必修四⑧平面向量数量积
必修4平面向量数量积考点归纳
“平面向量”误区警示“平而向呈:”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水.现将与平而向量基本概念相关的误区整理如下.①向量此是育向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段是向量的一种表示方法，不能说向疑就是有向线段.⑵若向童砸与CD相普，则有向找段AB与CD *含解析：长度相等且方向相同的向疑叫做相等向量.因此，若A B = CD,则有向线段AB与CD 长度相等且方向相同，但它们可以不重合.⑶若AB II CD ,则筑段AB//CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.故由忑与Cb平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.购若向爻血与CD共线，则线段AB与CD共线解析:」行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量.故由应与C&共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.(5)若 a // b, b II 6, flja II c解析：由尹零色量与任一向量平行，故当b = 0时，向量d、2不一定平行.当且仅当亍、6、5都为非零向量时，才有丘II c.⑹若|a| = |6|,则a=6无a=-b解析：也131=1 bl,只能㊇定向的长度相等,不能确定其方向有何关系.当孑与B不共线时，a = b或d=—6都不能成立.⑺草住向董都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一左相同，故单位向量也不一定相等.⑻若I 3 | =0,则3 =0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集.故若la 1=0,则a = 0 ,不能够说a =0.平面向量数量积四大考点解析考点一.考査概念型问题例1.已知7、I、7是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数( )(1)a ・ b = a - b o a lib ; (2)a,b反向o "・b = — a - bf —> f —> f —> f f f⑶么丄b o a + b = u — b ；(4) a = b <=>"・/? = b-cA. 1B.2C. 3D. 4评注：两向量同向时，夹角为0(或(T )：而反向时，夹角为n (或180°)：两向量垂直时，夹角为90° ,因此当两向量共线时，夹角为0或几，反过来若两向量的夹角为0或兀，则两向量共线.考点二、考査求模问题例2•已知向虽：方=(一2,2加=(5,小，若a + b不超过5,则k的取值范用是_____________评注：本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范1刊。
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标：1.了解向量的数量积的抽象根源。
2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。
首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ⋅F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个=scos⋅向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。
这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。
2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。
过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。
难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。
学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。
五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。
2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。
（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。
3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。
（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。
4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。
学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。
学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。
6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。
学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。
七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。
八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。
平面向量的数量积
平面向量的数量积1.平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b ＝±|a||b|.2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a | (4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a·b |≤|a||b|.4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. ( √ ) (3)△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是等腰三角形.( √ ) (4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形. ( × ) (5)两个向量的夹角的范围是[0，π2].( × )(6)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－43或λ>0.( × )2.(2012·陕西改编)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ＝________. 答案 0解析 a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1,2cos θ). ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝1－1＝0.3.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于________. 答案 30°解析 |a ＋2b |2＝4＋4＋4a ·b ＝8＋8cos 60°＝12， ∴|a ＋2b |＝23， a ·(a ＋2b )＝|a |·|a ＋2b |·cos θ ＝2×23cos θ＝43cos θ，又a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝4＋4cos 60°＝6， ∴43cos θ＝6，cos θ＝32，θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°. 4.在△ABC 中，AC →·AB →|AB →|＝1，BC →·BA→|BA →|＝2，则AB 边的长度为________.答案 3解析 设△ABC 各边分别为a ，b ，c ，则AC →·AB→|AB →|＝b ·cos A ＝1，同理，BC →·BA →|BA →|＝a ·cos B ＝2.由余弦定理可得⎩⎨⎧b ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，a ·a 2＋c 2－b22ac ＝2，解方程组得c ＝3或0(舍).5.已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______. 答案655解析 设a 和b 的夹角为θ，|a |cos θ＝|a |a·b|a||b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝1365＝655.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝________.(2)(2012·北京)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________.思维启迪 (1)∠C ＝90°，可选取向量CA →，CB →为基底表示向量或者利用数量积的几何意义； (2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义. 答案 (1)16 (2)1 1解析 (1)方法一 AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →)＝－CB →·CA →＋CA →2＝16.方法二 ∵AB →在AC →方向上的投影是AC ， ∴AB →·AC →＝|AC →|2＝16.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－ 1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 思维升华 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件.已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案 －25解析 如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.题型二 求向量的夹角与向量的模例2 (1)(2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. (2)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________. 思维启迪 利用数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos θ. 答案 (1)32 (2)712解析 (1)∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. (2)由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0， 即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 思维升华 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式.(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的.(1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于________.(2)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________. 答案 (1)2 (2)⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析 (1)|a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝4－4×1＋4＝4， ∴|a ＋2b |＝2.(2)由题意知S ＝|α||β|sin θ＝12≤sin θ，∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 题型三 数量积的综合应用例3 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2).(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.思维启迪 (1)由m ∥n 可得△ABC 的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论； (2)由m ⊥p 得a 、b 关系，再利用余弦定理得ab ，代入面积公式. (1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形. (2)解 由题意可知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0， ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.思维升华 以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法.(2013·江苏)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值.(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解 由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0sin α＋sin β＝1，又0<β<α<π，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α， sin α＋sin(π－α)＝1， sin α＝12，α＝π6或α＝5π6，当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.方法与技巧1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 失误与防范1.(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.2.a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .3.a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立.一、填空题1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b ＝________. 答案 －10解析 由a ∥b 得2x ＝－4，x ＝－2，故a ·b ＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.2.(2012·重庆改编)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝________. 答案10解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2).∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4.向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为________. 答案 (7，－6)解析 ∵AB →与a ＝(－3,4)反向， ∴可设AB →＝(3λ，－4λ)，λ>0.又|AB →|＝10，∴λ＝2，∴AB →＝(6，－8)， 又A (1,2)，∴B 点坐标为(7，－6).5.(2012·天津改编)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝________. 答案 23解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.6.(2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m ).若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________. 答案2解析 a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m ).∵(a ＋c )⊥b ， ∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.7.(2013·课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.8.已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________. 答案 (－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，32 解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<32，且λ≠－6.二、解答题9.已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，a ⊥b ，求：(1)|a ＋b |； (2)cos(α＋π4)的值.解 (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45，tan α＝sin αcos α＝34，所以a ＋b ＝(7,1)，因此|a ＋b |＝72＋12＝5 2. (2)cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. 10.已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值.解 (1)m ∥n ⇒2sin B ·(2cos 2B2－1)＋3cos 2B ＝0⇒sin 2B ＋3cos 2B ＝0⇒2sin(2B ＋π3)＝0(B 为锐角)⇒2B ＝2π3⇒B ＝π3.(2)cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ⇒ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4⇒ac ≤4.S △ABC ＝12a ·c ·sin B ≤12×4×32＝ 3.备用题1.△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为________. 答案3解析 如图，设D 为BC 的中点，由OA →＋AB →＋AC →＝0， 得AO →＝2AD →，∴A 、O 、D 共线且|AO →|＝2|AD →|， 又O 为△ABC 的外心， ∴AO 为BC 的中垂线，∴|AC →|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1，∴|CD →|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3.2.(2013·湖南改编)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________. 答案 [2－1，2＋1]解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角). 又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.3.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC → ＋BD →)＝________. 答案 5解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →， 所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC → ＝AC →－BD →.(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →) ＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5.4.在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点.若AM ＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值是________. 答案 －2解析 设|OM →|＝x (0≤x ≤2)，则|OA →|＝2－x ，OA →·(OB →＋OC →)＝OA →·2OM →＝－2(2－x )·x ＝2(x －1)2－2≥－2， 当且仅当x ＝1时取等号.5.在平面内，已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn 等于________. 答案 ±3解析 因为∠AOC ＝30°，所以〈OA →，OC →〉＝30°. 因为OC →＝mOA →＋nOB →，OA →·OB →＝0， 所以|OC →|2＝(mOA →＋nOB →)2 ＝m 2|OA →|2＋n 2|OB →|2＝m 2＋3n 2，即|OC →|＝m 2＋3n 2.又OA →·OC →＝OA →·(mOA →＋nOB →)＝mOA →2＝m ，则OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|cos 30°＝m ，即1×m 2＋3n 2×32＝m ， 平方得m 2＝9n 2，即m 2n 2＝9，所以m n＝±3. 6.已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin(2x ＋π6)－1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴f (x )的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). (2)∵f (C )＝2sin(2C ＋π6)－1＝1， ∴sin(2C ＋π6)＝1， ∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7. 将ab ＝23代入可得a 2＋12a2＝7，解得a 2＝3或4. ∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3.∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2). (1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24,8)，或OB →＝(－8，－8).(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k. ∵k >4，∴1>4k>0， ∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k. 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4,8).∴OA →·OC →＝(8,0)·(4,8)＝32.。
平面向量的数量积
平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质：数量积满足交换律和分配律 坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义：表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
添加标题
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添加标题
添加标题
性质：数量积满足交换律和分配 律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ， 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积
高中数学必修四《平面向量的数量积》说课PPT
本节课内容巩固了前三节平面向量的相关 知识，使学生进一步明确数量与向量的区别与 联系，同时为下一节课“数量积的坐标表示、 模、夹角”及今后的学习打下基础。
一、教材分析
3．教学重点、难点
（1）教学重点 平面向量的数量积的定义、性质及运算。（解
决办法：通过物理学中力的做功帮助学生认识平面 向量所成的角及数量积的定义，通过解决问题让学 生掌握数量积的运算、性质。）
（2）数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)
（3）分配律:(a﹢b)·c=a·c﹢ b·c
[设计意图] 让学生利用向量数量积的定义 思考得到，既复习了向量数量积的定义，又发 现了向量数量积的基本运算法则。
（3）向量数量积的运算法则
[例题分析] 课本第105页 例3.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°，求 （a+2b）(a-3b) 例4.已知|a|=3,|b|=4，且a与b不共线。k为何值 时，向量a+kb与a-kb互相垂直。
五、教学程序设计
2．探索研究，建构新知
（1）平面向量的数量积 （2）平面向量数量积的运算法则
（1）平面向量的数量积
[定义]已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记 作a • b，即a •b= |a||b|cosθ，其中θ是a与b的 夹角，|a|cosθ叫做a在向量b上的投影， |b|cosθ叫做在b向量a上的投影。 注（1）零向量与任一向量的数量积为0；
２．不利因素
平面向量的加、减、数乘运算结果是一个向 量，而平面向量的数量积是一个数量，相对来说 比较抽象，这给学生对知识的理解带来一定的困 难。高中学生的学习能力与学习习惯存在着一定 的差异，因此在教学中应循序渐进，兼顾课堂分 层。
平面向量数量积说课稿
平面向量数量积说课稿平面向量数量积说课稿1一、教材分析1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
教学重点平面向量数量积的坐标表示及应用教学难点探究发现公式二、教学方法和手段1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。
高中数学必修4第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》
2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2
3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
学习目标：
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、 向量的 夹角、模的 公式. 2、掌握两个向量垂直的坐标表示 3、能初步运用向量数量积的坐标表示 解决处理有关长度、垂直及夹角 的几 个问题.
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
a // b x1y2 x2 y1 0
a b x1 x2 y1 y2 0
例３:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解：由题意可知： -1＜ cos
a b ab
＜0
∴λ∈（—
1 ，2）∪（2，+∞） 2
例４：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）试判 定△ABC的形状，并给出证明。
cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
例2:设a=(2,１),b=(１,３),求a· b及a 与b的夹角
第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 ．掌握数量积的坐标表达式， 积的运算． 积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积 ．能运用数量积表示两个向量的夹角， 判断两个平面向量的垂直关系． 判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实 ． 际问题． 际问题．
(2)法一：a－2b＝(3，－ －2(2,1)＝(－1，－ ， 法一： － ＝ ，－ ，－4)－ ，－6)， 法一 ＝ － ，－ 2a＋3b＝2(3，－ ＋3(2,1)＝(12，－ ， ＋ ＝ ，－ ，－4)＋ ，－5)， ＝ ，－ (a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18. － ＋ ＝－ × ＋－ ×－ ＝ 法二： － 法二：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2 ＋ ＝ － ＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18. － － ＋－ － ＝
三、向量数量积的性质 〈 ， 〉 1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝ |a|cos〈a，e〉． ．如果 是单位向量 是单位向量， ＝ ＝ ＝ 2．a⊥b⇒ a·b＝0 且a·b＝0⇒ a⊥b. ． ⊥ ⇒ ＝ ⇒ ⊥ 3．a·a＝ |a| ，|a|＝ a·a . ． ＝ ＝ 4．cos〈a，b〉＝ ． 〈 ， 〉 5．|a·b| ≤ |a||b|. ．
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．已知下列结论：①|a|2＝a2；②(a·b)2＝a2·b2；③(a－ ．已知下列结论： － b)2＝a2－2a·b＋b2；④若a2＝a·b，则a＝b，其中正确 ＋ ， ＝ ， 的个数有 A．1 ． C．3 ． 答案： 答案：B B．2 ． D．4 ． ( )
人教数学必修四2.4《平面向量的数量积》课件
2. 4 平面向量的数量积问题提出1.向量的模和夹角分别是什么概念? 当两个向量的夹角分别为0。
, 90° , 180°时，这两个向量的位置关系如何?2•任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律•由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.探究（一）：平面向量数量积的背景与含义如图，一个物体在力F的作用下产生位移s,且力F与位移s的夹角为0 ,F那么力F所做的功W是多少?。
W= | F | | s I cos0功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功” 称为向量F与s “数量积” •一般地，对工命零向量a与方的数量积是指什么？对于两个非零向量Q与方，设其夹角为e，把丨a I I b I cos 0叫做a与方的数量积（或内积），记作即那么a •方的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？0・a=0对于两个非零向量Q与方，其数量积0“何时为正数？何时为负数？何时为零？对于两个非零向 量a 与方，设箕夹角为0, 那么丨a I cos 0的几何意 义如何？ o对于两个非零向量a与方，设其夹 角为9 , I a I cos 0叫做向量a 在方方向 上的投影•那么该投影一定是正数吗？向 量方在a 方尙上的藏影是存么？不一定；|方| cosO.Z B a cos 0 A 】根据投影的概念，数量积a・b= | b I cosO的几何意义如何?数量积。
・方等于a的模与方在a方向上的投影丨I cos 0的乘积，或等于方的模与a在方方向上的投影| a | cos。
的乘积，探究（二）:平面向量数量积的运算性质设a 与方都是非零向量，若a丄方，贝妝力等于多少？反之成立吗？当a与方同向时，a•方等于什么？当a与方反向时，a•方等于什么？特别地，a・a等于什么？当a与方同向时，a・b= \ a \ \ b \ ；当a与方反向时，a・b = — | a \ I方I ；a*a=a2= \ a \ \ a \ =Ja^a .刊与肌是什么关系？为什么? 对于实数入，（加）•方有意义吗？它可以转化为哪些运算？I a ・b I与 系如何？为什b I 的大小关对于向量a, b 9 c, （a+“c 有意 义吗？它与a ・c+Zrc 相等吗？为什么？ A对于非零向量a, b, c 9 （a •方）・c 有意义吗？ （a-b ）-c 与a •（方・c ）相等吗？为 什么？(a 9b)9c^a 9(b 9c)对于非零向量a, b, c9若a・b=a・c,男B么方=c吗？思考9：对于向量a, b9等式@+方）2= 0+2a •方+方2和（a +方）（a —方）=0—方2是否成立？为什么？对于向量a, b9如何求它们的夹角0? 理论迁移a xb cosq = a\\b\例1已知丨a | =5, I b I =4, a与方的夹角为120。
高一数学必修四课件时向量的数量积
计算两向量的夹角
01
与平面几何类似，可以通过向量数量积计算两个空间向量的夹
积为零，则两向量垂直。
计算向量的投影
03
向量在另一个向量上的投影长度同样可以通过向量数量积求得
。
典型例题解析
01
02
03
04
例题1
已知向量a和b的坐标，求a和 b的夹角。
例题2
判断向量a和b是否垂直。
动量定理
动量定理描述了物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化，即$vec{I}=Delta vec{p}$ 。其中，冲量是力对时间的积累，可以表示为力向量与时间向量的数量积。
向量数量积在电磁学中应用
01 02 03
电场强度与电势差的关系
电场强度$vec{E}$与电势差$V$之间的关系可以通过向量 数量积表示为$V=-int_{a}^{b} vec{E} cdot d vec{l}$，其 中$d vec{l}$是位移向量。该公式描述了电场中两点间电 势差与电场强度的关系。
洛伦兹力与安培力的计算
洛伦兹力$vec{F}=qvec{v} times vec{B}$和安培力 $vec{F}=Ivec{l} times vec{B}$的计算中涉及到向量外积 ，但外积的结果仍然是一个向量，其大小可以通过向量数 量积来计算。
电磁感应中的感应电动势
感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，即$e=frac{d Phi}{dt}$。其中，磁通量是磁感应强度$vec{B}$与 面积向量$vec{S}$的数量积，即$Phi=vec{B} cdot vec{S}$。
示。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与向量$vec{b}$共 线的充要条件是存在唯一实数 $lambda$，使得$vec{a} = lambdavec{b}$。
高中数学必修4 8.平面向量数量积
授课内容 平面向量数量积教学内容知识梳理1.平面向量数量积的坐标表示若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+【例1】若()()()2,3,1,2,2,1a b c ==--=，求()()a b c a b c ⋅⋅⋅⋅与.【例2】若向量()()()1,1,2,5,3,a b c x ===满足条件()830a b c -⋅=，则x =_____2.两向量垂直的坐标表示设两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，则12120a b x x y y ⊥⇔+=【例3】已知()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合为____________【例4】若b a n b a m x b a -=+===2,2),1,(),2,1(，且n m ⊥，则=x （ ）A ．2B ．72 C.2-或72D. 21或27-练习1.在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-，(2,2)OB =，若90oABO ∠=，则实数t 的值为______3.三个重要公式（1）向量模公式：设()11,a x y =，则21a x =+（2）两点间距离公式：若()()1122,,,A x y B x y ，则(AB x =（3）向量的夹角公式：设两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，a 与b 的夹角为θ，则21cos x a b a bx θ⋅==+【例5】设向量),25sin ,25(cos ),55sin ,55(cos ︒︒=︒︒=b a 若t 是实数，则a tb -的最小值为（ ）22.A 21.B 1.C 2.D【例6】已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，且a b ≠，求a b +与a b -的夹角大小.练习1.已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A)(C) 0(D)【例7】已知三点()()()2,1,3,2,1,4A B C - (1)求证a b ⊥；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标及矩形ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值.【例7】已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，且()30ka b a kb k +=->（1）用k 表示数量积a b ⋅；（2）求a b ⋅的最小值，并求出此时向量a 与b 的夹角θ的大小.随堂巩固：1. 若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的最大值为______2. 已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，求b .3.已知()()()()0,0,2,0,0,2,cos ,sin ,0O A B C αααπ<< （1）若7OA OC +=，求OB 与OC 的夹角； （2）若AC BC ⊥，求tan α的值.专题精讲1.对于非零向量n m ,，定义运算“*”：θsin ||||n m n m ⋅=*，其中θ为n m ,的夹角，有两两不共线的三个向量c b a 、、，下列结论正确的是 （ ） A ．若c a b a *=*，则c b = B ．)(b a b a *-=* C ．)()(c b a c b a *=*D ．c b c a c b a *+*=*+)(2.若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯”为“向量积”，其长度cos a b a b θ⨯=⋅，若已知1,5,4,a b a b ==⋅=-则a b ⨯=___________.3.对于直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1）、 P 2（x 2，y 2），定义运算1211221212121(,)(,)(,)p p x y x y x x y y x y x y ⊗=⊗=-+，若M 是与原点相异的点，且(1,1)M N ⊗=则∠MON（ ）A ．34πB ．4πC ．2πD ．3π4.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q = 令a ⊙ .np mq b -=，下面说法错误的是 （ ）（A ）若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 （B ）a ⊙b=b ⊙a(C)对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b=λ（a ⊙b ） (D) （a ⊙b ）2+(a ·b )2=22a b5.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq mp =-．下面说法错误的是（A ）若a b 与共线，则0a b = （B ）ab b a =（C ）对任意的,R a a λλλ∈有（）b=(b) （D ）2222()()ab a b a b +⋅=一、向量在平面几何中的应用【例1】在正三角形ABC 中，D,E 分别是AB,BC 边上的一个三等分点，AB=3AD ，BC=3BE ，且AE,CD 交于点P ，求证：BP CD ⊥.随堂巩固：1.已知ABCD 边AB 的中点为E ，F 为AD 上的一点，且2AF FD =，BF 、CE 交于一点K ，求证：KC=3EK.二、向量在物理中的应用︒︒，【例2】在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30,60求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.。
平面向量的数量积及运算律
二、平面向量的数量积的几何意义是什么？
我们规定叫做向量在方向上的投影，当θ为锐角时，为正值；当θ为钝角时，
为负值；当θ=0°时，；当θ=90°时，=0；当θ=180°时，
。
由此我们得到的几何意义：数量积等于的长度 ||与 在方向上的投影的乘积。
例1．已知, 当(1) ; (2)
2．选A。由得
。
3．60°。∵， ∴
代入已知求解。
4．。，∴。
5．(1)-37-(2)提示：(1)
代入已知求解。
(2).
6．提示：设BE、CF交于H，设，只须证明即H在AD上。
由，
即得证。
解:由向量的数量积的定义，得a·b=.
∵ m=2a+b, n=a-4b,∴ m2=4a2+4ab+b2=4×4+4+1=21,
∴ n2=a2-8ab+16b2=4-8+16=12,∴ |m|, |n|=.
设m与n的夹角为θ，则m·n=|m||n|cosθ.....①
(5) 当θ=时，cosθ=-1, |b|cosθ=-|b|.由于当θ∈[0，]时，cosθ∈[-1,1],
所以|b|cosθ∈[-|b|,|b|],即|b|cosθ∈[-3,3],又因为，
因此，的最大值为8（此时θ=），最小值为（此时θ=0）.
例4、已知一个与水平方向夹角为30°的力,的大小为50N，拉着一个重80N的木块在摩擦系数m=0.02的水平面上运动了20米，求、摩擦做的功分别为多少？
典型题目:
例1．已知向量与的夹角为120°，且||=4, ||=2,
求(1) |+|； (2)|3-4|； (3) (-2)(+).
「高一数学(必修四)第六课时《平面向量的数量积和应用》」
高一数学(必修四）第六课时《平面向量的数量积和应用》★ 知识梳理 ★1.两个向量的夹角:对于非零向量a ，b ,作,OA a OB b ==,AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ=０时，a ,b 同向，当θ＝π时,a ，b 反向,当θ=2π时，a ，b 垂直。
2.平面向量的数量积:如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积）,记作：a •b 。
即()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤规定注意 3.b 在a 上的投影为||cos b θ,它是一个实数,但不一定大于０。
４．a •b 的几何意义:数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影||cos b θ的乘积。
5.向量数量积的性质:设两个非零向量a ，b ,其夹角为θ，则： (1)0a b a b ⊥⇔•=;(2）设a 和b 都是非零向量,则】①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-;22a a a a⋅==或a a a =⋅． ③a b a b ⋅≤（3)非零向量a ,b 夹角θ的计算公式：cos a b a b θ•=；（4）||||||a b a b •≤。
6、向量数量积的运算：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅; ③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.7、向量数量积的坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+.若(),a x y =,则222a x y =+，或22a x y =+. 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=. 设a 、b 都是非零向量,()11,a x y =，()22,b x y =,θ是a 与b 的夹角，则121cos x x y y a b a b x θ+⋅==+.。
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平面向量数量积
（一）主要知识：
1．平面向量数量积的概念；
2．平面向量数量积的性质：22||a a = 、
cos ,||||a b
a b a b ⋅<>=
； 3．向量垂直的充要条件：0a b a b ⊥⇔⋅=
．
（二）主要方法：
1．注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2．垂直的充要条件的应用；
3．当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性； 4．距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决． （三）平面向量的应用
一个是向量在几何中的应用，一个是向量在物理中应用。
（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题 ※相关链接※
1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式||||cos a b a b θ⋅=
来计算，二是利用
1212a b x x y y ⋅=+
来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运
算律的应用。
2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
2222
2222(1)||;
(2)||()2;(3)(,),||.
a a a a a
b a b a a b b a x y a x y ==⋅+=±=±⋅+==+
若则
〖例〗已知||3,||4,a b == ，a 与b 的夹角为34
π
，求：（1）(32)(2)a b a b -- ；（2）
||a b + 。
思路解析：利用平面向量数量积的定义及其运算律，可求出第（1）问；求||a b +
可先
求2
()a b + ，再开方。
解答：（1）32cos 34()6242a b a b π==⨯⨯-=- ，222
39,16.a b ===
∴(32)(2)a b a b --
=22384398(62)649148 2.a a b b -+=⨯-⨯-+=+ （2）22
22||()292(62)1625122a b a b a a b b +=+=++=+⨯-+=- ， ∴||25122a b +=-
（二）平面向量的垂直问题 ※相关链接※
1、非零向量121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=
2、当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b
用已知的不共线的向量表示。
注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。
〖例〗已知向量(cos(),sin()),(cos(),sin())22
a b ππ
θθθθ=--=-- ，（1）求证：a b ⊥ ;
（2）若存在不等于0的实数k 和t ，使2
(3),,x a t b y ka tb =++=-+ 满足x y ⊥ 试求此时2
k t t
+的最小值。
思路解析：（1）可通过求0a b ⋅= 证明a b ⊥
;
（2）由x y ⊥ 得0x y ⋅= ，即求出关于k ，t 的一个方程，从而求出2k t t
+的代数表达
式，消去一个量k ，得出关于t 的函数，从而求出最小值。
解
答
：
（
1
）
cos()cos()sin()sin()sin cos sin cos 0.
22
a b a b
ππ
θθθθθθθθ=--+--=-=⊥ （2）由
得：
，即
22232
22
3
22
33232222[(3)]()0,(3)[(3)]0
(3)0.1,1,30,3.3111
3().24
111
.
24
a t
b ka tb ka t t b t k t a b k a t t b a b k t t k t t k t t t t t t t t t k t t t ++-+=∴-+++-+=∴-++===∴-++=∴=-+++==++=+++=- 又故当时，有最小值 （三）平面向量的夹角问题 ※相关链接※
1、当a 与b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角。
需求得a b ⋅ 及,a b
或得出它们的关系。
2、若已知a 与b
的坐标，则可直接利用公式121222221
1
22
cos x x y y x y
x y
θ+=
++.
注：平面向量a 、b
的夹角
※例题解析※
〖例〗已知a 、b 都是非零向量，且a +3b 与75a b - 垂直，4a b - 与72a b -
垂直，
求a 与b
的夹角θ。
思路解析：把向量垂直转化为数量积为0→联立求a 与b
的关系→应用夹角公式求结
果。
解答：
2222
222
22(3)(75)0,(4)(72)0.
71615073080
2,112cos .602a b a b a b a b a a b b a a b b a b b a b b a b a b b
θθ+-=--=+-=-+===∴===∴=
由已知：即两式相减，得代入其中任一式，得，
（四）向量的综合应用
〖例1〗设ΔABC 的外心为O ，则圆O 为ΔABC 的外接圆，垂心为H 。
求证：
思路解析：本题的关键是探求的联系，利用向量的三角形
法则可得
下一步需确定
的关系，由条件O 为Δ
ABC 的外心，可延长BO 交圆于O 于点D ，连AD 、DC ，利用圆周角是直角的性质可证四边形ANCD 为平行四边形，从而
问题得以解决。
解答：延长BO 交圆O 于D 点，连AD 、DC ，则BD 为圆O 的直径，故∠BCD=∠BAD=900。
又∵AE ⊥BC ，DC ⊥BC 。
各AH//DC ，同理DA//CH 。
∴四边形ANCD 为平行四边形，∴。
又
∵
∴又
∵
∴
注：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O 为外心，H 为垂心，在本题中作用最大；另外，平面解析几何中的一些性质在解题中也有很大的用处。
〖例2〗已知力F 与水平方向的夹角为30°（斜向上），F 的大小为50N ，F
拉着一个重80N 的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20m ，问F
和摩擦力f 所做的功分别
是多少？(g=10 N/kg).
思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘积的物理含义，要先求出力F ，f
和位移
的夹角，然后应用数量积公式求解。
解答：设木块的位移为,s 则||||()⋅=⋅︒=⨯⨯=3
F s F s cos3050205003J 2
,，F 在
铅垂方向上分力大小为||||=1F F sin30°=50×1
2
=25(N).
||G =8×10=80(N)
∴摩擦力||f 的大小为(8025)0.02 1.1()f N =-⨯=
，
∴||||∴⋅=⋅︒f s f s cos180
=1.1×20×(-1)=-22(J).
∴F f 、所做的功分别是5003J 、22J 。
注：力在力的位移上所做的功，就是力与位移所对应两向量的数量积。
故在解决此类问题时可转化为数量积的运算，据题意构造平面图形，把已知、所求各量用向量的对应量表示出来。
然后结合向量的加减法及平面几何的知识求得向量的模及夹角，再利用数量积的运算公式求得力对物体所做的功。