二次函数图象(4)
二次函数的图像和性质(4)
1.y 2x 32 5; 2.y 0.5x 12;
3.y 3 x2 1;
4
4.y 2x 22 5; 5.y 0.5x 42 2; 6.y 3 x 32.
4
5.填写下表:
y=-½(x+1)²-1
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.
y=-½x²
开口向下, 当x=-1时y有
最大值:且 最大值是 -1.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函 数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样?
练习
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和 y=-3(x-1)2的图象
（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函 数y=-3x2的图象有什么关系?
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的 值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4 呢?
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴 和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的
图象和抛物线y=-0.5x²,y=-
0.5(x+1)2有什么关系?它的
开口方向,对称轴和顶点坐
标分别是什么?
y=-½(x+1)²
顶点是 (-1,-1).
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象可以看作是抛物线
y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 1个单位,再沿直线x=-1向 上平移1个单位后得到的.
a就好啦!
x
点（3、0） 在抛物线 上，求a没 问题。
二次函数的图象与性质(4)
＞1 时，y随x的 4.抛物线y=2(x －1)² +4中，当x_____
<1 时，y随x的增大而减小. 增大而增大；当x_____
5.把抛物线y=x ² 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，则所得到的函数表达式为： y=(x －3)² －2 ______________.
5.二次函数y=a(x-h)２的图象画法步骤： (1)先写出函数图象的_________ 对称轴 及_________; 顶点坐标 顶点的横坐标 开始 (2)列表取值：自变量x从_______________ 取值； (3)描点、连线画出对称轴右边的部分，然后利 用_________ 对称性 ，画出图象在对称轴左边的部分.
2.画出函数 y=a(x－h)² +k 的图象的步骤：
第一步：写出_________ 对称轴 和_____________; 顶点坐标
第二步：列表取值：自变量x从______________ 顶点的横坐标 开始取值，一般往右取3个恰当的值
第三步：描点连线：画出图象在对称轴右边的 部分，利用___________ ，画出图象在 对称性 对称轴左边的部分.
1 ②二次函数y= (x- 1)² -3 的图象可由抛物线 2 1
y= (x- 1)² 3 个单位得到，对称轴 下 平移___ __________ 向 ___ 2
直线x=1，顶点坐标是（ 1，-3） 上 是________ _______ ，开口向___.
1 ③二次函数y= (x + 1)² +3 的图象可由抛物线 2 1
(6)类似地：你能回答下列问题吗？ 1 ①二次函数y=－ (x- 1)² +3 的图象可由抛物线
第2章 2.2 二次函数的图象与性质(4)
解：∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上； 对称轴为直线 x＝－2－×11＝12； 4×1·m4－×（1 －1）2＝4m4－1， 顶点坐标为(12，4m4－1)；
(2) m 为何值时，顶点在 x 轴上方；
解：顶点在 x 轴上方时，4m4－1＞0， 解得 m＞14；
4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的结论
是( B )
A．②④
B．①④
C．②③
D．①③
二、填空题
函数 y＝x2―2x－1 的最小值是 －2 . 若抛物线 y＝x2＋(4－m)x＋1 的顶点在 y 轴上，则 m＝4 4 .
已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)经过 A(－2，0)、O(0，0)、B(－
(3)若抛物线与 y 轴交于点 A，过点 A 作 AB∥x 轴交抛物线于 另一点 B，当 S△AOB＝4 时，求此二次函数的解析式．
解：令 x＝0，则 y＝m，所以点 A(0，m)，
∵AB∥x 轴，∴点 A、B 关于对称轴直线 x＝12对称，
∴AB＝12×2＝1，∴S△AOB＝12|m|×1＝4，
解：∵抛物线经过原点(0，0)，∴2m－m2＝0，
∴m1＝0，m2＝2.
(2)抛物线的对称轴为直线 x＝－1；
解：∵抛物线的对称轴为直线 x＝－1， ∴－m2 ＝－1，∴m＝2.
(3)抛物线与 y 轴交点的纵坐标为－3.
解：依题意知抛物线经过点(0，－3)， ∴2m－m2＝－3，∴m1＝－1，m2＝3.
， ．
★【基础知识训练】 一、选择题
►答案见：D7
二次函数 y＝－2(x－3)2＋5 的图象的开口方向、对称轴和顶
二次函数 的图象和性质 (PPT)
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
8 6 4 2
y 2x2 y 1 x2 2
－4 －2
24
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2···－8 2
－4.5 －2 －0.5 0
－0.5 －2 －4.5 －8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
··
···
y 2 x 2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
－4 －2 －2 －4
－6
－8
y x2
24
y 1 x2 2
y 2x2
y＝ax2
二次函数y=ax2的性质
y
2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
检测：
(1)抛物线y=3x2的图像在x轴的 上 方(顶点除外)， 开口向 上 ，图象有 最低点 ，对称是 Y轴 . 顶点坐标是 （0，0）,
在对称轴 右 侧, y随着x的增大而增大；在
对轴 左 侧, y随着x的增大而减小, 当x= 0 时
函数y有最 小 ,最 小 值是 0 .
检测：
(2)抛物线 y 2 x2 的图像在x轴的 下 方(顶点除
3
外), 开口向 下 ，图象有 最高点 ，对称 是 Y轴 ，顶点坐标是 （0，0）. 在对称轴的左侧, y随着x的增大而 增大 ；在对称 轴的右侧, y随着x的增大而 减小 , 当x=0时, 函数y有最 大 值, 最 大 值是 0 , 当x ≠ 0时, y<0.
二次函数的图象课件
二次函数的标准式和一般式
二次函数可以表示为标准式 y = a(x - h)^2 + k 或一般式 y = ax^2 + bx + c，其中 (h, k) 表示顶点 坐标。
二次函数图像的相关属性
1
开口方向和范围
2
开口向上的二次函数的最小值是负无穷大，
开口向下的二次函数的最大值是正无穷大。
范围是 y 值的取值范围。
3
最值和最值点
4
最值是函数的最高或最低点的 y 值，最值
点是函数的最高或最低点的坐标。
5
对称轴和顶点
二次函数的对称轴是通过顶点并垂直于 x 轴的直线，顶点是抛物线的最高或最低点。
零点和交点
零点是函数与 x 轴相交的点，交点是函数 与其他曲线相交的点。
总结与回顾
本次课程的主要内容 和要点
我们学习了二次函数的概念、 图像的属性、平移和伸缩的影 响，以及绘制和分析二次函数 图像的方法。
二次函数图像的应用 和拓展
二次函数图像的形态和属性在 物理、经济和工程等领域有广 泛的应用，可以用于建模和解 决实际问题。
课后习题和练习建议
通过练习，并结合实际应用进 行深入思考和拓展，加深对二 次函数图像的理解和掌握。
渐近线和渐近值
渐近线是抛物线的非实际部分趋近于的直 线，渐近值是渐近线的 y 值。
二次函数的平移和伸缩
1
伸缩变换对二次函数图像的影响
ห้องสมุดไป่ตู้
2
伸缩改变了抛物线的形状和大小，可以 使抛物线变得更宽或更窄，更高或更低。
平移变换对二次函数图像的影响
平移改变了抛物线的位置，会使得抛物 线在 x、y 轴上的相应坐标发生变化。
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
二次函数及其图象
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。
二次函数图像及性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
第5课时：二次函数的图象与性质(4)
第六章 二次函数 第5课时：二次函数的图象与性质（4）班级 姓名 学号学习目标：1、会用配方法把二次函数c bx ax y ++=2化成k m x a y ++=2)(的形式；2、会用公式法求二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标；3、理解函数c bx ax y ++=2的性质。
问题探索： 知识回顾： 1、填表：2①++x x 42＝(x ＋ )2； ②+-x x 272＝(x － )2； ③++=++22)3(126x x x ； ④+-=+-22)27(137x x x .探索与思考1：函数322++=x x y 的图象是抛物线吗?问题1：用配方法将二次函数4212++-=x x y 化成k m x a y ++=2)(的形式，并指出它的开口方向、对称轴、 顶点坐标.练一练：用配方法把下列二次函数化成k m x a y ++=2)(的形式，并指出它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标.(1)4822+-=x x y ； (2)xx y 232--=；(3)142+--=x x y ； (4)92312+-=x x y .探索与思考2：二次函数的顶点坐标公式.用配方法把二次函数c bx ax y ++=2化成k m x a y ++=2)(的形式. 问题2：用公式法求下列二次函数的顶点坐标. (1)2122--=x x y ； (2)22134x x y -+=. (3)13432-+=x x y ； (4)x x y 6232--=.探索与思考3：二次函数c bx ax y ++=2的性质.二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ，它的顶点坐标是( ， )， 对称轴是 的直线(当0=b 时， 对称轴是 ). (1)若0>a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最 值 . 当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 . (2)若0<a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最 值 . 当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 . 练一练：填表：问题3：已知二次函数21222-++-=m x x y 。
6.2二次函数的图象和性质(4)
§6.2 二次函数的图象和性质（4）
备课时间: 主备人:
教学目标:
1．会用描点法画出二次函数的图像；
2．知道抛物线的对称轴与顶点坐标；
教学重点:
会画形如的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
教学难点:
确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。
教学方法:
探索研究法。
教学过程:
一、情景创设
1、复习
函数、与及其图象间的相互关系
二、新授
1、请你在同一直角坐标系内，画出函数的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．
2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数的图像？
3、你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习
抛物线开口方向对称轴顶点坐标
三、练习
1、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
2、抛物线有什么关系？
3、它们的位置有什么关系？
①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
④抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
四、总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
五、作业。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数的性质二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴直线x=-a b 2，二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x=-a b 2时，y 取得最小值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x=-a b 2时，y 取得最大值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax 2的图象向右或向左平移a b 2个单位，再向上或向下平移ab ac 442-个单位得到的．二次函数上点坐标的特征二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-a b 2，ab ac 442-）.①抛物线是关于对称轴x=-a b 2成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=221x x +【例1】已知()()212232m x m x m m y m m +-+-=--是关于x 的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．【例2】下列各式中，一定是二次函数的有（）①y=2x 2﹣4xz +3；②y=4﹣3x +7x 2；③y=（2x ﹣3）（3x ﹣2）﹣6x 2；④y=21x﹣3x +5；⑤y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）；⑥y=（m 2+1）x 2﹣2x ﹣3（m 为常数）；⑦y=m 2x 2+4x ﹣3（m 为常数）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】（2017•东莞市一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b 与二次函数y=bx 2+a 的图象可能是（）A．B．C．D．【例4】（2017•辽阳）如图，抛物线y=x 2﹣2x﹣3与y 轴交于点C，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（）A．1+2B．1﹣2C．2﹣1D．1﹣2或1+2【例5】（2017•唐河县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=31x 2经过平移得到抛物线y=ax 2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为38，则a、b 的值分别为（）A．31，34B．31，﹣38C．31，﹣34D．﹣31，34【例6】（2016•北仑区一模）如图，抛物线y=﹣x 2+5x﹣4，点D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD 的面积的最大值是多少？1、（2011秋•无锡期末）下列函数中，（1）y ﹣x 2=0，（2）y=（x +2）（x ﹣2）﹣（x ﹣1）2，（3）x x y 12+=，（4）322-+=x x y ，其中是二次函数的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、（2015秋•五指山校级月考）函数y=（m ﹣n ）x 2+mx +n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 是常数，且m ≠0B ．m 、n 是常数，且m ≠nC ．m 、n 是常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3、（2014•葫芦岛二模）在同一直角坐标系中，函数y=mx +m 和函数y=mx 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（）A ．B ．CD ．4、（2017•扬州）如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x 2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣25、（2012秋•高安市期末）把抛物线y=﹣2x 2﹣4x﹣6经过平移得到y=﹣2x 2﹣1，平移方法是（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位6、（2017•泸州）已知抛物线y=41x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（3，3），P 是抛物线y=41x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67、（2016•陕西校级模拟）如图，已知点A（8，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=6时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．358C．10D．528、（2010秋•西城区校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（1，0），则下列结论：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0，其中正确的是．9、（2017•孝感模拟）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有（填序号）．10、（2016•黄冈校级自主招生）方程2x﹣x 2=x 2的正实数根有个．11、（2011•路南区一模）已知二次函数y=（x﹣3a）2﹣（3a+2）（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．图中分别是当a=﹣1，a=﹣31，a=1时二次函数的图象．则它们的顶点所满足的函数关系式为．12、（2015•泗洪县校级模拟）若直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是．13、（2017春•昌江区校级期中）记实数x 1，x 2中的最小值为min{x 1，x 2}，例如min{0，﹣1}=﹣1，当x 取任意实数时，则min{﹣x 2+4，3x}的最大值为．14、（2016•锡山区一模）二次函数y=﹣x 2﹣2x 图象x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=21x+b 与该新图象有两个公共点，则b 的取值范围为．15、（2017春•平南县月考）抛物线238942++-=x x y 与y 轴交于点A，顶点为B．点P 是x 轴上的一个动点，当点P 的坐标是时，|PA﹣PB|取得最小值．16、（2014•上城区二模）已知当x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=6（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于．17、（2017•港南区二模）二次函数y=（a﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1的图象经过原点，则a 的值为．18、（2017•西华县二模）已知y=﹣41x 2﹣3x+4（﹣10≤x≤0）的图象上有一动点P，点P 的纵坐标为整数值时，记为“好点”，则有多个“好点”，其“好点”的个数为．19、（2017•鄂州）已知正方形ABCD 中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m 个单位（m＞0）与正方形ABCD 的边（包括四个顶点）有交点，则m 的取值范围是．20、作出下列函数的图象：（1）y=x 2﹣4x +3；（2）y=x 2﹣4|x |+3；（3）y=|x 2﹣4|x |+3|．21、（2017•海安县一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣41x+n 经过点A（﹣4，2），分别与x，y 轴交于点B，C，抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 的顶点为D．（1）求点B，C 的坐标；（2）①直接写出抛物线顶点D 的坐标（用含m 的式子表示）；②若抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 与线段BC 有公共点，求m 的取值范围．22、（2011•泰州）已知二次函数y=x 2+bx ﹣3的图象经过点P （﹣2，5）（1）求b 的值并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；（2）设P 1（m ，y 1）、P 2（m +1，y 2）、P 3（m +2，y 3）在这个二次函数的图象上，①当m=4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．23、（2017•邵阳县模拟）（1）已知函数y=2x+1，﹣1≤x≤1，求函数值的最大值．（2）已知关于x的函数y=（m≠0），试求1≤x≤10时函数值的最小值．（3）己知直线m：y=2kx﹣2和抛物线y=（k2﹣1）x2﹣1在y轴左边交于A、B两点，直线l 过点P（﹣2、0）和线段AB的中点M，求直线1与y轴的交点纵坐标b的取值范围．24、（2015秋•长兴县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，点E在CB边上，以每秒1个单位的速度从点C向点B运动，运动时间为t（s），过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S．（1）当点F恰好落在AB边上时，求t的值；（2）当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？。
2.2 二次函数的图象 课件4(数学浙教版九年级上册)
做一做
抛物线
y =2(x+3)2
开口方向 对称轴
顶点坐标
y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
用描点法在同一直角坐标系中画出下列 函数的图象：
1 2 y x 2 2
1 2 y x 2 3 2
-4 2 5 -3 0.5 3.5 -2 0 3 -1 0.5 3.5 0 2 5 1 4.5 7.5 … … …
顶点
(0,0) 向右平移2个单位
-4
(2,0)
对称轴:
直线x=0 向右平移2个单位
直线x=2
例2
对于二次函数 请回答下列问题：
1 2 1、把函数 y x 3
1 2 y x 4 3
的图象作怎样的平移
1 2 y x 4 3
变换，就能得到函数
的图象。
2、说出函数 和对称轴。
在同一坐标系中作出下列二次函数：
1 2 y x 2
x
y
y
y
1 2 y x 2 2
-4 -3 4.5 -2 2 0 -1 0.5 0.5 4.5 0 0 2 2 1 0.5 4.5 0.5
1 2 y x 2 2
2 2 3 4.5 4 5 … … … 0 0.5 2 4.5
… … …
-5
1 x 2 2 2
4.5
2
0.5
画3
5
y
1 x 2 2 2
4
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
1 2 y x 2
二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2=+的性质：（上加下减）y ax c3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
最新北师版二次函数图象和性质4
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用 配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶 点坐标．
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
想一想 2 函数y=ax +bx+c和 y=ax2的图象之间的关系 是什么？
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax² 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上, 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下, 在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
y
.
B
1.
.2Байду номын сангаас
x
18:54
练一练：
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④ a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ ）
C
A、2个
B、3个
y
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
14
例2.用总长为60m的篱笆墙围成 矩形场地，矩形面积S随矩形一 边长L的变化而变化，当L多少时， 场地的面积S最大？
6.2 二次函数的图象和性质(4)课件(苏科版九年级下)
-
5
-2
x
-4
-6 -8 -10
操作
与
-5
-
y -2 -4 -6 -8 -10 5 x
1.通过对y=-x2图象的 如果是,它的对称轴是什么? 2. 图象与对称轴有交点吗 ? 如果有,交点的坐标是什么?
y=-x2
折叠,你能发现该图象是轴对称图形吗?
与
二次函数y=x2与y=-x2的图象有什么 共同特征?
2 3 4 9
… …
2：画出 y=-x2 的图象。 （1）列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
苏科版九年级下册
6.2节
热烈欢迎各位专家 莅临指导
一.忆一忆: 1.二次函数: y=ax2+bx+c( a≠0 )
已知函数 y (k 2 k ) x2 kx 1 k ≠0且k≠1 时，y是x的二次函数; (1) k_________ 1 (2) k=________ 时，y是x的一次函数. 2.用描点法画函数图象的一般步骤: 描点 列表 连线
…
9
4
10 y
1
0 0
1 1
2 3 4 9
… …
y=x2
8
6 4 2 -5
-
0
5
x
操作
与
y 8 6 4 2 -5
-
y=x2
1.通过对y=x2图象的 如果是,它的对称轴是什么?
折叠,你能发现该图象是轴对称图形吗? 2. 图象与对称轴有交点吗 ? 如果有,交点的坐标是什么?
0
5 x
2：请同学们画出 函数 y=-x2 的图象。 1 2 3 … （1）列表： x … -3 -2 -1 0 y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
5.二次函数的图象(4)
它与二次函数 y=2x 的图象有什么关系？
2
2 2 =2
二次函数 y=2(x-3) 的图象具有哪些特点？
它与二次函数 y=2x 的图象有什么关系？
2
2
抛物线
y=2(x+2) -4
2
2
具有哪些特点？
它与二次函数 y=2x 的图象有什么关系？
抛物线
必做：课本17页6题
选做：课本17页9题
y C N A M O
B x
如图，顶点坐标为 (1,4.5)的抛物线与y轴交于点 C(0,4),与x轴交于A、B两点. y 1.求此抛物 C 线解析式.
A
O B x
2.点M在线段AB上以每秒1 个单位的速度从A向B运动 (不与A，B重合)同时点N 在射线BC上以每秒2 2 个 单位的速度从B向C运动， 设运动时间为t,当t为何值 时,△MNB的面积S最大？
y=-2x +8x+4
2
具有哪些特点？
抛物线
y=-2x +列抛物线的对称 轴和顶点坐标.
(1). y= 2+2x-8 (2). y= -2x
2-2x+3 x
2.当a<0时，抛物线 2 2 y=x +2ax+1+2a 的顶 点在第_____象限.
3.抛物线的顶点坐标为 函数y有最小值-10,当 (1，-2),并且经过原点， x<-1时,y随x的增大而减小, 求此抛物线解析式. 当x>-1时,函数y随x的增大 当x＝3时,y有最小值-2, 而增大，且图象过点(2,8), 且图象过点(0,2),求此二 求此二次函数解析式 次函数解析式
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复习
2+bx+c (a≠0) Y=ax 1、二次函数的一般式是_________________.
Y=a(x+m)2+k (a≠0) 2、二次函数的顶点式是________________.
3、二次函数y=(x-1)(x+2)与y轴的交点坐标 （0，-2） 是____________. 4、二次函数y=(x-1)(x+2)与x轴的交点坐标 （1，0）和（-2，0） 是________________.
1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 （1）求解析式 （2）何时 y=3？ （3）根据图象回答：当x
<0和x>2
时，y>0。
（1）y=x2+4x
（2）y=x-2-3x2
学习新知识 问题：已知二次函数y=ax2+bx+c，能把这个 函数图像的对称轴和顶点坐标用常数a、b、 c表示吗？ 例题：指出二次函数y=-2x2-6x+4图像的开口 方向、顶点坐标和对称轴，并画出这个函数 的图像。
巩固新知识 1、如Байду номын сангаас抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上， 9 那么c=___. 2、已知二次函数y=mx2-(m+3)x的图像的 对称轴是直线x=1，则图像的顶点坐标为 （1，-3） __________.
5、已知抛物线Y=-2X2+(3-m)x+m-2的对称轴 3 ，顶点坐标是__________. （ 0， 1） 是y轴，则m=____ 6、已知抛物线y=x2+2x+m的顶点在第四象限， m<1 m的取值范围是____________.
7、先用配方法把下列函数的解析式化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出每个函数图象的开口方向、对称轴和 顶点坐标：