数学分析教案1.1
中山大学数学分析教案
中山大学数学分析教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念与性质引入极限的概念，讨论极限的存在性与不存在的条件。
探讨极限的性质，如保号性、保不等式性等。
1.3 极限的计算方法介绍常见极限的计算方法，如直接计算、有理化、代数法、三角法等。
1.4 无穷小与无穷大定义无穷小的概念，讨论无穷小的性质与比较。
引入无穷大的概念，讨论无穷大的性质与比较。
第二章：微分学2.1 导数的概念与性质引入导数的定义，讨论导数的性质，如导数的单调性、连续性等。
2.2 导数的计算方法介绍常见函数的导数计算方法，如幂函数、指数函数、对数函数等。
探讨高阶导数的计算方法。
2.3 微分学的基本定理介绍微分学的基本定理，如费马定理、链式法则、乘积法则等。
2.4 微分学的应用探讨微分学在实际问题中的应用，如最优化问题、曲线的切线与法线等。
第三章：积分学3.1 不定积分的基本概念与性质引入不定积分的概念，讨论不定积分的性质，如线性性质、保号性等。
3.2 不定积分的计算方法介绍常见的不定积分计算方法，如基本积分表、换元积分、分部积分等。
3.3 定积分的基本概念与性质引入定积分的概念，讨论定积分的性质，如可积性、保号性等。
3.4 定积分的计算方法介绍常见的定积分计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等。
第四章：级数4.1 级数的基本概念与性质引入级数的概念，讨论级数收敛与发散的条件。
4.2 幂级数的基本概念与性质介绍幂级数的概念，讨论幂级数的收敛半径与收敛区间。
4.3 幂级数的展开与应用探讨幂级数的泰勒展开与麦克劳林展开，讨论级数展开的实际应用。
4.4 傅里叶级数的基本概念与性质引入傅里叶级数的概念，讨论傅里叶级数的收敛条件与应用。
第五章：常微分方程5.1 微分方程的基本概念与性质引入微分方程的概念，讨论微分方程的解的存在性与唯一性。
5.2 常微分方程的解法介绍常见的常微分方程解法，如分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
四年级上册数学教案- 1.1数一数-北师大版
四年级上册数学教案- 1.1数一数-北师大版教学目标1. 知识与技能- 能够正确地数数，理解数的顺序和大小。
- 掌握基本的数数方法，如逐一数数、分组数数等。
- 能够运用数数知识解决实际问题。
2. 过程与方法- 通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力和动手操作能力。
- 培养学生运用数数知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度价值观- 培养学生积极主动的学习态度，激发学生学习数学的兴趣。
- 培养学生的合作意识和团队精神。
教学重点与难点1. 重点- 掌握正确的数数方法，理解数的顺序和大小。
2. 难点- 运用数数知识解决实际问题。
教学准备- 教具：数数教具、计数器等。
- 学具：学生用计数器、数数卡片等。
教学过程1. 导入- 教师通过展示数数教具，引导学生观察和思考，激发学生学习兴趣。
2. 探究新知- 教师引导学生通过观察、操作、交流等活动，探究数数的方法和技巧。
- 教师讲解数的顺序和大小，引导学生理解并掌握。
- 教师设计数数游戏，让学生在游戏中运用数数知识。
- 教师出示实际问题，引导学生运用数数知识解决问题。
4. 总结提升- 教师引导学生总结数数的方法和技巧，巩固所学知识。
- 教师通过提问、解答等方式，检查学生对数数知识的理解和掌握。
教学反思1. 优点- 教学过程注重学生的参与和体验，激发了学生的学习兴趣。
- 教学内容与生活实际紧密结合，提高了学生的实际应用能力。
2. 不足- 教学过程中，部分学生可能对数数方法的理解不够深入，需要进一步巩固。
- 部分学生的动手操作能力较弱，需要加强培养。
教学建议1. 针对学生的不同情况，进行分层教学，提高教学效果。
2. 注重培养学生的动手操作能力，提高学生的实践能力。
3. 加强课堂互动，提高学生的学习积极性。
课后作业1. 完成课后练习题，巩固数数知识。
2. 观察生活中的数数现象，记录下来并与同学分享。
通过本节课的学习，学生能够掌握正确的数数方法，理解数的顺序和大小，并能运用数数知识解决实际问题。
三年级下册数学教案-1.1分桃子 北师大版
三年级下册数学教案-1.1分桃子北师大版课时安排本课时安排为一节45分钟的数学课。
教学目标•掌握分桃子的过程和方法。
•培养解决问题的能力。
教学重难点教学重点•分桃子的数学思维方法及其应用。
教学难点•使用逆向思维解决数学问题。
教学内容任务一：思考出示问题：有两个人A、B分到了8个桃子，A想要分掉6个桃子，B想要分掉2个桃子，请问怎么分才能保证分配公平？让学生思考，通过分组讨论的方式，让学生分享自己的答案，并理解和汇总大家的方法。
任务二：引入•引入题目：Great Job（《数学》三年级下册第一单元第一课）。
•引导学生回忆Method（破法），让学生理解“懒人取法”和“查缺补漏”两种思维方法。
•让学生自己阅读题目：分桃子。
任务三：探究1.导入：让学生回忆任务一中的问题，再与分桃子的题目进行比较，引出问题：“分桃子时，如何才能保持公平？”2.具体操作：老师分别模拟出A、B两人拿到全部桃子（8个），共六步，由A、B分别选定自己分桃数量的过程，让学生进行观察，理解分桃公平的概念。
3.分析过程：让学生在理解公平分桃的认识上，分析哪些加入的部分对算法的执行有影响；哪些没必要可忽略。
4.摆设场景：让学生自己设计场景，发挥想象，体验“懒人取法”和“查缺补漏”思维方法的应用。
任务四：归纳1.总结过程：通过前面的活动，让学生知道比起计算公式，用数学思维可以解决问题，对自己的思维转变起到了积极的作用。
2.复盘答案：雪糕模型分享，重点谈论“懒人取法”和“查缺补漏”的答题过程。
课后作业1.假如你分到了20个桃子，想要分给你的朋友。
请问，你应该怎么分才能保持公平？2.继续模拟分桃子的情景，懂得使用逆向思维解决数学问题。
3.引导学生去发现自己的生活中有哪些可以使用数学思维方法来解决问题。
教学反思•教学重难点：本次教学中教学的重点是分桃子的数学思维方法及其应用，难点是使用逆向思维解决数学问题。
随着任务推进，学生掌握了分桃子的方法，发现思维方法是破法，做到了“懒人取法”和“查缺补漏”两种思维方法的运用，并体验到数学思维创造的快感。
中山大学数学分析教案
中山大学数学分析教案第一章：极限与连续1.1 极限的概念引入极限的直观意义讲解极限的定义及性质举例说明极限的存在与不存在情况1.2 极限的计算讲解极限的基本计算方法无穷小与无穷大的概念及比较极限的运算法则1.3 连续函数引入连续函数的定义讲解连续函数的性质及判定条件举例说明连续函数的性质及应用第二章：导数与微分2.1 导数的概念引入导数的定义及直观意义讲解导数的计算方法举例说明导数的应用2.2 导数的计算讲解基本函数的导数公式高阶导数的概念及计算方法隐函数与参数方程函数的导数计算2.3 微分及其应用引入微分的概念及意义讲解微分的计算方法举例说明微分在实际问题中的应用第三章：积分与面积3.1 积分的基本概念引入积分的定义及直观意义讲解积分的性质及计算方法举例说明积分的应用3.2 定积分的计算讲解定积分的计算方法定积分的换元法与分部积分法定积分的应用3.3 面积与体积的计算举例说明定积分在几何图形面积计算中的应用讲解定积分在旋转体体积计算中的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念引入微分方程的定义及意义讲解微分方程的分类及解法4.2 线性微分方程讲解线性微分方程的解法及性质举例说明线性微分方程的应用4.3 非线性微分方程讲解非线性微分方程的解法及性质举例说明非线性微分方程的应用第五章：级数5.1 级数的基本概念引入级数的定义及直观意义讲解级数的性质及收敛性判定5.2 幂级数讲解幂级数的定义及性质幂级数的展开及应用5.3 傅里叶级数讲解傅里叶级数的定义及性质举例说明傅里叶级数在信号处理中的应用第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的基本概念引入多元函数的定义及图形表示讲解多元函数的极限与连续性6.2 多元函数的导数讲解多元函数的导数概念及计算法则举例说明多元函数导数的应用6.3 多元函数的微分引入多元函数的微分概念讲解微分的计算及应用第七章：重积分7.1 重积分的基本概念引入重积分的定义及直观意义讲解重积分的性质及计算方法7.2 一重积分讲解一重积分的计算方法举例说明一重积分在几何与物理中的应用7.3 二重积分讲解二重积分的计算方法举例说明二重积分在几何与物理中的应用第八章：向量分析8.1 向量及其运算引入向量的定义及其几何表示讲解向量的运算规则及性质8.2 空间解析几何讲解空间解析几何的基本概念及方法举例说明空间解析几何的应用8.3 曲线与曲面的方程讲解曲线与曲面的方程及其性质举例说明曲线与曲面的应用第九章：常微分方程9.1 常微分方程的基本概念引入常微分方程的定义及意义讲解常微分方程的分类及解法9.2 一阶微分方程讲解一阶微分方程的解法及性质举例说明一阶微分方程的应用9.3 高阶微分方程讲解高阶微分方程的解法及性质举例说明高阶微分方程的应用第十章：数值分析10.1 数值分析的基本概念引入数值分析的意义及方法讲解数值分析的基本原则及方法10.2 数值计算误差讲解数值计算的误差来源及影响举例说明误差估计及控制的方法10.3 数值方法的应用举例说明数值方法在微积分学中的应用讲解数值方法在其他领域的应用重点和难点解析重点一：极限的概念与性质极限的定义及其直观意义是教学重点，需要学生充分理解。
数学分析教案
数学分析教案教案名称：数学分析教学教学目标：1. 学习和掌握数学分析的基本概念、原理和方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
3. 增强学生对数学的兴趣和热情。
4. 培养学生的数学分析思维习惯。
教学内容：单元1：数列与极限1. 数列的定义、收敛性、发散性。
2. 数列极限的定义、性质和判定方法。
3. 数列的常用极限性质和计算方法。
单元2：函数与连续性1. 函数的定义、性质和分类。
2. 函数极限的定义和性质。
3. 连续函数的定义和性质。
4. 连续函数的计算方法和判定方法。
单元3：导数与微分1. 导数的定义和性质。
2. 函数的可导性和导数的计算方法。
3. 微分的定义和性质。
4. 常用函数的导数和微分计算。
单元4：定积分与不定积分1. 定积分的定义和性质。
2. 定积分的计算方法和性质。
3. 不定积分的定义和性质。
4. 不定积分的计算方法和性质。
教学重点：1. 数列与极限的概念和计算方法。
2. 函数与连续性的定义和性质。
3. 导数与微分的计算方法和应用。
4. 定积分与不定积分的计算方法和性质。
教学方法：1. 综合运用讲授、实验、探究、讨论、分组合作等多种教学方法。
2. 鼓励学生独立思考和解决问题的能力。
3. 提供案例分析和实践操作，帮助学生理解和应用知识。
教学评价：1. 对学生的课堂表现进行观察和评价。
2. 组织小组讨论、作业和实验报告等形式的评价。
3. 定期组织小测验和考试，检验学生的掌握程度。
教学资源：1. 教材：数学分析教材。
2. 辅助教材：数学分析习题集。
3. 多媒体教学设备：投影仪、电脑等。
教学时长：根据课程设置，共计XX课时。
备注：教案只是教学计划的一个简要概述，具体的教学内容和教学活动可以根据实际情况进行调整和完善。
数学分析一电子教案.doc
数学分析（一）电子教案杨小康第一章 实数集与函数本章教学要求:1.加深理解实数的稠密性、绝对值不等式。
2.深入理解一元函数的概念、分段函数的几何特性（尤其是函数有界、无界的分析定义），掌握复合函数、单调函数、奇函数和偶函数；3.理解反函数、周期函数；4.对基本初等函数和初等函数要熟练掌握其运算、几何形状，对以前没有接触过的Dirichlet 函数，符号函数，Gauss 函数等要熟悉。
5.掌握区间与邻域、掌握和应用确界概念、确界原理。
§ 1实数教学目的：熟练掌握实数及主要性质、绝对值概念及其不等式性质。
教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． 基本要求：1）掌握实数的基本性质：实数的有序性，稠密性，阿基米德性，实数的四则运算。
2）掌握和熟练运用几个重要的绝对值不等式。
一．实数及其性质：有理数：(,0)p q q ⎧≠⎪⎨⎪⎩p 能用互质分数 为整数，表示的数；q有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 例1 设 p 正整数，若p 不是完全平方数，则p 是无理数证明：反证法。
若p 是有理数，则p 可表示成：mnp =，从而整数p 可表示成： 22mn p =⇒ p 是完全平方数，矛盾若规定： 012012..(1)999n n a a a a a a a a =-L L L L 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。
例如：001.2 记为 Λ999000.2 ；0 记为 Λ000.0 ；8- 记为 999.7- 实数大小的比较定义1 给定两个非负实数ΛΛΛΛn n b b b b y a a a a x 210210.,.==其中 k k b a , 为非负整数，9,0≤≤k k b a 。
若有1） Λ,2,1,0,==k b a k k 则称 x 与 y 相等，记为 y x =2） 若存在非负整数 l ，使得),,2,1,0(,l k b a k k Λ==，而11++>l l b a ，则称x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 y x >（或x y <）。
数学分析专题选讲教案
数学分析专题选讲教案一、引言1.1 课程背景1.2 课程目标1.3 课程内容概述1.4 教学方法与手段二、函数极限与连续性2.1 函数极限的概念2.2 极限的性质与运算2.3 无穷小与无穷大2.4 函数的连续性2.5 连续函数的性质与应用三、导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的计算规则3.3 高阶导数3.4 隐函数与参数方程函数的导数3.5 微分学的基本定理与应用四、不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与计算方法4.2 定积分的基本概念与计算方法4.3 定积分的性质与应用4.4 变限积分的导数4.5 定积分的推广与应用五、微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 常微分方程的解法5.3 线性微分方程5.4 微分方程的应用5.5 线性微分方程组六、级数6.1 级数的基本概念6.2 幂级数6.3 泰勒级数与麦克劳林级数6.4 级数的收敛性6.5 级数的应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念7.2 多元函数的极限与连续性7.3 多元函数的偏导数7.4 全微分与高阶偏导数7.5 多元函数的极值及其判定八、重积分8.1 二重积分的基本概念与计算8.2 二重积分的性质与应用8.3 三重积分的基本概念与计算8.4 三重积分的性质与应用8.5 重积分的应用案例九、常微分方程组9.1 常微分方程组的概述9.2 常微分方程组的解法9.3 常微分方程组的解的存在性与唯一性9.4 常微分方程组的应用9.5 常微分方程组的数值解法十、泛函分析与线性空间10.1 泛函分析的基本概念10.2 线性空间与线性映射10.3 内积空间与正交关系10.4 希尔伯特空间与巴拿赫空间10.5 泛函分析在数学分析中的应用十一、微分几何11.1 微分几何基本概念11.2 曲线和曲面的切线与法线11.3 曲率、挠率和曲率张量11.4 测地线与测地线方程11.5 微分几何在物理学和工程学中的应用十二、偏微分方程12.1 偏微分方程的定义与分类12.2 偏微分方程的基本解法12.3 偏微分方程的解的存在性与唯一性12.4 偏微分方程的应用案例12.5 偏微分方程的数值解法十三、复变函数13.1 复数与复平面13.2 复变函数的基本概念13.3 复变函数的积分13.4 复变函数的级数13.5 复变函数在复平面上的应用十四、随机变量与概率积分14.1 随机变量及其分布14.2 随机变量的数字特征14.3 概率积分与变换14.4 随机过程的基本概念14.5 随机过程的应用十五、数值分析15.1 数值分析概述15.2 插值法与函数逼近15.3 数值微积分15.4 常微分方程的数值解法15.5 非线性方程与系统的数值解法重点和难点解析一、函数极限与连续性重点：函数极限的性质与运算，无穷小与无穷大的概念，函数的连续性及其性质。
四年级上册数学说课稿- 1.1 数一数 北师大版
四年级上册数学说课稿- 1.1 数一数一、教学目标1. 知识目标1.理解数的概念。
2.能够认识并书写1-100中的任意一个数。
2. 能力目标1.培养学生数的敏感度，提升对数字的认知能力和计算能力。
2.培养学生的观察、分析能力和抽象思维能力，提高他们的辨别与归纳能力。
3. 情感目标1.提高学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
2.培养学生的合作精神和积极参与课堂学习的态度。
二、教学重点和难点1. 教学重点1.理解数的概念。
2.能够认识并书写1-100中的任意一个数。
2. 教学难点1.帮助学生树立数字意识，建立数字概念。
2.帮助学生理解并掌握数字之间的联系和特点。
三、教学过程1. 导入（5分钟）教师可用一些常见的事物，如学生人数或班级编号等，引导学生认识和理解数字的含义。
2. 讲授（20分钟）2.1 数的概念向学生讲解数字的概念，为学生提供更为准确的数字定义，便于学生掌握数字的应用。
2.2 数的认识和书写1.让学生认真观察1-100中每一个数字的形态特点，开发他们的感性认识能力；2.让学生通过尝试书写练习，加深对数字概念和形态的理解，提高数字书写的准确性。
3. 练习与巩固（15分钟）在课堂上使用题目或游戏等形式，加强学生对数字的认识和解释，在完成任务的过程中加强对数字概念和形态的理解。
4. 总结（5分钟）对本节课的重点和难点进行总结，帮助学生更好地理解和掌握数字的基本概念和书写方法。
四、教学评估通过课堂练习等形式，加强对学生的考评，评估课程实际效果，针对学生的不足之处，及时纠正和提高教学质量。
五、教学后记通过本节课的教学内容，学生可以更好地掌握数字的基本概念和书写方法，同时也更好地提高了学生的数字认知能力。
数学分析第一章 1.1汇总
第一章教学安排的说明章节题目：实数集与函数学时分配：共5学时§ 1 实数（1学时）§ 2 数集.确界原理（2学时）§ 3 函数概念 ( 1学时 )§ 4 具有某些特性的函数 (1学时 )教学目的：通过教学，使学生正确理解函数、极限与连续的基本概念，熟练掌握极限的运算。
教学要求：1、掌握实数的各条性质，初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。
2、正确理解和掌握函数的概念、性质,四则运算,复合函数,反函数的定义。
3、掌握基本初等函数的性质及其图形。
4、掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数的定义及性质。
5、理解函数的单调性,周期性,奇偶性等,会对初等函数是否具备这些性质。
其他：注: 第一章大部分内容中学学过。
课堂教学方案课题名称、授课时数：§ 1 实数 1学时§ 2 数集 确界原理 2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授为主（部分内容自学）教学目的与要求：1．掌握实数的基本概念、基本性质和最常见的不等式,并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性、实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式2.掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念，要求理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。
教学重点： 1.实数集的概念性质及应用,；2.数集有界、无界及确界的概念，确界原理。
教学难点：数集确界的定义及其应用，确界原理的证明。
教学内容首先简要介绍“数学分析”课程的内容：分三个学期；所有内容可分为四部分：1）极限理论，包括数列极限、函数极限及函数的连续性；2）一元函数的微积分，包括导数和微分及其应用、不定积分、定积分及其应用、反常积分；这之间包括第七章实数的完备性；3）级数理论，包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数；4）多元函数的极限与连续，多元函数的微积分，包括多元函数的偏导数与全微分、隐函数定理及其应用、含参变量积分、二重积分、三重积分、曲线积分及曲面积分.数学分析是数学专业的一门重要理论基础课，在之后要学习的课程：复变函数、常微分方程、实变函数都是它最直接的后继课，学好数学分析对这些后继课程的学习是极其重要的，故一定要打好数学分析课程这个理论基础.第一章 实数集与函数§ 1 实 数复习引新：一、实数集及性质1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义.2.实数集性质：四则运算封闭性；三歧性( 即有序性 )；Rrchimedes 性； 稠密性: 由有理数和无理数的稠密性, 给出实数稠密性的定义；实数集的 几何表示 ─── 数轴:3.两实数相等的充要条件:b a b a =⇔<->∀εε||,0二. 重要不等式1. 绝对值不等式: 定义[1]P3 的六个不等式.2. 其他不等式:（1）（2） 均值不等式（3） Bernoulli 不等式:有不等式（4) 由二项展开式对有)...2,1(,!)1)...(1()1(n k h C h k k n n n h kk n k n ==+-->+ .在应用时根据需要确定右边的某一项(k 的值)。
大学数学分析课教案
大学数学分析课教案一、引言1.1 课程背景大学数学分析是一门重要的基础数学课程，它旨在培养学生具备系统的数学思维能力和解决实际问题的能力。
本教案旨在为教师提供一个全面而系统的指导，以便他们可以有效地传授数学分析知识给学生。
1.2 教材选择本教案参考了多种常用的大学数学分析教材，如《高等数学分析》、《数学分析导论》等。
根据不同教材的章节结构和内容难度，我们按照一个逐步推进的顺序进行讲解。
二、教学目标2.1 知识目标•掌握大学数学分析基本概念和基本定理；•熟练运用极限、连续性、微积分等概念和方法解决实际问题；•理解并能正确运用相关证明方法。
2.2 技能目标•培养良好的数学思维和逻辑推理能力；•提高问题求解和证明能力；•培养合作交流与团队合作的能力。
2.3 情感目标•提高学生对数学的兴趣和热爱；•培养学生对数学的信心和自信心；•培养学生解决实际问题的动机和意愿。
三、教学内容3.1 极限与连续性•极限的概念与性质•数列极限与函数极限的关系•连续性及其性质•中值定理及其应用3.2 微分学•导数与微分的概念•不同类型函数的导数计算方法•高阶导数及其应用3.3 积分学•定积分的概念与性质•不定积分及其计算方法•牛顿—莱布尼茨公式和换元法3.4 级数与级数收敛性•数项级数的概念和性质•收敛级数和发散级数的判别法•泰勒级数及其应用四、教学方法4.1 讲授法通过讲解理论知识，引导学生了解基本概念、理论证明和解题方法。
4.2 实例演示法通过具体实例，展示数学分析的应用，帮助学生理解和掌握知识点。
4.3 问题解决法通过提出一些具有挑战性的问题，激发学生思考和探索，培养他们的解决问题的能力。
4.4 讨论与合作鼓励学生进行互动讨论和合作学习，在小组内共同解决问题，促进彼此之间的交流和合作能力。
五、教学评估5.1 考试与测验设计适当难度的练习题、期中考试和期末考试以评估学生对于所教知识的掌握程度。
5.2 实际应用任务布置一些实际应用任务，要求学生将数学分析中的概念和方法运用到实际问题中去解决。
数学分析专题选讲教案
数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。
性质：保号性、传递性、三角不等式性质。
1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。
极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。
1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。
1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。
连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。
二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。
高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。
2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。
微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。
三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。
泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。
数学分析教案
数学分析教案一、教案概述本教案是为高中数学分析课程编写的，旨在帮助学生掌握数学分析的基础知识和解题技巧。
通过系统的教学安排，结合生动的教学方法，提高学生的学习兴趣和主动性，达到有效教学的目的。
二、教学目标1. 知识与理解目标：- 掌握函数、极限、导数和积分等基本概念；- 理解数列、级数和函数收敛与发散的概念；- 理解函数的连续性和可导性。
2. 能力目标：- 能够正确运用函数的极限、导数和积分的计算方法；- 能够分析和解决实际问题；- 能够利用数学分析解决相关学科的问题。
3. 情感目标：- 培养学生对数学的兴趣和好奇心；- 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。
三、教学重难点1. 教学重点：- 函数、极限、导数和积分的基本概念和性质；- 极限运算法则、导数计算法则和积分计算法则的掌握。
2. 教学难点：- 函数连续性和可导性的理解和判断；- 极限的证明和应用。
四、教学内容和安排本教案共包括以下内容：1. 第一章函数与极限- 1.1 函数概念及其运算- 1.2 极限的概念与性质- 1.3 极限运算法则2. 第二章导数与微分- 2.1 导数的概念与计算- 2.2 导数的应用3. 第三章不定积分- 3.1 不定积分的概念与性质- 3.2 基本积分公式- 3.3 积分法与定积分4. 第四章一元函数微分学应用- 4.1 驻点与极值- 4.2 一元函数的应用问题五、教学方法与手段1. 讲授法：通过清晰的语言和具体的实例讲解基本概念和性质；2. 演示法：通过图像和图表等形式展示数学分析的过程和结果；3. 实践法：设置一些练习和问题让学生积极参与，提高实际运用能力。
六、课堂活动与作业安排1. 课堂活动：- 利用实例引出函数的概念和运算法则；- 通过图像展示极限的概念和性质；- 设计小组讨论活动，加深对导数和积分概念的理解。
2. 作业安排：- 预习下一课的内容，了解相关定义和性质；- 完成课后习题，巩固所学知识；- 复习已讲过的内容，加深理解。
中山大学数学分析教案
中山大学数学分析教案一、引言1.1 课程背景数学分析是数学专业的一门基础课程，主要研究函数、极限、微分、积分等基本概念和性质。
本课程旨在帮助学生掌握数学分析的基本理论、方法和技巧，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
1.2 课程目标（1）理解数学分析的基本概念，如函数、极限、微分、积分等；（2）掌握数学分析的基本理论和方法，如泰勒公式、洛必达法则等；（3）学会运用数学分析解决实际问题，提高数学建模能力；二、教学内容2.1 函数与极限（1）函数的定义与性质；（2）极限的概念与性质；（3）无穷小与无穷大；（4）极限的运算。
2.2 微分学（1）导数的定义与性质；（2）求导法则；（3）高阶导数；（4）微分在实际问题中的应用。
2.3 积分学（1）不定积分的概念与性质；（2）积分法则；（3）定积分的概念与性质；（4）定积分的计算与应用。
2.4 微分方程（1）微分方程的定义与分类；（2）一阶微分方程的解法；（3）高阶微分方程的解法；（4）微分方程在实际问题中的应用。
2.5 泰勒公式与洛必达法则（1）泰勒公式的定义与性质；（2）泰勒公式的应用；（3）洛必达法则的定义与性质；（4）洛必达法则的应用。
三、教学方法3.1 授课方式采用讲授与讨论相结合的方式进行授课。
3.2 教学手段（1）利用多媒体课件进行教学，提高课堂效果；（2）布置适量的课后习题，巩固所学知识；（3）组织课堂讨论，培养学生的思维能力。
四、课程考核4.1 考核方式课程考核分为期末考试和平时成绩两部分，其中期末考试占80%，平时成绩占20%。
4.2 期末考试内容期末考试涵盖本课程全部内容，包括选择题、填空题、解答题等。
4.3 平时成绩评定平时成绩包括课堂表现、课后习题、课堂讨论等。
五、教学进度安排5.1 授课时间本课程共计32课时，每周2课时。
5.2 授课计划（1）第1-4周：函数与极限；（2）第5-8周：微分学；（3）第9-12周：积分学；（4）第13-16周：微分方程；（5）第17-20周：泰勒公式与洛必达法则。
华东师大版数学分析电子教案1-1.doc
第一章实数集与函数§ 1实数使学生掌握实数的基本性质，常见的不等式.1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.（它们是分析论证的重要工 具）实数集的概念及其应用.引言数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，为此，我们有必要对实数和函数的概念及性质做一 定的了解。
从本节课开始，我们就对中学已经介绍过的有关实数和函数的知识进行简单冋顾，并根据数学分 析课程学习的需要，对一些内容作更深入的讨论。
一实数及其性质1. 实数的构成、叫有理数（有限小数和无限循环小数；或 jq 为整数且pHO ）买数］ P无理数（无限不循环小数）2. 实数的无限表示有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的。
为以下讨论的需要，我们把“有限小数” （包括整数）也表示为“无限小数”。
为此作如下规定：（1）对于正有限小数（包括正整数）x,当兀=%如。
2…色时,其中05 5 9,21,2,…彼色工0®为非负整数,记（2）当x = cio 为正整数吋，则记（3） 对于负有限小数（包括负整数）y,则先将-y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号;（4） 规定数0表示为0.0000….例：2.001 T 2.0009999…3 t 2.9999 …-2.001 t-2.0009999 …-3T-2.9999 …【教学目的】 【教学重点】 【教学难点】利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。
但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？3.实数大小的比较定义1给定两个非负实数x = a Q.a x a2,歹二仇厶乞…乞…，其中兔），2）为非负整数,gb丘伙= 1,2,…）为整数，05色<9,0</?匸9.若有@ =b k,k = 1,2,---,则称兀与y相等，记为x=y ；若a0 >b0或存在非负整数/,使得色二仇，k = 1,2,,而a l+i > b M,则称兀大于y或y小于x,分别记为x> y或yvx .对于负实数x、y ,若按上述规定分别有一x = -y或一x>-y或一兀v—y,则分别称为兀=y或无v y或兀〉y.规定：任何非负实数大于任何负实数.以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此，先给出如下定义.定义2 （不足近似与过剩近似）若x = a Q.a}a2--a n-••为非负实数.称有理数兀“ =a0.a]a2--a fl为实数兀的斤位不足近似，而有理数—— 1X, = x+ -----” “ 10H称为实数乂的斤位过剩近似，〃=0,1,2,….对于负实数x = -a{）.a[a2…卫“…，称x n = -a^.a x a2--a n_为实数兀的斤位不足近似；称x n = -a Q.a{a2为实数兀的兀位过剩近似.例：兀=3.1415…，兀° = 3,Xj =3丄兀2 =3.14,X3 =3.141,…x Q = 4, %! =3.2,兀2 =3.15,兀3 = 3.142,…x ——2.7182 • • •, X Q ——3, %）——2. &兀° = —2.72,无？=—2.719, • • •X Q =—2,兀]——2.7, Xj=—2.71, ——2.71 &…性质实数x的不足近似益当n增大时不减，即有观5西5^5…；过剩近似$当n增大时不增，即W x（） > ^! > x2 > • • •.命题设兀二兔“色…陽…与歹=〃0厶仇…仇…为两个实数,则x> y的等价条件是：存在非负整数斤，使得其中耳为兀的川位不足近似，儿为y的"位过剩近似.（证明可参阅附录II第八节）4.实数的运算实数的各种运算（四则运算，乘幕等）及运算法则中学介绍的均适用，至于一些运算的更进一步讨论以后根据需要再做介绍，相关内容可见教材附录II （P289）实数理论.例1 设兀,y 为实数，x<y，证明存在有理数厂，满足x<r<y・证明：由x<y >知：存在非负整数〃，使得x zj < y n.令厂=*（兀+儿），则厂为有理数，且x<x w<r<y w<y,即x< r< y.5.实数的性质•封闭性（实数集R对+,-,><,*）四则运算是封闭的.即任意两个实数的和、差、枳、商（除数不为0）仍是实数.•有序性：任意两个实数必满足下列关系之一：a<b.a>b,a = b.•传递性：a> b,b> cn a> c.•阿基米德性：V6Z,/?G R,h> a >0=>Bne N使得na> h.•稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.•实数集R与实数轴（规定了原点、正方向、单位长度的直线）上的点有着一一对应关系。
数学分析教案(首页)
《数学分析Ⅰ》教案（首页）后附讲稿（或讲授提纲）共 6 页第三章 函数极限在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例，)(n f a n =。
通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势.我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势.此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞.但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,.由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.下面，我们就依次讨论这些极限.§1 函数极限的概念一、x →+∞时函数的极限 (一)引言设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质.例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于0；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势.我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”.问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. (二) x →+∞时函数极限的定义定义1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数.若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限.记作lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.(三) 几点注记1、 定义1中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n.2、lim ()x f x A →+∞=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈3、lim ()x f x A →+∞=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域.“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()y f x =全部落在这个带形区域内.如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.4、现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作，lim ()x f x A →-∞=或()()f x A x →→-∞，lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞.这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：lim ()x f x A →-∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，lim ()x f x A →∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<.5、推论 设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==.(四) 利用lim ()x f x →+∞＝Ａ的定义验证极限等式举例例1 证明 1lim0x x→∞=. 证 任给0>ε，取 ε1=M ，则当 M x > 时有ε=<=-Mx x 1101 所以 01lim =∞→x x 。
数学分析教案(第一章)
第一章 实数集与函数（12学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示.{}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： ,n a 其中,,nn a ≠19999n a -；对于正整数0(1).9999a -；对于负有限小数（包括负整数）y ，则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝例：2.001 2.0009999→ 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01nx a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01n x a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-.注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥． 命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得nn x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）． ● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩． ２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）．［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
1.1数一数(教案)- 四年级上册数学 北师大版
1.1 数一数（教案）- 四年级上册数学北师大版一、教学目标1. 让学生通过观察、操作、交流等活动，进一步理解数的概念，培养学生的数感和观察能力。
2. 使学生掌握数的排列顺序，能正确地数数，培养学生的逻辑思维能力。
3. 培养学生积极参与、合作交流的学习习惯，提高学生的口头表达能力。
二、教学内容1. 数的排列顺序2. 数数的方法3. 数的估算三、教学重点与难点1. 教学重点：数的排列顺序、数数的方法、数的估算2. 教学难点：数的排列顺序、数数的方法四、教学过程1. 导入新课通过提问方式引导学生回顾已学的数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究新知（1）数的排列顺序引导学生观察数轴，了解数的排列顺序，并总结规律。
（2）数数的方法组织学生进行数数活动，引导学生发现并掌握正确的数数方法。
（3）数的估算引导学生通过观察、比较、推理等方法，对数进行估算。
3. 实践应用设计一些实际问题，让学生运用所学知识进行解答，巩固所学内容。
4. 总结反馈组织学生进行课堂小结，了解学生对本节课内容的掌握情况，并对学生的表现给予评价和鼓励。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 观察生活中的数，与家人分享你的发现。
六、板书设计1. 数的排列顺序2. 数数的方法3. 数的估算七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学过程中的优点和不足，为今后的教学提供参考。
同时，关注学生的学习情况，及时调整教学策略，以提高教学效果。
需要重点关注的细节是“实践应用”环节。
实践应用环节是学生将所学知识应用于实际问题解决的过程，是检验学生知识掌握程度和解决问题能力的重要环节。
在这个环节中，教师设计的实际问题应该具有针对性和层次性，能够引导学生运用本节课所学的数的排列顺序、数数方法和数的估算等知识，解决实际问题。
同时，实践应用环节也应该注重培养学生的合作意识和口头表达能力，鼓励学生在解决问题时进行交流、讨论和分享。
以下是对实践应用环节的详细补充和说明：1. 实际问题的设计教师在设计实际问题时要充分考虑到学生的认知水平和兴趣，将问题与学生的生活实际紧密联系起来，使学生感受到数学知识的实用性和趣味性。
数学分析教案(第一章)
第一章 实数集与函数（12学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示.{}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：，则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０例：2.001 2.0009999→ 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01nx a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01n x a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-.注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥． 命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得nn x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩． ２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）．［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
数学分析下册教学设计
数学分析下册教学设计一、课程目标数学分析下册为工科学生的基础数学课程，侧重于向学生介绍微积分的概念与应用。
在这门课程中，学生需要掌握微积分的定义、性质、应用等知识点，同时还需要培养他们的数学分析能力和解决实际问题的能力。
本次教学设计的目标是：•使学生掌握微积分的基本概念和基本技能；•培养学生的数学分析能力，提高他们对数学问题的理解和分析能力；•激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习能力和自信心。
二、知识内容和教学步骤1. 定积分1.1 定积分的概念在本节课中，我们将向学生介绍定积分的概念和性质。
通过引入定积分的概念，加深学生对微积分概念的理解。
教学步骤：1.1.1 引入函数积分的概念在本课前，我们已经学习了函数的概念和函数的导数的概念。
在本节课中，我们将引入函数积分的概念。
先向学生介绍具体的数学模型，解释函数的定义以及积分的概念，然后引出定积分的概念。
1.1.2 定积分的定义向学生介绍定积分的定义，解释和定积分相关的符号以及定义的意义。
1.1.3 定积分的性质向学生介绍定积分的性质，包括可加性、线性性、保号性、分段积分等。
2. 微分方程2.1 微分方程的概念在本节课中，我们将向学生介绍微分方程的概念和分类。
将微分方程的概念引入微积分中，增加学生对微积分知识的理解和应用。
教学步骤：2.1.1 引入微分方程的概念通过实例引入微分方程的概念，向学生介绍微分方程的定义和特点。
2.1.2 微分方程的分类向学生介绍微分方程的分类，包括常微分方程和偏微分方程等。
3. 函数的级数展开3.1 函数的级数展开的概念在本节课中，我们将向学生介绍函数的级数展开的概念和性质，通过数学模型加深他们对微积分知识的运用。
教学步骤：3.1.1 引入函数的级数展开的概念先从实际应用中引出问题，并给出相关的理论知识，然后介绍函数的级数展开的概念。
3.1.2 函数的级数展开的性质向学生介绍函数的级数展开的性质，包括极限和收敛性等。
三、教学方法本门课程中采用“理论+实践”相结合的方法，注重实际问题的应用，不断提高学生的数学分析能力和解决实际问题的能力。
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第一章 实数集与函数 §1 实数
教学目的与要求：
理解实数的无限十进位表示，能够熟练实数性质。
教学重点，难点：
正确理解实数的定义，熟练掌握实数的性质。
教学内容：
本节包括实数及其性质、绝对值与不等式两部分内容，简要介绍实数的无限十进制表示、大小关系、性质，介绍绝对值及实数绝对值的有关性质。
一、实数及其性质 1）．实数的无限十进制表示：
有理数可用分数形式
q
p （P 、q 为整数，q ≠0）表示，也可用有限十进小数或无限十进
循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数，有理数和无理数统称为实数。
规定：对于正有限小数（包括正整数）x ，当n a a a a x 210.=时，其中90≤≤i a ，
0,,2,1≠=n a n i ，0a 为非负整数，记
9999)1(.210-=n a a a a x ，而当0a x =为正整数时，则记
9999).1(0-=a x ，
例如2.001记为2.000 999…；对于负有限小数（包括负整数）y ，则先将y -表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为-7.999 9…；又规定数0表示为0.0000…。
于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。
2）．实数的大小关系： 定义1 给定两个非负实数
n a a a a x 210.=， n b b b b y 210.=，
其中a 0, b 0为非负整数，a k , b k (k=1,2…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9。
若有
a k =
b k ，k=0，1，2，…，
则称x 与y 相等，记为x=y ；若a 0＞b 0或存在非负整数l ，使得
a k =
b k (k=0, 1, 2, …, l )而l a +1＞l b +1，
则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x ＞y 或y ＜x 。
对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有-x=-y 与-x ＞-y ，则分别称x=y 与x ＜y （或y ＞x ）。
另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数。
以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件。
定义2 设 n a a a a x 210.=为非负实数，称有理数
n n a a a a x 210.=
为实数x 的n 位不足近似，而有理数
n
n n x x 10
1+
=
称为x 的n 位过剩近似， n=0, 1, 2, …。
对于负实数 n a a a a x 210.-=，其n 位不足近似与过剩近似分别规定为
n n a a a a x 210.=n
10
1-
与n x =n a a a a 210.。
注 不难看出，实数x 的不足近似x n 当n 增大时不减，即有x 0≤x 1≤x 2≤…，而过剩近似n x 当n 增大时不增，即有 ≥≥≥210x x x 。
命题 设 n a a a a x 210.=与 n b b b b y 210.=为两个实数，则x ＞y 的等价条件是：存在非负整数n ，使得
x n ＞n y ,
其中x n 表示x 的n 位不足近似，n y 表示y 的n 位过剩近似。
关于这个命题的证明，以及关于实数的四则运算法则的定义，可参阅本书附录II 第八节。
例1 设x 、y 为实数，x ＜y 。
证明：存在有理数r 满足
x ＜r ＜y
分析 略
证 略 3）．实数的性质：
1、实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。
2、实数集是有序的，即任意两实数a 、b 必满足下述三个关系之一：a ＜b, a ＝b, a ＞b 。
3、实数的大小关系具有传递性，即若a ＞b ，b ＞c ，则有a ＞c 。
4、实数具有阿基米德（Archimedes ）性，即对任何a 、b ∈R ，若b ＞a ＞0,则存在正整数n ，使得na ＞b 。
5、实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数（见例1），也有无理数。
6、如果在一直线（通常画成水平直线）上确定一点O 作为原点，指定一个方向为正向（通常把指向右方的方向规定为正向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。
任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数。
于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系，在本书以后的叙述中，常把“实数a ”与“数轴上的点a ”这两种说法看作具有相同的含义。
例2 设a 、b ∈R ，证明：若对任何正数ε有a ＜b+ε，则a ≤b
分析 略 证 略
注：注意本例中ε的用法，这是本章一直强调的一种证明问题的方法。
二 绝对值与不等式
实数a 的绝对值定义、几何意义。
性质
1、.00;0==≥-=a a a a 时有当且仅当
2、.a a a ≤≤-
3、)0(;>≤≤-⇔≤<<-⇔<h h a h h a h a h h a 4．对于任何a 、b ∈R 有如下的三角形不等式： .b a b a b a +≤±≤- 5．.b a ab =
6．).0(≠=b b
a b
a
性质4的证明。
复习思考题、作业题： 1（1），2（2），3，9。