第06讲_Z变换的性质及与其他变换的关系
06第六讲 Z变换的性质
Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n
n m
x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证
Z [ x(n m)]
n
x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*
n
n *
[ x(n)(z )
* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)
Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry
Z变换及其收敛域
z
1
)
n
1 1 e
sT
z
1
F (z)
1 2 j
j 1
ds
j
F (s) e
sT
z
ds 1
j 2 j
1
j
zF ( s ) z e
sT
(z e
sT
)
29
这个积分可用留数来计算，即
F (z)
i
z F (s) Re s , si z e sT
2、若x(n)是单边序列，其单边Z变换为：
右移
（二）位移性质
7
)z( X
z ) n ( u ) m n ( x Z
（二）位移性质
例 4.3-2 求周期序列 x(n)的Z变换
解：若周期序列x(n) 的周期为N，即
x(n ) x(n N )
n 0
令x1(n)表示x(n）的第一个周期，因为x1(n)是有 限长序列，所以其Z变换为
N 1
X 1( z)
x1 ( n ) z
n
z 0
8
n0
（二）位移性质
周期序列x(n)用x1(n)表示，为
x ( n ) x1 ( n ) x1 ( n N ) x1 ( n 2 N )
x(n)的Z变换为
X ( z) X 1( z) 1 z
X 1( z) z z
0 S平面平行于虚轴的直线
z e
0T
Z平面的圆，半径为 e
0T
22
S平面与Z平面的映射关系
j
j Im z
第六节 Z 变 换
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
一些常见的Z变换
一些常见的Z变换在信号处理和控制系统领域，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。
它可以将离散时间域的序列转换到复平面上的Z域，从而使我们能够分析信号的频率响应、稳定性和系统的性能。
本文将介绍一些常见的Z变换及其在实际应用中的作用。
一、Z变换的定义Z变换可以看作是离散时间傅里叶变换（DTFT）的离散时间版本。
它将离散时间序列$x[n]$转化为复变量$X(z)$，其中$z$是复平面上的变量。
Z变换的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$其中，$x[n]$为离散时间序列，$z$为复变量。
通过对序列$x[n]$进行Z变换，我们可以得到频域上的表示$X(z)$。
二、常见的Z变换性质Z变换具有许多有用的性质，使得它在信号处理和系统分析中得到广泛的应用。
下面介绍几个常见的Z变换性质。
1. 线性性质Z变换具有线性性质，即对于常数$a$和$b$，以及序列$x[n]$和$y[n]$，有以下关系：$$\mathcal{Z}(ax[n] + by[n]) = aX(z) + bY(z)$$这一性质使得我们可以方便地对信号进行分解和求解。
2. 移位性质对于频域上的序列$X(z)$和时间域上的序列$x[n]$，移位性质可以表达为：$$\mathcal{Z}(x[n-m]) = z^{-m}X(z)$$其中，$m$为正整数。
移位性质允许我们对时域序列进行时间偏移操作，从而分析不同时刻的信号。
3. 初值定理与终值定理初值定理和终值定理是两个重要的Z变换性质。
初值定理表示了序列$x[n]$在$n=0$时的初值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$x[0] = \lim_{z\to1}X(z)$$终值定理则表示了序列$x[n]$在$n\to\infty$时的极限值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$\lim_{n\to\infty}x[n] = \lim_{z\to1}(z-1)X(z)$$初值定理和终值定理使得我们可以通过对$X(z)$在$z=1$处的值进行分析，推断出序列$x[n]$的初值和终值信息。
(优选)z变换的基本性质和定理
X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理 终值定理
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。
对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除；
对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有：
证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
证明：
7、初值定理 证明： （怎样证明？） 显然： lim X (z) x(0)
第六章(2)Z变换的性质
复习
z
z z a
f (2) lim[z2 z z2 az] a2 z z a
（2）由终值定理可得
0
lim
z1
z
1 z
z
z
a
1 0
0
a 1 a1 a 1 a 1
F(z)
Z[
f（k）]
Z
1
k
2
f1(k )
F1 (2 z )
(2z)2 4z2
3 | z | 2
2z 3 2z 3
四、 卷积定理
若
f1(k) F1(z), 1 z 1
f2(k) F2(z),
2
z
2
则
f1(k)* f2(k) F1(z)F2(z)
且有任意常数 a1 , a则2 ,
a1 f1(k) a2 f2(k) a1F1(z) a2F2(z)
其收敛域至少是 F1(与z) F收2(敛z)域的相交部分。
例 6.2-1 已知 f (k) ε(k) 3k ε(k 1)，求f(k)的
双边Z变换F(z)及其收敛域。
(k) z
f1(k )
F1 ( z )
(z
z 1)2
， 则有
f (k ) ak f1(k )
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
z变换通俗理解
z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。
Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。
2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。
3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。
例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。
4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。
Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。
在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。
5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。
为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。
§8.2 Z变换的性质(06.06.09)
收敛域与 X(z)基本相同：只影响 z 0, z 处。
m 显然： ZT x( n m ) z X ( z ) 。 左移
x(n)若是双边序列，其收敛域为环形区域，序列移位并不会使其z变换的收敛域变化
证明双边z变换的位移性
根据双边z变换的定义可得
Z x ( n m )
ZTx(n m)u(n) z m [ X ( z )
例
求a
n－1
的单边 变换 z
n
k m
x( k ) z k ]
1
z 解： a u( n) za
方法一，利用移位性质
右移 一位
z z 1 ZT a u (n) z za za a( z a)
求
y(n) x(n) h(n) 的 z 变换 Y(z)
解：
z X (z) z2
z H (z) z3
（ z 2）
（ z 3）
z2 Y ( z ) X ( z ) H ( z ) ( z 2)(z 3)
2
3
收敛域为： |z|>3
例
x(n) a u(n), h(n) b u(n)， y(n) x(n) h(n)。 ,求
n 0
dX ( z ) 所以： nx( n) z dz
序列线性加权（乘以n）的z变换等效于其z变换取导数乘以（-z）
例
na n u(n) 的 Z 变换 X(z) 求
z 解： ∵ a u( n) , za
n
za
∴
z d( ) z a z z a z za n na u( n) z dz ( z a )2 ( z a )2 |z| > |a|
z变换和傅立叶之间的关系
z变换和傅立叶之间的关系1. 什么是z变换和傅立叶变换在数字信号处理中，z变换和傅立叶变换是两个非常重要的概念。
Z变换是离散时间信号的傅立叶变换的推广，它把离散时间序列转换成函数。
傅立叶变换则是对连续时间信号进行变换，并把它们表示为一系列正弦和余弦曲线的加权和，这个过程就是将时域信号转换到频域。
2. 数学表达z变换和傅立叶变换都可以用数学公式表达。
对于离散时间信号$x[n]$，其z变换为：$$ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} $$对于连续时间信号$x(t)$，其傅立叶变换为:$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i\omegat}dt$$其中，$z$和$\omega$都是复数，$t$和$n$表示时间或样本点。
3. 相似之处虽然在处理的信号不同，但z变换和傅立叶变换有着很多相似之处。
它们都能把一个信号从一个域(时域或离散域)转换到另一个域(频域或复平面域)，并且可以通过反转变换把信号还原到原来的域中。
4. 不同之处尽管z变换和傅立叶变换有很多相似之处，但它们的应用场景是不同的。
Z变换主要用于分析和描述离散时间信号的特性，比如其稳定性、收敛区域、系统性质等，而傅立叶变换则常常用于分析连续时间信号的频谱、带宽、峰值等特性。
此外，Z变换适用于对离散系统进行频域分析，而傅立叶变换则适用于线性时不变系统的性质分析。
5. 综合应用在实际应用中，z变换和傅立叶变换常常需要互相配合使用。
比如，在数字滤波器设计中，我们需要使用z变换来分析和设计滤波器的性质，但是为了检验滤波器的性能和正确性，我们需要把信号变换到频域，这就需要使用傅立叶变换。
总的来说，z变换和傅立叶变换是数字信号处理中两个重要的数学工具，它们在理论分析、算法设计和实际应用中都扮演着不可替代的角色。
只有深刻理解它们之间的关系以及优缺点，才能更好地进行数字信号处理相关工作。
Z变换的基本性质
收敛域
z Rx 1 < < Rx 2 a
即
a Rx 1 < z < a Rx 2
同理 a − n x ( n) ↔ X (az )
(R
x1
< az < R x 2 ) < z < Rx2 )
(− 1)n x( n) ↔ X (− z )
(R
x1
四．序列线性加权(z域微分)
若 则 Z [ x ( n )] = X ( z ) d X (z) −1 d X ( z ) = −z nx ( n) ↔ − z dz d z −1
⎛ d X (z) d X ( z ) d( z −1 ) −1 d X ( z ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜因为 z d z = z d( z −1 ) ⋅ d z = z d z −1 ⎟ ⎠ ⎝
d ⎤ ⎡ 推广 n x( n) ↔ ⎢ − z ⎥ X ( z ) ⎣ dz⎦ m d ⎤ d ⎡ d ⎛ d ⎡ ⎜− z dz ⎢ − z d z ⎥ 表示 − z d z ⎢ − z d z ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ ⎣
十一．z域复卷积定理
如果 y( n) = x ( n) ⋅ h( n), 且 X ( z ) = Z [ x ( n)], Rx − < z < Rx + ; H ( z ) = Z [h( n)], Rh− < z < Rh+， 1 z −1 X ( ) H (v )v dv 则有： Y ( z ) = Z [ y( n)] = ∫ 2πj c v 1 z −1 X (v ) H ( )v dv; Rx − Rh− < z < Rx + Rh+ ∫ 2πj c v
若设
第06讲_Z变换的性质及与其他变换的关系---精品资料
线性
满足齐次性（比例性）和可加性
若 则
Z [ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx Z [ y( n)] Y ( z ) , R y z R y
Z [ax( n) by( n)] aX ( z ) bY ( z ), max( Rx , R y ) z min( Rx , R y )
2k Xa ( j ) T k
序列在单位圆上的Z变换为序列 的傅氏变换
z
终值定理
对于因果序列x(n)，且X(z)=Z[x(n)]的极点处于 单位圆|z|=1以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶 极点）则
lim x( n) lim[( z 1) X ( z )] Re s[ X ( z )]z 1
n z 1
有限项累加特性
对于因果序列 x( n)，且X ( z ) Z [ x( n)],
* * *
其中，x ( n)为x( n)的共轭序列。
*
翻褶序列
Z[ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx
1 1 1 Z[ x( n)] X ( ) ; z z Rx Rx
初值定理
对于因果序列 x( n)，则x(0) lim X ( z )。
ze j T jT z re e e
sT
re
T
T
r 与σ的关系 (r e )
T
S平面
Z平面
j
0
0 0 0 0
0 0 0
ω与Ω的关系（ω=ΩT）
j]
T 3 T
Z变换和傅氏变换的关系
已知x( n) a u( n), h( n) b 求Y ( z ) Z [ x( n)h( n)]
《z变换的性质》课件
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
Z变换的基本性质 ppt课件
k0
x1x0z1 x1z2 x(2)z3
x(-1)z-1[x0x1z1 x2z2 x3z3
x1z1Xz
X
14
第
Z变换的基本性质
页
根据单边z变换的定义，可得 Zxkm k xkm zk k0 zm xkmzkm k0
令nkmzm xnzn
nm
zmxnzn1xnzn
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则 Za1x(k)b2x(k)aX 1(z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即zmaRxx 1,R (x2)
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.
X
3
Z变换求 的c基o本k sh 性0(质k)的 z变换（。 自学）
则 x (k m )(k ) z m X (z ) 1x (k )z k z
k m
x k 1 ( k ) z 1 X z x 1 其中m为正整数
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时 因 x， k果 0， 序 则 列
第 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω h 0 1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( s k ) h 1 2 Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
1z 1 z 2zeω0 2zeω0
z2z(2zzccoossω ω h0h01
X
6
Z变换的基本性质
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
Z变换的基本性质
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
三角函数z变换
三角函数z变换
三角函数z变换是一种在信号处理中常用的数学工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号。
通过z变换，我们可以更好地理解信号的频率特性和相位特性。
在信号处理中，我们经常会遇到需要对信号进行频谱分析的情况。
通过z变换，我们可以将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱表示。
这使得我们可以更加直观地理解信号的频率成分，并可以通过滤波等操作对信号进行处理。
具体来说，z变换可以将一个离散时间信号表示为一个复变量的函数。
这个函数的自变量是一个复数z，而函数的值则表示信号在不同频率上的幅度和相位。
在信号处理中，我们经常会用到一些常见的z变换函数，比如正弦函数、余弦函数和指数函数等。
这些函数在频域上具有不同的频率特性和相位特性，可以帮助我们更好地理解信号的频谱信息。
除了频率分析外，z变换还可以用于信号的滤波、系统的稳定性分析等方面。
通过对信号进行z变换，我们可以更好地理解信号在不同频率上的响应特性，从而更好地设计滤波器或者分析系统的稳定性。
z变换是一种在信号处理中非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和相位特性。
通过对信号进行z变换，
我们可以将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱表示，从而更好地进行频谱分析、滤波和系统分析等操作。
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[ x（ )( t nT )]e st dt a nT
n
n
xa ( nT )e st ( t nT )dt xa ( nT )( e sT ) n
n
xa ( nT )e nTs
n
1 x ( ) H ( ) 1d。 c
( 2) 当围线取单位圆 v 1时， v 1 / v e j , 则 1 x ( n )h ( n ) X (e j ) H (e j )d 2 n 1 2 2 ( 3) 当h( n) x( n)时，则 x( n) X ( j) d 2 n
其中“*”表示复共轭，闭 1 max Rx , 合积分围线C在公共收敛 min Rx , Rh 域内
1 Rh
帕塞瓦定理(parseval)
(1) 当h( n)为实序列时，则 1 x( n)h( n) 2j n
对于单边序列在z=0或 z=∞处可能有变化
序列的移位
求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换
Z域尺度变换(乘以指数序列)
如果 Z [ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx
z 则 Z[a x( n)] X ( ) ; a Rx z a Rx a
j 3
T T
jIm[Z] ω
Re[Z]
T 3 T
Z变换和傅氏变换的关系
ˆ ( j ) 1 Xa T 2 X a ( j jk T ) k
X ( z ) z e jT X (e
jT
ˆ ) X a ( j )
傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ的特例，因而映射到 Z平面上为单位圆。因此，就是说，（抽样）序列在单 位圆上的Z变换，就等于理想抽样信号傅氏变换 用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数，z = ej ω，
则有： Y ( z ) Z [ y( n)] Z x( n) h( n) 1 z 1 z 1 1 c X ( v ) H (v )v dv 2j c X (v ) H ( v )v dv; 2j Rx Rh z Rx Rh
序列相乘(Z域卷积定理)
已知 x( n) a u( n), h( n) b 求Y ( z ) Z [ x( n)h( n)]
n n 1
u( n 1),
帕塞瓦定理(parseval)
若 X ( z ) Z [ x ( n)] , Rx z Rx ; H ( z ) Z [h( n)] , Rh z Rh ; 且 Rx Rh 1 Rx Rh 1 * 1 1 则 x ( n )h ( n ) c x() H ( ) d 2j n
ω表示 z 平面的辐角，且ω= ΩT
Z变换和傅氏变换的关系
ˆ X ( z ) z e j X ( T
2 X a ( j jk T ) k
X ( z ) z e j
1 X (e ) T
j
* * *
其中， x ( n)为x( n)的共轭序列。
*
翻褶序列
Z[ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx
1 1 1 Z[ x( n)] X ( ) ; z z Rx Rx
初值定理
对于因果序列 x( n)，则 x(0) lim X ( z )。
Z变换与拉氏变换的关系
ˆ ˆ X a ( s ) L[ xa ( t )]
X (z)
n
x (nT )(e
a
sT n
)
n
x( n)z n
sT
ze
ˆ X ( z ) z e sT X (e sT ) X a ( s )
Z变换与拉氏变换的关系
序列的卷积和(时域卷积定理)
已知 x( n) a n u( n), h( n) b n u( n) ab n1u( n 1), 求y( n) x( n) h( n), b a
序列相乘(Z域卷积定理)
如果 y( n) x ( n) h( n), 且 X ( z ) Z [ x ( n)], H ( z ) Z [h( n)], Rx z Rx ; Rh z Rh，
n
z Rx ,
z 则Z [ x( m )] X ( z ), z max[ Rx ,1] z 1 m 0
序列的卷积和(时域卷积定理)
如果 y( n) x( n) h( n)
m
x(m )h(n m )
而且 X ( z ) Z [ x( n)] , Rx z Rx ， H ( z ) Z [h( n)] , Rn z Rn， 则有： Y ( z ) Z [ y( n)] X ( z ) H ( z ) max[ Rx , Rh ] z min[ Rx , Rh ]
z
终值定理
对于因果序列x(n)，且X(z)=Z[x(n)]的极点处于 单位圆|z|=1以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶 极点）则
lim x( n) lim[( z 1) X ( z )] Re s[ X ( z )]z 1
n z 1
有限项累加特性
对于因果序列 x( n)，且 X ( z ) Z [ x( n)],
n
序列的线性加权(Z域求导数)
如果 Z [ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx
d 则 Z [nx( n)] z X ( z ), Rx z Rx dz
共轭序列
Z[ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx
Z [ x ( n)] X ( z ) ，Rx z Rx ;
线性
满足齐次性（比例性）和可加性
若 则
Z [ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx Z [ y( n)] Y ( z ) , R y z R y
Z [ax( n) by( n)] aX ( z ) bY ( z ), max( Rx , R y ) z min( Rx , R y )
如果某些零点和极点相互 抵消，收敛域可能扩大
线性
已知 x(n) cos(0 n)u(n)， 求它的 z变换
序列的移位
若Z [ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx
则有 Z[ x( n m )] z m X ( z ) ; Rx z Rx
数字信号处理
主讲教师：沈晶
哈尔滨工程大学计算机科学与技术学院
第6讲：Z变换的性质及与其他变换的关系
本讲内容
Z变换的基本性质
线性 序列的移位 乘以指数序列 序列的线性加权 共轭序列 翻褶序列
定理 初值定理 终值定理 帕塞瓦定理
有限项累加特性
序列的卷积和 序列相乘
S平面用直角坐标表示为：s
Z平面用极坐标表示为：
z re
j
j
又由于 所以有
ze j T jT z re e e
sT
re
T
T
r 与σ的关系 (r e )
T
S平面
Z平面
j
0 0 0 0
0 0 0 0
ω与Ω的关系（ω=ΩT）
2k Xa ( j T ) k
序列在单位圆上的Z变换为序列 的傅氏变换
说明时域中求序列的能量与频域中用频谱密 度来计算序列的能量是一致的
Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系
Z变换与拉氏变换关系
Z变换与傅氏变换关系
Z变换与拉氏变换的关系
理想抽样信号的拉氏变换 ˆ 设 xa (t )为连续信号，xa ( t ) 为其理想抽样信号，则
ˆ ( s ) L[ x ( t )] x ( t )e st dt ˆa Xa ˆa