高三入学联考数学试卷(理)及答案
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学(理)试题及参考答案
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学（理）试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若集合{}1|4,|1A x x B x x⎧⎫=<=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．(],1-∞B ．(]0,1 C.(),0(1,4)-∞ D ．()(],00,1-∞ 2.若复数z 是方程0222=+-x x 的一个根，则i z ⋅的虚部为（）A ．2B ．i2C ．iD ．13.袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0,1,2,3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023231021122203012231130133231031123122103233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（）A ．518B ．29C ．16D ．194.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23141540a a a a +++=，则16S =（）A ．150B ．160C ．170D ．与1a 和公差有关5.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的蒙日圆为C ：2223b y x =+，则椭圆Γ的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D 6.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤7.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥平面ABC ，E 为AD 的中点，且异面直线BE 与AC 所成角为60°，则点A 到平面BCE 的距离为（）A.3218 B.778C.7214 D.3748.若正项递增等比数列{}n a 满足：()R a a a a ∈=-+-+λλ,0214332,则54a a λ+的最小值为（）A.2B.2C.22 D.49.已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PB P A ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．010.长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是21，夏季来的概率是21，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择3处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（）A ．209B ．21C ．2011D ．5311.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线右支上一点，设12AF F α∠=，21AF F β∠=，若2tan 22tanαβ=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =±C ．3y x=±D ．4y x=±12.定义在R 上的函数)(x f 与)(x g 的导函数分别为)(x f '和)(x g '，满足0)2()(=-'-'x g x f ，()()2f x g x --=-，且)2(-x g 为奇函数，则=∑=20231)(k k f （）A ．4046-B ．4045-C ．4044- D.4043-二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.设向量b a,满足,1,1,3,===b a b a π则=+b a 3_______．14.设6cos()(π+=x x f ，若)()(21x f x f =且021<x x ，则12x x -取值范围为________.15.已知函数,)(x x e e x f --=所有满足()01)(=-+n f m f 的点()n m ,中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）16.若)(1,12*N n n n n n a ∈⎪⎭⎫⎝⎛+++∈时，关于x 的不等式0log >-xaa x 恒成立，则正整数n 的取值集合为__________.（参考数据： 2.718,ln 20.693,ln3 1.099e ≈≈≈）三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)17.在ABC ∆中，已知)C B A C B A sin sin sin 2sin sin sin 3222=-+．(1)求C ∠；(2)若D 是AB 边上的一点，且2,2==DA BD ，求ABC ∆面积的最大值．18.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB DC AD 21==，现将ADC ∆沿AC 翻折成直二面角P AC B --.（Ⅰ）证明：CB PA ⊥；（Ⅱ）若,4=AB 二面角B PA C --余弦值为721，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值.19.中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用。
2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析
2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f（x）=（x2﹣x）e x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0， e）B．（﹣，0] C．（ e，+∞）D．（﹣， e]参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=（x2﹣x）e x﹣m有三个零点，即：方程（x2﹣x）e x=m有三个根，令g（x）=（x2﹣x）e x，利用导数求出函数g（x）单调性，结合图象即可求解．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣x）e x﹣m有三个零点，即：方程（x2﹣x）e x=m有三个根，令g（x）=（x2﹣x）e x，∴g′（x）=e x（x2+x﹣）=0，∴x=1或x=﹣，∴当x∈（﹣∞，﹣）时，g（x）单调递增，当x∈（﹣，1）时，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递增；∴x=﹣时，g（x）max=g（﹣）=e，x=1时，g（x）min=g（1）=﹣e﹣1，结合图象可得m∈（0， e），故选：A【点评】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力，属于中档题，2. 已知正项数列为等比数列且的等差中项，若，则该数列的前5项的和为（）A． B．31 C． D．以上都不正确参考答案：B略3. 三个数之间的大小关系是（）。
A. B. C. D..参考答案：C4. 函数的图象大致是( )参考答案：A略5. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（）A．M∪N B．（?U M）∩N C．M∩（?U N）D．（?U M）∩（?U N）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据补集、交集的概念进行解答即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，∴?U M={0，1}，∴N∩（?U M）={0，1}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．6. 已知，则( )A. B. C.D.参考答案：B由题意知，.故选B.7. 若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量等于（）A．（-1，1） B．（1，-1）C．（1，1） D．（-1，-1）参考答案：C8. 已知函数的定义域为，对于任意实数都有且，当时，。
高三开学考数学试卷带答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √16B. πC. √-1D. √22. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x，则 2x - 3 + x 的值为（）A. 8B. 9C. 10D. 113. 函数 y = 3x - 2 在 x = 1 时的函数值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d，则第 10 项 an 的值为（）A. a1 + 9dB. a1 + 10dC. a1 + 11dD. a1 + 12d5. 在平面直角坐标系中，点 P(2, -3) 关于 y 轴的对称点坐标为（）A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (-2, 3)D. (2, -3)6. 若 a, b, c 是等差数列的连续三项，且 a + b + c = 18，则 b 的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 157. 下列命题中，正确的是（）A. 两个非零实数的乘积为负数，则这两个实数同号B. 若 a > b，则 -a < -bC. 若 a > b，则 a^2 > b^2D. 若 a > b，则 a^3 > b^38. 若函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 在 x = 2 时的导数为 f'(2)，则 f'(2) 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 若 sin A = 1/2，且 A 在第二象限，则 cos A 的值为（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/210. 在直角坐标系中，点 A(1, 2)，点 B(-3, 4)，则线段 AB 的长度为（）A. 2√10B. √10C. 2√5D. √5二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数 y = 2x + 1 的图像是一条斜率为 ________，截距为 ________ 的直线。
12. 若等差数列 {an} 的首项为 2，公差为 3，则第 5 项 an 的值为 ________。
2022届河南省高三下学期开学考试数学(理)试题解析
2022届河南省高三下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|210x A x =->，{}2|230B x x x =+-<，则A B ⋃=（ ）A ．()0,3B ．()3,-+∞C ．()0,1D ．()1,-+∞答案：B解不等式，求出集合,A B ，从而求出A B .解：由题意可得：{}|0A x x =>，{}|31B x x =-<<，则()3,A B =-+∞． 故选：B2．复数21i 3i 1i z -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：B根据给定条件结合复数除法运算计算即可作答.解：由题意可得222(1i)2i []3i=()3i 13i (1i)(1i)2z --=++=-++-， 则复数z 在复平面内对应的点()1,3Z -位于第二象限. 故选：B3．已知函数()22x xf x a bx -=+⋅+是偶函数，则（ ）A ．1a =-，0b =B ．1a =-，b ∈RC ．1a =，0b =D ．1a =，3b ∈R答案：C根据偶函数的定义，列出等式，即可求得答案.解：由题意可得()22x xf x a bx --=+⋅-,因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，即2222x x x x a bx a bx --+⋅+=+⋅-，即 (1)2(1)220x x a a bx --⋅+-⋅-= ， 所以(1)(22)20x x a bx ----= ， 由于x ∈R ,故10,0a b -== ， 所以1a =，0b =． 故选：C4．某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数据：等待时间（分钟）[)0,5[)5,10[)10,15[)15,20[]20,25人数 4 8 7 4 2 则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是（）A．0.19 B．0.24 C．0.38 D．0.76 答案：D根据表中的数据直接求解解：由题意可得顾客的等待时间少于15分钟的频率是487190.76 4874225++==++++．故选：D5．已知23sin sin35παα⎛⎫++=⎪⎝⎭，则cos3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．235B．235-C．25D．25-答案：C根据题意和两角和正弦公式化简得到2sin65πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，结合cos sin36ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解.解：因为23sin sin35παα⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以3323sin cos3sin2265πααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，所以2sin65πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2cos cos sin36265ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C.6．图1展示的是某电厂的冷却塔，其塔口的直径是塔身最窄处直径的2倍，且塔身最窄处到塔口的高度等于塔身最窄处的直径．已知该冷却塔的轴截面是中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一部分（图2），则该双曲线的离心率是（）A 7B21C．74D．73答案：B求出()2,2C a a ，代入到双曲线方程中，求出2234a b =，进而求出离心率.解：如图，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则2AB a =，4CD a =，()2,2C a a ，从而()()2222221aa ab -=，解得2234a b =，则该双曲线的离心率222113b e a =+=．故选：B7．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()1a f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()10f =，则()3f =（ ）A ．23 B ．43C ．2D ．3答案：B 令()af x t x+=，根据给定条件可得t 为常数，再由()f t 、(1)f 列式计算作答. 解：令()af x t x+=，即有()1=f t ，因函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，则t 为常数， 因此()a f x t x =-+，从而()()110a f t t t f a t ⎧=-+=⎪⎨⎪=-+=⎩，解得2a t ==，于是得()22f x x =-+，显然函数()f x 在()0,+∞上递增，所以()243233f =-+=.故选：B8．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC BB ==，E 是棱11C D 的中点，F 是对角线1A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是（ ） A 6B 5C 56D 35答案：C先作出辅助线，找到异面直线AE 与CF 所成角为CFH ∠，求出各边长，利用余弦定理求出答案. 解：如图，取1C E 的中点H ，连接HF ，CH ，延长HF 交AB 于点V ，由题意知：V 是AB 的四分之一点，所以EH ∥AV ，且EH =AV ，所以四边形AVHE 为平行四边形，所以FH AE ∥，则CFH ∠是异面直线AE 与CF 所成的角．设4AB =，则222144232CF =⨯++=，连接1AD ，则2212425AD =+=，从而20426AE =+=，所以126HF AE ==，2215CH =+=．在CFH △中，由余弦定理可得：96556cos 18236CFH +-∠==⨯⨯．故选：C9．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O 是某窗的平面图，O 为圆心，点A 在圆O 的圆周上，点P 是圆O 内部一点，若2OA =，且2OA AP ⋅=-，则OA OP +的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．9D ．16答案：A利用向量的线性运算，结合数量积2OA AP ⋅=-，可求得1cos OP AOP=∠，确定其取值范围，再根据OA OP +平方后的式子，即可求得答案.解：因为AP OP OA =-，所以()22OA AP OA OP OA OA OP OA ⋅=⋅-=⋅-=-， 所以2OA OP ⋅=，即cos 2OA OP AOP ⋅∠=，则1cos OP AOP=∠．因为点P 是圆O 内部一点，所以12cos OP AOP =<∠，所以1cos 12AOP <∠≤，则()22221289cos OA OPOA OA OP OP AOP+=+⋅+=+≥∠，当且仅当cos 1AOP ∠=时，等号成立，故OA OP +的最小值是3, 故选：A.10．已知点1,0A ，()6,0B ，若点A ，B 到直线l 的距离分别为1，3，则符合条件的直线l 的条数A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D利用圆与圆的位置关系可得正确的选项.解：由题意可知直线l 是圆()2211x y -+=与()2269x y -+=的公切线． 因为315AB +<=，所以这两个圆外离，所以它们有4条公切线． 故选：D.11．已知函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象与函数()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（ ） A ．2π,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．π,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．π0,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．2π0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭答案：D画出两函数图象，求出A 的纵坐标为2，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案.解：作出函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象，如图所示．由图可知2πAC ω=．取AC 的中点D ，连接BD ，则BD AC ⊥．因为ABC 是钝角三角形，所以π4ABD ∠>，则tan 1AD ABD BD∠=>，即AD BD>．由ππ2sin 2sin 36x x ωω⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ππ3π6x x k ωω-++=+，k ∈Z ，即7ππ12x k ω=+，k ∈Z ，则π7ππ2sin 2sin π23123y x k ω⎛⎫⎛⎫=-=+-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即A 的纵坐标为2，故22BD =．因为AD BD >，所以π22ω>，所以2π4ω<．故选：D12．已知函数()4e ln xf x k x x=-，当1x >时，不等式()1f x x ≥+恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．(],e -∞-B ．(],4-∞-C ．(2,e ⎤-∞-⎦D ．(],0-∞参变分离，构造函数()e 1xg x x =--，研究单调性，得到e 1x x ≥+，再构造()4ln h x x x =-，研究其单调性，得到()0h x =有解，进而得到4ln e 4ln 1x x x x -≥-+，求出结果.解：因为1x >，所以ln 0x >，则当1x >时，不等式()1f x x ≥+恒成立等价于4ln 4e 1e 1ln ln xx x x x x k x x -----≤=．设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-．当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减．则()()00g x g ≥=，即e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立．设()4ln h x x x =-，则()441x h x x x-'=-=．由()0h x '>，得4x >；由()0h x '<，得04x <<．则()h x 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增．因为()444ln 40h =-<，()44e e 160h =->，所以()0h x =有解，则4ln e 4ln 1x x x x -≥-+，当且仅当4ln 0x x -=时，等号成立，从而4ln e 14ln 114ln ln x x x x x x x x----+--≥=-，故4k ≤-．故选：B【点睛】参变分离是一种求解参数取值范围的重要方法，参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂. 二、填空题13．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若6A π=，4B π=，4a =，则b =________．答案：由正弦定理直接求解可得.解：由正弦定理可得sin sin a b A B =，则4sin 21sin 2a Bb A===．故答案为：14．在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任取一个数x2cos 2x x +<________．答案：23在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2cos 2x x +.2cos 2x x +<sin 26x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭解得3412k x k ππππ-<<+，k ∈Z , 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0,,1242x πππ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，2cos 2x x +x 所在范围的区间长度为 24()123ππππ+-=，则所求概率2332P ππ==.故答案为：2315．已知()10210012102x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则23410239a a a a +++⋅⋅⋅+=________．答案：1013先求出01024a =，再求出各项的系数和12101023a a a ++⋅⋅⋅+=-， 设函数()()10210012102f x x a a x a x a x =-=++++，对其求导后再求出121021010a a a ++⋅⋅⋅+=-，然后计算可得答案.解：令0x =，得10021024a ==,令1x =，得()1001210211a a a a ++++=-=，则12101023a a a ++⋅⋅⋅+=-①;设()()10210012102f x x a a x a x a x =-=++++， 则()()991210102210f x x a a x a x '=--=+++，令1x =，得()91210210102110a a a ++⋅⋅⋅+=-⨯-=-②． 由②-①，得21091013a a +⋅⋅⋅+=． 故答案为：101316．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD '△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．答案：128π先利用角平分线及63A B '=求出各边长，进而找到球心及球心在平面BCD 上的投影，利用半径相等列出方程，求出半径，进而求出外接球表面积. 解：过点A '作'⊥A E CD ，连接BE .设AC 2a =，则sin 603A E AC a '=⋅︒=，cos60CE AC a =⋅︒=，4BC a =．在BCE 中，由余弦定理可得()2221424132BE a a a a =+-⨯⨯=．因为平面A CD '⊥平面BCD ，交线为CD ，所以A E '⊥平面BCD ，因为BE ⊂平面BCD ，所以A E BE '⊥，则22313463A B a a a '+==，解得：33=a 从而33AC A C '==．在ABC 中，由余弦定理可得()()2213363233633212AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭因为CD 是∠ACB 的角平分线，所以60ACD BCD ∠=∠=︒，由正弦定理得：sin sin AC ADADC ACD =∠∠，sin sin BC BDBDC BCD=∠∠，而sin sin ACD BCD ∠=∠，所以21A D AD '==，221BD =．因为2222cos60AC CD AC CD AD +-⋅︒=，且2222cos 60CD BC CD BC BD +-⋅︒=，所以23CD =BCD △外接圆的圆心为O '，半径为r ，则272sin 60BDr ==︒，点O '到直线CD 的距离22152d r CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设三棱锥A BCD '-外接球的球心为O ，半径为R ，则()22222R OO r O E A E OO ''''=+=+-，即2222233928352R OO OO ⎛⎫''=+=++- ⎪⎝⎭⎝，解得：232R =，故三棱锥A BCD '-外接球的表面积是24π128πR =．【点睛】三棱锥的外接球问题，需要先找到球心在一个平面上的投影，即三角形的外心，进而利用半径相等列出等量关系，求出答案. 三、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若2na n nb a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：(1)21n a n =-； (2)2122323n n n T ++-=.(1)根据给定递推公式结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”求出等差数列{}n a 的公差计算作答. (2)利用(1)的结论求出n b ，再利用分组求和法计算作答. (1)因为141n n n S a a +=+，则当2n ≥时，1141n n n S a a --=+，即()114n n n n a a a a +-=-，而等差数列{}n a 公差0d ≠，即0n a =不恒成立，从而有114n n a a +--=，即24d =，解得2d =，当1n =时，11241S a a =+，即()111421a a a =++，有211210a a -+=，解得11a =，因此，()1 121n a a n d n =+-=-， 所以{}n a 的通项公式是：21n a n =-. (2)由(1)知，212221n a n n n b a n -=+=+-，则()()()()3521212325221n n T n -=++++++⋅⋅⋅++-()()3521222213521n n -=+++++++++-()()214121142n n n ⨯-+-=+-2122323n n ++-=. 18．某公司为合理地制定销售人员的激励方案，对该公司销售人员的月平均销售额（单位：万元）进行了记录，得到了大量的统计数据，根据统计数据，分成[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100，[]100,120这五组，得到的频率分布直方图如图所示．若月平均销售额在[)2060,内的销售员为“入门级销售员”，月平均销售额在[)60100,内的销售员为“精英级销售员”，月平均销售额在[]100,120内的销售员为“大神级销售员”．(1)估计该公司销售人员的月平均销售额的中位数；(2)用样本估计总体，将频率视为概率．现从该公司的销售人员中随机抽取2人，抽取的2人中是“大神级销售员”的奖励2000元，是“精英级销售员”的奖励1000元，是“入门级销售员”的没有奖励，记这2人奖励的总金额为X ，求X 的分布列和数学期望． 答案：(1)70(2)分布列见解析；期望为1600（1）根据中位数之前的矩形面积之和为0.5可得；（2）利用频率直方图计算可得分布列，然后由公式可得数学期望. (1)因为()0.00250.0125200.30.5+⨯=<，()0.00250.01250.0200200.70.5++⨯=>， 所以该公司销售人员的月平均销售额的中位数在[)60,80内．设该公司销售人员的月平均销售额的中位数为m ，则()0.3600.020.5m +-⨯=， 解得70=m ，即该公司销售人员的月平均销售额的中位数为70． (2)由频率分布直方图可知从该公司的销售人员中随机抽取1人，抽到“入门级销售员”的概率是()0.00250.0125200.3+⨯=，抽到“精英级销售员”的概率是()0.020.01200.6+⨯=，抽到“大神级销售员”的概率是0.1．由题意可知X 的所有取值为0，1000，2000，3000，4000．()200.30.09P X ===，()1210000.30.60.36P X C ==⨯⨯=，()21220000.60.30.10.42P X C ==+⨯⨯=，()1230000.60.10.12P X C ==⨯⨯=，()240000.10.01P X ===． 则X 的分布列为 X 0 1000 2000 3000 4000 P0.090.360.420.120.01故()00.0910000.3620000.4230000.1240000.011600E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面11AAC C ，四边形11AAC C 是正方形，四边形11ABB A 是矩形，D ，E 分别是1AC ，1A B 的中点．(1)证明：DE ∥平面ABC ．(2)若12AA AB =，求二面角1A DE A --的正弦值． 答案：(1)证明见解析 5（1）作出辅助线，证明线线平行，进而证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的正弦值. (1)证明：连接CD ．因为四边形11AAC C 是正方形，且D 是1AC 的中点，所以1A ，C ，D 三点共线，且D 为1A C 的中点．因为E 是1A B 的中点，所以∥DE BC ．因为BC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以DE ∥平面ABC ．(2)由题意易证：1A A ，11A B ，11A C 两两垂直，则以1A 为原点，以1A A ，11A B ，11AC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -． 设2AB =，则()10,0,0A ，()4,0,0A ，()2,0,2D ，()2,1,0E ， 从而()12,0,2A D =，()0,1,2DE =-，()2,0,2AD =-． 设平面ADE 的法向量为()111,,n x y z =，则111122020n AD x z n DE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得()1,2,1n =．设平面1A DE 的法向量为()222,,m x y z =，则1222222020m A D x z m DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21x =，得()1,2,1m =--．设二面角1A DE A --为θ，则42cos cos ,366n m n m n mθ⋅=〈〉===⨯， 故245sin 1cos 19θθ=-=-=1A DE A --520．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OMF 是以OF 为底边的等腰三角形，且OMF 的面积为22 (1)求抛物线C 的方程．(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由． 答案：(1)28y x = (2)直线PQ 过定点()6,0（1）先求出M 的坐标，再结合面积可求p 的值，从而得到抛物线方程.（2）设直线AB 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可求,P Q 的坐标，从而可求直线PQ 的方程，据此可求其所过的定点. (1)由题意可知2pOF =． 因为OMF 是以OF 为底边的等腰三角形，所以2,4p M p ⎛ ⎝⎭． 因为OMF 的面积为2221222222p p p ⨯==4p =．故抛物线C 的方程为28y x =． (2)由题意可知()2,0F ，直线AB 的斜率存在，且不为0． 设直线AB 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>，则128y y m +=，从而()21212484x x m y y m +=++=+．因为P 是弦AB 的中点，所以()242,4P m m +，同理可得2442,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．当21m ≠，即1m ≠±时，直线PQ 的斜率2224441422PQm m m k m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，则直线PQ 的方程为()224421m y m x m m -=---，即()()216m y m x -=-． 故直线PQ 过定点()6,0．当21m =，即1m =±时，直线PQ 的方程为6x =，且过点()6,0． 综上，直线PQ 过定点()6,0． 21．已知函数()ln 2f x x x x a =-+． (1)当0a <时，求()f x 的零点个数．(2)若32e 0a -≤<，证明：22653ln e 022x x x ax -++≥．答案：(1)有且仅有一个零点 (2)证明见解析（1）求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调区间和最小值，再利用零点存在性定理判断即可，（2）构造函数()22653ln e 22g x x x x ax =-++，求导后利用零点存在性定理可得存在唯一(23e ,e a x ⎤∈⎦，使得()0a g x '=，且判断出()()min a g x g x =，而()22633ln e 22a a a a g x x x x =-+，再构造函数，利用导数求出其最小值大于等于零即可 (1)由题意可知()f x 的定义域为()0,∞+，且()ln 1f x x '=-． 则当()0,e x ∈时，()0f x '<；当()e,+x ∈∞时，()0f x '>． 故()f x 在区间()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增． 因为0a <，所以()()min e e 0f x f a ==-+<．当(20,e x ⎤∈⎦时，ln 20x x x -≤，0a <，故()0f x <；当2e x >时，()()()2222e2e 2e e 10aa a a f a a a ----=--+=-->． 因为()f x 在()2e ,+∞上单调递增，所以当0a <时，()f x 有且仅有一个零点．(2)证明：设()22653ln e 22g x x x x ax =-++，则()()2ln 42ln 2g x x x x a x x x a '=-+=-+．由（1）知当)32e ,0a ⎡∈-⎣时，()g x '有且仅有一个零点．因为()2e 0g a '=<，()33e 2e 0g a '=+≥， 故存在唯一(23e ,e a x ⎤∈⎦，使得()0a g x '=．且当()0,a x x ∈时，()0g x '<；当(),a x x ∈+∞时，()0g x '>． 则()g x 在区间()0,a x 上单调递减，在(),a x +∞上单调递增．故()()226min 53ln e 22a a a a a g x g x x x x ax ==-++．因为()0a g x '=，即2ln 40a a a x x x a -+=，所以42ln a a a a x x x =-，所以()()2262265333ln 42ln e ln e 2222a a a a a a a a a a a g x x x x x x x x x x x =-+-+=-+，(23e ,e a x ⎤∈⎦． 设函数()223ln 2F x x x x =-，则()()21ln F x x x '=-， 显然()0F x '<在(23e ,e ⎤⎦上恒成立，则()F x 在(23e ,e ⎤⎦上单调递减，即()a g x 在(23e ,e ⎤⎦上单调递减，故()()3663633e e e ln e e 022a g x g ≥=-+=，即22653ln 022x x x ax e -++≥．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数()22653ln e 22g x x x x ax =-++，利用导数和零点存在性定理求得()()226min 3ln e 232a a a a g x g x x x x ==+-，然后再利用导数求出其最小值非负即可，考查数学转化思想，属于较难题22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是直线l 和曲线C 上的动点，求PQ 的最小值．答案：(1)0x y -+=，2214x y +=（1）消去参数t 后可得直线的普通方程，利用cos sinx y可得曲线C 的直角方程.（2）将曲线C 的方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式及辅助角公式可求PQ 的最小值． (1)由22x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），得0x y -+=，即直线l 的普通方程为0x y -+=．由2223sin 4ρρθ+=，得2222cos 4sin 4ρθρθ+=即2214x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．(2)将曲线C 的方程转化为参数方程，即2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则()2cos ,sin Q θθ．则点Q 到直线l 的距离d =，其中1tan 2ϕ=，因为()1cos 1θϕ-≤+≤，所以()θϕ++d ≤PQ d ≥，所以PQ ． 23．已知函数()214f x x x =-++． (1)求不等式()12f x ≤的解集； (2)若()1f x a x ≥+，求a 的取值范围． 答案：(1)[]5,3-； (2)(],3-∞.(1)把函数()f x 化成分段函数，再分段解不等式作答.(2)在1x ≠-时，分离参数借助绝对值三角不等式计算得解，再讨论1x =-作答. (1)因为()33,412145,42133,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，于是得不等式()12f x ≤等价于或142512x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩或，解得：54x -≤≤-，解142512x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩得：142x -<≤，解得：132x <≤，综上得：53x -≤≤，所以不等式()12f x ≤的解集为[]5,3-. (2)当10x +=，即1x =-时，60≥恒成立，则a ∈R ， 当10x +≠，即1x ≠-时，2143321111x x a x x x -++≤=-+++++恒成立．而3333212131111x x x x -++≥-++=++++，当且仅当33(2)(1)011x x -+≥++，即4x ≤-或12x ≥， 即当4x ≤-或12x ≥时，2141x x x -+++取最小值3，于是得3a ≤，综上，a 的取值范围是(],3-∞.。
安徽省2022-2022届高三联考试题数学(理)试卷(含答案)
高三年级联考数学(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2<5},B={x|1<x<4},则A∪B=A.{x|1<x<5}B.{x|-<x<4}C.{x|1<x<}D.{x|-5<x<4}2.若复数z=,则=A.3+2iB.-3+2iC.-3-2iD.3-2i3.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C的渐近线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±3x4.函数f(x)=的零点之和为A.-1B.1C.-2D.25.函数f(x)=cos(3x+)的单调递增区间为A.[+,+](k∈Z)B.[+,+](k∈Z)C.[-+,+](k∈Z)D.[-+,+](k∈Z)6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.24π-6B.8π-6C.24π+6D.8π+67.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=t e1+2e2(t<0),则A.的最大值为-B.的最小值为-2C.的最小值为-D.的最大值为-28.某图形由一个等腰直角三角形,一个矩形(矩形中的阴影部分为半圆),一个半圆组成,从该图内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为A.B.C.D.9.已知不等式组表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y的最小值为A.2+3B.1+3C.2+D.1+10.若函数f(x)=a·()x(≤x≤1)的值域是函数g(x)=(x∈R)的值域的子集,则正数a的取值范围为A.(0,2]B.(0,1]C.(0,2]D.(0,]11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知10sin A-5sin C=2,cos B=,则=A.B.C.D.12.在正方形BCDF中,A,E分别为边BF与DF上一点,且AF=EF=1,AB=2,将三角形AFE沿AE折起,使得平面AEF⊥平面ABCDE(如图所示).点M,N分别在线段DE,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD 向上翻折,D与F恰好重合,则线段BM的长为A.B.4 C.D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知tan(α+)=6,则tanα=.14.若(a+)5的展开式中的系数为1,则|a|=.15.斜率为k(k<0)的直线l过点F(0,1),且与曲线y=x2(x≥0)及直线y=-1分别交于A,B两点,若|FB|=6|F A|,则k=.16.若曲线y=x3-ax2存在平行于直线y=-3x+1的切线,则a的取值范围为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{a n}满足-=1,且a1=1.(1)证明:数列{+1}为等比数列.(2)求数列{+2n}的前n项和S n.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=2,AC=AA1=2BC=4,且D为线段AB的中点.(1)证明:BC⊥A1D.(2)求平面A1CD与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值.19.(12分)某大型工厂有5台大型机器,在1个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修,就能使该厂获得10万元的利润,否则将亏损3万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资.(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修,则称工厂能正常运行.若该厂只有2名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;(2)已知该厂现有4名维修工人.(ⅰ)记该厂每月获利为X万元,求X的分布列与数学期望;(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘1名维修工人?20.(12分)已知P(2,3)是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且a=2b.(1)证明:|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列.(2)直线l与PF1垂直,且与椭圆C相交于A,B两点,l与线段F1F2有公共点,若四边形AF1BF2的面积为,求l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e2x-3-2x.(1)求f(x)的单调区间与最小值.(2)是否存在实数x,y,使得f(x)+2x≤(x+y+1)(x-y-2)(x>)?若存在,求x,y的值;若不存在,请说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)求l和C的普通方程;(2)将l向左平移m(m>0)个单位长度后,得到直线l',若圆C上只有一个点到l'的距离为1,求m.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=|x-a|+|x-4|(a≠0).(1)当a=1时,求不等式f(x)<x的解集;(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围.数学参考答案(理科)1.B∵A={x|-<x<},∴A∪B={x|-<x<4}.2.D z===3+2i,=3-2i.3.C因为2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以C的渐近线方程为y=±x.4.A函数f(x)=的零点为log62,-log612,故零点之和为log62-log612=-log66=-1.5.A因为f(x)=-sin3x,所以只要求y=sin3x的递减区间.令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).6.B由三视图可知该几何体是在一个圆锥中挖掉一个长方体得到的,其中圆锥的底面圆的半径为2,高为6,挖掉的长方体的底面是边长为的正方形,高为3.故该几何体的体积为π×22×6-2×3=8π-6.7.A因为t<0,所以====-=-,当=-,即t=-4时,取得最大值,且最大值为-.8.C设矩形的长为2a,则宽为a,所以该图形的面积为a×2a+×2a×2a+π×(a)2=(4+π)a2,阴影部分的面积为×2a×2a+π×a2=(2+)a2,故该点取自阴影部分的概率为P==.9.D依题意可得k=,作出不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=x+3y经过点(1,)时,z取得最小值1+.10.A令y=g(x),则(y-1)x2+yx+y+1=0,当y=1时,x=-2;当y≠1时,Δ=y2-4(y-1)(y+1)≥0,则y2≤.所以g(x)的值域为[-,].因为a>0,所以f(x)的值域为[,],从而0<≤,则0<a≤2.11.C∵cos B=,∴sin B=.又10sin A-5sin C=2,∴2sin A-sin C=sin B,由正弦定理,得2a-c=b,由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×,整理得5a=6c,即=.12.D取AE的中点H,连接FH,∵AF=EF,∴FH⊥AE,又平面AEF⊥平面ABCDE,∴FH⊥平面ABCDE.如图,以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz,则D(3,3,0),F(,,).设EM=x(0<x<2),则M(1+x,3,0).∵翻折后D与F重合,∴DM=FM,则(x-2)2=(x+)2+()2+,解得x=,从而,=(,3,0),||=.13.设tanα=x,则=6,解得x=.14.因为(a+)5的展开式中的项为a2()3=,所以10a2=1,则|a|=.15.-易知曲线y=x2(x≥0)是抛物线C:x2=4y的右半部分,如图,其焦点为F(0,1),准线为y=-1.过A作AH⊥准线,垂足为H,则|AH|=|AF|,因为|FB|=6|F A|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直线l的斜率为-.16.(-∞,-3]∪(3,+∞)设平行于直线y=-3x+1的切线的切点为(m,m3-am2),∵y'=3x2-2ax,∴3m2-2am=-3,Δ=4a2-36≥0,解得a∈(-∞,-3]∪[3,+∞).若切点在直线y=-3x+1上,则m3-am2=-3m+1,又3m2-2am=-3,从而m3-3m+2=(m-1)2(m+2)=0,解得m=1或m=-2.当m=1时,a=3,此时方程3m2-6m+3=0有两个相等的实根,曲线y=x3-ax2不存在平行于直线y=-3x+1的切线;当m=-2时,a=-,此时方程2m2+5m+2=0有两个不等的实根,曲线y=x3-ax2仅存在一条平行于直线y=-3x+1的切线.综上,a的取值范围为(-∞,-3]∪(3,+∞).17.(1)证明:因为-=1,所以+1=2(+1), ...................................................................................................................................................... 2分又+1=2, ............................................................................................................................................................................. 3分所以数列{+1}为等比数列,且首项为2,公比为2. ............................................................................................................ 4分(2)解:由(1)知+1=2n,.......................................................................................................................................................... 6分所以+2n=2n+2n-1............................................................................................................................................................. 7分所以S n=+=2n+1+n2-2............................................................................................................ 12分18.(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC. ....................................................................................................................................................................... 1分因为AB=2,AC=2BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB........................................................................................................................................ 3分因为AB∩AA1=A,所以BC⊥平面ABB1A1............................................................................................................................. 4分又A1D⊂平面ABB1A1,所以BC⊥A1D. .................................................................................................................................. 5分(2)解:以B为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示,则C(0,0,2),D(,0,0),A1(2,4,0)........................................................................................................................................ 6分设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),则 .................................................................................................................................... 8分令x=4,则n=(4,-,2)...................................................................................................................................................... 9分易知平面BCC1B1的一个法向量为m=(1,0,0),.................................................................................................................... 10分则cos<m,n>==................................................................................................................................................. 11分故所求锐二面角的余弦值为.................................................................................................................................... 12分19.解:(1)因为该厂只有2名维修工人,所以要使工厂正常运行,最多只能出现2台大型机器出现故障,........................................................................................ 1分故该工厂能正常运行的概率为(1-)5+××(1-)4+()2(1-)3=. ........................................................................... 4分(2)(ⅰ)X的可能取值为31,44, ............................................................................................................................................... 6分P(X=31)=()5=,................................................................................................................................................................ 7分P(X=44)=1-=,.............................................................................................................................................................. 8分则X的分布列为X3144P9分故EX=31×+44×=. ........................................................................................................................................ 10分(ⅱ)若该厂有5名维修工人,则该厂获利的数学期望为5×10-1.5×5=42.5万元, ............................................................ 11分因为>42.5,所以该厂不应再招聘1名维修工人...................................................................................................... 12分20.(1)证明:依题意可得,解得,...................................................................................................... 2分则c2=4,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),.................................................................................................................................................. 3分从而|PF2|=3,|F1F2|=4,|PF1|=5, ............................................................................................................................................. 4分故|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列............................................................................................................................................. 5分(2)解:因为直线PF1的斜率为,所以可设l的方程为x=-y+m. ....................................................................................... 6分将l的方程代入+=1消去x,得y2-my+3m2-48=0,.............................................................................................. 7分设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=, ........................................................................................................ 8分则|y1-y2|==,........................................................................................................ 9分所以四边形AF1BF2的面积S=|F1F2|·|y1-y2|==,.............................................................. 10分解得m=0, ............................................................................................................................................................................. 11分故l的方程为x=-y,即4x+3y=0........................................................................................................................................ 12分21.解:(1)f'(x)=2e2x-3-2, ............................................................................................................................................................ 1分令f'(x)=0,得x=; .................................................................................................................................................................. 2分令f'(x)<0,得x<;令f'(x)>0,得x>. .................................................................................................................................... 3分故f(x)的单调递减区间为(-∞,),单调递增区间为(,+∞), .................................................................................................. 4分从而f(x)min=f()=-2............................................................................................................................................................... 5分(2)易证mn≤()2,则(x+y+1)(x-y-2)≤()2=,当且仅当x+y+1=x-y-2,即y=-时,取等号........................................................................................................................... 7分f(x)+2x=e2x-3,则e2x-3≤,.......................................................................................................................................... 8分令t=2x-1(t>0),则e t-2≤t2,即t-2≤2ln t-2ln2. .......................................................................................................................... 9分设g(t)=t-2-(2ln t-2ln2)(t>0),则g'(t)=,当0<t<2时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t>2时,g'(t)>0,g(t)单调递增. ................................................................................... 10分故g(t)min=g(2)=0,则g(t)≥0,又t-2≤2ln t-2ln2,即g(t)≤0,从而g(t)=0,即t=2................................................................................................................................................................ 11分综上,x=,y=-..................................................................................................................................................................... 12分22.解:(1)由题意可得|a|=1, .................................................................................................................................................... 1分故l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数),消去参数t,得l的普通方程为3x-4y-7=0, ............................................................................................................................ 3分消去参数θ,得C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1.................................................................................................................. 5分(2)l'的方程为y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0,..................................................................................................................... 6分因为圆C只有一个点到l'的距离为1,圆C的半径为1,所以C(1,-2)到l'的距离为2, ................................................................................................................................................. 8分即=2,解得m=2(m=-<0舍去). .................................................................................................... 10分23.解:(1)当a=1时,f(x)=, .............................................................................................................................. 3分故不等式f(x)<x的解集为(3,5). ............................................................................................................................................ 5分(2)∵f(x)=|x-a|+|x-4|≥|(x-a)-(x-4)|=|a-4|, .............................................................................................................................. 6分∴|a-4|≥-1=,................................................................................................................................................................ 7分当a<0或a≥4时,不等式显然成立; ...................................................................................................................................... 8分当0<a<4时,≤1,则1≤a<4................................................................................................................................................... 9分故a的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞). ..................................................................................................................................... 10分。
2022-2023学年高三上学期开学考试数学(理)试题含答案
（2）求学生甲答对的题数 的分布列和数学期望.
19.在四棱锥 中，点 是棱 上一点， ， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
20.已知椭圆C： 的右顶点是M（2，0），离心率为 ．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 的内角 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 的周长.
18.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为 ，答对每道冬奥知识题的概率为 ，每题答对与否不影响后续答题.
【答案】
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
C.D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等
高三联考数学(理科)试题及答案(2021届)含答案
1oy x12高三联考数学(理科)试题及答案（2021届）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分；第Ⅱ卷为9-21题，共110分.全卷满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题纸上．2． 第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上． 3．考试结束后，监考员将答题纸收回． 第Ⅰ卷 （本卷共计40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．函数1()(1)f x x x=>的值域是（ ）A.()()∞+∞-，，00 B. R C. ),1(+∞ D. )1,0( 2．巳知全集U R =，i 是虚数单位，集合M Z =（整数集）和221(1){,,,}i N i i i i+=的关系韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ． ３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 3．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数(),0(),0.f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =对应的图象如右图所示，则()g x ＝（ ）A.2xB.12()log x - C. 2log ()x - D.2log ()x --5．函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则cos 2a b+=, C.1-, D.1. 6．ABC △内有一点O ,满足0OA OB OC ++=,且OA OB OB OC ⋅=⋅．则ABC △一定是 A ． 钝角三角形 B ． 直角三角形C ． 等边三角形D ． 等腰三角形7． 甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到08年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂08年6月份的月产值大小，则有（ ） A ． 甲的产值小于乙的产值 B ． 甲的产值等于乙的产值C ． 甲的产值大于乙的产值D ．不能确定8．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆时针），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ，则m 的象就是n ，记作f m n .则下列说法中正确命题的是（ ）A.114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； B.()f x 是奇函数；C.()f x 在定义域上单调递增；D.()f x 的图象关于y 轴对称．M B A 图1图2图3数 学 (理科)答案第Ⅱ卷 （本卷共计110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题）9.在等比数列{}n a 中，若1232a a a =，23416a a a =, 则公比q =10. 对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则02sin xdx π⊗⎰=______.11．△ABC 的三边长分别为7,5,6AB BC CA ===，则AB BC ⋅的值为________. 12．已知不等式|2||1|-++x x ≥m 的解集是R ，则实数m 的取值范围是__________. 13．已知一系列函数有如下性质：函数1y x x =+在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数； 函数2y x x =+在2]上是减函数，在2,)+∞上是增函数；函数3y x x=+在3]上是减函数，在3,)+∞上是增函数；………………利用上述所提供的信息解决问题：若函数3(0)my x x x=+>的值域是[6,)+∞，则实数m 的值是___________.（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线121x ty t =-+⎧⎨=--⎩ （t 为参数）被曲线 13cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，R θ∈）所截，则截得的弦的长度是____________. 15. （几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点。
高三入学联考理科数学
或演算步骤 .）
17．（ 12 分）在 △ABC 中 ,
角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ,
已知 bcosC c cosB asin A ,
边 BC 上的高为 h .
（ 1）求角 A 的大小；
（ 2）求 a tan B 的最小值 . h
===================== 第 3页=====================
2mln( x+1)+1( m 为常数 ) .
x+1
（ 1）若 y f ( x) 在 x 1 处的切线与直线 4 x 5y 2017 0垂直 ,
数 y f ( x) 的极值；
（ 2）若对任意实数 t ( 1, ) ,
不等式 f ( t)≤t +1恒成立 ,
m 的取值范围 .
求函 求实数
===================== 第 7页=====================
4
31 C． [ , ]
44
9．运行如下框图对应的程序 ,
输出的结果为 ( )
3 D ． [ ,0]
4
1 A．
27 10．已知 f ( x)
则
1 B．
9 3sin x cosx ,
1 C．
3 且对任意实数
D ．1
x 都有 f (x)≤ | f ( ) | ,
tan(
) ()
12
3 A．
3
B． 3
C． 2 3
lg x 1 x≥1
,
2x
x1
则 f ( f ( log 210))
. x y 2≤ 0
14．已知不等式组 x y 2≥ 0 表示的平面区域为 , y≥ 2
高三开学考数学试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √2B. -√3C. √4D. √92. 已知函数f(x) = x² - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 53. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. √3/44. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = 1/xB. y = √(x-1)C. y = |x|D. y = √(x²+1)5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 3，公差d = 2，则S10的值为（）A. 105B. 110C. 115D. 1206. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)² = a² + 2ab + b²B. (a-b)² = a² - 2ab + b²C. (a+b)(a-b) = a² - b²D. (a-b)(a+b) = a² + b²8. 若直线y = kx + b与圆x² + y² = 4相切，则k² + b²的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = x² + 110. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，公比q = 2，则S5的值为（）A. 31B. 32C. 33D. 34二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为______。
12. 在△ABC中，若∠A = 90°，∠B = 30°，则cosC的值为______。
最新高三(上)联考数学试卷(理 科)附带参考答案
最新高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12道题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确选项）1. 已知集合A={x|x(x−4)≤0}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=()A.{0, 1, 2}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{0, 1, 2, 3}2. 在复平面内，复数i⋅(1−i)对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设a=log23，b=log132，c=0.42，则a，b，c的大小关系是（）A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k=()A.5B.3C.6D.45. 设α为平面，m，n为两条直线，若m⊥α，则“m⊥n”是“n⊂α”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6. 若x，y满足约束条件{y≥1y≤2x−1x+y≤5，则z＝3x−y的最大值为（）A.2 B.3 C.11 D.137. 函数y ＝sin x +√3cos x 的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f(x)的图象，则下列说法不正确的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期2π B.函数f(x)的图象关于直线x ＝5π6对称C.函数f(x)的图象关于(π3，0)对称中心 D.函数f(x)在[5π6，11π6]上递增8. 在区间[−2, 2]上随机取一个数x ，则事件“y ={2x (x ≤0)x +1(x >0) ，且y ∈[12,2]”发生的概率为（ ） A.12 B.38C.58D.789. △ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若√3sin C =sin A +sin B ，cos C =35，且S △ABC =4，则c =( ) A.4√63B.4C.2√63D.510. 已知定义域为R 的函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，f(x +2)=−f(x)，且当0<x ≤1时，f(x)=2x 3−log 5x ，则f(47)=( ) A.−1 B.−2 C.0 D.111. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∠BAC ＝2π3，AA 1＝4，AB ＝AC ＝2√3，则三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的表面积为（ ） A.32π B.48π C.64π D.72π12. 已知双曲线E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ．点P 在E 的渐近线上，PF 1→⋅PF 2→=0，∠MPN =π3，则E 的离心率为（ ） A.√153B.√213C.53D.√13二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知AB →=(2,3)，AC →=(−1,m)，若AB →⊥BC →，则实数m 的值为________．如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为3+√2，则a 的值为________．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为________．设f(x)，g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)−f(x)g ′(x)<0，且f(−2)=0，则不等式f(x)g(x)>0的解集为________．一、必考题：共60分已知向量a →=(√3sin x, cos x)，b →=(cos x, cos x)，函数f(x)=2a →⋅b →−1． (1)求f(x)的最小正周期；(2)当x ∈[π6，π2]时，若f(x)=1，求x 的值．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制）的茎叶图如下：（1）写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望如图甲，将直角边长为√2的等腰直角三角形ABC ，沿斜边上的高AD 翻折．如图乙，使二面角B −AD −C 的大小为π3，翻折后BC 的中点为M ．（1）求证：BC ⊥平面ADM ；（2）求二面角D −AB −C 的余弦值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√63，且经过点A(√32, √32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，且满足OM →+ON →＝λOA →，求△MON 面积最大时直线l 的方程．已知函数f(x)＝e x −ax −3(a ∈R)．(Ⅰ)若函数f(x)在（1, f(1)）处的切线与直线x −y ＝0平行，求实数a 的值；(Ⅰ)当a ＝2，k 为整数，且当x >1时，(x −k)f′(x)+2x +1>0，求k 的最大值． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√5+√22t（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝2√5sin θ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为(3, √5)，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−m|+|2x−1|，x∈R．（1）当m＝1时，解不等式f(x)<2；（2）若不等式f(x)<3−x对任意的x∈[0, 1]恒成立，求实数m的取值范围．选做题已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=a n+2a n，求数列{b n}的前n项和T n．参考答案与试题解析最新高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12道题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确选项）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】Ⅰ A={x|0≤x≤4}，B={0, 1, 2}，Ⅰ A∩B={0, 1, 2}．2.【答案】A【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的基本概念【解析】由于i⋅(1−i)＝1+i，故复数i⋅(1−i)对应的点的坐标为(1, 1)，从而得到答案．【解答】Ⅰ i⋅(1−i)＝1+i，Ⅰ 复数i⋅(1−i)对应的点的坐标为(1, 1)，显然位于第一象限，3.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】因为a=log23>1，b=log132<0，c=0.42=0.16，则b<c<a．4.【答案】A【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得k=1，S=6；S=5，k=2；不满足条件S<0，执行循环体，S=3，k=3；不满足条件S<0，执行循环体，S=0，k=4；不满足条件S<0，执行循环体，S=−4，k=5；此时，满足条件S<0，退出循环，输出k的值为5．5.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定结合充分必要条件的判定得答案．【解答】在m⊥α的前提下，由m⊥n，不一定得到n⊂α，有可能n // α；反之，在m⊥α的前提下，由n⊂α，一定有m⊥n．Ⅰ 若m⊥α，则“m⊥n”是“n⊂α”的必要不充分条件．6.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】作出满足不等式组的可行域，由z＝3x−y可得y＝3x−z可得−z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可求z的最大值．【解答】作出x，y满足约束条件{y≥1y≤2x−1x+y≤5的可行域，如图所示的阴影部分，如图：由z＝3x−y可得y＝3x−z可得−z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，{y=1x+y=5解得A(4, 1)，作直线L:3x−y＝0，可知把直线平移到A(4, 1)时，z最大，故z max＝11．7.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】把函数y＝sin x+√3cos x=2sin(x+π3)的图象向右平移2π3个单位长度，得到函数f(x)=2sin(x−π3)的图象，显然，f(x)的周期为2π，故A正确；当x=5π6时，f(x)=2，为最大值，故f(x)的图象关于直线x＝5π6对称，故B正确；当x=π3时，f(x)=0，故f(x)的图象关于点(π3, 0)对称，故C正确；在[5π6，11π6]上，x−π3∈[π2, 3π2]上，f(x)单调递减，故D错误，8.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据已知条件，求事件“y={2x(x≤0)x+1(x>0)，且y∈[12,2]”发生时x的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】事件“y={2x(x≤0)x+1(x>0)，且y∈[12,2]”由题可知，该分段函数是一个增函数，y∈[12,2]，此时x∈[−1, 1]，所以该事件发生的概率P=1−(−1)2−(−2)=12．9.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由已知及正弦定理可得：√3c=a+b，利用同角三角函数基本关系式可得sin C，利用三角形面积公式可求ab=10，由余弦定理即可解得c的值．【解答】Ⅰ √3sin C=sin A+sin B，cos C=35，Ⅰ 由正弦定理可得：√3c=a+b，可得sin C=√1−cos2C=45，Ⅰ S△ABC=12ab sin C=12×45×ab=4，解得：ab=10，Ⅰ 由余弦定理可得：c=√a2+b2−2ab cos C=√(a+b)2−2ab−2ab⋅35=√3c2−32，解得：c=4．10.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】根据题意，分析可得f(x+4)=f[−(x+2)]=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可得f(47)=f(−1)=−f(1)，结合函数的解析式计算可得答案．【解答】根据题意，已知定义域为R的函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，f(x+2)=−f(x)，则有f(x+2)=f(−x)，则有f(x+4)=f[−(x+2)]=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，f(47)=f(−1+4×12)=f(−1)=−f(1)，当0<x≤1时，f(x)=2x3−log5x，则f(1)=2，则f(47)=−f(1)=−2，故选：B．11.【答案】C【考点】球的表面积和体积球内接多面体柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】由已知求出底面ABC的外接圆的半径，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的表面积．【解答】，AA1=4，由题意可知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2√3，∠BAC=2π3＝2√3，底面三角形ABC的外接圆半径为2√32sinπ6连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：√(2√3)2+22＝4．Ⅰ 三棱柱的外接球的表面积为S =4π×42=64π． 12.【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】先由点P 在E 的渐近线上，PF 1→⋅PF 2→=0⇒P(a, b)，再由∠MPN =π3得到a 与b 的关系式，进而求得离心率． 【解答】不妨设P 是渐近线在第一象限上的点，因为PF 1→⋅PF 2→=0，所以∠F 1PF 2＝90∘，|PO|＝|OF 2|＝c ，又P 在渐近线y =ba x 上，所以可得P 点的坐标是(a, b)，所以PN ⊥F 1F 2．在直角三角形PNM 中，∠MPN =π3，所以|MN|=√3|PN|，即2a =√3b ，ba=√3，所以e =√1+b 2a 2=√1+43=√213．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】 5【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m 的值． 【解答】Ⅰ 已知AB →=(2,3)，AC →=(−1,m)，Ⅰ BC →=AC →−AB →=(−3, m −3)． 若AB →⊥BC →，Ⅰ AB →⋅BC →=(2, 3)⋅(−3, m −3)＝−6+3(m −3)＝0， 则实数m ＝5， 【答案】13【考点】由三视图求体积 【解析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用表面积公式的应用求出a 的值． 【解答】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱体． 如图所示：所以S ＝2×12⋅(3a)2+2×(3a)2+3a ⋅3√2a =3+√2，解得a =13．故a ＝13． 故答案为：13【答案】 15.5尺 【考点】等差数列的通项公式 【解析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长． 【解答】Ⅰ 从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{a n }，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺， Ⅰ {a 1+a 4+a 7=3a 1+9d =37.5a 12=a 1+11d =4.5 ，解得d ＝−1，a 1＝15.5．Ⅰ 冬至的日影子长为15.5尺． 【答案】(−∞, −2)∪(0, 2) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】构造函数 ℎ(x)=f(x)g(x)，由已知可得 x <0时，ℎ′(x)<0，从而可得函数ℎ(x)在(−∞, 0)单调递减，又由已知可得函数 ℎ(x)为奇函数，故可得 ℎ(0)=ℎ(−2)=ℎ(2)=0，且在(0, +∞)单调递减，结合图象可求． 【解答】 如图示：，Ⅰ f(x)和g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， Ⅰ f(−x)=−f(x) g(−x)=g(x)，Ⅰ 当x <0时，f′(x)g(x)−f(x)g′(x)<0， 当x <0时，[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g 2(x)<0，令ℎ(x)=f(x)g(x)，则ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递减，Ⅰ ℎ(−x)=f(−x)g(−x)=−ℎ(x)，Ⅰ ℎ(x)为奇函数，根据奇函数的性质可得函数ℎ(x)在(0, +∞)单调递减，且ℎ(0)=0， Ⅰ f(−2)=−f(2)=0，Ⅰ ℎ(−2)=−ℎ(2)=0， ℎ(x)>0的范围为(−∞, −2)∪(0, 2)， 一、必考题：共60分 【答案】解：(1)f(x)=2√3sin x cos x +2cos 2x −1 =√3sin 2x +cos 2x =2sin (2x +π6)．Ⅰ f(x)的最小正周期是π． (2)由f(x)=1，得sin (2x +π6)=12．Ⅰ x ∈[π6，π2]， Ⅰ 2x +π6∈[π2,7π6],Ⅰ 2x +π6=5π6，Ⅰ x =π3．【考点】平面向量数量积的运算三角函数的周期性及其求法 函数的求值【解析】（1）利用向量的数量积定义表示出函数再利用三角函数的周期公式求得．（2）据已知列出三角方程，注意解三角方程必须先求出角的范围再求出特殊角．【解答】解：(1)f(x)=2√3sin x cos x+2cos2x−1=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)．Ⅰ f(x)的最小正周期是π．(2)由f(x)=1，得sin(2x+π6)=12．Ⅰ x∈[π6，π2]，Ⅰ 2x+π6∈[π2,7π6],Ⅰ 2x+π6=5π6，Ⅰ x=π3．【答案】由茎叶图得：中位数为76，测试成绩在70分以上的频率为：812=23，Ⅰ 测试成绩在70分以上的约为：3000×23=2000人．由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)＝C40C44C84＝170，P(ξ＝1)＝C41C43C84＝1670＝835，P(ξ＝2)＝C42C42C84＝3670＝1835，P(ξ＝3)＝C43C41C84＝1670＝835．P(ξ＝4)＝C44C40C84＝170．所以ξ的分布列为：Ⅰ E(ξ)＝0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170＝2．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由茎叶图能求出中位数，求出测试成绩在70分以上的频率，由此能测试成绩在70分以上的人数．(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】由茎叶图得：中位数为76，测试成绩在70分以上的频率为：812=23，Ⅰ 测试成绩在70分以上的约为：3000×23=2000人．由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)＝C40C44C84＝170，P(ξ＝1)＝C41C43C84＝1670＝835，P(ξ＝2)＝C42C42C84＝3670＝1835，P(ξ＝3)＝C43C41C84＝1670＝835．P(ξ＝4)＝C44C40C84＝170．所以ξ的分布列为：Ⅰ E(ξ)＝0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170＝2．【答案】Ⅰ 折叠前AB=AC，AD是斜边上的高，Ⅰ D是BC的中点，得BD=CD，又Ⅰ 折叠后M是BC的中点，Ⅰ DM⊥BC，折叠后AB=AC，Ⅰ AM⊥BC，而AM∩DM=M，Ⅰ BC⊥平面ADM；建立空间直角坐标系如图所示，Ⅰ 等腰直角三角形ABC的直角边长为√2，Ⅰ AD=1，易知二面角B−AD−C的平面角是∠BDC ，则BD =BC =CD =AD =1，Ⅰ A(0, 0, 1)，B(√32, 12, 0)，C(0, 1, 0)，D(0, 0, 0)． AD →＝(0,0,−1)，BD →＝(−√32,−12,0)，AC →＝(0,1,−1)，BC →＝(−√32,12,0)， 设平面ABD 的法向量为n →＝(x,y,z)， 由{n →⋅BD →＝−√32x −12y ＝0˙，取x =1，求得n →=(1, −√3, 0)，设平面ABC 的法向量为m →＝(x 1,y 1,z 1)， 由{m →⋅BC →＝−√32x 1+12y 1＝0˙，取z 1=1，得m →＝(√33,1,1)．Ⅰ cos <n →，m →>=|n →|⋅|m →|˙=√33−√32×√13+1+1=−√77， 由图可知二面角D −AB −C 为锐角，则二面角D −AB −C 的余弦值为√77． 【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直【解析】（1）证明DM ⊥BC ，AM ⊥BC ，然后证明BC ⊥平面ADM ；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面ABD 、平面ABC 的法向量，计算二面角D −AB −C 的余弦值． 【解答】Ⅰ 折叠前AB =AC ，AD 是斜边上的高，Ⅰ D 是BC 的中点，得BD =CD ， 又Ⅰ 折叠后M 是BC 的中点， Ⅰ DM ⊥BC ，折叠后AB =AC ， Ⅰ AM ⊥BC ，而AM ∩DM =M ， Ⅰ BC ⊥平面ADM ；建立空间直角坐标系如图所示，Ⅰ 等腰直角三角形ABC 的直角边长为√2，Ⅰ AD =1，易知二面角B −AD −C 的平面角是∠BDC ，则BD =BC =CD =AD =1，Ⅰ A(0, 0, 1)，B(√32, 12, 0)，C(0, 1, 0)，D(0, 0, 0)．AD →＝(0,0,−1)，BD →＝(−√32,−12,0)，AC →＝(0,1,−1)，BC →＝(−√32,12,0)，设平面ABD 的法向量为n →＝(x,y,z)， 由{n →⋅BD →＝−√32x −12y ＝0˙，取x =1，求得n →=(1, −√3, 0)，设平面ABC 的法向量为m →＝(x 1,y 1,z 1)， 由{m →⋅BC →＝−√32x 1+12y 1＝0˙，取z 1=1，得m →＝(√33,1,1)．Ⅰ cos <n →，m →>=|n →|⋅|m →|˙=√33−√32×√3+1+1=−√77， 由图可知二面角D −AB −C 为锐角，则二面角D −AB −C 的余弦值为√77． 【答案】由题意得，{ ca ＝√6334a 2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得{a 2＝3b 2＝1． Ⅰ 椭圆C 的方程为x 23+y 2＝1；由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m(m ≠0)， M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 23+y 2＝1y ＝kx +m，得(3k 2+1)x 2+6kmx +3m 2−3=0．△=36k 2m 2−4(3k 2+1)(3m 2−3)=12(3k 2+1−m 2)>0，① x 1+x 2＝−6km 3k 2+1，x 1x 2＝3m 2−33k 2+1．Ⅰ y 1+y 2＝k(x 1+x 2)+2m ＝2m3k 2+1． Ⅰ OM →+ON →＝λOA →，Ⅰ {x 1+x 2＝−6km3k 2+1＝√32λy 1+y 2＝2m 3k 2+1λ，得k =−13． 代入①得，−2√33<m <2√33，且m ≠0．Ⅰ S △OMN ＝12|m|⋅|x 1−x 2|＝12|m|⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =12|m|⋅√12(3k 2+1−m 2)3k 2+1＝3|m|√4−3m 24 =4˙≤√34⋅3m 2+4−3m 22＝√32．当且仅当3m 2=4−3m 2，即m =±√63时，上式等号成立，符合题意．Ⅰ 直线MN 的方程为y =−13x ±√63． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 椭圆的应用【解析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b 的值，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m(m ≠0)，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量等式可得k 值，写出三角形面积公式，得到关于m 的函数式，整理后利用基本不等式求最值，然后求得MN 的方程． 【解答】由题意得，{ ca ＝√6334a 2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得{a 2＝3b 2＝1． Ⅰ 椭圆C 的方程为x 23+y 2＝1；由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m(m ≠0)， M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 23+y 2＝1y ＝kx +m，得(3k 2+1)x 2+6kmx +3m 2−3=0．△=36k 2m 2−4(3k 2+1)(3m 2−3)=12(3k 2+1−m 2)>0，① x 1+x 2＝−6km 3k 2+1，x 1x 2＝3m 2−33k 2+1．Ⅰ y 1+y 2＝k(x 1+x 2)+2m ＝2m3k 2+1． Ⅰ OM →+ON →＝λOA →，Ⅰ {x 1+x 2＝−6km3k 2+1＝√32λy 1+y 2＝2m 3k 2+1λ，得k =−13． 代入①得，−2√33<m <2√33，且m ≠0．Ⅰ S △OMN ＝12|m|⋅|x 1−x 2|＝12|m|⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =12|m|⋅√12(3k 2+1−m 2)3k 2+1＝3|m|√4−3m 24 =4˙≤√34⋅3m 2+4−3m 22＝√32．当且仅当3m 2=4−3m 2，即m =±√63时，上式等号成立，符合题意． Ⅰ 直线MN 的方程为y =−13x ±√63．【答案】（I ）因为函数f(x)＝e x −ax −3，所以f′(x)＝e x −a ，f′(1)＝e −a ＝1，所以a ＝e −1，(II)当a ＝2，且当x >1时，(x −k)(e x −2)+2x +1>0等价于 当x >1时，k <(x +2x+!e x −2)min 令g(x)＝x +2x+1e x −2(x >1)，则g′(x)=e x (e x −2x−3)(e x −2)2，x >1，再令ℎ(x)＝e x −2x −3(x >1)，则ℎ′(x)＝e x −2>0， 所以，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增，且ℎ(1)<0，ℎ(2)>0，所以，ℎ(x)在(1, 2)上有唯一的零点，设该零点为x 0，则x 0∈(1, 2)，且e x 0=2x 0+3， 当x ∈(1, x 0)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0；当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0， 所以，g(x)在(1, x 0)单调递减，在(x 0, +∞)单调递增， 所以，g(x)min ＝g(x 0)＝x 0+2x 0+1e x 0−2=x 0+1，而x 0∈(1, 2)，故x 0+1∈(2, 3)，且k <g(x 0)，k 为整数 所以，k 的最大值为（2） 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，利用切线的斜率，求解a 即可．(Ⅰ)题目等价于当x >1时，k <(x +2x+!e −2)min 令g(x)＝x +2x+1e −2(x >1)，则g′(x)=e x (e x −2x−3)(e x −2)2，x >1，再令ℎ(x)＝e x −2x −3(x >1)，则ℎ′(x)＝e x −2>0，利用函数的导数，结合函数的零点，判断函数的单调性，转化求解即可． 【解答】（I ）因为函数f(x)＝e x −ax −3，所以f′(x)＝e x −a ，f′(1)＝e −a ＝1，所以a ＝e −1，(II)当a ＝2，且当x >1时，(x −k)(e x −2)+2x +1>0等价于 当x >1时，k <(x +2x+!e x −2)min 令g(x)＝x +2x+1e x −2(x >1)，则g′(x)=e x (e x −2x−3)(e x −2)2，x >1，再令ℎ(x)＝e x −2x −3(x >1)，则ℎ′(x)＝e x −2>0， 所以，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增，且ℎ(1)<0，ℎ(2)>0，所以，ℎ(x)在(1, 2)上有唯一的零点，设该零点为x 0，则x 0∈(1, 2)，且e x 0=2x 0+3， 当x ∈(1, x 0)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0；当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0， 所以，g(x)在(1, x 0)单调递减，在(x 0, +∞)单调递增，所以，g(x)min ＝g(x 0)＝x 0+2x 0+1e x 0−2=x 0+1，而x 0∈(1, 2)，故x 0+1∈(2, 3)，且k <g(x 0)，k 为整数 所以，k 的最大值为（2）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】圆C 的方程为ρ＝2√5sin θ，即ρ2=2√5ρsin θ， Ⅰ x 2+y 2＝2√5y ，Ⅰ 圆C 的直角坐标方程x 2+(y −√5)2=5． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√5+√22t（t 为参数），化为普通方程为：x +y ＝3+√5，代入上述圆方程消去y 得：x 2−3x +2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2． Ⅰ |PA|+|PB|=√(x 1−3)2+(y 1−√5)2+√(x 2−3)2+(y 2−√5)2=√x 12+y 12−2√5y 1−6x 1+14+√x 22+y 22−2√5y 2−6x 2+14=√14−6x 1+√14−6x 2=3√2． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）利用{ρ2=x 2+y 2y =ρsin θ即可化为直角坐标系；（2）直线l 的参数方程化为普通方程代入圆的方程解出交点坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出． 【解答】圆C 的方程为ρ＝2√5sin θ，即ρ2=2√5ρsin θ， Ⅰ x 2+y 2＝2√5y ，Ⅰ 圆C 的直角坐标方程x 2+(y −√5)2=5． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√5+√22t（t 为参数），化为普通方程为：x +y ＝3+√5，代入上述圆方程消去y 得：x 2−3x +2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2． Ⅰ |PA|+|PB|=√(x 1−3)2+(y 1−√5)2+√(x 2−3)2+(y 2−√5)2=√x 12+y 12−2√5y 1−6x 1+14+√x 22+y 22−2√5y 2−6x 2+14=√14−6x 1+√14−6x 2=3√2． [选修4-5：不等式选讲]【答案】当m ＝1时，f(x)＝|x −1|+|2x −1|，所以f(x)={2−3x,x <12x,12≤x ≤13x −2,x >1， Ⅰ {2−3x <2x <12 或{x <212≤x ≤1 或{3x −2<2x >1 ，解得0<x <43所以不等式f(x)<2的解集为{x|0<x <43}由题意f(x)<3−x 对任意的x ∈[0, 1]恒成立，即|x −m|<3−x −|2x −1|对任意的x ∈[0, 1]恒成立， 令g(x)＝3−x −|2x −1|={x +2,0≤x <124−3x,12≤x ≤1， 所以函数y ＝|x −m|的图象应该恒在g(x)的下方，数形结合可得0<m <2【考点】函数恒成立问题 【解析】（1）去绝对值后分区间解不等式再相并；（2）转化为|x −m|<3−x −|2x −1|对任意的x ∈[0, 1]恒成立后再构造函数，利用函数的图象可得． 【解答】当m ＝1时，f(x)＝|x −1|+|2x −1|，所以f(x)={2−3x,x <12x,12≤x ≤13x −2,x >1，Ⅰ {2−3x <2x <12 或{x <212≤x ≤1 或{3x −2<2x >1 ，解得0<x <43所以不等式f(x)<2的解集为{x|0<x <43}由题意f(x)<3−x 对任意的x ∈[0, 1]恒成立，即|x −m|<3−x −|2x −1|对任意的x ∈[0, 1]恒成立， 令g(x)＝3−x −|2x −1|={x +2,0≤x <124−3x,12≤x ≤1， 所以函数y ＝|x −m|的图象应该恒在g(x)的下方，数形结合可得0<m <2 选做题【答案】解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由题设，a 22=a 1a 4，… 即(1+d)2=1+3d ，解得d =0或d =1… 又Ⅰ d ≠0，Ⅰ d =1，可以求得a n =n … （2）由（1）得b n =n +2n ，T n =(1+21)+(2+22)+(3+23)+⋯+(n +2n )=(1+2+3+...+n)+(2+22+...+2n )=n(n+1)2+2n+1−2…【考点】 数列的求和 数列递推式【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由题设，a22=a1a4，…即(1+d)2=1+3d，解得d=0或d=1…又Ⅰ d≠0，Ⅰ d=1，可以求得a n=n…（2）由（1）得b n=n+2n，T n=(1+21)+(2+22)+(3+23)+⋯+(n+2n)=(1+2+3+...+n)+(2++2n+1−2…22+...+2n)=n(n+1)2试卷第21页，总21页。
最新高三(上)联考数学试卷(理科)附带参考答案
最新高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={x|0<x +2<5}，B ={x|x 2≤4}，则A ∩B =( ) A.(2, 3) B.[2, 3) C.(−2, 2) D.(−2, 2]2. 已知向量m →=(λ+1, 1)，n →=(λ+2, 2)，若(2m →+n →)⊥(m →−n →)，则λ=( ) A.−1 B.−113C.−83D.23. “1<a <3”是“lg a <lg 3”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4. 如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为（ ）A.( √15+4)πB.( 2√15+4)πC.( 3√15+4)πD.(4√15+4)π5. 已知数列{a n }，{b n }，{c n }均为等差数列，且a 1+b 1+c 1=1，a 2+b 2+c 2=3，则a 2020+b 2020+c 2020=( ) A.4037 B.4039 C.4041 D.40436. 已知正数m ，n 满足√4m×√8n＝2，则3m +2n 的最小值为（ ） A.24 B.18C.16D.127. 函数f(x)=(3x −x 3)sin x 的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.8. 已知一块木板上有三个孔洞，则能够塞住这三个孔洞的塞子可能是（）A. B. C. D.9. 如图，在四面体ABCD中，已知AE=35AB，AF=2FC，GD=3AG，则四面体ABCD被截面EFG分得的上下两部分的体积之比为（）A.1 8B.110C.19D.41510. 图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中OA1=A1A2=A2A3=...=A7A8=1，则sin∠A6OA8=()A.7√2+2√2128B.7√2−2√2128C.14√3+128D.14√3−12811. 设f(x)是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数，f′(x)为其导函数，f(1−2x)=f(2x−1)，f(−2)=0，当x>0时，−xf′(x)<f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−∞, −2)∪(2, +∞)C.(−∞, −2)∪(0, 2)D.(0, 2)∪(2, +∞)12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sin C=a2+b2+1+2aba+b，则△ABC外接圆面积的最小值为（）A.π8B.π4C.π2D.π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．函数f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，且当x∈[0, 4]时，f(x)=x2−2，则关于x的不等式f(x)<0的解集为________．设S n是数列{a n}的前n项和，若点(S n, a n)在直线y=2x+1上，则a5=________．设x，y满足约束条件{xy≥0,|x+y|≤2,则z=4x−y的最小值为________．已知数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，且1e a3+1+1e a2019+1≤1，有下述四个结论：①当数列{a n}为等差数列时，S2021≥0；②当数列{a n}为等差数列时，S2021≤0；③当数列{a n}为等比数列时，T2021>0；④当数列{a n}为等比数列时，T2021<0．其中所有正确结论的编号是________．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，其外接球的表面积为5π．（1）求该长方体的表面积；（2）求异面直线BD 与B 1C 所成角的余弦值．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，6a 2为a 3，a 4的等差中项． （1）求{a n }的公比；（2）若a 1=1，设b n =log 3a 1+log 3a 2+...+log 3a n ，求数列{1b n+1}的前n 项和．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知tan A +tan (A +π4)=l ． （1）求cos A ；（2）若AB →⋅AC →＝√10，求△ABC 的面积，并求a 2的最小值在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，平面ECB ⊥平面ABC ，△ACD ，△ECB ，△ACB 都是等边三角形．（1）证明：DE // 平面ABC ．（2）求二面角E −AB −C 的余弦值．已知数列{a n }的首项为0，2a n a n+1+a n +3a n+1+2=0． （1）证明数列{1a n +1}是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，且数列{b n }满足b n =2na n+1，若不等式(−1)nλ<S n +3×2n+1对一切n ∈N ∗恒成立，求λ的取值范围．已知函数f(x)=(e ax −1)ln x(a >0)．（1）当a =1时，求曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若关于x的方程f(x)=ax2−ax在[1, +∞)上恰有三个不同的实数解，求a的取值范围．参考答案与试题解析最新高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】∵ A ={x|−2<x <3}，B ={x|−2≤x ≤2}， ∵ A ∩B =(−2, 2]． 2. 【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用平面向量坐标运算法则求出2m →+n →=(3λ+4, 4)，m →−n →=(−1, −1)，再由(2m →+n →)⊥(m →−n →)，能求出λ的值． 【解答】∵ 向量m →=(λ+1, 1)，n →=(λ+2, 2)， ∵ 2m →+n →=(3λ+4, 4)，m →−n →=(−1, −1)， ∵ (2m →+n →)⊥(m →−n →)，∵ (2m →+n →)⋅(m →−n →)=(−1)×(3λ+4)+4×(−1)=0， 解得λ=−83．3.【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据对数函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可求解． 【解答】因为lg a <lg 3等价于0<a <3，1<a <3能推出0<a <3，但是0<a <3不能推出1<a <3，所以1<a <3”是“lg a <lg 3”的充分不必要条件． 4.【答案】 D【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为ℎ；根据题意列方程求出r 的值， 再计算圆柱和圆锥的侧面积之和． 【解答】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为ℎ； 所以πrl =4π，解得r =1，ℎ=√42−12=√15； 又圆柱的侧面积为2πr ⋅2ℎ=4√15π， 所以制作这样一个粮仓的用料面积为 (4√15+4)π． 5. 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式 等差数列的性质【解析】根据等差数列的性质得出数列{a n +b n +c n }也是等差数列， 由此求出对应的项a 2020+b 2020+c 2020． 【解答】由数列{a n }，{b n }，{c n }均为等差数列， 所以数列{a n +b n +c n }也是等差数列，且首项为a 1+b 1+c 1=1，公差为(a 2+b 2+c 2)−(a 1+b 1+c 1)=3−1=2， 所以a 2020+b 2020+c 2020=1+(2020−1)×2=4039． 6.【答案】 A【考点】基本不等式及其应用 【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】由正数m ，n 满足√4m×√8n＝2，可得22m +3n =2，∵ 2m +3n =1，则3m +2n =(3m +2n)(2m +3n )=12+4n m+9m n≥12+2√36=24，当且仅当m =4，n =6时取等号． 7.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B，再对比剩下选项，需考虑0<x<√3和√3<x<π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．【解答】∵ f(−x)=(−3x+x3)sin(−x)=(3x−x3)sin x=f(x)，∵ f(x)为偶函数，排除选项B；当0<x<√3时，3x−x3>0，sin x>0，∵ f(x)>0，当√3<x<π时，3x−x3<0，sin x>0，∵ f(x)<0，8.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】利用选项C的三视图即可判定．【解答】选项C的左视图、主视图、俯视图恰好对应木板上的三个孔洞，9.【答案】C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】设△ABC的面积为S，点D到平面ABC的距离为ℎ，推导出V ABCD=13Sℎ，且S△AEF=S×35×23=25S，点G到平面ABC的距离为14ℎ，推导出V AEFG=13×25S×14ℎ=130Sℎ，由此能求出四面体ABCD被截面EFG分得的上下两部分的体积之比．【解答】如图，设△ABC的面积为S，点D到平面ABC的距离为ℎ，则V ABCD=13Sℎ，且S△AEF=S×35×23=25S，点G到平面ABC的距离为14ℎ，∵ V AEFG=13×25S×14ℎ=130Sℎ，四面体ABCD被截面EFG分得的上下两部分的体积之比为：1 30Sℎ：(13Sℎ−130Sℎ)=1:9．10.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由题意OA1=A1A2=1，且△OA1A2是直角三角形，可得OA2=√2，同理可得OA6=√6，OA7=√7，进而根据两角和的正弦函数公式即可计算求解sin∠A6OA8的值．【解答】因为OA1=A1A2=1，且△OA1A2是直角三角形，所以OA2=√2，同理可得OA6=√6，OA7=√7，所以sin∠A6OA8=sin(∠A6OA7+∠A7OA8)=7√78√67×8=7√2+2√2128．11.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意构造函数g(x)=xf(x)，由求导公式和法则求出g′(x)，结合条件判断出g′(x)的符号，即可得到函数g(x)的单调区间，根据f(x)是偶函数判断出g(x)是奇函数，由f(−2)=0求出g(−2)=g(2)=0，结合函数g(x)的单调性、奇偶性将问题转化为g(x)>g(2)，求出不等式成立时x的取值范围即可．【解答】由题意设g(x)=xf(x)，则g′(x)=xf′(x)+f(x)，∵ 当x>0时，有xf′(x)+f(x)>0，∵ 则当x>0时，g′(x)>0，∵ 函数g(x)=xf(x)在(0, +∞)上为增函数，∵ f(1−2x)=f(2x−1)，故函数f(x)是偶函数，∵ g(−x)=(−x)f(−x)=(−x)[f(x)]=−xf(x)=−g(x)，∵ 函数g(x)为定义域上的奇函数，由f(−2)=0得，g(−2)=−g(2)=0，f(x)>0即x>0时，g(x)>0=g(2)，解得：x>2，x<0时，g(x)<0，解得：x<−2∵ 使得f(x)>0成立的x的取值范围是：(−∞, −2)∪(2, +∞)，12.【答案】A【考点】余弦定理正弦定理【解析】由已知结合基本不等式可求sin C ≥1，然后结合正弦函数的性质可得sin C ≤1，然后结合基本不等式及勾股定理即可求解． 【解答】 因为2sin C =a 2+b 2+1+2aba+b=(a+b)2+1a+b=a +b +1a+b ≥2，当且仅当a +b =1时取等号， 所以sin C ≥1，又sin C ≤1，故sin C =1， 又a 2+b 22≥(a+b 2)2=14，所以c 2=a 2+b 2≥12，所以△ABC 外接圆面积π⋅(c 2)2≥π8即最小值π8．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上． 【答案】(−∞, √2)【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】根据题意，由函数的解析式可得f(√2)=0，则有f(x)<0即f(x)<f(√2)，结合函数的单调性可得x 的取值范围，即可得答案． 【解答】根据题意，当x ∈[0, 4]时，f(x)=x 2−2，则f(√2)=(√2)2−2=0， 则f(x)<0即f(x)<f(√2)，又由函数f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，必有x <√2，即不等式的解集为(−∞, √2)， 【答案】 −1【考点】 数列递推式 【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的第5项的值． 【解答】设S n 是数列{a n }的前n 项和，若点(S n , a n )在直线y =2x +1上， 所以a n =2S n +1，① 当n =1时，a 1=−1．当n ≥2时，a n−1=2S n−1+1②， ①-②得：a n =−a n−1，即a nan−1＝−1（常数），所以数列{a n }是以−1为首项，−1为公比的等比数列．所以a 5＝(−1)×(−1)4＝−1．【答案】 −8【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】由z=4x−y得y=4x−z作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=4x−z，由图象可知当直线y=4x−z过点A(−2, 0)时，直线y=4x−z的截距最大，此时z最小，得z=4×(−2)−0=−8，∵ 目标函数z=2x−y的最小值是−8．【答案】①③【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用关系式的变换，整理得f(x)＝1e x+1−12，进一步利用等比数列的性质和求和整理得结果．【解答】由于1e a3+1+1e a2019+1≤1，整理得1e a3+1−12+1e a2019+1−12≤0，由于f(−x)+f(x)=0，所以f(x)＝1e x+1−12为奇函数，且在R上单调递减，所以a3+a2019≥0，所以当数列{a n}为等差数列时，S2021＝2021(a3+a2019)2≥0，当数列{a n}为等比数列时，且a3，a1011，a2019为同号，a3，a1011，a2019都大于0，故T2021＝(a1011)2021>0，故正确的结论为：①③．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】设外接球的半径为R，则4πR2=5π，解得R=√52，设AA1=x，则x2+12+12=(2R)2=5，解得x=√3，∵ 该长方体的表面积为：S=2(1×√3+1×√3+1×1)=4√3+2．连结A1D，A1B，∵ A1D // B1C，∵ ∠A1DB是异面直线BD与B1C所成角（或所成角的补角），∵ BD=√2，A1B=2，A1D=2，∵ 在△A1BD中，cos∠A1DB=2√2)222×2×√2=√24．∵ 异面直线BD与B1C所成角的余弦值为√24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积异面直线及其所成的角【解析】（1）设外接球的半径为R，则4πR2=5π，求出R=√52，由此求出AA1=√3，从而能求出该长方体的表面积．（2）连结A1D，A1B，由A1D // B1C，得∠A1DB是异面直线BD与B1C所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线BD与B1C所成角的余弦值．【解答】设外接球的半径为R，则4πR2=5π，解得R=√52，设AA1=x，则x2+12+12=(2R)2=5，解得x=√3，∵ 该长方体的表面积为：S=2(1×√3+1×√3+1×1)=4√3+2．连结A1D，A1B，∵ A1D // B1C，∵ ∠A1DB是异面直线BD与B1C所成角（或所成角的补角），∵ BD=√2，A1B=2，A1D=2，∵ 在△A1BD中，cos∠A1DB=2√2)222×2×√2=√24．∵ 异面直线BD与B1C所成角的余弦值为√24．【答案】设公比为q，q>0，∵ 6a2为a3，a4的等差中项，∵ 12a2=a3+a4，即q2+q−12=0，∵ q=3（−4舍），由（1）可得：a n=3n−1，∵ b n=log3a1+log3a2+...+log3a n=0+1+2+……+(n−1)=n(n−1)2，∵ 1b n+1=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，令数列{1b n+1}的前n项和为A，则A=2(1−12+12−13+……+1n−1n+1)=2nn+1．【考点】 数列的求和等差数列与等比数列的综合【解析】（1）直接根据等差中项的性质以及等比数列的性质求解即可， （2）求出b n 的表达式，利用裂项求和求解即可． 【解答】设公比为q ，q >0，∵ 6a 2为a 3，a 4的等差中项， ∵ 12a 2=a 3+a 4， 即q 2+q −12=0， ∵ q =3 （−4舍），由（1）可得：a n =3n−1，∵ b n =log 3a 1+log 3a 2+...+log 3a n =0+1+2+……+(n −1)=n(n−1)2，∵1b n+1=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，令数列{1bn+1}的前n 项和为A ，则A =2(1−12+12−13+……+1n −1n+1)=2nn+1． 【答案】∵ tan A +tan (A +π4)=1， 故tan A +tan A+11−tan A =1，则tan 2A −3tan A =0，解得：tan A =3，或tan A =0（舍）， ∵ tan A =sin Acos A ，sin 2A +cos 2A =1，故cos 2A =110， ∵ tan A =3>0，故cos A >0，cos A =√1010； ∵ AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =√10， 故bc =|AB →|⋅|AC →|=10， 故△ABC 的面积S =12bc sin A =5×3√1010=3√102， 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc cos A ≥2bc −√105bc =10−√105bc =20−2√10，当且仅当b =c 时“=”成立， 故a 2的最小值是20−2√10． 【考点】两角和与差的三角函数平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）根据两角和的正切公式求出tan A ，从而求出cos A 即可；（2）求出bc 的值，从而求出△ABC 的面积，结合余弦定理求出a 2的最小值即可． 【解答】∵ tan A +tan (A +π4)=1， 故tan A +tan A+11−tan A=1，则tan 2A −3tan A =0，解得：tan A =3，或tan A =0（舍）， ∵ tan A =sin Acos A ，sin 2A +cos 2A =1，故cos 2A =110， ∵ tan A =3>0，故cos A >0，cos A =√1010； ∵ AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =√10， 故bc =|AB →|⋅|AC →|=10， 故△ABC 的面积S =12bc sin A =5×3√1010=3√102， 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc cos A ≥2bc −√105bc =10−√105bc =20−2√10，当且仅当b =c 时“=”成立， 故a 2的最小值是20−2√10．【答案】记AC ，BC 中点分别为F ，G ，连接DF ，FG ，EG ， 因为△ACD ，△ECB ，△ACB 都是等边三角形． 所以△ACD ≅△ECB ≅△ACB ，DF ＝√32AC ＝√32BC ＝EG ， 因为△ACD ，△ECB 是等边三角形，F ，G 是AC ，BC 中点，所以DF ⊥AC ，EG ⊥BC ，因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ECB ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC =AC ，平面ECB ∩平面ABC =BC ，所以DF ⊥平面ABC ，EG ⊥平面ABC ， 所以DF // EG ， 又因为DF =EG ，所以四边形DEGF 为平行四边形， 所以DE // FG ，因为FG ∵平面ABC ，DE ⊈平面ABC ， 所以DE // 平面ABC ；过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，连接GH ，记AB =a ，则AB =AC =BC =AD =DC =EC =BE =a ， 由（1）易知：EG ＝√32a ， 连接AG ，则AG ＝EG ＝√32a ， 因为EG ⊥平面ABC ，所以EG ⊥AG ，EG ⊥AB ，EG ⊥GH ， 所以AE =√2EG =√62a ，所以EH=4a，因为EH⊥AB，EG⊥AB，所以AB⊥平面EGH，所以AB⊥GH，所以∠EHG即为二面角E−AB−C的平面角，在Rt△EGH中，EH=√154a，EG＝√32a，所以GH=√34a，所以cos∠EHG=GHEH√34a√154a√55．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行【解析】（1）欲证DE // 平面ABC，则需先证DE平行于平面ABC内的某一条直线，则作辅助线证明DF // EG，根据线段长度相等即得四边形DEGF是平行四边形，由此可证；（2）构造出二面角E−AB−C的平面角，放入直角三角形求解即可．【解答】记AC，BC中点分别为F，G，连接DF，FG，EG，因为△ACD，△ECB，△ACB都是等边三角形．所以△ACD≅△ECB≅△ACB，DF＝√32AC＝√32BC＝EG，因为△ACD，△ECB是等边三角形，F，G是AC，BC中点，所以DF⊥AC，EG⊥BC，因为平面ACD⊥平面ABC，平面ECB⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，平面ECB∩平面ABC=BC，所以DF⊥平面ABC，EG⊥平面ABC，所以DF // EG，又因为DF=EG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DE // FG，因为FG∵平面ABC，DE⊈平面ABC，所以DE // 平面ABC；过点E作EH⊥AB，垂足为H，连接GH，记AB=a，则AB=AC=BC=AD=DC=EC=BE=a，由（1）易知：EG＝√32a，连接AG，则AG＝EG＝√32a，因为EG⊥平面ABC，所以EG⊥AG，EG⊥AB，EG⊥GH，所以AE=√2EG=√62a，所以EH=4a，因为EH⊥AB，EG⊥AB，所以AB⊥平面EGH，所以AB⊥GH，所以∠EHG即为二面角E−AB−C的平面角，在Rt△EGH中，EH=√154a，EG＝√32a，所以GH=√34a，所以cos∠EHG=GHEH√34a√154a√55．【答案】数列{a n}的首项为0，2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，所以2(a n+1)(a n+1+1)+a n+1+1=a n+1，除以(a n+1)(a n+1+1)，整理得：1a n+1+1−1a n+1＝a n−a n+112(a n−a n+1)＝2（常数），所以数列{1a n+1}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝12n−1−1＝2−2n2n−1．数列{b n}的前n项和为S n，且数列{b n}满足b n=2na n+1=(2n−1)⋅2n，所以S n＝1×21+2×22+⋯+(2n−1)⋅2n①，2S n＝1×22+2×23+⋯+(2n−1)⋅2n+1②，①-②得：S n＝(2n−3)⋅2n+1+6，由于不等式(−1)nλ<S n+3×2n+1对一切n∈N∗恒成立，所以(−1)n⋅λ<n⋅2n+2+6，当n为偶数时，λ<n⋅2n+2+6，解得λ<38．当n为奇数时，−λ<n⋅2n+2+6，解得λ>−14．综上所述：−14<λ<38．【考点】数列的求和等差数列的性质数列递推式【解析】（1）直接利用关系式的变换，求出数列{1a n+1}是等差数列，进一步求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法和分类的讨论，求出参数的取值范围．【解答】数列{a n}的首项为0，2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，所以2(a n+1)(a n+1+1)+a n+1+1=a n+1，除以(a n+1)(a n+1+1)，整理得：1a n+1+1−1a n+1＝a n−a n+112(a n−a n+1)＝2（常数），所以数列{1a n+1}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝12n−1−1＝2−2n2n−1．数列{b n}的前n项和为S n，且数列{b n}满足b n=2na n+1=(2n−1)⋅2n，所以S n＝1×21+2×22+⋯+(2n−1)⋅2n①，2S n＝1×22+2×23+⋯+(2n−1)⋅2n+1②，①-②得：S n＝(2n−3)⋅2n+1+6，由于不等式(−1)nλ<S n+3×2n+1对一切n∈N∗恒成立，所以(−1)n⋅λ<n⋅2n+2+6，当n为偶数时，λ<n⋅2n+2+6，解得λ<38．当n为奇数时，−λ<n⋅2n+2+6，解得λ>−14．综上所述：−14<λ<38．【答案】当a=1时，f(x)=(e x−1)ln x，可得f(1)=0，f(x)的导数f′(x)=e x ln x+e x−1ln x，所以切线的斜率为k=f′(1)=e−1，则切线的方程为y=(e−1)(x−1)，该切线与x轴的交点为(1, 0)，与y轴的交点为(0, 1−e)，所以所求三角形的面积为12×1×(e−1)=e−12；显然x=1为方程f(x)=ax2−ax的根，当x>0且x≠1时，原方程等价于e ax−1ax=x−1ln x=e ln x−1ln x，设g(x)=e x−1x(x>0)，g′(x)=(x−1)e x+1x，设ℎ(x)=1+(x−1)e x(x>0)，ℎ′(x)=xe x>0，可得ℎ(x)在(0, +∞)递增，则ℎ(x)>ℎ((0)=0，即g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)递增，原方程等价于g(ax)=g(ln x)，只需ax=ln x在(1, +∞)上有两个不等实根．故只需ax=ln x在(1, +∞)上有两个不等的实根．则a=ln xx(x>1)，设k(x)=ln xx (x>1)，k′(x)=1−ln xx2，可得k(x)在(1, e)递增，在(e, +∞)递减，则k(x)的最大值为k(e)=1e，又k(1)=0，所以a的范围是(0, 1e)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程函数的零点与方程根的关系【解析】（1）求得a=1时，f(x)的导数，可得切线的斜率和方程，可得切线与x，y轴的交点，由三角形的面积公式，可得所求值；（2）显然x=1为方程f(x)=ax2−ax的根，当x>0且x≠1时，原方程等价于e ax−1 ax =x−1ln x=e ln x−1ln x，构造函数g(x)=ex−1x(x>0)，求得导数，判断单调性，可得原方程即为ax=ln x，由参数分离和构造新函数，求得导数和最值，即可得到所求范围．【解答】当a=1时，f(x)=(e x−1)ln x，可得f(1)=0，f(x)的导数f′(x)=e x ln x+e x−1ln x，所以切线的斜率为k=f′(1)=e−1，则切线的方程为y=(e−1)(x−1)，该切线与x轴的交点为(1, 0)，与y轴的交点为(0, 1−e)，所以所求三角形的面积为12×1×(e−1)=e−12；显然x=1为方程f(x)=ax2−ax的根，当x>0且x≠1时，原方程等价于e ax−1ax=x−1ln x=e ln x−1ln x，设g(x)=e x−1x(x>0)，g′(x)=(x−1)e x+1x2，设ℎ(x)=1+(x−1)e x(x>0)，ℎ′(x)=xe x>0，可得ℎ(x)在(0, +∞)递增，则ℎ(x)>ℎ((0)=0，即g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)递增，原方程等价于g(ax)=g(ln x)，只需ax=ln x在(1, +∞)上有两个不等实根．故只需ax=ln x在(1, +∞)上有两个不等的实根．则a=ln xx(x>1)，设k(x)=ln xx (x>1)，k′(x)=1−ln xx2，可得k(x)在(1, e)递增，在(e, +∞)递减，则k(x)的最大值为k(e)=1e，又k(1)=0，所以a的范围是(0, 1e)．。
高三入学联考数学试卷（理）及答案
⾼三⼊学联考数学试卷（理）及答案⾼三⼊学第⼀次联合考试数学试卷（理）数学科试题部分（满分150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题共50分）⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，满分50分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1.已知集合2{|20}A x x x =--<，{||1}B x x =<，则()A B =R e（）A.(1,2)B.(1,2]C.[1,2)D.[1,2]2.设x R ∈,则“1x <”是“2x ≠”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分⼜不必要条件 3.某⼏何体的三视图如图所⽰，且该⼏何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（） A.2 B.92 C.32 D.34.设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平⾯,下列命题中错误的是（） A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B.若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α C.若m β⊥,m α?,则αβ⊥ D.若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥5.将函数π()2tan 36x f x ??=+的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（）A.π()2tan()134x g x =+-B.π()2tan()134x g x =-+C.π()2tan()1312x g x =-+D.π()2tan()1312x g x =--6.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上⼀点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆⼼，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A.(0,2) B. [0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满⾜01<+n n S S 的正整数n 的值为（）A.13B.12C.11D. 108.设函数()g x 是⼆次函数,2,||1(),||1x x f x x x ?≥=?（第3题图）正视图侧视图x()g x 的值域是( )A.(,1][1,)-∞-+∞B.[0,)+∞C.(,1][0,)-∞-+∞D.[1,)+∞9.若X 是⼀个集合，τ是⼀个以X 的某些⼦集为元素的集合，且满⾜：①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的⼀个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下⾯给出的四个集合τ：①{{}{}{}}a c a b c τ=?，，，，，；②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=?，，，，，，，；③{{}{}{}}a a b a c τ=?，，，，，；④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=?，，，，，，，，．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是( )A.①B.②C.②③D.②④10.设函数2()2,()ln 3x f x e x g x x x =+-=+-,若实数,a b 满⾜()()0f a g b ==,则( ) A.()0()g a f b << B.()0()f b g a << C.0()()g a f b <<D.()()0f b g a <<第Ⅱ卷（⾮选择题共100分）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，每⼩题4分，满分28分）11.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ?<=?>?则1[()]f f e =_______________．12.若点M （y x ,）为平⾯区域≤≥++≥+-001012x y x y x 上的⼀个动点，则y x 2+的最⼤值是_______13.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则4a =___________ 14.已知cos sin 6?-+=παα7sin 6??+= πα .15.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右⽀于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离⼼率为________．16.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满⾜1,c a b c --=则的最⼤值是______ 17.函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤?=?>?，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ??是否存在最⼤值？若存在，在横线处填写其最⼤值；若不存在，直接填写“不存在”______________三、解答题(本⼤题共5⼩题，满分72分。
2021-2022年高三下学期期初开学联考试题 数学理 含答案
2021年高三下学期期初开学联考试题 数学理 含答案考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；(2)选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；(3)请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；(4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设，，则=（ ）A. B. C. D. 2．直线和直线平行，则（ ）A ．B ．C ．7或1D ．3.数列{}定义如下：=1，当时，211()1()n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为偶数为奇数，若，则的值等于( )A. 7B. 8C. 9D. 104． 某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（ ） A ．B ．C ．D ．正视图侧视图5.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（ ） A. B. C. D.6.在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋ 3947.已知实数满足，则的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．8. 设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.9.已知椭圆，以O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A 、B ，若四边形PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.53D.33 10．已知函数的图象向右平移个单位后关于对称，当时，＜0恒成立，设，，，则的大小关系为（ ） A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞b D ．b ＞a ＞c11.已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为的导函数，则的图像是（ ）12.已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知为虚数单位，若(R ),则 .14. 已知公比为的等比数列的前项和满足，则公比的值为 .15.设是椭圆的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则的最大值为 .16.已知正三棱锥ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为的球面上,若PA ,PB ,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________. 三、解答题17. （本小题满分10分）正项数列满足：. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和.18. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3),直线：，设圆的半径为1，圆心在上.(1)若圆心也在直线上,过点A 作圆的切线,求切线的方程； (2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.19. （本小题满分12分）设函数λωωωω+-⋅+=x x x x x f 22cos cos sin 32sin )(, 的图象关于直线对称，其中为常数，且． (1)求函数的最小正周期；(2)若的图象经过点，求函数在上的值域．20. （本小题满分12分）在几何体ABCDE 中，AB=AD=BC=CD=2, ,且平面,平面平面.（1）当平面时，求的长； (2) 当时，求二面角的大小.21. （本小题满分12分）已知圆())0(2:222>=+-r r y x M ，若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数2()ln (0)f x ax x x x a =+->. （1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b 的取值范围； （2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；EDC BA（3）当时，试比较与的大小.高三数学答案（理科）一、选择题BBCAA BADBD AC 二、填空题13. 3； 14.2； 15. 16. 三、解答题17.解：（1）由已知可得：n a a a n a n n n n 200)1)(2(=∴>=+-（2）)111(21)1(21)1(1+-=+=+=n n n n a n b n n所以)1(2)111(21)11141313121211(21+=+-=+-++-+-+-=n nn n n T n 18.解：联立和可得圆心（3，2），又因为半径为1，所以圆的方程为 设过点A 的切线方程为： 圆心到直线的距离为 所以或所求切线方程为和。
高三数学上学期入学考试试题 理含解析 试题
第七中学2021届高三数学上学期入学考试试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔本大题一一共12小题〕{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，那么〔 〕A. {}1MN x x =<B. {}0MN x x =>C. M N ⊆D. N M ⊆【答案】D 【解析】 【分析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<，据此结合交集、并集、子集的定义考察所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<， 那么：{}|01MN x x =<<，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；应选D .【点睛】此题主要考察集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能. 2.a R ∈，i 为虚数单位，假设ai i+为实数，那么a 的值为 （） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解可得答案. 【详解】解：()21a aii i a i i i+=+=-为实数，10a ∴-=，即1a =．应选:A ．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题． 3.?孙子算经?是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，一共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?〞其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是〔 〕 A. 15 B. 16C. 18D. 21【答案】C 【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.详解：设第一个人分到的橘子个数为1a ， 由题意得515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =， 那么51(51)361218a a =+-⨯=+=，应选C.点睛：该题所考察的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，1,,,,n n a d n a S 这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.()()2x x f x x e e -=-的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除,B D ，利用函数的单调性排除C ，从而可得结果． 【详解】()()2x x f x x e e -=-，()()()()22()x x x x f x x e e x e e f x --∴-=--=--=-，()f x ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除,B D ，2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >， x x y e e -=-在()0,+∞上是增函数且0y >，所以()()2xx f x xee -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，应选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，然后令x 的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出结果．【详解】5(2x 二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，应选C ．【点睛】此题主要考察二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比拟明确，主要从以下几个方面命题：〔1〕考察二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；〔可以考察某一项，也可考察某一项的系数〕〔2〕考察各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用. 6.按照如图的程序框图执行，假设输出结果为15，那么M 处条件为A. 16k ≥B. 8k <C. 16k <D. 8k ≥【答案】A 【解析】【详解】运行程序： S=0,k=1; S=1,k=2; S=3,k=4; S=7,k=8;S=15,k=16,此时退出循环，所以16k ≥，应选A.点睛：该题考察的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7.锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,那么b 等于( ) A. 10 B. 9C. 8D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0,即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15, 即b 2-125b-13=0, 即b=5或者b=-135(舍去),应选D.4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为〔 〕 A.152B.154C.154ln 24- D.158ln 22- 【答案】D 【解析】 【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果. 【详解】作出曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形如下：由45y x y x⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：1x =或者4x =， 所以曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为()421441115S 5542084458ln21222x dx x x lnx ln x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=----=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.应选D【点睛】此题主要考察定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.()ln f x x x =，假设直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，那么直线l 的斜率为()A. 2-B. 2C. e -D. e【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导数，设出切点(),m n ，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m ，从而可得结果．【详解】函数()ln f x x x =的导数为()'ln 1f x x =+， 设切点为(),m n ，那么n mlnm =， 可得切线的斜率为1ln k m =+， 所以ln 1ln n e m m em m m+++==， 解得m e =，1ln 2k e =+=，应选B ．【点睛】此题主要考察利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要表达在以下几个方面：(1) 切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ()g x ()g x 3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭=( )A . 12B. 22C.32D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意写出()()sin 23g x x ϕ=+，根据()g x 是偶函数求出ϕ，即可得出结果. 【详解】由题意可得：()()sin 23g x x ϕ=+， 因为()g x 是偶函数，所以()32k k Z πϕπ=+∈，即()63k k Z ππϕ=+∈， 又02πϕ<<，所以0632k πππ<+<，解得112k -<<，所以0k =，故6πϕ=； 所以1sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 应选A【点睛】此题主要考察三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.(约3世纪初)在为?周髀算经?作注时验证勾股定理的示意图，如今提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，那么,A C 区域涂色不一样的概率为( )A.17B.27C.37D.47【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，,A C 区域涂色不一样的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出,A C 区域涂色不一样的概率．【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,,,,A B C D E,分4步进展分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与,A B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域,D C，假设D与B颜色一样，C区域有3种颜色可选，假设D与B颜色不一样，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，那么区域,D C有3227+⨯=种选择，那么不同的涂色方案有5437420⨯⨯⨯=种，其中，,A C区域涂色不一样的情况有：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E与,,A B C区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域,D C，假设D与B颜色一样，C区域有2种颜色可选，假设D与B颜色不一样，D区域有2种颜色可选，C区域有1种颜色可选，那么区域,D C有2214+⨯=种选择，不同的涂色方案有5434240⨯⨯⨯=种，,A C∴区域涂色不一样的概率为24044207p== ,应选D．【点睛】此题考察古典概型概率公式的应用，考察分步计数原理等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中根本领件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个根本领件m，然后根据公式mPn=求得概率.12.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴时，又以B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C 滚动时的曲线方程为()y f x =，那么以下说法不正确的选项是 （）A. ()0f x ≥恒成立B. ()()8f x f x =+C. ()243(23)f x x x x =-+-<≤D. ()20190f =【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的运动关系，分别求出当0x =，1，2，3，4时对应的函数值()f x ，得到()f x 具备周期性，周期为4，结合图象，当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，即可判断所求结论． 【详解】解：正方形的边长为1，∴正方形的对角线2AC =，那么由正方形的滚动轨迹得到0x =时，C 位于()0,1点，即()01f =， 当1x =时，C 位于(2点，即()12f =，当2x =时，C 位于()2,1点，即()21f =， 当3x =时，C 位于()3,0点，即()30f =， 当4x =时，C 位于()4,1点，即()41f =，那么()()4f x f x +=，即()f x 具备周期性，周期为4，由图可得()0f x ≥恒成立；()()8f x f x +=； 当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，方程为22(2)1(23,0)x y x y -+=<≤≥；()()()20195044330f f f =⨯+==，综上可得A ，B ，D 正确；C 错误． 应选:C ．【点睛】此题主要考察函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决此题的关键． 二、填空题〔本大题一一共4小题〕{}n a ，且48a =，那么数列{}n a 的前7项和7S =______【答案】56 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：1742.a a a +=利用求和公式即可得出数列{}n a 的前7项和7S ． 【详解】解：由等差数列的性质可得：174216a a a +==．∴数列{}n a 的前7项和()177778562a a S +==⨯=．故答案为:56．【点睛】此题考察了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．x ，y 满足约束条件202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩______．【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的间隔 公式进展求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：22x y +的几何意义是平面区域内的点到原点的间隔 ，由图象得O 到直线20x y ++=的间隔 最小， 此时最小值222d ==， 那么22x y +的最小值是2， 故答案为：2．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用点到直线的间隔 公式结合数形结合是解决此题的关键．AB 与AC 的夹角为120︒，且32AB AC ==，，假设AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥那么实数λ的值是__________． 【答案】712【解析】 ∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或者相关公式进展化简.24y x =上一点()4,4P ，作两条直线PA ，PB 分别与抛物线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,假设它们的斜率之和为0，那么直线AB 斜率为______． 【答案】12- 【解析】 【分析】根据斜率公式可得121244044y y x x --+=--,利用221212,44y y x x ==化简可得128y y +=-,再根据斜率公式可得12AB k =-. 【详解】解：依题意有121244044y y x x --+=--, 又221212,44y y x x ==, 所以1222124404444y y y y --+=--, 所以1211044y y +=++, 所以128y y +=-,所以12122212121241244AB y y y y k y y x x y y --====--+-, 【点睛】此题考察直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率公式的应用，考察了计算才能．属于根底题.三、解答题〔本大题一一共6小题〕{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =． ()1求数列{}n a 的通项公式；()2假设数列{}n b 满足n b 2na -=，求证：数列{}nb 的前n 项和12n T <．【答案】〔1〕1n a n =+〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】()1直接利用等差数列前n 项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式． ()2利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．【详解】解：()1设{}n a 的公差为d ,因为39S =，又12a =． 所以3132392S a d ⨯=+=，解得1d =． 故()211n a n n =+-=+．()2证明：由于1n a n =+，所以11()2n n b +=，所以22111111111424()()()112222122n n n T +⎛⎫-⎪⎝⎭=++⋯+=<=-．【点睛】此题考察的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n 项和的应用，放缩法的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于根底题型． 18.如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且14BF BC =.假设将,AED CFD ∆∆ 分别沿,ED FD 折起，使,A C 两点重合于点M ,如图2.图1 图2(1)求证:EF ⊥平面MED ；(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；5【解析】【分析】⊥，结合〔1〕设正方形ABCD的边长为4，由222DE EF DF+=，可得EF ED ⊥，利用线面垂直的断定定理，即可得到EF⊥平面MED.MD EF⊥，垂足为N，求出向量EM和平面MFD 〔2〕建立空间直角坐标系，过点M作MN ED的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】〔1〕证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即由题意知，在图2中，,,平面,平面,且, 平面,平面,.又平面,平面,且,平面〔2〕由〔1〕知平面，那么建立如下图空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，那么，令，那么，，.设直线与平面所成角为,那么,.直线与平面所成角的正弦值为.. 【点睛】该题考察的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的断定，一定要把握好线面垂直的断定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19.2021年某政府出台了“2021年创立全国文明城(简称创文)〞的详细规划，今日，作为“创文〞工程之一的“区公交站点的重新布局及建立〞根本完成，有关部门准备对工程进展调查，并根据调查结果断定是否验收，调查人员分别在区的各公交站点随机抽取假设干民对该工程进展评分，并将结果绘制成如下图的频率分布直方图，相关规那么为：①调查对象为本民，被调查者各自HY评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进展验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或者非常满意该工程的频率；()2假设从该的全体民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该工程的概率；()3在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便理解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【答案】〔1〕0.78；〔2〕12125；〔3〕23.【解析】试题分析：〔1〕根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或者非常满意该工程的频率；〔2〕根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==，根据HY 重复试验n 次发生k 次的概率公式可得结果；〔3〕随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：〔1〕根据题意：60分或者以上被认定为满意或者非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为：()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；〔2〕根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==， 用样本的频率代替概率，从该的全体民中随机抽取1人， 该人非常满意该工程的概率为15， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该工程的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅=⎪⎝⎭；〔3〕∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()02362915036C C P C ξ⋅===()1136291811362C C P C ξ⋅====()2036293123612C C P C ξ⋅====ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 2222:x y C a b+= ()10a b >>的焦点坐标分別为()11,0F -,()21,0F ,P 为椭圆C 上一点，满足1235PF PF =且123cos 5F PF ∠= (1) 求椭圆C 的HY 方程:(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，假设AQ BQ =，求k 的取值范围.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以及对应的线段的倍数关系，求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦值建立边之间的等量关系式，从而求得,a c 的值，借用椭圆中,,a b c 的关系，求得b 的值，从而求得椭圆的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段的中点，利用条件可得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的不等关系，求得k 的取值范围.详解：〔1〕由题意设11PF r =，22PF r =那么1235r r =，又122r r a +=，154r a ∴=，234r a = 在 12PF F ∆中，由余弦定理得，12cos F PF ∠=2221212122r r F F r r +- = 2225324453244a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯35=， 解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=，∴所求椭圆方程为22143x y +=〔2〕联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234k x ++ 284120kmx m +-=， 那么12x x += 2834km k -+，212241234m x x k-=+，且()2248340k m ∆=+->…① 设AB 的中心为()00,M x y ，那么1202x x x +== 2434km k -+，002334my kx m k =+=+， AQ BQ =,AB QM ∴⊥,即，QM k k ⋅= 22334141344mk k km k +⋅=---+，解得2344k m k+=-…② 把②代入①得22234344k k k ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭，整理得4216830k k +->，即()()2241430kk -+>解得11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：该题考察的是有关直线与椭圆的综合题，涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的HY 方程，以及直线与椭圆相交的有关问题，要会将题中条件加以转化，再者要会找对应的不等关系.()x f x xe =，()232g x x x =+-．()1求证：()()215022f xg x x x-+->对()0,x ∞∈+恒成立；()2假设()()()(0)32f x F x xg x x =>-+，假设120x x <<，122x x +≤，求证：()()12.F x F x >【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕先对不等式左边进展化简整理，然后将整理后的表达式设为函数()h x ，对函数()h x 进展一阶导数和二阶导数的分析，得到()h x 在()0,∞+上单调递增，那么当0x >时，()()0010.h x h e >=-=命题得证．〔2〕先对整理后的()F x 进展一阶导数的分析，画出函数()F x 大致图象，可知()10F x >，()20.F x >然后采用先取对数然后作差的方法比拟大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明． 【详解】证明：()1由题意，可知()()22221531511222222x x f x g x x e x x x e x x x-+-=--++-=---． 令()2112xh x e x x =---，0.x >那么 ()'1x h x e x =--，()0.1x x h x e >"=-，当0x >时，()10xh x e "=->，()'h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()''00h x h >=，()h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()0010h x h e >=-=．故命题得证．()2由题意，()xe F x x =，0x >．()()21'x x e F x x -=，0x >．①令()'0F x =，解得1x =；②令()'0F x <，解得01x <<； ③令()'0F x >，解得1x >．()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处获得极小值()1F e =．()F x 大致图象如下：根据图，可知()10F x >，()20F x >．()()()()12121122121212.x x e e lnF x lnF x ln ln x lnx x lnx x x lnx lnx x x ∴-=-=---=---120x x <<，122x x +≤， ∴根据对数平均不等式，有12121212x x x xlnx lnx -+<≤-，()()121212121110lnF x lnF x lnx lnx x x x x --∴=-<-=--．120x x -<，()()120lnF x lnF x ∴->． ()()12.F x F x ∴>故得证．【点睛】此题主要考察函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的才能，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，此题属偏难题．xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日 立极坐标系，直线l的极坐标方程为()sin ρθθ+=〔1〕求C 的极坐标方程；〔2〕假设射线11π:02OM θθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的取值范围.【答案】〔1〕2cos ρθ=；〔2〕06OP OQ <<.【解析】试题分析：〔1〕圆C 的参数方程消去参数φ，能求出圆C 的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C 的极坐标方程．〔2〕设P 〔ρ1，θ1〕，那么有ρ1=cosθ1，Q 〔ρ2，θ1〕，那么2ρ=，OP OQ =ρ1ρ2，结合tanθ1＞0，能求出OP OQ 的范围．试题解析：〔1〕圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.〔2〕设()11,P ρθ，那么有 11cos ρθ=，设()21,Q ρθ，且直线l的方程是()sin ρθθ+=那么有2ρ=所以12102OP OQ πρρθ⎫=⋅==<<⎪⎭因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <<.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高三联考数学(理)试卷 word版含答案
2021年宁波市高三“十校〞联考数学〔理科〕说明：本试题卷分选择题和非选择题两局部．全卷共4页，总分值150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.台体的体积公式：121()3V h S S =+，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高.球的外表积公式：24S R π=,球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径. 第一卷〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．设a R ∈,那么“1a <〞是“11a>〞 〔 ▲ 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2. 集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，那么集合{|x x M ∈且}x N ∉为 〔 ▲ 〕A . (0,3]B ．[4,3]-C ．[4,0)-D ．[4,0]- 3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，那么该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为〔 ▲ 〕 A．BC. D4.抛物线24x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点〔点A 在第一象限〕，假设直线l俯视图正视图侧视图的倾斜角为30，那么||||AF BF 等于 〔 ▲ 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．325．命题p ：函数2()|2cos 1|f x x =-的最小正周期为π；命题q ：假设函数(2)f x -为奇函数，那么()f x 关于(2,0)-对称.那么以下命题是真命题的是 〔 ▲ 〕 A ． p q ∧ B ． p q ∨ C ．()()p q ⌝⌝∧ D ．()p q ⌝∨ 6. 设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，那么以下命题错误的选项是．．．．．．〔 ▲ 〕A ．假设0d <，那么数列{}n S 有最大项B ．假设数列{}n S 有最大项，那么0d <C ．假设数列{}n S 是递增数列，那么对任意*N n ∈，均有0n S > D ．假设对任意*N n ∈，均有0n S >，那么数列{}n S 是递增数列7．O 为三角形ABC 内一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-=，假设OAB △的面积与OAC △的面积比值为13，那么λ的值为 〔 ▲ 〕A .32B . 2C . 13D .128.函数24()(0)1xf x x x x x =--<-,2()2(0),R g x x bx x b =+->∈.假设()f x 图象上存在,A B 两个不同的点与()g x 图象上,A B ''两点关于y 轴对称，那么b 的取值范围为〔 ▲ 〕A ．(5)-+∞，B ．5)+∞，C ．(51)-，D ．51)，第二卷〔非选择题 共110分〕二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.圆22:250M x y x +++-=，那么圆心坐标为 ▲ ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为 ▲ .10. 单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项，那么公比q = ▲ ，通项公式为n a = ▲ .11.函数21()cos cos ,R 2f x x x x x =--∈，那么函数()f x 的最小值为 ▲ ， 函数()f x 的递增区间为 ▲ .12. 实数,m n ，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，那么2m n +的取值范围为 ▲ ，22m n +的取值范围为 ▲ . 13. ,(0,)2x y π∈，且有2sin x y =，tan x y =，那么cos x = ▲ . 14. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，假设112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，那么该双曲线的离心率为▲ .15.如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．〔此题总分值14分〕在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.〔Ⅰ〕求cos B ；〔Ⅱ〕假设5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.αA B C D E17．〔此题总分值15分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11AD CC ⊥， 侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =． 〔Ⅰ〕证明：直线MD ∥平面ABC ； 〔Ⅱ〕求二面角1B AC A --的余弦值．18．〔此题总分值15分〕对于函数()f x ，假设存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，那么称函数()f x 为“可等域函数〞，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间〞．函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.〔Ⅰ〕假设01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数〞，求函数()g x 的“可等域区间〞；〔Ⅱ〕假设区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间〞，求a 、b 的值.19．〔此题总分值15分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.1B1C1ACBADM〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕假设椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x = 20．〔此题总分值15分〕设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. 〔Ⅰ〕假设1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.2021年宁波高三“十校〞联考数学〔理科〕参考答案一、选择题：此题考查根本知识和根本运算．每题5分，总分值40分． 1．B 2. D 3．C 4. A 5．B 6. C 7．A 8．D二、填空题: 此题考查根本知识和根本运算． 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. (1,-， 0x = 10.12，611232()2n n n a --==⋅ 11. 2-，[,](Z)63k k k ππππ-++∈ 12.3[,4]2，[1,4]13.12 14. 75 15 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．〔此题总分值14分〕在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线. 〔Ⅰ〕求cos B ；〔Ⅱ〕假设10,5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.解：〔Ⅰ〕(45,5)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A Cb B B--∴== 4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B ∴+=4sin()4sin 5sin cos B C A A B ∴+==在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分〔Ⅱ〕5b c a c =<，且4cos 5B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105a a ∴+-⋅⋅=解得35a a ==或〔舍〕……………………………………………9分2AD DC =1233BD BA BC ∴=+22222141214122c 2cos 99339933BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅•=++⋅⋅⋅⋅ 将3a =和5c =代入得：21099BD ==3BD ∴……………………………………………14分 17．〔此题总分值15分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11AD CC ⊥， 侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =． 〔Ⅰ〕证明：直线MD ∥平面ABC ； 〔Ⅱ〕求二面角1B AC A --的余弦值．解：∵11A D CC ⊥，且D 为中点，11AA A D =∴ 111AC AC AC ===， 又 11,2BC AB BA ===， ∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥， 又 1BABA B =，∴CB ⊥平面11ABB A ， 取1AA 中点F ，那么1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直， 以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，1B1C1ACADM1A∴11113(2,0,0),(0,0,1),(1,3,0),(1,3,0),(2,0,1),(1,0,1),(,,0)22B C A A C D M -5分 〔Ⅰ〕设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m ，那么30BA x y ⋅=-+=m ，0BC z ⋅==m ，取(3,1,0)=m ， ∵ 13(,,1)22MD =-，330022MD ⋅=-+=m ， ∴ MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 9分 〔Ⅱ〕设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,3,1),(2,0,0)AC AA =-=， 11130AC x y z ⋅=-+=m ，110AA x ⋅==m ， 取(0,1,3)=n ， 又由〔Ⅰ〕知平面ABC 的法向量为(3,1,0)=m ，设二面角1B AC A --为θ， ∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 15分 18．〔此题总分值15分〕对于函数()f x ，假设存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，那么称函数()f x 为“可等域函数〞，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间〞．函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.〔Ⅰ〕假设01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数〞，求函数()g x 的“可等域区间〞；〔Ⅱ〕假设区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间〞，求a 、b 的值.解：〔Ⅰ〕01b a ==，，2()|2|g x x x =-是“可等域函数〞22()|2|=|(1)1|0g x x x x =---≥，0n m ∴>≥结合图象，由()g x x =得0,1,3x = 函数()g x 的“可等域区间〞为[0,1],[0,3] 当12m n ≤≤≤时，()1g x ≤，不符合要求y〔此区间没说明，扣1分〕……………………7分 〔Ⅱ〕222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-因为区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间，所以11a +>即0a >当01a <≤时，那么(1)1(1)1f f a a =⎧⎨+=+⎩得12a b =⎧⎨=⎩；…………………………10分当12a <≤时，那么()1(1)1f a f a a =⎧⎨+=+⎩无解；………………………………12分当2a >时，那么()1(1)1f a f a =⎧⎨=+⎩得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………15分 19．〔此题总分值15分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕假设椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x =解：〔Ⅰ〕由得12(,0),(,0)A a A a -,(,)P x y ，1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-122249A P A P y y b k k x a x a a ∴==-=--+12PA A △的面积最大值为1262a b ⋅⋅=所以32a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为：22194x y +=…………………………6分 〔Ⅱ〕假设存在曲线E 的弦CD 能被直线:(1)l y k x =-垂直平分当0k =显然符合题 …………8分xO当0k ≠时，设(,),(,)C C D D C x y D x y ，CD 中点为00(,)T x y 可设CD ：1y x m k=-+ 与曲线22194x y E +=：联立得：2229(4)189360m x x m k k +-+-=， 所以0∆>得222490k m k -+>……〔1〕式…………………………10分 由韦达定理得：0218249C D kmx x x k +==+，所以02949km x k =+，代入1y x m k =-+得202449k my k =+ 00(,)T x y 在直线:(1)l y k x =-上，得2549km k =+……〔2〕式…………………12分将〔2〕式代入〔1〕式得：24925k +<，得24k <，即22k -<<且0k ≠……14分 综上所述，k 的取值范围为(,2][2,)k ∈-∞-+∞.20．〔此题总分值15分〕设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. 〔Ⅰ〕假设1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+..实用文档.. 解：〔Ⅰ〕令1n =，得113r +=，所以23r =， ……………1分 那么12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥， 两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………3分 所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥， ……………6分 又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………7分 〔构造常数列等方法酌情给分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知21(21)2n a n n -=-⋅，所以211111(21)2212n n b a n n n n -===---， 11223+1T ∴=≥不等式成立 11111111(2)123456212n T n n n∴=-+-+-++-≥- 111111*********=1232242123212n T n n n n ∴=++++-+++++++-+++（）（）111122n T n n n∴=+++++……………………………………10分 111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n ∴=+++++++++++-+-++ 1131421()(21)31n n k n k n k n k n ++=≥+-++-++〔仅在12n k +=时取等号〕 4231n n T n ∴≥+即结论231n n T n ≥+成立………………………………15分 〔数学归纳法按步骤酌情给分〕。
高三试卷数学(理)-河南省顶级名校2022届高三上学期9月开学联考数学(理)试卷及参考答案
河南省顶级名校2022届高三上学期9月开学联考数学（理科）试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ｜（x －1）（x －3）≥0}，集合B ＝{0，1，2，3}，则（CR A ）∩B 等于A ．{2}B ．{3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．已知复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝－x 上，且｜z ｜＝2，则z （1＋i ）＝A ．2B ．－2C ．±2D ．2i3．已知命题p ：x ∀∈（0，2π），sinx ＜tanx ；命题q ：x ∃∈（－∞，0），xπ－＜e －x ，则下列命题为真命题的是A ．p ∧q B ．p ∧（q ⌝）C ．（p ⌝）∧qD ．（p ⌝）∨q4．设函数()32sin 34f x x πω⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－＋（N ω*∈）在[512π，56π]上单调递减，则下列叙述正确的是A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）关于直线x ＝12π轴对称C ．f （x ）在[2π，π]上的最小值为－54D ．f （x ）关于点（23π，0）对称5．2021年中国人民银行计划发行60个贵金属纪念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选．为了测算如图所示的直径为4的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷100个点，若恰有75个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是A ．32πB ．3πC ．6πD ．12π6．对实数p 、q 和向量a ，b ，c ，正确的是A ．p （a －b ）＝p a －p bB ．a ·b ·c ＝a ·（b ·c ）C ．若｜a ｜2b ＝｜b ｜2a ，则a ＝bD ．若p a ＝q a （p 、q ∈R ），则p ＝q 7．若数列{n b }满足：()12337212nn b b b b n ＋＋＋…＋－＝，则数列{n b }的通项公式为A ．21n b n ＝－B ．21nn b ＝－C ．121n n b ＝－D ．221n n b ＝－8．已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数为()f x '，当x ＞0时()f x '－()f x x＞0，若a ＝2f （1），b ＝f （2），c ＝142f ⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c9．已知圆C 与倾斜角为56π的直线相切于点N （3），且与曲线（x －1）2＋y 2＝1相外切，则圆C 的方程为A ．（x －4）2＋y 2＝4，x 2＋（y ＋）2＝12B ．（x ＋4）2＋y 2＝4，x 2＋（y ＋）2＝12C ．（x ＋4）2＋y 2＝4，x 2＋（y －）2＝36D ．（x －4）2＋y 2＝4，x 2＋（y ＋）2＝3610．菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会慢慢失去新鲜度．已知某种蔬菜失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为h ＝m ·a t ．若采摘后20小时，这种蔬菜失去的新鲜度为20％，采摘后30小时，这种蔬菜失去的新鲜度为40％．那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去50％新鲜度（参考数据lg 2≈0．3，结果取整数）A ．23小时B ．33小时C ．50小时D ．56小时11．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f （x ）的图象恰好通过k 个整点，则称函数f （x ）为k 阶整点函数．下列函数不是一阶整点函数的是A ．y ＝2sinx ＋3B ．2cos 13y x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋－C ．y ＝lg （x ＋2）＋1，x ∈（3，9）D ．32y －12．已知过P （34，0）的直线与抛物线y 2＝3x （x ＞0）交于A ，B 两点，M 为弦AB 的中点，O 为坐标原点，直线OM 与抛物线的另一个交点为N ，则两点N 、M 纵坐标的比值范围是A ．（2，＋∞）B ．（3，＋∞）C ．[2，＋∞）D ．[3，＋∞）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．71x x x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为__________．14．据《九章算术》记载：将底面钝角为23π的菱形的直棱柱对角面斜割一分为二得到的两个一模一样的三棱柱体，古人称之为堑堵．若堑堵的所有棱长都为3，则其外接球的表面积为__________．15．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知23sin cos a b a Cc A⋅＋＝，则角C 的值为__________．16．已知两点F 、Q 分别是焦距为的双曲线C ：22221x y a b＝（a ＞0，b ＞0）的右焦点及左支上一动点，单位圆与y 轴的交点为P ，且｜PQ ｜＋｜QF ｜＋｜PF ｜≥13，则双曲线C 的离心率的最大值为__________．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）为全面贯彻落实《中华人民共和国国家通用语言文字法》，实现“普通话初步普及，社会用字基本规范”的城市语言文字工作目标，国家启动了三类城市语言文字规范化达标创建评估工作．评估验收专家组在对某县语言文字工作进行考查评估期间，到县属新华学校对学生进行问卷调查，被调查者之间回答问题相互独立、互不影响．工作人员在新华学校随机抽取了甲、乙、丙三名学生，每位学生从事先准备的5个问题中随机抽取2个问题进行问卷调查．计分规则为：答对一个问题计20分，答错一个扣10分，最终三名学生得分相加为该校最终评估得分，总分位于[60，120）评定为合格．其中甲、乙、丙分别能答对5个问题中的3个、4个、5个．（1）求甲、乙两名学生共计得分20分的概率；（2）设随机变量X 表示新华学校最终评估得分，求X 的分布列及数学期望，并求出该校为合格的概率．18．（本小题满分12分）已知数列{n a }、{n b }满足：1n a ＋＝2n a ＋1且1a ＝1，n b ＝()2log 1n a ＋．（1）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（2）数列{n c }满足：1n c －1n b ＝n na b ，其中n N *∈，若数列{n c }的前n 项和为n H ，求n H ．19．（本小题满分12分）在四面体PABC 中，BA 、BC 、BP 两两垂直，等腰三角形BAP的底边长为，点G 为PA 中点，BC＝EF 是△PAC的中位线．（1）求证：平面PAB ⊥平面GBC ；（2）线段AC 上一点N 满足NP ·BE＝0，求直线BE 与平面NPB 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221x y a b（a ＞b ＞0）的左、右焦点，椭圆上任意一点P到焦点距离的最小值与最大值之比为13，过F 1且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1的直线与椭圆C 相交的交点A 、B 与右焦点F 2所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值?若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）若函数f （x ）＝ae x －3x 2，（a ∈R ）．（1）讨论f （x ）的极值点的个数；（2）若x ∈[0，2]时，f （x ）≥0恒成立，则a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1极坐标方程为sin 4ρθ＝．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足｜OM ｜·｜OP ｜＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）已知F （－1，0），过点F 且倾斜角为6π的直线与C 2交于A 、B 两点，求｜FA ｜＋｜FB ｜．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，a 2＋b 2＝2．证明：（1）（a ＋b ）（a 3＋b 3）≥4；（2）a 2b ＋b 2a ≤2．河南省顶级名校2022届高三上学期9月开学联考数学（理科）试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
高三第一次联考数学试题及答案
高三第一次联考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(1)的值。
A. 2B. 3C. 4D. 52. 计算复数z = (1 + i)^2的模。
A. 2B. 1C. √2D. 03. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 3, 4}D. {1, 2}4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 2，公差d = 3，求a_5的值。
A. 17B. 14C. 11D. 85. 已知函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求其导数y'。
A. 3x^2 - 12x + 9B. x^2 - 6x + 9C. 3x^2 - 12x + 15D. x^2 - 6x + 156. 计算定积分∫(0, 1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 27. 已知直线l：2x + y - 3 = 0，求直线l与x轴的交点。
A. (3/2, 0)B. (3, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)8. 已知圆C：x^2 + y^2 - 6x + 8y + 24 = 0，求圆C的半径。
A. 2B. 4C. 6D. 89. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，求向量a与向量b的点积。
A. 11B. 10C. 8D. 710. 已知函数f(x) = sin(x)，求f'(π/2)的值。
B. 0C. -1D. 2二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1，求f'(x) = ________。
12. 已知等比数列{a_n}的首项a_1 = 4，公比q = 1/2，求a_4的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三入学第一次联合考试数学试卷（理）数 学 科 试 题 部 分（满分150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2{|20}A x x x =--<，{||1}B x x =<，则()A B =R ð（ ）A.(1,2)B.(1,2]C.[1,2)D.[1,2]2.设x R ∈,则“1x <”是“2x ≠”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值是（ ） A.2 B.92 C.32 D.34.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B.若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C.若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D.若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥5.将函数π()2tan 36x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A.π()2tan()134x g x =+-B.π()2tan()134x g x =-+C.π()2tan()1312x g x =-+D.π()2tan()1312x g x =--6.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半 径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ ）A.13B.12C.11D. 108.设函数()g x 是二次函数,2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,若函数[()]f g x 的值域是[0,)+∞,则函数（第3题图）正视图 侧视图x()g x 的值域是( )A.(,1][1,)-∞-+∞B.[0,)+∞C.(,1][0,)-∞-+∞D.[1,)+∞9.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ： ①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是( )A.①B.②C.②③D.②④10.设函数2()2,()ln 3x f x e x g x x x =+-=+-,若实数,a b 满足()()0f a g b ==,则( ) A.()0()g a f b << B.()0()f b g a << C.0()()g a f b << D.()()0f b g a <<第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩则1[()]f f e =_______________．12.若点M （y x ,）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥+-001012x y x y x 上的一个动点，则y x 2+的最大值是_______13.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则4a =___________ 14.已知cos sin 6⎛⎫-+= ⎪⎝⎭παα7sin 6⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα .15.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．16.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的最大值是______ 17.函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______________三、解答题(本大题共5小题，满分72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知函数2()sincos 333x x x f x =+.(Ⅰ)求该函数图象的对称轴；(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足2b ac =,求()f B 的取值范围.19.已知等差数列{}n a 的各项均为正数，133,7a a ==，其前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列,12b =，且2232,b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ； （Ⅱ）若2121111nx ax S S S +++≤++对任意正整数n 和任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．20.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥；（Ⅱ）若2,2AB PA ==,求二面角E AF C --的余弦值．21.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；PBECFA（Ⅱ）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.22.已知函数2()2||f x x x a =--.（Ⅰ）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； ，求函数()y f x =的单调递增区间； （Ⅲ）当0>a 时，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.联考数 学(理）参考答案一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分． 11．__1e __ 12．___1____ 13． _-8 14． ____35-____ 15．6 17． 1三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解：(Ⅰ)23)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin21)(++=++=++=πxx x x x x f由2sin()133x π+=±即231()(),33224x k k k z x k z ππππ+=+∈=+∈得 即对称轴为31(),24k x k z π=+∈……………………6分（Ⅱ）由已知b 2=a c2222221cos 2222125cos 1023333922sin()1sin()13333a c b a c ac ac ac B ac ac ac B B B B B ππππππ+-+--==≥=∴≤<∴<≤∴<+≤<+≤++≤+，，，， 即()f B 的值域为]231,3(+.……………………14分19．解：（1）设{}n a 的公差为d ，且0;d >{}n b 的公比为q13223(1),2327(6)23222n n n a n d b q a d S b d q d q -∴=+-=∴=+==+⋅==⎧∴⎨=⎩21,2nn n a n b ∴=+=…………………7分（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ ，∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++323342(1)(2)4n n n +=-<++，（10分） 问题等价于2()1f x x ax =++的最小值大于或等于34， 即23144a -≥，即21a ≤，解得11a -≤≤。
…………………14分 20. 解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥． （7分） （Ⅱ）解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ， 过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE △中，3sin 302EO AE ==3cos302AO AE ==，又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32sin 454SO AO ==，又SE===在Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠===P B E C FAO S即所求二面角的余弦值为5． （14分） 解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以(000)10)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)12AE AF ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，m m 因此111101022x y z =++=⎪⎩，． 取11z =-，则(021)=-，，m ， 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A=，所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量． 又(0)BD =，，所以cos 5BD BD BD<>===，m m m ． 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．21．解：（Ⅰ）由题意：c e a ==22311a b +=，又222c a b =-解得：224,1a b ==，即：椭圆E 的方程为2214x y += （1）……………5分 （Ⅱ）存在，3λ=。