2018-2019学年数学高考一轮复习：第七章不等式7.1一元二次不等式

§7.1 一元二次不等式命题探究答案:8解析:∵sin A=2sin Bsin C, ∴sin(B+C)=2sin Bsin C,即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, ∵tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-=,又△ABC 为锐角三角形,∴tan A=>0,tan B+tan C>0,∴tan Btan C>1,∴tan Atan Btan C=·tan B·ta n C=,令tan Btan C-1=t,则t>0,∴tan Atan BtanC==2≥2×(2+2)=8,当且仅当t=,即tan Btan C=2时,取“=”.∴tan Atan Btan C 的最小值为8.考纲解读分析解读 一元二次不等式很少单独命题,一般和其他知识融合在一起考查.五年高考考点 不等式的解法1.(2016浙江理改编,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x 2≥4},则P∪(∁R Q)= . 答案 (-2,3]2.(2016课标全国Ⅰ理改编,1,5分)设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B= .答案3.(2013安徽理改编,6,5分)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为.答案{x|x<-lg 2}4.(2013陕西理改编,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是.答案[10,30]5.(2013四川理,14,5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是.答案(-7,3)教师用书专用(6)6.(2013安徽理,17,12分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.解析(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=,故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}.因此区间I=,I的长度为.(2)设d(a)=,则d'(a)=.令d'(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故当1-k≤a<1时,d'(a)>0,d(a)单调递增;当1<a≤1+k时,d'(a)<0,d(a)单调递减.所以当1-k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而==<1.故d(1-k)<d(1+k).因此当a=1-k时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点不等式的解法1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)设f(x)=若f(t)>2,则实数t的取值范围是.答案t<0或t>32.(2018江苏扬州中学高三月考)已知函数f(x)=x2-2x,x∈[a,b]的值域为[-1,3],则b-a的取值范围是.答案[2,4]3.(苏教必5,三,2,变式)若关于x的不等式m(x-1)>x2-x的解集为{x|1<x<2},则实数m的值为.答案 24.(苏教必5,三,2,变式)对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.答案x<1或x>35.(2017江苏苏州期中)函数y=的定义域为.答案(-2,1]6.(2016江苏南京三模,7)记不等式x2+x-6<0的解集为集合A,函数y=lg(x-a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为.答案(-∞,-3]B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:50分时间:25分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2018江苏海安中学阶段测试)已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值集合为.答案{-2,8}2.(2018江苏淮安、宿迁高三期中)不等式x6-(x+2)3+x2≤x4-(x+2)2+x+2的解集为.答案[-1,2]3.(苏教必5,三,2,变式)已知函数f(x)=,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是.答案{a|a>-3}4.(2017江苏前黄高级中学第一次学情调研,6)已知函数f(x)=若对于任意x∈R,不等式f(x)≤-t+1恒成立,则实数t的取值范围是.答案(-∞,1]∪[3,+∞)二、解答题(共30分)5.(2018江苏金陵中学高三月考)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.(1)求函数g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.解析(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y).则即∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x.(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0.当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为.(3)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1.①当λ=-1时,h(x)=4x+1,在[-1,1]上是增函数,符合题意.②当λ≠-1时,抛物线h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1的对称轴方程为x=.(i)当λ<-1,且≤-1时,h(x)在[-1,1]上是增函数,解得λ<-1.(ii)当λ>-1,且≥1时,h(x)在[-1,1]上是增函数,解得-1<λ≤0.综上,λ≤0.6.(2016江苏淮安高中阶段检测,19)设A=[-1,1],B=,函数f(x)=2x2+mx-1.(1)设不等式f(x)≤0的解集为C,当C⊆(A∪B)时,求实数m的取值范围;(2)若对任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,试求x∈B时,f(x)的值域.解析(1)A∪B=[-1,1],因为二次函数f(x)=2x2+mx-1的图象开口向上,且Δ=m2+8>0恒成立,故图象始终与x轴有两个交点,若C⊆A∪B,则这两个交点的横坐标x1,x2∈[-1,1],所以解得:-1≤m≤1.(2)因为对任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以-=1,故m=-4.所以f(x)=2(x-1)2-3,所以f(x)在上为减函数.所以f(x)min=-2,f(x)max=2,故x∈B时,f(x)的值域为[-2,2].C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 一元二次不等式的解法及应用1.(2017江苏南京溧水中学质检,15)已知集合A={x|(x-6)(x-2a-5)>0},集合B={x|[(a2+2)-x]·(2a-x)<0}.(1)若a=5,求集合A∩B;(2)已知a>,且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)当a=5时,由(x-6)(x-15)>0,解得x<6或x>15,所以A=(-∞,6)∪(15,+∞),由(27-x)·(10-x)<0,即(x-27)(x-10)<0,解得10<x<27,所以B=(10,27),∴A∩B=(15,27).(2)当a>时,2a+5>6,a2+2>2a,∴A=(-∞,6)∪(2a+5,+∞),B=(2a,a2+2),∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,∴B⫋A,显然2a<2a+5,∴a2+2≤6,∵a>,∴<a≤2.方法2 分式不等式的解法2.(2018江苏金陵中学月考)不等式<3的解集为.答案(-∞,0)∪3.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=,则实数a的取值范围是.答案4.已知f(x)=则f(x)>-1的解集为.答案(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞)方法3 解含参数的一元二次不等式5.(2017泰州第一次质量检测)已知二次函数f(x)=mx2-2x-3,关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为[-1,n].(1)当a>0时,解关于x的不等式ax2+n+1>(m+1)x+2ax;(2)是否存在实数a∈(0,1),使得关于x的函数y=f(a x)-3a x+1(x∈[1,2])的最小值为-5?若存在,求实数a的值;若不存在,请说明理由.解析由不等式mx2-2x-3≤0的解集为[-1,n]知,关于x的方程mx2-2x-3=0的两根为-1和n,且m>0,由根与系数的关系,得解得(1)原不等式可化为(x-2)(ax-2)>0,①当0<a<1时,原不等式化为(x-2)>0,且2<,解得x>或x<2;②当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解得x∈R且x≠2;③当a>1时,原不等式化为(x-2)>0,且2>,解得x<或x>2.综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为;当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠2};当a>1时,原不等式的解集为.(2)存在.假设存在满足条件的实数a,易知f(x)=x2-2x-3,则y=f(a x)-3a x+1=a2x-(3a+2)a x-3.令a x=t(a2≤t≤a),则y=t2-(3a+2)t-3,函数y=t2-(3a+2)t-3的图象的对称轴为直线t=,因为a∈(0,1),所以a2<a<1,1<<,所以函数y=t2-(3a+2)t-3在[a2,a]上单调递减,所以当t=a时,y取得最小值,最小值为y=-2a2-2a-3由-2a2-2a-3=-5,解得a=或a=(舍去).D组2016—2018年模拟·突破题组(2016江苏南通调研,19)设函数f(x)=(x+k+1),g(x)=,其中k是实数.(1)若k=0,解不等式·f(x)≥·g(x);(2)若k≥0,求关于x的方程f(x)=x·g(x)实根的个数.解析(1)k=0时,f(x)=(x+1),g(x)=.由得x≥0.此时,原不等式为(x+1)x≥(x+3),即2x2+x-3≥0,解得x≤-或x≥1.因为x≥0,所以原不等式的解集为[1,+∞).(2)由方程f(x)=x·g(x)得,(x+k+1)=x.①由得x≥k,所以x≥0,x+k+1>0.方程①两边平方,整理得(2k-1)x2-(k2-1)x-k(k+1)2=0(x≥k).②当k=时,由②得x=,因为>,所以原方程有唯一解.当k≠时,方程②整理为[(2k-1)x+k(k+1)](x-k-1)=0,解得x1=,x2=k+1.i)k=时,x1=x2,方程②有两个相等的实数根,此时x=,因为>,所以原方程有唯一的解.ii)0≤k<且k≠时,x1≠x2,且x2=k+1>k,x1-k=≥0,即x1≥k.故原方程有两解.iii)k>时,x1-k=<0,即x1<k,故x1不是原方程的解.而x2=k+1>k,故原方程有唯一解. 综上所述:当k≥或k=时,原方程有唯一解;当0≤k<且k≠时,原方程有两解.。