第4单元万有引力与航天
第四单元 万有引力与航天
高二（文班）物理学业水平考试复习资料（四）第四单元 万有引力与航天一、知识脉络二、知识点说明1、万有引力定律（1） 内容（2）万有引力定律公式： 122m m F Gr=，11226.6710/G N m kg -=⨯⋅ （3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。
2、万有引力定律在天文学上的应用。
（1）基本方法：①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：222Mm v G m m r r r ω== ②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：2Mg G R=，R 为天体半径。
（2）天体质量的估算测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2224Mm G m r r T π=得被环绕天体的质量为2324r M GT π=，3、三种宇宙速度①第一宇宙速度：v 1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。
②第二宇宙速度：v 2=11.2km/s ，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。
③第三宇宙速度：v 3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。
三．考点与练习考点1 通过有关事实了解万有引力定律的发现过程1．下列说法正确的是A ．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其它行星都绕地球运动B ．太阳是静止不动的，地球和其它行星都绕太阳运动C ．太阳从东边升起，在西边落下，所以太阳是绕地球运动的一颗行星D ．“日心说”和“地心说”是对立统一的，都能正确地描述天体运行规律 2．公式r 3/ T 2=k ，下列说法正确的是A ．公式只适用于围绕太阳运行的行星B ．不同星球的行星或卫星，其常量k 是相同的C ．围绕地球运行的不同卫星，其常量k 是相同的D ．行星绕太阳的k 值与月亮绕地球的k 值是相同的 考点2 知道万有引力定律 3．下列说法中正确的有A ．行星与太阳之间的一对力是平衡力B ．行星与太阳之间的一对力，其力的性质是不相同的C ．如果太阳的质量减小一些则，则行星与太阳之间的这对力就不平衡了D ．行星既不能飞出太阳又不会被吸引到太阳上，是因为行星受的太阳的引力就是行星绕太阳运动的向心力4．关于牛顿得到的太阳与行星间的引力关系式，下列说法中正确的是A ．可以直接计算出太阳对地球的引力大小B ．是通过实验直接验证得出来的C ．这个规律也适用于地球与月球D ．这个规律不适用于人造卫星与地球 5．由太阳与行星间的引力关系式2rMm G F =A ．r 是行星与太阳中心间的距离B ．r 是行星表面与太阳表面的距离C ．比例系数G 是一个无单位的物理量D ．行星受到太阳的引力的方向就是行星太阳运行的切线方向 6．如果认为行星围绕太阳做匀速圆周运动，下面说法正确的是 A ．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力B ．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比C ．太阳对行星的引力可由实验得出D ．行星同时受到太阳的引力和向心力两个的力作用 7．一群质量不同的小行星在同一轨道上绕太阳旋转，则这些小行星的 A ．加速度和向心力都相同 B ．运行周期和运行速率都相同 C ．加速度和向心力都不同 D ．运行周期和运行速率都不同 8．关于万有引力常量G ,以下说法正确的是A ．在国际单位制中，G 的单位是N•m 2/kgB ．在国际单位制中,G 的数值等于两个质量各1kg 的物体，相距1m 时的相互吸引力C ．在不同星球上，G 的数值不一样D ．在不同的单位制中,G 的数值都一样 9．要使两物体间万有引力减小到原来的1/4,可采用的方法是A ．便两物体的质量各减少一半，距离保持不变B ．两物体间距离增至原来的2倍,质量不变周期定律开普勒行星运动定律轨道定律面积定律 发现万有引力定律 表述的测定天体质量的计算发现未知天体 人造卫星、宇宙速度应用万有引力定律C ．使其中一个物体质量减为原来的1/4,距离不变D ．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的1/410．如图所示，r而球的质量分布均匀，大小分别为m 1与m 2，则两球间万有引力的大小为 A ．221r m m GB ．2121r m m GC ．22121)(r r m m G +D ．22121)(r r r m m G ++ 11．一个物体在地球表面所受的重力为G ，则在距地面高度为地球半径的2倍时，所受引力为A ．G /2B ．G /3C ．G /4D ．G /9 考点3 万有引力定律的应用 12．火星的半径是地球半径的一半,火星的质量约是地球质量的1/9,那么地球表面50 kg 的物体受到地球的吸引力约是火星表面同质量的物体受到火星吸引力的 A ．2.25倍 B ．4/9倍 C ．4倍 D ．8倍13．已知引力常量G 、地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R ，地球绕太阳运行的周期T ，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量A ．地球的质量B ．太阳的质量C ．太阳的半径D ．地球绕太阳运行速度的大小 14．我国预计在2007年10月26日发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。
万有引力与航天科学知识点总结
万有引力与航天科学知识点总结1. 万有引力的定义和原理- 万有引力是指质点之间的引力相互作用力，由牛顿于17世纪提出的普适物理定律。
- 万有引力的原理是质点间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比。
2. 万有引力公式- 万有引力公式表达了两个质点间的引力大小与它们质量和距离的关系：`F = G * (m1 * m2) / r^2`。
- 其中，F表示引力的大小，m1和m2分别是两个质点的质量，r是它们之间的距离，G为万有引力常数。
3. 航天科学中的万有引力应用- 万有引力是航天科学中至关重要的概念，对行星运行、地球轨道等都具有重要影响。
- 宇宙飞行器与地球的相对位置和角度，以及运动轨迹的计算都需要考虑万有引力的作用。
- 万有引力也是行星探测任务中的重要影响因素，科学家通过研究行星的引力场，获得行星的质量、结构和组成信息。
4. 航天科学的其他知识点除了万有引力，航天科学还涉及许多其他重要知识点，如：- 轨道力学：研究天体运动的力学原理和方法。
- 航天器设计：包括航天器的结构、推进系统、导航和控制等设计原理与技术。
- 火箭发动机：研究和设计用于航天器推进的火箭发动机。
- 航天器轨道控制：保持航天器在特定轨道上的运动稳定与精确控制。
5. 航天科学的前沿领域- 航天科学作为一个不断发展的领域，目前还有许多前沿研究领域，如：- 卫星导航与定位技术- 空间站和深空探测任务- 火星和月球探测- 太阳风与地球磁层相互作用研究以上是对万有引力与航天科学的知识点进行了简要总结。
了解这些基本概念和相关领域的发展情况，有助于更好地理解和探索航天科学的奥秘与魅力。
高考物理 第四章 第4单元 万有引力与航天课件 新人教版
B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3
D．2.9×104 kg/m3
h
22
例8、(1)土求星岩周石围颗有粒许A和多B大的小线不速等度的之岩比石．颗(2粒)求，岩其石绕颗土粒星A的和运B的
周动期可之视比为．圆3周)土运星动探．测其器中上有有两一个物岩体石，颗在粒地A球和上B与重土为星10中N心，的 推算出它在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N距．离已分知别地为球rA半＝径8.为0×61.40×4 k1m03和kmrB，＝请1.2估×1算0土5 k星m.质忽量略是所地有球岩质石量
G2 G1
g
B．月球的质量与地球的质量之比为
G
1
R
2 2
G
2
R
2 1
C．卫星在距月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期T月为
2π
R 2G 1
gG 2
G1R 2
D．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 G 2 R 1
h
25
h
1
h
2
一 23．、开开普普勒勒第运二三动定定律律：对所任有意行一星个的行轨星道来的说，它和的太三阳次的方跟
1它．的开在普相勒等第的一时定间的律内二：扫次所过方有相的行等比星的值绕都太相阳等．运，动表的达轨式道：都
椭圆
焦点
是 ，太阳处在椭圆的一个 上．
. 连线
面积
半长轴
公转周期
h
3
二、万有引力定律
卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生 的高度一定比乙的高C．甲的向心力一定比
碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫 星碰撞事件．碰撞过 乙的小D．甲的加速度一定比乙的大
第四章 第4单元 万有引力与航天
()
A．1.8×103 kg/m3 C．1.1×104 kg/m3
B．5.6×103 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
[思路点拨] 首先根据近地卫星绕地球运动的向心 力由万有引力提供，可求出地球的质量，然后根据 ρ＝43πMR3，可求得该行星的密度．
[解析] 设该星球和地球的质量、半径、体积分别是M1和 M2、R1和R2、V1和V2，则该星球的平均密度为： ρ1＝MV11 地球的平均密度为ρ2＝MV22 所以ρρ12＝MM12VV21＝42.57. 对于近地卫星有GMR22m2 ＝m(2Tπ)2R2
度一定小于发射速度．
所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人
造卫星的最小发射速度．
4．双星问题 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两 颗恒星称为双星．双星运动有以下几个特点： (1)角速度相同； (2)圆心相同，轨道半径之和等于两者间距r； (3)彼此之间的万有引力提供向心力．
(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它 在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N．已 知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的 多少倍？ [思路点拨] 根据万有引力提供向心力，向心力公式选择 涉及线速度、周期的公式求比可得(1)、(2)两问．根据万有 引力公式及万有引力和重力的关系可得(3)问．
又ρ2＝43πMR223所以ρ2＝G3Tπ2 故ρ1＝4.775GπT2 ＝4.7×6.67×1705－×11×3.114.4×60×602 kg/m3 ≈2.9×104 kg/m3.
[答案] D
天体质量、密度的两种计算方法：
(1)“g、R”计算法：利用天体表面的物体所受重力约等于万有 引力．得：M＝gGR3；ρ＝4π3RgG.
万有引力与航天ppt课件
识 整
4．地球同步卫星的特点
合
(1)轨道平面一定：轨道平面和 赤道 平面重合． (2)周期一定：与 地球自转 周期相同，即 T＝ 24 h .
知 能
高 频 考
(3)高度一定：由 G(RM＋mh)2＝m4Tπ22(R＋h)得，离地面的高
3 度 h＝
G4MπT2 2－R.
达 标 训 练
点
突 破
(4)绕行方向一定：与 地球自转 的方向一致．
整 合
的半径为 r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为 m2，则 A．X 星球的质量为 M＝4GπT2r2113
知 能
高 频
B．X 星球表面的重力加速度为 gX＝4πT212r1 C．登陆舱在 r1 与 r2 轨道上运动时的速度大小之比为
vv12＝
达 标 训 练
考 点
m1r1
突
m2r1
破
D．登陆舱在半径为 r2 轨道上做圆周运动的周期为 T2＝T1
GM
an＝GMr2
r
v减小 增大时ωT增减大小
an减小
知 能 达 标 训 练
菜单
第四章 曲线运动 万有引力与航天
物理
[例1] (2011·浙江理综)为了探测 X 星球，载着登陆舱的探
主 干
测飞船在以该星球中心为圆心，半径为
r1 的圆轨道上运动，周
知 识
期为 T1，总质量为 m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近
第四章 曲线运动 万有引力与航天
物理
主 干 知 识 整 合
知
第四节 万有引力与航天
能 达
标
训
练
高 频 考 点 突 破
菜单
第四章 曲线运动 万有引力与航天
课件4：4.4 万有引力与航天
为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝G3Tπ2. 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可
第四章 曲线运动 万有引力与航天
(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运 动的椭圆轨道的半长轴 a 的三次方与它的公转周期 T 的二次方成正比，即Ta32＝k，k 是一个对所有行星都相 同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你 推导出太阳系中该常量 k 的表达式．已知引力常量为 G， 太阳的质量为 M 太． (2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天 体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为 3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为 2.36×106 s，试 计算地球的质量 M 地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果 保留一位有效数字)
2－2.(单选)一宇航员在某星球上以速率 v0 竖直上抛 一物体，经 t 秒落回原处，已知该星球半径为 R，那 么该星球的第一宇宙速度是( B )
A.vR0t
B.
2v0R t
C.
v0R t
D.
v0 Rt
第四章 曲线运动 万有引力与航天
3．(单选)在日常生活中我们并没有发现物体的质量 随物体的运动的变化而变化，其原因是( B ) A．物体运动无法称质量 B．物体的速度远小于光速，质量变化极小 C．物体质量太大 D．物体的质量不随速度变化而变化
2－1.(单选)嫦娥三号的成功登月再次表明我国已具 备火星探测能力，假设我国欲发射一颗探测火星的卫 星，其发射速度 v 应为( C ) A．7.9 km/s B．7.9 km/s＜v＜11.2 km/s C．11.2 km/s＜v＜16.7 km/s D．v≥16.7 km/s
第四章 第4单元 万有引力与航天
人教版物理
5．选 AC
在地球的圆形同步轨道上正在运行的卫星，卫星的
重力小于在地球表面时受到的重力，卫星处于完全失重状 态，所受重力不为零，选项 A 正确 B 错误；卫星离地面的 高度是一个定值，卫星相对地面静止，处于匀速圆周运动状 态，选项 C 正确 D 错误。
人教版物理
6． D 选
航天飞机在轨道Ⅱ上从远地点 A 向近地点 B 运动的过程中
人教版物理
人教版物理
高频考点要通关 因各小行星到太阳中心的距离不同，皆大于地球到 v2 Mm 2π 2 太阳中心的距离，根据万有引力公式 G r2 ＝m r ＝m( T ) r＝ma， [例 1] 知太阳对各小行星的引力不相同，各小行星绕太阳运动的周期均大 GM GM 于一年，则选项 A、B 错误，由 a＝ r2 和 v2＝ r ，r 越小，a 越 大，r 越大，v 越小，则选项 C 正确，D 错误。 [例 2] N 选 B 由题意知行星表面的重力加速度为 g＝m， 又在行星表 选 C
(3)地球的球心
太阳
人教版物理
[试一试] 2．选A 知识点三 [试一试] 3．选B 经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只 是经典力学的基础，经典力学并非万能，也有其适用范 围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以 解决自然界中所有的问题。因此只有搞清牛顿运动定律和 经典力学的隶属关系，明确经典力学的适用范围，才能正 确解决此类问题。 同步卫星轨道只能在赤道平面内，高度一定，轨道 半径一定，速率一定，但质量可以不同，A项正确。
人教版物理
[例 4]
选C
gt2 根据平抛运动规律有 MN sin θ＝ 2 ，MN cos θ
2v0tan θ ＝v0t，两式相比得月球表面的重力加速度 g＝ ，月球 t GMm 对表面物体的万有引力等于物体的重力，有 r2 ＝mg，月 3v0tan θ M 球的密度 ρ＝4πr3，解以上三式得 ρ＝ 2πGrt ，故 C 正确。 3
2021 第4章 第4节 万有引力与航天
返
首
页
17
必
核
备 知
心
识 全
B [开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规 素
通
养
关 律，与牛顿定律无联系，选项 A 错误，选项 B 正确；开普勒总结出
课
了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选 后
关
限
键 能
项 C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项 D 错误。]
时
力
集
时 集 训
突
破
返 首 页
7
三、宇宙速度
必 备
1．三种宇宙速度比较
知
核 心
识 宇宙速度 数值(km/s)
意义
素
全
通
养
关 第一宇宙速度 _7_.9___ 地球卫星最小发射速度(环绕速度)
关 第二宇宙速度
键 能 力 全
突 第三宇宙速度
破
_1_1_._2_ _1_6_._7__
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速 课 后
后
关 键
续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在
限
能
时
力 该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于 1 月的月球而言，7 月的月球 集
全
训
突
破( )
返 首 页
19
必
核
备 知
心
识 全
A．绕地球运动的线速度更大
素
通
养
关
B．距离地球更近
课
C．绕地球运动的线速度更小
后
关
限
键 能
D．距离地球更远
时
必
核
备 知
物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度
第4章 第4讲 万有引力与航天
第4讲 万有引力与航天知识一 万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．公式F ＝G m 1m 2r2，其中G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，叫引力常量．3．适用条件两个质点之间的相互作用．(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为两球心间的距离．(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r 为质点到球心间的距离．(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G Mm R2计算物体间的万有引力．(×)(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．(×)知识二 万有引力定律应用及三种宇宙速度1．万有引力定律基本应用(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．(2)基本公式：G Mmr 2＝mg r＝ma ＝⎩⎪⎨⎪⎧m v 2rmr ω2mr2πT 2mv ω其中g r 为距天体中心r 处的重力加速度．(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度． (3)两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同．当一枚火箭受到的重力只有它在地球表面上受到的重力一半时，它飞到了多大高度？ [提示] 地面上：mg 0＝GMmR 2地. 飞行处：12mg 0＝GMmR 地＋h2解得飞行高度h ＝(2－1)R 地知识三 经典时空观和相对论时空观1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．3．经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．(1)经典力学的基础是牛顿运动定律．(√)(2)牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题．(×) (3)经典力学可以解决自然界中所有的问题．(×)1．关于万有引力公式F ＝Gm 1m 2r 2，以下说法中正确的是( ) A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 【解析】 万有引力公式F ＝Gm 1m 2r，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.【答案】 C2．(多选)由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E ＝F q，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M ，半径为R ，地球表面处重力加速度为g ，引力常量为G ，如果一个质量为m 的物体位于距离地心2R 处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )A ．GM R2B ．Gm R2C ．GMm R 2D.g4【解析】 由万有引力定律知F ＝G Mm R2，引力场的强弱F m ＝GM R2，A 对；在地球表面附近有G Mm R 2＝mg ，所以F m ＝g4，D 对．【答案】 AD3．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的 2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )A ．太阳引力远大于月球引力B ．太阳引力与月球引力相差不大C ．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D ．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【解析】 设太阳质量为M ，月球质量为m ，海水质量为m ′，太阳到地球距离为r 1，月球到地球距离为r 2，由题意Mm＝2.7×107，r 1r 2＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F 1＝GMm ′r 21，月球对海水的引力F 2＝Gmm ′r 22，则F 1F 2＝Mr 22mr 21＝2.7×1072＝2 70016，故A 选项正确，B 选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C 选项错误，D 选项正确．【答案】 AD4．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【解析】 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A 错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B 错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C 正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D 错误．【答案】 C5．(2013·福建高考)设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆．已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r 3T 2B ．GM ＝4π2r2T2C ．GM ＝4π2r 2T3D ．GM ＝4πr3T2【解析】 本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．对行星有：GMm r 2＝m 4π2T 2r ，故GM ＝4π2r3T2，选项A 正确．【答案】 A考点一 [32] 天体质量和密度的估算一、重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .1．由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G.2．天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.二、卫星环绕法测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T .1．由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r3GT2.2．若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3.若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r ＝R ，则有ρ＝3πGT2.——————[1个示范例]——————(2013·全国大纲卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为( )A ．8.1×1010 kgB ．7.4×1013kgC ．5.4×1019 kgD ．7.4×1022kg 【解析】 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：GMm r 2＝4π2mr T 2，得M ＝4π2r3GT 2，其中r ＝R ＋h ，代入数据解得M＝7.4×1022kg ，选项D 正确．【答案】 D——————[1个预测例]——————一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GNB.mv 4GNC.Nv 2GmD.Nv 4Gm【审题指导】(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系． (2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系．【解析】 设卫星的质量为m ′由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R①m ′v 2R＝m ′g ②由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg ③由③得g ＝N m ，代入②得：R ＝mv 2N代入①得M ＝mv4GN，故B 项正确．【答案】 B 考点二 [33] 卫星运行参量的比较与运算一、卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T2.二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律1．G Mm r 2＝m v 2r →v ＝GM r→v ∝1r.2．G Mmr2＝m ω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3. 3．G Mm r 2＝m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM→T ∝r 3. 4．G Mm r 2＝ma →a ＝GM r 2→a ∝1r 2.5．mg ＝GMm R 2地(近地时)→GM ＝gR 2地.三、极地卫星和近地卫星1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． 2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.——————[1个示范例]——————(2013·四川高考)迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )A ．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同B ．如果人到了该行星，其体重是地球上的223倍C ．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 13365倍 D ．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短【解析】 行星、地球绕其中心天体做匀速圆周运动．根据万有引力提供向心力解决问题．由题意知，行星、地球的质量之比m 1m 2＝6，半径之比R 1R 2＝1.5，公转周期之比T 1T 2＝13365，中心天体质量之比M 1M 2＝0.31.根据G mm ′R 2＝m ′v 2R ，得第一宇宙速度之比v 1v 2＝Gm 1R 1·R 2Gm 2＝m 1m 2·R 2R 1＝2，选项A 错误；根据m ′g ＝G mm ′R 2，得到人的体重之比m ′g 1m ′g 2＝m 1R 21·R 22m 2＝m 1m 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 2R 12＝83，选项B 正确；根据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，得与中心天体的距离之比r 1r 2＝3M 1M 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 1T 22＝30.31×⎝ ⎛⎭⎪⎫133652，选项C 错误；米尺在该行星上长度不一定会变短，选项D 错误．【答案】 B——————[1个预测例]——————(多选)(2011·天津高考)质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A ．线速度v ＝ GM RB ．角速度ω＝ gRC ．运行周期T ＝2π R gD ．向心加速度a ＝Gm R2【解析】 对航天器：G Mm R 2＝m v 2R ，v ＝ GM R ，故A 正确．由mg ＝m ω2R 得ω＝ g R，故B 错误．由mg ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R 得T ＝2πR g ，故C 正确．由G Mm R 2＝ma 得a ＝GM R 2，故D 错误．【答案】 AC考点三 [34] 赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别一、区别1．同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．2．近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．3．三者的线速度各不相同． 二、求解此类题的关键1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a ＝ω2r 而不能运用公式a ＝GM r2.2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v ＝ωr 而不能运用公式v ＝GM /r .3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v ＝GM /r ，而不能运用公式v ＝ωr 或v ＝gr .——————[1个示范例]——————(2012·四川高考)今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m ．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107m)相比( )A ．向心力较小B ．动能较大C ．发射速度都是第一宇宙速度D ．角速度较小【解析】 由题意知，中圆轨道卫星的轨道半径r 1小于同步卫星轨道半径r 2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F 向＝G Mm r2知，两卫星的向心力F 1>F 2，选项A 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r＝m ω2r ，得环绕速度v 1>v 2，角速度ω1＞ω2，两卫星质量相等，则动能E k1>E k2，故选项B 正确，选项D 错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v 01<v 02，选项C 错误．【答案】 B同步卫星的六个“一定”——————[1个预测例]——————有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图4－4－1，则有( )图4－4－1A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．c 在4 h 内转过的圆心角是π/6C ．b 在相同时间内转过的弧长最长D ．d 的运动周期有可能是20 h【解析】 对于卫星a ，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得，GMm r 2－N ＝ma 向，而GMm r 2＝mg ，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，A 项错；由c 是同步卫星可知卫星c 在4 h 内转过的圆心角是π3，B 项错；由GMm r 2＝m v 2r 得，v ＝GMr，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b 的线速度大于卫星c 的线速度，卫星c 的线速度大于卫星d 的线速度，而卫星a 与同步卫星c 的周期相同，故卫星c 的线速度大于卫星a 的线速度，C 项对；由G Mm r 2＝m (2πT)2r ，得，T ＝2πr 3GM，轨道半径r 越大，周期越长，故卫星d 的周期大于同步卫星c 的周期，D 项错．【答案】 C考点四 [35] 卫星的发射与变轨一、宇宙速度1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的求法：(1)GMm R 2＝m v 21R ，所以v 1＝GM R.(2)mg ＝mv 21R，所以v 1＝gR .(3)第二、第三宇宙速度也都是指发射速度． 二、卫星的变轨分析卫星的变轨问题可分为两类：大气层外的发动机变轨(跃迁式)和稀薄空气作用下的摩擦(连续)变轨．1．大气层外的发动机变轨又存在从较低轨道变轨到较高轨道和从较高轨道变轨到较低轨道两种情况，这两种情况互为逆过程．较低圆轨道近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气较高圆轨道2．空气阻力使速度减少，G Mm r 2>m v 2r→向心运动→引力做正功→卫星动能增大→低轨道运行v ′＝GMr ′.——————[1个示范例]——————(多选)(2013·新课标全国卷Ⅰ)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【解析】 本题虽为天体运动问题，但题中特别指出存在稀薄大气，所以应从变轨角度入手．第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A 错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力F n ＝mv 2r减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B 、C 正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D 错误．【答案】 BC——————[1个预测例]——————图4－4－2(多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接．交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．如图4－4－2所示，M 、Q 两点在轨道1上，P 点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是( )A ．“神舟十号”必须在Q 点加速，才能在P 点与“天宫一号”相遇B ．“神舟十号”在M 点经一次加速，即可变轨到轨道2C ．“神舟十号”变轨后在M 点的速度大于变轨前的速度D ．“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期 【解析】 飞船经一次加速后由圆轨道1变轨到与加速点相切的椭圆轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道2相切，近地点与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在M 点加速，才能在P 点与“天宫一号”相遇，A 错；飞船在M 点经一次加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到轨道2，B 错；飞船在M 点加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，则变轨后在M 点的速度大于变轨前的速度，C 对；由T ＝2πr 3GM可知轨道半径增大，周期增大，D 项正确．【答案】 CD“双星”模型一、双星系统 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．二、双星系统的条件1．两颗星彼此相距较近．2．两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． 3．两颗星绕同一圆心做圆周运动．三、双星系统的特点1．两星的角速度、周期相等． 2．两星的向心力大小相等．3．两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .轨道半径与行星的质量成反比．——————[1个示范例]——————图4－4－32012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动，如图4－4－3所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )A ．它们做圆周运动的万有引力保持不变B ．它们做圆周运动的角速度不断变大C ．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D ．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小【解析】 对双星M 1、M 2，设距离为L ，圆周运动半径分别为r 1、r 2，它们做圆周运动的万有引力为F ＝GM 1M 2L 2，距离L 不变，M 1与M 2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A 错；依题意双星系统绕两者连线上某点O 做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：G M 1M 2L 2＝M 1ω2r 1，G M 1M 2L2＝M 2ω2r 2，r 1＋r 2＝L ，可解得：M 1＋M 2＝ω2L3G，M 1r 1＝M 2r 2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B 、D 错，C 对．【答案】 C , (2013·山东高考)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 【解析】 双星间的万有引力提供向心力．设原来双星间的距离为L ，质量分别为M 、m ，圆周运动的圆心距质量为m 的恒星距离为r .对质量为m 的恒星：G Mm L 2＝m (2πT )2·r 对质量为M 的恒星：G Mm L 2＝M (2πT)2(L －r )得G M ＋m L 2＝4π2T 2·L ，即T 2＝4π2L 3G M＋m则当总质量为k (M ＋m )，间距为L ′＝nL 时，T ′＝n 3kT ，选项B 正确．【答案】 B⊙卫星运行比较1．(2013·广东高考)如图4－4－4，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图4－4－4A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大 【解析】 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据GMm r 2＝ma 得a ＝GMr2，故甲卫星的向心加速度小，选项A 正确；根据G Mm r 2＝m (2πT )2r ，得T ＝2πr 3GM ，故甲的运行周期大，选项B 错误；根据G Mmr2＝m ω2r ，得ω＝GM r 3，故甲运行的角速度小，选项C 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r ，得v ＝GM r，故甲运行的线速度小，选项D 错误．【答案】 A⊙天体质量的估算2．2013年12月2日，我国成功发射了“嫦娥三号”，实施落月探测计划，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星行程为s ，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G ，根据以上数据估算月球的质量是( )A.t 2Gs 3 B.s 3Gt 2 C.Gt 2s3 D.Gs 3t2 【解析】 由几何知识得圆心角θ＝s r，其中s 为卫星转动的弧长，即卫星的行程，r 为轨迹半径，代入数据得轨迹半径r ＝s ，卫星转动的角速度ω＝θt ＝1t，由万有引力提供向心力GMm r 2＝m ω2r ，得月球的质量M ＝ω2r 3G ＝s 3Gt2，选项B 正确．【答案】 B⊙考查万有引力与重力加速度3．(2012·新课标全国卷)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC.⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝⎛⎭⎪⎫R R －d 2【解析】 设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R 2.地球质量可表示为M ＝43πR 3ρ，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝43π(R －d )3ρ，解得M ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′R －d 2， 则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g ′g ＝1－dR，选项A 正确；选项B 、C 、D 错误．【答案】 A ⊙变轨问题4．(2013·安徽高考)质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMmr，其中G 为引力常量，M 为地球质量．该卫星原来在半径为R 1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R 2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )A ．GMm (1R 2－1R 1)B ．GMm (1R 1－1R 2)C.GMm 2(1R 2－1R 1) D.GMm 2(1R 1－1R 2) 【解析】 人造卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供．根据万有引力提供向心力得G Mm r ＝m v 2r①而动能E k ＝12mv 2②由①②式得E k ＝GMm 2r③ 由题意知，引力势能E p ＝－GMm r④ 由③④式得卫星的机械能E ＝E k ＋E p ＝－GMm 2r由功能关系知，因摩擦而产生的热量Q ＝ΔE 减＝E 1－E 2＝GMm 2(1R 2－1R 1)，故选项C 正确． 【答案】 C ⊙同步卫星问题5．(多选)(2013·浙江高考)图4－4－5如图4－4－5所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R .下列说法正确的是( )A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm r －R2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2 C ．两颗卫星之间的引力大小为G m 23r2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2【解析】 应用万有引力公式及力的合成规律分析．地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A 错误，B 正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为3r ，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为Gm 23r2，选项C 正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D 错误．【答案】 BC。
人教版高三物理教材第4章 第4节万有引力与航天
第4节 万有引力与航天一、开普勒行星运动定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比．2．公式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2. 3．适用条件公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是球心间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r 为球心到质点间的距离．三、三种宇宙速度1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同．3．经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．[自我诊断]1．判断正误(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)(2)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×)(3)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心．(√)(4)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．(×)(5)地球同步卫星可以定点于北京正上方．(×)2．(多选) 如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()A．P、Q受地球引力大小相等B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等D．P受地球引力大于Q所受地球引力解析：选AC.计算均匀球体与质点间的万有引力时，r 为球心到质点的距离，因为P 、Q 到地球球心的距离相同，根据F ＝GMmr 2知，P 、Q 受地球引力大小相等，P 、Q 随地球自转，角速度相同，但轨道半径不同，根据F n ＝mR ω2，P 、Q 做圆周运动的向心力大小不同，A 、C 正确，B 、D 错误．3．(多选)我国已先后成功发射了“天宫一号”飞行器和“神舟八号”飞船，并成功地进行了对接试验，若“天宫一号”能在离地面约300 km 高的圆轨道上正常运行，则下列说法中正确的是( )A ．“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度B ．对接前，“神舟八号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速C ．对接时，“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等D ．对接后，“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度解析：选CD.地球卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且小于第二宇宙速度，A 错误；若“神舟八号”在与“天宫一号”同一轨道上点火加速，那么“神舟八号”的万有引力小于向心力，其将做离心运动，不可能实现对接，B 错误；对接时，“神舟八号”与“天宫一号”必须在同一轨道上，根据a ＝G Mr 2可知，它们的加速度大小相等，C 正确；第一宇宙速度是地球卫星的最大运行速度，所以对接后，“天宫一号”的速度仍然要小于第一宇宙速度，D 正确．4．(多选)在圆轨道上运动的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R ，地面上的重力加速度为g ，忽略地球自转影响，则( )A ．卫星运动的速度大小为2gRB ．卫星运动的周期为4π2R gC ．卫星运动的向心加速度大小为12g D ．卫星轨道处的重力加速度为14g解析：选BD.地面上万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，该卫星到地面的距离等于地球半径R ，则其轨道半径r ＝2R ，其做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律G Mm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r ＝ma ＝mg ′，可求得卫星运动的速度大小v ＝gR2，周期T ＝4π 2R g ，向心加速度大小a ＝g ′＝14g ，选项A 、C 错误，B 、D 正确．考点一 天体质量和密度的估算1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T 2(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G MmR 2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)．2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ， 天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR .(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．1．(2016·高考海南卷)(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是( )A ．卫星的速度和角速度B ．卫星的质量和轨道半径C ．卫星的质量和角速度D ．卫星的运行周期和轨道半径解析：选AD.由v ＝ωr 可求出r ，根据G Mm r 2＝m v 2r 或G Mmr 2＝m ω2r 可求出冥王星的质量，A 正确．根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可求出冥王星的质量，D 正确．B 和C 中都由于已知量不足，无法求出冥王星的质量．2．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2·g 0－g g 0B ．3πGT 2·g 0g 0－gC.3πGT 2D.3πGT 2·g 0g解析：选B.设地球半径为R .质量为m 的物体在两极点时，有mg 0＝G MmR 2，在赤道时，有G Mm R 2－mg ＝mR ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，又地球的密度ρ＝M 43πR 3，由各式联立得ρ＝3g 0πG (g 0－g )T 2，选项B 正确．3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110 B ．1 C ．5D ．10解析：选 B.行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，则M 1M 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203×⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1.选项B 正确．解决天体质量和密度的估算问题的两点注意(1)卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫星的轨道半径才近似等于天体半径．(2)搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”、“受力特点”、“谁做圆周运动”等，明确一般只能求解中心天体的质量和密度，不能求解环绕天体的质量和密度．考点二 卫星的运行规律1．卫星的运行规律 (1)卫星做匀速圆周运动．(2)万有引力提供向心力：即由G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝m 4π2T 2r ＝ma n 可推导出：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫v ＝GM rω＝ GMr 3T ＝4π2r 3GM a n＝GM r 2⇒当r 增大时⎩⎪⎨⎪⎧v 减小ω减小T 增大a n减小2．同步卫星的六个“一定”1. 如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( )A.v 1v 2＝r 2r 1B.v 1v 2＝r 1r 2C.v 1v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 12D.v 1v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 22解析：选 A.对人造卫星，根据万有引力提供向心力GMmr 2＝m v 2r ，可得v ＝ GMr ，所以对于a 、b 两颗人造卫星有v 1v 2＝r 2r 1，故选项A 正确．2．(2016·高考四川卷) 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )A ．a 2＞a 1＞a 3B ．a 3＞a 2＞a 1C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 1＞a 2＞a 3解析：选 D.由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，可得：a ＝ω2r ，由于r 2＞r 3，则可以得出：a 2＞a 3；又由万有引力定律有：G Mmr 2＝ma ，且r 1＜r 2，则得出a 2＜a 1.故选项D 正确．3．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )A ．地球公转的周期大于火星公转的周期B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析：选 D.根据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝m v 2r ＝ma n ＝m ω2r 得，公转周期T ＝2πr 3GM ，故地球公转的周期较小，选项A 错误；公转线速度v ＝GMr ，故地球公转的线速度较大，选项B 错误；公转加速度a n ＝GMr 2，故地球公转的加速度较大，选项C 错误；公转角速度ω＝ GMr 3，故地球公转的角速度较大，选项D 正确．人造卫星问题的解题技巧(1)卫星向心加速度的不同表述形式． ①G Mmr 2＝ma n .②a n ＝v 2r ＝r ω2＝4π2T 2r .(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律．①卫星的a n 、v 、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．②a n 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定．考点三 航天器的变轨问题1．卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行．(1)当卫星的速度逐渐增加时，G Mmr 2＜m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GMr可知其运行速度比原轨道时减小．(2)当卫星的速度逐渐减小时，G Mmr2＞mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GMr可知其运行速度比原轨道时增大．2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ.(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ.(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．1．(2016·高考天津卷)我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接解析：选 C. 若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则飞船加速后，万有引力不足以提供向心力，飞船将远离原来的轨道，不能实现对接，A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则空间实验室减速将会使空间实验室进入低轨道，也不能实现对接，故B错误；实现对接的方法是使飞船在比空间实验室低的轨道上加速，然后飞船进入较高的空间实验室轨道后实现对接，C正确；若使飞船在比空间实验室低的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道上去运行，无法实现对接，D错误．2．(2017·山西四校二联)(多选)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点．a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是()A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/sB．嫦娥三号在M点进入地月转移轨道时应点火加速C．设嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1>a2D．嫦娥三号在圆轨道a上的机械能小于在椭圆轨道b上的机械能解析：选BD.嫦娥三号在环地球轨道上运行速度v满足7.9 km/s≤v<11.2 km/s，A错误．嫦娥三号要脱离地球需在M点点火加速让其进入地月转移轨道，B正确．由F＝GMmr2＝ma，知嫦娥三号在经过圆轨道a上的N点和在椭圆轨道b上的N点时的加速度相等，C错误．嫦娥三号要从b轨道转移到a轨道需要减速，机械能减小，D正确．3．(2017·湖北七市联考)(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A．卫星的动能逐渐减小B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小解析：选BD.当卫星的半径减小时，由v＝GMr可知，其动能增大；由于引力做正功，故引力势能一定减小，选项A错误，B正确．气体阻力做功，使系统的机械能减小，且有W f＝ΔE，由于动能增加，故引力势能的减小量大于机械能的减小量，选项C错误，D正确．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝GMr判断．(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．考点四天体运动中的“多星”问题1．“双星”问题(1)两颗恒星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两恒星做匀速圆周运动的向心力大小相等．(2)两颗恒星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的．(3)两颗恒星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L.2．“多星”问题(1)多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供．(2)每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等．1．(2017·广西玉林质检)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知()A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3B．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2C．m1做圆周运动的半径为2 5LD ．m 2做圆周运动的半径为25L解析：选C.双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动，角速度相同，选项A 错误；由G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2得r 1∶r 2＝m 2∶m 1＝2∶3，由v ＝ωr 得m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3，选项B 错误；m 1做圆周运动的半径为25L ，m 2做圆周运动的半径为35L ，选项C 正确，D 错误．2．(2017·河北衡水模拟)(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四个顶点上，其中L 远大于R .已知万有引力常量为G ，忽略星体自转效应，则关于四星系统，下列说法正确的是( )A ．四颗星做圆周运动的轨道半径均为L 2B ．四颗星做圆周运动的线速度均为 Gm L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋24C ．四颗星做圆周运动的周期均为2π2L 3(4＋2)GmD ．四颗星表面的重力加速度均为G m R 2解析：选CD. 如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径r ＝22L .取任一顶点上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力为F 合＝2G m 2L 2＋G m 2(2L )2.由F 合＝F 向＝m v 2r ＝m 4π2r T 2，可解得v ＝Gm L ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24，T ＝2π2L 3(4＋2)Gm ，故A 、B 项错误，C 项正确；对于星体表面质量为m 0的物体，受到的重力等于万有引力，则有m 0g ＝G mm 0R 2，故g ＝G m R 2，D 项正确．课时规范训练[基础巩固题组]1．下列说法正确的是( )A ．万有引力定律是开普勒发现的，而引力常量是伽利略测定的B ．F ＝G m 1m 2r 2中的G 是一个比例常数，是没有单位的C ．万有引力定律适用于任意质点间的相互作用D ．万有引力定律不适用于地面上的物体解析：选C.牛顿深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系，发现了万有引力定律，A 错误；而英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了G 的数值，G 是一个比例常数，其单位是N·m 2kg 2，B 错误；万有引力定律适用于任意质点间的相互作用，C 正确，D 错误．2．海王星有13颗已知的天然卫星．现认为“海卫二”绕海王星沿圆轨道匀速运转，已知海卫二的质量为2.0×1019 kg ，轨道半径为5.5×106 km ，运行的周期为360天，万有引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.则海王星的质量大约为( )A ．1.0×1017 kgB ．1.0×1026 kgC ．2.0×1011 kgD ．2.0×1019 kg解析：选B.万有引力提供向心力，因已知周期，且F 万＝F 向，故可知GMm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2，代入数据得M ＝1.0×1026 kg ，B 正确．3．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：选 B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，牛顿在开普勒研究基础上结合自己发现的牛顿运动定律，发现了万有引力定律，指出了行星按照这些规律运动的原因，选项B 正确．4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h解析：选B.当一地球卫星的信号刚好覆盖赤道120°的圆周时，卫星的轨道半径r ＝R cos 60°＝2R ；对同步卫星，分别有GMm (6.6R )2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 02·6.6R 和GMm (2R )2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2·2R ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫T T 02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2R 6.6R 3，解得T ＝4 h ，选项B 正确． 5．北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中地球轨道和倾斜轨道．其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( )6．我国实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星行程为s ，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G ，根据以上数据估算月球的质量是( )A.t 2Gs 3B.s 3Gt 2C.Gt 2s 3 D.Gs 3t 2解析：选B.由s ＝rθ，θ＝1弧度，可得r ＝s ，由s ＝v t 可得v ＝s t ，由GMm r 2＝m v 2r ，解得M ＝s 3Gt 2，B 正确．7．(多选)据悉，我国的火星探测计划将于2018年展开.2018年左右我国将进行第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的23解析：选CD.要将火星探测器发射到火星上去，必须脱离地球引力，即发射速度要大于第二宇宙速度；火星探测器仍在太阳系内运转，因此从地球上发射时，发射速度要小于第三宇宙速度，选项A 、B 错误，C 正确；由第一宇宙速度的概念，得G Mm R 2＝m v 21R ，得v 1＝ GM R ，故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约为29＝23，选项D 正确．[综合应用题组]8．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0B.GM (R ＋h )2C.GMm (R ＋h )2D.GM h 2解析：选B.飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMm(R ＋h )2＝mg ，得g ＝GM(R ＋h )2，选项B 正确．9．(多选)有一宇宙飞船到了某行星上(假设该行星没有自转运动)，以速度v 贴近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T ，已知引力常量为G ，则可得( )A ．该行星的半径为v T 2πB ．该行星的平均密度为3πGT 2C ．无法求出该行星的质量D ．该行星表面的重力加速度为4π2v 2T 2解析：选AB. 由T ＝2πR v ，可得R ＝v T 2π，A 正确；由GMm R 2＝m v 2R 、R ＝v T 2π，可得M ＝v 3T 2πG ，C 错误；由M ＝43πR 3ρ及GMm R 2＝m 4π2T 2R ，得ρ＝3πGT 2，B 正确；由GMmR 2＝mg 、M ＝v 2R G 及R ＝v T 2π，得g ＝2πv T ，D 错误．10．(多选)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m 表示它的质量，h 表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a 表示它在近月点的加速度，R 表示月球的半径，g 表示月球表面处的重力加速度．忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )A ．maB ．m R 2g (R ＋h )2C ．m (R ＋h )ω2D ．m R 2ω2R ＋h解析：选AB.“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得F ＝ma ，A 正确；由万有引力定律得F ＝G Mm(R ＋h )2，又月球表面上，G Mm R 2＝mg ，解得F ＝m R 2g (R ＋h )2，B 正确；由于“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径不是R ＋h ，C 、D 错误．11．宇航员站在某一星球距离表面h 高度处，以初速度v 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，则该星球的质量为( )A.2hR 2Gt 2B.2hR 2GtC.2hR Gt 2D.Gt 22hR 2解析：选A.设该星球表面的重力加速度g ，小球在星球表面做平抛运动，h ＝12gt 2.设该星球的质量为M ，在星球表面有mg ＝GMm R 2.由以上两式得，该星球的质量为M ＝2hR 2Gt 2，A 正确．12. (多选)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )A ．T A ＞T BB ．E k A ＞E k BC ．S A ＝S B D.R 3A T 2A ＝R 3B T 2B解析：选AD.卫星绕地球做匀速圆周运动时其向心力由万有引力提供，若地球质量为M ，卫星质量为m ，则有G Mm R 2＝m v 2R ＝m 4π2R T 2，由此可得v ＝GM R 和T ＝2πR 3GM ，这里R A ＞R B ，则v A ＜v B ，T A ＞T B ，而动能E k ＝12m v 2，故E k A ＜E k B ，选项A 正确，选项B 错误；卫星在单位时间t 内通过的圆弧长l ＝v t ，扇形面积S ＝Rl 2＝R v t 2＝Rt GMR 2＝t 2·GMR ，这里R A ＞R B ，则S A ＞S B ，选项C 错误；由开普勒第三定律可知，选项D 正确．13．宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的水平位移，当他登陆一半径为地球半径2倍的星球后，站在该星球水平地面上以和地球完全相同的方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的4倍，由此宇航号估算该星球的质量M 星约为(式中M 为地球的质量)( )A ．M 星＝12MB ．M 星＝2MC ．M 星＝14MD ．M 星＝4M 解析：选C.根据平抛规律可计算星球表面加速度，竖直方向h ＝12gt 2，水平方向x ＝v t ，可得g 星＝116g 地，再有星球表面万有引力公式G M 星m R 2＝mg 星，R 星＝2R 地，可得M 星＝M 4，C 正确．。
2021_2022年新教材高中物理第4章万有引力定律及航天万有引力定律的应用人类对太空的不懈探索
2.天体密度的计算方法：
若天体的半径为R，则天体的密度ρ= M ，
4 R3 将M= 4 2r3 代入上式可得：ρ= 3 r3 3 。
GT2
GT 2 R 3
提醒：当近地卫星绕中心天体M运动时，其轨道半径r等于天体半径R，
所以ρ= 3 。
4 2r3
的质量。由
G
Mm r2
m
4 2
T2
r
，得M=__G_T__2 __。
二、人造卫星上天 【情境思考】 宇宙飞船为什么能像月球那样围绕地球转动？地球上的 物体，怎样才能离开地球进行宇宙航行呢？ 提示：在高处平抛出的物体，最终落到地面上，抛出的速度越大，落地点距抛 出点就越远。只要抛出的速度足够大，达到第一宇宙速度，被抛出的物体就不 再掉下来。
【典例示范】 【典例】好奇号火星探测器是美国国家宇航局研制的一台探测火星任务的火星 车，于2011年11月发射，2012年8月成功登陆火星表面。假设探测器贴近火星 表面做圆周运动，已知探测器绕火星运行的周期为T，火星的半径为R，引力常 量为G。试求火星的密度是多少？
【误区警示】计算天体质量和密度的两点注意 (1)计算天体质量和密度的公式，需明确计算的是中心天体的质量。 (2)要注意理解并区分公式中的R、r，R指中心天体的半径，r指环绕天体的轨 道半径，只有在近“地”轨道运行时才有r=R。
1.卫星原理：一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做_匀__速__圆__周__运动，
Mm
向心力由地球对它的_万__有__引__力__提供，即__G__r_2___=
m v2
，则卫星在轨道
r GM
上运行的线速度v=_____r __。
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第4单元 万有引力与航天
【考点解析】
考 纲 下 载
考 情 在 线
1．万有引力定律及其应用(Ⅱ) 2．环绕速度(Ⅱ)
3．第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ) 4．经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)
高考 地位
高考对本章中知识点考查频率较高的是万有引力定律的应用。
单独命题常以选择题的形式出现。
考点 点击
万有引力定律与圆周运动相综合，结合航天技术、人造地球卫星等现代科技的重要领域进行命题。
【知识梳理】
一、万有引力定律
（1）内容____ __________ 公式________ 引力常量：G=6.67×10-11Nm 2/kg 2，是由 较准确地测出的。
二、解决天体（卫星）运动问题的基本思路：
1．把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系
式：r T m r m r v m r
Mm G 2222)2(π
ω=== 2．在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即2
/R GMm mg = ∴GM gR =2
在不知地球质量的情况下可用其半径和表面的重力加速度来表示，此式在天体运动问题中经常应用，称为黄金代换式。
三、卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系
由2
2
GMm v m r r
=得，v= ，所以R 越大，v 。
由2Mm G
r = mω2
r 得，ω= ，所以R 越大，ω 。
由2
GMm r =22()m r T π得，T = ，所以R 越大，T 。
由2
GMm r
=ma n 得，a n = ，所以R 越大，a n 【考点一】 人造卫星的运行问题
[例1] 两颗小行星都绕太阳做圆周运动，它们的周期分别是T 和3T ，则（ ） A 、它们绕太阳运转的轨道半径之比是1︰3 B 、它们绕太阳运转的轨道半径之比是1︰39 C 、它们绕太阳运转的速度之比是1︰4 D 、它们受太阳的引力之比是9︰7
[例2] (2013·广东高考)如图甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A ．甲的向心加速度比乙的小
B ．甲的运行周期比乙的小
C ．甲的角速度比乙的大
D ．甲的线速度比乙的大
(1)不同轨道上运行的卫星的加速度、线速度、角速度、周期可以比较大小，但不同轨道上卫星的质量及所受的万有引力大小无法比较。
(2)要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球绕地球公转
一周为一月(27.3天)等。
【考点二】天体质量和密度的估算
[例3] 已知引力常量G 和下列各组数据，能计算出地球质量的是（ ） A ．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离 B ．月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离 C ．人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期
D ．若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度
[例4] (多选)一行星绕恒星做圆周运动。
由天文观测可得，其运行周期为 T ，速度为 v ，引力常量为 G 。
下列说法正确的是( )
A ．恒星的质量为 v 3T 2πG
B ．行星的质量为4π2v 3
GT 2
C ．行星运动的轨道半径为v T 2π
D ．行星运动的加速度为2πv
T
天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量而
非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度
时，V＝
4
3
πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
【考点三】卫星的变轨问题
[例5]航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，
B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。
关于航天飞机的运动，下列说法中错误的有()
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
(1)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运
行速度变化由v＝
GM
r判断。
(2)卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用F＝
GMm
r2＝ma比较得出。
【考点四】赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别
[例6]如图为赤道上随地球自转的物体A、赤道上空的近地卫星B和地球的同步卫星C的运动示意
图，若它们的运动都可视为匀速圆周运动，则比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是（）
A．三者的周期关系为T B＜T C=T A
B．三者向心加速度大小关系为a A＞a B＞a C
C．三者角速度的大小关系为ωA=ωB=ωC
D．三者线速度的大小关系为V A＜V B＜V C
1．同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．
2．近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．
3．三者的各量比较方法不相同．
【达标检测】
1．假想把一个物体放到地球球心，它所受到的重力大小为（）
A．与它在地球表面处所受重力相同B．极大
C．零D．无法判断
2、（2011山东）.甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行
高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。
以下判断正确的是
A.甲的周期大于乙的周期
B.乙的速度大于第一宇宙速度
C.甲的加速度小于乙的加速度
D.甲在运行时能经过北极的正上方
3．.如图所示，是某次发射人造卫星的示意图，人造卫星先在近地圆周轨道1上运动，然后改在椭
圆轨道2上运动，最后在圆周轨道3上运动，a点是轨道1、2的交点，b点是轨道2、3的交点，
人造卫星在轨道1上的速度为v1，在轨道2上a点的速度为v2a，在轨道2上b点的速度为v2b，在
轨道3上的速度为v3，则各速度的大小关系是()
A．v1>v2a>v2b>v3B．v1<v2a<v2b<v3
C．v2a>v1>v3>v2b D．v2a>v1>v2b>v3
4．(2012·高考山东卷)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标
飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨
道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，
对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则
v1
v2等于()
A.
R31
R32
B.
R2
R1
C.
R22
R21
D.
R2
R1
5.(2012·福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。
假设宇航员在
该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。
已
知引力常量为G，则这颗行星的质量为()
A.
m v2
GN B.
m v4
GN
C.
N v2
Gm D.
N v4
Gm。