专题3:数的开方和二次根式

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数的开方与二次根式(含答案)

数的开方与二次根式(含答案)

数的开方与二次根式【回顾与思考】【例题经典】理解二次根式的概念和性质 例1 (1)(20062x-x 取值范围是________. 【点评】从整体上看分母不为零,从局部看偶次根式被开方数为非负. (2)已知a 31a a a--【点评】要注意挖掘其隐含条件:a<0.掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法例2(20063 ) A 324.12..182B C D 【点评】抓住最简二次根式的条件,结合同类二次根式的概念去解决问题.掌握二次根式化简求值的方法要领例3 (2006年长沙市)先化简,再求值: 若33ba aba b-+【点评】注意对求值式子进行变形化简约分,再对已知条件变形整体代入.【基础训练】116_______,-164的立方根为_______. 2.当x_______25x +1x 有意义;当x________2x -无意义.3.(2006a .4.(2005)=_________.5.(2006年烟台市)若x+1x =5=______.6.下列叙述中正确的是( )A .正数的平方根不可能是负数B .无限小数都是无理数C .实数和实数上的点一一对应D .带根号的数是无理数 7.(2005年福州市)下列各式中属于最简二次根式的是( )A C8.(2006年恩施自治州)若m 的值为( ) A .20511315...32688B C D9.(2006=成立的x 的取值范围是( ) A .x ≠2 B .x ≥0 C .x>2 D .x ≥210.(2005年长沙市)小明的作业本上有以下四题:;105a a =;③21a a==;④=a ≠0),做错的...题是( ) A .① B .② C .③ D .④11.对于实数a 、b ,则( )A .a>bB .a<bC .a ≥bD .a ≤b12【能力提升】13.(1)若0<x<1.(2,则x 的取值范围为__________.14.(1)(2005你发现的规律,判断Q =n•为大于1的整数)的值的大小关系为( )A .P<QB .P=QC .P>QD .与n 的取值有关(2(a>0,b>0)分别作如下的变形:== 这两种变形过程的下列说法中,正确的是( )A .甲、乙都正确B .甲、乙都不正确C .只有甲正确D .只有乙正确(3)(2006年桂林市)观察下列分母有理化的计算:==== ……,从计算结果中找出规律利用规律计算:(2007++)=_________.15.化简式计算:(1)(200621)(2)(2005年山东省)已知求22[()]33x y x y x x y x +---+的值.【应用与探究】16.(2006年内江市)对于题目“化简求值:1a ,其中a=15”甲、•乙两人的解答不同.甲的解答是:1a =1a 112495a a a a a =+-=-=;乙的解答是:1a =1a 1115a a a a =+-==, 谁的解答是错误的是,为什么?答案:例题经典例1:(1)x<2 (2)(1-a 例2:B例3:a b a b+-,值为43考点精练1.±2 -14 2.x ≥-52且x ≠0,x ≤2 3..-25.C 7.A 8.•D 9.C 10.D 11.D12.-32.(1)2x (2)4≤x ≤614.(1)A (2)D (3)200615.•92② 2 16.乙解答是错误的,∵a=15, ∴│1a -a │=1a -a ,而不是a-1a.。

开方及二次根式知识点

开方及二次根式知识点

开方及二次根式知识点全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:开方是数学中常见的运算符号,表示一个数的平方根。

而二次根式则是指包含开方的代数式。

在学习数学过程中,掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。

本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。

我们来看看开方的定义。

对于一个非负实数a,如果实数b满足b 的平方等于a,即b²=a,那么b就是a的平方根,记作√a,其中√符号称为根号。

如果a是一个负数,那么它的平方根定义为复数,可以表示为±√(-a),其中±表示取正负号。

开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题,是数学中的重要工具。

在代数中,我们经常会遇到二次根式,即含有开方的代数式。

如√2、√3等都属于二次根式。

二次根式通常可以简化,使其形式更加简洁。

简化二次根式的方法是利用数的乘法性质,将开方中的被开方数进行因式分解,找到一个完全平方数因子,然后将其提出开方符号。

对于√12,可以找到一个完全平方数的因子4,即√12=√(4*3)=2√3。

这样就化简成了更加简洁的形式。

在进行运算时,需要注意开方及二次根式的运算规则。

首先是同底数相乘的运算法则,即√a*√b=√(a*b),这条规则适用于任意实数a、b。

其次是开方的乘法公式,即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b),这个公式在计算开方时经常会用到。

如果要进行开方的除法运算,可以采用类似的方法,将被开方数分解成较小的因子,然后进行化简。

运用这些运算规则,可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。

除了基本的开方运算,还有一些特殊的开方,如立方根、四次根等。

立方根表示一个数的三次方根,记作³√a,其运算规则与平方根类似。

比如³√8=2,因为2³=8。

四次根则表示一个数的四次方根,记作⁴√a,其运算规则也可以类似的推出。

这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用,例如求解立方程等。

数的开方、二次根式复习

数的开方、二次根式复习

值范围常转化为不等式(组).
二 二次根式的非负性的应用
1.已知: x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解:由题意,得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法:分母有理化
4.二次根式的运算 a b =___a_b__(a≥0,b≥0);
a b
a =__b__(a≥0,b>0).
二次根式加减时,可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__, 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并.
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±3
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴:
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如:2,3,5,,3 2,3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x,y,m 满足等式 3x 5y 3 m +(2x+3y﹣m)2=

专题03二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

专题03二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学 专题03 二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)一、数的乘方与开方:1.数的乘方:(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(2)正数的任何次幂都是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;2.数的开方:(1)平方根:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方根); 即:若x 2=a ,则x 叫做a 的平方根;①正数有两个平方根(互为相反数);②负数没有平方根;③0的平方根是0;(2)算术平方根:正数的正的平方根叫做算术平方根;记作“a ”。

(3)若a b =3,则b 叫做a 的立方根;①一个正数有一个正的立方根;②一个负数有一个负的立方根;③0的立方根是0;【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是 ;的平方根是 .【答案】-5;±2【解析】解:-3+8=5,5的相反数是-54,4的平方根是±2.【变式练习1】4的算术平方根是 ,9的平方根是 , -27的立方根是 。

【答案】2;±3,﹣3【解析】解:4的算术平方根是2,9的平方根是±3,﹣27的立方根是﹣3.【例题2】(2020•黄冈)计算38-= 。

【答案】-2 【解析】解:38-=-2.【变式练习2】若a=,则a 的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=,∴a 为0或1;故选C 。

二、二次根式:1.二次根式的定义:形如a (a ≥0)的式子,叫做二次根式;(或是说,表示非负数的算术平方根的式子,叫做二次根式)2.二次根式有意义的条件:被开方数≥0;(被开方数大于或等于 0 )3.二次根式的性质:(1)a (a ≥0)是非负数;(2)(a )2=a (a ≥0);(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==),(),(),(00002a a a a a a a (4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积; 即:b a ab •=(a ≥0,b ≥0);反之:ab b a =⨯;(5)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根;即:b a b a =(a ≥0,b>0);反之:b a ba =;【例题3】(2020•广东)x 的取值范围是( )A .x ≠2B .x ≥2C .x ≤2D .x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0,解得:x ≥2,∴x 的取值范围是:x ≥2;故选:B 。

数的开方与二次根式

数的开方与二次根式

数的开方及二次根式
哎,说起数的开方跟二次根式,这事儿咱们得扯扯清楚。

在数学里头,数的开方,就好比是把一个数儿,咔嚓一下,劈成好多相等的部分,看能劈成几份儿,每份儿是多少。

比如说,9的开方,那就是3嘛,因为3乘3等于9,简单得很。

二次根式呢,听起来有点儿玄乎,其实也不难。

就是把个平方根摆在那儿,再跟其他数儿一起搅和搅和,搞出些新花样来。

比如说,根号下面有个4,再加上个5,写成式子就是√4+5,结果就是2+5,等于7。

当然,这只是个简单的例子,实际运用起来,可能要复杂得多。

在计算二次根式的时候,咱们得注意点儿,根号下面的数儿得是非负的,要不然就没得解了。

还有啊,根号跟根号之间不能直接相加,得想办法把它们变成同类项,才能相加或者相减。

比如说,√2跟√8,看着不一样,其实√8可以变成2√2,这样一来,它们就能相加了。

总的来说,数的开方跟二次根式,都是数学里头挺重要的东西。

虽然刚开始接触的时候,可能会觉得有点儿难,但是只要多练练,多琢磨琢磨,慢慢地就能掌握其中的窍门了。

毕竟,数学这东西,还是得靠多练,才能熟能生巧嘛。

所以,大家伙儿,要是遇到了数的开方或者二次根式的问题,别怕,大胆地去做,相信你们一定能行的!。

【鲁教版】中考数学一轮分类复习三《数的开方与二次根式》教学设计

【鲁教版】中考数学一轮分类复习三《数的开方与二次根式》教学设计

【鲁教版】中考数学一轮分类复习三《数的开方与二次根式》教学设计一. 教材分析《数的开方与二次根式》是中考数学的重要内容,主要介绍了数的开方、平方根、立方根以及二次根式的概念、性质和运算。

通过这部分内容的学习,使学生掌握数的开方与二次根式的基本知识,提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时,已具备了一定的数学基础,如实数的运算、代数式的知识等。

但部分学生对数的开方与二次根式的概念、性质和运算规则理解不深,难以运用到实际问题中。

因此,在教学过程中,要关注学生的个体差异,针对不同学生的学习需求进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.理解数的开方与二次根式的概念、性质和运算规则。

2.提高学生解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

四. 教学重难点1.数的开方与二次根式的概念、性质和运算规则。

2.如何将实际问题转化为数学问题,并运用数的开方与二次根式进行解决。

五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生主动探究数的开方与二次根式的知识。

2.运用实例分析法,让学生了解数的开方与二次根式在实际问题中的应用。

3.采用小组合作学习法,培养学生的团队合作精神和沟通能力。

4.利用多媒体辅助教学,提高学生的学习兴趣和效果。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT、实例问题和练习题。

2.准备多媒体教学设备,如投影仪、计算机等。

3.准备学习小组分组,确保学生能够顺利进行小组合作学习。

七. 教学过程1.导入(5分钟)利用多媒体展示一些生活中的实际问题,如测量物体长度、计算物体体积等,引导学生思考如何利用数的开方与二次根式解决这些问题。

2.呈现(10分钟)讲解数的开方与二次根式的概念、性质和运算规则,让学生理解并掌握这些基础知识。

3.操练(10分钟)布置一些练习题,让学生独立完成,巩固所学的知识。

同时,教师可在此期间进行个别辅导,帮助学生解决学习中的问题。

4.巩固(10分钟)通过小组合作学习,让学生运用数的开方与二次根式解决实际问题。

2020中考复习第02课时数的开方与二次根式

2020中考复习第02课时数的开方与二次根式
数③ 相同
,立方根等于本身的数为±1,0.
考点聚焦
考点二 二次根式的相关概念和性质
1.二次根式:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④
0
.
3.最简二次根式
必须同时满足以下两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
如: 5, 2 + 1是最简二次根式,而 8,
[解析]∵9<13<16,3.52=12.25,
∴3.5< 13<4,
A.4
B.5
C.6
D.7
∴与 13最接近的整数是 4,
∴与 10- 13最接近的整数是 6,故选 C.
考点聚焦
考向五 二次根式的性质
例 7 若在数轴上表示实数 a 的点如图 2-1 所示, [答案] 3
2
则化简 (-5) + -2 的结果为
考点聚焦
例 4 下列根式中,与 3是同类二次根式的是 ( B )
A. 24
C.
3
2
B. 12
D. 18
考点聚焦
| 考向精练 |
下列各式中,哪些是同类二次根式?
0.5,2
1
7
2 3 (a≥0,x≥0), 50 2 (x≥0,y≥0).
,
12,
75,1
,
2
3
25
1
解:∵ 0.5=
2
2,2
1 2
,
12,
75是同类二次根式,
2
3
考点聚焦
考向三 二次根式的化简与计算
例 5 (1) [2019·扬州]计算:

数的开方与二次根式

数的开方与二次根式
第一单元
数与式
第 2 讲 数的开方与二次根式
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考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根: 一个数 x 的 平方等于 a, 那么 x 叫做 a 的平方根, 记做 x=± a. 2.算术平方根:如果一个正数 x 的平方 等于 a,那么 x 叫做 a 的算术平 方根,记做 x= a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根:如果一个数 x 的 立方等于 a,那么 x 叫做 a 的立方根,记做 x= a.

答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算: ①( 2)2=2, ② -22=2, ③(-2 3)2 =12,④( 2+ 3)( 2- 3)=-1,其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确;根据平方差公
式可得④正确.
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4+ 7)(4- 7)的结果等于________ . 点拨 根据平方差公式计算即可.

答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算: 27-6
1 3 . 的结果是 ________ 3

3 原式=3 3-6× =3 3-2 3= 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根, a表示 a 的算术平方根,- a表示 a 的算术 平方根的相反数, a表示 a 的立方根. 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系.常用平方运算来检

数的开方与二次根式

数的开方与二次根式

知识梳理要点回顾一、平方根、算术平方根、立方根1.若x 2=a (a 0),则x 叫做a 的 ,记作±a ; 叫做算数平方根,记作 。

2.平方根有以下性质:①正数有两个平方根,他们互为 ;②0的平方根是0;③负数没有平方根。

3.如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根,记作3a 。

二、二次根式1.二次根式的有关概念⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式.注意被开方数a 只能是 .并且根式.⑵ 最简二次根式被开方数所含因数是 ,因式是 ,不含能 的二次根式,叫做最简二次根式.(3) 同类二次根式化成最简二次根式后,被开方数 几个二次根式,叫做同类二次根式.2.二次根式的性质⑴ a 0(a ≥0);⑵ ()=2a (a ≥0) ⑶ =2a ;⑷ =ab (a ≥0, b ≥0); ⑸=b a (a ≥0,b >0). 3.二次根式的运算(1) 二次根式的加减:①先把各个二次根式化成 ;②再把 分别合并,合并时,仅合并 , 不变.(2) 二次根式的乘除法二次根式的运算结果一定要化成 。

考点归类 过关检测考点1 二次根式的有关概念例题1(2011年广东省)使2-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______ _______.【变式测试】1. (2010湖北襄樊)下列说法错误的是( )A .的平方根是±2B .是无理数C .是有理数D .是分数2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A. B. C. D.3.(2010山东济宁) 4的算术平方根是( )A . 2B . -2C . ±2D . 44. (2011年黄冈市)要使式子2a +有意义,则a 的取值范围为_____________________. 考点2 二次根式的化简例题2 (2011年茂名市)化简)212(8-⨯ 【变式测试】1.(2010山东聊城)化简:42712____________3++=. 2.化简:(1); (2); (3).3.化简:a (a +2)- a 2b b;考点3 二次根式的运算例题3 (2011年浙江杭州市)下列运算正确的是( )()233-=- B.233-=- C. ()233±=± 233=±【变式测试】1.(2010四川眉山)2(3)-A .3B .3-C .3±D . 92.(2010广西河池)82 】A .6B 6C .2D 2中考测试 全面提升基础测试1.(2010江苏南通)9的算术平方根是A .3B .-3C .81D .-812.(2010江苏南通) 36x -x 的取值范围是A .2x -≥B .2x ≠-C .2x ≥D .2x ≠3.(2010浙江嘉兴)设0>a 、0>b ,则下列运算中错误..的是( ) A.b a ab ⋅= B.b a b a +=+ C.a a =2)( D.b a b a =4.(2010 福建德化)下列计算正确的是( )A.20=102B.632=⋅C.224=- 3=-5.(2010广东湛江)下列二次根式是最简二次根式的是( )A.21B.4C. 3D. 8综合提升6.(2010 四川绵阳)要使1213-+-x x 有意义,则x 应满足( ). A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .21<x ≤3 7.(2010广东茂名)若代数式有意义,则x 的取值范围是A .21≠>x x 且B .1≥xC .2≠xD .21≠≥x x 且8.(2010四川广安)若|2|0x y -=,则xy 的值为A .8B . 2C .5D .6-9.(2010湖北荆门)化简x x -+-11 _______.新题看台10.(2011成都市)在函数y =x 的取值范围是( )A.12x ≤ B. x <12 C. x ≥ 12 D. x >1211. (2011年芜湖市)函数y =x 的取值范围是( ) A 6x ≤ B 6x ≥ C. 6x ≤- D. 6x ≥-12. (2011年威海市)计算________。

开方及二次根式知识点

开方及二次根式知识点

开方及二次根式知识点全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点,也是数学中的基础概念之一。

在学习代数学时,开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。

本文将对开方及二次根式进行详细介绍,帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

让我们从最基础的概念开始。

所谓开方,就是对一个数进行开方运算,即找到一个数,使得它的平方等于给定的数。

如果一个数是另一个数的平方,那么这个数就是这个数的平方根。

开方也可以用符号√来表示,如√4表示对4进行开方运算,结果为2,因为2的平方等于4。

二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子,例如√2、√3、√5等。

这些数都是无理数,也就是不能用有限位小数表示的数。

在数轴上,二次根式对应的数是不完全平方数,即无法整除的数。

在计算开方及二次根式时,有一些基本规则需要遵循。

对于整数n,如果n>0,则√n是一个正数;如果n<0,则√n是一个虚数。

开方运算是一个单调递增的函数,即当x<y时,√x < √y。

开方运算不满足交换律和结合律,即√xy≠√x·√y,(√x)²≠x。

在开方运算中,常见的性质有:1.开方运算的运算性质:√a ± √b ≠ √(a ± b),√a · √b ≠√(a · b)。

3.二次根式的乘法运算:√a · √b = √(a · b)。

还有一些常见的运算法则需要注意。

如何计算复合二次根式呢?如何计算√(√2 + √3)呢?我们可以用代数的方法将其化简。

设x = √2 + √3,则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6,即x² - 5 = 2√6。

所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。

数的开方与二次根式

数的开方与二次根式

数的开方与二次根式1、平方根(1)平方根的定义:如果一个数的平方等于a ,这个数就叫做a 的平方根。

用数学语言表达即为:若a x =2,则x 叫做a 的平方根。

a 的平方根记作: ,读作“根号a ”(2)平方根的性质: ①一个正数有两个平方根,它们互为相反数。

②0有一个平方根,它是0本身。

③负数没有平方根。

(3)求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方的运算。

+3与-3的平方是9,9的平方根是+3和-3,可见平方运算与开平方运算互为逆运算。

(4)平方根的表示方法: a 表示正数a 的正的平方根 -a 表示正数a 的负的平方根 练习:求169的平方根 将1.44开平方2、算术平方根(1)算术平方根的定义:正数a 有两个平方根,其中正数a 的正的平方根,也叫做a 的算术平方根, 记作 “a ”,读作:“根号a ”,其中a 叫做被开方数。

(2)算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数。

②0的算术平方根是0。

③负数没有算术平方根 。

(3)重要性质: 练习:求25的算术平方根 求的算术平方根3、立方根(1)立方根的定义:如果一个数的立方等于a ,那这个数叫做a 的立方根(也叫三次方根)。

用数学语言表达即为:若a x =3,则x 叫做a 的立方根。

记作: ,读作“三次根号a ” 。

(2)立方根的性质:①一个正数有一个正的立方根;②一个负数有一个负的立方根;③0的立方根是0。

(3)重要性质: (4)求一个数的立方根的运算,叫做开立方运算。

立方运算与开立方运算互为逆运算。

练习:求81-的立方根 求64的立方根a 2±±或a ())0(2≥=a a a aa =23a x =33-aa -=a ±⎭⎬⎫记作4.二次根式的有关概念(1) a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根,也就是说,a (a ≥0)是一个非负数,它的平方等于a .即有: (1)a ≥0(a ≥0);(2)2)(a =a (a ≥0).形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式.注意: 在二次根式a 中,字母a 的取值范围,必须满足a ≥0,即被开方数必须是非负数。

中考数学复习专题训练: 数的开方与二次根式(含答案)

中考数学复习专题训练: 数的开方与二次根式(含答案)

复习训练:数的开方与二次根式|夯实基础|1.[2019·武汉]式子√x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x>0B.x≥-1C.x≥1D.x≤12.下列根式中是最简二次根式的是()B.√2C.√9D.√18A.√133.[2018·泰州]下列运算正确的是 ()A.√2+√3=√5B.√18=2√3=2C.√2·√3=√5D.√2÷√124.关于√12的叙述,错误的是 ()A.√12是有理数B.面积为12的正方形的边长是√12C.√12=2√3D.在数轴上可以找到表示√12的点5.[2019·淄博]如图K4-1,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为()图K4-1A.√2B.2C.2√2D.66.将一组数√3,√6,3,2√3,√15,…,3√10按下面的方法进行排列:√3,√6,3,2√3,√15;3√2,√21,2√6,3√3,√30;……若2√3的位置记为(1,4),2√6的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为()A.(5,2)B.(5,3)C.(6,2)D.(6,5)7.[2019·武汉]计算√16的结果是.8.[2019·台州]若一个数的平方等于5,则这个数等于.9.[2019·衡阳]√27-√3= .10.[2019·菏泽]已知x=√6+√2,那么x 2-2√2x 的值是 .11.[2019·临沂]一般地,如果x 4=a (a ≥0),则称x 为a 的四次方根,一个正数a 的四次方根有两个,它们互为相反数,记为±√a 4.若√m 44=10,则m= .12.[2019·扬州]计算(√5-2)2018(√5+2)2019= .13.[2019·益阳]观察下列等式:①3-2√2=(√2-1)2,②5-2√6=(√3-√2)2,③7-2√12=(√4-√3)2,……请你根据以上规律,写出第6个等式 .14.(1)[2017·德阳]计算:(2√5-√2)0+|2-√5|+(-1)2017-13×√45;(2)[2017·呼和浩特]计算:|2-√5|-√2×√18-√102+32.15.[2019·荆州]已知:a=(√3-1)(√3+1)+|1-√2|,b=√8-2sin45°+12-1,求b-a 的算术平方根.16.若x满足|2017-x|+√x-2018=x,求x-20172的值.17.在如图K4-2所示的4×3网格中,每个小正方形的边长均为1,正方形的顶点叫网格格点,连结两个网格格点的线段叫网格线段.(1)请你画一个边长为√5的菱形,并求其面积;(2)若a是图中能用网格线段表示的最大无理数,b是图中能用网格线段表示的最小无理数,求a2-2b2的平方根.图K4-218.已知a=√3-√2,b=2-√3,c=√5-2.请比较a,b,c的大小.|拓展提升|19.[2019·随州]“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法,如:√32-√3=√3)(√3)(2-3)(2+3)=7+4√3,除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数,如:对于√3+√5√3-√5,设x=√3+√5√3-√5易知√3+√5√3-√5故x>0,由x 2=(√3+√5√3-√52=3+√5+3-√5-2√(3+√5)(3-√5)=2,解得x=√2,即√3+√5-√3-√5=√2.根据以上方法,化简√3-√2√3+√2+√6-3√3-√6+3√3后的结果为 ( ) A .5+3√6B .5+√6C .5-√6D .5-3√620.阅读材料: 小明在学习了二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2√2=(1+√2)2.善于思考的小明进行了以下探索:设a+b √2=(m+n √2)2(其中a ,b ,m ,n 均为正整数),则有a+b √2=m 2+2n 2+2mn √2. ∴a=m 2+2n 2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分形如a+b √2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a ,b ,m ,n 均为正整数时,若a+b √3=(m+n √3)2,用含m ,n 的式子分别表示a ,b ,得a= ,b= ; (2)利用所探索的结论,找一组正整数a ,b ,m ,n 填空: + √3=( + √3)2;(3)若a+4√3=(m+n √3)2,且a ,m ,n 均为正整数,求a 的值.【参考答案】1.C2.B3.D4.A5.B6.C7.48.±√59.2√310.4 [解析]∵x-√2=√6,∴x 2-2√2x+2=6, ∴x 2-2√2x=4.11.±10 [解析]∵4410,∴m 4=104, ∴m=±10.12.√5+2 [解析]原式=[(√5-2)(√5+2)]2018×(√5+2)=√5+2. 13.13-2√42=(√7-√6)2 [解析]∵①3-2√2=(√2-1)2,②5-2√6=(√3-√2)2, ③7-2√12=(√4-√3)2,……∴第n 个等式为:(2n+1)-2√(n +1)n =(√n +1-√n )2 ∴当n=6时,可以得到第6个等式为:13-2√42=(√7-√6)2.14.解:(1)原式=1+√5-2-1-√5=-2.(2)原式=√5-2-√2×√24-√102+32 =√5-2-12-√5+32 =2√5-1.15.解:∵a=(√3-1)(√3+1)+|1-√2|=3-1+√2-1=1+√2, b=√8-2sin45°+12-1=2√2-√2+2=√2+2. ∴b-a=√2+2-1-√2=1.∴√b -a =√1=1.16.解:由条件知,x-2018≥0,所以x ≥2018,|2017-x|=x-2017.所以x-2017+√x -2018=x ,即√x -2018=2017,所以x-2018=20172,所以x-20172=2018.17.解:(1)略.(2)a=√42+22=2√5,b=√2,∴a 2-2b 2=16.∴a 2-2b 2的平方根为±4.18.解:显然a ,b ,c 都为正数. ∵1a =√3-√2=√3+√2(3-2)(3+2)=√3+√2, 1b =2-√3=√3(2-3)(2+3)=2+√3, 1c =√5-2=√5+2(5-2)(5+2)=√5+2, ∴1a <1b <1c ,∴a>b>c.19.D [解析]设x=√6-3√3-√6+3√3, ∴x 2=(√6-3√3-√6+3√3)2=6, ∵√6-3√3<√6+3√3,∴√6-3√3-√6+3√3<0,∴x=-√6. 又∵√3√2√3+√2=√3-√2)(√3-√2)(3+2)(3-2)=5-2√6, ∴√3-√2√3+√2+√6-3√3-√6+3√3=5-2√6-√6=5-3√6.20.解:(1)m 2+3n 2 2mn(2)答案不唯一,如:4 2 1 1(3)由题意,得a=m 2+3n 2,4=2mn , ∵4=2mn ,且m ,n 为正整数, ∴m=2,n=1或m=1,n=2,∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13.。

数的开方及二次根式

数的开方及二次根式

开平方运算的运算

开平方运算遵循一些基本的运算 律,如结合律、交换律等。这些 运算律可以帮助我们简化复杂的 开平方运算。
开平方运算的性质
非负性
正数的平方根是正数或零,负数没有 实数平方根。这是因为正数的平方是 正数,而负数的平方也是正数,所以 负数没有实数范围内的平方根。
互反性
一个数的平方根与它的相反数的平方 互为相反数。例如,4的平方根是±2, 而-4的平方根是±(-2),它们的值互为 相反数。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数,这是二次根式的基本性质。此外,算术平方根具有非负性,即√a≥0。同时,乘 方运算也有其特定的性质,如√(ab)=√a×√b(a≥0,b≥0)和√(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0)。
二次根式的简化
总结词
通过因式分解、配方法等手段,可以简化二次根式。
详细描述
简化二次根式的方法有多种,如因式分解法、配方法等。通过因式分解,可以将复杂的二次根式化简 为简单的形式。配方法则是将二次根式转化为完全平方的形式,从而简化计算。这些方法在数学中有 着广泛的应用,有助于简化计算过程和提高解题效率。
数的开方及二次根式
目录
• 数的开方 • 二次根式 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用
01
数的开方
平方根的定义
1 2
平方根
如果一个数的平方等于给定的数,则这个数被称 为给定数的平方根。例如,4的平方根是±2,因 为2^2=4和(-2)^2=4。
非负平方根
正数和0的平方根都是非负的。例如,9的平方根 是3,因为3^2=9。
使其具有最简形式。
二次根式的化简求值
要点一
总结词
掌握二次根式的化简求值方法,能够将复杂的二次根式化 简为最简形式,并求出其值。

2019年中考数学复习数的开方及二次根式(共15张PPT)

2019年中考数学复习数的开方及二次根式(共15张PPT)

类型二.二次根式的性质 【典例2】(2016·自贡)若 ������-1 +b2-4b+4=0,则ab的值等于 ( D ) A.-2 B.0 C.1 D.2
解析:b2-4b+4=(b-2)2,由非负数的特征,可知a-1=0,b-2=0,进而可得
a与b的值.
解析:由 ������-1+b2-4b+4=0,得 ������-1+(b-2)2=0.又 ������-1≥0,(b-2)2≥0,
乘法 ������ · ������=⑩ ������������ (a≥0,b≥0).
除法
������ ������
=
������
������ (a>0,b≥0).
【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式,若含有分 母,则分母中不能含有根号.
真题反馈
【典例 1】(1)(2018·安顺) 4的算术平方根是( B )
2019中考数学复习 数的开方及二次根式
考点一、数的开方
1.算术平方根:非负数x满足x2=a(a≥0),则x叫做a的算术平方根,记 作① ������ .
2.平方根:若x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根,记作② ± ������ .
3.立方根:如果x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),记作 ③ 3 ������ .
∴a-1=0,b-2=0,a=1,b=2.∴ab=2.
总结: 若几个非负数的和为0,则这几个数均为0.常见的非负数形式为 ������ |a|,a2, (a≥0).
【变式训练】
2.(1)(2018·桂林)若|3x-2y-1|+ ������ + ������-2=0,则 x,y 的值为 ( D )

人教版初中数学中考复习 一轮复习-数的开方与二次根式

人教版初中数学中考复习 一轮复习-数的开方与二次根式
C 2
伦﹣秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为( )
A. 5
B.4
C.2 5
D.5
知识点四、二次根式-二次根式的运算
解:p a b c a b 4 5
2
2
所以a b 6, a 6 b
s pp ap bp c 55 a5 b5 4
55 (6 b)5 b1 5 b 15 b
3 的结果是______.
3 12
解: 3 1 1 1 3 12 1 4 1 2 3
5. 化简: 1 1 49
解: 1 1 9 4 13 13 4 9 36 36 36 6
知识点三、二次根式-二次根式的性质
D 1.[2019·济宁]下列计算正确的是 ( )
A. 3 2 3
解:原式 9 — 1 8 22
9 2 — 1 2 2 2 22 22
3 2 — 2 2 2 22
3 — 1 2 2 2 2
3 2
知识点四、二次根式-二次根式的运算
2、(2021. 铜仁)计算( 27 — 18)( 3 — 2)
解:原式 (3 3 - 3 2)( 3 - 2) 9-3 6 -3 6 6 15- 6 6
一轮复习
数的开方与二次根式
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方 根 、 .立方根。 2. 了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求
百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根. 3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4. 了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、
5 4 b3 2

中考复习讲座4数的开方与二次根式

中考复习讲座4数的开方与二次根式

2ba

0 2
故应选(A).
例的4值.已知x
1 2 1
,求x 1 1 1 x x
解: 原式 x 1 x 1 x 1
x
xx
x 1 2 1 2 1
原式 2 2 2
2 1
例5 如果一个正数的平方根为a+7与2a-4,则 这 个正数是( ).
(B)
(C) 12
(1D1)
3
a2 b2
3m2n2
解:AБайду номын сангаасB,D 不满足条件,C满足条件
例3 如果最简根式


b a 3b 2b a 2
同类二次根式,则a,b的值是( )
(A)a=0,b=2
(B)a=2,b=0
(C) a=- 1
(D)a=1,b=-
2
解:
3b
b
a 2 2b a
解:①答:有错误。②答:错在第一步。
③错误原因是分子分母都乘以 x y 时
当x=y>0分式无意义。
原式
x y
x y x y
x y
6、已知:xy 3 ,那么x
yy
x
x y
的值是
__2_3_
二、选择:
1.已知:a>0,b>0,那么在式子 a3 , a2b,4 b,
1、平方根 如果x2=a,则x叫做a的平方根。记
作:x=± a ,一个正数a的平方根有两
个,它们是互为相反数; 零的 平方根 是零。
⒉算术平方根 一个正数正的平方根叫做这个正数 的算术平方根,零的算术平方根是零。
⒊立方根 如果x3=a,则x叫做a的立方根,记 作 x 3 a 。 若 a≥0时,x叫a 的算术立 方根。 ⒋二次根式

第3节 数的开方与二次根式

第3节 数的开方与二次根式

总复习第3节数的开方与二次根式
教学目标:
1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。

会求实数的平方根、算术平方根和立方根(包括利用计算器及查表);
2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念,会辨别最简二次根式和同类二次根式。

掌握二次根式的性质,会化简简单的二次根式,能根据指定字母的取值范围将二次根式化简;
3.掌握二次根式的运算法则,能进行二次根式的加减乘除四则运算,会进行简单的分母有理化。

考查重难点:
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。

有关试题在试题中出现的频率很高,习题类型多为选择题或填空题。

2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。

有关习题经常出现在选择题中。

3.考查二次根式的计算或化简求值,有关问题在中考题中出现的频率非常高,在选择题和中档解答题中出现的较多。

教学过程:
一、考点聚焦
考点一平方根、算术平方根、立方根
考点二二次根式的有关概念
考点三二次根式的性质
考点四二次根式的运算
二、真题探源
三、精题巧练新评价P9
四、小结与作业评价演练P3。

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专题3:数的开方和二次根式
一:【课前预习】
(一):【知识梳理】
1.平方根与立方根
(1)如果x 2=a ,那么x 叫做a 的 。

一个正数有 个平方根,它们互为 ;
零的平方根是 ; 没有平方根。

(2)如果x 3=a ,那么x 叫做a 的 。

一个正数有一个 的立方根;一个负数有
一个 的立方根;零的立方根是 ;
2.二次根式
(1)
(2)
(3)
(4)二次根式的性质
①20,a ≥=若则(a) ;③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2()
()a a a a ⎧==⎨-⎩;④(0,0)a a a b b b
=≥ (5)二次根式的运算
①加减法:先化为 ,在合并同类二次根式; ②乘法:应用公式(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥; ③除法:应用公式(0,0)a a a b b b
=≥ ④二次根式的运算仍满足运算律,也可以用多项式的乘法公式来简化运算。

(二):【课前练习】
1.填空题
2. 判断题
3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是()
A 、x ≤2 B. x <2 C. x ≥2 D. x >2
4. 下列各式属于最简二次根式的是( )
A .225x +1 B.x y C.12 D.0.5
5. 在二次根式:①12, ②32③23;④273和是同类二次根式的是( ) A .①和③ B .②和③ C .①和④ D .③和④
二:【经典考题剖析】
1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 -6a+9+4|5|0b c -+-=,试判断△ABC 的形状.
2. x 为何值时,下列各式在实数范围内有意义
(1)23x -+; (2)211x x -+; (3)14
x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式:
2222
1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中,哪些是同类二次根式:
311123,75,18,
,2,,,8(0),327255032a ab b b b
- 5. 化简与计算 ①675;②2
44(2)x x x -+ ;③111625-;④22447()692m m m m m -+-++ ⑤
()()22236236+---+;⑥()()2332623326+--+
三:【课后训练】
1. 当x ≤2时,下列等式一定成立的是( )
A 、
()222x x -=- B 、()233x x -=- C 、 ()()2323x x x x --=-⋅- D 、3322x x x x --=-- 2. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是()
A 、x ≤2 B. x <2 C. x ≥2 D. x >2 3. 当a 为实数时,2a =-a 则实数a 在数轴上的对应点在( )
A .原点的右侧
B .原点的左侧
C .原点或原点的右侧
D .原点或原点的左侧 4. 有下列说法:①有理数和数轴上的点—一对应;②不带根号的数一定是有理数;③负数没有立方根;④-17是17的平方根,其中正确的有( )
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个 5. 计算32
1a +a a 所得结果是______. 6. 当a ≥0时,化简23a = 7.计算
(1)、2259259x x x +-; (2)、()()200320045252-+
(3)、()22332-; (4)、548627123
-+
8. 已知:22x -4+4-x +1x y y=
x-2
、为实数,,求3x+4y 的值。

9. 实数P 在数轴上的位置如图所示:化简22(1)(2)p P -+- 四:【课后小结】。

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