应用统计学课件第11章相关分析与回归分析

在实际的检验中，通常情况下采取费舍尔提出的 t检验， 检验适用于小样本，也适用于大样本。因 为在总体相关系数 接近0时， t的分布接近正态分 布。
t检验的步骤：
第一步：提出假设
H0： ρ=0 H1： ρ≠0
第二步：计算检验统计量值
r2
t
(n 2)
1 r2
第三步：根据给定的显著性水平a和自由度查t分
2. 在EXCEL中回归方程的估计 第一步，选择“数据分析”中的“回归”分析工
具，选择Y的输入区域和X的输入区域，如图
第二步，点击确定后得到如图11-3b的三张表： 回归统计、方差分析和系数表(Coefficients)。
11.3.3回归方程的显著性检验
1.回归方程整体拟合效果的检验——拟合优度 (goodness of fit) Y的总变差：
X iYi Xi2 (
X i Yi Xi )2
19 645.4 164 64 19 1782 1642
0.2537
ˆ0
Y
ˆ1X
64 19
0.2537 164 19
1.1782
通过计算，可以得到食品消费支出依居民家庭 收入的样本回归方程，写成：
Yˆi 1.1782 0.2537Xi
根据经济学的知识，对这一回归方程可以做出 解释，斜率0.2537表示当家庭收入每增加1万元， 用于居民家庭食品的消费支出平均增加2537元，可 以理解为收入对食品支出的边际贡献；而截距 1.1782可以理解为收入为0时家庭食品支出额。
第11章 相关分析与回归分析
11.1、变量间的关系 11.2、相关系数的测度 11.3、简单线性回归模型 11.4、回归模型的应用
例1、 下面是19个家庭食品消费支出和家庭收入
数据(数据教材11-1)，试用图表分析食品消费支出与
家庭收入的相关关系。
x(i)
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
家庭食品支出与收入相关分析图
11.2 相关系数的测度
1、线性相关系数
r ( X i X )(Y Y ) ( X i X )2 (Yi Y )2
性质： -1≤r≤+1 r<0,负相关；r>0,正相关；|r|=1完全相关 强相关和弱相关
相关系数的另一种形式计算式
r
n X iYi X i Yi
n
X
2 i
2)模型设定的误差。这其中既有模型的函数形式设定 的误差，也可能有遗漏解释变量的误差。引起设定误差的 原因可能是我们对于引起 变动的机理尚不清楚，有时也是 为了简化模型的需要。
3)存在一些无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ观测的解释变量。
3.关于随机误差项ε的假定
1)对于ε本身而言，具有零均值，即 E(εi)=0 ； 2)对于ε本身而言，具有等方差，即:
D(εi)=σ2； 3)对于ε本身而言，即εi和εj不相关，可以表示为:
COV(εi,εj)=0 ； 4) ε与解释变量X不相关，可以表示为:
COV(εi,Xj)=0。
11.3.2 最小二乘估计法(Least Squares Estimate Method)
1. 最小二乘的基本思想
根据Y 和X的样本观察值得到总体参数的估计值 ，
R2 ESS 1 RSS TSS TSS
称R2为拟合优度(goodness of fit)或判定系数，它 度量了回归方程的拟合效果。根据上面相关定义可知， 拟合优度的取值[0，1]。
2.回归方程线性关系的显著检验——F检验度
最常用的方法就是最小二乘估计法，即假设在拟合Y依X
线性关系的所有直线中，有一条直线的预测值和观察值
的偏离程度最小，即:
min Q min (Yi Yˆ)2 min (Yi 0 1 X i )2
必有：
Q / ˆ0 2 (Yi ˆ0 ˆ1Xi )(1) 0
Q
/
ˆ1
2
(Yi ˆ0 ˆ1Xi )( Xi ) 0
TSS (Yi Y )2
回归平方和：
ESS (Yˆi Y )2
残差平方和：
RSS ei2 (Yi Yˆi )2
对于给定的样本数据，无论样本回归线如何，总 变差平方和TSS总是一定的，那么ESS在TSS中所占 比重越高，或者说由于随机因素引起的变差RSS所占 比重越小，都能够说明根据 解释 的变化效果越好， 因此我们定义：
整理得到参数的估计值：
ˆ1
n n
X iYi Xi2 (
X i Yi Xi )2
ˆ0 Y ˆ1X
在手工计算样本相关系数时，通常先列计算表得到 ∑X，∑Y，∑XY，∑X2，∑Y2。然后代入公式。
例11.3 针对数据11-1，试估计居民食品消费支出
依家庭收入的回归方程。
ˆ1
n n
(
Xi)2 n
Yi 2 ( Yi )2
在手工计算样本相关系数时，通常先列计算表得
到∑X，∑Y，∑XY，∑X2，∑Y2。然后代入公式。
Excel计算相关系数的函数CORREL
2、相关系数的检验
总体相关系数ρ=0时，样本相关系数r趋近于正 态分布。而当ρ接近于+1或-1时，除非n非常大，r 的分布是有偏的。
t
r2 1 r
2
(n
2)
0.97852 1 0.97852
(19
2)
19.56
第三步：根据给定的显著性水平a和自由度查t分布 表，得到 临界值t0.025(17)=2.1098 。
因为t=19.56> ta/2(n-2) ,故拒绝原假设。表明家 庭食品支出与家庭收入变量总体上相关性显著。
11.3 简单线性回归模型
布表，得到 临界值ta/2(n-2) 。 若t> ta/2(n-2) ,则拒绝原假设。 反之，不能拒绝原假设。
例11.2 针对数据11.1，19个家庭食品消费支出和 家庭收入数据计算的样本相关系数r=0.9785，检验两 者之间的线性相关系数是否显著(a=0.05)。
解： 第一步：提出假设 H0： ρ=0 H1： ρ≠0 第二步：计算检验统计量值
11.3.1模型的基本定义 1、模型的数学形式
Yi 0 1X i i
Y:因变量、应变量、被解释变量 X:自变量、解释变量
2、模型包含随机误差项ε的原因 1)引起变量观察值随机误差的诸多因素，使模型产生
的误差。变量观察值的误差往往是不可避免的，无论是试 验数据还是观察数据。但是在多次观察中有理由认为绝对 值相同的正、负误差出现的机会大致相同。