2.4抽样分布
抽样与抽样分布
抽样与抽样分布在统计学中，抽样是一种常用的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。
抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。
在进行抽样时，我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。
一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。
这样可以确保样本的代表性，从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。
常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。
这样可能导致样本的代表性不足，从而产生较大的估计误差。
有时，有偏抽样也可以用于特定的研究目的，但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。
二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。
统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。
2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。
中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会接近正态分布。
3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。
这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。
4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。
通常情况下，样本方差的抽样分布呈右偏态，即偏度大于0。
为了得到样本方差的抽样分布，可以使用抽样分布的近似分布，如卡方分布。
三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 调查研究在进行调查研究时，我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。
通过利用抽样与抽样分布的方法，我们可以将样本的调查结果推广到总体中，从而得到总体的特征和性质。
2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。
通过比较样本统计量与假设的总体参数值，我们可以判断假设的合理性。
概率论与数理统计考点归纳
概率论与数理统计考点归纳1. 引言概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。
在实际应用中，概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。
2. 概率论考点2.1 随机变量与概率分布•随机变量的定义、分类和常见概率分布：离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。
•期望、方差和协方差的定义和性质，以及它们与随机变量的关系。
•大数定律和中心极限定理的概念和应用。
2.2 一维随机变量的分布特征•分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。
•分位数和分位点的概念和计算方法。
•随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。
•常见分布的特征：均匀分布、指数分布、正态分布等。
2.3 多维随机变量的分布特征•多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。
•多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。
•多维正态分布的定义和性质，以及多维正态分布的应用。
2.4 随机变量的函数的分布特征•随机变量函数的分布：线性变换、和、积、商的分布。
•随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。
3. 数理统计考点3.1 抽样与抽样分布•抽样的概念和方法：随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。
•抽样分布的概念和性质：样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。
•中心极限定理在抽样分布中的应用。
3.2 参数估计•点估计的概念和方法：矩估计、最大似然估计等。
•点估计的性质：无偏性、有效性、一致性等。
•置信区间的定义和计算方法。
3.3 假设检验•假设检验的基本步骤：建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。
•假设检验的错误和功效：第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。
•常见假设检验方法：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。
理论分布和抽样分布的概念
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
理论分布和抽样分布
所构成，其中事件A包含有m个基本事件，
则事件A的概率为m/n，即
P（A）=m/n
这样定义的概率称为古典概率。
13
2.1 概率的统计学意义
例如，在有两个孩子的家庭中，孩子性别
的组成有四种类型。即：男男、男女、女
男、女女。它们是四个基本事件，而且是
互不相容且等可能的，那么两个男孩的事
件A1为四个基本事件(n)中的一个(m) ， A1的概率
27
第二章 理论分布和抽样分布
将Y的一切可能y1值 y2 ， ，…，以及取得这些 值的概率p( y1) 、p( y2 ) …，排列起来， 就构成了 离散型随机变量的概率分布(probabiit distribution)。
表2-2 离散型随机变量的概率分布表。
Y
y1
y2
…
P(yi) p( y1 ) p( y2 )
本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概 率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随 机变量的概率分布：间断性变数总体的理论分布：二 项分布、泊松分布；连续性变数总体的理论分布，即 正态分布； 从这两类理论分布中抽出的样本统计数的
分布，即抽样分布和t分布。
2
2.1 概率的统计学意义
一、事 件 1. 必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种
这里的0.05或0.01称为小概率标准，生物 试验研究中通常使用这两个小概率标准。
21
2.3 理论分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发 生的可能性大小。若要全面了解试验，则 必须知道试验的全部可能结果及各种可能 结果发生的概率，即必须知道随机试验的 概率分布(probability distribution)。为 了深入研究随机试验 ，我们先引入随机变 量(random variable)的概念。
社会统计学(第五章新)
基本逻辑是：先看样本情况， 基本逻辑是：先看样本情况， 才问总体情况。 才问总体情况。
24
3.2 假设检验
首先假设总体的情况（参数或分布情况） 首先假设总体的情况（参数或分布情况） 是怎样的， 是怎样的，然后通过随机样本的统计值来检验 这个假设是否正确。 这个假设是否正确。 例如，我们先假设总体的均值是40元，然 例如，
5、通过标准化转化，均值抽样分布中任意 、通过标准化转化， 两值之间的样本均值次数所占的比例是 可以知道的。通过查标准正态分布表， 可以知道的。通过查标准正态分布表， 社会学常用的有： 社会学常用的有： 90％的面积在µ±1.65(SE); ％ ±1.65(SE); 95％的面积在µ±1.96(SE); ％ ±1.96(SE); 99％的面积在µ±2.58(SE); ％ ±2.58(SE);
1、根据样本的统计值来推测总体的 、 参数值。 参数值。 2、统计推论以概率论为基础，因此 、统计推论以概率论为基础， 统计推论的方法主要适用于概率 随机）抽样的数据。 （随机）抽样的数据。 3、抽样分布原理是统计推论的依据。 、抽样分布原理是统计推论的依据。
15
二、统计推论的基础：抽样分布 统计推论的基础：
13
1.5 抽样分布
抽样分布是根据概率原则而成 抽样分布是根据概率原则而成 概率原则 立的理论分布， 立的理论分布，显示由同一总体中 反复不断抽取不同样本时， 反复不断抽取不同样本时，各个可 能出现的样本统计量的分布情况。 能出现的样本统计量的分布情况。
14
1.6 统计推论（概念要点） 统计推论（概念要点）
17
2.2 均值抽样分布图
f
Xi
µ
根据数学的中心极限定理， 根据数学的中心极限定理，在大样本情 况下，均值抽样分布接近正态分布。 况下，均值抽样分布接近正态分布。
抽样及抽样分布
分层抽样 概念：分层抽样又称类型抽样。首先将总体单
位按某一个标志分层；然后在各层按随机抽样的方 法分别抽出各层的样本。
特点：分层抽样在层内是抽样调查，层间是全面调
查，所以分层时应该尽量让每层内的变异程度小，
而层间的变异程度大。分层抽样的抽样误差较简单 随机抽样小，样本具有很好的代表性。
抽样平均误差的计算公式：
z
(
X 1
X
)
2
( 1
2
)
s2 1
s2 2
n1 n2
渐近服从标准正态分布。
如果： X1 和 X2 是两个非正态总体，当和样本容
量足够大，
z
(
X1
X
2
)
(1
2
)
s2 1
s2 2
n1 n2
渐近服从标准正态分布。
NEXT
二、样本成数及成数差的抽样 分布
成数的概念 样本成数的分布 两个总体样本成数差的分布
，则样本的成数为p n1
n
。
例如，某工厂生产某种电子元件，某批产品
共10000件，其中不合格品100件原则抽100件，其中
有3件不合格品，则样本的成数为p 3% 。
NEXT
样本成数的分布
用途：推断或估计总体的成数。例如某项改革 方案工人的支持率，产品的正品率等。
假设A、B、C、D、E5位同学的统计学成绩分别为： 80、 86、90、92、96。可计算得总体均值为88.8，总体方 差为29.76。现在随机从中抽容量为2的样本。
重复抽样的所有可能的样本：
样本（AA）（AB）（AC）（AD）（AE）
均值 80 83 85
86 88
样本 （BA）（BB） （BC） （BD）（BE）
抽样分布公式的详细整理
抽样分布公式的详细整理抽样分布是统计学中的一个重要概念，它描述的是在特定条件下，从总体中抽取的样本所形成的样本统计量的分布情况。
在实际应用中，我们常常需要根据已知的总体参数来估计未知的总体参数。
此时，抽样分布公式能够帮助我们进行相应的推断统计。
以下是常见的抽样分布公式的详细整理：1. 抽样分布公式在统计学中，常见的抽样分布公式有以下几种：1.1. 正态分布如果总体近似服从正态分布，那么从中抽取的样本均值就近似服从正态分布。
抽样分布公式如下所示：\[ \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(\sigma\)表示总体标准差，\(n\) 表示样本量。
1.2. t分布在实际应用中，当总体近似服从正态分布但总体标准差未知时，我们使用t分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ t = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(s\) 表示样本标准差，\(n\) 表示样本量。
1.3. 卡方分布在某些情况下，我们需要估计总体方差或总体标准差，此时可以使用卡方分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \]其中，\(\chi^2\) 表示卡方统计量，\(s\) 表示样本标准差，\(\sigma^2\) 表示总体方差，\(n\) 表示样本量。
1.4. F分布在某些情况下，我们需要进行总体方差比较或回归分析，此时可以使用F分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ F = \frac{MSB}{MSW} \]其中，\(MSB\) 表示组间平均平方和，\(MSW\) 表示组内平均平方和。
2. 应用案例为了更好地理解抽样分布公式的应用，以下是一个具体的案例：假设我们从一批电子产品中随机抽取了20个样品，测得平均寿命为3000小时，样本标准差为200小时。
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别统计推断是概括地利用样本数据进行总体特性分析和进行总体特性判断的一种方法。
而抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体中抽取多个样本，并根据样本数据计算出一种统计量的分布。
通过对抽样分布的分析和判断，可以对总体的一些特性进行估计和推断。
抽样分布有很多种类型，下面将对其中常见的几种进行总结和判别。
首先是均值的抽样分布，它是指从总体中抽取多个样本并计算出样本均值的分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时（通常大于30），样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
这个结论非常重要，因为正态分布具有许多重要的数学性质，可以方便地进行推断。
当总体分布未知时，可以使用样本均值的抽样分布进行总体均值的置信区间估计和假设检验。
其次是比例的抽样分布，它是指从总体中抽取多个样本并计算出样本比例的分布。
对于大样本而言，样本比例的抽样分布近似服从正态分布。
和样本均值一样，样本比例也适用于总体比例的置信区间估计和假设检验。
在判别抽样分布时，通常需要进行假设检验。
假设检验是基于样本数据进行的，其中包括原假设和备择假设。
原假设是指对总体特性进行的某种假设，备择假设是对原假设的补充或对立的假设。
根据样本数据计算出的统计量会与假设进行比较，并计算出一个p值来判断原假设是否可接受。
具体而言，如果p值小于事先设定的显著性水平，则拒绝原假设，接受备择假设；如果p值大于显著性水平，则无法拒绝原假设。
除了假设检验，还可以利用抽样分布进行置信区间的估计。
置信区间是关于总体特性的一个区间估计，表示总体参数的一个范围，其中包括了抽样分布的变化范围。
置信区间的计算通常基于抽样分布的性质和中心极限定理，可以用来估计总体的平均值、比例、差异等。
抽样分布是统计推断的基础，它可以用来进行总体特性的估计和判断。
在应用抽样分布时，需要了解不同类型抽样分布的特性，并掌握假设检验和置信区间估计的方法。
抽样分布的理论和应用在很多领域都有重要的应用，对于定量分析和决策有着重要的意义。
抽样分布的名词解释
4.F分布：F分布是指F统计量的分布情况。F分布常用于F检验，用于比较两组样本的方差差异是否显著。
抽样分布的类型和使用场景不同，但都在统计学中扮演着重要的角色。通过对抽样分布的了解，可以帮助我们更加准确地进行统计分析，更好地掌握数据的分布情况。
抽样分布是指根据总体数据的抽样结果的分布情况。在统计学中，通过对样本的观察，可以推断出总体的分布情况。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布、卡方分布、F分布等。
1.正态分布：正态分布是指数据呈现出高峰在中间，两侧逐渐递减的分布形态。正态分布常用于表示自然界中许多变量的分布情况，例如人群身高、体重等。
2.t分布：t分布是指在总体方差未知的情况下，样本方差的分布情况。t分布常用于统计分析中的t检验，用于比较两组样本的差异是否显著。
抽样及抽样分布
抽样及抽样分布引言在统计学中，抽样是从总体中选择一局部个体进行研究的过程。
通过抽样可以获得总体的估计值，从而对总体进行推断。
抽样是统计学的根底，也是进行统计推断的前提。
本文将介绍抽样的根本概念和方法，以及抽样分布的概念和特性。
抽样方法进行抽样时，需要选择适宜的抽样方法。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和群组抽样等。
简单随机抽样简单随机抽样是最根本的抽样方法，每个个体被随机地选入样本，且每个个体被选入样本的概率相等。
这种方法可以确保样本具有代表性。
系统抽样系统抽样是按照一定的规那么从总体中选取样本，例如每隔一定间隔选取一个个体。
这种方法简单实用，但需要注意规那么的选择是否会引入偏差。
分层抽样分层抽样是将总体分成假设干层，然后从每层中随机选取个体组成样本。
这种方法可以保证每个层次都有足够的代表性。
群组抽样群组抽样是将总体划分为假设干群组，然后随机选取假设干群组作为样本。
这种方法适用于总体中包含多个群组，但群组内个体相似的情况。
抽样分布抽样分布是指抽样统计量的分布。
统计量可以是样本均值、样本方差、样本相关系数等。
样本均值的抽样分布假设总体服从正态分布，样本均值的抽样分布也会服从正态分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将变得更加接近正态分布。
样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布是以总体方差为参数的分布，通常服从卡方分布。
样本容量的大小将影响样本方差的抽样分布形状。
样本相关系数的抽样分布样本相关系数的抽样分布通常是以总体相关系数为参数的分布。
样本容量的增加会使样本相关系数的抽样分布趋向于正态分布。
抽样误差与置信区间抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
抽样误差的大小会受到样本容量和抽样方法的影响。
为了评估抽样结果的可靠性，可以构建置信区间。
置信区间是总体参数的一个区间估计，表示总体参数落在该区间的概率。
置信区间的宽度与置信水平、样本容量以及总体标准差等相关。
抽样分布公式总结从样本到总体的推断基础
抽样分布公式总结从样本到总体的推断基础引言在统计学中，抽样是一种常用的研究方法，通过从总体中选取一部分个体来代表整体，从而进行总体特征的估计和假设的推断。
抽样分布则是在给定样本量和总体分布情况下，研究抽样统计量的分布情况。
本文将总结抽样分布的基本公式，从样本到总体的推断基础。
一、样本均值的抽样分布当样本容量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本均值的期望值E(ȳ)等于总体均值μ，即：E(ȳ) = μ样本均值的方差V(ȳ)等于总体方差σ^2除以样本容量n，即：V(ȳ) = σ^2/n其中，σ^2为总体方差。
2. 区间估计的抽样分布公式样本均值的标准差σ(ȳ)等于总体标准差σ除以样本容量n的平方根，即：σ(ȳ) = σ/√n根据正态分布的性质，样本均值与总体均值之间的差异服从一个以0为均值、σ(ȳ)为标准差的正态分布。
因此，我们可以利用样本均值与总体均值之间的差异来构建置信区间，从而进行总体均值的估计。
二、样本比例的抽样分布当样本容量n足够大时，样本比例的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本比例的期望值E(p)等于总体比例π，即：E(p) = π样本比例的方差V(p)等于总体比例π(1-π)除以样本容量n，即：V(p) = π(1-π)/n其中，π为总体比例。
2. 区间估计的抽样分布公式样本比例的标准差σ(p)等于总体比例π(1-π)/n的平方根，即：σ(p) = √(π(1-π)/n)根据正态分布的性质，样本比例与总体比例之间的差异服从一个以0为均值、σ(p)为标准差的正态分布。
因此，我们可以利用样本比例与总体比例之间的差异来构建置信区间，从而进行总体比例的估计。
三、样本差异的抽样分布当两个样本容量n1和n2都足够大时，样本差异（两个样本均值之差或两个样本比例之差）的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本差异的期望值E(ȳ1-ȳ2)等于总体均值之差μ1-μ2，即：E(ȳ1-ȳ2) = μ1-μ2样本差异的方差V(ȳ1-ȳ2)等于两个总体方差σ1^2/n1和σ2^2/n2之和，即：V(ȳ1-ȳ2) = σ1^2/n1 + σ2^2/n2其中，σ1^2和σ2^2为两个总体方差。
统计学中的抽样分布理论
统计学中的抽样分布理论统计学是一门深奥而又广泛应用的学科，其中抽样分布理论是其中一个重要支柱。
本文将从抽样、样本统计量和抽样分布三个方面进行论述，以便更好的理解其理论和应用。
一、抽样与样本统计量统计学的基本任务之一是推断总体特征。
但由于总体数据规模庞大，难以全面观察和分析，因此我们通常采用小样本的方式来代表总体。
这就是抽样的概念。
抽样是指从总体中随机抽取一部分数据，用这一部分数据代表总体，以此估计总体的特征。
常用的抽样包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
在抽样中，一个样本统计量的重要性凸显出来，因为它可以帮助我们更好的估计总体的特征。
比如，一个数据集的均值和标准差就是两个重要的样本统计量。
二、抽样分布抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布情况。
这里需要区分参数（population）和统计量（sample statistic）之间的关系。
参数是总体参数，是我们想要研究的总体特征，比如总体均值、总体方差等。
统计量是在样本中计算出来的数值，比如样本均值、样本方差等。
样本统计量是对总体参数的估计，不同的样本统计量可能对总体参数的估计存在一定的差异。
抽样分布不同于总体分布。
总体分布是指总体中所有变量的分布，而抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布。
抽样分布是一个特殊的概率分布，其形状和参数取决于总体分布和样本大小。
这是因为在计算样本统计量时，会受到样本数量和样本变异的影响。
在实际使用中，我们通过抽样分布来推断总体参数。
具体方法是：首先，通过采样方法得到一个样本，计算该样本统计量的值。
然后，通过数学公式推算样本统计量的抽样分布，从而得到一个概率区间。
若该样本统计量恰好位于这个区间内，则认为该样本统计量的估计值与总体参数的差异可以用统计学上的概率来表示。
这个概率就是所谓的显著性水平（signicance level）。
三、中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中最为重要的定理之一。
第4章 抽样及抽样分布
有限总体的范围能够明确确定，且元素的数目是有限的 无限总体所包括的元素是无限的，不可数的
2.
样本 (sample)
从总体中抽取的一部分元素的集合 构成样本的元素的数目称为样本容量
样本容量和大小样本
样本容量：一个样本所包含的总体基本单元数
n 30 的样本叫小样本 n 30 的样本叫大样本
第四章 抽样与抽样分布
第一节 抽样技术 第二节 正态分布及几个重要的统计分布 第三节 样本统计量的抽样分布
学习目标
1. 2.
3.
4.
5.
6. 7. 8.
掌握抽样技术中的基本概念 掌握简单随机抽样的做法和适用性 了解分层抽样、系统抽样、整群抽样、多阶段抽样和不 等概抽样等抽样技术的基本做法和适用性 了解正态分布、分布、卡方分布、分布等几个重要的统 计分布及其在统计推断中的意义 掌握样本均值、样本比例、样本方差的抽样分布 理解中心极限定理的含义及其在统计推断中的意义 掌握两个样本均值之差、两个样本比例之差、两个样本 方差之比的抽样分布 熟悉Excel中随机抽样的实现
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N！ n （ !术
抽样方式
概率抽样 非概率抽样
简单随机抽样 整群抽样 多阶段抽样
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
概率抽样(probability sampling)
1.
2.
根据一个已知的概率来抽取样本单位， 也称随机抽样 特点
3.
4.
5.
标准正态分布
(standardize normal distribution)
1. 2.
随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布 X Z ~ N (0,1)
抽样分布和样本分布
抽样分布和样本分布你们知道抽样分布和样本分布各是什么吗?以下是有店铺为大家整理的抽样分布和样本分布，希望能帮到你。
抽样分布:从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。
抽样分布是统计推断的理论基础。
如果从容量为的有限总体抽样，若每次抽取容量为的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。
抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。
如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。
由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。
随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。
样本分布：总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目样本分布是用来估计总体分布的。
样本分布有区别于总体分布，它是从总体中按一定的分组标志选出来的部分样本容量。
实际中很多不确定现象都可以用随机变量描述，而应用中的一个十分重要的问题是找到随机变量的分布或其数字特征。
例如：某进出口贸易公司进口了10万台微型计算器，按产品技术规定，使用寿命小于4000小时即为次品,且次品率大于1% 就不接受这批产品。
如何得知这批产品的次品率呢?是否要测量每一台计算器呢?显然，这是不现实的，解决这个问题的好办法就是随机抽样，然后根据抽样检验得到的次品率来估计整批产品的次品率。
也就是从10万台产品中按随机原则，抽取一部分(假如100件)产品组成一个样本，由样本(100件产品)次品率推断整批产品的次品率。
这里，我们把被观察对象的全体(本例中的10万台计算器)称作总体，把从总体中随机抽取的(被抽中的100台计算器)小群体称作样本，而样本中所包含的个体单位数目称为样本容量(100个)。
对于这批计算器，我们关心的是它的使用寿命(低于4000小时的比例有多少)的分布，设X表示“任一台计算器的使用寿命”，它是一个随机变量，我们把随机抽中的100件产品看作是100个随机变量X1，X2……，X100，每一个计算器的使用寿命都是一个随机变量，一旦测试完毕，测试的结果就是100个观测值x1,x2,……x100, 统计抽样的任务就是根据测试结果x1,x2,……x100来估计总体X的分布情况。
常用的三种抽样分布
＝单侧t0.005，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.05/2，∞＝1.96
＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
三、 F 分布
令 2 (1) 和 2 ( 2 ) 分别为服从自由度为 1 和 2 的
独立变量的卡方分布，则称 F 2 (1) 1 服从分子自由度
• （1）随机变量、概率分布、抽样分布 是统计学推断的基础。
• （2） 二项分布描述二项分类变量两种 观察结果的出现规律。泊松分布是二项 分布的特例，常用于事件发生率很小， 样本含量很大的情况。
• （3）正态分布是其他分布的极限分布， 许多统计方法的理论基础。不少医学 现象也服从正态分布或近似服从正态 分布。
分布，且其均数为μ，标准差为 s
n
• 不论总体的分布形式如何，只要样本含
量n足够大时，样本均数的分布就近似正
态分布 ，此称为中心极限定理。 （下章通过抽样实验证实）
常用的三种抽样分布
• 一、 2 分布
• 二、t分布 • 三、F 分布
均为连续型随
机变量分布，分布 只与自由度，即样 本含量有关
2 0.05(1)
常用的抽样分布
如果总体服从正态分布N（m，s2），
则从该正态总体中抽取样本，得到的
样本均数也服从正态分布，但该分布
为N（m，s2/n ），此时的方差是总 体的1/n倍，即有
mx m,
sx
s
n
中心极限定理
• 如果总体不是正态总体，但其均数和标
准差分别为μ和σ，则当样本含量n不断
增大时，样本均数的分布也趋近于正态
自由度：n-1
f(t)
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别1. 引言1.1 背景介绍统计推断是统计学的一个重要分支，它通过从总体中抽取部分样本数据，利用统计方法来对全体总体的特征进行推断和估计。
在统计推断中，抽样分布是一个至关重要的概念，它描述了不同样本数据的概率分布。
了解抽样分布的特点和类型对于进行统计推断具有重要意义。
在现实生活和科学研究中，我们往往不能直接观测到整个总体的数据，而是通过对部分样本数据进行观测和分析，来对整体总体进行推断。
抽样分布的概念就是基于这样的需求而产生的，它帮助我们理解样本数据的变异情况，以及如何利用样本数据来对总体做出推断。
通过对抽样分布的研究和分析，我们可以更准确地了解总体的特征和参数，从而做出更精确的统计推断。
本文将对抽样分布的概念、特点、常见类型以及如何判断抽样分布的类型等内容进行详细介绍和总结，以帮助读者更深入地理解和运用抽样分布在统计推断中的重要性。
1.2 研究意义在统计学中，抽样分布是一个非常重要的概念，它是统计推断的基础。
通过对样本数据的分析，我们可以得到关于总体参数的推断，而抽样分布则可以帮助我们了解这些样本数据的分布规律。
对抽样分布的研究具有重要的理论意义和实际应用意义。
抽样分布的研究可以帮助我们更好地理解样本数据的特点和规律。
通过对不同抽样方法和不同样本容量的研究，可以帮助我们确定如何选择适当的抽样方法和样本容量，以确保所得到的样本数据具有代表性和可靠性。
这对于从样本数据中推断总体参数来说是非常重要的。
对抽样分布的研究不仅可以丰富统计学理论，也可以提高统计推断的实际应用效果，为我们更好地理解和解决现实生活中的问题提供重要的支持和指导。
对抽样分布的研究具有重要的理论意义和实践价值。
2. 正文2.1 抽样分布的概念抽样分布是统计学中一个重要的概念，它指的是从总体中抽取样本并计算样本统计量得到的分布。
在统计推断中，我们常常面对的是总体参数的估计问题，而抽样分布则为我们提供了估计量的概率分布。
几个抽样分布的性质及其应用
几个抽样分布的性质及其应用重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学（师范）2008级阮国勇指导老师陈勇摘要在概率论中，我们是在随机变量的分布是假设已知的前提下去研究的；而数理统计中，随机变量的分布是未知或不完全知道。
我们通过对随机变量进行重复独立观察得到许多观察值，并对观察值的数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布做出推断。
本文介绍三种重要的抽样分布及其性质，并给出了抽样分布在参数估计、假设检验、分布拟合检验的简单应用。
χ分布；t分布；F分布关键词抽样分布；2Abstract In the theory of probability, we are in the distribution of random variable is assumed known base on the research, however，in the mathematical statistics, random variable distribution is unknown or incompletely known. we base on the random variables are independent observations are repeated many observed value, and the observation data analysis, to study the distribution of random variable to make inference. This paper introduces three kinds of important sampling distribution and its properties, and gives the sampling distribution in parameter estimation, hypothesis testing, fitting of distribution of the simple application.Key words sampling distribution, 2χdistribution, t distribution, F distribution第 1 页共 13 页目录1 引言 (4)2 几个有关概念2.1 总体、个体 (4)2.2 简单随机抽样 (4)2.3 统计量 (5)2.3.1 统计量的定义 (5)2.3.2 常用统计量 (5)2.4 自由度 (5)2.5 抽样分布 (6)3 常用抽样分布及其性质χ分布 (6)3.1 2χ分布的定义 (6)3.1.1 2χ分布的性质 (6)3.1.2 23.2 t分布 (7)3.2.1 t分布的定义 (7)3.2.2 t分布的性质 (7)3.3 F分布 (7)3.3.1 F分布的定义 (7)3.3.2 F分布的性质 (7)4 几个常用抽样分布的应用χ分布的应用 (8)4.1 2χ分布在参数估计中的应用 (8)4.1.1 2χ分布在假设检验中的应用 (8)4.1.2 2χ分布在分布拟合检验中的应用 (8)4.1.3 24.2 t分布的应用 (9)4.2.1 t分布在参数估计中的应用 (9)4.2.2 t分布在假设检验中的应用 (9)4.3 F分布的应用 (10)4.3.1 F分布在参数估计中的应用 (10)4.3.2 F分布在假设检验中的应用 (11)5 总结 (11)6 致谢 (12)7 参考文献 (13)1 引言数理统计中的统计估计与推断需要我们进行抽样估计，样本是统计估计和推断的依据，然而，在处理具体的理论与应用问题时，却很少直接利用样本，而利用他们经过适当处理导出来的量，这个量即统计量，统计量的分布称为抽样分布，三大分布都是在正态分布产生的，他们是正态总体统计估计和校验的基础。
第二章数理统计基本概念11
, Xn)
定义 为了准确地进行判断，对抽样有所要求：
① 代表性：样本的每个分量 X i 与总体X 有相同的
分布函数；
② 独立性：X1, X 2, , X n 为相互独立的随机变量，
满足以上条件的样本 ( X1, X 2, , X n ) 称为来自总体
X 的容量为n 的一个简单随机样本（简称样本）。
样本的一次具体实现 (x1, x2, , xn ) 称为样本值。
2.性质
(1)由定义可见，1 Y n2
F X n1
~F(n2,n1)
(2) X的数学期望为:
E( X ) n2 n2 2
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
F 分布的分位点 对于给定的正数
的点
为
称满足条件 分布的上 分位点
表中所给的 都是很小的数，如0.01，0.05等 当 较大时，如0.95，
n
1 n
1
n
D( X )
D( n
i 1
Xi )
n2
D(
i 1
Xi )
1 n2
nD( X
)
D(X ) n
(3) E(S 2 ) D( X )
E
S2
E
1
n
1
n i 1
X
2 i
nX
2
n
1 1
nE
X
2
nE
X
2
n n 1
D X E2 X D X E2 X
n
n 1
且 X 与 Y 独立, 是取自Y的
样本,
分别是这两个样本的均值,
分别是这两个样本的样本方差, 则有
1)
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0.1
u0.1
u10.1
（2）2 分布（Chi-square distribution）
2～ 2 n
p分位点： p 2 n 满足P 2 p 2 n p p539 （347）表4
p4 表 n 8 9 p
0.95 2 9 16.919 （p540)
抽样 分布
1 χ 2 分布 它是由正态分布派生出来的一种分布。
定义1: 设 X1, X2, …, Xn 相互独立，且均 服从正态分布 N(0, 1), 则称随机变量
X1 X 2 X n 2 χ 服从自由度为 n 的卡方分布，记成 ( n)。
2 2 2 2
分布的密度函数为
2 n
1 n2 x f ( x; n) 2 (n 2) 0,
n x 1 2 2
e , x 0, x 0.
其中 Γ ( ) 为伽玛(Gamma)函数， 通过积分
( ) 0 x e dx, 0
1 x
来定义。
2 n 分布密度函数图形
性质 2 称为 分布的可加性。
2
(3). 若 X ~ (n) ，则 E ( X ) n, Var( X ) 2n .
2
进一步，由中心极限定理可以推出, n 充 X n 分大时, 2n 近似于标准正态分布 N(0,1)。
推论2.4.1
2
设X 1， X 2， ， X n是抽自正态总体
0.995 2.5760.Fra bibliotek99 3.090
up
注 0.10 单侧
0.05 0.05
0.01 0.01 0.001
单侧
双侧
u1
u1
u1
单侧
双侧
单侧
2
u1
u1
2
u1
给定则p 1 分位点：u p u1
本书中 一般表示很小的数。
N ( ， 2 ) 的简单样本， X 与 S 2分别为样本均 值与样本方差， 则
(2). ( n 1) S / ~ (n-1)；
2
X (1). X ~ N ( ， / n)， 或 ~ N (0， 1) ； / n 2 2 2
2
(3). X 与 S 相互独立；
(4). X S/ n ~ t ( n 1) .
推论2.4. 2：
设X 1， X 2， ， X n;Y1， Y2， ， Ym是抽自正态总体 N ( 1， 2 ) 和N ( 2， 2 )的简单样本，
(1).T=
X Y-(1 2 ) (n 1) S (m 1) S
2 X 2 Y
mn(n m 2) mn
~ t (n m 2) ；
二
分位数
对于给定的 p(0,1), 称满足条件
P
X v
p
vp
f ( x )dx p
的点
vp
为 X的(下侧)p 分位数。
p
vp
(1) 标准正态分布 U ～ N 0,1 (standard normal distribution)
p
的p分位点：u p
u p
p
2 分布分位数表
0 ．90 13．362 14．684 0．95 15．507 16．919
2 p n
(3) t分布(t - distributi on) : 如：t0.95 8 1.8595 t0.975 10 2.2281
p分位点：t p n 满足P t t p n p
F 分布的概率密度为
mn m m n m 2 m 2 2 1 m 2 x 1 x , x 0, f m ,n ( x ) m n n n 2 2 0, x 0.
定义2: 设 X ～N(0, 1) , Y ～χ2 (n), 且 X与 Y 相互独立，则称随机变量 X T Y n 为服从自由度 n 的 t 分布，记为 T ～ t(n). t 分布的概率密度为
2 (n 1) 2 x 1 f ( x; n) n 1 2
(n 2) n
0.05
P
FP
（表中没有）
F0.05
第542(350)页:
表5 F 分布分位数表
表5-1 F0.90（ f1 ，f2）表
f2 … 5 6 f1
…
… … …
7 … 3.37 3.10
8 … 3.34 2.98
F0.90 8,5 3.34,
表5 F 分布分位数表
表5-2 F0.95（ f1 ，f2）表
0.75
0.7064 0.7027 0.6998
0.95
1.8595 1.8331 1.8125
0.975
2.3060 2.2622 2.2281
0.99
2.8965 2.8214 2.7638
0.05
0.995
3.3554 3.2498 3.1693
t0.95(8) = 1.8595, t0.975(10) = 2022841, t0.05(8) = ? 表中没有。由对称性知 t0.05(8) = t10.05(8)= t0.95(8) = 1.8595 公式： t = t1
0.05
t0.05
t0.95
（The F distribution）： (4) F分布 F～ F (m, n)
p分位点： FP m, n 满足：P F FP m, n p 第542 （350）页表5.1 F0.90 f1 , f 2 F0.90 8,5 3.34, F0.95 7,5 4.88(第544 （350）页) 1 性质（property )：F1 P (m, n) FP (n, m) 1 1 如：F0.05 5, 7 0.0205 F0.95 (7,5) 4.88
u
p
1 2
up
e
x2 2
dx p
0.95
如：0.95分位点： u0.95 u u 0.95 1.645
1.645
p
2
u1
表2
2
u
1 2
u
1
2
正态分布常用分位数表 (p=1) 0.90
1.282
p
0.95 1.645
0.975 1.960
0.99 2.326
N ( ， 2 ) 的样本， 样本均 1 值 X , S = ( X i )2 n
(1).
nS 2
2
~ 2 (n);
2 2 % (2). ES = ； 4 2 2 % (3). DS = ； n X 2 2 (4). ( ) ~ (1) . / n
2 t 分布
3 F 分布 定义 设U 2(m), V 2(n), X1与X2独立， 则称 F =(U/m)/(V/n) 的分布是自由度为 m 与 n的 F分布，记为F F(m, n)，其中m 称 为分子自由度，n 称为分母自由度。
由定义可见： 若 F ~ F ( m , n) ，则 1 V n ~F ( n, m ) F U m
S (2). ~ F ( n 1, m 1) . S
2 X 2 Y
p 1
u1
如： 0.05, 则p 0.95, , u p u1 u10.05 u0.95 1.645 又如： 0.1，u u0.1 ? (表中没有) u0.1 u10.1 u0.9 1.282 对称性(symmetricy )： u u1
由 分布的定义，不难得到其如下性质：
2
(1). 设X 1 , X 2 , L , X n 独立同分布， 且共同分布为 N (, 2 ), 则 1 2
2 2 ( X ) ~ (n) ； i i 1 n
(2). 设 Y1 ~ 2 (n) ，Y2 ~ 2 (m) ，且二者相互独立，则 Y1 Y2 ~ 2 (m+n) .
f2 … 4 5 f1 … … … … 7 … 6.09 4.88 8 … 6.04 4.82
F0.95 7,5 4.88(第544 （351）页)
1 1 F0.05 5, 7 0.0205 F0.95 (7,5) 4.88
三、抽样分布定理 定理2.4. 1： 设X 1， X 2， ， X n 是抽自正态总体
n
, x .
t 分布的概率密度图形
图形关于 x 0 对称， 且 lim f ( x; n) 0 ,
x
当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态 分布的概率密度。
数学期望与方差
不存在， n 1， E (tn ) 0 ， n 2, 3, ； 不存在， n 1, 2, Var(tn ) n/( n 2) ， n 3, 4, .
t0.05 8 ? 表中无, 用对称性（偶） t0.05 8 t0.95 (8) 1.8595 t n t1 n
0.05 0.05
p
t p n
t0.05
t0.95
表3
p n 8 9 10
t 分布位数表（用法同表2类似） 0.90
1.3968 1.3830 1.3722