湖北省襄阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
湖北省襄阳市2019-2020年度高三上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
湖北省襄阳市2019-2020年度高三上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·邵阳模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高三上·大庆期末) 设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A . 2B . ﹣2C .D .3. （2分） (2019高二上·砀山月考) 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A . ﹣2B . ﹣2或﹣1C . 1或﹣3D . ﹣2或6. （2分） (2018高三上·张家口期末) 将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数关系式为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·龙岩模拟) 数列{an}中，若存在ak ，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个H值．现有如下数列：①an=1﹣2n；②an=sinn；③an= ④an=lnn﹣n，则存在H值的数列有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）(2016·中山模拟) 过点P（4，﹣3）作抛物线y= x2的两切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（）A . 2x﹣y+3=0B . 2x+y+3=0C . 2x﹣y﹣3=0D . 2x+y﹣3=09. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 在等差数列中，已知，则该数列的前项和等于（）．A .B .C .D .10. （2分） (2017·乌鲁木齐模拟) 已知向量满足| |=2，| |=1，且（）⊥（2 ﹣），则的夹角为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高三上·承德期末) 已知函数f（x）=ex﹣1﹣ax（a＞1）在[0，a]上的最小值为f（x0），且x0＜2，则实数a的取值范围是（）A . （1，2）B . （1，e）C . （2，e）D . （，+∞）12. （2分） (2018高一上·大石桥期末) 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由________ 块木块堆成．14. （1分）已知（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 ，若a=（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2 ，则dx=________15. （1分） (2016高一下·钦州期末) 设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为________．16. （1分）若函数y=f（x﹣1）的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则f（x）=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2020·天津模拟) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求的值（2）若（i）求的值（ii）求的值.18. （10分）(2020·汨罗模拟) 已知等差数列的前n项和为，公差d为整数，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和 .19. （10分）(2016·河北模拟) 雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数4612733（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率；（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20. （5分）(2017·广元模拟) 如图，在四棱锥E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若AB=2 ，AE=3 ，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B﹣AE ﹣D的余弦值．21. （5分）(2017·天水模拟) 已知椭圆M： + =1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2 ，求|S1﹣S2|的最大值．22. （10分） (2018高二下·济宁期中) 某人用一网箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该网箱中华鲟的产量（单位：百千克）与购买饲料费用（）（单位：百元）满足： .另外，饲养过程中还需投入其它费用 .若中华鲟的市场价格为元/千克，全部售完后，获得利润元.（1）求关于的函数关系式；（2）当为何值时，利润最大，最大利润是多少元？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、第11 页共12 页20-1、21-1、22-1、22-2、第12 页共12 页。
湖北省襄阳市、孝感市19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
湖北省襄阳市、孝感市19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={1,2，3}，B={x|x2−2x≥0}，则A∩B=()A. {2}B. {3}C. {1,2}D. {2,3}2.复数z=5+i1+i的虚部为()A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.若直线x+y+a=0平分圆x2+y2−2x+4y+1=0的面积，则a的值为()A. 1B. −1C. 2D. −24.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,−2)，且a⃗⋅b⃗ =−3，则|a⃗+b⃗ |=()A. 1B. 2C. 3D. 45.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.6.若x，y满足约束条件{x−y+5≥0,x+y≥0,x≤3,则z=2x+4y的最小值是()A. −6B. −10C. 5D. 107.某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为()A. 36B. 96C. 114D. 1308.“x>1”是“2x>1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是()A. y=cos2xB. y=1+sin(2x+π4) C. y=2cos2x D. y=2sin2x10.关于函数f(x)=1x (1+2e x−1)有下列结论：①图像关于y轴对称；②图像关于原点对称；③在(−∞,0)上单调递增；④f(x)恒大于0．其中所有正确结论的编号是：()A. ①③B. ②④C. ③④D. ①③④11.已知抛物线C：x2=2py的焦点为F，定点M(2√3,0).若直线FM与抛物线C相交于A，B两点(点B在F，M中间)，且与抛物线C的准线交于点N，若|BN|=7|BF|，则AF的长为A. 78B. 1 C. 76D. √312.在三棱锥D−ABC中，AC=BC=BD=AD=√2CD，并且线段AB的中点O恰好是其外接球的球心．若该三棱锥的体积为4√33，则此三棱锥的外接球的表面积为()A. 64πB. 16πC. 8πD. 4π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知三个数(12)π,log23,log2π，其中最大的数是__________14.已知F是双曲线C：x2−y23=1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|=|OF|，则△OPF的面积为________．15.已知数列{a n}满足对n∈N∗，有a n+1=11−a n ，若a1=12，则a2015=______ ．16.已知函数f(x)=(x+1)sinx+cosx，若对于任意的x1,x2∈[0,π2](x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|<a|e x1−e x2|成立，则实数a的取值范围为_______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=cos x2(√3sin x2+cos x2)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若f(x)=1，求cos(2π3−2x)的值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，PA=2AD，AD//BC，DB=DC，AD=2，BC=6，∠ABC=60°．(Ⅰ)求证：PD⊥BC；(Ⅱ)求二面角D−PA−B的余弦值；(Ⅲ)求证：AB⊥平面PCD．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点A(1,32)在椭圆C上，直线l1过椭圆C的右焦点与上顶点，动直线l2：y=kx与椭圆C交于M，N两点，交l1于P点．(1)求椭圆C的方程；|MN|，求此时|MN|的长度．(2)已知O为坐标原点，若点P满足|OP|=1420.黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程．持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况(单位：百元)，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如下所示的频数分布表：(1)求所得样本的中位数(精确到百元)；(2)根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布N(45,152).若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；(3)若年旅游消费支出在40(百元)以上的游客一年内会继续来该景点游玩．现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分．将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立．记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．附：若x～N(μ,σ2)，则p(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，p(μ−2σ<x≤μ+2σ)=0.9544，p(μ−3σ≤μ+3σ)=0.997321.己知f(x)=e x−alnx−a，其中常数a>0.当a=e时，求函数f(x)的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosθ,y=2sinθ+2(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√22．(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求▵OAB的面积．23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x−1|(1)解不等式f(x)≤x+2;(2)若函数g(x)=|x+2019|+|x+2021−a|，若对于任意的x1∈R，都存在互x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：B={x|x≤0，或x≥2}；∴A∩B={2,3}．故选：D．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：解：∵z=5+i1+i =(5+i)(1−i)(1+i)(1−i)=6−4i2=3−2i，∴复数z=5+i1+i的虚部为−2．故选：B．直接由复数代数形式的乘除运算化简后得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆的条件，属于基础题．根据题意，由圆的方程分析圆的圆心，进而分析可得圆心在直线x+y+a=0上，将圆心坐标代入直线方程即可得答案．解：根据题意，圆的方程为x2+y2−2x+4y+1=0，其圆心为(1,−2)，若直线x+y+a=0平分圆x2+y2−2x+4y+1=0的面积，则圆心在直线x+y+a=0上，则有1−2+a=0，解可得a=1.故选A．4.答案：B解析：本题考查了向量的数量积，考查求向量的模，是一道基础题．根据向量的数量积求出x的值，从而求出a⃗+b⃗ 的坐标，求出a⃗+b⃗ 的模即可．解：a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,−2)，a⃗⋅b⃗ =x−4=−3，解得：x=1，所以a⃗+b⃗ =(2,0)，即|a⃗+b⃗ |=2，故选：B．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．6.答案：A解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x−y+5≥0,x+y≥0,x≤3,作出可行域如图，联立{x =3x +y =0，解得A(3,−3)， 化目标函数z =2x +4y 为y =−12x +z 4，由图可知，当直线y =−−12x +z 4过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为−6．故选A ．7.答案：D解析：该题考查了排列组合的综合应用以及分类加法计数原理的知识，考查了学生的分析与计算能力，属中档题．该题运用排列组合及分类加法计数原理算出该值．解：甲去A 校，再分配其他的5个人，如果都不去A 校，则分配方法有A 22×23=16种，如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有(C 53−C 31)A 33=42种，如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有(C 52C 322!−C 32)A 33=72种，由加法原理可得不同分配方法数为16+42+72=130种．故选D ．8.答案：A解析：解：由2x >1得x >0，则“x >1”是“2x >1”的充分不必要条件，故选：A ．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．9.答案：C解析：本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数关系式的恒等变换，属于基础题型．首先根据函数图象的平移变换求出函数的解析式，进一步利用函数关系式的恒等变形求出结果．解：函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，得到：f(x)=sin[2(x+π4)]=cos2x再把函数的图象向上平移1个单位，得到：g(x)=cos2x+1=2cos2x故选C．10.答案：D解析：本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，属于较难题．逐个判断即可．解：函数f(x)=1x (1+2e x−1)=1x·e x+1e x−1，∴f(−x)=1(−x)·e−x+1e−x−1=1x·e x+1e x−1=f(x)，故f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故①正确；②错误；f′(x)=−2xe x−e2x+1[x(e x−1)]2，当x>0时，−e2x+1<0，∴−2xe x−e2x+1<0，∴f′(x)<0，故当x>0时，函数为减函数，因为函数为偶函数，故函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，故③正确；当x>0时，e x>0,e x−1>0,∴1+2e x−1>0,1x(1+2e x−1)>0，因为函数为偶函数，故函数f(x)在(−∞,0)上仍然满足f(x)>0，故f(x)恒大于0，故④正确．故选D．11.答案：C解析：本题考查了抛物线的概念和性质，直线的截距式方程，是中档题．联立直线FM与抛物线方程，求解AF的长即可．解：依题意，焦点F(0,p2)，点M(2√3,0)，故直线FM为y−0p2−0=√30−2√3，联立抛物线方程x2=2py，结合|BN|=7|BF|，即解|AF|=76，故选项C正确．12.答案：B解析：本题考查三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．依题意，由三棱锥D−ABC的体积为4√33，求得球的半径，即可求得结果．解：设棱锥D−ABC的外接球的半径为R，由球心O恰好是线段AB的中点，得AC⊥BC，AD⊥DB，由AC=BC=BD=AD=√2CD，所以AC=BC=BD=AD=√2CD=√2R，AB⊥OD，AB⊥OC，所以OC=OD=CD=R，即三角形DOC为正三角形，AB⊥面DOC，所以V D−ABC=13SΔDCO×AB=13×√34R3×2R=4√33．解得：R=2，所以三棱锥D−ABC的外接球的表面积为．故选B.13.答案：解析：由指数函数的性质知0<(12)π<1，1<log23<log2π，所以最大数是log2π，故答案是log2π．14.答案：32解析：本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：x2−y23=1的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，得到sin∠POF，再由三角形面积公式求解．解：不妨设F为双曲线C：x2−y23=1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2=1，b2=3，则c=√a2+b2=2，则以O 为圆心，以2为半径的圆的方程为x 2+y 2=4． 联立{x 2+y 2=4x 2−y 23=1,解得x =±√72，y =±32．∴sin∠POF =34．则S △OPF =12×2×2×34=32． 故答案为32．15.答案：2解析：本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由a n+1=11−a n，a 1=12，可得a 2=2，a 3=−1，a 4=12，…，因此a n+3=a n .即可得出．解：∵a n+1=11−a n，a 1=12，∴a 2=2，a 3=−1，a 4=12，…，∴a n+3=a n ．∴a 2015=a 3×671+2=a 2=2． 故答案为2．16.答案：[1,+∞)解析：考查了构造函数法求最值，恒成立问题，难度大．把|f(x 1)−f(x 2)|<a|e x 1−e x 2|转化为构造函数g(x)=xsinx +√2sin(x +π4)−ae x ，只需g(x)在[0,π2]递减的问题，求出即可．解：f′(x)=sinx +xcosx −sinx +cosx =(x +1)cosx ≥0， 故f(x)在[0,π2]递增，不妨设x 1>x 2，则e x 1>e x 2，f(x 1)>f(x 2)，所以|f(x 1)−f(x 2)|<a|e x 1−e x 2|，得f(x 1)−f(x 2)<ae x 1−ae x 2成立， 即：f(x 1)−ae x 1<f(x 2)−ae x 2，构造函数g(x)=xsinx+√2sin(x+π4)−ae x，只需g(x)在[0,π2]递减，即g′(x)=cosx+xcosx−ae x≤0…①成立，令ℎ(x)=cosx+xcosx，分离参数即a≥e−xℎ(x)=F(x)，F′(x)=e−x(−sinx−xsinx−xcosx)≤0，所以F(x)在[0,π2]递减，故a≥F(x)max=F(0)=1，即a的最小值为1．故答案为[1,+∞)．17.答案：解：(1)函数f(x)=cos x2(√3sin x2+cos x2)=√32sinx+12cosx+12=sin(x+π6)+12，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π．令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2，k∈z，可得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3，k∈z．故函数y=f(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3]，k∈z．(2)函数f(x)=sin(x+π6)+12=1，即sin(x+π6)=12，故cos(2π3−2x)=cos2(π3−x)=2cos2(π3−x)−1=2sin2(x+π6)−1=−12．解析：(1)利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f(x)的解析式为sin(x+π6)+12，由此可得函数的最小正周期，再令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2，k∈z，可得x的范围，即可求得单调递增区间．(2)由函数f(x)=1求得sin(x+π6)=12，再由cos(2π3−2x)=cos2(π3−x)利用二倍角公式、诱导公式求得结果．本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、诱导公式的应用，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．18.答案：证明：(Ⅰ)∵在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PD⊥AD，∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．解：(Ⅱ)取BC 中点E ，连结DE ，则DE ⊥AD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，平面PAD 的法向量n⃗ =(0,1，0)， A(2,0，0)，B(3,√3,0)，P(0,0，2√3)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,−2√3)， 设平面PAB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +√3y −2√3z =0，设z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)，设二面角D −PA −B 的平面角为θ， 则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5=√55，由图可知θ为钝角， ∴二面角D −PA −B 的余弦值为−√55．证明：(Ⅲ)C(−3，√3，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−2√3)， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,−2√3)， ∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，∵PD ∩PC =P ，PD ，PC ⊂平面PCD ， ∴AB ⊥平面PCD ．解析：(Ⅰ)由平面PAD ⊥平面ABCD ，PD ⊥AD ，得PD ⊥平面ABCD ，由此能证明PD ⊥BC ． (Ⅱ)取BC 中点E ，连结DE ，则DE ⊥AD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D −PA −B 的余弦值．(Ⅲ)推导出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，由此能证明AB ⊥平面PCD ． 本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)由题意得e =c a =12，1a2+(32)2b 2=1，结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，c =1． 故所求椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)易知定直线l 1的方程为√3x +y −√3=0． 联立{y =kx x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2=12，解得x =±√123+4k 2，无妨令M 点坐标为(√123+4k 2,k√123+4k 2)．∵|OP |=14|MN |，由对称性可知，点P 为OM 的中点，故P 点坐标为(√123+4k 22,k√123+4k 22)．又P 在直线l 1：√3x +y −√3=0上， 故√3×√123+4k 22+k√123+4k 22−√3=0，解得k 1=0，k 2=2√33.故M 点坐标为(2,0)或(65,4√35)．所以|OM |=2或2√215，所以|MN |的长度为4或4√215．解析：本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．(1)由题意设出椭圆的标准方程，并得到a ，c 的关系，联立求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)联立直线方程和椭圆方程，求出M 点坐标，结合|OP |=14|MN |，可求得M 点坐标为(2,0)或(65,4√35)，即可求解；20.答案：解：(1)设样本的中位数为x ，则101000+3901000+4001000．(x−40)20=0.5，解得x =45，所得样本中位数为45(百元)． (2)μ=45，σ=15，μ+2σ=75，旅游费用支出在7500元以上的概率为P(x ≥μ+2σ)=1−P(μ−2σ<x<μ+2σ)2=1−0.95442=0.0228，0.0228×750=17.1，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上．(3)由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6，P(x =3)=(25)3=8125，P(x =4)=C 31(35)(25)2=36125， P(x =5)=C 32(35)2(25)=54125，P(x =6)==27125，故其分布列为：E(X)=3×8125+4×36125+5×54125+6×27125=245．解析：本题考查正态分布的概率的计算，离散型随机变量的分布列以及期望的计算，属于中档题． (1)由中位数得101000+3901000+4001000．(x−40)20=0.5，解得x =45，(2)μ=45，σ=15，μ+2σ=75，由正态分布计算即可； (3)由离散型随机变量求概率，期望．21.答案：解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a =e 时，f(x)=e x −elnx −e ，f′(x)=e x −ex ， 而f′(x)=e x −ex 在(0,+∞)上单调递增，又f′(1)=0，当0<x <1时，f′(x )<f′(1)=0，则f(x)在(0,1)上单调递减； 当x >1时，f′(x )>f′(1)=0，则f(x)在(1,+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(1)=0，没有极大值．解析：本题考查导数的运用：求函数的极值，属基础题．先求出a =e 时函数的导数，求出单调区间，即可求得极值．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2sinθ+2，(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4．直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√22转，整理得ρ(sinθ⋅√22+cosθ⋅√22)=3√22换为直角坐标方程为x +y −3=0．(2)由于圆心(0,2)到直线x +y −3=0的距离d =√2=3√22， 所以|AB|=2√22−12=√14，所以S △OAB =12×√14×3√22=3√72．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)当x ≤−1时，不等式f(x)≤4可化为：−3x ≤x +2，解得：x ≥−12(舍去)；当−1<x <12时，不等式f(x)≤4可化为−x +2≤x +2，解得：x ≥0，即0≤x <12；当x ≥12时，不等式f(x)≤4可化为3x ≤x +2，解得：x ≤1，即12≤x ≤1．综上可得：不等式f(x)≤x +2的解集为[0,1]； (2)g(x)=|x +2019|+|x +2021−a|，则g(x)=|−x −2019|+|x +2021−a|≥|−x −2019+x +2021−a|=|a −2|， f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x <123x,x ≥12，图象如图：则当x =12时，函数f(x)取最小值32，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立， 则|a −2|≤32，解得：12≤a≤72．故实数a的取值范围为[12,7 2 ].解析：(1)由函数f(x)=|x+1|+|2x−1|，利用零点分段法，可得不等式f(x)≤x+2的解集；(2)利用放缩法求得g(x)的最小值为|a−2|，由分段函数求得f(x)的最小值为32，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，则|a−2|≤32，求解可得实数a的取值范围．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，是中档题．。
2019-2020学年湖北省襄阳市四校高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省襄阳市四校高二上学期期中数学试题一、单选题1．过两点1,,,))3((2A y B -的直线的倾斜角是135︒，则y 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．5- D ．5【答案】B【解析】由题意利用直线的斜率的定义和公式可得3tan135112y +︒==--，由此求得y 的值． 【详解】 解：过两点(1,)A y ，(2,3)B -的直线的倾斜角是135︒，3tan135112y +∴︒==--，2y ∴=-， 故选B ． 【点睛】本题主要考查直线的斜率的定义和公式，属于基础题．2．设,,m n q 是不同的直线，,αβ是两个不同的平面. 下列命题中正确的是（ ） A ．若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥ B ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ C ．,,,m n q m q n α⊂⊥⊥，则q α⊥ D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】A【解析】分别由线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质可求解； 【详解】解：A ：由线线平行，线面平行，面面垂直知A 正确；B ：若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥或//m n 或m 、n 是异面直线，故B 错误； :C m ，n ⊂α，q m ⊥，q n ⊥，则q α⊥或q α⊂，或//q α，故C 错误；D ：若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ，或m 、n 是异面直线，故D 错误；故选A ． 【点睛】考查线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质，属于基础题．3．若直线1:10l ax y +-=与直线2:10l x ay ++=平行，则两平行线间的距离为（ ）A ．1 BC ．2D ．【答案】B【解析】首先利用直线平行的充要条件的应用求出直线的方程，进一步利用平行线间的距离公式的应用求出结果． 【详解】解：直线1:10l ax y +-=与直线2:10l x ay ++=平行， 则210a -=，解得1a =±，当1a =-时，直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y -+=重合，故舍去． 当1a =时，直线1:10l x y +-=与直线2:10l x y ++=平行，故两平行线间的距离d =故选B ． 【点睛】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，直线平行的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．向量(2,1,),(2,,1)a x b y ==-，若a =ra b ⊥，则x y +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．4-D ．4【答案】C【解析】根据a =rx 的值，再根据a b ⊥得出0a b =，列方程求出y 的值，即可计算x y +的值． 【详解】解：向量(2,1,)a x =，若a =r0x =； 又向量(2,,1)b y =-，且a b ⊥， 则400a b y =++=，解得4y =-； 所以4x y +=-． 故选C ． 【点睛】本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题．5．在一个平面上，机器人到与点(3,3)C -的距离为8的地方绕C 点顺时针而行，它在行进过程中到经过点0()10,A -与(0,10)B 的直线的最近距离为（ ）A ．8B ．8C ．D ．【答案】A【解析】由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离． 【详解】解：机器人到与点C (3,3)-距离为8的地方绕C 点顺时针而行， 在行进过程中保持与点C 的距离不变，∴机器人的运行轨迹方程为22(3)(3)64x y -++=，如图所示；(10,0)A -与(0,10)B ，∴直线AB 的方程为11010x y+=-，即为100x y -+=，则圆心C 到直线AB 的距离为8d =， ∴最近距离为8．故选A ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．6．圆A 的半径为4，圆心为1,0,()(,0)1A B -是圆A 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线与半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（ ）A ．22134x y +=B ．2216x y +=C ．22143x y +=D ．22(1)16x y ++=【答案】C【解析】数形结合利用垂直平分线的定义得到动点Q 到定点A 、B 的距离之和为定值4（大于两定点间的距离2)AB =，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程． 【详解】解：如图，直线l 为线段BP 的垂直平分线，∴连接BQ ，由线段垂直平分线的性质得：BQ PQ =，而半径AP AQ PQ =+，且A 、B 两点为定点， 42AQ BQ AB ∴+=>=，∴由椭圆定义得：Q 点轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆，且24a =，22c =，2a ∴=，1c =，b ∴=∴椭圆方程为：22143x y +=，故选C ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，是中档题，也是轨迹方程的常见题型．7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B．6CD．2【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=,因为111111cos ,2AD DB AD DB AD DB ⋅===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.8．已知圆221)68):((C x y -+-=和两点()()(),0,,00A m B m m ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】D【解析】根据圆心C 到(0,0)O 的距离为10，可得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为11，再由90APB ∠=︒，可得12PO AB m ==，可得11m …，则答案可求． 【详解】解：圆221)68):((C x y -+-=的圆心()6,8C ，半径为1， 圆心C 到(0,0)O 的距离为10，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为11．再由90APB ∠=︒可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点， 可得12PO AB m ==，故有11m …， m ∴的最大值为11．故选D ．【点睛】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C 上的点到点O 的距离的最大值是解题的关键，属于中档题．9．已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量,,b b a a c +-是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(3,2,1)，则它在,,b b a a c +-下的坐标为（ ） A ．15,,122⎛⎫⎪⎝⎭ B ．51,1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．151,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．51,,122⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】可设向量()1,0,0a =，()0,1,0b =，()0,0,1c =；由此求出向量a b +、a b -，再设()()p x a b y a b zc =++-+，列方程组求出x 、y 和z 即可． 【详解】解：设向量()1,0,0a =，()0,1,0b =，()0,0,1c =； 则向量()1,1,0a b +=，()=1,1,0a b --， 又向量()3,2,1p =，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+， 则()()3,2,1,,x y x y z =+-，即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在,,b b a a c +-下的坐标为51,,122⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 10．已知()()4,0,0,4A B ，从点(1,0)P 射出的光线被直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经OB 反射后回到P 点，则光线所经过的路程是（ ） A．B ．6C．D．【答案】A【解析】设点P 关于y 轴的对称点P '，点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点P ''，由对称点可求得P '和P ''的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程||P P '''． 【详解】解：点P 关于y 轴的对称点P '坐标是(1,0)-，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点(,)P a b ''∴0111422b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，(4,3)P ∴''，∴光线所经过的路程||P P '''故选A ． 【点睛】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为||P P '''的长度，属于中档题．11．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．13C ．2D ．3【答案】D【解析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =，根据柯西不等式得到a ，b 关系，代入即可． 【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b为平面上一点，||OM =所以||4OM ===，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．12．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意，设(4,)P m m -，分析可得AB 是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，据此可得以PC 为直径的圆的方程，又由圆C 的方程，分析可得直线AB 的方程，变形可得答案． 【详解】解：根据题意，点P 为直线40x y +-=上一动点，则设(4,)P m m -，PA ，PB 是圆C 的切线，CA PA ∴⊥，CB PB ⊥，AB ∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为2222[(2)]()(2)()2222m m m mx y --+-=-+，① 又圆C 的方程为：221x y +=，②， ①-②，得(4)10m x my -+-=， 即()410m y x x -+-=，则该直线必过点11,44⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．二、填空题13．一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为60︒，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________.【答案】【解析】设AB a =，AD b =，1AA c =，根据平行四边形法则，对角线1AC a b c =++，再结合条件，利用向量的模即可求出对角线长． 【详解】解：设AB a =，AD b =，1AA c =， 因为11AC AB AD AA a b c =++=++， 所以()222221222363636666cos60216AC a b ca b c a b a c b c =++=+++++=+++⨯⨯⨯︒=，所以对角线166AC =故答案为【点睛】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．14．椭圆22194x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则12F PF ∠=________.【答案】90︒【解析】根据题意，由椭圆的方程分析可得a 、b 的值，计算可得c 的值，由椭圆的定义可得2||PF 的值，在△12F PF 中，通过1||PF ，2||PF ，12||F F ，由勾股定理分析可得答案． 【详解】解：根据题意，椭圆22194x y +=，其中3a =，2b =，则c =点P 在椭圆上，若1||4PF =，则21||2||642PF a PF =-=-=，在△12F PF 中，1||4PF =，2||2PF =，12||2F F c ==， 则2221212||||||PF PF F F +=， 则有1290F PF ∠=︒， 故答案为90︒． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的定义分析得到2||PF 的值，是中档题．15．直线(2)4y k x =-+与曲线1y =k 的取值范围是________.【答案】35,412⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【解析】根据方程可知直线恒过点(2,4)，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出k ，再结合图形求出当直线经过点(2,1)-，(2,1)时，实数k 的取值，即可的k 的取值范围．【详解】解：如图，由题知曲线1y =22(1)4x y +-=，表示以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线1y =上方，直线(2)4y k x =-+恒过点(2,4)，因为直线与曲线只有一个交点，2=，解得512k =， 由图，当直线经过点(2,1)-时，直线的斜率为4132(2)4-=--， 当直线经过点(2,1)时，直线的斜率不存在，综上，实数k 的取值范围是512k =，或34k >， 故答案为 35,412⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题16．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B（含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________. 【答案】25【解析】建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m ，直线ME 与平面1D EF 所成角为α，sin cos ,m EM α==[0a ∈，2]，所以当2a =时，取到最小值，代入即可．【详解】解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =，则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)， 设平面DEF 的法向量为(m x =，y ，)z ，1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-， 由0m EF ⋅=，10m D E ⋅=，得020y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =，0，2)， 由(0,,1)EM a =， 设直线ME 与平面1D EF 所成角为α，sin cos ,m EM α==，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，sin α25=， 故答案为25．【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．三、解答题17．若直线l 的方程为220()ax y a a R +--=∈.（1）若直线l 与直线:20m x y -=垂直，求a 的值；（2）若直线l 在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【答案】（1）1；（2）0x y -=，20x y +-=．【解析】（1）直线l 与直线:20m x y -=垂直，可得220a -=，解得a ．（2）当0a =时，直线l 化为：1y =．不满足题意．当0a ≠时，可得直线l 与坐标轴的交点2(0,)2a +，2,0a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭．根据直线l 在两轴上的截距相等，即可得出． 【详解】解：（1）直线l 与直线:20m x y -=垂直， 220a ∴-=，解得1a =．（2）当0a =时，直线l 化为：1y =．不满足题意．当0a ≠时，可得直线l 与坐标轴的交点2(0,)2a +，2,0a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭． 直线l 在两轴上的截距相等，∴222a a a++=，解得：2a =±． ∴该直线的方程为：0x y -=，20x y +-=．【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，已知其短半轴长为1，半焦距为1，直线:0l x y +-=.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上是否存在一点，它到直线l 的距离最小，最小距离是多少？【答案】（1）2212x y +=；（2【解析】（1）根据题意得a ，b 得椭圆的方程．（2）直线l 与椭圆相离，设直线//m l ，且直线m 与椭圆相切时，直线m 与椭圆的公共点到直线l 的距离最小．【详解】解：（1）焦点在x 轴上，已知其短半轴长为1，半焦距为1，1b ∴=，1c =，∴a ==，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=． （2）由图象可知，直线l 与椭圆相离，设直线//m l ，且直线m 与椭圆相切， 则直线m方程为：(x y n n +=≠， 联立2212x y n x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，2234220x nx n -+-=， ∴222(4)43(22)8240n n n ∆=--⨯⨯-=-+=，∴n =或n =当n =m 与椭圆的公共点到直线l 的距离最小，此时直线:m x y +=，最小距离为d == 【点睛】 考查椭圆标准方程以及最值，会用到转化思想，属于中档题．19．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 若平面内两定点0,0,()()3,0O A ，动点P 满足12PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）求22PO PA +的最大值. 【答案】（1）22(1)4x y ++=；（2）45.【解析】（1）代入法求轨迹方程，设(),P x y ，根据题意得到方程．（2）由2222255()PO PA PO x y +==+再转化代入求最大值 【详解】（1）设(),P x y ，由题意可知224PA PO =即22224()(3)x y x y +=-+整理得22(1)4x y ++=，即为点P 的轨迹方程 ；（2）2222255()PO PA PO x y +==+，由（1）得：224(1)y x =-+，将其代入上式得225(32)PO PA x +=-，又∵31x -≤≤∴当3x =-时，22PO PA +最大，最大值为45.【点睛】本题考查了求轨迹方程，以及考查求最值，是中档题．20．设圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，与y 轴相交于点(A ，且直线y x =被圆C截得的弦长为（1）求圆C 的标准方程；（2）设直线y x m =-+与圆C 交于,M N 两点，那么以MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN 的方程；若不能，请说明理由.【答案】（1）22(2)10x y -+=；（2）能，1y x =-++1y x =-+-【解析】（1）设圆心(,0)C a ，0a >，半径为r ，由垂径定理列关于a 与r 的方程，结合点在圆上联立求得a 与r 的值，则圆C 的方程可求；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是直线y x m =-+与圆C 的交点，联立直线方程与圆的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可得MN 的中点H 的坐标，假如以MN 为直径的圆过原点，则1||||2OH MN =，由此列式求解m 值，则直线MN 的方程可求．【详解】（1）设圆心(),0,0C a a >，半径为r ，由垂径定理得 228r +=且226a r += 解得22,10a r ==，∴圆C 的方程为22(2)10x y -+= ；（2）设()()1122,,,M x y N x y 是直线y x m =-+与圆C 的交点，将y x m =-+代入圆C 的方程得：222(42)60x m x m -++-= ()244160m m ∆=--->∴122x x m +=+，21262m x x -⋅= ∴MN 的中点为22,22m m H +-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 以MN 为直径的圆能过原点，则1||||2OH MN =， ∵圆心()2,0C 到直线MN 的距离为d =，∴||MN ==.∴2260m m --=，解得1m = ，经检验1m =±MN 与圆C 均相交，∴MN 的方程为1y x =-++1y x =-+-【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，2,1SA AB BC AD ====.（1）若M 为棱SB 的中点，求证：//AM 平面SCD ；（2）当,3SM MB DN NC ==时，求平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）取线段SC 的中点E ，连结ME ，ED ，推导出四边形AMED 为平行四边形，从而//AM DE ，由此能证明//AM 平面SCD ．（2）以A 为坐标原点，建立分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．【详解】（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接,ME ED .在SBC ∆中，ME 为中位线∴//ME BC 且12ME BC =， ∵//AD BC 且12AD BC =， ∴//ME AD 且ME AD =∴四边形AMED 为平行四边形.∴//AD DE .∵DE ⊂平面,SCD AM ⊄平面SCD ，∴//AM 平面SCD .（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),,,(1,0,0),A B C D S ，于是10,222AM AB BS ⎛=+= ⎝⎭337(1,0,0)444AN AD DC ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭设平面AMN 的一个法向量为(),,n x y z =，则00AM n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 将坐标代入并取7y =，得(33,7,7)n =--.另外易知平面SAB 的一个法向量为(1,0,0)m =，所以平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为315||||m n m n ⋅=. 【点睛】 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆2245x y +=相切于点24,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程.（2）过点F 作一条斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求2ABF ∆的面积的最大值.【答案】（1）22:14x C y +=；（2）2. 【解析】（1）根据直线和圆相切的等价条件求出切线方程，即可得到结论；（2）设直线:l x my =(0)m ≠．联立2244x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩利用韦达定理，弦长公式可得2ABF S ∆=．令t =，(1)t >，利用基本不等式求最值即可 【详解】（1）∵2OM k = ∴412:525PQ y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ∴(0,1),(2,0)P Q ，即2,1a b ==∴椭圆22:14x C y +=.（2）设直线l 的方程为：0)x my m =≠，代入椭圆C 的方程为：()22410m y +--=1212210,4y y y y m ∆>+==-+，又12||F F =∴21212ABF S y y ∆=⨯-==，令1)t t =>，则22ABF S t t∆==≤=+此时t m ==∴()2max 2ABF S ∆=.【点睛】 本题主要考查椭圆方程的求解，三角形面积的最值，利用直线和椭圆的位置关系，联立方程组，利用设而不求思想结合直线和椭圆相交的弦长公式是解决本题的关键．。
湖北省襄阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(原卷版)
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13.
如果椭圆 x2 y2 100 36
1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离为____
D. 10 5
7. 正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所成的角为 ( )
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
8. 圆 x2 2x y2 4 y 3 0 上到直线 x y 1 0 的距离为 2 的点共有( )
A. 1个
B. 2 个
17. 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1） c 5 ， b 3 ，焦点在 x 轴上；
（2） a 2 5 ，经过点 A2, 5 ，焦点在 y 轴上.
18. 如图，矩形 ABCD 中，AD 平面 ABE ，AE EB BC 2 ，F 为 CE 上的点，且 BF 平面 ACE ， AC BD G ．
16.
已知椭圆 C: x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ,点 P 在椭圆 C 上，线段 PF2 与圆：
x2
y2
b2
相切于点
Q，若
Q
是线段
PF2
的中点，e
为
C
的离心率，则
a2 e2 3b
的最小值是______________
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚.
2019-2020学年湖北省襄樊市数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析
2019-2020学年湖北省襄樊市数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A ．74B ．94C ．4D ．22．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>3．设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（ ） A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭4．函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值为2， m 的取值范围是 A ．(,2]-∞B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,)+∞5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．1613+B ．3213+C ．52813+D ．2613+6．将曲线sin 2y x ＝按照'2'3x xy y =⎧⎨=⎩伸缩变换后得到的曲线方程为( )A ．3sin y x ''＝B ．3sin 2y x ''＝C ．3sin y x ''＝D ．sin 2y x ''＝7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310πB ．320π C ．3110π-D ．3120π-9．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．9810．复数()21z i =+在复平面内对应的点在（ ） A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限11．已知命题p ：∀x∈R，2x >0；q ：∃x 0∈R，x ＋x 0＝－1．则下列命题为真命题的是( ) A ．p∧qB ．(┐p)∧(┐q)C ．(┐p)∧qD ．p∧(┐q)12．已知定义在R 上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．5人站成一排，若其中甲、乙不相邻的不同排法共有m 种，则m 的值为_______．14．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有____种．15．命题“0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________.16．2-的平方根是______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为2cos 203πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是222x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设点M 的直角坐标为()(),00a a >，过M 的直线与直线l 平行，且与曲线C 交于A 、B 两点，若115MA MB +=a 的值.18．4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球． （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球所得总分不少于5分，则有多少种不同取法．19．（6分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.20．（6分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的高为3，底面边长为3，点,D E 分别为棱11B C 和1AA 的中点．（1）求证：直线DE ⊥平面BCE ； （2）求二面角E BD C --的余弦值． 21．（6分）已知函数2()43f x x x =++．（1）求函数()y f x =在区间[3,1]x ∈-上的最大值和最小值； （2）已知()2x g x =，求满足不等式[()]8g f x >的x 的取值范围． 22．（8分）已知函数()3211333f x x x x =-+-. （1）计算()()02f f +､()()13f f -+､1322f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数()f x 的一般结论，并证明这个结论； （3）若实数0x 满足()()0ff x x =，求证：()00f x x =.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】直线4kx ﹣4y ﹣k=0可化为k （4x ﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（14，0） ∵抛物线y 2=x 的焦点坐标为（14，0），准线方程为x=﹣74， ∴直线AB 为过焦点的直线 ∴AB 的中点到准线的距离222FA FBAB +==∴弦AB 的中点到直线x+12 =0的距离等于2+14=94. 故选B ．点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 2．A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小． 3．B 【解析】 【分析】由222+,,4()a b c abc f a b c ++=，则(,,2()4)12ab c a bc f c a a b b --++=，再根据三角形边长可以证得()1,,2f a b c <，再利用不等式和已知可得22(1)()24a b c ab +-≤=，进而得到3211(,,)22f a b c c c ≥-+，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．【详解】由题意，记222+,,4()a b c abc f a b c ++=，又由1a b c ++=，则222122()42()22(1,))(,ab c a b abc c ab a b f a b ab c c =--++=+--++2221111112[]24()()()222222c ab a b c a b =+--+=---+，又,,a b c 为△ABC 的三边长，所以120,120,120a b c ->->->，所以()1,,2f a b c <， 另一方面(),,12(12)2(1)f a b c ab c c c =----，由于0,0a b >>，所以22(1)()24a b c ab +-≤=， 又120c ->，所以232(1)11(,,)12(12)2(1)422c f a b c c c c c c -≥-⨯---=-+，不妨设a b c ≥≥，且,,a b c 为ABC ∆的三边长，所以103c <≤． 令321122y c c =-+，则23(31)0y c c c c '=-=-≤， 当13c =时，可得2min 111113()2723227y =-+=，从而()131,,272f a b c ≤<， 当且仅当13a b c ===时取等号．故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题． 4．C 【解析】 【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，欲使函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可． 【详解】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上上有最大值3，最小值2， 则实数m 的取值范围是[1，2]． 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．5．D【解析】分析：先还原几何体，再根据棱柱各面形状求面积.详解：因为几何体为一个以俯视图为底面的三棱柱，底面直角三角形的两直角边长为2213-2，所以棱柱表面积为1=232+24+3134=26+413 2S⨯⨯⨯⨯⨯选D.点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．6．A【解析】【分析】利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．【详解】∵伸缩变换'2'3x x y y=⎧⎨=⎩，∴x12=x′，y13=y′，代入曲线y＝sin2x可得y′＝3sin x′故选：A．【点睛】本题考查代入法求轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】 【详解】分析：由题意首先求得A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后利用离心率求解a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c>0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可. 8．D 【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 9．A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.10．B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点的位置． 【详解】()221122z i i i i =+=++=Q ，对应的点的坐标为()0,2，所对应的点在虚轴上，故选B ．【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题． 11．D 【解析】分析：分别判断p ，q 的真假即可.详解：Q 指数函数的值域为(0，＋∞)，∴对任意x∈R，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题； x 2＋x ＋1＝2＋>0恒成立,不存在x 0∈R，使x ＋x 0＝－1成立，故q 为假命题，则p∧q，┐p 为假命题，┐q 为真命题，┐p∧┐q ，┐p∧q 为假命题，p∧┐q 为真命题． 故选：D.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的性质与二次函数方面的知识. 12．A 【解析】因为f(x) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+> 同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析，先安排甲乙之外的三人，形成了4个空位，再从这4个间隔选2个插入甲乙，由分步计数原理计算即可答案． 【详解】根据题意，分2步分析：先安排除甲乙之外的3人，有336A =种不同的顺序，排好后，形成4个空位，在4个空位中，选2个安排甲乙，有2412A ＝种选法， 则甲乙不相邻的排法有61272⨯＝种， 即72m ＝； 故答案为：1． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，本题是不能相邻问题，处理此类问题，需要运用插空法． 14．60 【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有3343C A 种，有一个城市投资2个有212423C C C 种，投资方案共3343C A 212423243660C C C +=+=种. 考点：排列组合. 15．3m > 【解析】 【分析】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，对1m +是否等于0进行讨论，当10m +=时不符合题意，当10m +≠时，由二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，当10m +=，即1m =-，()2110m x mx m +-+->转化为20x ->，不是对任意的x ∈R 恒成立；当10m +≠，x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->即恒成立，即()()()2104110m m m m +>⎧⎪⎨--+-<⎪⎩ ，第二个式子化简得234m >，解得3m >或3m <-所以3m > 【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题这一条件，属于一般题．16． 【解析】 【分析】设2-的平方根为i z a b =+，由22z =-列方程组，解方程组求得z . 【详解】设2-的平方根为i z a b =+（,a b 为实数），故()2222i 2i 2z a b a b ab =+=-+=-，所以2220a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0a =，b =，故z =.故答案为：. 【点睛】本小题主要考查负数的平方根，考查复数运算，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）直线l的直角坐标方程为20x --=，曲线C 的普通方程为22y x =；（2）1a =. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式以及cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩可将l 的极坐标方程转化为普通方程，在曲线C 的参数方程中消去参数t 可得出曲线C 的普通方程；（2）求出直线l 的倾斜角为6π，可得出直线AB的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B的参数分别为1t 、2t ，将直线AB 的参数方程与曲线C 普通方程联立，列出韦达定理，由1212112t t MA MB t t -+===，代入韦达定理可求出a 的值.【详解】（1）因为2cos 203πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 20ρθθ-=，由cos x ρθ=，siny ρθ=，得20x --=，即直线l的直角坐标方程为20x -=；因为222x t y t⎧=⎨=⎩消去t ，得22y x =，所以曲线C 的普通方程为22y x =；（2）因为点M 的直角坐标为(),0a ，过M可设直线的参数方程为212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，将参数方程代入22y x =，得280t a --=，则12t t +=，128t t a =-. 所以1212121111t t MA MB t t t t -+=+===，解得1a =.【点睛】本题考查参数方程、极坐标与普通方程的互化，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，求解时可将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，结合韦达定理进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 18．（1）115；（2）195. 【解析】 【分析】（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（2）若取出的4球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案. 【详解】（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，其中4红有441C =种取法，3红1白有314624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法.因此，共有12490115++=种不同的取法；（2）若取出的4个球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况.其中4红有441C =种取法，3红1白有314624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法，1红3白有134680C C =种不同的取法.因此，共有1249080195+++=种不同的取法. 【点睛】本题考查分类加法计数原理应用，在解题时要熟练利用分类讨论思想，遵循不重不漏的原则，考查运算求解能力，属于中等题.19．（1）0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）4cos ()42ππρθθ=≤≤【解析】 【分析】（1）先由题意，将0=3θπ代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围. 【详解】（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin 3πρθ===即)3M π，所以tan3OM k π==因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为(4)3y x =--，即40x +-=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）设(,)P x y ，则OP y k x =， 4AP y k x =-， 由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.20．（1）详见解析；（2． 【解析】 【分析】()1取BC 中点F ，连接FE ，FD ，可证BC ⊥平面AFDE ，则BC DE ⊥，求解三角形证明DE FE ⊥，再由线面垂直的判定可得直线DE ⊥平面BCE ；()2以F 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面BED 与平面BCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E BD C --的余弦值． 【详解】（1）取BC 的中点F ，连结1,,AF DF A D ，如图，由题意知，四边形1A DFA 为矩形，且1133,2A A A D ==． 因为E 为棱1AA 的中点， 所以322DE EF ==， 因为3DF =， 所以DE EF ⊥， 因为1,AF BC A A BC ⊥⊥，所以BC ⊥平面1A AFD ，所 以BC DE ⊥． 又BC EF F =I , 所以DE ⊥平面BCE ．（2）以F 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B 0，0)，(0,D 0，3)，330,,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭，BD →⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，33,22BE →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BED 的一个法向量为(),,n x y z =r，由302330222n BD x z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩u u u r r u u u r r，取x =()1,1n =-r ．取平面BCD 的一个法向量为()0,1,0m =r，11cos ,144m n m n m n ⋅-===-⨯⋅r r r rr r Q ．且二面角E BD C --为锐角，∴二面角E BD C --的余弦值为14． 【点睛】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．21． (1)最小值为-1,最大值为8;(2) (,4)(0,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】(1)根据二次函数在区间[3,1]-上的单调性可求得答案;(2)根据()g x 为增函数可将不等式化为()3f x >,再解一元二次不等式可得到答案. 【详解】(1)因为2()(2)1f x x =+-在[3,2]--上递减,在[2,1]--上递增, 所以2x =-时,()f x 取得最小值,最小值为(2)1f -=-,1x =时,()f x 取得最大值,最大值为(1)8f =.(2)因为()2x g x =为增函数,且3(3)28g ==, 所以不等式[()]8g f x >可化为[()](3)g f x g >, 所以()3f x >,即2433x x ++>, 所以(4)0x x +>,所以0x >或4x <-,所以不等式[()]8g f x >的解集为(,4)(0,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查了利用二次函数的单调性求最值,解一元二次不等式,利用指数函数的单调性解不等式,属于基础题.22．（1）()()024f f +=，()()134f f -+=，13422f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）一般结论为：对任意实数x 都有()()24f x f x +-=，证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】()1代入计算可得所求和为定值；()2可得()()24f x f x +-=，代入计算，化简可得所求结论； ()3求得()f x 的导数，判断单调性，根据单调性利用反证法可得证明．【详解】（1）()()18102464333f f +=-+-+-=， ()()111131********f f -+=----+-+-=，1311319991422244238423f f ⎛⎫⎛⎫+=--+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）对任意实数x 都有()()24f x f x +-=. 证明：()()32112333f x f x x x x +-=-+-()()()3211223233x x x +---+-- ()()()22212222244633x x x x x x x x ⎡⎤=+-+----+-+-⎣⎦()222236424233x x x x =-+-++- 4=.（3）由()()22'23120f x x x x =-+=-+>知，()f x 为R 上的单调增函数.假设()00f x x ≠，则()00f x x >或()00f x x <， 若()00f x x >，由()f x 为R 上的单调增函数知，()()()0f f x f x x >>；若()00f x x <，由()f x 为R 上的单调增函数知，()()()0f f x f x x <<，则()()0ff x x ≠，与条件()()0f f x x =矛盾，故假设不成立.原命题()00f x x =成立. 【点睛】本题主要考查三次函数的图象和性质，主要是单调性的应用，反证法，考查化简运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年湖北省襄阳市、孝感市高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年湖北省襄阳市、孝感市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{|1}A xy x ==-，集合2{|0}B x x x =-<，则(A B =I ) A ．∅ B ．{|1}x x < C ．{|01}x x << D ．{|0}x x <2．（5分）复数4312iz i+=+的虚部为( ) A ．iB ．i -C ．1-D ．13．（5分）若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=的面积，则a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．（5分）已知向量(1,2)AB =-u u u r ，(,5)BC x =-u u u r ，若7AB BC =-u u u r u u u r g ，则||(AC =u u u r )A ．5B ．42C ．6D ．525．（5分）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图” )，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形（阴影部分）的概率为( )A ．964B ．449C ．225D ．276．（5分）若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩„…„，则32z x y =-的最小值为( )A ．13B ．13-C ．5-D ．57．（5分）将甲、乙、丙、丁四人分配到A ，B ，C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有( ) A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种8．（5分）已知实数0x >，0y >，则“1xy „”是“224x y +„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若12()()9g x g x =g ，且1x ，2[2x π∈-，2]π，则12x x -的最大值为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．（5分）关于函数12()(1)1x f x x e =+-有下列结论：①图象关于y 轴对称；②图象关于原点对称；③在(,0)-∞上单调递增；④()f x 恒大于0． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①③B ．②④C ．③④D ．①③④11．（5分）已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，定点M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点（点B 在F ，M 中间），且与抛物线C 的准线交于点N ，若||7||BN BF =，则AF 的长为( )A ．78B ．1C ．76D 12．（5分）在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是Rt △且AB BC ⊥，30CAB ∠=︒，2BC =，点P在平面ABC 的射影D 点在ABC ∆的外接圆上，四边形ABCD 的对角线BD =AD CD >，若四棱锥P ABCD -，则四棱锥P ABCD -的体积为( )A B C ．D 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）在2log 0.2，0.22，0.30.2三个数中，则最大的数为 ．14．（5分）已知F 是双曲线22:13y C x -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为 ．15．（5分）设数列{}n a 满足1a a =，*1(1)(1)2()n n n a a a n N +--=∈，若数列{}n a 的前2019项的乘积为3，则a = ．16．（5分）已知函数()(1)sin cos f x x x x =++，若对于任意的1212,[0,]()2x x x x π∈≠，均有1212|()()|||x x f x f x a e e -<-成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知函数3()2sin cos()3f x x x π=++．（1）求5()12f π的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调增区间．18．（12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，24AB BC ==，60BAD ∠=︒，SB SD =，平面SBD ⊥平面ABCD ．（1）求证：BC SD ⊥；（2）已知SBD ∆的面积为23，求二面角B SA D --的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为12，点A 为该椭圆的左顶点，过右焦点(,0)F c 的直线l 与椭圆交于B ，C 两点，当BC x ⊥轴时，三角形ABC 的面积为18． （1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC 斜率存在且不为0时，直线x c =分别交直线AB ，AC 于点M 、N ，问x 轴上是否存在点P ，使得PM PN ⊥，若存在求出点P 的坐标；若不存在说明理由．20．（12分）黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：组别 [0，20) [20，40) [40，60) [60，80) [80，100) 频数1039040018812（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布(45N ，215)，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈；(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈21．（12分）已知函数()(1)x f x alnx x e =--，其中a 为非零常数． （1）讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；（2）若a e >，()i 证明：()f x 在区间(1,)+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时写清题号.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为32cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:()6C R πθθ=∈与曲线1C 相交于点A ，B ．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点)2C π，求ABC ∆的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||4|f x x x a =---+，a 是实数． （1）若1a =-，解不等式()0f x <；（2）若存在实数0x 使得0()0f x =成立，求实数a 取值范围．2019-2020学年湖北省襄阳市、孝感市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{|A x y ==，集合2{|0}B x x x =-<，则(A B =I ) A ．∅B ．{|1}x x <C ．{|01}x x <<D ．{|0}x x <【解答】解：{|1}A x x =Q …，{|0B x x =<或1}x >， {|0}A B x x ∴=<I ．故选：D ． 2．（5分）复数4312iz i+=+的虚部为( ) A ．i B ．i - C ．1- D ．1【解答】解：43(43)(12)105212(12)(12)5i i i iz i i i i ++--====-++-， 则复数4312iz i+=+的虚部为：1-． 故选：C ．3．（5分）若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=的面积，则a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解答】解：根据题意，圆的方程为222410x y x y +-++=，其圆心为(1,2)-，若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=的面积，则圆心在直线0x y a ++=上， 则有120a +-=，解可得1a =； 故选：A ．4．（5分）已知向量(1,2)AB =-u u u r ，(,5)BC x =-u u u r ，若7AB BC =-u u u r u u u r g ，则||(AC =u u u r )A ．5B ．C ．6D ．【解答】解：向量(1,2)AB =-u u u r ，(,5)BC x =-u u u r ，若7AB BC =-u u u r u u u rg ，可得107x --=-，解得3x =-， 所以(4,3)AC =--u u u r，则22||(4)(3)5AC =-+-=u u u r．故选：A ．5．（5分）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图” )，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形（阴影部分）的概率为( )A ．964B ．449C ．225D ．27【解答】解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒Q ，在ABD ∆中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠g g ， 即为222153253()492AB =+-⨯⨯⨯-=，解得7AB =，2DE AD BD =-=Q ；∴224()749DEF ABC S S ∆∆==． 故选：B ．6．（5分）若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩„…„，则32z x y =-的最小值为( )A ．13B ．13-C ．5-D ．5【解答】解：由约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩„…„作出可行域如图：联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得(1,1)A -．化目标函数32z x y =-为322zy x =-， 由图可知，当直线322zy x =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最小值为5-．故选：C ．7．（5分）将甲、乙、丙、丁四人分配到A ，B ，C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有( ) A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种【解答】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A =种情况， ②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A =种情况； 则若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案有121224+=种； 故选：B ．8．（5分）已知实数0x >，0y >，则“1xy „”是“224x y +„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：Q 实数0x >，0y >，∴当3x =，14y =时，13422224x y +=+>，∴ “1xy „”推不出“224x y +„”；反之，实数0x >，0y >，“224x y +„” ⇒ “1xy „”．∴实数0x >，0y >，则“1xy „”是“224x y +„”的必要不充分条件．故选：B ．9．（5分）将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若12()()9g x g x =g ，且1x ，2[2x π∈-，2]π，则12x x -的最大值为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解答】解：函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移6π个单位，得到2sin(2)6y x π=+的图象，再向上平移1个单位，得到()2sin(2)16g x x π=++的图象，由于若12()()9g x g x =g ，且1x ，2[2x π∈-，2]π， 所以函数在1x x =和2x 时，函数都取得最大值． 所以122()62x k k Z πππ+=+∈，解得16x k ππ=+，由于且1x ，2[2x π∈-，2]π，所以176x π=， 同理2116x π=-， 所以711366πππ+=． 故选：C ．10．（5分）关于函数12()(1)1x f x x e =+-有下列结论：①图象关于y 轴对称；②图象关于原点对称；③在(,0)-∞上单调递增；④()f x 恒大于0． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①③B ．②④C ．③④D ．①③④【解答】解：函数12()(1)1x f x x e =+-，在①中，121211212()(1)(1)()(1)()11111x x x x x x x xe e ef x f x x e x e x e e x e ---=+=-+=+=+=------． ∴函数12()(1)1x f x x e =+-是偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；在②中，函数12()(1)1x f x x e =+-是偶函数，图象关于y 轴对称，故②错误；在③中，在(,0)-∞上任取1x ，2x ，令120x x <<，212121************()()(1)(1)01111x x x x f x f x x x x x e e e e -=+-+=-+->----， ∴函数12()(1)1x f x x e =+-在(,0)-∞上单调递增，故③正确； 在④中，当0x >时，10x >，2101x e +>-，()0f x >， 当0x <时，10x <，2101x e +<-，()0f x >． ()f x ∴恒大于0，故④正确． 故选：D ．11．（5分）已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，定点M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点（点B 在F ，M 中间），且与抛物线C 的准线交于点N ，若||7||BN BF =，则AF 的长为( ) A ．78B ．1C ．76D【解答】解：如图，过B 作BB '垂直于准线，垂足为B '，则||||BF BB ='， 由||7||BN BF =，得||7||BN BB ='，可得1sin 7BNB ∠'=，cos BNB ∴∠'=，tan BNB ∠'=，又M 0)，AB ∴的方程为y x =-，取0x =，得12y =， 即1(0,)2F ，则1p =，∴抛物线方程为22x y =．联立22y x x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =． 1217||2326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ．12．（5分）在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是Rt △且AB BC ⊥，30CAB ∠=︒，2BC =，点P 在平面ABC 的射影D 点在ABC ∆的外接圆上，四边形ABCD 的对角线23BD =AD CD >，若四棱锥P ABCD -5，则四棱锥P ABCD -的体积为( ) A 43B 83C ．43D 163【解答】解Q 在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是Rt △且AB BC ⊥，30CAB ∠=︒，2BC =， 24PC BC ∴==，16423BP -=，取BC 中点E ，则2PE BE DE ===，Q 点P 在平面ABC 的射影D 点在ABC ∆的外接圆上，四边形ABCD 的对角线23BD =AD CD >， 44121cos cos 2222BED BEB +-∴∠=∠==-⨯⨯，120BED BEP PED ∴∠=∠=∠=︒，23PD PB BD ∴=== 2BC CD ∴==，设球心为O ，则OE ⊥平面BPDC ，2OD =Q ，四棱锥P ABCD -5， 541OE ∴-，∴四棱锥P ABCD -的高22PD OE ==，∴四棱锥P ABCD -的体积为：8311111423233232BPDC V S PD PC BD PD ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭四边形故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）在2log 0.2，0.22，0.30.2三个数中，则最大的数为 0.22 ． 【解答】解：22log 0.2log 10<=Q ，2log 0.20∴<，0.20221>=Q ，0.221∴>，0.3000.20.21<<=Q ，0.300.21∴<<，0.22∴最大，故答案为：0.22．14．（5分）已知F 是双曲线22:13y C x -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为 32． 【解答】解：如图，不妨设F 为双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，21a =，23b =，则2c =， 则以O 为圆心，以2为半径的圆的方程为224x y +=．联立2222413x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得P 3)2．1332222OPF S ∆∴=⨯⨯=．故答案为：32． 15．（5分）设数列{}n a 满足1a a =，*1(1)(1)2()n n n a a a n N +--=∈，若数列{}n a 的前2019项的乘积为3，则a = 2 ．【解答】解：由题意，根据递推式，1n a ≠． 故递推式可转化为111nn na a a ++=-． 1a a =Q ，211aa a+∴=-， 232111111111aa a a a a aa +++-===-+---， 34311111111a a a a a a a-+-===-++， 45411111111a a a a a a a a -+++===---+． ∴数列{}n a 是以最小正周期为4的周期数列．1234111()111a a a a a a a a a a +-∴=-=-+g g g g g g ．201945043÷=⋯Q ，122019123111()311a a a a a a a a a a a a ++∴⋯==-==--g g g g g ，解得2a =． 故答案为：2．16．（5分）已知函数()(1)sin cos f x x x x =++，若对于任意的1212,[0,]()2x x x x π∈≠，均有1212|()()|||x x f x f x a e e -<-成立，则实数a 的取值范围为 [1，)+∞ ．【解答】解：()sin (1)cos sin (1)cos f x x x x x x x '=++-=+，任意的1212,[0,]()2x x x x π∈≠，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，不妨设12x x <，则12()()f x f x <，又12x x e e <，故1212|()()|||x x f x f x a e e -<-等价于2121()()x x f x f x ae ae -<-，即1212()()x x f x ae f x ae ->-，设()()(1)sin cos ,[0,]2x x h x f x ae x x x ae x π=-=++-∈，易知函数()h x 在[0,]2π上为减函数，故()(1)cos 0x h x x x ae '=+-„在[0,]2π上恒成立，即(1)cos xx xa e +…在[0,]2π上恒成立，设(1)cos (),[0,]2xx x g x x e π+=∈，则2[cos (1)sin ](1)cos sin sin cos ()0()x x x xx x x e x x e x x x x xg x e e -+-+---'==g „，故函数()g x 在[0,]2π上为减函数，则()(0)1max g x g ==，故1a …． 故答案为：[1，)+∞．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知函数()2sin cos()3f x x x π=+（1）求5()12f π的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）因为1()2sin (cos )2f x x x x =+11cos2sin 2sin(2)2223x x x π-=+=+g 所以551()sin()12632f πππ=+=-，（2）()f x 的最小正周期22T ππ==． 令222232k x k πππππ-++剟，解得51212k x k ππππ-+剟 所以()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． 18．（12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，24AB BC ==，60BAD ∠=︒，SB SD =，平面SBD ⊥平面ABCD ．（1）求证：BC SD ⊥；（2）已知SBD ∆的面积为23，求二面角B SA D --的余弦值．【解答】解：（1）证明：BCD ∆中，4CD =，2BC =，60BAD BCD ∠=∠=︒， 得416224cos601223BD =+-︒=g g22216BC BD CD ∴+==，BC BD ∴⊥，又平面SBD ⊥平面ABCD ，平面SBD ⋂平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ， BC ∴⊥平面SBD ，SD ⊂Q 平面SBD ，BC SD ∴⊥；（2）连接AC 交BD 于点O ，则O 是AC 与BD 的中点， 又SB SD =，SO BD ∴⊥， SO ∴⊥平面ABCD ，取AB 的中点E ，连OE ，则OE BD ⊥，分别以OE ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示直角坐标系， 1232SBD S BD SO ∆=⨯=，23BD =2SO ∴=， 则(0S ，0，2)，(2,3,0)A -，3,0)B ，(0,3,0)D ，(2,3,2)SA =-u u r ，3,2)SB =-u u r，(0,3,2)SD =--u u u r，设平面SAB 的法向量为(,,)m x y z =r，由2320320m SA x y z m SB y z ⎧=-=⎪⎨-=⎪⎩u u r r g u u r r g ，故(23,2,3)m =r ， 设平面SAD 的法向量为(,,)n a b c =r， 3202320n SD b c n SA a b c ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩u u u r r g u u r rg ，得(0,2,3)n =-r ，则二面角B SA D--的余弦值为||133 cos||||133mnm nθ==r rgr r．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的离心率为12，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点(,0)F c的直线l与椭圆交于B，C两点，当BC x⊥轴时，三角形ABC的面积为18．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x c=分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得PM PN⊥，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．【解答】解（1）由已知条件得22221212()182caba caa b c⎧=⎪⎪⎪⨯+⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4,23a b==；所以椭圆Γ的方程为22:11612x y+=；（2）设动直线BC的方程为(2)y k x=-，1(B x，1)y，2(C x，2)y，则直线AB 、AC 的方程分别为11(4)4y y x x =++和22(4)4y y x x =++， 所以点M 、N 的坐标分别为121266(2,),(2,)44y y M N x x ++， 联立22(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，所以22121222161648,3434k k x x x x k k-+==++； 于是22222212122212122216481636(24)6636(2)(2)3434916481644(4)(4)4163434M N k k k y y k x x k k y y k k x x x x k k --+--++====--++++++++g g ，假设存在点(,0)P t 满足PM PN ⊥，则2(2)0M N t y y -+=，所以1t =-或5， 所以当点P 为(1,0)-或(5,0)时，有PM PN ⊥．20．（12分）黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布(45N ，215)，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈；(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈【解答】解：（1）设样本的中位数为x ，则10390400(40)0.510001000100020x -++=g ，解得45x =，所得样本中位数为45（百元）． （2）45μ=，15σ=，275μσ+=， 旅游费用支出在7500元以上的概率为1(22)10.9544(2)0.022822P x P x μσμσμσ--<<+-+===…，0.022875017.1⨯=，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上．（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6．328(3)()5125P X ===，1233236(4)()()55125P X C ===，2233254(5)()()55125P X C ===，3327(6)()5125P X ===， 故其分布列为836542724()34561251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知函数()(1)x f x alnx x e =--，其中a 为非零常数． （1）讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；（2）若a e >，()i 证明：()f x 在区间(1,)+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>． 【解答】解：（1）解：由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，Q 2()x xa a x e f x xe x x-'=-=，①当0a <时，20x a x e -<，从而()0f x '<， 所以()f x 在(0,)+∞内单调递减，无极值点， ②当0a >时，令2()x g x a x e =-，则由于()g x 在[0，)+∞上单调递减，(0)0g a =>，(10g a a =-=-<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0g x =，所以当0(0,)x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>；当0(x x ∈，)+∞时，()0g x <，即()0f x '<， 所以当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个极值点．（2）证明：()i 由（1）知2()x a x e f x x -'=．令2()x g x a x e =-，由a e >得g （1）0a e =->，所以()0g x =在(1,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解， 不妨设为0x ，则()f x 在0(1,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减， 所以0x 是()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，1()10h x x'=-<， 故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()h x h <（1）0=，所以1lnx x <-．从而当a e >时，1lna >，且()()(1)(1)(1)0lna f lna aln lna lna e a lna lna a =--<---= 又因为f （1）0=，故()f x 在(1,)+∞内有唯一的零点．()ii 由题意，01()0()0f x f x '=⎧⎨=⎩即0120110(1)0xx a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩， 从而012011(1)x x x e lnx x e =-，即1011201x x x lnx ex --=． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>， 故1011211x x x e x x --<-，即1020x x e x -<， 两边取对数，得1020x x lne lnx -<， 于是1002x x lnx -<， 整理得0012x lnx x +>．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时写清题号.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为32cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:()6C R πθθ=∈与曲线1C 相交于点A ，B ．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点)2C π，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）曲线1C 的普通方程为22(3)4x y -+=， 即22650x y x +-+=，化为极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=． （2）设1(,)6A πρ，2(,)6B πρ，由得250ρ-+=，∴12ρρ+=125ρρ=，∴12||||AB ρρ=-点)2C π到直线6πθ=的距离h 为60︒=，∴12ABC S AB h ∆=⨯ [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||4|f x x x a =---+，a 是实数． （1）若1a =-，解不等式()0f x <；（2）若存在实数0x 使得0()0f x =成立，求实数a 取值范围． 【解答】解：（1）依题|1||4|1x x ---<，所以11(4)1x x x <⎧⎨---<⎩或141(4)1x x x ⎧⎨---<⎩剟或4141x x x >⎧⎨--+<⎩，解得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞． （2）||1||4|||(1)(4)|3x x x x ------=Q „，3|1||4|3x x ∴----剟， ()3min f x a ∴=-，()3max f x a =+，若存在实数0x 使得0()0f x =成立，则30a -„且30a +…， 33a ∴-剟．。
2019-2020学年湖北省襄阳市四校联考九年级(上)期末数学试卷-解析版
2019-2020学年湖北省襄阳市四校联考九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知x=1是一元二次方程2x2−cx=0的一个根，则c的值是()A. −1B. 2C. 3D. −22.设一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x1x2+x2等于()A. 1B. −1C. 0D. 33.有三张正面分别写有数字1，2，−3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是()A. 12B. 13C. 23D. 594.下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是()A. B.C. D.5.将抛物线y=x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是()A. y=(x+5)2+6B. y=(x+5)2−6C. y=(x−5)2+6D. y=(x−5)2−66.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为()A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm7.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC=60°，OH=1，则弦AB的长为()A. 2√3B. √3C. 2D. 48.如图，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是()A. ∠B=∠DB. ∠C=∠AEDC. ABAD =DEBCD. ABAD=ACAE9.如图，点A、B、C、D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=ax与正比例函数y=cx 在同一坐标系内的大致图象是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.关于x的方程(m−3)x m2−2m+1+mx+1=0是一元二次方程，则m为______．12.已知二次函数y=kx2−6x−9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围______．13.已知同一个反比例函数图象上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，若x2=x1+2，且1y2=1 y1+12，则这个反比例函数的解析式为______．14.若一个圆锥的底面半径为R，母线长为4R，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是______度．15.如图，将一个8cm×16cm智屏手机抽象成一个的矩形ABCD，其中AB=8cm，AD=16cm，然后将它围绕顶点A逆时针旋转一周，旋转过程中A、B、C、D的对应点依次为A、E、F、G，则当△ADE为直角三角形时，若旋转角为α(0<α<360°)，则α的大小为______．16.如图，等边三角形ABC中，E、F为AC、AB中点，EF延长线交△ABC外接圆于P，则PB：AP的数值为______(提示：圆内接四边形对角互补)三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）17.关于x的一元二次方程mx2−(2m−3)x+(m−1)=0有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，求此方程的根．18.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=3√2，AC=5，求边BC的长．19.如图，AB是⊙O的直径，点C是AB⏜的中点，连接AC并延长至点D，使CD=AC，点E是OB上一点，且OEEB =23，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)当OB=2时，求BH的长．四、解答题（本大题共6小题，共52.0分）20.校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．(1)能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．(2)若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．21.有4张分别标有数字2，3，4，6的扑克牌，除正面的数字外，牌的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为x；小颖在剩下的3张扑克牌中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为y(1)事件①：小红摸出标有数字3的牌，事件②：小颖摸出标有数字1的牌，则______．A.事件①是必然事件，事件②是不可能事件B.事件①是随机事件，事件②是不可能事件C.事件①是必然事件，事件②是随机事件D.事件①是随机事件，事件②是必然事件(2)若|x−y|≤2，则说明小红与小颖“心领神会”，请求出她们“心领神会”的概率．22.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与(m>0)在第一y轴交于点A，直线AB与反比例函数y=mx象限的图象交于点C、点D，其中点C的坐标为(1,8)，点D的坐标为(4,n)．(1)分别求m、n的值；(2)连接OD，求△ADO的面积．23.进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气．商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包．若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务．(1)试确定周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式；(2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；(3)当售价x(元/包)定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？24.如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合).DE//AB交AC于点F，CE//AM，连接AE．(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如图2，当点D不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM，求∠CAM的度数．25.如图直角坐标系中，△ABO，O为坐标原点，A(0,3)，B(6,3)，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．(1)求b，c的值；(2)当∠APQ=∠B时，求点P的坐标；(3)当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：将x=1代入方程2x2−cx=0，得：2−c=0，解得c=2，故选：B．将x=1代入方程可得关于c的方程，解之可得．本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2.【答案】B【解析】解：∵一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=2，x1⋅x2=−3，则x1+x1x2+x2=2−3=−1．故选：B．已知方程有实数根，根据根与系数的关系即可求出x1+x2和x1⋅x2的值，再代入计算即可求解．，考查了根与系数的关系，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−bax1⋅x2=c．a3.【答案】D【解析】解：根据题意画图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有5种，；则记录的两个数字乘积是正数的概率是59故选：D．画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：将抛物线y=x2向左平移5个单位长度，得到的解析式为：y=(x+5)2，再向上平移6个单位长度，得到的解析式为：y=(x+5)2+6，故所得抛物线相应的函数表达式是：y=(x+5)2+6．故选：A．直接利用二次函数平移的性质得到平移后的解析式．此题主要考查了平移变换，正确掌握抛物线平移规律是解题关键．6.【答案】B【解析】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，∴斜边的长为2×2=4cm．故选：B．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵OC⊥AB于H，∴AH=BH，在Rt△AOH中，∠AOC=60°，∵OH=1，∴AH=√3OH=√3，∴AB=2AH=2√3故选：A．在Rt△AOH中，由∠AOC=60°，解直角三角形求得AH=√3，然后利用垂径定理解答即可．本题考查了垂径定理的应用，解直角三角形等，难度不大．8.【答案】C【解析】解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．9.【答案】C【解析】解：∵四边形AOBC 是菱形， ∴∠ACB =∠AOB ，∵∠AOB =2∠D ，∠D +∠C =180°， ∴∠ADB =60°， 故选：C ．根据菱形的性质可得∠ACB =∠AOB ，根据圆周角定理可得∠AOB =2∠D ，再由圆内接四边形对角互补可得∠D +∠C =180°，进而可得答案．此题主要考查了圆周角定理，以及菱形的性质和圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 10.【答案】C【解析】解：由二次函数的图象得a <0，c >0，所以反比例函数y =ax 分布在第二、四象限，正比例函数y =cx 经过第一、三象限， 所以C 选项正确． 故选：C ．利用抛物线开口方向得到a <0，利用抛物线与y 轴的交点位置得到c >0，然后根据反比例函数的性质和正比例函数的性质对各选项进行判断．本题考查了反比例函数图象：反比例函数y =kx (k ≠0)的图象为双曲线，当k >0，图象分布在第一、三象限；当k <0，图象分布在第二、四象限．也考查了正比例函数和二次函数图象． 11.【答案】1±√2【解析】解：由题意可知：m 2−2m +1=2， 解得：m =1±√2， ∵m −3≠0， ∴m ≠3， ∴m1±√2，故答案为：1±√2根据一元二次方程的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．12.【答案】k >−1且k ≠0【解析】解：令y =0，则kx 2−6x −9=0．∵二次函数y =kx 2−6x −9的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程kx 2−6x −9=0有两个不相等的解， ∴{k ≠0△=(−6)2−4k ×(−9)>0， 解得：k >−1且k ≠0． 故答案是：k >−1且k ≠0．由抛物线与x 轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx 2−6x −9=0有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式△>0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．本题拷出来抛物线与x 轴的交点，牢记“△=b 2−4ac >0时，抛物线与x 轴有2个交点”是解题的关键．13.【答案】y=4x【解析】解：设这个反比例函数的表达式为y=kx，∵P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是同一个反比例函数图象上的两点，∴x1⋅y1=x2⋅y2=k，∴1y1=x1k，1y2=x2k，∵1y2=1y1+12，∴1y2−1y1=12，∴x2k −x1k=12，∴x2−x1k =12，∴k=2(x2−x1)，∵x2=x1+2，∴x2−x1=2，∴k=2×2=4，∴这个反比例函数的解析式为：y=4x，故答案为：y=4x．设这个反比例函数的表达式为y=kx ，可得x1⋅y1=x2⋅y2=k，变形后得：1y1=x1k，1y2=x2k，将其代入已知1y2=1y1+12，可得x2−x1k=12，根据x2=x1+2，即可求得k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．同时考查了式子的变形．14.【答案】90【解析】解：设侧面展开图的扇形的圆心角是n°，圆锥的底面半径为R，∴圆锥的底面周长为2πR，∴圆锥侧面展开图的扇形的弧长为2πR，∴nπ×4R180=2πR，解得，n=90，贵答案为：90．根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形的弧长公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15.【答案】30°或150°或180°【解析】解：由折叠可得AE=AB=8cm，∠EAB=α，若∠AED=90°时，∵cos∠DAE=AEAD=816=12∴∠DAE=60°，当AE在AD右侧时，∠EAB=∠DAB−∠DAE=30°，当AE在AD左侧时，∠EAB=∠DAB+∠DAE=150°，∴α=30°或150°若∠DAE=90°时，∴∠EAB=∠DAB+∠DAE=180°，故答案为：30°或150°或180°由折叠的性质可得AE=AB=8cm，∠EAB=α，利用两种情况讨论，由旋转的性质可求解．本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．16.【答案】−1+√52【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠APB=120°，∵E、F为AC、AB中点，∴EF//BC，EF=12BC=12AB=AF=BF，∴∠AFE=∠ABC=60°，∴∠AFP=120°=∠APB，∵∠PAB=∠FAP，∴△APB∽△AFP，∴APAF =ABAP=PBPF，∴AP2=AF×AB，设AF=BF=x，则AB=2x，∴AP2=2x2，AP=√2x，∴PBPF =APAF=√2，∴PB=√2PF，作PM⊥AB于M，如图所示：∵∠PFM=∠AFE=60°，∴∠FPM=30°，∴FM=12PF，PM=√3FM，设FM=y，则PF=2y，PM=√3y，PB=2√2y，BM=x−y，在Rt△BPM中，由勾股定理得：(√3y)2+(x−y)2=(2√2y)2，解得：y=−1±√54x(负值舍去)，∴y=−1+√54x，∴PB=√2(−1+√5)2x，∴PBAP =−1+√52；故答案为：−1+√52．证明△APB∽△AFP，得出APAF =ABAP=PBPF，得出AP2=AF×AB，设AF=BF=x，则AB=2x，则AP2=2x2，AP=√2x，PBPF =APAF=√2，得出PB=√2PF，作PM⊥AB于M，求出∠FPM=30°，由直角三角形的性质得出FM=12PF，PM=√3FM，设FM=y，则PF= 2y，PM=√3y，PB=2√2y，BM=x−y，在Rt△BPM中，由勾股定理得出方程，得出y=−1+√54x，得出PB=√2(−1+√5)2x，即可得出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．17.【答案】解：(1)根据题意得m≠0且△=[−(2m−3)]2−4m(m−1)≥0，解得m≤98且m≠0；(2)由(1)可知m≤98且m≠0，又∵m为正整数，∴m=1，∴原方程变形为x2+x=0，解得x1=0，x2=−1．【解析】(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：m≠0且△=(2m−3)2−4(m−1)≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；(2)利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即△≥0．18.【答案】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=3√2，∴AH=ABsinB=3√2×√22=3BH=AH=3∵AC=5∴在Rt△ACH中，CH=√AC2−AH2=√52−32=4∴BC=BH+AH=3+4=7【解析】作AH⊥BC，垂足为H，构造直角三角形，在Rt△ABH中利用锐角三角函数求出AH、BH的长，在Rt△ACH中利用勾股定理求出CH的长．再利用线段的和差关系求出BC．本题考查了解直角三角形及勾股定理．构造直角三角形是解决本题的关键．19.【答案】证明：(1)连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是AB⏜的中点，∴∠AOC=90°，∵OA=OB，CD=AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC//BD，∴∠ABD=∠AOC=90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：(2)由(1)知，OC//BD，∴△OCE∽△BFE，∴OCBF =OEEB，∵OB=2，∴OC=OB=2，AB=4，OEEB =23，∴2BF =23，∴BF=3，在Rt△ABF中，∠ABF=90°，根据勾股定理得，AF=5，∵S△ABF=12AB⋅BF=12AF⋅BH，∴AB⋅BF=AF⋅BH，∴4×3=5BH，∴BH=125．【解析】(1)先判断出∠AOC=90°，再判断出OC//BD，即可得出结论；(2)先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．20.【答案】解：(1)假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为(32−2x)米，根据题意得：x(32−2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32−2x=18或32−2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．(2)假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为(36−2y)米，根据题意得：y(36−2y)=170，整理得：y2−18y+85=0．∵△=(−18)2−4×1×85=−16<0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．(1)假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(32−2x)米，根据矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；(2)假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为(36−2y)米，根据矩形的面积公式，即可得出关于y 的一元二次方程，由根的判别式△=−16<0，由此得出假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2． 21.【答案】(1)B ；从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相同，其中|x −y|≤2的结果有8种，所以小红、小颖两人“心神领会”的概率为P(她们“心领神会”)=812=23．【解析】解：(1)事件①：小红摸出标有数字3的牌，此事件为随机事件；事件②：小颖摸出标有数字1的牌，此事件是不可能事件； 故答案为：B ． (2)见答案．(1)根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念逐一判断即可得；(2)列表得出所有等可能结果，由表格确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：(1)∵反比例函数y =mx (m >0)在第一象限的图象交于点C(1,8)，∴8=m1，∴m =8，∴函数解析式为y =8x ，将D(4,n)代入y =8x 得，n =84=2．(2)设直线AB 的解析式为y =kx +b ，由题意得{k +b =84k +b =2，解得{k =−2b =10，∴直线AB 的函数解析式为y =−2x +10， 令x =0，则y =10， ∴A(0,10)，∴△ADO 的面积=12×10×4=20=20．【解析】(1)将C点坐标代入y=m，即可求出m的值，将D(4,n)代入解析式即可求出nx的值．(2)将C、D的坐标分别代入直线y=kx+b，根据待定系数法求得解析式，进而求得A 的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，三角形的面积等，难度不大，注重基础，23.【答案】解：(1)由题意可得，y=200−(x−30)×5=−5x+350即周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式是：y=−5x+350；(2)由题意可得，w=(x−20)×(−5x+350)=−5x2+450x−7000(30≤x≤40)，即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式是：w=−5x2+450x−7000(30≤x≤40)；= (3)∵w=−5x2+450x−7000的二次项系数−5<0，顶点的横坐标为：x=−4502×(−5) 45，∴当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，∴x=40时，w取得最大值，w=−5×402+450×40−7000=3000，即当售价x(元/包)定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大，最大利润是3000元．【解析】(1)根据题意可以直接写出y与x之间的函数关系式；(2)根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务可以确定x的取值范围；(3)根据第(2)问中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值．24.【答案】解：(1)∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，∵CE//AM，∴∠ECD=∠ADB，∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB=ED，∵AB//ED，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)结论成立，理由如下：如图2，过点M作MG//DE交CE于G，∵CE//AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED=GM，且ED//GM，由(1)知，AB=GM，AB//GM，∴AB//DE，AB= DE，∴四边形ABDE是平行四边形；(3)如图3取线段CH的中点I，连接MI，∵BM=MC，∴MI是△BHC的中位线，∴MI//BH，MI=12BH，∵BH⊥AC，且BH=AM，∴MI=12AM，MI⊥AC，∴∠CAM=30°．【解析】(1)先判断出∠ECD=∠ADB，进而判断出△ABD≌△EDC，即可得出结论；(2)先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助(1)的结论即可得出结论；(3)先判断出MI//BH，MI=12BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中线，中位线的性质和判定，平行四边形的平行和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解绑的关键．25.【答案】解：(1)把A(0,3)，B(6,3)代入y=−x2+bx+c并解得：{b=6c=3；(2)设P(m,−m2+6m+3)∵∠P=∠B，∠AHP=∠OAB=90°，∴△ABO～△HPA，∴HPAB =AHAO，∴−m2+6m6=m3，解得m=4．∴P(4,11)(3)当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，则2(AO+HQ)=PH∴2(3+6−m2)=−m2+6m，得：m1=4，m2=3，∴P(4,11)或P(3,12)【解析】(1)把A(0,3)，B(6,3)代入y=−x2+bx+c，即可求解；(2)证明△ABO～△HPA，则HPAB =AHAO，即可求解；(3)当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，则2(AO+HQ)=PH，2(3+6−m2)=−m2+6m，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。
湖北省襄阳市四校2019-2020学年高二数学上学期期中试题(PDF)答案
2019—2020学年上学期高二期中考试数学答案一．B A B C,A C B D ,D A D C二.66.13，︒90.14，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞+125),43.(15 ，52.16.三．10.......................22:29.. (20222)27 (2022005)..............................................,1:,0)2(4.......................................................................1022)1(.17+-===-===++=++==+==≠====-∴⊥x y a x y l a a a a a a a a x y a y x a y l a a a m l 时，，当时，当或即由题意得得，令得时，令当不满足题意；时当得解：18.解：这里b=1,c=1,则a=2,112:22=+∴y x C ..........................................................................................4可判断出直线l 与椭圆C 相离.直线,//l m )32(:≠=+n n y x m ，将其与椭圆1222=+y x 联立得：19.解：(1)5.............4)1()3()(44),(22222222的轨迹方程即为点整理得即，由题意可知设P y x y x y x PO PA y x P =+++-=+=(2)12..........45,3139.....................................).........23(5)1(417..................).........(5522222222222最大，最大值为时当又，将其代入上式得）得：由（PA PO x x x PA PO x y y x PO PA PO +-=∴≤≤--=++-=+==+ 12 (2)62332:3:39 (33306)......................................................................02243222=-==+=-====∆=-+-d y x m l C m n n n n n nx x 最小距离为此时的距离最小的公共点到直线与椭圆，直线当或得即令20.解：（1）设圆心C ()0,a ,0>a ,半径为r ，由垂径定理得2222628r a r a =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+且解得10,22==r a (4)∴圆C 的方程为()22210x y -+= (5)(2)设()()1122,,,M x y N x y 是直线y x m =-+与圆C 的交点，将y x m =-+代入圆C 的方程得：()222242604(416)0x m x m m m -++-=∆=--->.∴2121262,2m x x m x x -+=+⋅=∴MN 的中点为22,22m m H +-⎛⎫ ⎪⎝⎭..............................8假如以MN 为直径的圆能过原点，则12OH MN =.∵圆心()2,0C 到直线MN的距离为d =∴MN ==.∴2260m m--=，解得1m=±经检验1m =±时，直线MN 与圆C均相交，∴MN 的方程为1y x =-+或1y x =-+- (12)(或用0=⋅ON OM 求解，酌情给分。
湖北省襄樊市2019-2020学年数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.
【详解】
因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，
由图得：导函数值先负后正的点只有一个，
故函数 在 内极小值点的个数是1.
故选：A
【点睛】
11．在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 。若射线 与曲线 和曲线 分别交于 两点（除极点外），则 等于（ ）
A． B． C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把 分别代入 和 ，求得 的极经，进而求得 ，得到答案．
【详解】
由题意，把 代入 ，可得 ，
把 代入 ，可得 ，
结合图象，可得 ，故选A．
本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.
7．已知函数 ，若 ， ， ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意将问题转化为 ，记 ，从而 在 上单调递增，从而 在 上恒成立，利用分离参数法可得 ，结合题意可得 即可.
【详解】
设 ，因为 ，
所以 .
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.
详解：由题得恰好是2个白球1个红球的概率为 .
故答案为:C.
点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数 ；②求出事件A所包含的基本事件数 ；③代公式 = .
9．函数 在 的图像大致为（）
襄阳四中2019-2020学年高二上学期第一次模块检测数学试题(含答案解析)
襄阳四中2019-2020学年高二上学期第一次模块检测数学试题一、单选题1．总体由编号为01,02,...,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．01B ．02C ．07D ．082．设函数()()ln 1,021,0x x x f x x -⎧+≥=⎨-<⎩，若从区间[],e e -上任取一个实数0x ，A 表示事件“()01f x ≤”，则()P A =（ ） A ．12B ．12eC ．12e e- D ．2e e- 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，142n n S a +=+，则数列{}n a 中的12a 为（ ） A ．20480B ．49152C ．60152D ．891504．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．155．数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =-，且21(35)(32)92110n n n a n a n n +-=--+-，若,n m *∈N ，n m >，则n m S S -的最大值为（ ）A ．10B ．15C ．18D ．266．已知命题00:,1p x R cosx ∀∈≤,则( ) A ．00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥ B ．00:,1p x R cosx ⌝∀∈≥ C ．00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>D ．:,cos 1p x R x ⌝∀∈<7．命题p ： 0x ∀>，10x x +>2﹣2；命题q ：0 x ∃>0，200210x x -+≤，下列选项真命题的是( ) A ．p q ∧￢B ．p q ∧C ．p q ∨￢D ．p q ∧￢￢8．在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a =A B C D 9．随着经济水平及个人消费能力的提升，我国居民对精神层面的追求愈加迫切，如图是2007年到2017年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出同比增速的折线图，图中显示2007年的同比增速为10%， 即2007年与2006年同时期比较2007年的人均消费支出费用是2006年的1.1倍.则下列表述中正确的是（ ）A ．2007年到2017年，同比增速的中位数约为10%B ．2007年到2017年，同比增速的极差约为12%C ．2011年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用最高D ．2007年到2017年，我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用逐年增加 10．“直线l 垂直于平面α内两直线a ，b ”是“直线l ⊥平面α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ） A ．13B ．23C ．12D ．3412．数据1x ，2x ，…，7x 的平均数为7，标准差为3，则数据132x -，232x -，…，732x -的方差和平均数分别为 A ．81，19B ．19，81C ．27，19D ．9，1913．已知关于x 的二次函数2()21f x ax bx =-+，设点(,)a b 是区域20{1010x y x y +-≤+≥+≥内的随机点，则函数()f x 在区间[)1,+∞上是增函数的概率是 ( ) A ．12B ．18C ．716D ．2314．某一算法程序框图如图所不，则输出的S 的值为AB． CD ．015．把21化为二进制数，则此数为（ ） A ．10011（2）B ．10110（2）C ．10101（2）D ．11001（2）二、填空题16．已知,0x y >，且22(2)18x y ++=，则2132x y x y+++的最小值为________．17．已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则x y 的最小值为______________.18．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 19．已知数列2010、2011、1、2010-、2011-、，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2012项之和2012S 等于____.20．恩格尔系数（Engel 'sCoefficient ）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据：若y 与x 之间有线性相关关系，某人年个人消费支出总额为2.6万元，据此估计其恩格尔系数为_____．三、解答题21．某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x (亿元)与科技改造直接收益y (亿元)的数据统计如下：当016x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①： ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y=；当16x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.7y x a =-+. （1）根据下列表格中的数据，比较当016x <≤时模型①､②的相关指数2R ，并选择拟合精度更高､更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益.(附：刻画回归效果的相关指数22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑.)（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16亿元与20亿元时公司实际收益的大小；(附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()1122211ˆˆˆ;n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bay bx xnx x x ====-⋅--===---∑∑∑∑) （3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X 大幅提高，X 服从正态分布2(0.52,0.01)N ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望.(附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=.)22．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2b a Bc -=． （1）求角A 的大小；（2）若,M D 在BC 边上，且2BC BM =，AD •0BC =，且b c -==22||AM AD +．23．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84；乙：92，95，80，75，83，80，90，85 （1） 用茎叶图表示这两组数据，并计算平均数与方差；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．24．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且2354,3,2S S S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}2n n a b ⋅是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.参考答案1．A根据随机数表依次进行选择，编号超过20的不要，重复的保留一次，即可得出结果.因为总体由编号为01,02,...,19,20的20个个体组成，由表格可知：从随机数表第1行的第7列和第8列数字开始，由左到右依次选取的两个数字中编号在20以内且不重复的5个个体编号依次为08，02，14，07，01，所以选出来的第5个个体的编号为01. 故选：A本题主要考查用随机数法进行简单随机抽样，属于基础题. 2．A分析：只要求出不等式f （x 0）≤1的解，利用几何概型的不等式的解集是线段的长度，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 详解：∵函数f （x ）=()()()10210xln x x x -⎧+≥⎪⎨-⎪⎩＜，x ∈[﹣e ，e]， 解f （x 0）≤1得：x 0∈[﹣1，e ﹣1]故P （A ）=()()11e e e -----=12， 故选：A ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 3．B由2142S a =+有12142a a a +=+，解得28a =，故2124a a -=，又221144n n n n n a S S a a ++++=-=-，于是()211222n n n n a a a a +++-=-，因此数列{}12n n a a +-是以2124a a -=为首项，公比为2的等比数列，得1112422n n n n a a -++-=⨯=，于是11122n nn na a ++-=，因此数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，解得()11,22n n n n a n n a n =+-==⋅，1212122=49152a ∴=⨯，故选B.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法， 已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况.，进而得出{}n a 的通项公式. 4．C根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 设阴影部分的面积是s ，由题意得4001000=s 52∴s =10，选C.(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 5．C由已知条件求出数列的通项公式，根据数列特征求出最值()()21353292110n n n a n a n n +-=--+-,()()()21353292110n n n a n a n n +∴-=---+，()()()()135323532n n n a n a n n +-=----，*n N ∈，113235n na a n n +∴=---，∴数列35n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，首项为1435a =-，1d =-()41535na n n n =--=--, ()()355n a n n =--,23a =,3 8a =,47a = 在数列{}n a 中只有2a ,3a ,4 a 为正数n m S S ∴-的最大值为234 38718a a a ++=++=故选C本题主要考查了求数列的通项公式，并结合数列特征求和的最值问题，在解答时注意对已知条件的转化和运用，得到新数列为等差数列，继而求出通项公式 6．C通过全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可. 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题00:,1p x R cosx ∀∈≤， 则00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>， 故选C.该题考查的是有关全称命题的否定问题，注意其否定形式即可，属于简单命题. 7．A根据()2110x x x +=-≥22-，所以可知p 假q 真，然后根据真值表，逐一验证，可得结果.命题20210p x x x -∀+：＞，＞； 是假命题，因为1x ＝时不成立； 命题2000:0,210q x x x ∃>-+≤，当01x ＝时，命题成立，所以是真命题． p q ∧￢，是真命题；A 正确p q ∧是假命题；B 错p q ∨￢是假命题；C 错p q ∧￢￢是假命题；D 错故选：A ．本题考查命题真假以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 8．A由正弦定理得153sin sin 3sin 4a b a A B π⨯=∴== ，选A. 9．A根据中位数的定义判断A 选项；算出2007年到2017年的极差，判断B 选项；由2011年的同比增速最大，而不是支出费用最高，判断C 选项；由2013年负增长，判断D 选项.由图可知，同比增速的中位数从小到大应为2007年、2010年、2012年、2016年中的一年，约为10%，则A 正确；2007年到2017年，同比增速的极差约为14%(2%)16%--=，则B 错误； 2011年的同比增速最大，而不是支出费用最高，则C 错误； 2013年负增长，则D 错误； 故选：A本题主要考查了根据折线统计图解决实际问题，属于基础题. 10．B试题分析：由线面垂直的判定定理可知：“直线l 垂直于平面α内两直线a ，b ”不能推出 “直线l ⊥平面α”，由直线与平面垂直的性质可知：“直线l ⊥平面α”⇒“直线l 垂直于平面α内两直线a ，b ” 所以“直线l 垂直于平面α内两直线a ，b ”是“直线l ⊥平面α”的必要不充分条件，故选B. 11．C12．A根据下列性质计算：数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，标准差为s ，其方差为2s ，则1ax b +，2ax b +，…，n ax b +的方差为22a s ，平均数为ax b +.数据1x ，2x ，…，7x 的平均数为7，标准差为3，所以数据1x ，2x ，…，7x 的方差为9，平均数为7.根据方差和平均数的性质可得132x -，232x -，…，732x -的方差为23981⨯=，平均数为37219⨯-=.选A.本题考查方差与平均数的概念，解题关键是掌握平均数与方差的性质：数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2s ，则1ax b +，2ax b +，…，n ax b +的方差为22a s ，平均数为ax b +. 13．C。
2019-2020学年湖北省襄阳市四校高二上学期期中数学试题(解析版)
湖北省襄阳市四校高二上学期期中数学试题一、单选题1．过两点1,,,))3((2A y B -的直线的倾斜角是135︒，则y 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．5- D ．5【答案】B【解析】由题意利用直线的斜率的定义和公式可得3tan135112y +︒==--，由此求得y 的值． 【详解】解：Q 过两点(1,)A y ，(2,3)B -的直线的倾斜角是135︒， 3tan135112y +∴︒==--，2y ∴=-， 故选B ． 【点睛】本题主要考查直线的斜率的定义和公式，属于基础题．2．设,,m n q 是不同的直线，,αβ是两个不同的平面. 下列命题中正确的是（ ） A ．若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥ B ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ C ．,,,m n q m q n α⊂⊥⊥，则q α⊥ D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】A【解析】分别由线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质可求解； 【详解】解：A ：由线线平行，线面平行，面面垂直知A 正确；B ：若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥或//m n 或m 、n 是异面直线，故B 错误； :C m ，n ⊂α，q m ⊥，q n ⊥，则q α⊥或q α⊂，或//q α，故C 错误；D ：若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ，或m 、n 是异面直线，故D 错误；故选A ． 【点睛】考查线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质，属于基础题．3．若直线1:10l ax y +-=与直线2:10l x ay ++=平行，则两平行线间的距离为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】首先利用直线平行的充要条件的应用求出直线的方程，进一步利用平行线间的距离公式的应用求出结果． 【详解】解：直线1:10l ax y +-=与直线2:10l x ay ++=平行， 则210a -=，解得1a =±，当1a =-时，直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y -+=重合，故舍去． 当1a =时，直线1:10l x y +-=与直线2:10l x y ++=平行，故两平行线间的距离d =故选B ． 【点睛】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，直线平行的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．向量(2,1,),(2,,1)a x b y ==-r r ，若a =r a b ⊥r r，则x y +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．4-D ．4【答案】C【解析】根据a =r x 的值，再根据a b ⊥r r得出0a b =r r g ，列方程求出y 的值，即可计算x y +的值． 【详解】解：向量(2,1,)a x =r，若a =r0x =；又向量(2,,1)b y =-r ，且a b ⊥r r，则400a b y =++=r rg，解得4y =-； 所以4x y +=-． 故选C ． 【点睛】本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题．5．在一个平面上，机器人到与点(3,3)C -的距离为8的地方绕C 点顺时针而行，它在行进过程中到经过点0()10,A -与(0,10)B 的直线的最近距离为（ ） A ．828- B ．828+C ．82D ．122【答案】A【解析】由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离． 【详解】解：机器人到与点C (3,3)-距离为8的地方绕C 点顺时针而行， 在行进过程中保持与点C 的距离不变，∴机器人的运行轨迹方程为22(3)(3)64x y -++=，如图所示；(10,0)A -Q 与(0,10)B ，∴直线AB 的方程为11010x y+=-，即为100x y -+=， 则圆心C 到直线AB 的距离为82811d ==>+， ∴最近距离为828-．故选A ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．6．圆A 的半径为4，圆心为1,0,()(,0)1A B -是圆A 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线与半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（ ）A ．22134x y +=B ．2216x y +=C ．22143x y +=D ．22(1)16x y ++=【答案】C【解析】数形结合利用垂直平分线的定义得到动点Q 到定点A 、B 的距离之和为定值4（大于两定点间的距离2)AB =，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程． 【详解】解：如图，直线l 为线段BP 的垂直平分线，∴连接BQ ，由线段垂直平分线的性质得：BQ PQ =，而半径AP AQ PQ =+，且A 、B 两点为定点， 42AQ BQ AB ∴+=>=，∴由椭圆定义得：Q 点轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆，且24a =，22c =，2a ∴=，1c =，3b ∴=∴椭圆方程为：22143x y +=，故选C ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，是中档题，也是轨迹方程的常见题型．7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15B ．56C 5D ．22【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),(0,0,3)D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1,3)AD DB u u u u v u u u u v=-=,因为1111115cos ,525AD DB AD DB AD DB ⋅===⨯u u u u v u u u u vu u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.8．已知圆221)68):((C x y -+-=和两点()()(),0,,00A m B m m ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】D【解析】根据圆心C 到(0,0)O 的距离为10，可得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为11，再由90APB ∠=︒，可得12PO AB m ==，可得11m …，则答案可求． 【详解】解：圆221)68):((C x y -+-=的圆心()6,8C ，半径为1，Q 圆心C 到(0,0)O 的距离为10，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为11．再由90APB ∠=︒可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点， 可得12PO AB m ==，故有11m …， m ∴的最大值为11．故选D ．本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C 上的点到点O 的距离的最大值是解题的关键，属于中档题．9．已知向量a r ，b r ，c r是空间的一个单位正交基底，向量,,b b a a c +-r r r r r 是空间的另一个基底，若向量p u r 在基底a r ，b r ，c r下的坐标为(3,2,1)，则它在,,b b a a c +-r r r r r 下的坐标为（ ） A ．15,,122⎛⎫⎪⎝⎭B ．51,1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C ．151,,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】可设向量()1,0,0a =r ，()0,1,0b =r ，()0,0,1c =r ；由此求出向量a b +r r 、a b -r r，再设()()p x a b y a b zc =++-+u r r r r r r，列方程组求出x 、y 和z 即可．【详解】解：设向量()1,0,0a =r ，()0,1,0b =r ，()0,0,1c =r；则向量()1,1,0a b +=r r，()=1,1,0a b --r r ， 又向量()3,2,1p =u r ，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+u r r r r r r， 则()()3,2,1,,x y x y z =+-，即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩， 解得52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p u r 在,,b b a a c +-r r r r r 下的坐标为51,,122⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ．本题考查了空间向量的坐标表示应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 10．已知()()4,0,0,4A B ，从点(1,0)P 射出的光线被直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经OB 反射后回到P 点，则光线所经过的路程是（ ） A．B ．6C．D．【答案】A【解析】设点P 关于y 轴的对称点P '，点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点P ''，由对称点可求得P '和P ''的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程||P P '''． 【详解】解：点P 关于y 轴的对称点P '坐标是(1,0)-，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点(,)P a b ''∴0111422b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，(4,3)P ∴''，∴光线所经过的路程||P P '''故选A ． 【点睛】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为||P P '''的长度，属于中档题．11．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A．B ．13C．2D【答案】D【解析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =，根据柯西不等式得到a ，b 关系，代入即可． 【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ===，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．12．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意，设(4,)P m m -，分析可得AB 是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，据此可得以PC 为直径的圆的方程，又由圆C 的方程，分析可得直线AB 的方程，变形可得答案． 【详解】解：根据题意，点P 为直线40x y +-=上一动点，则设(4,)P m m -，PA Q ，PB 是圆C 的切线，CA PA ∴⊥，CB PB ⊥，AB ∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为2222[(2)]()(2)()2222m m m mx y --+-=-+，① 又圆C 的方程为：221x y +=，②， ①-②，得(4)10m x my -+-=， 即()410m y x x -+-=，则该直线必过点11,44⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．二、填空题13．一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为60︒，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________. 【答案】66【解析】设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，1AA c =u u ur r ，根据平行四边形法则，对角线1AC a b c =++u u u u r r r r ，再结合条件，利用向量的模即可求出对角线长． 【详解】解：设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，1AA c =u u ur r ，因为11AC AB AD AA a b c =++=++u u u u r u u u r u u u r u u u r r r r，所以()222221222363636666cos60216AC a b ca b c a b a c b c =++=+++++=+++⨯⨯⨯︒=u u u u r r r r r r r r r r r r r g g g ，所以对角线166AC =u u u u r． 故答案为66．【点睛】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．14．椭圆22194x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则12F PF ∠=________.【答案】90︒【解析】根据题意，由椭圆的方程分析可得a 、b 的值，计算可得c 的值，由椭圆的定义可得2||PF 的值，在△12F PF 中，通过1||PF ，2||PF ，12||F F ，由勾股定理分析可得答案． 【详解】解：根据题意，椭圆22194x y +=，其中3a =，2b =，则c =点P 在椭圆上，若1||4PF =，则21||2||642PF a PF =-=-=，在△12F PF 中，1||4PF =，2||2PF =，12||2F F c ==， 则2221212||||||PF PF F F +=， 则有1290F PF ∠=︒， 故答案为90︒． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的定义分析得到2||PF 的值，是中档题．15．直线(2)4y k x =-+与曲线1y =k 的取值范围是________. 【答案】35,412⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭U 【解析】根据方程可知直线恒过点(2,4)，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出k ，再结合图形求出当直线经过点(2,1)-，(2,1)时，实数k 的取值，即可的k 的取值范围． 【详解】 解：如图，由题知曲线1y =22(1)4x y +-=，表示以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线1y =上方， 直线(2)4y k x =-+恒过点(2,4)，因为直线与曲线只有一个交点， 由圆心到直线的距离等于半径得221k =+，解得512k =， 由图，当直线经过点(2,1)-时，直线的斜率为4132(2)4-=--，当直线经过点(2,1)时，直线的斜率不存在， 综上，实数k 的取值范围是512k =，或34k >， 故答案为 35,412⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭U ．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题16．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B （含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________. 【答案】25【解析】建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m u r，直线ME与平面1D EF 所成角为α，2sin cos ,15m EM a α=+⋅u r u u u u r [0a ∈，2]，所以当2a =时，取到最小值，代入即可． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =， 则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)，设平面DEF 的法向量为(m x =u r，y ，)z ， 1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-u u u r u u u u r，由0m EF ⋅=u r u u u r，10m D E ⋅=u r u u u u r ，得020y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =u r，0，2)，由(0,,1)EM a =u u u u r，设直线ME 与平面1D EF 所成角为α，2sincos ,15m EM a α==+⋅u r u u u u r，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，sin α的最小值为2555=⋅， 故答案为25．【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．三、解答题17．若直线l 的方程为220()ax y a a R +--=∈. （1）若直线l 与直线:20m x y -=垂直，求a 的值； （2）若直线l 在两轴上的截距相等，求该直线的方程. 【答案】（1）1；（2）0x y -=，20x y +-=．【解析】（1）直线l 与直线:20m x y -=垂直，可得220a -=，解得a ．（2）当0a =时，直线l 化为：1y =．不满足题意．当0a ≠时，可得直线l 与坐标轴的交点2(0,)2a +，2,0a a +⎛⎫⎪⎝⎭．根据直线l 在两轴上的截距相等，即可得出． 【详解】解：（1）Q 直线l 与直线:20m x y -=垂直， 220a ∴-=，解得1a =．（2）当0a =时，直线l 化为：1y =．不满足题意． 当0a ≠时，可得直线l 与坐标轴的交点2(0,)2a +，2,0a a +⎛⎫⎪⎝⎭． Q 直线l 在两轴上的截距相等，∴222a a a++=，解得：2a =±． ∴该直线的方程为：0x y -=，20x y +-=．【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，已知其短半轴长为1，半焦距为1，直线:0l x y +-=. （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上是否存在一点，它到直线l 的距离最小，最小距离是多少？【答案】（1）2212x y +=；（2【解析】（1）根据题意得a ，b 得椭圆的方程．（2）直线l 与椭圆相离，设直线//m l ，且直线m 与椭圆相切时，直线m 与椭圆的公共点到直线l 的距离最小． 【详解】解：（1）Q 焦点在x 轴上，已知其短半轴长为1，半焦距为1，1b ∴=，1c =，∴a ==，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=．（2）由图象可知，直线l 与椭圆相离，设直线//m l ，且直线m 与椭圆相切，则直线m 方程为：(x y n n +=≠，联立2212x y n x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，2234220x nx n -+-=， ∴222(4)43(22)8240n n n ∆=--⨯⨯-=-+=，∴n =或n =当n =m 与椭圆的公共点到直线l 的距离最小，此时直线:m x y +=，最小距离为2d ==． 【点睛】考查椭圆标准方程以及最值，会用到转化思想，属于中档题．19．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 若平面内两定点0,0,()()3,0O A ，动点P 满足12PO PA=. （1）求点P 的轨迹方程； （2）求22PO PA +的最大值.【答案】（1）22(1)4x y ++=；（2）45.【解析】（1）代入法求轨迹方程，设(),P x y ，根据题意得到方程．（2）由2222255()PO PA PO x y +==+再转化代入求最大值【详解】（1）设(),P x y ，由题意可知224PA PO =即22224()(3)x y x y +=-+整理得22(1)4x y ++=，即为点P 的轨迹方程 ；（2）2222255()PO PA PO x y +==+，由（1）得：224(1)y x =-+，将其代入上式得225(32)PO PA x +=-，又∵31x -≤≤∴当3x =-时，22PO PA +最大，最大值为45. 【点睛】本题考查了求轨迹方程，以及考查求最值，是中档题．20．设圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，与y 轴相交于点(A ，且直线y x =被圆C截得的弦长为 （1）求圆C 的标准方程；（2）设直线y x m =-+与圆C 交于,M N 两点，那么以MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN 的方程；若不能，请说明理由.【答案】（1）22(2)10x y -+=；（2）能，1y x =-++1y x =-+-【解析】（1）设圆心(,0)C a ，0a >，半径为r ，由垂径定理列关于a 与r 的方程，结合点在圆上联立求得a 与r 的值，则圆C 的方程可求；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是直线y x m =-+与圆C 的交点，联立直线方程与圆的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可得MN 的中点H 的坐标，假如以MN 为直径的圆过原点，则1||||2OH MN =，由此列式求解m 值，则直线MN 的方程可求． 【详解】（1）设圆心(),0,0C a a >，半径为r ，由垂径定理得228r +=且226a r += 解得22,10a r ==，∴圆C 的方程为22(2)10x y -+= ；（2）设()()1122,,,M x y N x y 是直线y x m =-+与圆C 的交点， 将y x m =-+代入圆C 的方程得：222(42)60x m x m -++-=()244160m m ∆=---> ∴122x x m +=+，21262m x x -⋅=∴MN 的中点为22,22m m H +-⎛⎫⎪⎝⎭. 以MN 为直径的圆能过原点，则1||||2OH MN =， ∵圆心()2,0C 到直线MN 的距离为2d =， ∴222(2)||22102m MN r d -=-=-.∴2260m m --=，解得17m =± ， 经检验17m =±时，直线MN 与圆C 均相交， ∴MN 的方程为17y x =-++或17y x =-+-. 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，3,2,1SA AB BC AD ====.（1）若M 为棱SB 的中点，求证：//AM 平面SCD ；（2）当,3SM MB DN NC ==时，求平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2315. 【解析】（1）取线段SC 的中点E ，连结ME ，ED ，推导出四边形AMED 为平行四边形，从而//AM DE ，由此能证明//AM 平面SCD ．（2）以A 为坐标原点，建立分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．【详解】（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接,ME ED .在SBC ∆中，ME 为中位线 ∴//ME BC 且12ME BC=， ∵//AD BC 且12AD BC =， ∴//ME AD 且ME AD = ∴四边形AMED 为平行四边形. ∴//AD DE .∵DE ⊂平面,SCD AM ⊄平面SCD ， ∴//AM 平面SCD .（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,3,0),(2,3,0),(1,0,0),(0,0,3)A B C D S ，于是1332AM AB BS ⎛=+= ⎝⎭u u u u r u u u r u u u r 33733(1,0,0)3,0),,04444AN AD DC ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r设平面AMN 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则0AM n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u v v ， 将坐标代入并取7y =，得(7)n =--r.另外易知平面SAB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r，所以平面AMN 与平面SAB所成的锐二面角的余弦为25||||m n m n ⋅=u r r ur r . 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆2245x y +=相切于点24,55M ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程.（2）过点F 作一条斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求2ABF ∆的面积的最大值.【答案】（1）22:14x C y +=；（2）2. 【解析】（1）根据直线和圆相切的等价条件求出切线方程，即可得到结论；（2）设直线:l x my =(0)m ≠．联立2244x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩利用韦达定理，弦长公式可得2ABF S ∆=．令t =，(1)t >，利用基本不等式求最值即可 【详解】 （1）∵2OM k = ∴412:525PQ y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ∴(0,1),(2,0)P Q ，即2,1a b ==∴椭圆22:14x C y +=.（2）设直线l 的方程为：0)x my m =≠，代入椭圆C 的方程为：()22410my +--=1212210,4y y y y m ∆>+==-+，又12||F F =∴21212ABFS y y ∆=⨯-==，令1)t t =>，则22ABF S t t∆==≤=+此时t m ==∴()2max2ABF S ∆=.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，三角形面积的最值，利用直线和椭圆的位置关系，联立方程组，利用设而不求思想结合直线和椭圆相交的弦长公式是解决本题的关键．。
湖北省襄樊市2019-2020学年高二下学期期末2份数学教学质量检测试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3(2)()(1)(2)x a x f x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，若8(3)9f =-，则实数a 是（ ）A ．1B ．-1C ．19D ．02．e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e≤≤ C ．1a >-或2198a e <<D ．1a >-或98a >3．两个线性相关变量x 与y 的统计数据如表：其回归直线方程是4ˆ0ˆybx =+，则相对应于点（11，5）的残差为（ ） A ．0.1B ．0.2C ．﹣0.1D ．﹣0.24．已知集合{}2|160A x x =-<，{}5,0,1B =-，则( )A ．AB =∅ B ．B A ⊆C ．{}0,1AB =D ．A B ⊆5．函数()ln 41f x x x =-+的递增区间为（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,4C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ） A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种7．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是( )A ．335B ．338 C ．217D ．以上都不正确8．用数学归纳法证明()*1111N ,12321n n n n ++++<∈>-时，第一步应验证不等式（ ）A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 9．以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是 A ．38=0+x y -B ．3=+0+4x yC ．36=0+x y -D ．3=+0+3x y10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题11．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,...,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[]1,200的人做试卷A ，编号落在[]201,560的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为( ) A ．10B ．12C ．18D ．2812．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R =，则a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤-或1a ≥B ．21a -≤≤C ．21a -<<D ．2a <-或1a >二、填空题：本题共4小题 13．已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的交点，若为正三角形，则双曲线的离心率是____14．已知2()22f x x x b =++是定义在[-1,0]上的函数, 若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是_______ 15．已知函数32()4f x x ax =++恰有两个零点，则实数a 的值为___________ 16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为7。
湖北省襄阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
湖北省襄阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·聊城期中) 经市场调查，某旅游线路票销售量（张）与旅游单价（元/张）负相关，则其回归方程可能是（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·榆林模拟) 设a＞0，b＞0（）A . 若lna+2a=lnb+3b，则a＞bB . 2a+2a=2b+3b，则a＜bC . 若lna﹣2a=lnb﹣3b，则a＞bD . 2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b3. （2分）下面说法中正确的是（）A . 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值B . 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的平均水平C . 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的平均水平D . 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值4. （2分）前12个正整数组成一个集合，此集合的符合如下条件的子集的数目为：子集均含有4个元素，且这4个元素至少有两个是连续的．则等于（）A . 126B . 3605. （2分）经过点A（1，0），B（0，1）的直线方程为（）A . y=x+1B . y=x﹣1C . y=﹣x+1D . y=﹣x﹣16. （2分） (2016高二上·陕西期中) 点P（x，2，1）到Q（1，1，2），R（2，1，1）的距离相等，则x的值为（）A .B . 1C .D . 27. （2分） (2020高一上·那曲期末) 圆的方程为，则圆心坐标为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二下·宜昌期中) 已知（x﹣1）n的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若（x﹣1）n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n ，则a1等于（）A . 192B . 4489. （2分） (2017高一上·焦作期末) 已知α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A . 若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB . 若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l⊥αC . 若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nD . 若l⊥α且l⊥β，则α∥β10. （2分）某酒厂制作了3种不同的精美卡片，每瓶酒酒盒随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种酒5瓶，能获奖的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）已知ξ的分布列如下表，则D（ξ）的值为（）ξ1234PA .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·邢台期末) 3男3女共6名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有2人排在一起，则不同的排法种数为（）A . 144B . 160C . 180D . 240二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2017·呼和浩特模拟) 设随机向量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数f（x）= x没有极值点的概率是________．14. （1分）(2020·辽宁模拟) 近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为________.15. （1分） (2016高一上·石家庄期中) 给出下列四种说法：①函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；②函数y=x3与y=3x的值域相同；③函数y= + 与y= 都是奇函数；④函数y=（x﹣1）2与y=2x﹣1在区间[0，+∞）上都是增函数．其中正确的序号是________（把你认为正确叙述的序号都填上）．16. （1分）设实数x、y满足x2+y2﹣4x+3=0，则x2+y2﹣2y的最大值为________．三、解答题： (共6题；共50分)17. （5分）(2018·茂名模拟) 一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关,现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：温度x/°C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中xi,yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1,2,3,4,5,6.(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程 = x+ （精确到0.1）；(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为 =0.06e0.2303x ，且相关指数R2=0.9522.(i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn),其回归直线 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计为= −；相关指数R2= ．18. （5分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）•（x﹣m﹣1）≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．19. （15分） (2018高三上·长春期中) 如图，正方体的棱长为1，，求：（1）与所成角；（2）求点B到与平面的距离；（3）平面与平面所成的二面角 .20. （10分）(2013·陕西理) 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．21. （10分） (2017高二上·襄阳期末) 设（x+2）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*，n≥2），且a0 ， a1 ，a2成等差数列．（1）求（x+2）n展开式的中间项；（2）求（x+2）n展开式所有含x奇次幂的系数和．22. （5分）(2017·东北三省模拟) 某次数学测试之后，数学组的老师对全校数学总成绩分布在[105，135）的n名同学的19题成绩进行了分析，数据整理如下：组数分组19题满分人数19题满分人数占本组人数比例第一组[105，110]150.3第二组[110，115）300.3第三组[115，120）x0.4第四组[120，125）1000.5第五组[125，130）1200.6第六组[130，135）195y（Ⅰ）补全所给的频率分布直方图，并求n，x，y的值；（Ⅱ）现从[110，115）、[115，120）两个分数段的19题满分的试卷中，按分层抽样的方法抽取9份进行展出，并从9份试卷中选出两份作为优秀试卷，优秀试卷在[115，120）中的分数记为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2019-2020学年湖北省襄樊市数学高二下期末教学质量检测试题含解析
2019-2020学年湖北省襄樊市数学高二(下)期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设函数()2(xe f x mx e x =-为自然对数的底数）在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．43,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．43,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],0-∞2．命题:p “20,2x x x ∀≥>”的否定p ⌝为（ ）A ．2000,2x x x ∃≥< B ．20,2x x x ∀≥< C ．02000,2xx x ∃≥≤D ．20,2x x x ∀≥≤3． “不等式101x x +≤-成立”是“不等式()()110x x -+≤成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知:1p a >，213211:22a aq +-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．29π D ．49π 7．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16B ．163C ．163D ．12838．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现9．已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.54，B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)55.5，10．已知A ，B 的⊙O 上的两个点，OA u u u v ·OB uuu v ＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足｜OA u u u v＋CB u u u v｜＝1，则｜AC u u u v｜的最大值为（ ）A ＋1B 1C ．＋1D +111．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（ ） A ．77种B ．144种C ．35种D ．72种12．下列关于残差图的描述错误的是（ ） A ．残差图的横坐标可以是编号B ．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．若函数()21ln 2f x ax x x x =+-存在单调递增区间，则a 的取值范围是___. 14．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数是________. 15．已知直线l 与椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>相切于第一象限的点00(,)P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB V (O 为坐标原点)的面积最小时，1260F PF ︒∠=(1F 、2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在12PF F △中，12F PF ∠，则实数m 的值是__________． 16．已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知复数()()22563z m m m m i =-++-，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值. 18．已知实数k 为整数，函数2()ln 1324f x x x k =-+++-，2215()ln 1422x g x x x e x x =-++++- （1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果存在(0,)x ∈+∞，使得()()f x g x ≥成立，试判断整数k 是否有最小值，若有，求出k 值；若无，请说明理由（注： 2.71828e =为自然对数的底数）.19．（6分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.如果学生平均每周手机上网的时长大于21小时，则称为“过度用网”（1）请根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（2）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（3）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望E ξ.20．（6分）已知()()()2012211+=+-+-nx a a x a x ()()1++-∈nn a x n L *N .（1）求0a 及12n n S a a a =+++L ；（2）试比较n S 与223n n -的大小，并用数学归纳法证明. 21．（6分）已知在33nx x -的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）求展开式中所有的有理项.22．（8分）已知函数3()3f x x x =-（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[-3,2]上的最值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据单调性与导数的关系，有()0f x '≥在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，将恒成立问题转化成最值问题，利用导数，研究22(21)()x e x g x x⋅-=的单调性，求出最小值，即可得到实数m 的取值范围。
湖北省襄樊市2019-2020学年数学高二下期末教学质量检测试题含解析
湖北省襄樊市2019-2020学年数学高二下期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1． “m≠0”是“方程22x y -=m 表示的曲线为双曲线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程进行判断．【详解】0m =时，方程220x y -=表示两条直线y x =±，0m ≠时，方程可化为221x y m m -=，0m >时表示焦点在x 轴上的双曲线，0m <时表示焦点在y 轴上的双曲线．故选C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程．2．已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ） A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减B ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形C ．0x R ∃∈，使()00f x =D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=【答案】A【解析】分析：求导f′（x ）=3x 2+2ax+b ，导函数为二次函数，若存在极小值点，根据二次函数的图象便知一定存在极大值点，并且该极大值点在极小值点的左边，从而知道存在实数x 1＜x 0，使f （x ）在（﹣∞，x 1）上单调递增，从而判断出A 的结论错误，而根据f （x ）的值域便知f （x ）和x 轴至少一个交点，从而B 的结论正确，而a=b=c=0时，f （x ）=x 3为中心对称图形，从而判断C 正确，而根据极值点的定义便知D 正确，从而得出结论错误的为A ．详解：A ．f′（x ）=3x 2+2ax+b ，导函数为二次函数；∴在极小值点的左边有一个极大值点，即方程f′（x ）=0的另一根，设为x 1；则x 1＜x 0，且x ＜x 1时，f′（x ）＞0；即函数f （x ）在（﹣∞，x 1）上单调递增,∴选项A 错误；B ．该函数的值域为（﹣∞，+∞），∴f （x ）的图象和x 轴至少一个交点；∴∃x 0∈R ，使f （x 0）=0；∴选项B 正确；C ．当a=b=c=0时，f （x ）=x 3，为奇函数，图象关于原点对称；∴f （x ）是中心对称图形,∴选项C 正确；D ．函数在极值点处的导数为0,∴选项D 正确．故选：A ．点睛：本题利用导函数研究了函数的极值点，零点，对称性，单调性等性质，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.3．已知正项等差数列{}n a 满足：211(2)n n n a a a n +-+=≥，等比数列{}n b 满足：112(2)n n n b b b n +-⋅=≥，则220182018log ()a b +=（ ）A ．-1或2B ．0或2C ．2D ．1 【答案】C【解析】分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论． 详解：由()2112n n n a a a n +-+=≥，得211n n n a a a +-=+ ，∵{}n a 是正项等差数列，∴2112n n n n a a a a +-=+=，22n a n ∴=≥，（） ，111120222n n n n n n b b b n b b b n +-+-⋅-=≥∴⋅=≥Q （），（），∵{}n b 是等比数列，2112222n n n n n b b b b n b n +-∴⋅==≥∴=≥（），，（）， 则2222242n n log a b log log （）（）+=+==，即()220182018log 4a b += 故选：D ．点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．4．若实数x y ，满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由203x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)B ， 代入目标函数2z x y =+得2124z =⨯+=．即目标函数2z x y =+的最大值为1．故选B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】D【解析】【分析】【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ． 考点：利用导数研究函数的单调性.6．已知 ，其中 是实数， 是虚数单位，则 的共轭复数为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 ∵，∴x=2,y=1，∴复数2+i 的共轭复数为，故选D7．已知集合M ＝{x|(x －1)2＜4，x ∈R}，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N ＝（ ）A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}【答案】A【解析】试题分析：求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．解：由（x ﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x ＜3，即M={x|﹣1＜x ＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 8．函数f(x)＝21x x e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项.【详解】因为f(－x)＝21x x e--≠f(x)知f(x)的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C. 又f(2)＝214e -＝－23e <0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.9．展开式中的系数为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】【分析】由二项式定理展开式的通项公式，赋值即可求出。
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C 选项, 直线 a ，直线 b ，且 a / / ，b / / ,当直线 a ∥b ，同样不能保证平面 与平面 平行，
故 C 错误；
D 选项, 内的任何一条直线都与 平行,则 内至少有两条相交直线与平面 平行，故平面 与平面
平行;
故选:D.
【点睛】本题主要考查平面与平面平行的判断，解题时要认真审题，熟练掌握面与平面平行的判定定理，
1. 平面 与平面 平行的充分条件可以是（ ）
A. 内有无穷多条直线都与 平行
B. 直线 a / / ， a / / ，且直线 a 不在 内，也不在 内 C. 直线 a ，直线 b ，且 a / / ， b / / D. 内的任何一条直线都与 平行
【答案】D 【解析】 【分析】 利用平面与平面平行的判定定理一一进行判断，可得正确答案.
2020 年 1 月襄阳市普通高中调研统一测试 高二数学试卷
本试卷共 4 页，22 题.全卷满分 150 分.考式用时 120 分钟. 注意事项： 1.答题前，选将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡 上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效. 5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
注意空间思维能力的培养. 2. 已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中不．正．确．命题的个数是（ ）
Aห้องสมุดไป่ตู้ 3
B. 2
C. 1
D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
作出正方体 ABCD A1B1C1D1 的直观图，利用线面、面面的位置关系，对每个选项进行一一判断.
【详解】作出正方体 ABCD A1B1C1D1 的直观图，如图所示：
对①，一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线；如图中 A1B 与 AB 不垂直，故①
)
25 9
25 k 9 k
A. 长轴长相等 【答案】D
B. 短轴长相等
C. 离心率相等
【解析】
【分析】
分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．
D. 焦距相等
【详解】解：曲线 x2 y2 1表示焦点在 x 轴上，长轴长为 10，短轴长为 6，离心率为 4 ，焦距为 8．
25 9
5
曲线
x2 25 k
y2 9k
1(k
9) 表示焦点在
x 轴上，长轴长为 2
25 k ，短轴长为 2
9k ，
4
离心率为
，焦距为 8．
25 k
对照选项，则 D 正确．
故选： D ．
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
4. 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AB BC ， AB BC 2 ，CC1 2 2 ，则异面直线 AC1 与 A1B1
又 AB A1B1 ，则 BAC1 为异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角. 因为 AB BC，且三棱柱为直三棱柱，∴ AB CC1，∴ AB 面 BCC1B1 ， ∴ AB BC1 ，
又 AB BC 2 ， CC1 2 2 ，∴ BC1 2 2 2 22 2 3 ，
∴ tanBAC1 3 ，解得 BAC1 60 .
错误；
对②，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；这一定是正确的，如图中，已知直线 A1B ， 在平面 ABCD 中，所有与 BC 平行直线都与它垂直，故②正确；
对③：一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面；如图中： A1B ，故③错误；
对④：过一个平面内任意一点作交线的垂线，利用面面垂直的性质定理，则垂线一定垂直于另一个平面，
A. 2 17
B. 2 23
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】CA AB ， BD AB
0 ， 0
CA AB
BD AB
C. 2 35
如图中 AA1 ，它垂直于面 ADD1A1 与面 ABCD 的交线 AD ，则 AA1 垂直于平面 ABCD ，故④正确．
故选：B
【点睛】本题考查空间中线面、面面位置关系，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查空间想象能力， 求解时注意正方体模型的运用.
3. 曲线 x2 y2 1与曲线 x2 y2 1(k 9) 的 (
故选 C 【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理 能力，属于基础题． 5. 如图，60°的二面角的棱上有 A、B 两点，线段 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB，已知 AB=4，AC=6，BD=8，则 CD 的长为（ ）
【详解】解：A 选项， 内有无穷多条直线都与 平行，并不能保证平面 内有两条相交直线与平面 平
行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故 A 错误；
B 选项,直线 a / / ， a / / ，且直线 a 不在 内，也不在 内,直线 a 可以是平行平面 与平面 的相交
直线，故不能保证平面 与平面 平行，故 B 错误；
所成的角为（ ）
A. 30
【答案】C
B. 45
C. 60
D. 90
【解析】
【分析】
由条件可看出 AB A1B1 ，则 BAC1 为异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角，可证得三角形 BAC1 中，AB BC1 ，
解得 tanBAC1，从而得出异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角． 【详解】连接 AC1 ， BC1 ，如图：