运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第10章 动态规划应用举例——第12章 网络计划)【圣才出品】

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10.3 某公司打算向承包的三个营业区增设六个销售店，每个营业地区至少增设一个， 从各区赚取的利润与增设的销售店个数有关，其数据如表 10-11 所示。试求各区应分配几 个增设的销售店，才能使总利润最大?其值是多少?
25
28
0
2
47
53
45
53
1
3
67
72
73
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2
4
89
92
92
85
65
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1,2
5
108 114 112 104
93
70
114
1
6
126 133 134 124 112
98
73
134
2
当 k =1 时
分别取 x1为0,1,…, 6 时。其数值计算如表 10-10 所示：
表 10-10
所以，总的最大增产量为 134，最优分配方案有如下四种：
当 k =2 时， 由题意，可取 x2 1,2,3, 4, s2 2,3, 4,5 ，其数值计算如表 10-13 所示：
表 10-13
当 k =l 时， 由题意，可取 x1 1,2,3, 4 ， s1 6 ，其数值计算如表 10-14 所示：
表 10-14 所以，总利润最大值为 710 万元，最优增设方案有三种：
表 10-11
解：按营业区数将此问题划分三个阶段；状态变量 sk 表示第 k 个区至第 3 个区增设的 店数； xk 表示第 k 个区增设的店数， xk 1；状态转移方程为： sk1 sk xk ；阶段指标
pk xk 表示为第 k 区内增设店数为 xk 时所取得的利润；最优值函数 fk sk 表示第 k 个区
至第 3 个区增设 sk 个店的最大利润。于是有递推关系：
其中： f4 s4 0 。
当 k =3 时， 由题意，可取 x3 s3 1,2,3, 4 ，其数值计算如表 10-12 所示：
表 10-12
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解：按零售店数将此问题划分为四个阶段；状态变量 sk 表示分配给第 k 个至第 4 个零 售 店 的 货 物 的 箱 数 ； xk 表 示 分 配 给 第 k 个 零 售 店 的 货 物 箱 数 ； 状 态 转 移 方 程 为 ： sk1 sk xk ；
阶段指标 pk xk ）表示将 xk 箱货物分配到第 k 个店的盈利；最优值函数 fk sk 表示
表 10-3
当 k =2 时， 分别取 x2 s2 0,1,…, 6 。其数值计算如表 10-4 所示：
表 10-4
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当 k =1 时，将 6 箱货物分配给零售店 l 到零售店 4 时，其最大盈利值为 分别取 x1为0,1,…, 6时，其数值计算如表 10-5 所示：
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10.4 某工厂的 l00 台机器，拟分四个周期使用，在每一周期有两种生产任务。据经验，
把 x1 台机器投入第一种生产任务，则在一个生产周期中将有 x1 /3 台机器报废；余下的机器
全部投入第二种生产任务，则有 l/l0 机器报废，如果于第一种生产任务每台机器可收益 10， 于第二种生产任务每台机器可收益 7，问怎样分配机器，使总收入最大?
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第 10 章 动态规划应用举例
10.1 有一部货车每天沿着公路给四个零售店运送 6 箱货物，如果各零售店出售该货物 所得到的利润如表 10-1 所示。试求给各零售店运送几箱货物能使获得总利润最大?其值是 多少?
表 10-1
表 10-8
当 k =2 时， 分别取 x2 s2 0,1,…, 6 。其数值计算如表 10-9 所示：
表 10-9
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x2
p2(x2)+f3(s2－x2)
f2(s2)
x2*
s2
0
1
2
3
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5
6
0
0
0
0
1
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sk 箱货物分配给第 k 至第 4 个店的最大盈利值，于是有递推关系：
当 k =4 时，
分别取 x4 s4 0,1,…, 6 。其数值计算如表 10-2 所示：
表 10-2
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当 k =3 时， 分别取 x3 s3 0,1,…, 6 。其数值计算如表 10-3 所示：
解：按周期将该问题划分为四个阶段，第 k 阶段为第 k 周期分配机器；状态变量 sk 表 示第 k 周期初的完好机器数；决策变量 uk 表示第 k 个周期用于第一种任务的机器台数， sk uk 表示第 k 周期用于第二种任务的机器台数；
表 10-5 所以，可以得到总利润最大值为 17，其最优分配方案有如下六种：
10.2 设有某种肥料共 6 个单位重量，准备供给四块粮田用，其每块粮田施肥数量与增 产粮食数如表 10-6 所示，试求对每块粮田施多少单位重量的肥料，Байду номын сангаас使总的增产粮食最多。
表 10-6
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示将 sk 单位的肥料分配给第 k 块粮田至第 4 块粮田的最大增产量。于是有递推关系： 当 k =4 时， 分别取 x4 s4 0,1,…, 6 。其数值计算如表 10-7 所示：
表 10-7
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当 k =3 时， 分别取 x3 s3 0,1,…, 6 。其数值计算如表 10-8 所示：

解：按粮田的块数将此问题划分四个阶段；状态变量 sk 表示分配给第 k 块粮田至第 4 块粮田的肥料重量；xk 表示分配给第 k 块粮田的肥料重量；状态转移方程为：sk1 sk xk ；
阶段指标 pk xk 表示将 xk 单位的肥料分配给第 k 块粮田的增产量；最优值函数 fk sk 表