16-1-2 简谐振动中的振幅 周期 频率和相位

自然
长度
平衡
b
位置
x0
证明： 静平衡时有： mg − kb = 0
以平衡位置为坐标原点，向下为Ｘ轴正向。
x
在任意位置 x 处，小球所受到的合外力为：
∑ F = mg − k(b + x) = −k x
可见小球作谐振动。
24
4
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
∑ F = mg − k(b + x) = −kx
由初始条件： 当 t = 0 时, x0 = −b, υ0 = 0
则 A=
x02
+
υ
2 0
ω2
= b,
ϕ
=
arctg⎜⎜⎝⎛
−
υ0 ω x0
⎟⎟⎠⎞
=
0
或
π
Q x0 = Acosϕ < 0 ,∴cosϕ < 0 ,∴ϕ = π
∴振动表达式为：x = b cos⎜⎜⎝⎛
g b
⋅
t
+
π
⎟⎟⎠⎞(
SI
)
或为：x
x = A cos 0 = A v = − Aω sin 0 = 0
x = A cos π / 2 = 0 v = − Aω sinπ / 2 = − Aω
正的最大位移， 速度为0的状态。
平衡位置，速度最大且 向 x 负向运动的状态。
初相位ϕ 是 t = 0时刻的相位，描述质点初始时刻的 运动状态。初相位由初始条件确定。
=
Acos(2πν
t
+ϕ)
T
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
三 相位（Phase）描述振动物体运动状态的物理量
x = A cos( ω t + ϕ ) v = − Aω sin(ωt + ϕ )
用相位来描述运动状 态，就可以区分位置和速
x
A
o − A vv
vv vv
T 2
x−t 图
第16章 机械振动
说明：
A=
x02
+
v02 ω2
tan ϕ = − v0 ωx0
（1）ϕ 的取值在 -π和 +π（或0和2π）之间；
（2）应用上面的式子求ϕ 时，一般来说有两个值，还
要由初始条件来判断应该取哪个值；
（3） 常用方法：由
A＝
x02
+
⎜⎛ ⎝
v0 ω
⎟⎞ 2 ⎠
然后由
x0 = Acosϕ，v0 = - Aωsinϕ 两者的共同部分求ϕ 。
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
说明： 1）简谐运动的基本特性是它的周期性； 2）周期、频率或圆频率均由振动系统本 身的性质所决定。
对于弹簧振子：
ω=
k, m
ν= 1 2π
k , T = 2π m
m k
简谐运动的表达式还可以写为:
x
=
Acos(ω
t
+ϕ)
=
2π Acos(
t
+ϕ)
π )
−A
2
vv
x
o
Tt
T 2
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
求解简谐运动的典型问题：
1）给出振动系统，证明物体的运动 是简谐运动。
2）已知物体作简谐运动，由系统的力学 性质及初始条件求出振动表达式；或 由振动曲线求出振动表达式。
3）已知振动表达式，求出：
A、ω、ϕ 及 υ、a、F 等
周期Τ：物体完成一次完全振动所用的时间。
x = Acos(ω t + ϕ ) = Acos[ω(t + T ) + ϕ ]
ωT = 2π
T
=
2π ω
频率 ν = 1 = ω T 2π
表示单位时间内物体 完成全振动的次数。
角频率 ω = 2π ν = 2π
表示 2π秒时间内物 体完成全振动的次数。
T （也称圆频率）
当x = - 0.06m时，由 x = A cos(ω t + ϕ )
可得
−0.06 = 0.12cos(π t − π ) ⇒ π t − π
3
3
=±π 3
+π
质点沿 x 负方向运动到 x = - 0.06m所需时间最短，即
v
=
−0.12π
sin(π
t
−
π 3
)
<
0
π t − π = − π + π ⇒ t = 1s
33
18
3
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
例：一立方体木块浮于静止的水中，其浸入水中的高 度为 a，现用手指将木块轻轻压下，使其浸入水中的 高度为 b ，然后放手，任其自由振动。 （1）试证明，若不计水的粘滞阻力，木块将作简谐 振动；（2）求其振动周期和振幅；（3）若自放手时
开始计时，写出振动方程。
m
3
16
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
于是运动学方程为 x = 0.12 cos(π t − π ) m
3
2）当 t = 0.5s 时，质点的位置、速度、加速度；
x = 0.12 cos(π t − π )
t = 0.5 0.104m
3
υ
=
dx
=
−0.12πsin(πt
−
π )
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
16.1.2 描述简谐振动的特征量
116.1.ຫໍສະໝຸດ 描述简谐振动的特征量第16章 机械振动
主要内容：
描述简谐振动的物理量：
振幅
周期 频率 角频率
位相和初位相
学习中的重点和难点：
位相（phase）
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
x = Acos(ω t + ϕ )
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x (cm)
4
o2
-2
1
-4
x−t 图
t (s)
∴ω + 2 π = ± π + 2π , （注意：这里不能等于 ± π ）
3
3
又由 υ1 = −ωAsin(ω +
∴sin(ω + 2 π ) < 0 , ∴ω
2π) > 0 ,
3 +
2π
=
5π
,
3
∴ω = π
3
33
振动表达式为：x = 4cos(π t + 2 π ) cm
t
=
0.5
-
0.19
(m/s)
dt
3
a = dυ = −0.12π2cos(πt − π ) t = 0.5 - 1.03 (m/s2)
dt
3
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
当t = 0时，x0= 0.06m，此时，质点沿 x 轴正向运动。
3）由初始时刻到 x = - 0.06m 处的最短时间。
a
o x
b
a
x 19
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
平 衡 位a 置
任 意 位o x 置
a
（设木块的截面积为Ｓ，水的 密度为ρ，木块的质量为m ） x
平衡时： mg = F浮 = ρ agS ∴ m = ρ a S
任意位置木块受到的合外力为：
∑ F = mg − F'浮 = a Sρ g − (a + x)Sρ g = − Sρ gx
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2
16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
例：一弹簧振子系统，弹簧的弹性系数为 k = 0.72N/m， 物体的质量为 m = 20 g。今将物体从平衡位置沿桌面向X 轴正向拉长到 0.04m 处静止释放，求：振动方程。
解：要求振动方程，只要确定 A、ω和ϕ 即可。
由题可知：k、m、x0、v0，代入公式可得：
( ϕ 取 [ −π → π] 或 [0 → 2π] )
初相位与时间零点的选择有关。
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16.1.2 描述简谐振动的特征量 x = Acos(ω t + ϕ )
第16章 机械振动
对于一个简谐振动，若振幅、周期和初相位 已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该 运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相 位叫做描述简谐运动的三个特征量。
x x−t图
一、 振幅（Amplitude） A
反映振动幅度的大小 o
Tt
T
−A
2
A = xmax
振幅Α：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
振幅的大小与振动系统的能量有关，由 系统的初始条件确定。
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
二 周期、频率（ Period 、 Frequency ）
求出A，
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16.1.2 描述简谐振动的特征量
第16章 机械振动
讨论 已知 t = 0, x0 = 0,υ 0 < 0，求 ϕ
x = A cos(ω t + ϕ )
0 = Acosϕ
ϕ=± π 2
Qυ0 = − Aω sinϕ < 0
x
A
∴ sin ϕ > 0 取 ϕ = π 2
o
x = Acos(ω t +
g a
⋅
t