E为DC的中点且=1,又=()•(-)=()•(-)=2-2=1-×4+×1=-,故答案为:-.由平面向量线性运算及平面向量数量积运算可得:=()•(-)=2-2,再结合=1即可得解.本题考查了平面向量线性运算及平面向量数量积运算,属中档题.15.答案:(本题满分为13分)解:(Ⅰ)∵sin B=sin C,∴由正弦定理可得:b=c,…2分又∵a-c=b,∴a=2c,…3分由余弦定理可得:cos A==,…6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin A==,…7分∴sin2A=2sin A cosA=,…9分cos2A=2cos2A-1=-,…11分∴sin(2A+)=sin2A cos+cos2A sin=.…13分解析:(Ⅰ)由正弦定理化简已知可得b=c,又a-c=b,可求a=2c,由余弦定理可得cos A的值.(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sin A,利用二倍角公式可求sin2A,cos2A的值,根据两角和的正弦函数公式可求sin(2A+)的值.本题主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角公式,两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.16.答案:解:(I)由已知得:P(A)==,所以,事件A发生的概率为.(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2;计算P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==;所以,随机变量X的分布列为:X012P随机变量X的数学期望为:E(X)=0×+1×+2×=.解析:(I)利用已知条件转化求解事件A发生的概率即可.(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2;求出概率,得到分布列,然后求解期望即可.本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,考查转化思想以及计算能力.17.答案:解:(Ⅰ)证明:由题意可知:BA、BC、BP两两垂直,以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BP为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),D(3,3,0),M(1,1,2),C(1,0,0),=(0,-1,-2),平面PAB的法向量=(1,0,0),∵=0,MC⊄平面PAB,∴MC∥平面PAB.(Ⅱ)解:A(0,3,0),B(0,0,0),=(3,3,0),=(0,3,-3),=(3,3,-3),设平面PAD的法向量=(x,y,z),则,取y=1,得=(0,1,1),设直线BD与平面PAD所成角为θ,则sinθ===,∴θ=30°,∴直线BD与平面PAD所成角的大小为30°.(Ⅲ)解:=(1,0,-3),设平面PCD的法向量=(x1,y1,z1),则,取x1=3,得=(3,-2,1),平面PAD的法向量=(0,1,1),设二面角C-PD-A的平面角为γ,则cosγ===.∴二面角C-PD-A的余弦值为.解析:本题考查线面平行的证明,考查线面角、二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.(Ⅰ)以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明MC∥平面PAB.(Ⅱ)求出平面PAD的法向量,利用向量法能求出直线BD与平面PAD所成角的大小.(Ⅲ)求出平面PCD的法向量和平面PAD的法向量,利用向量法能求出二面角C-PD-A的余弦值.18.答案:解:(1)依题意公比为正数的等比数列{a n}(n∈N*),首项a1=3,设a n=3q n-1,因为S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列,所以2(S5+a5)=S3+a3+S4+a4,即2(a1+a2+a3+a4+2a5)=(a1+a2+2a3+(a1+a2+a3+2a4),化简得4a5=a3,从而4q2=1,解得q=±,因为{a n}(n∈N*)公比为正数,所以q=,a n=6×()n,n∈N*;(2)b n==n•()n,则T n=1•()+2•()2+3•()3+…+(n-1)•()n-1+n•()n,T n=1•()2+2•()3+3•()4+…+(n-1)•()n+n•()n+1,两式相减可得T n=+()2+()3+()4+…+()n-n•()n+1=-n•()n+1,化简可得T n=2-(n+2)•()n.解析:(1)设公比为q>0,由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,解方程可得q,即可得到所求通项公式;(2)求得b n==n•()n,运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理即可得到所求和.本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,等差数列中项的性质,考查数列的求和方法:错位相减法,考查运算能力,属于中档题.19.答案:解:(Ⅰ)由题意可知:椭圆的离心率为e═==.即a2=4b2,由椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,1),代入可知:,解得:b2=2,则a2=8,∴椭圆C的方程;(Ⅱ)显然,直线l的斜率k存在,设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),(1)当k=0,直线PQ的垂直平分线为y轴,y轴与直线m的交点为M(0,2),由丨PO丨=2,丨MO丨=2,∴∠MPO=60°,则△MPQ为等边三角形,此时直线l1的方程为y=0,当k≠0时,设直线l1的方程为y=kx,则,整理得:(1+4k2)x2=8,解得:丨x0丨=,则丨PO丨=•,则PQ的垂直平分线为y=-x,则,解得:,则M(-,),∴丨MO丨=,∵△MPQ为等边三角形,则丨MO丨=丨PO丨,∴=••,解得:k=0(舍去),k=,∴直线l1的方程为y=x,综上可知:直线l1的方程为y=0或y=x.解析:(Ⅰ)椭圆的离心率为e═==.即a2=4b2,将点M(2,1),代入椭圆方程即可求得a和b的值,求得椭圆C的方程;(Ⅱ)当k=0,直线PQ的垂直平分线为y轴,y轴与直线m的交点为M(0,2),满足△MPQ为等边三角形,求直线l1的方程y=0,当k≠0时,设直线l1的方程为y=kx,代入椭圆方程,求得丨PO丨,则垂直平分线的方程y=-x,与直线l2:x-y+2=0上存在点M坐标,由等边三角形的性质可知:丨MO丨=丨PO丨,代入即可求得k的值,求得直线l1的方程.本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查等边三角形的性质,考查计算能力,属于中档题.20.答案:解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=ln x-x2+x,函数的定义域为(0,+∞).f′(x)=.当f′(x)>0,即0<x<1时,函数f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.∴函数f(x)的单调增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞);(Ⅱ)∵f′(x)=.当a≤0时,∵f′(x)<0恒成立,∴函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,无极值;当a>0时,令f′(x)=0,得x=a.当x∈(0,a)时,f′(x)>0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,∴当x=a时,函数f(x)取得极大值f(a)=a(ln a+a-1);(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,则f(x)至多有一个零点,不符题意,舍去;当a>0时,函数f(x)取得极大值f(a)=a(ln a+a-1),令g(x)=ln x+x-1(x>0),g′(x)=>0,g(x)在(0,+∞)内单调递增,又g(1)=0,∴0<x<1时,g(x)<0,x>1时,g(x)>0.①当0<a≤1时,f(a)=ag(a)≤0,则f(x)至多有一个零点,不合题意;②当a>1时,f(a)=ag(a)>0.∵f()=a()<0.∴函数f(x)在(,a)内有一个零点;∵f(3a-1)=a ln(3a-1)-(3a-1)2+(2a-1)(3a-1)=a[ln(3a-1)-(3a-1)],设h(x)=ln x-x(x>2),∵h′(x)=<0,∴h(x)在(2,+∞)内单调递减,则h(3a-1)<h(2)=ln2-2<0.∴f(3a-1)=a•h(3a-1)<0.∴函数f(x)在(a,3a-1)内有一个零点.∴当a>1时,函数f(x)恰有两个不同零点.综上,当函数f(x)有两个不同的零点时,a的取值范围是(1,+∞).解析:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=ln x-x2+x,求其导函数,由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性;(Ⅱ)f′(x)=.当a≤0时,f′(x)<0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,无极值;当a>0时,令f′(x)=0,得x=a.由单调性可得当x=a时,函数f(x)取得极大值f(a)=a(ln a+a-1);(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,则f(x)至多有一个零点,不符题意,舍去;当a>0时,函数f(x)取得极大值f(a)=a(ln a+a-1),令g(x)=ln x+x-1(x >0),讨论g(x)的单调性,再分0<a≤1和a>1分析函数f(x)的零点情况,可得当函数f(x)有两个不同的零点时,a的取值范围是(1,+∞).本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.。
天津市河北区2020届高三总复习质量检测(一)(一模)数学试题
河北区2019-2020学年度高三年级总复习质量检测(一)数 学· 如果事件A ,B 互斥,那么P (A ∪B )=P (A )+P (B ) · 如果事件A ,B 相互独立,那么 P (AB )=P (A )⋅P (B ) · 球的表面积公式 S =24R π 球的体积公式 V =343R π其中R 表示球的半径一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{123456}U =,,,,,,{1234}A =,,,,{246}B =,,,则集合()U A B =U ð(A ){5} (B ){15},(C ){24}, (D ){12346},,,,(2)设a ∈R ,则“>2a ”是“24a >”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件(3)已知直线l :2x ay +=与圆C :224x y +=相交于M ,N两点,若MN =则直线l 的斜率为 (A)3(B)3±(C(D) (4)已知双曲线22221(00)x y a b ab-=>>,的焦距为4,点(23),为双曲线上一点,则双曲线的渐近线方程为 (A )12y x =±(B )y x =±(C)3y x = (D)y =(5)已知函数()f x 的图象如图所示,则该图象所对应的函数可能是(A )()2xx f x =(B )()22xf x =-(C )2()2xf x x =-(D )()e xf x x=-(第(5)题图)(6)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在[0+)∞,单调递增,设3()2a f =,3(log 7)b f =,3(0.8)c f =-,则a ,b ,c 的大小关系为(A )b a c <<(B )c b a <<(C )c a b << (D )a c b <<(7)在等腰梯形ABCD 中,222AB DC AD ===,60DAB ∠=︒,E 为AB 的中点,将ADE∆与BEC ∆分别沿ED ,EC 向上折起,使A ,B 重合为点F ,则三棱锥F DCE -的外接球的体积为(A )2π3(B )6π (C )3π2(D )6π(8)将函数()cos(2sin23cos)3(0)222xxxf x ωωωω=-+>的图象向左平移π3ω个单位长度,得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在π[0]4,为增函数,则ω的最大值为(A )1 (B )2 (C )3 (D )4(9)已知函数23+21()ln 1x x x f x =x x >⎧⎨⎩,≤,,,- 若关于x 的方程()f x ax a =- 恰有1个实根,则实数a 的取值范围是(A )[10][1+)-∞U ,, (B )(1][01]-∞-U ,, (C )[11]-, (D )(1]1)-∞-+∞U ,,河北区2019-2020学年度高三年级总复习质量检测(一)数 学 第Ⅱ卷注意事项:1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2020届天津市一模数学试题(解析版)
2020届天津市一模数学试题一、单选题1.设集合{}11A x x =-<<,{}2,B y y x x A ==∈,则R A C B =I ( )A .{}01x x ≤<B .{}10x x -<< C .{}01x x << D .{}11x x -<<【答案】B【解析】求解出集合B ,根据补集定义求得R C B ,利用交集定义求得结果. 【详解】当()1,1x ∈-时,[)20,1x ∈,即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞U{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项:B 【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题,属于基础题.2.若点(),3m 在函数()()121log 1f x x =--的图象上,则πtan 6m =( )A B C .D .3-【答案】D【解析】将点(),3m 代入函数解析式可求得m ,根据特殊角三角函数值可求得结果. 【详解】由题意知:()121log 13m --=,解得:5m =5tantan 663m ππ∴==-本题正确选项:D 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题,关键是能够利用点在函数上求得参数的取值,属于基础题.3.若ABC V 的三个内角A ,B ,C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==,则ABC V 是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形C .钝角三角形D .以上都有可能【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边关系,利用余弦定理可求得cos 0C <,从而得到三角形为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得:643a b c ==,则34b c =,12a c =由余弦定理可知:222222191416cos 01324224c c c a b c C ab c c +-+-===-<⨯⨯ 又()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形本题正确选项:C 【点睛】本题考查三角形形状的判断,关键是能够灵活运用正余弦定理,通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.4.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3440x y ++=与圆C 相切,则圆C 的方程为( ) A .22230x y x +--= B .2240x y x ++= C .22230x y x ++-= D .2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >,根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =,进而得到圆心和半径,于是可得圆的方程.【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >, ∵圆C 与直线3440x y ++=相切,2=,解得a =2.∴圆心为(2,0)C ,半径为2r ==,∴圆C 的方程为(x ﹣2)2+y 2=4,即2240x y x +-=. 故选D . 【点睛】求圆的方程时要把握两点:一是求出圆心的坐标;二是求出圆的半径,然后再根据要求写出圆的方程即可,求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用,这样可以简化运算,提高解题的速度.5.在等比数列{}n a 中,公比为q ,则“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当1q >时,当10a <时,可知等比数列不是递增数列,得不充分条件;当等比数列{}n a 为递增数列时,当10a <时,01q <<,得不必要条件;综上可得结果. 【详解】当1q >时,若2q =,12a =-,则24a =-,则21a a <,此时等比数列{}n a 不是递增数列∴“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的不充分条件;当等比数列{}n a 为递增数列时,此时1n n a a +>,即111n n a q a q ->若10a <,则1n n q q -<,此时01q <<∴“等比数列{}n a 为递增数列”是“1q >”的不必要条件;综上所述:“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 本题正确选项:D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定,关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数列为递增数列和公比之间的关系.6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(),0-∞上单调递减,若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()2log 4.1b f =,()0.52c f =,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a b c <<B .b a c <<C .c a b <<D .c b a <<【答案】D【解析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增,并能将a 变为()2log 5f ;根据自变量的大小关系,结合函数单调性可得结果. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则:()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>>Q ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即:a b c >> 本题正确选项:D 【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题,关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性,进而将问题转变为自变量的大小的比较. 7.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+,若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭,则()f x 取最大值时x 的值为( ) A .()3k k Z ππ+∈ B .()4k k Z ππ+∈ C .()6k k Z ππ+∈D .()6k k Z ππ-∈【答案】C【解析】根据()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可求得ϕ的范围;利用()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知()f x 关于6x π=对称,从而可得ϕ的取值;二者结合求得ϕ,代入函数解析式,令()222x k k Z πϕπ+=+∈解出x 即为结果.【详解】由()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭得:()()sin 2sin πϕπϕ+>+,即:sin sin ϕϕ>-sin 0ϕ∴> ()22k k k Z πϕππ∴<<+∈由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭得:()f x 关于6x π=对称 ()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈()6k k Z πϕπ∴=+∈,又()22k k k Z πϕππ<<+∈()26k k Z πϕπ∴=+∈ ()sin 22sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()2262x k k Z πππ+=+∈,即()6x k k Z ππ=+∈时,()f x 取最大值本题正确选项:C 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、根据函数的最值求解自变量取值的问题,关键是能够判断出函数的对称轴,并能够根据函数值的大小关系得到ϕ的范围.8.在矩形ABCD 中,3AB =,2BC =,设矩形所在平面内一点P 满足1CP =u u u r,记1I AB AP =⋅u u u v u u u v ,2I AC AP =⋅u u u v u u u v ,3I AD AP =⋅u u u v u u u v,则( )A .存在点P ,使得12I I =B .存在点P ,使得13I I =C .对任意点P ,都有12I I <D .对任意点P ,都有13I I <【答案】C【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系,可知P 点轨迹方程为221x y +=;利用坐标表示出12I I -和13I I -,利用y 的取值范围和三角函数的知识可求得结论. 【详解】以C 为原点,可建立如下图所示的平面直角坐标系:则P 点轨迹是以C 为圆心,1为半径的圆;()0,2B ,()3,0D ,()3,2A设(),P x y ,则221x y +=()12I I AB AP AC AP AB AC AP CB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()0,2CB =u u u v,()3,2AP x y =--u u u r1224I I CB AP y ∴-=⋅=-u u u r u u u r[]1,1y ∈-Q []246,2y ∴-∈-- 120I I ∴-<,即12I I < ()13I I AB AP AD AP AB AD AP DB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()3,2DB =-u u u r ,()3,2AP x y =--u u u r133924325I I DB AP x y x y ∴-=⋅=-++-=-++u u u r u u u r设()cos ,sin P θθ则()133cos 2sin 55I I θθθϕ-=-++-+,其中2tan 3ϕ=-()[]sin 1,1θϕ-∈-Q ()55θϕ⎡-+∈+⎣即130I I ->,即13I I >综上所述,对于任意点P ,都有12I I <,13I I > 本题正确选项:C 【点睛】本题考查平面向量的应用问题,关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式,将问题转化为坐标运算的问题;通过作差法比较大小,利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、填空题9.设复数z 满足()1i 3i z +=-,则z =______.【解析】求解出复数z ,根据模长的定义可求得结果. 【详解】 由题意得:()()3132412122i i i iz i i ----====-+z ∴==【点睛】本题考查复数的模长的求解问题,属于基础题.10.已知三棱锥P ABC -的侧棱PA ,PB ,PC 两两垂直,且长度均为1,若该三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积为______. 【答案】3π【解析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分,其外接球直径为正方体的体对角线长,可得半径和表面积. 【详解】由三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ,PB ,PC 两两垂直可知, 该三棱锥为棱长为1的正方体的一角,故球O 的表面积为:3π. 故答案为3π. 【点睛】此题考查了几何体外接球问题,难度不大.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.11.若不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解,则实数a 的取值范围是______.【答案】)+∞.【解析】将问题转换为()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点;分类讨论去掉原不等式中的绝对值符号,利用导数求解出()f x 在不同区间内的单调性,从而可得()f x 的图象;由于直线2y ax =-恒过点()0,-2,通过图象可知当直线2y ax =-过)A时为临界状态,求出临界状态时a 的取值,从而得到取值范围.【详解】当(x ∈时,320x x -<,此时不等式为:3222x x x ax -++≤-当)2,4x ⎡∈⎣时,320x x -≥,此时不等式为:3222x x x ax +-≤- 令()322g x x x x =-++,()0,2x ∈,则()2322g x x x '=-++,()0,2x ∈当170,3x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0g x ¢>;17,23x ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝时,()0g x ¢< 即()g x 在170,3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增;在17,23⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝上单调递减 令()322h x x x x =+-,)2,4x ⎡∈⎣,则()2322h x x x '=+-,)2,4x ⎡∈⎣当)2,4x ⎡∈⎣时,()()24220h x h''≥=+>()h x ∴在)2,4⎡⎣上单调递增由此可得:()()232,0,4f x x x x x =+-∈的图象如下图所示:可知:)2,2A则不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解等价于()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点 Q 直线2y ax =-恒过点()0,-2∴当直线2y ax =-过点A 时为临界状态,此时22a =∴当22a ≥时,不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解本题正确结果:)22,⎡+∞⎣ 【点睛】本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题,关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题,通过数形结合的方式来进行求解;其中涉及到利用导数来判断函数的单调性,从而得到函数的大致图象.12.如图,已知2AC =,B 为AC 的中点,分别以AB ,AC 为直径在AC 的同侧作半圆,M ,N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ,B ,C ),且BM BN ⊥,则AM CN⋅u u u u r u u u r的最大值为______.【答案】14【解析】分析:以A 为坐标原点,AC 所在直线为x 轴,建立如图所示的直角坐标系,求得AB C ,,的坐标,可得以AB 为直径的半圆方程,以AC 为直径的半圆方程,设出M N ,的坐标,由向量数量积的坐标表示,结合三角函数的恒等变换可得2αβ=,再由余弦函数、二次函数的图象和性质,计算可得最大值.详解:以A 为坐标原点,AC 所在直线为x 轴,建立如图所示的直角坐标系,可得001020A B C (,),(,),(,),以AB 为直径的半圆方程为2211,0024x y x y -+=()(>,>), 以AC 为直径的半圆方程为(2211,00x y x y -+=)(>,>) , 设11110222Mcos sin N cos sin BM BN (,),(,),<,<,,ααββαβπ++⊥ 可得1110222BM BN cos sin cos sin ααββ⋅=-+⋅=u u u u v u u u v (,)(,), 即有11022cos cos cos sin sin βαβαβ-++=(), 即为cos cos cos sin sin ,βαβαβ=+ 即有0cos cosβαβαβπ=-(),<,<, 可得αββ-= ,即2αβ= , 则111 1222AM CN cos sin cos sin ααββ⋅=+⋅-+u u u u v u u u v (,)(,)11112222cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--+++()2211114222cos cos cos cos cos αββββ=--+=-=--+(),可得102cos ,β-= 即β233ππα==,时, AM CN ⋅u u u u v u u u v 的最大值为14,故答案为14.点睛:本题考查向量的坐标运算,向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用,三角函数的恒等变换,考查余弦函数的性质,考查运算能力,属于中档题. 13.已知正实数x ,y 满足141223x y x y+=++,则x y +的最小值为______. 【答案】94【解析】构造与已知条件有关的等式关系.x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦,利用基本不等式的性质即可解决. 【详解】∵x >0,y >0,∴2x+y >0,2x+3y >0,x+y >0,12x y ++423x y +=1,x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦, 那么:x+y=(x+y )×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×(12x y ++423x y +) =14(1+()42234232x y x y x y x y ++++++)=()522342342x y x y x y x y ++++++∵()2232342x y x y x y x y +++≥++=1,当且仅当2x=y=32时取等号.所以:x+y≥59144+=. 故x+y 的最小值为94.故答案为94【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化.构造出与已知条件的形式.利用基本不等式的性质求解.属于中档题.14.某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有______种. 【答案】474.【解析】采用间接法,首先求解出任意安排3节课的排法种数;分别求出前5节课连排3节和后4节课连排3节的排法种数;作差即可得到结果.【详解】从9节课中任意安排3节共有:39504A =种其中前5节课连排3节共有:33318A =种;后4节课连排3节共有:33212A =种∴老师一天课表的所有排法共有:5041812474--=种本题正确结果:474 【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解,对于限制条件较多的问题,通常采用间接法来进行求解.三、解答题15.已知向量,14x m ⎫=⎪⎭r,2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ,()f x m n =⋅r r . (Ⅰ)求函数()f x 的单增区间; (Ⅱ)若()1f x =,求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值; (Ⅲ)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足()2cos cos a c B b C -=,求函数()y f A =的范围.【答案】(1)4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)12;(3)31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】试题分析:(1)利用平面向量的数量积得到f (x )的解析式,求解单调区间即可;(2)由(1)的解析式,利用f (x )=1,结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值即可; (3)结合正弦定理结合内角和公式,得到fA .的解析式,结合三角函数的有界性求值域即可.试题解析:(1)21cosπ12cos sin 44222262xx x xx m n v v+⎛⎫⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭,∴()π1262x f x sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+,k Z ∈得:4π2π4π4π33k x k -≤≤+,k Z ∈. ()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k Z ,⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)()2cos cos 444x x x f x m n v v =⋅=+.11π1cos sin 22222262x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. ∵()1f x =,∴π1sin 262x ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴2ππ1cos 12sin 3262x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(3)∵()2cos a c cosB b C -=.由正弦定理得()2sin sin cos sinA C cosB B C -=. ∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=.∴()2sin cos sin A B B C =+. ∵πA B C ++=.∴()sin sin 0B C A +=≠.∴1cos 2B =. ∵0πB <<.∴π3B =.∴2π03A <<.∴πππ6262A <+<,π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,. 又∵()π1262x f x sin ⎛⎫=++⎪⎝⎭.∴()π1262A f A sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫⎪⎝⎭,.【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如()sin y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.16.某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队(简称“青志队”),他们参加活动的次数统计所示.参加人数51520(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生,求这3名同学中至少有两名同学参加活动次数恰好相等的概率;(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生,用X表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及数学期望EX.【答案】(1)(2)略【解析】(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为…………………………………………4分…………………………………………5分(Ⅱ)由题意知……………………………………6分……………………………………7分……………………………………8分的分布列:0 1 2…………………………………………10分的数学期望:…………12分17.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD.E 为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)13.【解析】试题分析:本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问,利用线面平行的定理,先证明线线平行,再证明线面平行;第二问,可以先找到线面角,再在三角形中解出正弦值,还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析:(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,所以CM∥平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(Ⅱ)方法一:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA⋂AD=A,所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA⊥平面ABCD,从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,所以AH=2 2.在Rt△PAH中,PH=22PA AH+=32,所以sin∠APH=AHPH=13.方法二:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA⋂AD=A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.作Ay⊥AD,以A为原点,以ADu u u r,APu u u r的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以PEu u u r=(1,0,-2),ECuuu r=(1,1,0),APu u u r=(0,0,2)设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),由0,{0,n PEn EC⋅=⋅=u u u u u u u u ru u u r得20,{0,x zx y-=+=设x=2,解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α,则sinα=||n APn AP⋅⋅u u u u ru u u r=22221322(2)1=⨯+-+.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.【考点】线线平行、线面平行、向量法.18.已知椭圆C:2222x ya b+=1(a>b>0),点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点,直线AB与圆G:x2+y2=24c(c是椭圆的半焦距)相离,P是直线AB上一动点,过点P 作圆G的两切线,切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点421,3⎛⎝⎭、333⎛⎫⎪⎪⎝⎭,求椭圆C的方程;(2)当c为定值时,求证:直线MN经过一定点E,并求OPuuu r·OEuuu r的值(O是坐标原点);(3)若存在点P使得△PMN为正三角形,试求椭圆离心率的取值范围..【答案】(1)2294x y+=1.(2)见解析(3)5110222e≤--【解析】(1)解:令椭圆mx2+ny2=1,其中m=21a,n=21b,得3219271.4m nm n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+=,+=所以m =19,n=14,即椭圆方程为2294x y+=1.(2)证明:直线AB:x ya b+-=1,设点P(x0,y0),则OP的中点为00,22x y⎛⎫⎪⎝⎭,所以点O、M、P、N所在的圆的方程为220022x yx⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+y-=22004x y+,化简为x2-x0x+y2-y0y=0,与圆x2+y2=24c作差,即直线MN:x0x+y0y=24c.因为点P(x0,y0)在直线AB上,得00x ya b+-=1,所以x0bx ya⎛⎫⎪⎝⎭++24cby⎛⎫⎪⎝⎭-=0,即24bx yacby⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+=,-=,得x=-24ca,y=24cb,故定点E2244c ca b⎛⎫⎪⎝⎭-,,OPuuu r·OEuuu r=220044b c cx x ba a b⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,+-,=24c.(3)解:由直线AB与圆G:x2+y2=24c(c是椭圆的焦半距)22a b+>2c,即4a2b2>c2(a2+b2),4a2(a2-c2)>c2(2a2-c2),得e4-6e2+4>0.因为0<e<1,所以0<e2<35①.连结ON、OM、OP,若存在点P使△PMN为正三角形,则在Rt△OPN中,OP=2ON=2r=c22a b+≤c,a2b2≤c2(a2+b2),a2(a2-c2)≤c2(2a2-c2),得e4-3e2+1≤0.因为0<e<135-≤e2<1,②.35-≤e2<3551102e≤--19.已知数列{}n a中,02a=,13a=,26a=,且对3n≥时,有()()1234448n n n na n a na n a---=+-+-.(Ⅰ)设数列{}n b满足1n n nb a na-=-,n*∈N,证明数列{}12n nb b+-为等比数列,并求数列{}n b的通项公式;(Ⅱ)记()121!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ,求数列{}n na 的前n 项和n S .【答案】(Ⅰ)证明见解析;122n n n b n -=-⋅;(Ⅱ)()()1121!1n n S n n +=-+++【解析】(Ⅰ)利用已知等式表示出12n n b b +-和12n n b b --,整理可知11222n nn n b b b b +--=-,从而可证得数列{}12n n b b +-为等比数列,根据等比数列通项公式求得122nn n b b +=-;利用配凑的方式可证得数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,利用等差数列通项公式,整理可得n b ;(Ⅱ)将n b 代入1n n n b a na -=-,整理可得:1122nn n n a n a ---=-,利用累乘的方式可求得n a ,进而可得()21!!nn na n n n =⋅++-;采用分组求和的方式,分别对2n n ⋅用错位相减的方法求和,对()1!!n n +-采用裂项相消的方法求和,分别求和后加和即可得到结果. 【详解】(Ⅰ)由题意知:()()()11254144n n n n a n a n a n a +--=+-++-()()11111212232n n n n n n n n n b b a n a a na a n a na ++-+-∴-=-+-+=-++ ()()()1112122221221n n n n n n n n n b b a na a n a a n a n a -------=--+-=-++- ()()()()12111222241222221n n n n n n n n n n a n a n a b b b b a n a n a --+----++--∴==--++-又212110222261242b b a a a a -=--+=-+=-∴数列{}12n n b b +-是以2-为首项,2为公比的等比数列11222n n n b b -+∴-=-⋅ 122n n n b b +∴=-,即11122n nn n b b +-=- ∴数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1012b =为首项,1-为公差的等差数列 ()()111122nn b n n -∴=+-⨯-=- ()112222n n n n b n n --∴=-⋅=-⋅ (Ⅱ)由(Ⅰ)知:1122nn n n n a na ---⋅=-,即:1122nn n n a n a ---=- 则:1122212n n n n a n a -----=--,2233222n n n n a n a -----=--,……,2211222a a -=-左右两侧分别相乘可得:()()1212121!2nn a n n n n n a -=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- ()12!2!n n a n a n ∴-=-= 2!n n a n ∴=+ ()2!21!!n n n na n n n n n n ∴=⋅+⋅=⋅++-令()()()()()2!1!3!2!4!3!1!!1!1n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦()1231122232122n n n B n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯则()23412122232122nn n B n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯()()()1231121222222212212n n n n n n B n n n +++⨯-∴-=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=---则()1122n n B n +=-+()()1121!1n n n n S A B n n +∴=+=-+++【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式的形式、数列求和方法中的分组求和法、错位相减法和裂项相消法.本题的难点是能够对递推关系式进行转化,配凑出等差或等比数列的形式,进而利用等差、等比数列的通项公式来进行求解. 20.已知函数()2112xf x e x kx =---,k ∈R . (Ⅰ)若()f x 在R 上是增函数,求实数k 的取值范围; (Ⅱ)讨论函数()f x 的极值,并说明理由;(Ⅲ)若()f x 有两个极值点1x ,2x ,求证:函数()f x 有三个零点.【答案】(Ⅰ)(],1-∞;(Ⅱ)当(],1k ∈-∞时,()f x 无极值;当()1,k ∈+∞时,()f x 存在一个极大值和一个极小值;(Ⅲ)见解析【解析】(Ⅰ)利用()0f x '≥得x k e x ≤-;利用导数求得()xg x e x =-的最小值,则()min k g x ≤;(Ⅱ)由(Ⅰ)知(],1k ∈-∞,函数单调递增,无极值;当()1,k ∈+∞,可证得()g x k =有两根,即()0f x '=有两根,从而可得函数的单调性,进而确定有一个极大值和一个极小值;(Ⅲ)由(Ⅱ)知()1,k ∈+∞且120x x <<;利用1x 和2x 表示k ,代入函数()f x 中,可表示出()1f x 和()2f x ;根据()1f x 和()2f x 设()()21112x h x x e x =-+-,通过导数可验证出()h x 单调递减,进而求得()10f x >,()20f x <,结合()f x 图象可证得结论.【详解】(Ⅰ)由()2112xf x e x kx =---得:()x f x e x k '=-- ()f x Q 在R 上是增函数 ()0f x '∴≥在R 上恒成立即:x k e x ≤-在R 上恒成立 设()xg x e x =-,则()1xg x e '=-当(),0x ∈-∞时,()0g x '<;当()0,x ∈+∞时,()0g x '> 即()g x 在(),0-∞上单调递减;在()0,∞+上单调递增()()min 01g x g ∴== 1k ∴≤即k 的取值范围为:(],1-∞(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当(],1k ∈-∞时,()f x 在R 上是增函数,此时()f x 无极值; 当()1,k ∈+∞时,令()0f x '=,即()g x k =x →-∞Q 时,()g x →+∞;()01g =;x →+∞时,()g x →+∞()g x k ∴=有两个根,设两根为1x ,2x 且120x x <<可知:()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时,()0f x '>;()12,x x x ∈时,()0f x '< 即()f x 在()1,x -∞,()2,x +∞上单调递增;在()12,x x 上单调递减()f x ∴在1x x =处取得极大值()1f x ;在2x x =处取得极小值()2f x综上所述:当(],1k ∈-∞时,()f x 无极值;当()1,k ∈+∞时,()f x 存在一个极大值和一个极小值(Ⅲ)由(Ⅱ)知,()f x 有两个极值点1x ,2x ,则()1,k ∈+∞,且120x x <<()1110x f x e x k '∴=--=;()2220x f x e x k '=--=又()()()111122************1111222xx x x f x e x kx e x e x x x e x =---=----=-+- ()()222221112x f x x e x =-+-第 21 页 共 21 页 令()()21112x h x x e x =-+-,则()()1x h x x e '=- 则()0h x '≤在R 上恒成立,即()h x 在R 上单调递减又()00h = (),0x ∴∈-∞时,()0h x >;()0,x ∈+∞时,()0h x <120x x <<Q ()()110f x h x ∴=>,()()220f x h x =<当x →-∞时,()f x →-∞;当x →+∞时,()f x →+∞可得()f x 大致图象如下:()f x ∴有三个零点【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用问题,主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题,涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等,对学生的综合运用能力要求较高.。
2020年天津市河北区高考数学一模试卷(一(有答案解析))
解析:解:因为圆的方程为 x2+y2-6x-6y+10=0,所以圆心为(3,3),半径
r=
=2 .
圆心到直线的距离为 d= =3 ,所以直线和圆相离,
所以圆上的点到直线 x+y=0 的最短距离为 d-r= , 故填: . 找到圆心和半径,代入点到直线的距离公式即可. 本题考查了直线和圆的位置关系,圆的一般方程求圆心和半径,点到直线的距离公式, 属基础题.
B. f(log32)<f(0)<f(-log23)
C. f(-log23)<f(log32)<f(0)
D. f(log32)<f(-log23)<f(0)
5. 将函数 f(x)=cos(x+ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
再向左平移 个单位长度,则所得函数的最小正周期为( )
利用数量积的坐标运算计算出 • .
本题主要考查平面向量的数量积坐标运算,属于中档题目.
15.答案:解:(Ⅰ)由已知得第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,
4.答案:C
解析:解:根据题意,f(x)是定义在 R 上的偶函数, 则 f(-log23)=f(log23), 又由 f(x)在(0,+∞)内单调递减,且 0<log32<1<log23, 则有 f(log23)<f(log32)<f(0), 即有 f(-log23)<f(log32)<f(0); 故选:C. 根据题意,由偶函数的性质可得 f(-log23)=f(log23),结合函数的单调性可得 f(log23) <f(log32)<f(0),分析即可得答案. 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及对数大小的比较,属于基础题.
6.答案:B
解析:解:根据题意,双曲线的渐近线方程为 y= x,设双曲线方程为:
2020年天津市河北区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年天津市河北区高考数学一模试卷一、选择题(本大题共9小题,共27.0分)1.设集合U={0,1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={3,4,5}则A∪∁U B=()A. {2}B. {0,1}C. {0,1,2,3,4}D. {0,1,3,4,5}2.已知a∈R,则“a>1”是“1a<1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.直线y=kx−3与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2√3,则k的取值范围是()A. [−34,0] B. (−∞,−34]∪[0,+∞)C. [−√33,√33] D. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)4.若双曲线C :y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦距的范围为(2,4],且过点B(0,1),当双曲线的虚轴长最长时,求双曲线C 的渐近线方程为()A. y=±√33x B. y=±√3x C. y=±2√33x D. y=±√32x5.函数f(x)=1x+1−2x−1的图象可能是()A. B.C. D.6. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,设a =f(−√3),b =f(log 312),c =f(43),则a 、b 、c 的大小关系是( ) A. a <c <b B. b <a <c C. b <c <a D. c <b <a7. 已知等腰直角三角形ABC 的斜边BC =4,沿斜边上的高线AD 将折起,使二面角B −AD −C 为2π3,则三棱锥B −ACD 的外接球体积为( )A.32π3B. 4√3πC. 5√5πD. 20√53π8. 已知函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)在[0,π3]上是增函数,则ω的取值范围是( )A. [0,1]B. [1,+∞]C. (0,12]D. [12,+∞]9. 已知函数则函数F(x)=xf(x)−1的零点个数为( )A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)10. 复数z 满足zi =4+3i(i 是虚数单位),则|z|=________. 11. (2x √x )5的展开式中,√x 的系数为______.12. 已知随机变量X ,若E(X)=2,那么E(2X +1)=_____________. 13. 若存在实数x ∈[13,2]满足2x >a −2x ,则实数a 的取值范围是________.14. △ABC 是边长为4的等边三角形,已知点D 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____. 15. 函数f(x)=x 3+x +1(x ∈R),若f(a)=2,则f(−a)= ______ . 三、解答题(本大题共5小题,共60.0分)16. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b a=√52,cosB =√55.(1)求sin A ;(2)若a =2√5,求△ABC 的面积.17.如图,在正四棱锥P−ABCD中,已知PA=AB=√2,点M为PA中点,求直线BM与平面PAD所成角的正弦值.18.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n<a n+1,且S3=2S2+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足,求数列{b n}的前n项和T n.19. 已知椭圆E :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过A(−1,32)、B(√3,−√32)两点,过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点(1)求椭圆E 的标准方程;(2)当CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,求直线l 的方程.20. 设函数f(x)=x 2+2x −aln(x +1).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(x)+e −x 若g(x)>1x+1在(0,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.-------- 答案与解析 --------1.答案:C解析:本题考查集合的混合运算,属于基础题.根据并集和补集的定义求解即可.解:集合U={0,1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={3,4,5},则∁U B={0,1,2},A∪∁U B={0,1,2,3,4}.故选C.2.答案:A解析:本题考查了充分条件、必要条件的判断,属于基础题.根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可.解:由1a<1解得a∈(−∞,0)∪(1,+∞),所以“a>1”可以推出“1a <1”,但“1a<1”无法推出“a>1”,所以“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件,故选A.3.答案:A解析:解:设圆心(3,2)到直线y=kx+3的距离为d,由弦长公式得,MN=2√4−d2≥2√3,故d≤1,即√k2+1≤1,化简得8k(k+34)≤0,∴−34≤k≤0,故选A.由弦长公式得,当圆心到直线的距离等于1时,弦长等于2√3,故当弦长大于或等于2√3时,圆心到直线的距离小于或等于1,解此不等式求出k的取值范围.本题主要考查点到直线的距离公式,以及弦长公式的应用,属于中档题.4.答案:A解析:本题考查了双曲线的几何性质及渐近线方程,属于中档题.由焦距的范围得到1<c ≤2,双曲线过点B(0,1)得到a =1,因为b 2=c 2−1,当c =2时,(b 2)max =3,此时虚轴长最长,得到双曲线方程. 解:由题意得,2<2c ≤4⇒1<c ≤2, 将B (0,1)代入双曲线得a =1, 所以b 2=c 2−1≤3,当c =2时,(b 2)max =3,此时虚轴长最长, 此时双曲线的标准方程为y 2−x 23=1,又因为双曲线的焦点在y 轴上, 则双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ,故选A .5.答案:B解析:本题考查函数的图象的识别,属于基础题. 利用特殊点排除即可. 解:因为f(x)=1x+1−2x−1, 则f(0)=3,故排除D ; 由f(−2)=−13<0,故排除C ; 由f(−3)=0,故排除A ; 故选B .6.答案:C解析:解:a =f(−√3)=f(√3),b =f(log 312)=f(log 32),c =f(43), ∵0<log 32<1,1<43<√3,∴√3>43>log 32. ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴a >c >b ,故选:C.利用f(x)是定义在R上的偶函数,化简a,b,利用函数在(0,+∞)上是增函数,可得a,b,c的大小关系.本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.7.答案:D解析:本题主要考查求三棱锥外接球体积问题,属于中档题.解题关键在于利用结论:若三棱锥有一条侧棱垂直底面,记该侧棱长为h,若底面不是直角三角形,利用正弦定理求出底面外接圆直径2r,则三棱锥外接球直径为√ℎ2+4r2.解:依题,易求得∠BDC为二面角B−AD−C的平面角,即,取BC中点M,连接DM,∵AD=BD=CD=2,∴BC⊥DM,,∴DM=1,∴BC=2√BD2−DM2=2√3,在ΔBCD中,根据正弦定理:为ΔBCD外接圆半径),∵AD⊥BD,AD⊥CD∴AD⊥平面BCD·√22+42=√5∴三棱锥A−BCD的外接球半径为12·√22+42=√5,即三棱锥B−ACD的外接球半径为12∴三棱锥B−ACD的外接球体积为.故选D.8.答案:C解析:本题考查三角函数的单调性的应用,是中档题.可以通过角的范围[0,π3],得到(ωx+π3)的取值范围,直接推导ω的范围即可.解:由于x∈[0,π3],故ωx+π3∈[π3,ωπ3+π3],∵函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在[0,π3]上是增函数,∴ωπ3+π3≤π2,∴ω≤12,∴0<ω≤12,故选C.9.答案:B解析:本题考查函数零点的判定定理,函数零点与方程解的关系及数形结合的数学思想,根据函数零点与方程解的关系,求函数F(x)=xf(x)−1的零点个数,我们可以转化为求f(x)=1x解的个数,进一步转化为求函数y=f(x)与函数y=1x图象交点的个数,根据函数y=f(x)的解析式,我们在同一坐标系中分别画出两个函数图象,由图象即可求出两个函数的交点个数,即函数F(x)= xf(x)−1的零点个数.解:∵f(x)={1−|x−1|,x∈(−∞,2] 12f(x−2),x∈(2,+∞],则函数F(x)=xf(x)−1的零点个数等于函数y=f(x)与函数y=1x图象交点的个数,在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示:由图可知函数y=f(x)与函数y=1x图象共有6个交点,故函数F(x)=xf(x)−1的零点个数为6个.故选B.10.答案:5解析:本题主要考查复数模的计算,属于基础题,利用求模公式求解.解:∵zi=4+3i,∴z=4+3ii=3−4i,∴|z|=√32+(−4)2=5,故答案为5.11.答案:40解析:解:通项公式T r+1=∁5r(2x)5−r(√x)r=25−r∁5r x5−32r,令5−32r=12,解得r=3.∴√x的系数=22∁53=40.故答案为:40.利用通项公式即可得出.本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12.答案:5解析:本题考查随机变量的期望性质.本题解题的关键是利用期望的性质得E(2X+1)=2E(X)+1,把E(X)=2代入即可.本题是一个基础题.解:依题意,随机变量X,E(X)=2,E(2X+1)=2E(X)+1=2×2+1=5.故答案为5.13.答案:(−∞,203)解析:存在实数x ∈[13,2]满足2x >a −2x ⇔a <(2x +2x )max ,实数x ∈[13,2].利用导数研究函数f(x)=2x +2x 的单调性极值与最值即可. 解:∵存在实数x ∈[13,2]满足2x >a −2x , 即2x +2x >a ,存在实数x ∈[13,2]. ∴a <(2x +2x )max .令f(x)=2x +2x ,实数x ∈[13,2]. f ′(x)=2−2x2=2(x+1)(x−1)x 2,当x ∈[13,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x ∈(1,2]时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增. 又f(13)=2×13+213=203,f(2)=2×2+22=5<203.因此函数f(x)的最大值为203. ∴实数a 的取值范围是:a <203.故答案为(−∞,203).14.答案:12解析:本题考查了向量的数量积,属于中档题. 由平面向量的数量积运算可得结果. 解:由题意DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴DA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16−4=12, 故答案为12.15.答案:0解析:解:函数f(x)=x 3+x +1(x ∈R),若f(a)=2,则f(−a)=−a 3−a +1=−(a 3+a +1)+2=−f(a)+2 =−2+2=0 故答案为:0.利用函数的奇偶性,转化求解函数值即可. 本题考查函数的奇偶性的应用,考查计算能力.16.答案:解:(1)∵cosB =√55,B 为三角形内角, ∴sinB =√1−cos 2B =2√55, 利用正弦定理化简得:ba =sinBsinA =√52, 则sinA =√5=2×2√55√5=45;(2)∵a =2√5,∴b =√52×2√5=5,根据余弦定理得:b 2=a 2+c 2−2accosB ,即25=20+c 2−4c , 解得:c =5或c =−1(舍去), 则S △ABC =12acsinB =12×2√5×5×2√55=10.解析:此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键.(1)由cos B 的值,以及B 为三角形内角,利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值,已知等式利用正弦定理化简,将sin B 的值代入即可求出sin A 的值;(2)由a 的值,根据已知等式求出b 的值,再由cos B 的值,利用余弦定理求出c 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积.17.答案:解:正四棱锥P −ABCD 中,PA =AB =√2,∴OA =OB =OP =1建立如图所示的空间直角坐标系,则有A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,−1,0),P(0,0,1) ∵M 是PA 的中点,∴M(12,0,12),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−1)设平面PAD 的法向量为n ⃗ =(x,y ,1),则由{x −1=0−y −1=0,可得n⃗ =(1,−1,1) ∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−1,12) ∴cos <n ⃗ ,BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12+1+12√3⋅√62=2√23∴直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值为2√23.解析:建立空间直角坐标系,求出平面PAD 的法向量n ⃗ =(1,−1,1),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−1,12),利用向量的夹角公式,即可求得结论.本题考查线面角,考查空间向量的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.18.答案:解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,由a n <a n+1,得q >1, 又a 1=1,则a 2=q,a 3=q 2, 因为S 3=2S 2+1,所以a 1+a 2+a 3=2(a 1+a 2)+1, 则1+q +q 2=2(1+q)+1,即q 2−q −2=0,解得q =2或q =−1(舍去), 所以数列{a n }的通项公式为(2)由(1)知,b n =(2n −1)·a n,则T n =1×20+3×21+5×22+⋯ +(2n −1)×2n−1,2T n =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n −1)×2n ,两式相减,得−T n =1+2×21+2×22+⋯ +2×2n−1−(2n −1)×2n =1+22−2n+11−2−(2n −1)×2n=(3−2n )×2n −3, 所以T n =(2n −3)×2n +3.解析:本题考查数列的函数特性,通项公式和错位相减法求数列前n 项和的问题,属于中档题. (1)由a n <a n+1,可知q >1,由已知求出q ,再应用等比数列的通项公式求出a n ; (2)应用错位相减求和.19.答案:解:(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 得{1a +94b =13a 2+34b2=1⇒{a 2=4b 2=3 故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1…………………………………………(5分)(2)设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x 1+2x 2=0…………① 若直线l 的斜率存在,可设l :y =kx +1 则由{x 24+y 23=1y =kx +1得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0, ∴{x 1+x 2=−8k4k 2+3x 1x 2=−84k 2+3与①联立解得k =±12若直线l 的斜率不存在,则l :x =0,∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1,|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3−1,∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠2PD ⃗⃗⃗⃗⃗综上可知,直线l 的方程为y =±12x +1,即x −2y +2=0或x +2y −2=0……………………………………………………(12分)解析:(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),列出方程,求出a ,b ,即可得到椭圆方程.(2)设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),通过CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,推出x 1+2x 2=0,若直线l 的斜率存在,可设l :y =kx +1,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,转化求解即可.本题考查椭圆的简单性质的应用,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查计算能力.20.答案:解:(1)f(x)定义域为,f ′(x)=2x +2−ax+1,当a ⩽0时,f ′(x)>0在上恒成立,此时f(x)在上单调递增;当a >0时,令f ′(x)=0得x =−1+√a 2或x =−1−√a 2(舍), 当x ∈(−1,−1+√a2)时,f ′(x)<0,此时f(x)单调递减,当时,f ′(x)>0,此时f(x)单调递增,综上:当a ⩽0时,f(x)在上单调递增,当a >0时,f(x)在(−1,−1+√a2)上单调递减,f(x)在上单调递增 ;(2)由题意,x 2+2x −aln (x +1)>11+x −1e x 在上恒成立.①若a ⩽0,∵ln (x +1)>0,∴−aln (x +1)⩾0, ∴x 2+2x −aln (x +1)⩾x 2+2x , 令ℎ(x)=x 2+2x −1x+1+1e x ,(x >0), 则ℎ′(x)=2x +2+1(x+1)2−1e x . ∵x >0,∴1e x ∈(0,1), ∴ℎ′(x)=2x +2+1(x+1)2−1e x>0,∴ℎ(x)在上单调递增,∴ℎ(x)>ℎ(0)=0成立, 故a ⩽0时,g(x)>1x+1在上恒成立.②若a>0时,令m(x)=e x−x−1(x>0),m′(x)=e x−1>0,∴m(x)在上单调递增,∴m(x)>m(0)=0,即有e x>x+1>0.∴1x+1>1e x,即1x+1−1e x>0,要使f(x)+1e x >11+x成立,必有f(x)>0成立.由(1)可知,a>0时,f(x)min=f(−1+√a2),又f(0)=0,则必有−1+√a2⩽0,得0<a⩽2.此时,f(x)+1e x −1x+1=x2+2x−aln (x+1)+1e x−1x+1⩾x2+2x−2ln (x+1)+1e x −1x+1,令t(x)=x2+2x−2ln (x+1)+1e x −1x+1(x>0),t′(x)=2x+2−2x+1−1e x+1(x+1)2>2x+2−3x+1+1(x+1)2=2(x+1)3−3(x+1)+1(x+1)2>2(x+1)2−3(x+1)+1(x+1)2=x(2x+1)(x+1)2>0,即t′(x)>0恒成立,故t(x)在上单调递增,∴t(x)>t(0)=0,故0<a⩽2时,f(x)+1e x >11+x成立,即g(x)>1x+1成立.综上,a的取值范围是解析:本题主要考查利用导数研究函数的单调性和函数的最值、不等式恒成立问题,考查综合分析和解决问题的能力,属于难题.(1)根据f(x)定义域为,求出函数的导数,根据a的取值范围a⩽0和a>0分类讨论,即可求解f(x)的单调性;(2)由题意,x2+2x−aln (x+1)>11+x −1e x在上恒成立,分若a⩽0和a>0两种情况进行讨论,利用导数研究函数的单调性和最值,即可得到a的取值范围.。
天津市河北区2020年高考一模 数学试卷 (解析版)
2020年天津市河北区高考数学一模试卷一、选择题1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={2,4,6},则集合∁U(A∪B)=()A.{5}B.{1,5}C.{2,4}D.{1,2,3,4,6} 2.已知a∈R,则“a>2”是“a2>4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知直线1:ax y=2与圆C:x2+y2=4相交于M,N两点,若|MN|=2,则直线的斜率为()A.B.±C.D.4.已知双曲线1(a>0,b>0)的焦距为4,点(2,3)为双曲线上一点,则双曲线的渐进线方程为()A.y x B.y=±x C.y x D.y x5.已知函数f(x)的图象如图所示,则该曲线所对应的函数可能是()A.f(x)B.f(x)=2|x|﹣2C.f(x)=2|x|﹣x2D.f(x)=e|x|﹣|x|6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)单调递增,设a=f(),b=f(log37),c=f(﹣0.83),则a,b,c大小关系为()A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b7.在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2AD=2,∠DAB=60°,E为AB中点,将△ADE 与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合点为F,则三棱锥F﹣DCE的外接球体积为()A.B.πC.D.π8.将函数f(x)=cos(2sin2cos),(ω>0)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,]上为增函数,则ω的最大值为()A.1B.2C.3D.49.已知函数f(x),g(x)=f(x)﹣ax+a,若g(x)恰有1个零点,则a的取值范围是()A.[﹣1,0]∪[1,+∞)B.(﹣∞,﹣1]∪[0,1]C.[﹣1,1]D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)二.填空题10.已知复数z(i为虚数单位),则|z|=.11.在(2x)5的展开式中,x2的系数为.12.从某班的4名男生,2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动,设所选3人中女生人数为X,则P(X=2)=.数学期望E(X)=.13.已知a,b为正实数,且a+b=2,则的最小值为.14.已知△ABC是边长为2的等边三角形,,,且AD与BE相交于点O,则•.15.某同学在研究函数f(x)(x∈R)时,分别给出下面几个结论:①f(﹣x)+f(x)=0在x∈R时恒成立;②函数f(x)的值域为(﹣1,1);③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);④函数g(x)=f(x)﹣x在R上有三个零点.其中正确结论的序号有.三.解答题16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2c a+2b cos A.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)若cos A,求sin(2A+B)的值;(Ⅲ)若c=7,b sin A,求b的值.17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB⊥AC,且PA=AB=3,AC=2,E是棱PD的中点.(Ⅰ)求证:PB∥平面AEC;(Ⅱ)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值;(Ⅲ)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为?若存在,确定M的位置;若不存在,说明理由.18.已知等比数列{a n}的前n项和为S,公比q>1,且a2+1为a1,a3的等差中项,S3=14.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式(Ⅱ)记b n=a n•log2a n,求数列{b n}的前n项和T n.19.已知椭圆C:1(a>b>0)的离心率e,直线x+y0与圆x2+y2=b2相切.(1)求椭圆的方程;(2)过点N(4,0)的直线l与椭圆交于不同两点A、B,线段AB的中垂线为l′,若l′在y轴上的截距为,求直线l的方程.20.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+1(a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)设a∈Z,若对任意的x>0,f(x)≤0恒成立,求整数a的最大值;(Ⅲ)求证:当x>0时,e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>0.参考答案一、选择题1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={2,4,6},则集合∁U(A∪B)=()A.{5}B.{1,5}C.{2,4}D.{1,2,3,4,6}【分析】根据并集与补集的定义,计算即可.解:集合A={1,2,3,4},B={2,4,6},所以A∪B={1,2,3,4,6};又集合U={1,2,3,4,5,6},所以集合∁U(A∪B)={5}.故选:A.【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题.2.已知a∈R,则“a>2”是“a2>4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求解a2>4,得出a>2或a<﹣2,根据充分必要的定义判断即可得出答案.解:∵a2>4,∴a>2或a<﹣2,根据充分必要的定义判断:“a>2”是“a2>4”的充分不必要条件故选:A.【点评】本题考查了充分必要条件的定义,属于容易题,难度不大,紧扣定义即可.3.已知直线1:ax y=2与圆C:x2+y2=4相交于M,N两点,若|MN|=2,则直线的斜率为()A.B.±C.D.【分析】利用弦长公式表示出|MN|,求出a的值即可.解:易得直线斜率存在且不为0,则圆心到直线l的距离d,则弦长|MN|=222,解得a=±1,则斜率k=±±,故选:B.【点评】本题考查直线斜率的求法,考查弦长公式,属于中档题.4.已知双曲线1(a>0,b>0)的焦距为4,点(2,3)为双曲线上一点,则双曲线的渐进线方程为()A.y x B.y=±x C.y x D.y x【分析】求出双曲线的焦点,根据定义求出a,然后求出b.可得双曲线C的方程与渐近线方程.解:由题意可知:双曲线的焦点为(﹣2,0)和(2,0)根据定义有2a=||.∴a=1由以上可知:a2=1,c2=4,b2=3.∴所求双曲线C的渐近线方程为:y=±.故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用,考查计算能力.5.已知函数f(x)的图象如图所示,则该曲线所对应的函数可能是()A.f(x)B.f(x)=2|x|﹣2C.f(x)=2|x|﹣x2D.f(x)=e|x|﹣|x|【分析】观察函数图象,由函数为偶函数,f(0)>0,函数有两个正零点,分别可排除选项A,B,D,由此得出正确选项C.解:由函数图象可知,f(x)为偶函数,故可排除选项A;f(0)>0,故可排除选项B;又当x>0时,函数图象与x轴有两个交点,而方程e x=x无解,故可排除D.故选:C.【点评】本题考查由函数图象确定符合的函数解析式,考查读图识图能力,属于基础题.6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)单调递增,设a=f(),b=f(log37),c=f(﹣0.83),则a,b,c大小关系为()A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b【分析】根据题意,由偶函数的性质可得c=f(﹣0.83)=f(0.83),又由指数、对数的性质可得0.83<1log3log37,结合函数的单调性分析可得答案.解:根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,则c=f(﹣0.83)=f(0.83),又由f(x)在[0,+∞)单调递增,且0.83<1log3log37,则有c<a<b,故选:C.【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及对数值的大小比较,属于基础题.7.在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2AD=2,∠DAB=60°,E为AB中点,将△ADE 与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合点为F,则三棱锥F﹣DCE的外接球体积为()A.B.πC.D.π【分析】由题意可得三棱锥F﹣DCE是正四面体,且每条边长为1,把正四面体放入正方体中,利用正方体的外接球即可求出三棱锥F﹣DCE的外接球半径,从而得到三棱锥F﹣DCE的外接球体积.解:由题意可得三棱锥F﹣DCE是正四面体,且每条边长为1,则正四面体所在的正方体的棱长为,所以外接球的半径为,所以外接球体积为:,故选:D.【点评】本题主要考查了正四面体的外接球,是中档题.8.将函数f(x)=cos(2sin2cos),(ω>0)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,]上为增函数,则ω的最大值为()A.1B.2C.3D.4【分析】根据函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律得到g(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,得出结论.解:将函数f(x)=cos(2sin2cos)sinωx cosωx=2sin(ωx),(ω>0)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)=2sinωx的图象,若y=g(x)在[0,]上为增函数,则ω•,∴ω≤2,∴ω的最大值为2,故选:B.【点评】本题主要考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于基础题.9.已知函数f(x),g(x)=f(x)﹣ax+a,若g(x)恰有1个零点,则a的取值范围是()A.[﹣1,0]∪[1,+∞)B.(﹣∞,﹣1]∪[0,1]C.[﹣1,1]D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)【分析】根据条件先判断x=1是函数g(x)的一个零点,等价于当x≠1时,函数f(x)=a(x﹣1),没有其他根,利用参数分离法,利用数形结合进行求解即可.解:由g(x)=f(x)﹣ax+a=0得f(x)=a(x﹣1),∵f(1)=1﹣3+2=0,∴g(1)=f(1)﹣a+a=0,即x=1是g(x)的一个零点,若g(x)恰有1个零点,则当x≠1时,函数f(x)=a(x﹣1),没有其他根,即a,没有根,当x<1时,设h(x)x﹣2,此时函数h(x)为增函数,则h(1)→﹣1,即此时h(x)<﹣1,当x>1时,h(x),h′(x)0,此时h(x)为减函数,此时h(x)>0,且h(1)→1,即0<h(x)<1,作出函数h(x)的图象如图:则要使a,没有根,则a≥1或﹣1≤a≤0,即实数a的取值范围是[﹣1,0]∪[1,+∞),故选:A.【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用参数分离法,结合数形结合是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.二.填空题10.已知复数z(i为虚数单位),则|z|=1.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.解:∵z,∴|z|=1.故答案为:1.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.11.在(2x)5的展开式中,x2的系数为80.【分析】利用通项公式即可得出.解:(2x)5的展开式中,通项公式T r+1(2x)5﹣r(﹣1)r25﹣r,令5r=2,解得r=2.∴x2的系数=2380.故答案为:80.【点评】本题考查了二项式定理的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12.从某班的4名男生,2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动,设所选3人中女生人数为X,则P(X=2)=.数学期望E(X)=1.【分析】随机变量随机X的所有可能的取值为0,1,2.分别求出其对应的概率,列出分布列,求期望即可.解:所选3人中女生人数为X,X=2,就是所选3人中女生人数为2,则P(X=2);随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,P(X=0),P(X=1);P(X=2);所有随机变量ξ的分布列为:X012P所以ξ的期望E(X)=0121.故答案为:;1.【点评】本题考查了离散型随机变量的期望,属于基础题.13.已知a,b为正实数,且a+b=2,则的最小值为.【分析】由a,b为正实数,且a+b=2,变形可得a+b﹣11=f(a),0<a<2.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.解:∵a,b为正实数,且a+b=2,∴a a+b﹣11=f(a),0<a <2.f′(a),令f′(a)>0,解得,此时函数f(a)单调递增;令f′(a)<0,解得,此时函数f(a)单调递减.∴当且仅当a=6﹣3时函数f(a)取得极小值即最小值,.故答案为:.【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.14.已知△ABC是边长为2的等边三角形,,,且AD与BE相交于点O,则•.【分析】作DF∥BE交AC于F;作GE∥DC交AD于G;根据已知条件得到以及;再代入数量积即可求解结论.解:△ABC是边长为2的等边三角形,,,且AD与BE相交于点O,作DF∥BE交AC于F;作GE∥DC交AD于G;∵;∴;∵DF∥BE,D为中点,故1;又因为,∴1;∴;∴••()•()•()()•()(•)(﹣222×222).故答案为:.【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则,考查向量的表示以及计算,考查计算能力,属于中档题.15.某同学在研究函数f(x)(x∈R)时,分别给出下面几个结论:①f(﹣x)+f(x)=0在x∈R时恒成立;②函数f(x)的值域为(﹣1,1);③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);④函数g(x)=f(x)﹣x在R上有三个零点.其中正确结论的序号有①②③.【分析】由奇偶性的定义来判断①,由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②;由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确;由数形结合来说明④不正确.解:①∴正确②当x>0时,f(x)∈(0,1)由①知当x<0时,f(x)∈(﹣1,0)x=0时,f(x)=0∴f(x)∈(﹣1,1)正确;③则当x>0时,f(x)反比例函数的单调性可知,f(x)在(0,+∞)上是增函数再由①知f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,正确④由③知f(x)的图象与y=x只有(0,0)这一个交点.不正确.故答案为:①②③【点评】本题考查函数的定义域,单调性,奇偶性,值域,考查全面,方法灵活,这四个问题在研究时往往是同时考虑的.三.解答题16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2c a+2b cos A.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)若cos A,求sin(2A+B)的值;(Ⅲ)若c=7,b sin A,求b的值.【分析】(Ⅰ)利用正弦定理与三角形内角和定理,即可求得cos B与B的值;(Ⅱ)根据三角恒等变换求值即可;(Ⅲ)利用正弦定理和余弦定理,即可求得b的值.解:(Ⅰ)△ABC中,2c a+2b cos A,由正弦定理得2sin C sin A+2sin B cos A;又C=π﹣(A+B),所以2(sin A cos B+cos A sin B)sin A+2sin B cos A,所以2sin A cos B sin A;又A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos B;又B∈(0,π),所以B;(Ⅱ)若cos A,A∈(0,π),所以sin A,所以sin2A=2sin A cos A=2,cos2A=2cos2A﹣1=21,所以sin(2A+B)=sin2A cos B+cos2A sin B;(Ⅲ)若c=7,b sin A,由,得a sin B=b sin A,所以a2;所以b2=c2+a2﹣2ca cos B=49+12﹣2×7×219,解得b.【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB⊥AC,且PA=AB=3,AC=2,E是棱PD的中点.(Ⅰ)求证:PB∥平面AEC;(Ⅱ)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值;(Ⅲ)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为?若存在,确定M的位置;若不存在,说明理由.【分析】(Ⅰ)连接BD交AC于点O,并连接EO,推导出EO∥PB,由此能证明PB ∥面AEC.(Ⅱ)以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,设平面AEC的法向量(x,y,z),由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量,再由向量的夹角公式可得所求值;(Ⅲ)假设在线段PB上(不含端点)存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为,利用向量法能求出在线段PB上(不含端点)存在一点M,设平面ACM的法向量(p,q,t),由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性.解:(Ⅰ)证明:连接BD交AC于点O,并连接EO,∵四边形ABCD为平行四边形,∴O为BD的中点,又∵E为PD的中点,∴在△PDB中EO为中位线,EO∥PB∵PB⊄面AEC,EO⊂面AEC,∴PB∥面AEC.(Ⅱ)证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB⊥AC,且PA=AB=3,AC=2,E是棱PD的中点.∴以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,3),C(2,0,0),A(0,0,0),D(2,﹣3,0),E(1,,),(1,),(2,0,0),(2,0,﹣3),设平面AEC的法向量(x,y,z),则,取y=1,得(0,1,1),设直线PC与平面AEC所成角为θ,则直线PC与平面AEC所成角的正弦值为:sinθ.(Ⅲ)假设在线段PB上(不含端点)存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为,设M(a,b,c),,B(0,3,0),则(a,b,c﹣3)=λ(0,3,﹣3),解得a=0,b=3λ,c=3﹣3λ,M(0,3λ,3﹣3λ),(2,0,0),(0,3λ,3﹣3λ),设平面ACM的法向量(p,q,t),则,取q=1,得(0,1,),∵二面角M﹣AC﹣E的余弦值为.∴|cos|,解得或.∴在线段PB上(不含端点)存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为,且或.【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力,是中档题.18.已知等比数列{a n}的前n项和为S,公比q>1,且a2+1为a1,a3的等差中项,S3=14.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式(Ⅱ)记b n=a n•log2a n,求数列{b n}的前n项和T n.【分析】(I)由a2+1是a1,a3的等差中项,可得2(a2+1)=a1+a3,又a1(q2+1)=2a1q+2,14,联立解得,即可得出.(II)b n=a n•log2a n=n•2n.利用错位相减法即可得出.解:(I)∵a2+1是a1,a3的等差中项,∴2(a2+1)=a1+a3,∴a1(q2+1)=2a1q+2,14,化为2q2﹣5q+2=0,q>1,解得q=2,∴a1=2.∴a n=2n.(II)b n=a n•log2a n=n•2n.∴数列{b n}的前n项和T n=2+2•22+3•23+……+n•2n.2T n=2×2+2•23+……+(n﹣1)•2n+n•2n+1.∴﹣T n=2+22+23+……+2n﹣n•2n+1n•2n+1.解得:T n=(n﹣1)•2n+1+2.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.已知椭圆C:1(a>b>0)的离心率e,直线x+y0与圆x2+y2=b2相切.(1)求椭圆的方程;(2)过点N(4,0)的直线l与椭圆交于不同两点A、B,线段AB的中垂线为l′,若l′在y轴上的截距为,求直线l的方程.【分析】(1)先由直线与圆相切,得出b的值,再结合离心率,求出a的值,从而可得出椭圆的方程;(2)设直线l的斜率为k,设点A(x1,y1)、B(x2,y2),将直线l的方程与椭圆C 的方程联立,计算△>0,列出韦达定理,可求出线段AB的中点Q的坐标,并写出线段AB中垂线l′的方程,然后求出直线l'与y轴的交点坐标,列关于k的方程,求出k的值,即可得出直线l的方程.解:(1)由题意得,即,由与圆x2+y2=b2相切得,∴a=2.因此,椭圆的方程为;(2)由题意知,直线l的斜率k存在且不为零,设直线l的方程为y=k(x﹣4),k≠0,设点A(x1,y1)、B(x2,y2),设线段AB 的中点为Q(x0,y0),联立,消去y并整理得(4k2+3)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0.由韦达定理得,又△=(﹣32k2)2﹣4(4k2+3)(64k2﹣12)>0,解得,且k≠0.,,得.由直线l′的方程,即,化简得.令x=0得,解得或k=3.由于,且k≠0,所以,.因此,直线l的方程为,即x﹣4y﹣4=0.【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆方程的求解,以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用,考查计算能力,属于中等题.20.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+1(a∈一、选择题).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)设a∈Z,若对任意的x>0,f(x)≤0恒成立,求整数a的最大值;(Ⅲ)求证:当x>0时,e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>0.【分析】(Ⅰ)求出原函数的导函数f′(x)(x>0),得若a≥0,则f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a<0,求出导函数的零点,对函数定义域分段,由导函数的符号可得原函数的单调性;(Ⅱ)若a≥0,则f(1)=2a+3>0,不满足f(x)≤0恒成立.若a<0,由(Ⅰ)求得函数的最大值,又f(x)≤0恒成立,可得ln()0,设g(x)=lnx+x,则g()≤0.由函数零点判定定理可得存在唯一的x0∈(),使得g(x0)=0.得到a∈(﹣2,﹣1),结合a∈Z,可知a的最大值为﹣2;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,a=﹣2时,f(x)=lnx﹣2x2+1<0,则﹣xlnx>﹣2x3+x,得到e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1=e x﹣x2+2x﹣1.记u(x)=e x﹣x2+2x﹣1(x>0),利用两次求导证明e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>0.【解答】(Ⅰ)解:f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+1,f′(x)2ax+a+2(x>0),①若a≥0,则f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;②若a<0,由f′(x)>0,得0<x;由f′(x)<0,得x.∴函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减;(Ⅱ)解:若a≥0,则f(1)=2a+3>0,∴不满足f(x)≤0恒成立.若a<0,由(Ⅰ)可知,函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.∴,又f(x)≤0恒成立,∴0,设g(x)=lnx+x,则g()≤0.∵函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=1>0,g()0,∴存在唯一的x0∈(),使得g(x0)=0.当x∈(0,x0)时,g(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0.∴0x0,解得a∈(﹣2,﹣1),又a∈Z,∴a≤﹣2.则综上a的最大值为﹣2;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,a=﹣2时,f(x)=lnx﹣2x2+1<0,∴lnx<2x2﹣1,则﹣xlnx>﹣2x3+x,∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1=e x﹣x2+2x﹣1.记u(x)=e x﹣x2+2x﹣1(x>0),则u′(x)=e x﹣2x+2.记h(x)=e x﹣2x+2,则h′(x)=e x﹣2,由h′(x)=0,得x=ln2.当x∈(0,ln2)时,h′(x)<0,当x∈(ln2,+∞)时,h′(x)>0,∴函数h(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,∴4﹣2ln2>0.∴h(x)>0,即u′(x)>0,故函数u(x)在(0,+∞)上单调递增.∴u(x)>u(0)=e0﹣1=0,即e x﹣x2+2x﹣1>0.∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>0.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求最值,考查数学转化思想方法,属难题.。
2020年天津市河北区高考数学模拟试卷(3月份)(带答案)
______. 13. 为营造“平安春运,快乐新年”氛围,某重要路段限速 70km/h,现对通过该路段
的 n 辆汽车的车速进行检测,统计并绘成频率分布直方图(如图),若速度在 60km/h~70km/h 之间的车辆为 150 辆,则这 n 辆汽车中车速高于限速的汽车有 ______辆.
14. 若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形,则该圆柱的外接球的表面积为______.
an=______.设 bn=(-1)n
,则数列{bn}的前 n 项和 Tn=______.
三、解答题(本大题共 2 小题,共 24.0 分) 19. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.
(Ⅰ)若 a=3c,b= ,
,求边 c 的值;
(Ⅱ)若 2bsinA=acosB,求 sin(
15. 正数 a,b 满足
,则
的最小值为______ .
16. 已知矩形 ABCD 的对角线长为 4,若 =3 ,则
的值为______.
17. 已知函数 f(x)=axlnx-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为 y=3x-e, 则 a,b 的值分别为______.
18. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=n2+n(n∈N*),则数列{an}的通项公式
的取值范围是( )
A. [0,2)
B. [0,1)
C. (-∞,2]
二、填空题(本大题共 9 小题,共 40.0 分)
10. i 是虚数单位,则 的值为______.
D. (-∞,1]
11.
的展开式中, 项的系数为______.
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12. 已知椭圆 C
2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案(满分150分,考试时间120分钟)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上,并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
|﹣1<x<5},集合A={1,3},则集合∁U A的子集的个数是()1. 设全集U={x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是()A. i(1+i)2B. i2(1﹣i)C. (1+i)2D. i(1+i)3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论:①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数;②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数;③从最近五场比赛的得分看,乙比甲更稳定;④从最近五场比赛的得分看,甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线,直线为,若则( )A.或 B.C .D .或5. 已知,条件甲:;条件乙:,则甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为( ) A . B .C .D .7. 在中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,,则角B=( )A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图,输出的S=( )A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ;,P Q 分别为12,l l 上任意两点,点M 为,P Q 的中点,若12AM PQ =,则m 的值为( ) A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中,sin B A =,BC =4C π=,则=AB ( )B. 5C. D.11. 已知函数,若,且函数存在最小值,则实数的取值范围为( ) A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上,且,,,且三棱锥的体积为,则球的体积为( ) A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
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2020年天津市河北区高考数学一模试卷一、选择题1.已知集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2,3,4},B ={2,4,6},则集合∁U (A ∪B )=( ) A .{5}B .{1,5}C .{2,4}D .{1,2,3,4,6}2.已知a ∈R ,则“a >2”是“a 2>4”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知直线1:ax +√3y =2与圆C :x 2+y 2=4相交于M ,N 两点,若|MN |=2√3,则直线的斜率为( ) A .√33B .±√33C .√3D .−√34.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4,点(2,3)为双曲线上一点,则双曲线的渐进线方程为( )A .y =±12x B .y =±xC .y =±√33xD .y =±√3x5.已知函数f (x )的图象如图所示,则该曲线所对应的函数可能是( )A .f (x )=x 2|x| B .f (x )=2|x |﹣2 C .f (x )=2|x |﹣x 2 D .f (x )=e |x |﹣|x |6.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x )在[0,+∞)单调递增,设a =f (32),b =f (log 37),c =f (﹣0.83),则a ,b ,c 大小关系为( ) A .b <a <cB .c <b <aC .c <a <bD .a <c <b7.在等腰梯形ABCD 中,AB =2DC =2AD =2,∠DAB =60°,E 为AB 中点,将△ADE 与△BEC 分别沿ED ,EC 向上折起,使A ,B 重合点为F ,则三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积为( ) A .23πB .√64πC .32πD .√68π8.将函数f (x )=cos ωx 2(2sinωx 2−2√3cos ωx 2)+√3,(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得到函数y =g (x )的图象,若y =g (x )在[0,π4]上为增函数,则ω的最大值为( ) A .1B .2C .3D .49.已知函数f (x )={x 2−3x +2,x ≤1lnx ,x >1,g (x )=f (x )﹣ax +a ,若g (x )恰有1个零点,则a 的取值范围是( ) A .[﹣1,0]∪[1,+∞) B .(﹣∞,﹣1]∪[0,1]C .[﹣1,1]D .(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)二.填空题10.已知复数z =1−i1+i(i 为虚数单位),则|z |= . 11.在(2x √x)5的展开式中,x 2的系数为 . 12.从某班的4名男生,2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动,设所选3人中女生人数为X ,则P (X =2)= .数学期望E (X )= .13.已知a ,b 为正实数,且a +b =2,则a 2+2a+b 2b+1的最小值为 .14.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,BD →=DC →,AE →=12EC →,且AD 与BE 相交于点O,则OA→•OB→=.15.某同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时,分别给出下面几个结论:①f(﹣x)+f(x)=0在x∈R时恒成立;②函数f(x)的值域为(﹣1,1);③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);④函数g(x)=f(x)﹣x在R上有三个零点.其中正确结论的序号有.三.解答题16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2c=√3a+2b cos A.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)若cos A=14,求sin(2A+B)的值;(Ⅲ)若c=7,b sin A=√3,求b的值.17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB⊥AC,且PA=AB=3,AC=2,E是棱PD的中点.(Ⅰ)求证:PB∥平面AEC;(Ⅱ)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值;(Ⅲ)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√1010?若存在,确定M的位置;若不存在,说明理由.18.已知等比数列{a n }的前n 项和为S ,公比q >1,且a 2+1为a 1,a 3的等差中项,S 3=14. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式(Ⅱ)记b n =a n •log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 19.已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率e =12,直线x +y −√6=0与圆x 2+y 2=b2相切.(1)求椭圆的方程;(2)过点N (4,0)的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ,线段AB 的中垂线为l ′,若l ′在y 轴上的截距为413,求直线l 的方程.20.已知函数f (x )=lnx +ax 2+(a +2)x +1(a ∈R ). (Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性;(Ⅱ)设a ∈Z ,若对任意的x >0,f (x )≤0恒成立,求整数a 的最大值; (Ⅲ)求证:当x >0时,e x ﹣xlnx +2x 3﹣x 2+x ﹣1>0.参考答案一、选择题1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={2,4,6},则集合∁U(A∪B)=()A.{5}B.{1,5}C.{2,4}D.{1,2,3,4,6}【分析】根据并集与补集的定义,计算即可.解:集合A={1,2,3,4},B={2,4,6},所以A∪B={1,2,3,4,6};又集合U={1,2,3,4,5,6},所以集合∁U(A∪B)={5}.故选:A.【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题.2.已知a∈R,则“a>2”是“a2>4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求解a2>4,得出a>2或a<﹣2,根据充分必要的定义判断即可得出答案.解:∵a2>4,∴a>2或a<﹣2,根据充分必要的定义判断:“a>2”是“a2>4”的充分不必要条件故选:A.【点评】本题考查了充分必要条件的定义,属于容易题,难度不大,紧扣定义即可. 3.已知直线1:ax +√3y =2与圆C :x 2+y 2=4相交于M ,N 两点,若|MN |=2√3,则直线的斜率为( ) A .√33B .±√33C .√3D .−√3【分析】利用弦长公式表示出|MN |,求出a 的值即可. 解:易得直线斜率存在且不为0, 则圆心到直线l 的距离d =√a +3,则弦长|MN |=2√r 2−d 2=2√4−4a 2+3=2√3,解得a =±1,则斜率k =±√3=±√33, 故选:B .【点评】本题考查直线斜率的求法,考查弦长公式,属于中档题.4.已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的焦距为4,点(2,3)为双曲线上一点,则双曲线的渐进线方程为( )A .y =±12x B .y =±xC .y =±√33xD .y =±√3x【分析】求出双曲线的焦点,根据定义求出a ,然后求出b .可得双曲线C 的方程与渐近线方程.解:由题意可知:双曲线的焦点为(﹣2,0)和(2,0) 根据定义有2a =|√(2−2)2+(3−0)2−√(2+2)2+(3−0)2|. ∴a =1由以上可知:a 2=1,c 2=4,b 2=3. ∴所求双曲线C 的渐近线方程为:y =±√3x .故选:D .【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用,考查计算能力. 5.已知函数f (x )的图象如图所示,则该曲线所对应的函数可能是( )A .f (x )=x 2|x| B .f (x )=2|x |﹣2 C .f (x )=2|x |﹣x 2 D .f (x )=e |x |﹣|x |【分析】观察函数图象,由函数为偶函数,f (0)>0,函数有两个正零点,分别可排除选项A ,B ,D ,由此得出正确选项C .解:由函数图象可知,f (x )为偶函数,故可排除选项A ; f (0)>0,故可排除选项B ;又当x >0时,函数图象与x 轴有两个交点,而方程e x =x 无解,故可排除D . 故选:C .【点评】本题考查由函数图象确定符合的函数解析式,考查读图识图能力,属于基础题.6.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x )在[0,+∞)单调递增,设a =f (32),b =f (log 37),c =f (﹣0.83),则a ,b ,c 大小关系为( ) A .b <a <cB .c <b <aC .c <a <bD .a <c <b【分析】根据题意,由偶函数的性质可得c =f (﹣0.83)=f (0.83),又由指数、对数的性质可得0.83<1<32=log 3√27<log 37,结合函数的单调性分析可得答案.解:根据题意,函数f (x )是定义在R 上的偶函数,则c =f (﹣0.83)=f (0.83),又由f (x )在[0,+∞)单调递增,且0.83<1<32=log 3√27<log 37,则有c <a <b , 故选:C .【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及对数值的大小比较,属于基础题.7.在等腰梯形ABCD 中,AB =2DC =2AD =2,∠DAB =60°,E 为AB 中点,将△ADE 与△BEC 分别沿ED ,EC 向上折起,使A ,B 重合点为F ,则三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积为( )A .23πB .√64πC .32πD .√68π【分析】由题意可得三棱锥F ﹣DCE 是正四面体,且每条边长为1,把正四面体放入正方体中,利用正方体的外接球即可求出三棱锥F ﹣DCE 的外接球半径,从而得到三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积.解:由题意可得三棱锥F ﹣DCE 是正四面体,且每条边长为1,则正四面体所在的正方体的棱长为√22, 所以外接球的半径为12×√3×√22=√64,所以外接球体积为:43×π×(√64)3=√6π8,故选:D .【点评】本题主要考查了正四面体的外接球,是中档题.8.将函数f (x )=cos ωx 2(2sinωx 2−2√3cosωx 2)+√3,(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得到函数y =g (x )的图象,若y =g (x )在[0,π4]上为增函数,则ω的最大值为( ) A .1B .2C .3D .4【分析】根据函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律得到g (x )的解析式,再利用正弦函数的单调性,得出结论.解:将函数f (x )=cos ωx 2(2sin ωx 2−2√3cosωx 2)+√3=sin ωx −√3cos ωx =2sin(ωx −π3),(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得到函数y =g (x )=2sin ωx 的图象,若y =g (x )在[0,π4]上为增函数,则ω•π4≤π2,∴ω≤2,∴ω的最大值为2, 故选:B .【点评】本题主要考查函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于基础题.9.已知函数f (x )={x 2−3x +2,x ≤1lnx ,x >1,g (x )=f (x )﹣ax +a ,若g (x )恰有1个零点,则a 的取值范围是( ) A .[﹣1,0]∪[1,+∞) B .(﹣∞,﹣1]∪[0,1]C .[﹣1,1]D .(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)【分析】根据条件先判断x =1是函数g (x )的一个零点,等价于当x ≠1时,函数f (x )=a (x ﹣1),没有其他根,利用参数分离法,利用数形结合进行求解即可. 解:由g (x )=f (x )﹣ax +a =0得f (x )=a (x ﹣1), ∵f (1)=1﹣3+2=0,∴g (1)=f (1)﹣a +a =0,即x =1是g (x )的一个零点, 若g (x )恰有1个零点,则当x ≠1时,函数f (x )=a (x ﹣1),没有其他根,即a =f(x)x−1,没有根,当x<1时,设h(x)=f(x)x−1=x2−3x+2x−1=(x−1)(x−2)x−1=x﹣2,此时函数h(x)为增函数,则h(1)→﹣1,即此时h(x)<﹣1,当x>1时,h(x)=f(x)x−1=lnxx−1,h′(x)=1x⋅(x−1)−lnx(x−1)2<0,此时h(x)为减函数,此时h(x)>0,且h(1)→1,即0<h(x)<1,作出函数h(x)的图象如图:则要使a=f(x)x−1,没有根,则a≥1或﹣1≤a≤0,即实数a的取值范围是[﹣1,0]∪[1,+∞),故选:A.【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用参数分离法,结合数形结合是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.二.填空题10.已知复数z=1−i1+i(i为虚数单位),则|z|=1.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.解:∵z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i,∴|z|=1.故答案为:1.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.11.在(2x 1√x)5的展开式中,x2的系数为80.【分析】利用通项公式即可得出.解:(2x 1√x)5的展开式中,通项公式T r+1=∁5r(2x)5﹣r1√x)r=(﹣1)r25﹣r∁5r x5−32r,令5−32r=2,解得r=2.∴x2的系数=23∁52=80.故答案为:80.【点评】本题考查了二项式定理的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12.从某班的4名男生,2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动,设所选3人中女生人数为X,则P(X=2)=15.数学期望E(X)=1.【分析】随机变量随机X的所有可能的取值为0,1,2.分别求出其对应的概率,列出分布列,求期望即可.解:所选3人中女生人数为X,X=2,就是所选3人中女生人数为2,则P(X=2)=C41C22C63=15;随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,P(X=0)=C43C20C63=15,P(X=1)=C42C21C63=35;P(X=2)=C41C22C63=15;所有随机变量ξ的分布列为:X 012P15 3515所以ξ的期望E (X )=0×15+1×35+2×15=1. 故答案为:15;1.【点评】本题考查了离散型随机变量的期望,属于基础题.13.已知a ,b 为正实数,且a +b =2,则a 2+2a+b 2b+1的最小值为√23 . 【分析】由a ,b 为正实数,且a +b =2,变形可得a 2+2a+b 2b+1=2a+a +b ﹣1+1b+1=2a +13−a+1=f (a ),0<a <2.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出. 解:∵a ,b 为正实数,且a +b =2,∴a 2+2a+b 2b+1=a +2a +b 2−1+1b+1=2a +a +b ﹣1+1b+1=2a +13−a +1=f (a ),0<a <2. f ′(a )=−2a 2+1(a−3)2=−(a−6−3√2)(a−6+3√2)(a 2−3a)2, 令f ′(a )>0,解得6−3√2<a <2,此时函数f (a )单调递增;令f ′(a )<0,解得0<a <6−3√2,此时函数f (a )单调递减.∴当且仅当a =6﹣3√2时函数f (a )取得极小值即最小值, f(6−3√2)=6+2√23. 故答案为:6+2√23. 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.14.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,BD →=DC →,AE →=12EC →,且AD 与BE 相交于点O ,则OA →•OB →=34.【分析】作DF ∥BE 交AC 于F ; 作GE ∥DC 交AD 于G ;根据已知条件得到OB →=−34BE →以及OA →=−12AD →;再代入数量积即可求解结论.解:△ABC 是边长为2的等边三角形,BD →=DC →,AE →=12EC →,且AD 与BE 相交于点O , 作DF ∥BE 交AC 于F ; 作GE ∥DC 交AD 于G ;∵GE DC=AE AC =13=OE OB;∴OB →=−34BE →;∵DF ∥BE ,D 为中点,故DC BD=EF FC=1;又因为AE →=12EC →,∴AO OD=AE EF =1;∴OA →=−12AD →;∴OA →•OB →=−12AD →•(−34BE →)=38AD →•BE →=38×12(AB →+AC →)•(BA →+AE →) =316(AB →+AC →)•(−AB →+13AC →)=316(−AB →2−23AB →•AC →+13AC →2)=316(﹣22−23×2×2×12+13×22)=34. 故答案为:34.【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则,考查向量的表示以及计算,考查计算能力,属于中档题.15.某同学在研究函数f (x )=x1+|x|(x ∈R )时,分别给出下面几个结论: ①f (﹣x )+f (x )=0在x ∈R 时恒成立; ②函数f (x )的值域为(﹣1,1); ③若x 1≠x 2,则一定有f (x 1)≠f (x 2); ④函数g (x )=f (x )﹣x 在R 上有三个零点. 其中正确结论的序号有 ①②③ .【分析】由奇偶性的定义来判断①,由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②;由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确;由数形结合来说明④不正确. 解:①f(−x)=−x1+|x|=−f(x)∴正确 ②当x >0时,f (x )=11+1x∈(0,1) 由①知当x <0时,f (x )∈(﹣1,0) x =0时,f (x )=0∴f(x)∈(﹣1,1)正确;③则当x>0时,f(x)=11+1x反比例函数的单调性可知,f(x)在(0,+∞)上是增函数再由①知f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,正确④由③知f(x)的图象与y=x只有(0,0)这一个交点.不正确.故答案为:①②③【点评】本题考查函数的定义域,单调性,奇偶性,值域,考查全面,方法灵活,这四个问题在研究时往往是同时考虑的.三.解答题16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2c=√3a+2b cos A.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)若cos A=14,求sin(2A+B)的值;(Ⅲ)若c=7,b sin A=√3,求b的值.【分析】(Ⅰ)利用正弦定理与三角形内角和定理,即可求得cos B与B的值;(Ⅱ)根据三角恒等变换求值即可;(Ⅲ)利用正弦定理和余弦定理,即可求得b的值.解:(Ⅰ)△ABC中,2c=√3a+2b cos A,由正弦定理得2sin C=√3sin A+2sin B cos A;又C=π﹣(A+B),所以2(sin A cos B+cos A sin B)=√3sin A+2sin B cos A,所以2sin A cos B=√3sin A;又A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos B=√32;又B∈(0,π),所以B=π6;(Ⅱ)若cos A=14,A∈(0,π),所以sin A=√1−cos2A=√154,所以sin2A=2sin A cos A=2×√154×14=√158,cos2A=2cos2A﹣1=2×116−1=−78,所以sin(2A+B)=sin2A cos B+cos2A sin B =√158×√32−78×12=3√5−716;(Ⅲ)若c=7,b sin A=√3,由bsinB =asinA,得a sin B=b sin A=√3,所以a=√3sinB=√312=2√3;所以b2=c2+a2﹣2ca cos B=49+12﹣2×7×2√3×√32=19,解得b=√19.【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB⊥AC,且PA=AB=3,AC=2,E是棱PD的中点.(Ⅰ)求证:PB∥平面AEC;(Ⅱ)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值;(Ⅲ)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√10?若存在,确定M的位置;若不存在,说明理由.10【分析】(Ⅰ)连接BD交AC于点O,并连接EO,推导出EO∥PB,由此能证明PB ∥面AEC.(Ⅱ)以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,设平面AEC的法向量m→=(x,y,z),由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量,再由向量的夹角公式可得所求值;(Ⅲ)假设在线段PB上(不含端点)存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√10,利用向量法能求出在线段PB上(不含端点)存在一点M,设平面ACM的法向量10n→=(p,q,t),由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性.解:(Ⅰ)证明:连接BD交AC于点O,并连接EO,∵四边形ABCD为平行四边形,∴O为BD的中点,又∵E为PD的中点,∴在△PDB中EO为中位线,EO∥PB∵PB⊄面AEC,EO⊂面AEC,∴PB∥面AEC.(Ⅱ)证明:∵在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为平行四边形,AB ⊥AC ,且PA =AB =3,AC =2,E 是棱PD 的中点. ∴以A 为原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系,P (0,0,3),C (2,0,0),A (0,0,0),D (2,﹣3,0),E (1,−32,32),AE →=(1,−32,32),AC →=(2,0,0),PC →=(2,0,﹣3), 设平面AEC 的法向量m →=(x ,y ,z ),则{AE →⋅m →=x −32y +32z =0AC →⋅m →=2x =0,取y =1,得m →=(0,1,1),设直线PC 与平面AEC 所成角为θ, 则直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为:sin θ=|PC →⋅m →||PC →|⋅|m →|=13⋅2=3√2626.(Ⅲ)假设在线段PB 上(不含端点)存在一点M ,使得二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010, 设M (a ,b ,c ),PM →=λPB →,B (0,3,0),则(a ,b ,c ﹣3)=λ(0,3,﹣3), 解得a =0,b =3λ,c =3﹣3λ,M (0,3λ,3﹣3λ),AC →=(2,0,0),AM →=(0,3λ,3﹣3λ), 设平面ACM 的法向量n →=(p ,q ,t ),则{n →⋅AC →=2p =0n →⋅AM →=3λq +(3−3λ)t =0,取q =1,得n →=(0,1,λλ−1),∵二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010.∴|cos <m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√1010,解得λ=13或λ=23.∴在线段PB 上(不含端点)存在一点M ,使得二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010,且PM →=13PB →或PM →=23PB →.【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力,是中档题.18.已知等比数列{a n }的前n 项和为S ,公比q >1,且a 2+1为a 1,a 3的等差中项,S 3=14. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式(Ⅱ)记b n =a n •log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【分析】(I )由a 2+1是a 1,a 3的等差中项,可得2(a 2+1)=a 1+a 3,又a 1(q 2+1)=2a 1q +2,a 1(1+q +q 2)=14,联立解得,即可得出. (II )b n =a n •log 2a n =n •2n .利用错位相减法即可得出. 解:(I )∵a 2+1是a 1,a 3的等差中项,∴2(a 2+1)=a 1+a 3,∴a 1(q 2+1)=2a 1q +2,a 1(1+q +q 2)=14, 化为2q 2﹣5q +2=0,q >1,解得q =2,∴a 1=2. ∴a n =2n .(II )b n =a n •log 2a n =n •2n .∴数列{b n }的前n 项和T n =2+2•22+3•23+……+n •2n . 2T n =2×2+2•23+……+(n ﹣1)•2n +n •2n +1. ∴﹣T n =2+22+23+ (2)﹣n •2n +1=2(2n−1)2−1−n •2n +1. 解得:T n =(n ﹣1)•2n +1+2.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率e =12,直线x +y −√6=0与圆x 2+y 2=b2相切.(1)求椭圆的方程;(2)过点N (4,0)的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ,线段AB 的中垂线为l ′,若l ′在y 轴上的截距为413,求直线l 的方程.【分析】(1)先由直线与圆相切,得出b 的值,再结合离心率,求出a 的值,从而可得出椭圆的方程;(2)设直线l 的斜率为k ,设点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,计算△>0,列出韦达定理,可求出线段AB 的中点Q 的坐标,并写出线段AB 中垂线l ′的方程,然后求出直线l '与y 轴的交点坐标,列关于k 的方程,求出k 的值,即可得出直线l 的方程.解:(1)由题意得e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=14,即a 2=43b 2,由x +y −√6=0与圆x 2+y 2=b 2相切得b =√6√2=√3,∴a =2.因此,椭圆的方程为x 24+y 23=1;(2)由题意知,直线l 的斜率k 存在且不为零,设直线l 的方程为y =k (x ﹣4),k ≠0,设点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),设线段AB 的中点为Q (x 0,y 0),联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1,消去y 并整理得(4k 2+3)x 2﹣32k 2x +64k 2﹣12=0.由韦达定理得x 1+x 2=32k24k 2+3,又△=(﹣32k 2)2﹣4(4k 2+3)(64k 2﹣12)>0,解得−12<k <12,且k ≠0.x 0=x 1+x 22=16k 24k 2+3,y 0=k(x 0−4)=−12k 4k 2+3,得Q(16k 24k 2+3,−12k 4k 2+3). 由直线l ′的方程y −y 0=−1k (x −x 0),即y +12k 4k 2+3=−1k (x −16k24k 2+3),化简得y =−1kx +4k 4k 2+3.令x =0得4k4k +3=413,解得k =14或k =3.由于−12<k <12,且k ≠0,所以,k =14.因此,直线l 的方程为y =14(x −4),即x ﹣4y ﹣4=0.【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆方程的求解,以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用,考查计算能力,属于中等题. 20.已知函数f (x )=lnx +ax 2+(a +2)x +1(a ∈一、选择题). (Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性;(Ⅱ)设a ∈Z ,若对任意的x >0,f (x )≤0恒成立,求整数a 的最大值;(Ⅲ)求证:当x>0时,e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>0.【分析】(Ⅰ)求出原函数的导函数f′(x)=(2x+1)(ax+1)x(x>0),得若a≥0,则f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a<0,求出导函数的零点,对函数定义域分段,由导函数的符号可得原函数的单调性;(Ⅱ)若a≥0,则f(1)=2a+3>0,不满足f(x)≤0恒成立.若a<0,由(Ⅰ)求得函数的最大值,又f(x)≤0恒成立,可得ln(−1a)−1a≤0,设g(x)=lnx+x,则g(−1a)≤0.由函数零点判定定理可得存在唯一的x0∈(12,1),使得g(x0)=0.得到a≤−1x0∈(﹣2,﹣1),结合a∈Z,可知a的最大值为﹣2;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,a=﹣2时,f(x)=lnx﹣2x2+1<0,则﹣xlnx>﹣2x3+x,得到e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1=e x﹣x2+2x﹣1.记u(x)=e x﹣x2+2x﹣1(x>0),利用两次求导证明e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>0.【解答】(Ⅰ)解:f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+1,f′(x)=1x+2ax+a+2=(2x+1)(ax+1)x(x>0),①若a≥0,则f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;②若a<0,由f′(x)>0,得0<x<−1a;由f′(x)<0,得x>−1a.∴函数f(x)在(0,−1a)上单调递增,在(−1a,+∞)上单调递减;(Ⅱ)解:若a≥0,则f(1)=2a+3>0,∴不满足f(x)≤0恒成立.若a<0,由(Ⅰ)可知,函数f(x)在(0,−1a)上单调递增,在(−1a,+∞)上单调递减.∴f(x)max=f(−1a)=ln(−1a)−1a,又f(x)≤0恒成立,∴f(x)max=f(−1a)=ln(−1a)−1a≤0,设g(x)=lnx+x,则g(−1a)≤0.∵函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=1>0,g(12)=ln12+12<0,∴存在唯一的x0∈(12,1),使得g(x0)=0.当x∈(0,x0)时,g(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0.∴0<−1a≤x0,解得a≤−1x0∈(﹣2,﹣1),又a∈Z,∴a≤﹣2.则综上a的最大值为﹣2;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,a=﹣2时,f(x)=lnx﹣2x2+1<0,∴lnx<2x2﹣1,则﹣xlnx>﹣2x3+x,∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1=e x﹣x2+2x﹣1.记u(x)=e x﹣x2+2x﹣1(x>0),则u′(x)=e x﹣2x+2.记h(x)=e x﹣2x+2,则h′(x)=e x﹣2,由h′(x)=0,得x=ln2.当x∈(0,ln2)时,h′(x)<0,当x∈(ln2,+∞)时,h′(x)>0,∴函数h(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(ln2)=e ln2−2ln2+2=4﹣2ln2>0.∴h(x)>0,即u′(x)>0,故函数u(x)在(0,+∞)上单调递增.∴u(x)>u(0)=e0﹣1=0,即e x﹣x2+2x﹣1>0.∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>0.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求最值,考查数学转化思想方法,属难题.。