7(4)多元复合函数的求导法则
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多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
多元复合函数求导的链式法则
全导数
多变量函数的导数定义为所有偏导数 的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导 法则和单变量、多变量函数的导 数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函 数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术 之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未 来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用 ，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向 。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖 掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实 际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式 法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结 合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问 题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问 题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些 模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利 用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求 解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求 导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中， 对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应 力分布。
多变量函数的导数定义为所有偏导数 的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导 法则和单变量、多变量函数的导 数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函 数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术 之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未 来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用 ，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向 。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖 掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实 际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式 法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结 合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问 题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问 题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些 模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利 用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求 解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求 导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中， 对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应 力分布。
多元复合函数的求导法则
分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数关系图与求导法则
z
exy [ y sin(x y) cos(x y)]
v
y
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy [x sin(x y) cos(x y)]
多元复合函数的求导法 则
思考题. 设 u f x , y , 求 u , u , u .
一个自变量的情形
因变量z到自变量x的路径有：
z z
u.
x
z du u dx
v. x z dv v dx
du
相加得 dz dx
z u dx
u
z
dv
z
dx
v
v
x x
注 (1) “连线相乘，分线相加” (2) 外层函数可微，内层函数可导.
多元复合函数的求导法则
多个自变量的情形（两个为例）
定理2 设函数 u u x, y ，v v x, y 在点 x, y D 处可微
• 一个自变量的情 形
• 多个自变量的情 形
多元复合函数的求导法则
一个自变量的情形
定理1.若函数u x ,v x 在点 x 可导，z f u,v
在点 u,v 处可微，则复合函数z f x,x在点x可导
且有
dz z du z dv dx u dx v dx
( 全导数公式 )
多元复合函数的求导法 则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
ux zvy
w
多元复合函数的求导法 则
例1.设 z uv sin t , u et , v cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z
第四节多元复合函数的求导法则
第四节多元复合函数的求导法则多元函数是指含有多个自变量的函数，多元复合函数则是由多个函数相互组合而成的复合函数。
在求多元复合函数的导数时，我们需要运用多元复合函数的求导法则。
多元复合函数的求导法则有以下几种情况：1.复合函数的链式法则：设有两个变量x和y，其中y=f(u)是自变量u的函数，u=g(x)是自变量x的函数，则函数y=f(g(x))就是一个多元复合函数。
根据链式法则，该函数的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx2.高阶多元复合函数的求导：对于高阶多元复合函数，我们需要运用多次链式法则来求导。
例如，考虑一个三元复合函数z=f(y),y=g(x),x=h(t)，其中t是自变量。
根据链式法则，可以得到如下公式：dz/dt = dz/dy * dy/dx * dx/dt这里 dz/dy 表示 z 关于 y 的导数，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，dx/dt 表示 x 关于 t 的导数。
3.多元复合函数中的偏导数：对于多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用偏导数的链式法则。
偏导数的链式法则可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂y)*(∂y/∂x)其中∂z/∂y表示z关于y的偏导数，∂y/∂x表示y关于x的偏导数。
同样地，对于高阶多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用多次链式法则来求解。
总结起来，多元复合函数的求导法则主要有链式法则和偏导数的链式法则。
通过这些法则，我们可以方便地求解多元复合函数的导数。
在实际应用中，求多元复合函数的导数常常用于最优化问题、概率统计、机器学习等领域。
这些领域中的问题往往涉及多个变量，而多元复合函数的导数可以帮助我们了解函数随变量的变化趋势，从而得出一些有用的结论。
多元函数的微分学：复合函数的求导法则
课程小结
本讲介绍了复合函数的的求导法则---中间变 量为一元函数的形式，在计算的过程中，先画函 数结构图，根据结构图写出全导公式，最后结果 改写成自变量的函数.
思考题
设 z f (e3t ,t 2 ) ，f 具有一阶连续 偏导数，求 dz .
dt
THANKS
谢谢观看
4e2t
典型例题讲解
例3
设
z
uv
Байду номын сангаас
sin
t，u
et，v
cost，求全导数
dz dt
.
分析: 依题意，先画出函数结构图，根据图形写出公式
解
z
u
dz z du z dv f
t v解：dt u dt v dt t
vet u sin t cost
v
et (cos t sin t) cos t
2e2u3v 2t 3e2u3v cost
e2t23sint 4t 3cost
典型例题讲解
例2 已知函数 u x2 y2 z2，x et cost，y et sin t，z et，求 du .
dt
分析：依题意，先画出函数结构图，根据图形写出公式
解
x
u
y
t
z
du u dx u dy u dz 解： dt x dt y dt z dt
u
z
t
dz z du z dv dt u dt v dt
v
注：（1）公式中的导数 dz 称为全导数．
dt
（2）上述公式可以推广到多个中间变量的情形．这个
法则也称为链式求导法则．
求导法则
以下总假定所遇到的一元函数具有连续的导数，多元函数具有连续的
7(4)多元复合函数的求导法则
f u
u t
f v
v t
f w w t
kt k1
f
( x,
y, z)
tx
f u
t
y
f v
t
z
f w
tkt k1
f
(
x,
y,
z)
k tk f ( x, y, z) kf (u,v, w)
uxf ux
yv
f
vy
wz
f
wz
kf (xu,yv, wz )
(C ) x f y f z f kf ( x, y, z); x y z
求fxy (0, 0)和f yx (0, 0)
解 当( x, y) (0,0)时, 有
f x ( x,
y)
3x2 y( x2 (x2
y2) x3 y y2 )2
2x
3x2 y x2 y2
2x4 y ( x2 y2 )2
,
fy(x, y)
x3 x2 y2
(
2 x2
x3
y2 y2
)2
.
19
设多元f 复( x合,函y)数的求x导2x法3则yy2 0
当( x, y) (0,0),
当(
x,
y
)
求f (0,0).
xy
(0,0)和f
xy
(0,0).
当( x, y) (0,0)时, 按定义得
f x (0,0)
lim x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
lim 0 x0 x
0
f
y
4
多元复合函数的求导法则
分量原则
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
多元复合函数求导法则
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况：
如果 u (x, y) 及 v ( x, y) 都在点( x, y) 具有对 x和y 的偏导数，且函数 z f (u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，
zv x x
dz 试问 dx 与
f x
是否相同？为什么？
z f (u,v, x), u (x), v ( x)
u
dz f du f dv f
zv x
dx u dx v dx x
不相同.
x
等式左端的z是作为一个自变量x的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为u, v, x的三元函数，
一、链式法则
一元复合函数
定理
求导法则
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
且其导数可用下列公式计算
dz z du z dv z
dt u dt v dt
u vt
证 设 t 有增量 t，则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u,v) 在点
(u,v) 有连续偏导数，故可微，即
z z u z v o( ), ( (u)2 (v)2 )
复合结构如图示
u
x
z z u z v , z
多元复合函数求导法和隐函数求导公式
通过练习和案例分析，提 高解决多元复合函数和隐 函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表 达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶 偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的 求导法则，能够灵活运用 链式法则、乘积法则等解 决实际问题。
理解偏导数的概念及其性 质，能够正确计算偏导数 并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式， 解决涉及方程组的导数问 题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲 线和曲面的导数，进而研究它们的几何 性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和 曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地 求出参数方程的导数，进而研究曲线的切 线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等 领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了 解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。
第四节 多元函数的求导法则
z u z v u v lim lim u 0 0 u x v x v 0 x u0 x v
z u z v . u x v x
同理可证
z z u z v . y u y v y
是x, y的复合函数 .
如何求复合函数 f [ ( x, y), ( x, y )] z 的导数？
定理 设 u ( x, y), v ( x, y) 在点 x, y)有偏导数 ( ,
而z f (u, v ) 在对应点 u, v ) 有连续偏导数，则复合 ( 函数
z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点( x, y) 有偏导数
du 函 数F，f，均 可 微 ， 求 . dx
四、小结
1、链式法则
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
思考题
设 z f ( u, v , x ) ，而u ( x ) ，v ( x ) ，
dz f du f dv f ， 则 dx u dx v dx x dz f 试问 与 是否相同？为什么？ dx x
x 0 x 0
所以 z z u z v u v lim lim( ) x 0 x x 0 u x v x x x
z u z v u v lim lim lim lim lim lim u x 0 x v x 0 x x 0 x 0 x x 0 x 0 x
y
z f (sin x , e xy , ln x 2 y 2 )，f 具有连续偏 例3 设
z z 导数，求 和 . x y
多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可 能把所有的公式都写出来，也没有必要，只要把握住 函数间的复合关系，及函数对某个自变量求偏导时，
03第八章 第3节多元复合函数求导法则
u x y
v x y
z du z dv
u
v
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表
达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 .
14
例 6. z eu sinv, u xy, v x y,求 z , z .
解: d z d ( eu sin v )
例 3. 设 z u v sin t , u et ,
求全导数 d z .
dt
z
解:
dz z du z dv z dt u dt v dt t
tt
vet u sin t cost
et (cos t sin t) cost
9
例 4 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
f21 xyf22;
x
y
z
x
y
z
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
11
例5 设z x2 f ( y , xy),其中f具有二阶连续偏导, x
f12
f2 2
zபைடு நூலகம்
uv x yx y
5
又如 z f (x,v), v (x, y)
当它们 都具有可微条件时，则有
z x
f x
f v
v x
f1
f 2 1
z y
f v
v y
多元函数的求导法则
xy
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例3. 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) exy[ y sin(x y) cos(x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例1 . z eu sin v, u xy, v x y, 求 z , z . x y
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内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
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例 5. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
7.4多元复合函数及其求导法则
， z x 2 sin y ，求
u u 和 . x y
2xe
x2 y 2 z 2
2ze
2
x2 y 2 z 2
2x sin y ,
2x(1 2x sin y)e
2
x2 y2 x4 sin2 y
u f f z y y z y
( z du z dv )dt u dt v dt
dz z du z dv 从而 . dt u dt v dt
定理 1 如果函数 u(t)及 v (t)都在点 t 可导，函数 zf(u，v)在对应点(uv) 具有连续偏导数，则复合函数 zf[(t)， (t)]在点 t 可导，且有
o( ) o( ) (u )2 (v)2 du dv lim lim 0 ( )2 ( )2 0 t 0 t t 0 t dt dt
定理 1 如果函数 u(t)及 v (t)都在点 t 可导，函数 zf(u，v)在对应点(uv) 具有连续偏导数，则复合函数 zf[(t)， (t)]在点 t 可导，且有
函数 zf(u，v)在对应点(uv)具有连续偏导数， 则复合函数 zf[(t)， (t)]在点 t 可导，
且有
dz z du z dv dt u dt v dt
（1）
定理 1 如果函数 u(t)及 v (t)都在点 t 可导，函数 zf(u，v)在对应点(uv) 具有连续偏导数，则复合函数 zf[(t)， (t)]在点 t 可导，且有
z x z u z v u x v x
eu sin v y eu cos v 1
eu ( y sin v cos v) exy [ y sin( x y) cos( x y)],
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全 微 分 形 式 不 变 性 的 实 质
13
多元复合函数的求导法则
引入记号: 设 z = f ( u, v ) , 记
z z = f1′ , = f 2′ u v
14
多元复合函数的求导法则
例6. 设 求
u = f ( x y , e , z)
2 2 xy
u u u , , . x y z
通过全微分求所有一阶偏导数,比链 通过全微分求所有一阶偏导数 比链 导法则求偏导数有时会显得灵活方便. 导法则求偏导数有时会显得灵活方便
混合偏导 高阶偏导数. 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
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多元复合函数的求导法则
引入记号: 设 z = f ( u, v ) , 记
z z = f1′ , = f 2′ , u v
z z z z ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 , = f12 , = f 21 , 2 = f 22 2 u uv vu v
2 2 2 2
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多元复合函数的求导法则
求z = x 3 y 2 + xy 的四个二阶偏导数 例 的四个二阶偏导数. z 2z 解 = 3 x 2 y 2 + y, = 6 xy 2 , x x 2 2z = 6 x 2 y + 1; xy z 2z = 2 x 3 y + x, = 2 x3 , y y 2 2z = 6 x 2 y + 1. yx
12
多元复合函数的求导法则
三,全微分形式不变性
设函数z = f ( u, v ) 具有连续偏导数 则有 具有连续偏导数, z z 全微分 dz = du + dv; u v 当u = ( x , y ), v = ψ ( x , y )时, 则有全微分 z z dz = dx + dy , x y v z z u u z vu z u z z v x + v dy = + dx + dy + + d y u u x x v xy u y v v xy z z = du + dv . u v
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数 该中间变量对其指定自变量的偏导数 或导数 指定自变量的偏导数 或导数).
5
多元复合函数的求导法则
z = f [ ( x , y ),ψ ( x , y )]
u v
u
网络图
x
网络图原则
z
v
y
z z u z v = + x u x v x
z z u z v = + y u y v y
u=e
x2 + y 2 + z 2
, z = x 2 sin y
u u , . x y
y 例3. 设 z = f xy, , f 有连续偏导, x
求
z z , x y
10
多元复合函数的求导法则
设f ( x , y , z )是k次齐次函数 ,即 例4 k f ( tx , ty , tz ) = t f ( x , y , z ), λ为某一常数 则结论 为某一常数,
3
多元复合函数的求导法则
注意:
1. (*)式中两边z的含义不同, 左边的z表示已经复合的函数, 右边的z表示还没有复合的函数, 2. (*)式两边都在点 ( x, y ) 取值.
4
多元复合函数的求导法则
分量原则
问:
项数 每一项
函数对某自变量的偏导数之结构 中间变量 的个数 的个数. 函数对中间变量的偏导数 函数对中间变量的偏导数 × 中间变量
3x2 y 2 x4 y x3 2 x3 y2 f x ( x, y) = 2 2 2 2 2 f y ( x, y) = 2 2 x + y (x + y ) x + y ( x 2 + y 2 )2
20
多元复合函数的求导法则
在前一题中两个混合二阶偏导数相等, 在前一题中两个混合二阶偏导数相等 但在 后一题中两者不相等, 后一题中两者不相等 这说明混合偏导数与求偏 导数的次序有关.但就通常所遇到的函数, 导数的次序有关 但就通常所遇到的函数 此种情 况不会发生, 这是因为有下述的定理: 况不会发生 这是因为有下述的定理 定理 如果函数 z = f ( x, y ) 的两个二阶混合偏 那么在 在区域D内 连续, 导数 f xy ( x , y ) 与f yx ( x , y ) 在区域 内 连续, 该区域内 fxy ( x, y) = f yx ( x, y). 一般地, 多元函数的高阶混合偏导数如果连 一般地 续就与求导次序无关 求导次序无关. 续就与求导次序无关 3 f 3 f xy (0,0) ≠ f3yx (0,0), 这只能说明 后一题中 f f = 如 . = 注 2 2 x 在点( 0)处 都不连续. yx f 和f y x0,yx 都不连续
6
多元复合函数的求导法则
例1. 设 求
z = ln ( u + v ) , 而 u = e
2
x+ y2
, v = x2 + y
z z , x y
7
多元复合函数的求导法则
二. 介绍"网络图"
1. z = f (u , v), u = (t ), v = ψ (t )
dz z du z dv = + . dt u dt v dt
而对于二元函数
z = f (u , v), u = ( x, y ), v = ψ ( x, y )
z z 如何求 , x y
?
2
多元复合函数的求导法则
定理: 如果u = ( x , y )及v = ψ ( x , y )都在点 ( x , y )
具有对 x和y的偏导数 , 且函数z = f ( u, v )在对
xy yx
21
多元复合函数的求导法则
多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微 分方程. 偏微分方程是描述自然现象, 分方程 偏微分方程是描述自然现象,反映自然 规律的一种重要手段. 规律的一种重要手段 例如方程
2z 2z = a2 2 y 2 x (a是常数 称为波动方程 它可用来描述各类波的 是常数)称为波动方程, 是常数 称为波动方程 运动. 运动 又如方程 2z 2z 2 + 2 = 0 x y 称为拉普拉斯 拉普拉斯(laplace)方程 它在热传导,流体 方程, 称为拉普拉斯 方程 它在热传导, 运动等问题中有着重要的作用. 运动等问题中有着重要的作用
多元复合函数的求导法则 3
定义得 当( x , y ) = (0,0)时, 按定义得 f (0 + x ,0) f (0,0) 0 = lim =0 f x (0,0) = lim x → 0 x → 0 x x f (0,0 + y ) f (0,0) 0 lim = lim =0 f y ( 0, 0 ) = y → 0 y → 0 y y f x (0,0 + y ) f x (0,0) f x y (0,0) = lim = 0, y → 0 y f y (0 + x ,0) f y (0,0) f y x(0,0) = lim = 1. x → 0 x
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多元复合函数的求导法则
思考题解答
f ( tx , ty , tz ) = t k f ( x , y , z )
f ( tx , ty , tz ) = t k f ( x , y , z ) 令 u = tx, v = ty, w = tz, 则
f ( u, v , w ) = t k f ( x , y , z ), 两边对 求导 得 两边对t求导 求导,得 f u f v f w + + = kt k 1 f ( x , y , z ) u t v t w t f f f tx + t y +t z = t kt k 1 f ( x , y , z ) u v w = k t k f ( x , y , z ) = kf ( u, v , w ) f f f uy z u + y + w = kf (x , v , w ) x v z y z u v w x f f f (C ) x + y + z = kf ( x , y , z ); x y z
2 x3 y2 x3 f y ( x, y) = 2 . 2 2 2 2 x + y (x + y )
19
x y 2 当( x , y ) ≠ (0,0), 2 设 f ( x, y ) = x + y 求f xy (0,0)和f xy (0,0). 0 当( x , y ) = (0,0).
全导数
z
u v z
t
2. z = f (u, v, w), u = u (t ), v = v(t ), w = w(t )
dz z du z dv z dw = + + 全导数 dt u dt v dt w dt
3.
z = f (u , v), u = ( x, y ), v = ψ ( x, y )
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多元复合函数的求导法则
四,高阶偏导数和高阶全微分
函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2 z z = 2 = f xx ( x , y ), x x x
2 z z f ( x , y ) = 2 = yy y y y
纯偏导
z 2 z z 2 z = f yx ( x , y ) = = f xy ( x , y ), = x y xy y x yx
u v w
t
z z u z v z z u z v z , = = + + . x u x v x y u y v y
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多元复合函数的求导法则
引入记号: 设 z = f ( u, v ) , 记
z z = f1′ , = f 2′ u v
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多元复合函数的求导法则
例6. 设 求
u = f ( x y , e , z)
2 2 xy
u u u , , . x y z
通过全微分求所有一阶偏导数,比链 通过全微分求所有一阶偏导数 比链 导法则求偏导数有时会显得灵活方便. 导法则求偏导数有时会显得灵活方便
混合偏导 高阶偏导数. 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
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多元复合函数的求导法则
引入记号: 设 z = f ( u, v ) , 记
z z = f1′ , = f 2′ , u v
z z z z ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 , = f12 , = f 21 , 2 = f 22 2 u uv vu v
2 2 2 2
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多元复合函数的求导法则
求z = x 3 y 2 + xy 的四个二阶偏导数 例 的四个二阶偏导数. z 2z 解 = 3 x 2 y 2 + y, = 6 xy 2 , x x 2 2z = 6 x 2 y + 1; xy z 2z = 2 x 3 y + x, = 2 x3 , y y 2 2z = 6 x 2 y + 1. yx
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多元复合函数的求导法则
三,全微分形式不变性
设函数z = f ( u, v ) 具有连续偏导数 则有 具有连续偏导数, z z 全微分 dz = du + dv; u v 当u = ( x , y ), v = ψ ( x , y )时, 则有全微分 z z dz = dx + dy , x y v z z u u z vu z u z z v x + v dy = + dx + dy + + d y u u x x v xy u y v v xy z z = du + dv . u v
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数 该中间变量对其指定自变量的偏导数 或导数 指定自变量的偏导数 或导数).
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多元复合函数的求导法则
z = f [ ( x , y ),ψ ( x , y )]
u v
u
网络图
x
网络图原则
z
v
y
z z u z v = + x u x v x
z z u z v = + y u y v y
u=e
x2 + y 2 + z 2
, z = x 2 sin y
u u , . x y
y 例3. 设 z = f xy, , f 有连续偏导, x
求
z z , x y
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多元复合函数的求导法则
设f ( x , y , z )是k次齐次函数 ,即 例4 k f ( tx , ty , tz ) = t f ( x , y , z ), λ为某一常数 则结论 为某一常数,
3
多元复合函数的求导法则
注意:
1. (*)式中两边z的含义不同, 左边的z表示已经复合的函数, 右边的z表示还没有复合的函数, 2. (*)式两边都在点 ( x, y ) 取值.
4
多元复合函数的求导法则
分量原则
问:
项数 每一项
函数对某自变量的偏导数之结构 中间变量 的个数 的个数. 函数对中间变量的偏导数 函数对中间变量的偏导数 × 中间变量
3x2 y 2 x4 y x3 2 x3 y2 f x ( x, y) = 2 2 2 2 2 f y ( x, y) = 2 2 x + y (x + y ) x + y ( x 2 + y 2 )2
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多元复合函数的求导法则
在前一题中两个混合二阶偏导数相等, 在前一题中两个混合二阶偏导数相等 但在 后一题中两者不相等, 后一题中两者不相等 这说明混合偏导数与求偏 导数的次序有关.但就通常所遇到的函数, 导数的次序有关 但就通常所遇到的函数 此种情 况不会发生, 这是因为有下述的定理: 况不会发生 这是因为有下述的定理 定理 如果函数 z = f ( x, y ) 的两个二阶混合偏 那么在 在区域D内 连续, 导数 f xy ( x , y ) 与f yx ( x , y ) 在区域 内 连续, 该区域内 fxy ( x, y) = f yx ( x, y). 一般地, 多元函数的高阶混合偏导数如果连 一般地 续就与求导次序无关 求导次序无关. 续就与求导次序无关 3 f 3 f xy (0,0) ≠ f3yx (0,0), 这只能说明 后一题中 f f = 如 . = 注 2 2 x 在点( 0)处 都不连续. yx f 和f y x0,yx 都不连续
6
多元复合函数的求导法则
例1. 设 求
z = ln ( u + v ) , 而 u = e
2
x+ y2
, v = x2 + y
z z , x y
7
多元复合函数的求导法则
二. 介绍"网络图"
1. z = f (u , v), u = (t ), v = ψ (t )
dz z du z dv = + . dt u dt v dt
而对于二元函数
z = f (u , v), u = ( x, y ), v = ψ ( x, y )
z z 如何求 , x y
?
2
多元复合函数的求导法则
定理: 如果u = ( x , y )及v = ψ ( x , y )都在点 ( x , y )
具有对 x和y的偏导数 , 且函数z = f ( u, v )在对
xy yx
21
多元复合函数的求导法则
多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微 分方程. 偏微分方程是描述自然现象, 分方程 偏微分方程是描述自然现象,反映自然 规律的一种重要手段. 规律的一种重要手段 例如方程
2z 2z = a2 2 y 2 x (a是常数 称为波动方程 它可用来描述各类波的 是常数)称为波动方程, 是常数 称为波动方程 运动. 运动 又如方程 2z 2z 2 + 2 = 0 x y 称为拉普拉斯 拉普拉斯(laplace)方程 它在热传导,流体 方程, 称为拉普拉斯 方程 它在热传导, 运动等问题中有着重要的作用. 运动等问题中有着重要的作用
多元复合函数的求导法则 3
定义得 当( x , y ) = (0,0)时, 按定义得 f (0 + x ,0) f (0,0) 0 = lim =0 f x (0,0) = lim x → 0 x → 0 x x f (0,0 + y ) f (0,0) 0 lim = lim =0 f y ( 0, 0 ) = y → 0 y → 0 y y f x (0,0 + y ) f x (0,0) f x y (0,0) = lim = 0, y → 0 y f y (0 + x ,0) f y (0,0) f y x(0,0) = lim = 1. x → 0 x
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多元复合函数的求导法则
思考题解答
f ( tx , ty , tz ) = t k f ( x , y , z )
f ( tx , ty , tz ) = t k f ( x , y , z ) 令 u = tx, v = ty, w = tz, 则
f ( u, v , w ) = t k f ( x , y , z ), 两边对 求导 得 两边对t求导 求导,得 f u f v f w + + = kt k 1 f ( x , y , z ) u t v t w t f f f tx + t y +t z = t kt k 1 f ( x , y , z ) u v w = k t k f ( x , y , z ) = kf ( u, v , w ) f f f uy z u + y + w = kf (x , v , w ) x v z y z u v w x f f f (C ) x + y + z = kf ( x , y , z ); x y z
2 x3 y2 x3 f y ( x, y) = 2 . 2 2 2 2 x + y (x + y )
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x y 2 当( x , y ) ≠ (0,0), 2 设 f ( x, y ) = x + y 求f xy (0,0)和f xy (0,0). 0 当( x , y ) = (0,0).
全导数
z
u v z
t
2. z = f (u, v, w), u = u (t ), v = v(t ), w = w(t )
dz z du z dv z dw = + + 全导数 dt u dt v dt w dt
3.
z = f (u , v), u = ( x, y ), v = ψ ( x, y )
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多元复合函数的求导法则
四,高阶偏导数和高阶全微分
函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2 z z = 2 = f xx ( x , y ), x x x
2 z z f ( x , y ) = 2 = yy y y y
纯偏导
z 2 z z 2 z = f yx ( x , y ) = = f xy ( x , y ), = x y xy y x yx
u v w
t
z z u z v z z u z v z , = = + + . x u x v x y u y v y