(课件)29.1几何问题的处理方法
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《29.1几何问题的处理方法》第二课时课件 华东师大版
D
课堂练习：
P79练习 1.2.3
作业：P79习题29.1
1、3、4
ABC CBD 180(平角定义) CBD 180 ABC（等式性质）
A D C
CBD A C (等量代换)
B 图29.1.3
1、直角三角形两个锐 角互余 2、等腰三角形两底 角相等 3、“三线合一”： 等腰三角形：
1
2
顶角平分线、底边中线、底边上高重合
4、等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那 么这两个角所对的边也相等
A
B C AC AB
B
C
5、平行四边形对边相等，对角相 等
D D1 C D1 D1 C1 C1
A1 A
B1A1 B A1
B1
A C , B D 利用平移旋转的方法探索：对应 边和对应角情况 AB CD, AC BD
B
C
这里用 ASA AB CD , BC DA(全等三角形对应边相等 )
例3 如图29.1.5，四边形ABCD是菱形，求 证: AC BD且AC平分BAD
分析：
A
D
ABD 观察发现 证明：设 AC与BD 相交于 O点
O 是等腰三角形， A B 四边形ABCD是菱形 如果利用“三线 BO DO（平行四边形对角线互 相平分） 合一”那么就能 O AB AD（菱形四边相等） 得出AO即垂直又 B ABD 是等腰三角形 平分 BAD ， C AC 关键是三线中知 BD且AC平分BAD(等腰三角形三线合一 ) 道那一条呢？？ （哦，O是BD中点）
∮29.1
几何问题的处理方法
(第二课时)
课本75页
数学几何问题解题技巧
数学几何问题解题技巧数学几何问题是许多学生在学习数学过程中遇到的难题之一。
解决几何问题需要一定的技巧和方法，下面将介绍一些常用的数学几何问题解题技巧。
一、画图法解决几何问题的第一步是画出几何图形。
通过准确地绘制所给的图形，可以帮助我们更好地理解问题，并找到解决方案。
在画图时要注意几何图形的形状、比例和准确度。
二、利用已知信息解决几何问题时，首先要充分利用已知信息。
读题时要将已知条件逐一列出，并理解它们之间的关系。
根据已知信息，可以通过几何定理或公式来推导所需的结果。
三、几何定理的灵活运用几何定理是解决几何问题的重要工具。
我们需要熟练掌握各种几何定理，并能够灵活地运用它们。
在解决几何问题时，常常需要将不同的几何定理相结合使用，找到解题的关键点。
四、角度与边的关系解决几何问题时，角度与边的关系是非常重要的一点。
我们需要通过观察几何图形中的角度和边的长度，寻找它们之间的关联。
利用角度与边的关系，可以推导出所求的结果。
五、相似和全等三角形相似和全等三角形是几何问题中常见的概念。
当我们遇到几何问题时，可以尝试通过相似或全等三角形来求解。
相似三角形的对应边比值相等，而全等三角形的对应边长度相等。
通过应用相似或全等三角形的性质，可以简化解题过程。
六、运用代数解题在某些情况下，几何问题可以通过代数的方法来解决。
我们可以用变量表示未知量，列方程，然后通过求解方程来得到答案。
这种方法通常适用于几何问题与代数问题相结合的情况。
七、结合图形推导有些几何问题无法直接得出结论，需要通过推导来解决。
我们可以在几何图形中引入辅助线或辅助点，通过推导和类似三角形等方法来解题。
这种方法通常需要一定的想象力和思考能力。
综上所述，解决数学几何问题需要一定的技巧和方法。
通过合理运用画图法、利用已知信息、几何定理、角度与边的关系、相似和全等三角形、代数解题以及结合图形推导等技巧，我们可以提高解题的效率和准确性。
希望以上的数学几何问题解题技巧对你有所帮助！。
《29.1几何问题的处理方法》第一课时课件 华东师大版
B
80
C
1.一条直线截两条平行直线所得 l3 1 同位角相等
2.两条直线被第三条直线所截，如 2 l2 果同位角相等，两直线平行 l1 // l2 11 2 l1 1 2 l1 // l2
2
l1
l3
l2
3.如果两个三角形的两边及夹角（或两角 及夹边，或三边）分别对应相等，那么两 三角形全等 （SAS）、 ( ASA)、 (SSS) 4.全等三角形的对应边、对应角分别 相等
ABC ABC
A
则
A`
AB AB, BC BC AC AC (对应边相等) A A, B B
B
C B`
C`
C C （对应角相等）
5.一条直线截两条平行直线所得的同旁 内角互补（反之也成立） 6.一条直线截两条平行直线所得内错角 l1 1 相等（反之也成立） 1 2 180
公式：
（n 2） 180
3、已知一个多边形地内角和等于外 角和的2倍，求这个多边形的边数？
分析：内角和为（n 2） 180
外角和 n个平角 内角和 n 180 (n 2) 180
解：（n - 2） 180 2 n 180 (n 2) 180 180 n 360 2(n n 2) 180 180n 360 2 360 180n 3 360 n6
&29.1
打开
P71
等腰三角形两个底角相等（简 写“等边对等角”）
已知：在ABC中，AB AC，B 80求C和A的度数？
解： AB AC(已知)
C B 80(等边对等角 )
A
A B C 180(三角形内角和 180)
80
C
1.一条直线截两条平行直线所得 l3 1 同位角相等
2.两条直线被第三条直线所截，如 2 l2 果同位角相等，两直线平行 l1 // l2 11 2 l1 1 2 l1 // l2
2
l1
l3
l2
3.如果两个三角形的两边及夹角（或两角 及夹边，或三边）分别对应相等，那么两 三角形全等 （SAS）、 ( ASA)、 (SSS) 4.全等三角形的对应边、对应角分别 相等
ABC ABC
A
则
A`
AB AB, BC BC AC AC (对应边相等) A A, B B
B
C B`
C`
C C （对应角相等）
5.一条直线截两条平行直线所得的同旁 内角互补（反之也成立） 6.一条直线截两条平行直线所得内错角 l1 1 相等（反之也成立） 1 2 180
公式：
（n 2） 180
3、已知一个多边形地内角和等于外 角和的2倍，求这个多边形的边数？
分析：内角和为（n 2） 180
外角和 n个平角 内角和 n 180 (n 2) 180
解：（n - 2） 180 2 n 180 (n 2) 180 180 n 360 2(n n 2) 180 180n 360 2 360 180n 3 360 n6
&29.1
打开
P71
等腰三角形两个底角相等（简 写“等边对等角”）
已知：在ABC中，AB AC，B 80求C和A的度数？
解： AB AC(已知)
C B 80(等边对等角 )
A
A B C 180(三角形内角和 180)
解决立体几何问题的三种方法
解决立体几何问题的三种方法
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲解决立体几何问题的三种超厉害的方法！
先来说说第一种方法——作图法。
哎呀呀，就好比你要建一座城堡，你得先把它的设计图画出来呀（比如要画一个长方体来解决相关问题）。
你看，通过仔细准确地作图，那些复杂的立体图形是不是一下子就清楚明白多啦？
第二种方法呢，是空间想象力法。
哇塞，这可神奇啦！就好像你拥有了一双能看透立体世界的眼睛（想象一个圆锥体在你脑海中旋转）。
你试着闭上眼睛，在脑海中构想出那个立体图形，感受它的形状和特点，很多问题不就迎刃而解了吗？
最后一种是公式法呀。
这就像是你手里的秘密武器！（比如用体积公式去计算一个正方体的体积）。
那些公式可是经过无数人验证的，只要你熟练掌握并运用，嘿嘿，什么难题都难不倒你！
反正我觉得这三种方法真的超有用！大家一定要好好去尝试，去掌握。
相信你们一定能在立体几何的世界里游刃有余！。
几何问题的处理方法PPT
你能从中得出 ABCD的一些边角关系吗？
旋转1800之后两个平行四边形完全重合。 即平行四边形是中心对称图形，对角线的交 点O就是对称中心。由此得到：
AD＝BC，AB＝DC
A＝ C；B ＝D
即平行四边形的对边 相等、对角相等。
如图，四边形ABCD是平行四边形。 例2
求证：AB＝CD，BC＝DA。
求证： △ABC≌△AˊBˊCˊ
• 已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中, ∠ACB=∠A’C’B’=90° AB=A’B’,AC=A’C’.
• 求证：△ABC≌△A’B’C’
• 把 △ABC和△A’B’C’拼在一起，使相等 的直角边AB和A’B’重全在一起，并使点C
和C’在A’B’.的两旁，C、B（B’）、C’在一 条直线上。
A
O
BHale Waihona Puke 定理:平行四边形的对角线互相平分.
C D
C
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴CO=AO,BO=DO. 推论:夹在两条平行线间的平行
MA
DN
线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,
PB
CQ
∴AB=CD.
平行四边形的对边平行 边
证明：连结AC。∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴AB∥CD（平行四边形的定义）。
∴∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）
同理 ∠BCA＝∠DAC 在△ABC和△CDA中，
∠BAC＝∠DCA（已证），
AC＝CA（公共边），
∴AB＝CD，BC＝DA（全等
∠BCA＝∠DAC（已证），
∴ △ABC≌△CDA （A.S.A）三角形的对应边相等）
由△ABC≌△CDA ，还可得： ∠B＝ ∠D，同理也可得出: ∠BA D= ∠DCB.
29[1].1几何问题的处理方法 教案2
![29[1].1几何问题的处理方法 教案2](https://img.taocdn.com/s3/m/ed6c5af804a1b0717fd5dd83.png)
课题：29.1 几何问题的处理方法2一、知识点回顾1、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。
2、推论：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直，也可证线段或角的倍分问题。
3、判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。
平行四边形⑴平行四边形的：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
注意：一个四边形必须具备有两组对边分别平行才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定是有“两组对边分别平行”的一个四边形。
因此定义既是平行四边形的一个判定方法（定义判定法）又是平行四边形的一个性质。
平行四边形的表示：平行四边形用符号“□”表示，如图就是平行四边形ABCD，记作“□ABCD”。
⑵平行四边形的性质：平行四边形性质定理1：平行四边形对边相等。
平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等。
平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
⑶平行四边形的判定定理：平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形、菱形、正方形⑴定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
它们之间的从属关系⑵性质与判定矩形的性质：既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形的一切性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质。
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。
矩形性质定理2：矩形对角线相等。
九年级数学下册第29章几何的回顾29.1几何问题的处理方法2几何问题的处理方法第2课时课件华东师大版
【跟踪训练】
1.(2012·聊城中考)如图，四边形ABCD
是平行四边形，点E在BC上.如果点F是
边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一
定全等的条件是( )
(A)DF=BE
(B)AF=CE
(C)CF=AE
(D)CF∥AE
【解析】选C.结合平行四边形性质，如果DF=BE，则与∠D=∠B， CD=AB，恰好满足(S.A.S.)全等条件，即△CDF≌△ABE；如果 AF=CE，因为AD=CB，所以DF=BE，结合选项A，能够判断△CDF≌ △ABE；如果CF=AE，判断两三角形全等条件不具备；如果CF∥AE， 则四边形AECF是平行四边形，则有AF=CE，结合选项B，能够判断 △CDF≌△ABE.
【规律总结】 判定正方形常出现的三种错误
1.四条边相等就直接判定为正方形； 2.四个角为直角就判定为正方形； 3.对角线相等且垂直就判定为正方形．
【跟踪训练】
3.(2011·包头中考)已知菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点
O,∠BAD=120°,AC=4,则该菱形的面积是( )
(A)16 3 (B)16
【规律总结】 梯形常作辅助线“五种方法”
1.“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形； 2.“作高”：使两腰在两个直角三角形中； 3.“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中； 4.“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形； 5.“等积变形”：连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下 底延长线交于一点,构成三角形．
将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线
段PE，连结BE，则∠CBE等于( )
(A)75°
(B)60°
(C)45°
(D)30°
【解析】选C.延长AB，过E作AB的延长 线的垂线交于点F,由线段PD绕点P顺时 针旋转90°得线段PE，可知DP= EP , ∠DPE=90°，所以∠EPF+∠DPA= 90°,而∠ADP+∠DPA=90°,所以∠EPF= ∠ADP. 又因为∠DAP=∠PFE=90°，所以△ADP≌△FPE,所以AP=FE, AD=FP=AB,所以BF+PB=AP+PB,所以BF=AP,所以FE=BF, 所以∠EBF=∠BEF=45°， 所以∠CBE=90°-45°=45°.
教学课件九年级数学下册第.29.1几何问题的处理方法第1课时
D.19
【解析】选C.当长为6的边为腰时，6+6<13不能组成三角形；
所以长为6的边为底，周长为13×2+6=32.
3.（2013·巴中中考）已知方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三 角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为______. 【解析】方程x2-9x+18=0的两根为3，6，由三角形的三边关 系得,3为底，6为腰，三角形的周长为6+6+3=1点D ，E 分 别在边 AC ， AB 上，BD=CE ， ∠DBC=∠ECB． 求证：AB=AC． 【证明】∵BD=CE，∠DBC=∠ECB，BC=CB， ∴△BCE≌△CBD， ∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．
6.已知，如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°.F为AB延长线 上一点，点E在BC上，BE=BF，连结AE,EF和CF． （1）求证：AE=CF. （2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．
【想一想错在哪？】如图所示，AD是∠BAC的平分线，且BD= DC，∠B=∠C，求证：AB=AC.
提示：使用了“两边及其中一边的对角对应相等”来证明 △DAB≌△DAC而导致错误.
赠送湘教课件：阶段专题复习
第3 章
请写出框图中数字处的内容: ①_d_>_r_时__,_点__在__圆__外__;_d_=_r_时__,_点__在__圆__上__;_d_<_r_时__,_点__在__圆__内__; ②_d_>_r_时__相__离__;_d_=_r_时__相__切__;_d_<_r_时__相__交__; ③_圆__的__切__线__垂__直__于__过__切__点__的__半__径__; ④_经__过__半__径__的__外__端__且__垂__直__于__这__条__半__径__的__直__线__是__切__线__; ⑤_外__离__、__外__切__、__相__交__、__内__切__、__内__含__; ⑥_d_>_r_1_+_r_2时__外__离__;_d_=_r_1_+_r_2_时__外_切__;_r_1_+_r_2_>_d_>_r_2-_r_1_时__相__交__;_ _d_=_r_2-_r_1_时__内__切__;_d_<_r_2_-_r_1时__内__含__;
教学课件九年级数学下册第.29.1几何问题的处理方法第2课时
A.AB∥DC,AD∥BC C.AO=CO,BO=DO
B.AB=DC,AD=BC D.AB∥DC,AD=BC
【解析】选D.根据平行四边形的判定，选项A,B,C都能判断四 边形ABCD是平行四边形，由选项D的条件得到的四边形可能 是 等腰梯形或平行四边形.
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则平行
∴∠D=100°.
2.（2013·上海中考）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD
交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是( )
A.∠BDC =∠BCD
B.∠ABC =∠DAB
C.∠ADB =∠DAC
D.∠AOB =∠BOC
【解析】选C.由∠ADB=∠DAC得AO=DO，进而可得BO=CO，
知识点 3 等腰梯形的性质与判定 【 例 3】(2013· 钦 州 中 考 ) 如 图 ， 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， AB∥DE，∠DEC=∠C. 求证:梯形ABCD是等腰梯形.
【思路点拨】由AB∥DE，∠DEC=∠C，易证得∠B=∠C，又由 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论. 【自主解答】∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC. ∵∠DEC=∠C，∴∠B=∠C. 又∵四边形ABCD是梯形, ∴梯形ABCD是等腰梯形.
(2)菱形的性质： ①菱形的四条边都_相__等__; ②菱形的对角线互相_垂__直__,并且每条对角线_平__分__一组对角. (3)正方形具有_矩__形__与_菱__形__的所有性质. 3.等腰梯形的性质： (1)等腰梯形_同__一__底__上的两个内角相等. (2)等腰梯形的_对__角__线__相等.
(打“√”或“×”) (1)平行四边形的对角线相等.( ×) (2)正方形具有矩形和菱形的所有性质.( √) (3)菱形的对角线平分一组对角.( √) (4)两底角相等的梯形是等腰梯形.( ×) (5)对角线相等、垂直且互相平分的四边形是正方形.( √)
九年级数学下册第29章几何的回顾29.1几何问题的处理方法1几何问题的处理方法第1课时课件华东师大版
第八页，编辑于星期六：六点 五十四分。
【规律总结】 证明几何命题的三个步骤
1.根据题意画出图形(图形要正确且具有一般性,不能画特殊图
形)；
2.根据题设、结论,结合图形,写出“已知”“求证”(或“求 解”)； 3.经过分析,找出证明和求解思路(可以从已知向求证探索或从 求证向已知溯源,还可以从已知和求证两个方向同时出发),写出 证明或求解过程(每一步都要有理有据).
第十一页，编辑于星期六：六点 五十四分。
3.(2011·乐山中考)如图,在直角△ABC中, ∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE 垂直平分AB,求∠B的度数. 【解析】∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD.
∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∠B=∠BAD, ∴∠CAD=∠BAD=∠B.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴∠CAD+∠BAD+∠B=90°,∴∠B=30°．
第十二页，编辑于星期六：六点 五十四分。
等腰三角形的性质与判定 【例2】(12分)如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形, ∠ACD=∠BCE＝90°,AE交DC于F,BD分别交CE,AE于点G,H.试猜测 线段AE和BD的关系,并说明理由.
第二页，编辑于星期六：六点 五十四分。
(4)经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线
_垂__直__； (5)平行线的判定公理：_____同__位_相角等,两直线平行； (6)平行线的性质公理：两直线平行, ___同__位_角相等； (7)全等三角形的性质公理：全等三角形的____对__应_、边_____对_应_分角
_的__两__个_内__角__的_和____；④直角三角形的两个锐角___互_余_；⑤等腰三 角形的底角_相__等__；⑥等腰三角形_顶__角__的平分线、底边上的 _中__线__、底边上的__高_互相重合；⑦如果一个三角形有两个角相 等,那么这两个角所对的___也边相等.
【规律总结】 证明几何命题的三个步骤
1.根据题意画出图形(图形要正确且具有一般性,不能画特殊图
形)；
2.根据题设、结论,结合图形,写出“已知”“求证”(或“求 解”)； 3.经过分析,找出证明和求解思路(可以从已知向求证探索或从 求证向已知溯源,还可以从已知和求证两个方向同时出发),写出 证明或求解过程(每一步都要有理有据).
第十一页，编辑于星期六：六点 五十四分。
3.(2011·乐山中考)如图,在直角△ABC中, ∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE 垂直平分AB,求∠B的度数. 【解析】∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD.
∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∠B=∠BAD, ∴∠CAD=∠BAD=∠B.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴∠CAD+∠BAD+∠B=90°,∴∠B=30°．
第十二页，编辑于星期六：六点 五十四分。
等腰三角形的性质与判定 【例2】(12分)如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形, ∠ACD=∠BCE＝90°,AE交DC于F,BD分别交CE,AE于点G,H.试猜测 线段AE和BD的关系,并说明理由.
第二页，编辑于星期六：六点 五十四分。
(4)经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线
_垂__直__； (5)平行线的判定公理：_____同__位_相角等,两直线平行； (6)平行线的性质公理：两直线平行, ___同__位_角相等； (7)全等三角形的性质公理：全等三角形的____对__应_、边_____对_应_分角
_的__两__个_内__角__的_和____；④直角三角形的两个锐角___互_余_；⑤等腰三 角形的底角_相__等__；⑥等腰三角形_顶__角__的平分线、底边上的 _中__线__、底边上的__高_互相重合；⑦如果一个三角形有两个角相 等,那么这两个角所对的___也边相等.
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c
小熊：两直线平行，内错角相等。
1 2 4 3 b a
证明： ∵ a // b
(已知)
∴ ∠1= ∠3
（两直线平行，同位角相等）
已知：如图直线a、b被直线c 所截，直线aǁb，∠2和 又∵ ∠1= ∠2 （对顶角相等） ∴ ∠2= ∠3 （等量代换） ∠3是一对内错角。 求证：∠2=∠3
感受证明 求证：三角形的内角和为180°
课堂感悟
谈一谈你对于证明, 有了哪些新的认识. 作业：练习1－3； 习题1
《几何问题的处理方法》
下课!
1. 两直线平行，同位角相等。
（若a
// b ，则∠1=∠3 ）c
1 2 4 3 b a
2. 两直线平行，内错角相等。
（若a
// b ，则∠2=∠3 ）
3. 两直线平行，同旁内角互补。
（若a∥b
，则∠2+∠4=180°）
感受证明
同学们，帮帮忙，请你们利用小 兔的结论来证明一下我的结论， 好吗？
小兔：两直线平行，同位角相等。
回忆1
你还记得吗？
等式、不等式的有关性质以及选等 量代换也是推理的依据。也将“经过两 点有且只有一条直线”以及“经过直线 外一点有且只有一条直线与已知直线平 行”（平行公理）作为添加辅助线的依 据。 有了上述推理依据。我们就能用逻辑推理 的方法证明本教材中出现地的所有的几何图 形的属性。
平 行 线 的 性质
逻辑推理是研究数学的一个重要的 基本方法。几何学的研究充分运用了这 一方法。
这就是中国明代伟大的科学家徐 光启与他翻译的《几何原本》。
29.1 几何问题的处理方法
知识回顾
探索几何图形性质的 常用的两种方法?
• （1）通过看一看、画一画、比一 比、量一量、算一算、想一想、猜 一猜得出结论，并在实验、操作中 对结论作出解释的方法； • （2）用逻辑推理的方法。
5
3
C
1 B
F
抢答展示
1、：已知:如图所示,在△ABC中,外角 ∠DCA=100°,∠A=45°. 则∠B=——，∠ACB=———.
的度数之比为1:4,则这个等腰 三角形的顶角的度数是（ ） 3、如图，点B、F、C、E、在同一直线上，AC、DF、 相交于点G，AB=DE,∠A=∠D,请添加一个条件 ————————，使△ABC≌△DEF
A 2 4 1 C
D
你来证明
1、已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC, ∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), E 1 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). 2 A D ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 2
• 这种合情推理的方法是研究几何图形属性 的一种基本方法。
• 同时也学习了用逻辑推理的方法去探索一 些几何图形所具有的属性。
逻辑推理的方法是研究数学的一个 重要的基本方法.
• 逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本 事实作为逻辑推理的最原始的依据,因此在第 19章中,给出了如下的公理: (1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等. (2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行。 (3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其 夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角 形全等。 (4)全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。
A
B
D
C
例1
已知：在△ABC中，AB＝AC， ∠B＝80°，求 ∠C和∠A的度数。 解：∵AB＝AC（已知）， ∴ ∠C＝ ∠B＝ 80°（等边对等角） ∵ ∠A ＋∠B＋ ∠C＝180 °（三角形内角和等于180 ° ） ∴∠A＝180°－ ∠B－ ∠C（等式的性质） ＝180 ° －80 ° －80 ° ＝20 °。 用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有 的属性是研究几何问题的又一种基本方法。
在这里,我们通过三角形内角和定理 直接推导出两个新定理.像这样,由一 个公理或定理直接推出的定理,叫做 这个公理或定理的推论 推论可以当作定理使用.
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内 3 B 角的和. 推论2: 三角形的一个外角 大于任何一个和它不相邻的内角.
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人 的等腰三角形可以不一样，如图，把纸片 对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为 AD.你能发现什么现象吗？
A
A
B
D
C
B
D
C
• 等腰三角形是轴对称图形 • ∠B=∠C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” •∠ BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 简称“三线合一” • ∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线 • BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合
已知：如图，△ABC，A、B、C 是它 的三个内角。 求证：A+B +C=180° A
证明：延长BC到D，过点C作CE//AB. ∵CE//AB. B ∴A=1 B=2 ∵1+2+ABC=180° ∴A+B+ABC=180°
E 1 2 D
C
联想 >> 三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角和 >> 直角三角形的两锐角互余 >> ｎ边形的内角和等于
180°（ｎ－2）
大家来展示
1、求证：四边形的内角和等于360°； 五边形的内角和等于540°. 2、利用n边形的内角和等于180°（n-2） 的结论 证明：任意多边形的外角和等于360° 3、已知一个多边形的内角和等于1080°， 求这个多边形的边数。 4、已知一个多边形的内角和等于外角和 的两倍，求这个多边形的边数。
·
∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
B
·C
2、 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2.
D 2 证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角). ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). A ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任 何一个和 它不相邻的内角). ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). E 4
A G B D
F
C
E
4、：已知:国旗上的正五角星形如图所示. 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数———.
分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形中,运用三角形内角和定 理来求解. B
你认识 外角吗?
A
H
2 1F
E
解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 C D 角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
小熊：两直线平行，内错角相等。
1 2 4 3 b a
证明： ∵ a // b
(已知)
∴ ∠1= ∠3
（两直线平行，同位角相等）
已知：如图直线a、b被直线c 所截，直线aǁb，∠2和 又∵ ∠1= ∠2 （对顶角相等） ∴ ∠2= ∠3 （等量代换） ∠3是一对内错角。 求证：∠2=∠3
感受证明 求证：三角形的内角和为180°
课堂感悟
谈一谈你对于证明, 有了哪些新的认识. 作业：练习1－3； 习题1
《几何问题的处理方法》
下课!
1. 两直线平行，同位角相等。
（若a
// b ，则∠1=∠3 ）c
1 2 4 3 b a
2. 两直线平行，内错角相等。
（若a
// b ，则∠2=∠3 ）
3. 两直线平行，同旁内角互补。
（若a∥b
，则∠2+∠4=180°）
感受证明
同学们，帮帮忙，请你们利用小 兔的结论来证明一下我的结论， 好吗？
小兔：两直线平行，同位角相等。
回忆1
你还记得吗？
等式、不等式的有关性质以及选等 量代换也是推理的依据。也将“经过两 点有且只有一条直线”以及“经过直线 外一点有且只有一条直线与已知直线平 行”（平行公理）作为添加辅助线的依 据。 有了上述推理依据。我们就能用逻辑推理 的方法证明本教材中出现地的所有的几何图 形的属性。
平 行 线 的 性质
逻辑推理是研究数学的一个重要的 基本方法。几何学的研究充分运用了这 一方法。
这就是中国明代伟大的科学家徐 光启与他翻译的《几何原本》。
29.1 几何问题的处理方法
知识回顾
探索几何图形性质的 常用的两种方法?
• （1）通过看一看、画一画、比一 比、量一量、算一算、想一想、猜 一猜得出结论，并在实验、操作中 对结论作出解释的方法； • （2）用逻辑推理的方法。
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3
C
1 B
F
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1、：已知:如图所示,在△ABC中,外角 ∠DCA=100°,∠A=45°. 则∠B=——，∠ACB=———.
的度数之比为1:4,则这个等腰 三角形的顶角的度数是（ ） 3、如图，点B、F、C、E、在同一直线上，AC、DF、 相交于点G，AB=DE,∠A=∠D,请添加一个条件 ————————，使△ABC≌△DEF
A 2 4 1 C
D
你来证明
1、已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC, ∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), E 1 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). 2 A D ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 2
• 这种合情推理的方法是研究几何图形属性 的一种基本方法。
• 同时也学习了用逻辑推理的方法去探索一 些几何图形所具有的属性。
逻辑推理的方法是研究数学的一个 重要的基本方法.
• 逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本 事实作为逻辑推理的最原始的依据,因此在第 19章中,给出了如下的公理: (1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等. (2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行。 (3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其 夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角 形全等。 (4)全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。
A
B
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C
例1
已知：在△ABC中，AB＝AC， ∠B＝80°，求 ∠C和∠A的度数。 解：∵AB＝AC（已知）， ∴ ∠C＝ ∠B＝ 80°（等边对等角） ∵ ∠A ＋∠B＋ ∠C＝180 °（三角形内角和等于180 ° ） ∴∠A＝180°－ ∠B－ ∠C（等式的性质） ＝180 ° －80 ° －80 ° ＝20 °。 用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有 的属性是研究几何问题的又一种基本方法。
在这里,我们通过三角形内角和定理 直接推导出两个新定理.像这样,由一 个公理或定理直接推出的定理,叫做 这个公理或定理的推论 推论可以当作定理使用.
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内 3 B 角的和. 推论2: 三角形的一个外角 大于任何一个和它不相邻的内角.
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人 的等腰三角形可以不一样，如图，把纸片 对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为 AD.你能发现什么现象吗？
A
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B
D
C
B
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• 等腰三角形是轴对称图形 • ∠B=∠C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” •∠ BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 简称“三线合一” • ∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线 • BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合
已知：如图，△ABC，A、B、C 是它 的三个内角。 求证：A+B +C=180° A
证明：延长BC到D，过点C作CE//AB. ∵CE//AB. B ∴A=1 B=2 ∵1+2+ABC=180° ∴A+B+ABC=180°
E 1 2 D
C
联想 >> 三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角和 >> 直角三角形的两锐角互余 >> ｎ边形的内角和等于
180°（ｎ－2）
大家来展示
1、求证：四边形的内角和等于360°； 五边形的内角和等于540°. 2、利用n边形的内角和等于180°（n-2） 的结论 证明：任意多边形的外角和等于360° 3、已知一个多边形的内角和等于1080°， 求这个多边形的边数。 4、已知一个多边形的内角和等于外角和 的两倍，求这个多边形的边数。
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∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
B
·C
2、 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2.
D 2 证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角). ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). A ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任 何一个和 它不相邻的内角). ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). E 4
A G B D
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4、：已知:国旗上的正五角星形如图所示. 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数———.
分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形中,运用三角形内角和定 理来求解. B
你认识 外角吗?
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解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 C D 角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).