第三章 截面图形的几何性质概论
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第三章 截面几何特征
（2）求形心：
yc
A y
i 1 n i
n
i
A
i 1
A 600 30 300 5 Ⅰy CⅠ A Ⅱ y cⅡ 21.67m m A A 600 300 Ⅰ Ⅱ
i
zc
A z
i 1 n i
n
i
A
i 1
A 600 5 300 25 Ⅰz CⅠ A Ⅱ z cⅡ 11.67m m A A 600 300 Ⅰ Ⅱ
第三章 截面的几何性质
一、 截面的形心和静矩
1、 截面的静矩
静矩是对一定轴而言的，同一截面对不 同坐标轴的静矩是不同的。静矩可能为正 值或负值，也可能为0，其常用单位是m3 或mm3。
* SZ ydA A
S* y zdA
A
组合截面的静矩等于各组成部分对于该轴静矩代数和
S Z Ai yi
IZ
因为
2 2 y dA ( y a ) dA c
A
A
2 2 y dA 2 a y dA a c c dA
A
A
A
A
y c2 dA 为截面形心轴惯性矩
y c dA
A
为截面对形心轴的静矩，其值为零
I Z I zc a 2 A
故上式简化为
I y I yc b 2 A I yz I yczc abA
A
惯性矩恒为正值，其常用的单位是m4和mm4
矩形截面
bh3 IZ 12
hb3 Iy 12
圆形截面
IZ I y
D4
64
第三章 截面的几何性质
截面的几何性质
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 10、在图示开口薄壁截面图形中，当（ 保持为一对主轴。
y
B
）时，y-x轴始终
A. y轴不动，x轴平移；
B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
O
x
D. y、x同时平移。
B
1、在下列关于平面图形的结论中，（ A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零；
）是错误的。
D.使静矩为零的轴必为对称轴。
2、在平面图形的几何性质中，（ 可为零。 A.静矩和惯性矩； C.惯性矩和惯性积；
D
）的值可正、可负、也
B.极惯性矩和惯性矩； D.静矩和惯性积。
证毕
A2
例3 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。
解： 图形对底边的静矩 Sx A1 y1 A2 y2
y b C1x
1 2 1 h bh h ah 2 3 2 3
h2 a 2b 6
图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形的主惯性轴
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴过形心, 且与 该轴垂直.
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
y
120 C2 C1(0,0) C2(-35,60)
及坐标如图(a)
x
x A
i
i
A
x1 A1 x 2 A2 A1 A2
y
B
）时，y-x轴始终
A. y轴不动，x轴平移；
B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
O
x
D. y、x同时平移。
B
1、在下列关于平面图形的结论中，（ A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零；
）是错误的。
D.使静矩为零的轴必为对称轴。
2、在平面图形的几何性质中，（ 可为零。 A.静矩和惯性矩； C.惯性矩和惯性积；
D
）的值可正、可负、也
B.极惯性矩和惯性矩； D.静矩和惯性积。
证毕
A2
例3 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。
解： 图形对底边的静矩 Sx A1 y1 A2 y2
y b C1x
1 2 1 h bh h ah 2 3 2 3
h2 a 2b 6
图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形的主惯性轴
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴过形心, 且与 该轴垂直.
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
y
120 C2 C1(0,0) C2(-35,60)
及坐标如图(a)
x
x A
i
i
A
x1 A1 x 2 A2 A1 A2
第3章 截面图形的几何性质
第3章 截面图形的几何性质任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关．如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面面积A ，第4章计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I p 以及第6章计算弯曲应力时用到横截面的惯性矩I z 等。
A 、I p 和I z 等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质(geometrical properties of an area)。
下面我们分别讨论材料力学中常用的一些截面图形的几何性质。
3.1 静矩和形心设有一任意截面图形如图3—1所示，其面积为A 。
选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y,z)处取一微小面积dA ，定义微面积dA 乘以到y 轴的距离z ，沿整个截面的积分，为图形对y 轴的静矩S y (static moment)，其数学表达式 ⎰=Ay zdA S ()a 13-同理，图形对z 轴的静矩为⎰=Az ydA S ()b 13-截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴y 、z 的不同而不同。
所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零。
静矩的量纲为长度的三次方。
确定截面图形的形心位置(图3—1中C 点)时，我们借助理论力学中等厚均质薄片重心的概念，当薄片的形状与我们所研究的截面图形形状相同，且薄片厚度取得非常小时，薄片的重心就是该截面图形的形心．即AS AydA y zAc==⎰ ()a 23- AS AzdA z yAc==⎰ ()b 23-式中y c 、z c 为截面图形形心的坐标值．若把式(3—2)改写成,z c S A y =⋅ y c S A z =⋅ ()33-这就表明，截面图形对y,z 轴的静矩，分别等于截面面积乘上形心的坐标值z c ,y c ．由式(3—2)可见，若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．反之，若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴
2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量，通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法，通过计算截面的顶点坐标 和法线向量，实现惯性积的精 确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线，可以 是实线或虚线。
在三维空间中，与某一平 面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关，形状相同但尺寸不同的截面 具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性，与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状，其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状，如矩形、圆形、椭圆形等，可以 直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物 体相交，所形成的交线或交面。这个 平面可以是垂直的、倾斜的或与三维 物体表面平行。
截面的形状
附录1 截面图形的几何性质概论
一、平行移轴公式（类似于转动惯量的平行移轴定理）
以形心为原点a
b
SxC AyC 0
x
y
a b
xc yc
Ix
y 2dA
A
xc
(b
A
yC
)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC b2 A
¯x y¯
x Sy A
y Sx A
S y Ax Sx Ay
坐标轴通过形心 静矩等于零 4
当截面由若干个简单图形组成（如矩形、圆形），则有：
S y Ax Siy Ai xi Sx Ay Six Ai yi
累加式
:
x
y
xi Ai A yi Ai A
y
x
5
例 I-1-1 试确定下图的形心。
1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，若
I x0 y0
Ix
Iy 2
sin 20
I xy cos 20
0
则与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩称为主惯性矩。
tan 20
2I xy Ix Iy
主
惯
性
矩
：II
x0 y0
yd
S x S1x S2 x
h1 2
bh1
( h2 2
h1 ) dh2
h2
Sy x.A 0
x0
h1
x
y Sx
b
A
8
1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩(moment of inertia)：（类似于转动惯量）
Ix y2dA A
截面的几何性质截面的几何性质
分别为图形对于z 轴和y 轴的静矩。
3
平面图形的静矩
S z = ∫A ydA
S y = ∫ A zd A
• 静矩与截面面积大小及坐标设置有关； • 静矩可正、可负、可为零； • 静矩的单位为m3或 mm3。
4
平面图形的形心Leabharlann • 平面图形的形心 — 平面图形几何形状的中心。 • 通过截面形心的坐标轴称为形心轴 。
设图形的形心C坐标为(zC , yC)， 由均质等厚薄片重心坐标公式： A yC = ∫A ydA = S z
A z C = ∫ A zd A = S y Sy S yC = z , z C = A A
• 截面对形心轴的静矩必为零；反之，若截面对
某轴的静矩等于零，则该轴必为形心轴。
5
平面图形的静矩和形心
h 1 h * = b − y1 + y1 S z = A* yC 2 2 2 b 2 = ( h2 − 4 y1 ) 8
7
h 2
组合图形的静矩和形心位置 • 组合图形 — 由几个简单图形（如矩形、圆形
或三角形等规则图形）组成的图形。
zC =
8
∑ Ai zC i ∑ Ai
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
9
平面图形的极惯性矩和惯性矩 • 定义
I z = ∫A y 2dA
I y = ∫ A z 2 dA
• 组合图形对某一对正交轴的惯性积等于各组成
部分对同一对正交轴的惯性积之和。
I yz = ∑ ( I yz ) i
截面几何性质
100 20 2
I z ( I z )1 ( I z )2
100
z
100 0
y 100dy
y 20dy
2
6 mm4 30.933 10
A-3
I zc Iz
平行移轴公式
yc y b C a
A
2 yc dA
C（b，a）
z
zc
A I z ( yc a )2 dA A 2 yc dA 2a yc dA a 2 A A A
I z ( I z )1 ( I z )2
100 203 20 1003 ( 1102 100 20) ( 50 2 20 100) 12 12
6 mm4 30.933 10
解： （1）求过形心轴的轴惯矩
1 3 例A-5 图示三角形截面，I z bh ，试求 I z1。 12
例A-4 试用平行移轴公式计算例A-3 。
bh3 解：利用公式： I z 12 I zc ( I zc )1 ( I zc )2
20
y 100 1 * 100 2 20 80 z zc
100 20 3 ( 30 2 100 20) 12 20 100 3 ( 30 2 20 100) 12 5.333 106 mm4
A
2dA
( y 2 z 2 )dA I z I y A
若有一个轴为对称轴，则 Iyz＝0
矩形截面对形心轴的惯性矩:
Iz bh 3 12 Iy hb 3 12
h/2
y
惯性矩＝(与所对轴平行的边长)(与所对 轴垂直的边长)3 / 12 圆形截面对形心轴的惯性矩:
经济学附录A截面图形的几何性质
附录A
截面图形的几何性质
为什么要研究截面图形的几何性质 形心、静矩及其相互关系
惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
移轴定理 转轴定理
主轴与形心主轴、主惯性矩与形心 主惯 性矩 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的 方法 结论与讨论
一 为什么要研究截面图形
的几何性质
◆ 实际构件的承载能力与变形形式有关， 不同变形形式下的承载能力，不仅与截面 的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分 量时，将产生不同的几何量。这些几何量 不仅与截面的大小有关，而且与截面的几 何形状有关。
为什么要研究截面图形的几何性质
研究杆件的应力与变形，研究失效问题 以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到 与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。 这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、 惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主 轴等。
y1=y＋b z1=z＋a
Iy1 Iy 2aSy a2A Iz1 Iz 2bS z b2A
I y1z1
I yz
aSz
bS y
abA
移轴定理
Iy1 Iy 2aSy a2A Iz1 Iz 2bS z b2A
I y1z1
I yz
aSz
bS y
abA
如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0，
i 1 n
Ai
i 1
例1 求形心位置
解： 建立参考坐标系oyz
y
sz 0
sy A1zc1 A2 zc2 120 2010 120 2080
z
216103 mm3
yc
sz A
0
Zc
sy A
216 103 120 20 2
截面图形的几何性质
为什么要研究截面图形的几何性质 形心、静矩及其相互关系
惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
移轴定理 转轴定理
主轴与形心主轴、主惯性矩与形心 主惯 性矩 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的 方法 结论与讨论
一 为什么要研究截面图形
的几何性质
◆ 实际构件的承载能力与变形形式有关， 不同变形形式下的承载能力，不仅与截面 的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分 量时，将产生不同的几何量。这些几何量 不仅与截面的大小有关，而且与截面的几 何形状有关。
为什么要研究截面图形的几何性质
研究杆件的应力与变形，研究失效问题 以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到 与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。 这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、 惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主 轴等。
y1=y＋b z1=z＋a
Iy1 Iy 2aSy a2A Iz1 Iz 2bS z b2A
I y1z1
I yz
aSz
bS y
abA
移轴定理
Iy1 Iy 2aSy a2A Iz1 Iz 2bS z b2A
I y1z1
I yz
aSz
bS y
abA
如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0，
i 1 n
Ai
i 1
例1 求形心位置
解： 建立参考坐标系oyz
y
sz 0
sy A1zc1 A2 zc2 120 2010 120 2080
z
216103 mm3
yc
sz A
0
Zc
sy A
216 103 120 20 2
3截面的几何性质
A
A
z
O
y 实心圆截面： d
I
p
A
2dA
D
2
0
2
2
d
D4
32
D4
I y Iz 64
D4 64 D i y iz D2 4 4
O
y
D
组合图形的惯性矩：
n
I y I yi
i 1
n
Iz Izi
i 1
空心圆截面： ( d )
d4
64
Iz
I z外
I z内
D4
64
5 d 4
64
[例3-3] 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
z
d O
A
y B
解：建立形心坐标如图,求图 形对形心轴的惯性矩。
Ip
d4
32
Iy
Iz
2I y
Iy
Iz
d4
64
I AB
Iy
d 2
2
A
d4
z 轴为对称轴：I yz yz dA 0
A
y 图形对任一包含对称轴在内的一
O
y 对正交坐标轴的惯性矩为0。
n
组合图形的惯性积 I yz I yzi i 1
惯性矩是对一根轴而言的，惯性积是对一对轴而言的， 极惯性矩是对一点而言的。
Ip Iy Iz
四、主轴(principle axis)： 使截面的惯性积为零的一对正交坐标轴称为主惯性轴， 简称主轴；截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
截面图形的几何性质-材料力学
yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩：
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩：
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩：
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
截面图形的几何性质
60000 640 145000 290 392mm 60000 145000
zC 0
12
12
圆形截面极惯性矩、惯性矩的计算
y
I p d A
2
d 2
A d 2
0
πd 2π d 2 π( ) 32 4 0
2
0
2
0
d d
惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
惯性半径 iy 和 iz 的量纲为[长度]，常用单位 ：m，mm。
7
7
极惯性矩
定义2dA 为微面积 dA 对坐标原点 o 的极惯性矩。 整个面积对坐标原点o的极惯性矩为：
Ip 2 d A
A
y
z
dA
由极惯性矩的定义可知： (1) 量纲为[长度]4，单位：m4、mm4； (2) 极惯性矩是对点而言的； (3) 极惯性矩的取值恒为正值。
I y z2 d A
A
6
6
I z矩的定义可知： (1)
I y z2 d A
A
y
z
量纲为[长度]3，单位：m4、mm4；
dA
(2) 惯性矩是对轴而言的（轴惯性矩）； (3) 惯性矩的取值恒为正值。
o
y
z
2 惯性矩的另一种表达式 ： I y Ai y I z Ai z2
9
9
惯性积
定义 yzdA 为微面积 dA 对 y、z 轴的惯性积。 整个面积对 y、z 轴的惯性积，用 Iyz表示，即
I yz yz d A
A
y
z
由惯性积的定义可知： (1) 惯性积可正可负，也可以是零； (2) 惯性积也是对轴而言的；
截面的几何性质
返回
几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐 标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标
轴一定是平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
惯性矩称为主惯性矩。
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为
zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h
O
z dy
y z h 1 2 b
2
y
b
dy
y
S y zdA zydz
A 0 b 2
h
h
0
y h(1 2 ) ydz b
2
4bh 2 y 2y h(1 2 ) y (h 2 )dy 0 15 b b
z
h
O
2y y2 上式中 dz h 2 dy z h1 2 b b
静矩和形心坐标之间的关系：
z
yC
C
zC
Sz yC A Sy zC A Sz y C A Sy z C A
O 若Y
y
0 SZ 0
C
若Z C 0 SY 0
图形对某轴静矩为零， 则该轴必过形心；反之 若某轴过形心，则图形 对该轴静矩为零
例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图
Ⅱ B•
Ⅰ
选坐标轴z作为参考轴
100
A=A1 +A2
yC１＝110 yC２＝50
z
20
20 100 110 100 20 50 y 80 mm c 100 20 2
法一：若不求形心
Sz = AiyCi＝20× 100×110＋20×100×50＝32×10４mm3
截面的几何性质PPT课件
轴和 y 轴的惯性矩和惯性积。
11
y 70
I
80
11
矩形 I：
I
x
I xC1
a12 A1
1 0.059 0.0113 0.07452 0.011 0.059 12
360.9cm4
80
C
x
11 II III
70
Iy
I yC1
b12 A1
1 12
0.0593
0.011
(0.035)2
0.011 0.059
12
80 2003 12
5333104 mm4
2d 3p
2、一个半圆对其自身形心轴的惯性矩
a+
πd 4 d 4
I xc
128
18π
C
x
3、一个半圆对 x 的惯性矩
I
2 x
I xc
a
2d 3π
2
πd 2 8
3467 104 mm4
4、整个截面对于对称轴 x 的惯性矩
100
40
d =80
I.4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
2)、求形心位置。
xc
Sy A
Ai xi A
3)、建立形心坐标系，并求：Iyc ， Ixc ， Ixcyc
y Sx Ai yi
A
A
4)、确定形心主轴位置 —— 0 ：
5)、求形心主惯性矩
例I-5 确定图示截面的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。
解：(1)首先确定图形的形心。 利用平行移轴公式分别求出各矩形对 x
Ix
Iy
D4 64
Ix
Iy
D4 64
1 4
Ix
11
y 70
I
80
11
矩形 I：
I
x
I xC1
a12 A1
1 0.059 0.0113 0.07452 0.011 0.059 12
360.9cm4
80
C
x
11 II III
70
Iy
I yC1
b12 A1
1 12
0.0593
0.011
(0.035)2
0.011 0.059
12
80 2003 12
5333104 mm4
2d 3p
2、一个半圆对其自身形心轴的惯性矩
a+
πd 4 d 4
I xc
128
18π
C
x
3、一个半圆对 x 的惯性矩
I
2 x
I xc
a
2d 3π
2
πd 2 8
3467 104 mm4
4、整个截面对于对称轴 x 的惯性矩
100
40
d =80
I.4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
2)、求形心位置。
xc
Sy A
Ai xi A
3)、建立形心坐标系，并求：Iyc ， Ixc ， Ixcyc
y Sx Ai yi
A
A
4)、确定形心主轴位置 —— 0 ：
5)、求形心主惯性矩
例I-5 确定图示截面的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。
解：(1)首先确定图形的形心。 利用平行移轴公式分别求出各矩形对 x
Ix
Iy
D4 64
Ix
Iy
D4 64
1 4
Ix
大学本科课程截面的几何性质
y 40mm
§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
设任意形状截面如图所示。
1.极惯性矩（或截面二次极矩）
y
I p
2d A
A
dA
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
y
I y
x2 d A
A
I x
y2d A
A
（为正值，单位m4 或 mm4)
O
x
x
由于 2 y2 x2
所以
Ip
2 d A
n
S x Ai yi i1
(Ai 和xi , yi分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）
5. 组合截面的形心坐标公式
n
将 S y Ai xi i1
n
S x Ai yi i1
代入 S y A x Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
n
Ai xi
x
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yi
I x
y2d A
A
A yc a2 d A
A yc 2 d A 2a A yc d A a2 A d A
I xc 2a A yc a2 A
I xc a 2 A
同理，有：
Ix Ixc a2 A I y I yc b2 A
I xy I xc yc abA
A
(y2
A
x2)
dA IxIy
（等于截面对以某点为原点的任意两正交坐标轴的惯
性矩之和均相等，等于截面对该点的极惯性矩 。）
3. 惯性积
y dA
I xy
xy d A
A
y
（其值可为正、负或0， 单位:m4 或 mm4)
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16
同理得 I y 14256104, I yz 12636104
3、惯性主轴
tan 2 0
2 12636 13284 14256
26
0 133.90 或 46.10
4、主惯性矩
y
30
③
zC
z 120 1
②
yC
30
①
O 0
90
30
90
z2
z
Imax I z I y
I min
2
Iz
2
y yz c
zc dA
A
y c
zc
b
C
y
O
z
a
形心C点的坐标为（a，b）
Iz Izc b2 A I y I yc a2 A
I zy I zc yc abA
10
例题 3-1 求图示截面图形的Iｚc。
解： yc
Ai yi 120 20 130 120 20 60 95( mm )
3.惯性矩恒为正，而惯性积可正可负也可等于零； 4.若y、z轴有一个为对称轴，则惯性积Iyz恒等于零。
4.惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
7
二、常见图形的惯性矩和极惯性矩
y, z为形心对称轴
1.矩形
Iz
bh 3 12
Iy
hb 3 12
IP
bh（b 2 12
h2）
b
b
2
2
h
C
2z
h 2
y
8
2.圆形 a)实心(d)
1
第三章 平面图形的几何性质
§3-1 静矩、形心 §3-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积 §3-3 平行移轴定理 §3-4 转轴定理
2
§3-1 静矩、形心
一、静矩（S）
面积对轴的一次矩称为静矩。
y
S y
zdA
A
dA
S z
ydA
A
1.静矩的单位：长度的三次方。
y
2.静矩可正可负也可能为零。
O z
z 3. 静矩是对某一坐标轴而言。
105
yC
120 3015 120 30 90 120 30165 120 30 3
90
30
③
2、惯性矩
zC
120
I z I zi
②
30
①
yC
z
Iz
120 303 12
120 30 152
30 1203 12
120 30 902
O
90
30
90
120303 120301652 13284104 12
令： I y1z1 0
得：
tan 20
2I yz Iz Iy
I max I z I y
I min
2
Iz
2
Iy
2
I
2 yz
14
二、小结
1.若截面图形有对称轴，则对称轴为形心主轴；
2.任意正多边形的形心轴都是形心主轴；
3.当截面图形有三根或三根以上的对称轴时，则图形的形心 轴均为形心主轴；
I
y
2
I
2 yz
Imax 26415104 Imin 1125104
Ai
120 20 120 20
20
y
120
①
zC C
②
I zc I z1 I z2
I zC1
A1d12
I zC2
A2
d
2 2
120 203 120 20 352 12
120
z
20
yc
20 1203 20 120 352 12
884 104( mm4 )
11
§3-4 转轴定理
4.若已知图形对某一对主轴的惯性矩相等，则通过该点的任 意轴为主轴，其惯性矩相同。
15
例题4-1 求图示图形的形心、
解： 1、形心
惯性矩、惯性积、惯性主轴 及主惯性矩。
zC
Ai zCi Ai
yC
Ai yCi Ai
y
zC
120 30 60
120 30 105 120 30 3
120 30 150
I yz
cos 2
I z I y I z1 I y1
13
二、主惯性轴、主惯性矩、形心主轴、形心主惯性矩
主(惯性)轴：对于该轴系的惯性积为零。 主惯性矩：相应主惯性轴的惯性矩。 形心主轴：过形心的主惯性轴。 形心主惯性矩：相应形心主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性平面：形心主轴与杆轴线所组成的平面。
形心： yC
Ai yCi Ai
zC
Ai zCi Ai
5
§3-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
一、定义
1.惯性矩： 面积对轴的二次矩称为惯性矩。
I y
z 2dA
A
I z
y 2dA
A
y
dA
2.极惯性矩
IP
2dA
A
y
O z
IP Iy Iz
3.惯性积
I yz
yzdA
A
z
6
1. 单位：长度的四次方； 2.同一截面对于不同的坐标轴的惯性矩和惯性积一般不同；
3
二、形心（C）
ydA
yC
A
A
zC
zdA
A
A
三.静矩与形心的关系
yC
Sz A
,
zC
Sy A
y
y yC O
dA C
zC
z
z
截面图形对于某一轴的静矩若为零，则该轴必定经过截 面的形心；截面图形对于形心轴的静矩恒等于零。
4
四、组合图形的静矩与形心
静矩： S y Ai zCi Sz Ai yCi
一、转轴公式
转轴定理是研究坐标轴系绕原点转动时，平面图形对于这 些坐标轴的惯性矩与惯性积之间的变化规律。
y
y1
z
dA
z1
A
y y1
z1
z
O
12I z1Iz来自2IyIz
2
Iy
cos 2 -
I yz
sin
2
I y1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I yz
sin
2
I y1z1
Iz
Iy 2
sin 2
Ip
32
d4
Iy
Iz
d4
64
b)空心(D、d、 d ) D
Ip
32
D（4 1 4）
Iy
Iz
64
D（4 1 4）
C
z
y
三、组合图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积
I y I yi
I p I pi I yz I yzi
9
§3-3 平行移轴定理
平行移轴定理是指同一截面图形对于不同坐标轴（平行）的 惯性矩及惯性积之间的关系。