_点差法_解决圆锥曲线的中点弦问题
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
点差法与中点弦问题洋葱数学
点差法与中点弦问题洋葱数学摘要：一、引言二、点差法的概念与应用1.中点弦问题的背景2.点差法的基本原理3.点差法在解决中点弦问题中的应用三、中点弦问题的解法1.联立直线与圆锥曲线的方程2.借助一元二次方程的根的判别式3.根与系数的关系4.中点坐标公式及参数法求解四、点差法的优缺点及适用范围五、结论正文：一、引言在数学中，中点弦问题是一个常见的几何问题。
所谓中点弦，是指连接圆锥曲线上两点的中垂线。
在中点弦问题中，我们需要求解连接两点的直线方程，以及该直线与圆锥曲线的交点。
解决这类问题的一种有效方法是点差法。
本文将从点差法的概念与应用出发，详细探讨如何利用点差法解决中点弦问题。
二、点差法的概念与应用1.中点弦问题的背景在解析几何中，中点弦问题是一个基本的问题。
给定圆锥曲线上的两个点A(x1, y1) 和B(x2, y2)，求连接这两个点的直线方程。
这个问题可以追溯到古代希腊数学家所研究的几何问题。
2.点差法的基本原理点差法是一种数学方法，它通过比较两个量的差值来研究问题的规律。
在解决中点弦问题时，我们可以利用点差法将圆锥曲线上的两个点A(x1, y1) 和B(x2, y2) 的坐标差值与直线的斜率建立联系。
3.点差法在解决中点弦问题中的应用利用点差法解决中点弦问题的步骤如下：（1）设直线AB 的斜率为k，写出直线AB 的方程y - y1 = k(x -x1)。
（2）将直线AB 的方程代入圆锥曲线的方程，得到一个关于x 的一元二次方程。
（3）根据一元二次方程的根的判别式，判断直线与圆锥曲线的交点个数。
（4）利用根与系数的关系，求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
（5）根据中点坐标公式，求出连接两个交点的中点坐标。
三、中点弦问题的解法1.联立直线与圆锥曲线的方程首先，我们需要联立直线AB 的方程和圆锥曲线的方程。
假设圆锥曲线的方程为F(x, y) = 0，则直线AB 的方程为y - y1 = k(x - x1)。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径
丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹与圆锥曲线的弦及其中点有关的问题称之为圆锥曲线中点弦问题.中点弦问题在解析几何试题中比较常见，侧重于考查圆锥曲线与直线的位置关系、弦长公式、中点坐标公式、直线的斜率以及韦达定理.下面谈一谈解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径.一、利用韦达定理若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b 2a，x 1x 2=c a ，这个定理即是韦达定理.运用韦达定理求解圆锥曲线中点弦问题，需先将圆锥曲线方程与弦所在的直线的方程联立，通过消元，构造一元二次方程；再利用韦达定理，建立关于弦端点的坐标的关系式，最后结合中点坐标公式进行求解.例1.过点A (2,1)的直线与椭圆x 216+y29=1相交于P ,Q 两点，若点A 恰是线段PQ 的中点，求直线PQ 的方程.解：设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y -1=k (x -2)，将其与椭圆的方程x 216+y 29=1联立，并消去y 得，(16k 2+9)x 2+(-64k 2+32k )x +(64k 2-64k -128)=0，由韦达定理得x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9.又A (2,1)，所以x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9=4，可得k =-98，所以直线的方程为y -1=-98(x -2)，即9x +8y -26=0.当遇到中点弦问题时，应很快联想到韦达定理，将圆锥曲线的方程和直线的方程联立起来，构造一元二次方程，建立方程两根之间的关系式，这是解题的关键.二、采用点差法点差法是解答中点弦问题的常用方法.运用点差法解题，要先设出或明确圆锥曲线的方程、弦的两个端点的坐标、弦的中点坐标；然后将弦的两个端点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并将两式作差；再根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解.例2.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，过点P (1,1)的直线l交椭圆C 交于A ,B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程.解：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将其分别代入椭圆C ：x 24+y 23=1中，可得ìíîïïïïx 124+y 123=1,x 224+y 223=1,将两式相减可得3()x 1-x 2（x 1+x 2）+4()y 1-y 2（y 1+y 2）=0，即3x +4y ∙y 1-y 2x 1-x 2=0.因为AB 所在直线的斜率与MP 的斜率相等，所以3x +4y ∙y -1x -1=0，化简得3x ()x -1+4y ()y -1=0，即为点M 的轨迹方程.运用点差法解题，可以达到设而不求的效果，大大减少计算量.但点差法的适用范围比较窄，只有在已知直线的方程、圆锥曲线的方程、弦中点的坐标三者中的两者时，才可运用此方法求解.三、运用导数法借助导数法来求解圆锥曲线中点弦问题，需要先对圆锥曲线的方程进行求导，得到曲线在某点处的切线的斜率，就能将其看作中点弦的斜率，再根据中点坐标公式求解.例3.过椭圆C ：x 216+y 24=1内一点M （2,1）作直线l ，交椭圆于A ,B 两点，使M 点恰好是弦AB 的中点，求该直线的方程.解：对x 216+y 24求导，得2x 16+2y 4y ′，把M （2,1）代入2x 16+2y 4y ′=0，得y ′=-12，所以直线AB 的方程为y =-12x +2.本题运用导数法求解十分简单、便捷，但需明确曲线的切线的斜率与曲线在某点处的导数之间的关系，据此建立关系式，即可快速解题.总之，在求解圆锥曲线中点弦问题时，同学们要注意将中点与韦达定理、中点坐标公式、直线的斜率公式相关联起来，从中寻找到解题的突破口，灵活运用上述三种方法解题，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁县实验高级中学）45。
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ①y D若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有。
（2）与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。
（1）求证离心率；（2）求的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
(,)x y 11(,)x y 22)0(12222>>=+b a b y a x 02020=+k b y a x )0,0(12222>>=-b a b y a x 02020=-k b y a x x y 2221-=P 1P 2P 1P 2F 1F 2x a y b 22221+=F c 10(,)-F c 20(,)∠=PF F 12α∠=PF F 21ββαβαsin sin )sin(++=e |||PF PF 1323+抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的 根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点) 坐标为A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)是线段AB 的中点。
若存在这样的直线 I ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)故直线 AB: y 12(x 1)y 1 2(x 1) 由 2 y 2消去y ，得2x 2 4x 3 0x12 2(4)4 2 3 8 0评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题 中判断点的M 位置非常重要。
(1)若中点M 在圆锥曲线内，则被点 M 平分的弦一般存在；(2)若 中点M 在圆锥曲线外，则被点 M 平分的弦可能不存在。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹2 2例3、已知椭圆 ——1的一条弦的斜率为 3，它与直线x75 25点M 的坐标。
x 2例1、过椭圆乞162y1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 4 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
M (2, 1)为AB 的中点X 1 X 2 4 y 1 y 2 2 又A 、 B 两点在椭圆上，则2 X14y2 .2 2 16，X24y 2两式相减得(才 X 22) 4( y.2 y 2) 0于是(x 1X 2)(X 1 X 2)4(y 1y 2)( y 1 y 2) 0 y 1y 2 X 1 X 241x-i x 24( y 1 y 2)4 22即k AB1，故所求直线的方程为y 11-(x 2)，即2216x 2y 4 0。
(完整)点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。
“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问题
‘ ‘ 点茬法 ” 禳决圆锥曲线韵中 点弦 问题
韩 晓 刚 （ 山十 六 中 ， 北 唐 河
摘 要 ： 圆 锥 曲 线 的 弦 的 中点 有 关 的 问 题 。 们 称 之 为 与 我 圆锥 曲线 的 中 点 弦 问 题 涉 及 至 解 决 圆锥 曲 线 中 点 弦 的 问 ４ 题 ． 采 用 “ 差 法 ” 求 解 “ 差 法 ” 利 用 直 线 和 圆 锥 曲 常 点 来 点 是 线 的 两个 交 点 。把 交 点 代 入 圆 锥 曲 线 的 方 程 ．得 到 两 个 等 式 ． 式 相 减 ． 以得 到 一 个 与 弦 的 斜 率 及 中 点 相 关 的 式 子 两 可 （ 称 中点 和 斜 率 结 合 公 式 ） 再 结 合 已 知 条 件 ， 用 学 过 的 也 。 运 知 识 使 问题 得 到 解 决 。 当 题 目涉 及 弦 的 中 点 、 率 时 ． 般 斜 一 都 可 以 用 点 差 法 来 解 与 韦 达 定 理 法 纷 繁 冗 长 的 计 算 相 比 。 点 差 法 可 以 大 大 减 少 运 算 量 ． 化 解 题 过 程 ． 到 “ 而 不 优 达 设 求 ” 目的 本 文将 从 求 弦 的 斜 率 与 弦 的 中 点 问 题 、 弦 中 的 求 点 轨 迹 、 弦 的 垂 直 平 分 线 问 题 和 求 曲 线 的 方 程 四 个 方 面 举
ｍ则 肿 ＝ 。 ‘弦 中点 轨 迹 在 已 知 椭 圆 内 ， ｘ ｙ＋ ｙ ｋ ２， ０ ． ‘ 所 求 弦 中 点 的轨 迹 方 程 为 （ 已知 椭 圆 内 ） 在 变 式 １ 直 线 Ｚ似 一 一 ｏ ５ ： ０是 参 数 ） 抛 物 线 ｙ ： ： （＋ ） ０（ 与 ＝ （＋ ） 的 相 交 弦 是 Ａ 则 弦 Ａ 的 中 点 轨 迹 方 程 是 １２ Ｂ． Ｂ 。 过定 点弦 的中点轨迹 方程 ） 分 析 ： 线 Ｚａ － 一 ｎ ５ ＝ 方 程 中带 有 参 数 ０ 即 直 线 直 ：ｘ ｙ （＋ ）０， 。 是 过 定 点 的 直 线 还 要 注 意 弦 中点 轨 迹 在 已知 抛 物 线 内 ． 最 后 要 注 明 所 求 弦 中点 的 轨 迹 方 程 为 ｙ ２ ２７ 在 已 知 抛 物 线 ＝ ｘ— （ 内 ） 。 变 式 ２ 已 知 定 长 为 ０ ０ ） 线 段 ＡＢ 的 两 端 点 在 抛 ： （ ≥１ 的 物线 ｙ 上 移动 ， 动 弦 ＡＢ的 中点 Ⅳ 的轨 迹方程 。 （ 长 求 弦 为定 值的 弦的中点轨 迹方 程 ） 解 ： 两 端 点 坐 标 为 Ａ（ ， 曰（。Ｙ） 设 Ｙ ） ，２ ， 的 中 点 为 （ｏｙ） 则 ｌ ２２０ 因 两 端 点 在 抛 物 线 上 ， 以 ｙ １ Ｙ： Ｘ ｏ ， ＝ ｘ， 所 ｌ ２ ２ ，
_点差法_解决圆锥曲线的中点弦问题
中来。 如我在教学《分数的基本性质》时，是这样导入的：唐僧师 话。 然后又让学生亲自验证，但验证的结果是：想唱歌的学生抽
徒走到半路上，口渴了，孙悟空摘了一个西瓜回来，把它平分成 到了跳舞，想跳舞的学生反而抽到了讲故事。 通过这样一系列
四块，一人一块，八戒大喊道：“猴哥，分给我太少了，我不干！ ” 的活动， 让学生真正体验到在现实生活中存在着不确定的现
第一个音符就准确、悦耳、动听。 ”新课的导入就好比演奏家定 乐！ 师：我想让大家通过抽签表演节目的形式为尚利明同学过
弦，音调定准了，就为整个演奏奠定了基础。 一堂课如果一开头 一次有意义的生日，你愿意吗？ 这时孩子们兴奋极了，个个脸上
就讲得索然无味，如同嚼蜡，学生就难以提高兴趣。 所以一定要 乐开了花。 随后我往讲台桌上放了 4 个签，并向学生介绍：有唱
据 题 意 ，a2=（y1y2）2+（x1x2）2=（x1-x2）2=（x12-x22）2-（x1-x2）2
=（x1-x2）2[（x1+x2）2+1]=[（x1+x2）2-4x1x2]·[（x1+x2）2+1]
=[（2x0）2-4（2x02-y0）][（2x0）2+1]=4（y0+x02）（1+4x02），所 求 动
悟空又切了两刀，把西瓜平均分成八块，拿给八戒两块，八戒笑 象，随后导入新课。 选择学生熟悉的事物组织教学，学生积极性
着说：“这还差不多，能多吃一块。 ”讲完后我问学生：“八戒多吃 高，课堂气氛活跃，效果显而易见。
了吗？ ”有的学生说多吃了，有的说没有。 我便及时导入：“今天，
四、通过动手操作，激发学生兴趣
可迎刃而解了。
二、求弦中点的轨迹方程
点差法计算方法
点差法计算方法解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是联立直线和圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法来求解。
点差法是一种代点作差的方法，可以将直线和圆锥曲线的方程中的点代入并作差，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以减少运算量。
对于以定点为中点的弦所在直线的方程，可以通过点差法来解决。
例如，在过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分的问题中，设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，利用中点坐标公式可得到$x_1+x_2=4$和$y_1+y_2=2$。
由于A、B两点在椭圆上，因此$x_1+4y_1=16$和$x_2+4y_2=16$。
将这两个式子相减得到$(x_1-x_2)^2+4(y_1-y_2)^2=4$，因此$k_{AB}=-\frac{1}{2}$，所求直线的方程为$y-1=-(x-2)$，即$x+2y-4=0$。
对于探索性问题，如已知双曲线$x^2-y^2=1$，点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点，可以假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。
由于这是一道中点弦问题，可以考虑点差法或韦达定理。
假设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)，则$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=2$，$y_2=\frac{x_1-1}{x_2}$，$y_2=\frac{x_2+2}{x_1}$。
将这两个式子相减得到$2x^2-4x+3=0$，根据双曲线的方程$x^2-y^2=1$可知，直线AB与双曲线不相交，因此被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。
设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则有：x = (x1 + x2)/2.y = (y1 + y2)/2又根据椭圆的性质可知，有：x1 - x2)^2/a^2 + (y1 - y2)^2/b^2 = 1又因为直线y = 3x - 2过点M，所以有：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x1 - x2)^2/a^2 + (9x1 - 9x2 + 4)^2/b^2 = 1将x带入直线方程，得到：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x^2/25 + (3x - 2)^2/75 = 1化简得到：4x^2 - 12x + 7 = 0解得x = 1/2或x = 7/4当x = 1/2时，y = 3x - 2 = -3/2，此时P在椭圆上，Q不在椭圆上，不符合题意。
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=⋅。
证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，上式减下式得02222122221=-+-b y y a x x ，∴2222212221a b x x y y -=--，∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆12222=+bx a y (0>>b a )上两点A 、B ，线段AB 中点为)(00y x P ，，则有22ba k k OPAB -=⋅。
3、双曲线的用点差法同理，可得220220()AB AB OP x b b k k k a y a=⋅⋅=二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点)(11y x A ，、)(22y x B ，，中点坐标为)(00y x P ，代入抛物线方程，2112=y px ，2222=y px ，将两式相减，可得()()()1212122-+=-y y y y p x x ，整理可得：12121202-===-+AB y y p pk x x y y y三、点差法在圆锥曲线中的结论AB AB M AB AB M AB AB AB AB b e x a y k k k x ab e b e x a y k k k x a y b e pk y pk y x k px k p222002222220222011-y 1111⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪⎪=-⇔⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩gg gg 焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下题型一中点弦所在直线的斜率与方程【例1】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】59140x y +-=【解析】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆22195x y +=上，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212095x x y y --+=，可得2212221259y y x x -=--，即()()()()1212121259y y y y x x x x -+=--+，所以直线AB 的斜率为121259AB y y k x x -==--，因此，这条弦所在直线的方程为()5119y x -=--，即59140x y +-=.故答案为：59140x y +-=.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（）A．12B．14C．1D．4【答案】C【解析】由题意可得2c e a ==，整理可得a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+，则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+．故选：C 【变式1-2】已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A．1D．2【答案】A【解析】设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -=两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1；故选：A．【变式1-3】过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（）A．250x y +-=B．210x y --=C．250x y +-=D．230x y --=【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-，因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=，故选：D.【变式1-4】已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214yx +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（）A．14-B．4-C．12-D．2-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=.两式相减得：()22222112104x y x y -+=-，()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=，即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B【变式1-5】椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率为3，直线20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______．【答案】43-【解析】因为椭圆()222210x y a b a b +=>>所以3c e a ==，所以2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQ y y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =-，故答案为：43-【变式1-6】已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（）A．43-B．43C．34-D．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，故选：C ．题型二求圆锥曲线的方程问题【例2】过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（）A．22195x y +=B．2215x y +=C．22162x y +=D．221106x y +=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-，又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，而12121ABy y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯，所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.【变式2-1】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程.【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--，∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.【变式2-2】已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A．2214536x y +=B．2213627x y +=C．2212718x y +=D．221189x y +=【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，则223224251m mn =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=.故选：D.【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；【答案】24y x=【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.【变式2-4】设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______.【答案】14【解析】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p-+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.题型三求圆锥曲线的离心率问题【例3】过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（）A．22B．3C．12D．13【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，121212AB y y k x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率2c e a ==【变式3-1】已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-，又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a -⨯=-，所以2212b a =，所以ce a======2212c a=.故答案为：2.【变式3-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =.【变式3-3】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．【答案】2【解析】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1，所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a=，所以C的离心率2e ==.故答案为：2【变式3-4】已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为()A．43B．2C．2【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+-解得:2b a =∴c e a ===题型四弦中点的坐标问题【例4】已知直线:1l y x =+，椭圆22:13xC y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的坐标为（）A．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知，22113y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2230x x +=，则9810∆=-=>，32A B x x +=-，所以A 、B 两点中点的横坐标为：13()24A B x x +=-，所以中点的纵坐标为：31144-=，即线段AB 的中点的坐标为31()44-，.故选：B【变式4-1】求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤
思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。
点差法
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题印江二中吴顺宏赴木黄中学支教教案教学目标：使学生能正确运用“点差法”解决圆锥曲线中的弦中点问题；培养学生的解题能力和运算技巧。
教学重点：“点差法”的理解与运用。
教学难点：“点差法”的应用条件；弦中点的轨迹应在曲线内；双曲线的中点弦存在性问题。
过程与方法：与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的两端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
本节课用这种方法作一些解题的探索。
问题、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y又A 、B 两点在椭圆上，则14162121=+y x ， 14162222=+yx两式相减得041622212221=-+-y y x x 于是4121212121-=++⨯--x x y y x x y y∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。
小结论1、AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22·ab k k AB OM -= 2、AB 是双曲线22221x y a b-=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22·ab k k AB OM =总结论的记忆与运用（无论椭圆还是双曲线，无论焦点是在X 轴上还是在Y 轴上）（始终记住结论中椭圆为负，双曲线为正；2x 的分母作结论的分母，2y 的分母作结论的分子。
中点弦问题
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
定比点差法在各类曲线中的应用
定比点差法在各类曲线中的应用
定比点差法是一种解决圆锥曲线综合问题的方法，其应用范围广泛。
下面我将就定比点差法在各类曲线中的应用进行说明：
1. 圆：在圆中，定比点差法可以用于解决与弦的中点有关的问题，例如求证弦的中点到圆心的距离为定值等。
2. 椭圆：在椭圆中，定比点差法可以用于解决与中点弦、对称、垂直平分等问题相关的题目。
例如求证椭圆上任意两点的中点轨迹为一条直线或者求证某一条直线与椭圆的交点构成的线段的中点轨迹为另一条直线等。
3. 双曲线：在双曲线中，定比点差法同样可以用于解决与中点弦、对称、垂直平分等问题相关的题目。
例如求证双曲线上任意两点的中点的轨迹为一条抛物线等。
4. 抛物线：在抛物线中，定比点差法可以用于解决与对称、垂直平分等问题相关的题目。
例如求证抛物线上任意两点的中点的轨迹为一条直线等。
总的来说，定比点差法在各类曲线中都有着广泛的应用，能够帮助我们解决一系列复杂的综合问题。
但是，使用定比点差法需要深入理解其本质和应用条件，需要一定的练习和掌握。
点差法解圆锥曲线中点弦问题新发现
浅谈圆锥曲线的中点弦问题
浅谈圆锥曲线的中点弦问题在普通高中课程标准试验教科书数学选修2-1课本上，P62页有一道题，考察圆锥曲线与直线的综合问题。
题目是：已知双曲线x2-=1，过点P（1,1）能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？这道题方法很多，主要的解法有设而不求法、参数法、待定系数法等等。
对于圆锥曲线中的中点问题，学生更多的是尝试用点差法。
下面我们也尝试下：设点A（x1，y1）、B（x2，y2）在双曲线上，则A、B都满足曲线方程，即：x12-=1（1）；x22-=1（2）。
这两个表达式相减得到＝，由这个式子很容易得到等式的右边是直线，斜率k==2。
另一种解法：设点A（x1，y1）B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为M（x，y），设经过点P的直线L的方程为y-1=k（x=1），即y=kx+1-k，把y=kx+1-k带入双曲线的方程x2-=1，得到（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2=0（2-k2≠0）。
所以，x==。
由题意得=1，解得k=2。
而当k=2时，方程变为2x2-4x+3=0，与双曲线交于A、B二点，且点P是线段AB的中点。
根的判断式△=16-24=-8＜0，所以方程没有实数解，所以不能作一条直线。
这两种解法是相反的，显然第二种解法是正确的。
那么我们现在思考：什么时候可以用点差法？这个点P在什么位置或区域时就不能用点差法得到直线的方程？即如图所示，如果点落在在双曲线和渐近线之间的阴影部分，则不能用点差法得到直线方程。
我们先用点差法看能得到什么结论：不妨我们先假设过点P可以做一条直线与双曲线相交，并且此时点P是中点。
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为P（x，y），用点差法可以得到什么呢？把点A、点B坐标带入曲线方程，得到－=1，－=1（2），把这两个表达式相减得到=，化简后得到=，整理得到关系式KABKOB=（1）。
为了方便研究，我们先研究点在落在阴影部分的第一象限时。
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
胡文敏
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2013(000)010
【摘要】与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1,y1）、B（x2,y2）,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为＂点差法＂.一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1过椭圆x2/16＋y2/4=1内一点M（2,1）引一条弦,使弦被M 点平分,求这条弦所在直线的方程.
【总页数】1页(P23-23)
【作者】胡文敏
【作者单位】南昌市八一中学,330006
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.用“点差法”妙解圆锥曲线“中点弦”的问题
2."点差法"解决圆锥曲线的中点弦问题
3.巧用点差法解决圆锥曲线中点弦问题
4.点差法解圆锥曲线中点弦问题新发
现5.构造中点弦妙解圆锥曲线问题
——中点弦结论的拓展运用
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实践讲堂
“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问题
韩晓刚 （唐山十六中，河北 唐山 063103）
摘要：与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为 圆锥曲线的中点弦问题。 涉及到解决圆锥曲线中点弦的问 题，常采用“点差法”来求解。 “点差法”是利用直线和圆锥曲 线的两个交点， 把交点代入圆锥曲线的方程， 得到两个等 式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子 （也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的 知识使问题得到解决。 当题目涉及弦的中点、斜率时，一般 都可以用点差法来解。 与韦达定理法纷繁冗长的计算相比， 点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不 求”的目的。 本文将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中 点轨迹、 弦的垂直平分线问题和求曲线的方程四个方面举 例说明，欢迎大家批评指证。
时由此题可看到中点弦问题中判断点 M 的位置非常重要。
（1）若中点 M 在圆锥曲线内，则被点 M 平分的弦一般存在 ；
（2）若 中 点 M 在 圆 锥 曲 线 外 ，则 被 点 M 平 分 的 弦 可 能 不 存
在。
变 式 2： 已 知 直 线 l 与 椭 圆 C：x2+4y2=16 交 于 P1、P2 两 点 ，线 段 P1P2 的 中 点 是 P，设 直 线 的 斜 率 为 k（k≠0），OP 的 斜率为 k′，求证：kk′是一个定值。
关键词：点差法；中点弦
一、弦的斜率与弦的中点问题
例 1：已 知 椭 圆 x2 + y2 =1，求 以 P（1，1）为 中 点 的 弦 所 16 4
在直线的方程。
解 ： 设 弦 的 两 端 点 为 A（x1，y1）B（x2，y2）， 则
x12+4y12=16 x22+4y22=16
，
两式相减（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，又 x1+x2=2 y1+y2=
（2）由 x1+x3=8，可 设 AC 中 点 为 （4，y0）， 其 中 2y0=y1+y3， 由 A（x1，y1），C（x3，y3） 在 椭 圆 ：9x1+25y2=225 上 ， 则 代 点 相 减
得 9（x1+x3）（x1-x3）+25（y1+y3）（y1-y3）=0，则
kAC=
36 25y0
弦 AB 的中点轨迹方程为。
三、弦的垂直平分线问题
例 3： 已 知 椭 圆 x2 25
+ y2 9
=1 上 三 点 A （x1，y1），B （4，y2），
C（x3，y3），和焦点 F（4，0）的距离依次成等差数列，（1）求 x1+x3； （2）求证：线段 AC 的垂直平分线过定点，并求出定点坐标。
分析：这道题目表面上好象与“点差法”没多大联系，其
这一问题谈谈个人的几点看法。
生已有的知识经验和他们所熟悉的事物去组织教学，就能激发
一、小故事导入，引发学生兴趣
学生的学习兴趣。 例如，在教学三年级上册第八单元“可能性”，
俗话说：“万事开头难，开好了头等于做事成功了一半。 ”高 第 1 课时《确定性和不确定性》时，是这样导入的，师：今天是我
尔基说过：“文章的开头如定调，一定要好。 雅沙菲兹的小提琴 们班尚利明同学的生日，你最想跟他说什么？ 生：祝你生日快
（x1-x2）（x1+x2） 2
+（y1-y2） （y1+y2） =0
又
x1+x2=
2x， y1+y2=2y，k=2，则 x+4y=0。 ∵ 弦中点轨迹在已知椭圆内， ∴ 所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）。
变 式 1：直 线 l：ax-y-（a+5）=0 （a 是 参 数 ） 与 抛 物 线 y=
，则 AC
的垂直平分线的方程为
y-y0=
36 25y0
（x-4）， 令 y=0 可得 AC
实践讲堂
谈如何激发学生的学习兴趣
于 磊 （邢台县西黄村小学，河北 邢台 054013）
兴趣是最好的老师，数学的学习过程是一项艰辛的脑力劳 分数几分之一”的理解，又强烈地激发了学生的学习兴趣，同时
动。 如果学生缺乏对数学的学习兴趣，就会感到乏味。 长期下 又复习了对应的知识。
分析：点差法解出 y=2x-1。 但是将代入双曲线方程得一
元二次方程 2x2-4x+3=0，此方程无实根，故 满 足 题 设 的 直 线
不存在。 这种题型只要给出曲线方程，和一个定点坐标，利
用点差法肯定能计算出以这一点为中点的直线方程。 但是
如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，所以解题时
一定要注意点差法的不等价性，即要考虑判别式大于零。 同
2
等式两边同除
x1-x2
可得
k=（y1-y2）/（x1-x2）=
1 4
，则所求方
程为 4y +x-5=0。
变 式 1：给 定 双 曲 线 x2- y2 =1，过 点 B（1，1）能 否 作 直 线 4
m， 使 m 与 所 给 的 双 曲 线 相 交 于 Q1、Q2 两 点 ， 且 B 是 线 段 Q1Q2 的中点。 这样的直线如果存在，求出它的方程，如 果 不 存在，说明理由。
x22 两式相减，得 y1-y2=x12-x22=（x1+x2）（x1-x2）。
所以 y1-y2 x1-x2
= x1+
x2=2x0=k 则 线 段 AB 的 方 程 为 y-y0=2x0（x-x0），而 y=x2，所 以
整理得 x2-2x0x+2x20-y0=0。 由根与系数的关系，x1x2=2x02-y0，根
k
的直线交椭圆与
AB 两点，弦 AB 的中点为 M（x 中，y 中），利用点差法可得 k=-
b2x 中 a2y 中
（3）对于抛物线 y2=2px，若斜率为 k 的直线交椭圆与 AB
两点，弦
AB
的中点为
M（x
中 ，y
中 ），利 用 点 差 法 可 得
k=
p y中
。
熟知以上三个结论，有关弦中点及直线斜率的选择与填空便
学增添无穷的魅力。 演示型的多媒体课件能为学生提供逼真的 成 一 捆 ，又 让 学 生 说 出 这 是 1 个 “十 ”，从 而 使 学 生 明 白 10 个
教学情境，丰富多彩的教学资源，为学生营造一个色彩缤纷、能 “一”就是 1 个“十”。 引导学生动手摆 11 根小棒，看谁摆得又快
物线 y=x2 上移动，求动弦 AB 的中点 N 的轨迹方程。 （弦 长
为定值的弦的中点轨迹方程）
解 ：设 两 端 点 坐 标 为 A（x1，y1）B（x2，y2），PQ 的 中 点 为 M （x0，y0），则 x1+x2=2x0，因 两 端 点 在 抛 物 线 上 ， 所 以 y1=x12，y2=
第一个音符就准确、悦耳、动听。 ”新课的导入就好比演奏家定 乐！ 师：我想让大家通过抽签表演节目的形式为尚利明同学过
弦，音调定Leabharlann 了，就为整个演奏奠定了基础。 一堂课如果一开头 一次有意义的生日，你愿意吗？ 这时孩子们兴奋极了，个个脸上
就讲得索然无味，如同嚼蜡，学生就难以提高兴趣。 所以一定要 乐开了花。 随后我往讲台桌上放了 4 个签，并向学生介绍：有唱
中来。 如我在教学《分数的基本性质》时，是这样导入的：唐僧师 话。 然后又让学生亲自验证，但验证的结果是：想唱歌的学生抽
徒走到半路上，口渴了，孙悟空摘了一个西瓜回来，把它平分成 到了跳舞，想跳舞的学生反而抽到了讲故事。 通过这样一系列
四块，一人一块，八戒大喊道：“猴哥，分给我太少了，我不干！ ” 的活动， 让学生真正体验到在现实生活中存在着不确定的现
悟空又切了两刀，把西瓜平均分成八块，拿给八戒两块，八戒笑 象，随后导入新课。 选择学生熟悉的事物组织教学，学生积极性
着说：“这还差不多，能多吃一块。 ”讲完后我问学生：“八戒多吃 高，课堂气氛活跃，效果显而易见。
了吗？ ”有的学生说多吃了，有的说没有。 我便及时导入：“今天，
四、通过动手操作，激发学生兴趣
重视导入新课的设计，如果能从教材内容需要出发，以讲述小 歌、跳舞、讲笑话、讲故事。 抽签开始，全班学生情绪高涨，都抢
故事、猜谜语、唱歌等形式来引入，不仅能把学生的注意力集中 着来，我随便叫了一名学生。 师：猜猜你会抽到什么？ 这位同学
起来，而且能引人入胜、津津有味，把全体学生吸引到教学活动 张口就说：我可能会抽到唱歌，也可能抽到跳舞、讲故事、讲笑
分析： 有线段中点和直线的斜率， 可直接用点差法求
解。
变式 3： 已知△ABC 的三个顶点都在抛物线 y2=32x，且
△ABC 的重心 G 是抛物线的焦点，求直线 BC。
分析：在三角形中，如果知道三角形的重心及其中一个
定点，可知其他两点的中点坐标，而其他两点又在曲线上，
即可认为是直线与圆锥曲线相交所构成的弦的中点， 那么
规
律
与
结
论
：
（1）
对
于
椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
=1，若 斜 率 为
k
的直
线交椭圆与 AB 两点设 A（x1，y1）B（x2，y2），弦 AB 的中点为 M
132 2011 年第 4 期
（x
中 ，y
中），利用点差法可得
k=-
b2 中 a2y 中
（2）对
于
双
曲
线
x2 a2
-
y2 b2
=1，若 斜 率 为
（x+1）2 的相交弦是 AB，则弦 AB 的中点轨迹方程是