4.第四节 分式
第四节 分式方程及应用-学而思培优
第四节分式方程及应用-学而思培优第四节分式方程及应用一、课标导航本节内容主要包括分式方程的定义、解法和应用。
二、核心纲要1.分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程。
2.解分式方程的基本思想将分式方程转化为整式方程。
3.解分式方程的一般步骤1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
2) 解这个整式方程。
3) 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零。
如果最简公分母等于零的根是原方程的增根，则必须舍去。
但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
4.分式方程无解的原因1) 将分式方程化为整式方程后，整式方程无解。
2) 解出的整式方程的根是增根。
5.用换元法解分式方程的一般步骤1) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式。
2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值。
3) 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值。
4) 检验作答，要检验求得的解是否为原方程的根，是否符合题意。
本节重点讲解：一个概念，一个解法，一个应用（列分式方程解应用题）。
三、全能突破基础演练1.下列各式中，不是分式方程的是(。
)。
A。
1/(x-1) + 1/(1-x) = 1B。
(x-1) + x = 1C。
x/(x+1) + (x^2-x)/3 = 2D。
[(x-1)-1] = 12.分式方程 (11/(4x-12)) + (1/(x+3)) = 2 的解是(。
)。
A。
x = 2B。
x = -2C。
x = 3D。
无解3.关于 x 的方程 (1/5) + (2/x) = (3/x-3) 的解是(。
)。
A。
3B。
-3C。
±3D。
无法确定4.一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为 x 千米/时，则可列方程(。
)。
A。
100/(x+30) + 60/(30-x) = 4B。
分式知识点总结PPT
分式可以表示销售增长率，如“销售增长率=（本期销售 额-上期销售额）/上期销售额”。
06 分式的综合应用与提高
CHAPTER
分式在函数中的应用
分式函数定义域
01
掌握分式函数定义域的求解方法，理解分母不能为零的原则。
分式函数值域
02
学会求分式函数的值域，掌握分子分母同号或异号时值域的特
点。
工作效率
在工程问题中，分式常用来表示工作效率，如“单位时间内完成 的工作量”。
工程进度
分式可以表示工程的进度，如“已完成的工程量与总工程量的比值 ”。
合作完成工程
当多个单位或个人合作完成一项工程时，可以用分式来表示各自完 成的工作量占比。
行程问题中的分式应用
1 2
速度、时间、路程关系
在行程问题中，分式常用来表示速度、时间和路 程之间的关系，如“速度=路程/时间”。
分式化简与求值的注意事项
确保化简过程正确
在化简过程中，要确保每一步操 作都符合数学规则，避免出现错
误。
注意符号问题
在化简过程中，要注意分子、分母 以及整个分式的符号，避免出现符 号错误。
验证结果
在求出分式的值后，可以通过代入 原式或其他方法进行验证，确保结 果的准确性。
04 分式方程及其解法
CHAPTER
分式方程的定义及分类
定义
分母中含有未知数的方程称为分式方 程。
分类
根据方程中未知数的最高次数，可分 为一元一次分式方程、一元二次分式 方程等。
分式方程的解法及步骤
去分母
通过找公共分母或通分的方法， 将分式方程转化为整式方程。
解整式方程
利用整式方程的解法，求出方程 的解。
分式知识点总结人教版
分式知识点总结人教版一、基本概念1. 分式是由两个整式用“/”或横线相连而成的算式，其中上面的整式称为分子，下面的整式称为分母。
2. 分式的表示形式：a/b，其中a为分子，b为分母，a、b为整数，b≠0。
3. 分式也可以是带分数的形式，如a b/c，其中a为整数部分，b为分子，c为分母。
4. 分式可以表示一个数、表示一个比例关系或代表一个特定的量。
5. 分式化简：将分子与分母的公因式约去，最后得到一个最简分式。
二、基本性质1. 分式的值域：分式a/b的值域为实数集合，其中b≠0。
2. 分式的大小比较：当两个分式的分母相等时，分子的大小决定了分式的大小。
3. 分式的乘法：分式a/b与c/d的乘积等于(a×c)/(b×d)。
4. 分式的除法：分式a/b与c/d的商等于(a×d)/(b×c)。
5. 分式的加减法：分式a/b与c/d的和差等于(ad±bc)/(bd)。
6. 分式的倒数：分式a/b的倒数为b/a。
7. 乘法倒置率：分式的乘积的倒数等于分式的倒数的乘积。
三、分式的应用1. 分式在解决比例问题时常用到，如“一个数的5/8是24的数”的问题就可以使用分式来表示并解决。
2. 分式在解决加工、混合等各种问题中也有广泛的应用。
3. 分式在化简复杂算式、化简比率、计算百分比等问题中也有很多应用。
四、解决分式问题的方法1. 将分式化简至最简，有时候会让计算更方便或者得出更直观的结果。
2. 分析问题的本质并用分式进行数学语言描述，从而更好地理解和解决问题。
3. 结合实际情景，通过分式来表示问题并且计算解决。
五、分式的拓展1. 分式与整式一起运算，可以进行加减乘除计算。
2. 推导分式的性质，如消去定理、基本定理等，可以发现分式的更多运算规律。
3. 加深对分式的理解，在实际的问题中更多地应用分式进行计算与解决。
4. 了解更多的分式知识，如分式不定方程、不等式等，可以将分式的知识进一步拓展。
4、分式PPT课件
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2
►知识点二 分式的基本性质 1．用字母表述 BA＝AB··MM，AB＝AA÷÷MM(M≠0，且 M 为①____整__式______) 2．分式的约分 (1)确定分子和分母公因式的方法： a．如果分子和分母都是单项式，取它们系数的最大公因数与相同字母的最低次
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12
分式化简的基本方法： (1)有括号先计算括号内的(加减法关键是通分)；(2)除法变为乘法；(3)分子分母 能因式分解的先进行分解；(4)约分；(5)进行加减运算：①通分：关键是寻找公分 母；②分子合并同类项；(6)得出代数式． 分式化简的注意事项：不要把分式化解与解分式方程的变形相混淆，随便将分 母去掉．
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10
分式的化简与求值 【例 2】 (2016 江西)先化简，再求值：(x＋2 3＋3－1 x)÷x2－x 9，其中 x＝6.
【思路点拨】 本题考查分式的化简求值．先算括号里面的，再算除法，最后 把x＝6代入进行计算即可．
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14
隐含条件中的计算错误 【例 3】 (2016 娄底)先化简，再求值：(1－x－2 1)·x2－x2－6xx＋9，其中 x 是从 1,2,3
中选取的一个合适的数． 解：原式＝(xx－ －11－x－2 1)·xxx－－312＝xx－ －31·xxx－－312＝x－x 3，由分式的意义知 x－
分式优秀课件
通过多做练习和总结，熟练掌握分式的运算规则 和技巧，提高计算准确性。
细心审题和检查
在解题过程中，要仔细审题并检查每一步的计算 结果，确保没有遗漏或错误。
常见错误类型
混淆分式与整式
将分式误认为是整式，导致后 续计算错误。
运算顺序错误
在分式运算中，未能按照正确 的运算顺序进行，导致结果错 误。
分子分母处理不当
在化简分式时，未能正确处理 分子或分母，导致结果偏离正 确答案。
忽视分母不为0
在进行分式运算时，忽视分母 不能为0的限制，导致分母出现
0的情况。
错误原因分析
对分式的概念理解不透彻
对分式的定义和性质理解不准确，导致在应用时出现混淆。
运算能力不足
对分式的运算规则掌握不够熟练，导致在计算过程中出现错误。
粗心大意
在解题过程中，未能仔细审题和检查，导致出现计算错误或遗漏重 要步骤。
避免错误的建议
加深对分式的理解
通过多做练习和总结，加深对分式的概念和性质 的理解，避免混淆。
分式加减法的步骤
先将各个分数化为同分母，然后根据同分母分式的加减法 则进行运算。
分式加减法的注意事项
进行分式加减法时要注意运算的顺序，即先进行乘除运算 ，再进行加减运算；同时要注意运算的符号，即同号得正 ，异号得负。
03
分式的应用
分式在生活中的应用
金融计算
分式在金融计算中有着广 泛的应用，如利息计算、 投资回报率等。
分式与整式的区别
总结词
分式和整式在形式和性质上有明显的区别。
详细描述
整式是由数字和字母通过有限次四则运算得到的代数式，如$x^2 + 2x + 1$。 而分式除了满足整式的条件外，还必须有一个非零分母，如$frac{x^2 + 1}{x 1}$。
分式4PPT教学课件
0
做一做
想一想
分式 选一选
§3.1 分 式
例题
随堂练习
试一试
知识链接
结 束 授课人： 2021/01/21
1
首 页 1. 正 n 边形的内角和为（
）
做一做 度，每个内角为（
）度。
想一想 2. 一箱苹果售价 a 元，箱子与苹 分 式 果的总质量为 m kg ，箱子的质
选一选 量为 m kg，则每千克苹果的售
选一选
x-1
⑵1 ⑶2
x2 –9
x2 +1
例题
随堂练习
当x取何值时，分式
试一试
知识链接 为零？
x -3 的值 x+3
结 束 2021/01/21
7
首页 做一做
X为何值时，分式 x –1 (x +2)(x -3)
想一想
分 式 有意义？
选一选
例 题 X为何值时，分式
随堂练习
试一试
知识链接 无意义？
x –1 (x +2)(x -3)
9
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汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/01/21
10
知识链接 都不能为零。
结 束 2021/01/21
4
首 页 下列各式 ：
做一做
想一想 17 x+y
x+1
2
分 式 2a , ∏ , 4x , 3x –1 ,
选一选
a+b
例题
3x2y3
随堂练习 523 , xy , 2a+b , 7a÷b
第四节 分式线性映射
1 所以当z在单位圆内 (外 )时w 在单位圆外 z 图7-16 1 (内),当z在上(下 )半平面时w 在下(上 )半 z dw 1 1 平面,当z 0时 2 0, 所以当z 0时反演映射w dz z z 是共形映射, 如果规定两条伸向无穷 远点的曲线在无穷远 1 点的交角等于它们由反 演映射w 所映成的过原点 w0 z
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
今后将把图7 16(a )这样由两圆弧围成的区 域称为" z 二圆域" ,因此根据边界对应原理 ,w k 把二圆域 z 映射为顶点在原点的角 形域.此外还应注意,因为直线段 被看作扩充复平面的圆 弧, 所以诸如半圆内部或半 圆外 部等也是二圆域.
例2 : 中心分别在z 1与z 1, 半径为 2的二圆弧所 zi 围成的区域(图7 17), 在映射w 下映成何区域? zi [解 ] 所设两个圆弧的交
a b a1 b1 a2 b2 c d c d c d 1 1 2 2 因此 ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0.
(4.3)
定理1 分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反 演四种变换复合得到 , 分式线性映射的复合仍 为分式线 性映射.
第4课时-分式(共21张PPT)
探究二 分式的基本性质的运用 式
命题角度： 1. 利用分式的基本性质进行通分； 2. 利用分式的基本性质进行约分．
例 2 [2015·益阳] 下列等式成立的是( C ) 1 2 3 A. ＋ ＝ a b a＋b ab a C. 2＝ ab－b a－b
考点聚焦
2 1 B. ＝ 2a＋b a＋b a a D. ＝－ －a＋b a＋b
1 1 － n n＋2 个等式(n为正整数)an＝______________.
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式
解析
观察等式发现，每个等式都是两个分数的
差，分子都是1，第1个分数的分母与等式的顺序数相同， 第2个分数的分母比第1个分数的分母大2，因此第n个等式 1 1 (n为正整数)an＝n－ . n＋2
【方法点析】 解决此类问题的一般方法是通过观察计算结果的变化规律， 猜想出一般性的结论，再利用分式的性质及运算予以证明．
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探究五 条件分式的求值问题 分式
命题动向 根据所给的代数式的值求相关分式的值. 例6 的值为 ( B ) A. 5 +1
1 (1) 2014· 十堰)已知a2-3a+1=0, 则a+ a
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分式
分式的 乘方
法则 分式的乘方是把分子、分母各自乘方 公式
an n ＝________( n为整数) b b
a
n
在分式的混合运算中，应先算乘方，再将 分式的 混合运 算 法则 除法化为乘法，然后进行约分化简，最后 进行加减运算，如果有括号，先算括号里 面的 特别 (1)实数的各种运算律也符合分式的运算； 说明 (2)分式运算的结果要化成最简分式或整式
第1部分 第1章 第4节 分式
第四节分式知识点考点分值考频等级考查难度常见题型分式分式的有关概念3～4分☆☆☆易选择题、填空题分式有意义、无意义的条件3～4分☆☆☆☆☆易选择题、填空题分式的基本性质3～4分☆☆☆易选择题、填空题分式的有关运算3～6分☆☆☆☆☆易、中选择题、填空题、解答题考点一：分式的有关概念核心点拨1．分式定义：一般地，形如AB(A，B是整式，且B中含有字母)的式子叫做分式．其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．判断分式的关键：看分母是否有字母．考点二：分式有意义、无意义的条件核心点拨2．分式有无意义的条件(1)分式有意义的条件：分母不等于0．分式是否有意义，关键是看分母：分母为0，则无意义，反之有意义．(2)分式无意义的条件：分母等于0．(3)分式值等于0的条件：①分子等于0，②分母不等于0．分式是否有意义，关键是看分母：分母为0，则无意义，反之有意义．考点三：分式的基本性质核心点拨3．分式的基本性质(1)基本性①语言叙述：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于分式的基本性质是分式约分和通分的理论基础．示：a b ±c b ＝a ±cb ．②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示：a b ±d c ＝ac bc ±bdbc ＝ac ±bd bc ．1 分式有意义及分式的值为0的条件 基础点考向1| 分式有意义的条件(2022·新泰月考)要使分式1x ＋2有意义，x 的取值应满足( ) A ．x ≠0 B ．x ≠－2 C ．x ≥－2D ．x >－2根据分母不等于0，求x 的取值范围． B 解析：∵ 分式1x ＋2有意义， ∴ x ＋2≠0． ∴ x ≠－2．故选B ．1－1 (2022·泰山区模拟)若分式13－x有意义，则x 的取值范围是________． x ≠3 解析：∵ 3－x ≠0， ∴ x ≠3．故答案为x ≠3．考向2| 若分式的值为0的条件若分式x 2－4x ＋2的值为0，则( )A ．x ＝－2B ．x ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝0分子等于0，且分母不等于0．C 解析：x 2－4x ＋2＝0，即x 2－4＝0且x ＋2≠0，得x ＝±2，且x ≠－2，所以x＝2．故选C ．2－1 (2022·北部湾经济区)当x ＝________时，分式2xx ＋2的值为零．0 解析：由题意得2x ＝0，且x ＋2≠0，解得x ＝0． 故答案为0．2 最简分式 基础点 下列分式中，最简分式是( )A ．x 2－1x 2＋1B ．x ＋1x 2－1C ．x 2－2xy ＋y 2x 2－xyD ．x 2－362x ＋12(1)分子、分母能因式分解的先因式分解； (2)观察分子、分母是否有公因式．A 解析：A ．x 2－1x 2＋1是最简分式，符合题意．B ．x ＋1x 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1，此项不是最简分式，不符题意． C ．x 2－2xy ＋y 2x 2－xy ＝(x －y )2x (x －y )＝x －yx ，此项不是最简分式，不符题意． D ．x 2－362x ＋12＝(x ＋6)(x －6)2(x ＋6)＝x －62，此项不是最简分式，不符题意．故选A ．3－1 (2022·岱岳区月考)下列分式属于最简分式的是( ) A ．6xy5x 2 B ．x －yy －xC ．x 2＋y 2x ＋yD ．x 2－9y 2x ＋3yC 解析：A ．原式＝6xy 5x 2＝6y5x ，不符合题意； B ．原式＝－1，不符合题意； C ．符合题意；D ．x 2－9y 2x ＋3y＝x －3y ，不符合题意．故选C ．3 分式的运算 能力点考向1| 分式的乘除(2022·宁阳检测)化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1÷a 2a 2－1的结果是( )A ．a ＋1B ．a ＋1aC ．a －1aD ．a ＋1a 2(1)先通分再因式分解，变除法为乘法；(2)分子、分母约分．B解析：原式＝a－1＋1a－1·(a＋1)(a－1)a2＝aa－1·(a＋1)(a－1)a2＝a＋1a．故选B．4－1(2022·东平月考)化简x2－1x÷(1－1x)的结果为()A．x＋1 B．x－1 xC．x D．1 xA解析：原式＝(x＋1)(x－1)x÷x－1x＝(x＋1)(x－1)x·xx－1＝x＋1．故选A．考向2| 分式的加减(2022·新泰模拟)化简a2a－1－a－1的结果是( )A．1a－1B．－1a－1C．2a－1a－1D．－2a－1a－1(1)把－a－1看成－a＋11，再通分；(2)按照同分母分式的减法法则运算．A 解析：a 2a －1－a －1＝a 2－a 2＋1a －1＝1a －1．故选A ．5－1 (2022·山西)化简1a －3－6a 2－9的结果是( ) A ．1a ＋3B ．a －3C ．a ＋3D ．1a －3A 解析：1a －3－6a 2－9＝a ＋3(a ＋3)(a －3)－6(a ＋3)(a －3)＝a ＋3－6(a ＋3)(a －3)＝a －3(a ＋3)(a －3)＝1a ＋3．故选A ． 5－2 (2022·怀化)计算x ＋5x ＋2－3x ＋2＝__________．1 解析：x ＋5x ＋2－3x ＋2＝x ＋5－3x ＋2＝x ＋2x ＋2＝1． 故答案为1．考向3| 分式的混合运算(2021·滨州)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2－4x ＋4－x ＋2x 2－2x ÷x －4x －2．(1)将括号内的式子通分；(2)将括号外的除法转化为乘法，再约分． 答案：－1x 2－2x解析：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1(x －2)2－x ＋2x (x －2)·x －2x －4＝x 2－x －x 2＋4x (x －2)2·x －2x －4＝－(x －4)x (x －2)·1x －4＝－1x 2－2x．6－1 (2021·济宁)计算a 2－4a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－5a －4a 的结果是( ) A ．a ＋2a －2B ．a －2a ＋2C ．(a －2)(a ＋2)a D ．a ＋2aA 解析：原式＝a 2－4a ÷[a (a ＋1)－(5a －4)a ]＝(a ＋2)(a －2)a ÷a 2＋a －5a ＋4a＝(a ＋2)(a －2)a ·a(a －2)2 ＝a ＋2a －2．故选A ．1．分数线除了具有除法的作用，还具有括号的作用．进行分式的加减时，通分后，要把每个分式的分子添上括号，再进行加减，这样可避免出现符号错误．2．分式与整式加减时，可把整式看作是分母是1的式子． 3．最后的结果要化成最简分式，并且不带括号．4 分式的化简求值 综合点例 7 (2021·威海)先化简⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a －3－a －1÷a ＋1a 2－6a ＋9，然后从－1,0,1,3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．(1)小括号内进行通分，对多项式进行因式分解； (2)除法转化为乘法，化简约分；(3)由分式有意义的条件得到a 的取值，代入求值． 答案：2a －6 －4或－6解析：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 2－1a －3－(a ＋1)÷a ＋1(a －3)2 ＝a 2－1－(a ＋1)(a －3)a －3·(a －3)2a ＋1＝2(a ＋1)a －3·(a －3)2a ＋1＝2(a －3)＝2a －6．∵ a ＝－1或3时，原式无意义，∴ a 只能取1或0． 当a ＝1时，原式＝2－6＝－4； 当a ＝0时，原式＝0－6＝－6．7－1 (2022·肥城模拟)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－3a －1÷a 2＋4a ＋4a －1，其中a＝tan 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－π0．答案：a －2a ＋20 解析：(a ＋1－3a －1)÷a 2＋4a ＋4a －1＝(a 2－1a －1－3a －1)÷(a ＋2)2a －1＝a 2－4a －1÷(a ＋2)2a －1 ＝(a ＋2)(a －2)a －1·a －1(a ＋2)2＝a －2a ＋2．∵ a ＝tan 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－π0＝1＋2－1＝2， ∴ 原式＝a －2a ＋2＝2－22＋2＝0．分式命题点1| 分式的相关概念1．(2022·怀化)代数式25x ，1π，2x 2＋4，x 2－23，1x ，x ＋1x ＋2中，属于分式的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B 解析：分母中含有字母的是2x 2＋4，1x ，x ＋1x ＋2，∴ 分式有3个．故选B ．2．(2022·肥城检测)要使分式1x ＋2有意义，x 的取值应满足( ) A ．x ≠0 B ．x ≠－2 C ．x ≥－2 D ．x ＞－2B 解析：要使分式1x ＋2有意义， 则x ＋2≠0．解得x ≠－2．故选B ． 3．(2021·桂林)若分式x －2x ＋3的值等于0，则x 的值是( ) A ．2B ．－2C．3D．－3A解析：∵x－2x＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x－2＝0，x＋3≠0.解得x＝2．故选A．4．若ab＝13，则分式ab－a的值为______．12解析：∵ab＝13，∴b＝3a．∴ab－a＝a3a－a＝a2a＝12．故答案为12．命题点2| 分式的基本性质1．(2022·北京)若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是()A．2＋xx－yB．2xx－yC．2＋xxy D．x2x＋yB解析：A．2＋3x3x－3y≠2＋xx－y，不符合题意．B．2×3x3x－3y＝2xx－y，符合题意．C．2＋3x3x×3y≠2＋xxy，不符合题意．D．(3x)23x＋3y≠x2x＋y，不符合题意．故选B．2．(2022·东平模拟)将分式5m2x210mx2约分时，分子分母同时除以()A．5m B．5mxC．mx D．5mx2D解析：5m2x2和10mx2的公因式为5mx2．故选D．3．(2022·宁阳检测)化简1－xx2－1的结果是()A．－1x＋1B．1x－1C．1x＋1D．11－xA解析：1－xx2－1＝－(x－1)(x＋1)(x－1)＝－1x＋1．故选A．4．下列分式中是最简分式的是()A．a2－b2a＋bB．1510xC．4ab10a2D．xx＋yD解析：A．a2－b2a＋b＝(a＋b)(a－b)a＋b＝a－b，故此选项不是最简分式；B．1510x＝32x，故此选项不是最简分式；C．4ab10a2＝2b5a，故此选项不是最简分式；D．xx＋y的分子与分母没有公因式，故此选项是最简分式．故选D．命题点3| 分式的有关运算1．(2021·贵阳)计算xx＋1＋1x＋1的结果是()A．xx＋1B．1x＋1C．1D．－1C解析：xx＋1＋1x＋1＝x＋1x＋1＝1．故选C．2．(2022·山西)化简1a－3－6a2－9的结果是()A ．1a ＋3B ．a －3C ．a ＋3D ．1a －3 A 解析：1a －3－6a 2－9 ＝a ＋3(a ＋3)(a －3)－6(a ＋3)(a －3) ＝a ＋3－6(a ＋3)(a －3)＝a －3(a ＋3)(a －3) ＝1a ＋3．故选A ． 3．(2022·新泰检测)计算(a －1b )÷(1a －b )的结果是( )A ．－a bB ．a bC ．－b aD ．b aA 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1b ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＝ab －1b ÷1－ab a ＝ab －1b ·a －(ab －1)＝－a b ．故选A ． 4．(2022·自贡)化简：a －3a 2＋4a ＋4·a 2－4a －3＋2a ＋2＝________． a a ＋2 解析：a －3a 2＋4a ＋4·a 2－4a －3＋2a ＋2＝a －3(a ＋2)2·(a ＋2)(a －2)a －3＋2a ＋2＝a －2a ＋2＋2a ＋2＝a a ＋2．故答案为aa＋2．5．(2021·沈阳)化简：(1x－4－8x2－16)·(x＋4)＝________．1解析：(1x－4－8x2－16)·(x＋4)＝[x＋4(x＋4)(x－4)－8(x＋4)(x－4)]·(x＋4)＝x－4(x＋4)(x－4)·(x＋4)＝1．故答案为1．6．(2021·包头)化简：(2mm2－4＋12－m)÷1m＋2＝______．1解析：(2mm2－4＋12－m)÷1m＋2＝[2m(m＋2)(m－2)－m＋2(m＋2)(m－2)]÷1m＋2＝1m＋2·(m＋2)＝1．故答案为1．。
八年级下册分式讲解
八年级下册分式讲解
分式是数学中一种重要的代数表达式，表示两个整式A和B的比值，形如
A/B，其中B≠0。
分式的定义可以理解为分式的分子和分母乘上一个非零常数，其值不变。
此外，分式还有其基本性质、符号规则以及约分等知识点。
在八年级下册的数学学习中，分式作为一个重要的概念，主要用于解决一些实际问题，如计算、建模等。
掌握分式的基本知识，对于提高数学解题能力和培养数学思维都有很大的帮助。
分式的四则运算法则包括：
1. 同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
2. 异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
3. 分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
4. 分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被
除式相乘。
5. 分式的乘方法则：分子、分母分别乘方。
此外，还有分式方程的意义和解法等知识点需要掌握。
以上内容仅供参考，建议查阅教科书或咨询专业教师获取更全面准确的信息。
第4讲 分 式
),
1 ������������
=
(b
������������ 2
);
������ = ������·( M
������
������·������
),
������ ������
=
������ ÷ ������
������÷( M
(M≠0);
)
(2)约分:������
2
������2-9 =
则分式的值( D )
A.是原来的 20 倍
B.是原来的 10 倍
C.是原来的110
D.不变
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数学
9.(2017 广州)计算(a2b)3·������������2的结果是( A )
A.a5b5
B.a4b5
C.ab5
D.a5b6
10.(2014 广东)先化简,再求值:
2 ������-1
+
1 ������+1
解:原式=(
-) -
÷
-=-
· - =ab.
当 a= -1,b= +1 时,原式=( -1)×( +1)=1.
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数学
6.(2019 广州)已知 P=������22-������������2 − ������+1������(a≠±b). (1)化简 P; (2)若点(a,b)在一次函数 y=x- 2的图象上,求 P 的值.
-1 时,原式=
=
-1
+1.
返回
数学
13.(2017 广东)先化简,再求值:
1 ������-2
+
1 ������+2
·(x2-4),其中 x=
北师大版数学八年级下册《分式》4
么甲车从A城行驶到B城所用的时间为_v__h,乙车从A
m 城行驶到B城所用的时间为_v__1_0_h.
代数式
1,
a
b a
,
v
m 10
，m
v
有什ห้องสมุดไป่ตู้共同特征？
A 分式：形如 B 的形式,其中A，B都是整式，
且B中含有字母，像这样的代数式叫做分式，
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
开动脑筋 判断下列式子中哪些是分式。
(1) 1 (2) a 5 (3) c (4) m n
x
2a 3 3a b m n
√
√
√
√
1 (5)1 b2 1 (6) 3
(7)
1
(8)
4√x 1
x 3
A
分式 中,
B
1、无意义的条件是什么? B=0 2、有意义的条件是什么? B≠0 3、分式的值为0的条件是什么？A=0且B≠0
中，
分式是（1）（3）（4）
.
2、当x__≠__-_1____时，分式 x 3 有意义。
-1 3、已知分式
x 1
x 1
的值为0，那么x的值为_________。
x 1
2x
4、当x=4时，分式
k
的值为0，则k=__8_____。
x 1
通过这节课的学习， 谈谈你有哪些收获?
1、知道了分式的概念。 2、知道了分式有意义和值为0的条件。 3、掌握了分式的基本性质。 4、渗透了类比的数学思想。
• 教材28页，习题 1、2。
提高作业
当X取何值时，分式
2 x 有意义。
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(a 2)2
a2
＝ a ÷a 2 2
(a 2)2
a2
＝ a ·a 2
(a 2)2 a
＝1
a2 当a＝ 3
2 时，原式＝
1 32
＝1 ＝ 3
2
33
÷(1－ 2a
4
a2
4 )，其中a＝ 3 －2.
4
第四节 分式
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15. (2013曲靖卷18题10分)化简：( 2x2 2x － x2 x )÷ x ，并解答：
2021 云南
数学
目 录
1 玩转云南8年中考真题
2 考点精讲
3 核心素养提升
第四节 分式
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玩转云南8年中考真题
命题点 1 分式有意义及值为0的条件(昆明卷2考)
1. (2020昆明卷4题3分)要使 x 5 1 有意义，则x的取值范围是___x_≠_－__1_．
玩转真题 拓展训
练
2. (2020昆明五华区一模)代数式 1 有意义时，x应满足的条件是___x_＞__8__．
最大公约数）作为公因式
温馨提示
若分子、分母是多项式,应先把分子、分母分解因式,然后再根据以上方
法确定公因式
第四节 分式
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分式 运
的加 算
减
同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减．即 b ± c =
aa
异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式再加减．即
b
±
b d
c
a
.
通分:异化同
第四节 分式
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任务三：除纠正上述情况外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意 的事项给其他同学提一条建议．
解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分、通分时，应根据分 式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．
第四节 分式
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全国视野
【推荐原因】2019、2018年山西中考试题均参与教育部试题评估，2020年山西中考 试题第16(2)题考查分式化简，以写依据和找错的形式出题，且找错类试题为近两年 中考试题的高频命题形式，在吉林、贵阳、杭州、舟山、嘉兴等中考试题也有此类 型试题的考查． 【素养立意】本题考查分式化简，给出化简步骤，让学生填写化简的依据并纠正错 误，学生不仅要掌握分式化简的运算法则，还要理解分式化简的本质，任务三提建 议体现了试题的开放性，引导学生养成检查、纠正与反思总结的学习习惯，注重过 程性学习．
x
＝___x_+_2___．
玩转真题 拓展训
练 6. 化简：x＋1－ x2
1 2x ＝___x___1__．
7. 化简： a2
x a2 b2
2ab b2
1 ＋
a ba
b
＝___a___b__．
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第四节 分式
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全国视野 创新考法
8. 若分式 x2 □ x x1 x1
的运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为( D )
A. ＋或－
B. ×或÷
C. ＋或×
D. －或÷
9. 下列分式化简运算中，每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是
___④_____．(只填写序号)
计算： 3a ＋ a ab a
4b b
.
解：原式＝3a a 4b ①同分母分式的加减法法则
＝ 4a 4b ab
＝ 4(a b)
ab
②合并同类项法则 ③提公因式法
9
＋
3x x2
3 1
，再求当x＋1与
x＋6互为相反数时代数式的值．
x
( x 3)2
3( x 1)
解：原式＝ x 3 ·x( x 1) ＋ ( x 1)( x 1)
＝ x 3＋ 3 x1 x1
＝x 6 x1
由x＋1与x＋6互为相反数，得x＋1＝－(x＋6)，
∴原式＝－1
第四节 分式
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19. (2018曲靖卷16题6分)先化简，再求值：( 1 － b )÷ a2 ab ＋b2
x＝
x1
分式 运
的乘 算
(除)
x＝ x
x1 1x
乘法:用分子的积作为积的分子,用分母的积作为积的分母．即
除法:把除式的分子分母颠倒位置后,与被除式相乘．即
a
·
b
d c
分式乘法 a d bc
a b
÷d
c
a×d
bc
=
ad bc
除式颠倒;除转乘
.
约分 关键 找公因式:取分子、分母的相同因式的最低次幂的积(数字因式的
bc ad
ac
ac
.
通分 关键 找最简公分母:取各分母的所有因式的最高次幂的积(数字因式的最
小公倍数)作为公分母
温馨提示
如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母
第四节 分式
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全国视野 核心素养提升
1. (2020山西)下面是小彬同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x2 9 x2 6x
9
－ 2x 2x
1 6
＝ ( x 3)( x 3) － 2x 1 第一步
( x 3)2
2( x 3)
＝ 2x 6 (2x 1) 2( x 3)
第四步
＝ x 3－ 2x 1 x 3 2( x 3)
第二步
＝ 2x 6 (2x 1) 2( x 3)
第五步
＝ 2( x 3) － 2x 1
第四节 分式
考点精讲
【对接教材】人教：八上第十五章P126－P142； 北师：八下第五章P107－P124.
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第四节 分式
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有关概念
A
定义:形如 B
分式有意义的பைடு நூலகம்件:
分式值为零的条件:
(A、B 都是整式,且B 中含有 字母 ,B≠0)的式子
分母不为0(或B≠0)
2( x 3)
2( x 3)
第三步
＝
5
2x 6
第六步
第四节 分式
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任务一：填空：①以上化简步骤中，第_三___步是进行分式的通分，通分的依据是 ____分__式__的__基__本__性__质_____，或填为： _____分__式__的__分__子__与__分__母__都__乘__(_或__除__以__)_同__一__个__不__为__零__的__整__式__,分__式__的__值__不__变________；
a1
a1
a1
＝ a2 a2 1 ·(a 1)(a 1)
a1
a
＝a .
a1
当a＝
2 时，原式＝
2 1＝ 2 2
2
2
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第四节 分式
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类型二 间接给值(昆明卷2018.16)
17. (2018昆明卷16题7分)先化简，再求值：( 1 +1 )÷ a2 1 ，其中a＝tan60°
a2
3a 6
－|－1|.
＝4. a b
④等式的基本性质
第四节 分式
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命题点 3 分式化简求值(省卷3考)
类型一 直接给定值(省卷3考，昆明卷2014.17)
10. (2020省卷15题6分)先化简，再求值：x2 4x 4÷ x2 2x ，其中x＝ 1 .
( x 2)2
x2
1 x2 4
x2
2
解：原式＝ ( x 2)( x 2)＋ x( x 2) ＝ x
a b a2 b2
a2 2ab b2
，其中a，b满足a＋b－1 ＝0.
解：原式＝(
a a2
b b2
－2
b a2 b2
)÷ a2
a2 ab 2ab
b2
＝
a
(a b)2
·
(a b)(a b) a(a b)
＝1 ab
∵a＋b－
1 2
＝0，
∴a＋b＝
1 2
， 1
∴原式＝ 1 ＝2.
2
第四节 分式
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20. (2014曲靖卷18题8分)先化简，再求值： x2 － 1 ÷
解：原式＝ x
x2
3÷
(
x
2x 3)2
4
x 2 2( x 2)
＝ x 3 · 2( x 2) x 2 ( x 3)2
＝2 .
x3
∵2≤x≤4，
又∵x≠2且x≠3，
∴x＝4，
∴原式＝ 2 ＝2.
43
思维导图
定义 分式有意义的条件 分式值为零的条件
有关概念
符号法则
分式
基本性质
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运算
分式的乘（除） 分式的加减
解：原式＝( 1 ＋ a 2 )÷ (a 1)(a 1)
a2 a2
3(a 2)
＝ a 1 · 3(a 2) a 2 (a 1)(a 1)
＝3
a1
∵a＝tan60°－|－1|＝ 3 1 ，
∴原式＝
3
＝ 3＝ 3
311
3
第四节 分式
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18. (2016曲靖卷17题7分)先化简：x x
3
÷
x2 x x2 6x
解：原式＝[ x 2 － x ]· x x( x 1) x( x 1) x 1
＝x 2 x · x x( x 1) x 1
＝ 2 ·x x( x 1) x 1
＝2 ( x 1)2
当x＝ 2 ＋1时，
2
2
原式＝ (2
1
1)2＝ ( 2)2 ＝1