6.2数理统计中几种常用的分布汇总
6.2数理统计中几种常用的分布.
性质3. 设T～t(n),则:T ～F(1,n) .
2
证明:
由t分布定义 T
2
X Y /n
其中X∼N(0,1),Y～χ (n),且X与Y相互独立. 2 2 (1) / 1 X /1 2 F T 2 Y /n ( n) / n
且 2 (1)与 2 ( n)相互独立.
由F分布定义, ∴ F = T2～F(1,n) .
2
条件: 的点χ
P ( n)
2 2
2
( n )
f ( x)dx
2
(n)为χ 2(n)分布的上分位点.
χ (n)分布 的上分位点 图形如右图.
χ2(n)分布的上分位点可以查 附表5.
2Hale Waihona Puke 13例1:求2 2 0 ( 10 ) ， )。 .05 0.1 (20
1.) 因为
P X z0.05 1 P X z0.05 1 0.05 0.95.
P X 1.64 0.9495.
P X 1.65 0.9505.
z0.05 1.64 1.65 1.645. 2
4
2.)
P X z0.005 1 PX z0.005 1 0.005 0.995.
i 1 n i 1
n
EX i2 n.
2 DX i
D D(
2n.
10
4.应用中心极限定理可得，若 若 X ~ 2 (n) ，则当n充分大时， X n 2n 的分布近似正态分布N(0,1).
11
2 (n)
分布的密度函 数的图形如右 图.
【2024版】概率论与数理统计(数理统计的基本概念)
X
2 n
)
D(
X
2 1
)
D(
X
2 2
)
D(
X
2 n
)
nD (
X
2 i
)
n{ E (
X
4 i
)
[E(
X
2 i
)]2
}
n
x4
1
2
e
x2 2
dx
12
n3
1
2n
23
若 2 ~ 2(n) 分布函数为F ( x)
,0 1 若F ( x) P{ 2 x}
则其解称为 2 分布 的 分位数(临界值)
0.15 00.1.155
000.1..11
N(0,1)
n=10 n=10 nn==33
n增大
000.0..00555
nnn===111
000
-5--55
-4--44
-3-3
-2-2
-1-1
00
11
22
33
444
555
t 分布的密度曲线关于y轴对称 随着n的增大, t 分布的密度曲线越陡
n 时，t 分布趋于标准正态分布N (0,1)
后,还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关 信息,利用数学的工具进行加工.
引入统计量的概念
12
定义 设( X1, X 2 ,, X n )为来自总体X的一个样本,
若n元函数f ( X1, X 2 ,, X n )不含任何未知参数,
则
称f
(
X
1
,
X
2
,,
X
n
)为X
1
,
X
2
数理统计中几种分布之间的关系
数理统计中几种分布之间的关系数理统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在许多领域中都扮演着重要角色。
在数理统计中，各种概率分布函数被广泛应用，用于描述和解释不同类型的数据。
在本文中，我们将探讨几种常见的概率分布之间的关系。
一、离散分布和连续分布之间的关系离散分布和连续分布是数理统计中两个基本的概率分布类型。
离散分布指的是随机变量取有限个或可数个值的分布，而连续分布则是指随机变量可以取无限个可能值的分布。
这两种分布之间的关系在很多方面都存在差异。
首先，在概率密度函数和概率质量函数上存在差异。
对于连续分布，它的概率密度函数可以在某个区间内取任意值，而对于离散分布，概率质量函数只能在随机变量可能取值的点上取非零值。
其次，在计算概率方面也存在差异。
对于离散分布，我们可以通过计算离散分布的概率质量函数来得到某个取值的概率。
而对于连续分布，我们需要计算某个区间的概率，通过计算连续分布的概率密度函数在该区间上的积分来实现。
另外，这两种分布在图形表示上也有所不同。
对于离散分布，我们通常使用柱状图或条形图来表示不同取值的概率。
而对于连续分布，我们通常使用曲线图来表示概率密度函数。
总之，离散分布和连续分布在定义、计算和图形表示等方面存在诸多差异，但它们又都是数理统计中不可或缺的重要分布类型。
二、正态分布和二项分布之间的关系正态分布和二项分布是数理统计中常用的两个分布类型。
正态分布也被称为高斯分布或钟形曲线，它在许多自然和社会现象中都有广泛的应用。
而二项分布则是在重复实验中出现成功的次数符合二项分布的概率分布。
正态分布和二项分布之间存在着一定的关系。
当重复实验次数很大、每次实验成功的概率很小或成功的次数很大时，二项分布可以近似为正态分布。
这是由于当重复实验次数很大时，二项分布的概率质量函数会逐渐趋近于正态分布的概率密度函数。
这种关系在实际应用中具有重要意义。
通过将二项分布近似为正态分布，我们可以利用正态分布的性质来进行概率计算和统计推断，从而简化问题的复杂性。
数理统计中几种分布之间的关系
数理统计中有几种常见的概率分布，包括正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在实际应用中有着重要的意义，它们之间的关系也是数理统计中的一个重要内容。
1. 正态分布正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它具有钟形曲线，呈现出中间高、两端低的特点。
正态分布有着许多重要的性质，比如均值和标准差能够完全描述一个正态分布。
在实际应用中，正态分布可以用来描述许多自然现象，比如身高、体重等。
另外，中心极限定理告诉我们，大量独立同分布的随机变量之和的分布趋于正态分布。
2. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
它适用于描述少量成功事件在长时间内发生的情况。
泊松分布的参数是平均发生率λ，它决定了事件发生的概率。
泊松分布在实际应用中被广泛运用，比如描述单位时间内接到的通信方式数、一段时间内发生的交通事故数等。
3. 指数分布指数分布是描述事件发生间隔时间的概率分布，它是泊松分布的补充。
指数分布的参数是事件发生率λ，它与泊松分布的参数相互关联。
指数分布常用来描述无记忆性的随机变量，比如设备的寿命、服务时间间隔等。
数理统计中，这三种分布之间存在着密切的联系。
正态分布和泊松分布在一定条件下可以近似互相转化。
当事件发生率λ趋向无穷大时，泊松分布将近似于正态分布。
而在一些特殊情况下，指数分布也可以退化为泊松分布。
这三种分布之间并不是孤立存在的，它们在一定条件下是相互联系、相互激发的。
在我的理解中，这三种概率分布之间的关系可以帮助我们更好地理解和应用概率统计的相关知识。
通过对它们之间关系的深入了解，我们可以更准确地选择合适的分布来描述实际问题，从而提高统计分析的准确性和实用性。
总结起来，正态分布、泊松分布和指数分布是数理统计中常见的概率分布，它们之间存在着密切的联系。
深入理解它们之间的关系有助于我们更好地应用统计学知识，提高数据分析的准确性和实用性。
希望通过本篇文章的阐述，能为读者带来一些启发和帮助。
6.2数理统计中几种常用的分布
f ( x )dx = α
α
o Fα(m,n) x
F分布的性质 分布的性质: 分布的性质 1 ~ F ( n, m ) (1) 若F~F(m,n),则 则 F 1 (2) F1−α ( m , n) = Fα ( n, m ) ∵1−α =P{F≥F1−α(m,n)} − −
1 1 }= 1 − P{ 1 > = P{ 1 ≤ } F F1−α ( m , n) F F1−α ( m , n) 1 }=α ⇒ P{ 1 > F F1−α ( m , n) 1 ⇒ = Fα ( n, m ) F1−α ( m , n)
α
o tα(n) t
t分布的性质 分布的性质: 分布的性质 (1) 其密度函数 是偶函数 其密度函数f(t)是偶函数 (2) t1−α(n)= −tα(n) − (3) f(t)的极限为 的极限为N(0,1)的密度函数 即 的密度函数,即 的极限为 的密度函数
lim f ( t ) = ϕ ( t ) =
∴
∑(
i =1
16
Xi − µ
σ
σ
) ~ χ (16)
2 2
σ ≤ 1 P{
2
2
∑(X 16
i =1
16
i
− µ ) ≤ 2σ }
2 2
= P {8 ≤ ∑ (
i =1
16
Xi − µ
σ
) ≤ 32}
2
16
= P {∑ (
iБайду номын сангаас=1
16
Xi − µ
σ
) ≥ 8} − P { ∑ (
2 i =1
Xi − µ
6.2 数理统计中几种常用的分布
概率论分布类型总结
概率论分布类型总结概率论分布类型总结概率论是数学中的一个分支，主要研究随机现象和随机事件的规律性。
在概率论中，分布是一个非常重要的概念，它描述了一个随机变量取不同值的可能性大小。
本文将对概率论中常见的分布类型进行全面详细的总结。
一、离散型分布1. 伯努利分布伯努利分布是一种最简单的离散型分布，它描述了只有两种结果（成功或失败）的试验。
伯努利分布有一个参数p，表示成功的概率。
若X 表示试验结果，则X=1表示成功，X=0表示失败。
伯努利分布的期望为E(X)=p，方差为Var(X)=p(1-p)。
2. 二项分布二项分布是由n个独立重复进行的伯努利试验组成，在每次试验中有成功和失败两种结果。
二项分布有两个参数n和p，其中n表示试验次数，p表示每次试验中成功的概率。
若X表示成功次数，则X服从二项分布。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
泊松分布只有一个参数λ，表示单位时间内该事件平均发生的次数。
若X表示单位时间内该事件发生的次数，则X服从泊松分布。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
二、连续型分布1. 均匀分布均匀分布是一种最简单的连续型分布，它描述了在一定范围内所有值出现的可能性相等。
均匀分布有两个参数a和b，表示取值范围[a,b]。
若X表示随机变量，则X服从均匀分布。
均匀分布的期望为E(X)=(a+b)/2，方差为Var(X)=(b-a)^2/12。
2. 正态分布正态分布是一种非常重要的连续型分布，它在自然界中广泛存在，并且在统计学中有着重要应用。
正态分布有两个参数μ和σ，其中μ表示期望，σ表示标准差。
若X表示随机变量，则X服从正态分布。
正态分布具有很多重要性质，例如68-95-99.7法则、中心极限定理等。
3. 指数分布指数分布适用于描述等待时间或寿命的概率分布。
指数分布只有一个参数λ，表示单位时间内事件发生的平均次数。
常用数据分布、二项分布，伯努利分布，正态分布
常用数据分布、二项分布，伯努利分布，正态分布数据分布数据分布是—种形象的数据描述方式，用各种统计图形将数据的分布形态形象地展现在图形上，指的是数据分概率分布或频数分布，即单个值在整个数据集中的分布。
基本概念1、随机变量：随机变量是随机事件在数量上的表现，按取值分类分为离散型随机变量和连续型随机变量。
例如随机在两男两女中抽取两个人，要求一男一女，有可能出现（男1 , 女1) 、（男1, 女2) 、（男2, 女1) 、（男2, 女2) I 我们关心的是—个男—个女，而并不关心是哪个男的配对哪个女的。
离散型随机变量：在一定区间内变星的取值为无数个或可数个，例如商品个数，人口总数等，主要包括：柏怒利随机变量、二项随机变量、几何随机变晕、泊松随机变星。
连续型随机变量在一定区间内变量的取值为无数个，数值无法进行一一列举，如血红蛋白的测定值等，主要包括：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量、正态随机变量。
2、古典概率：指事件中结果种类是确定的，且结果发生概率都相同，这种事件发生的概率被称古典概率，例如抛硬币和掷骰子等。
3、条件概率：指时间A在时间B已经发生的条件下所发生的的概率，例如掷骰子时第一次掷到1第二次掷到2的概率就是条件概率。
4、离散变量：指变量值可以按照—定顺序进行列举，通常以整数位取值的变量，例如：人口数、商品数等。
5、连续变量：指在一定区间中可以任意取值的变量，数值连续不断，可无限分隔，例如：生产零件的规格，身高体重等。
6、期望值：指在一个离散型随机变量试验中，每次可能出现的结果的概率乘以其结果的总和，不同于常识中的期望值，统计学中的期望值，也许和每—个结果都不相同离散变量分布1、二项分布：指在每次试验中只有两种可能的结果，例如：市场调研员询问消费者对某种洗发用品是否满意，其结果也只有两个，即满意与不满意；拨打朋友手机的结果，即接通与没接通。
如果某个事件或活动的结果多千两个，但只关心其中一个，也可以视为只有两个结果。
6.2数理统计中几种常用的分布
1.标准正态分布
2. 2分布
3. t分布 4. F分布
1. 标准正态分布
定义:设X~N(0,1),对任给的 , 0<<1,称满
足条件
P{X z } z ( x)dx
的点z为标准正态分布的上分位点 (x)
o z x
例1 求z0.05
F F1 (m, n)
P{
1 F
1 }
F1 (m, n)
1 F1 (m, n)
F (n, m)
（3） 若 X ~ t (n), 则 X 2 ~ F(1, n);
例5 设 F ~ F(24, 15) , 求 F1, F2, F3, 使其分别满足
P(F > F1 )= 0. 025 , P(F < F2 )= 0. 025 , P(F > F3 )= 0. 95 .
解 (1) 由 m =24, n=15, = 0. 025 , 查 P342 附表7 知
F1 = F0.025 (24 , 15)= 2.70 ;
(2) 无法直接查表获得,
但
P
(F
F2
)
P(
1 F
由 F 分布性质知 1/F ~ F(15, 24), 查附表7 知
1 F2
)
0.
025
,
1 F2
F0.025(15,
2(m
, 2),
n)
则
40
~ E若XYi4 221分布,x4则e当x22 dxn 充= 3分大时,
Y n 近似服从 N(0,1). 2n
应用中心极限定理可得
6
2分布的上分位点:
6.2概率论与数理统计
~
N (1
2
,
2
n
2
m
)
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 2 2
nm
(n 1)S12
2
~
2(n 1)
(m
1)S22
2
~
2(m
1)
(n 1)S12
2
(m
1)S22
2
~ 2(n m 2)
X Y
与
(n
1)S12
2
(m
1)S22
2
相互独立
( X Y ) (1 2 ) 2 2
(3)样本方差的分布
定理2 X1,
iid
, X n ~ N (, 2 ),
(1) X与S 2
相互独立；(2) 2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1);
说明:本定理是统计学的核心定理,其证明也是统计学 比较经典的证明.
三. 样本均值与样本方差适当比值的分布
1.t分布的定义
设 X ~ N(0,1) , Y ~ 2 (n), X ,Y相互独立,
§6.2 统计量及分布
一、统计量
1.定义：设X1， … ，Xn是取自于总体X的样本
称样本X1， … ，Xn 的函数g(X1， … ，Xn )且不含未 知参数,则称g(X1， … ，Xn )是总体X的一个统计量.
例：设X1， … ，Xn是取自于总体X～N , 2 的样本,
其中, 2未知
这里
1 n
n i 1
(Xi
X
)
2
1E n 1
n i 1
(Xi
X )2
1
n
E
n 1 i1
统计三大分布
根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，
可以证明（过程从略）：(6-13)中的
Tn
概率密度函数为
根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，可
以证明（过程从略）：(6-13)中 Tn 的概率
密度函数为
, x . fn(x)
Γ(
n1 2
)
n
Γ(
n 2
)
1
x2 n
n1 2
(6-14)
另外，t -分布具有以下性质：
变量不小于该数的概率为 . 比如，若记 2-
变量
2 n
的
-上侧分位数为，则满足（见图
6.2）.
fn (x)
2 (n)
x
图 6.2
对不太大的n，如
n
60，可用附表3查
2
(n)
的
值，而对较大的n，则可用（6-11）近似计
算
2 (n) n 2n U , (6-12)
其中U 是标准正态分布N(0,1)的 -上侧分位
数，可通过附表2查出.
二、t -分布
定则 自义称由6.2度T为设n nX的Y~XtN/ -n(0分,1)布，Y，(6~记-123作()n)所，Tn 服X~ t与从(n)Y的.独t分-立分布，布是
也称为学生分布，是英国统计学家戈塞特 （Goset，1876-1937）在1908年“Student”
的笔名首次发表的，这个分布在数理统计 中也占有重要的地位.
，则
顺便指出，自由度为1的t -分布也称为柯西
（Cauchy）分布，它以其数学期望和方差
均不存在而闻名（见例4.3）.
记t -分布t(n) 的 -上侧分位数为t (n)，附表4
给出了不同n和 所对应的t (n) 数值. 另外，
常见统计分布及其特点
附录一常见分布汇总一、二项分布二项分布Binomial Distribution,即重复n次的伯努利试验Bernoulli Experiment,用ξ表示随机试验的结果, 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是;二、泊松poisson分布1、概念当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np;通常当n≧10,p≦时,就可以用泊松公式近似得计算;2、特点——期望和方差均为λ;3、应用固定速率出现的事物;——在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客,以固定的平均瞬时速率λ或称密度随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间面积或体积内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布三、均匀分布uniform设连续型随机变量X的分布函数Fx=x-a/b-a,a≤x≤b则称随机变量X服从a,b上的均匀分布,记为X~Ua,b;四、指数分布Exponential Distribution1、概念2、特点——无记忆性1这种分布表现为均值越小,分布偏斜的越厉害;2无记忆性当s,t≥0时有PT>s+t|T>t=PT>s 即,如果T是某一元件的寿命,已知元件使用了t小时,它总共使用至少s+t小时的条件概率,与从开始使用时算起它使用至少s 小时的概率相等;3、应用在电子元器件的可靠性研究中,通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果五、正态分布Normal distribution1、概念2、中心极限定理与正态分布说明了正态分布的广泛存在,是统计分析的基础中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;有限的任意一个总体中抽取样本量为n的样本,当n充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布;3、特点——在总体的随机抽样中广泛存在;4、应用——正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础定理一：设X1,X2,X3.;;Xn是来自正态总体Nμ,δ2的样本,则有样本均值X~Nμ,δ2/n——总体方差常常未知,用t分布较多六、χ2卡方分布与方差有关chi-square distribution1、概念若n个相互独立的随机变量ξ、ξ、……、ξn ,均服从标准正态分布也称独立同分布于标准正态分布,则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布chi-squaredistribution,其中参数n称为注意假设随机干扰项呈正态分布;因此,卡方分布可以和RSS残差平方和联系起来;用RSS/δ2,所得的变量就是标准正态分布,就服从卡方分布;2、卡方分布的特点1分布的为自由度 n,记为 E = n;这个容易证明2分布的为2倍的自由度2n,记为 D = 2n;3如果互相独立,则：独立可加减服从分布,自由度；服从分布,自由度为3、图形特点4、应用定理二,设X1,X2,X3.;;Xn是来自正态总体Nμ,δ2的样本,则有样本均值X~Nμ,δ2/n1正态分布以及卡方分布是F检验的基础;大量的检验用到了F检验：F检验、三大检验;七、t学生分布用样本方差s来标准化——Student'st-distribution1、概念适用于δ2未知理解把样本标准正态化的U变换前提是方差已知,但总体方差是未知的,所以用样本方差来代替总体方差;根据中心极限定理,抽样服从方差为总体方差除以n 的正态分布;由于在实际工作中,往往σ是未知的,常用s作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换,统计量t 值的分布称为t分布u变换指把变量转换为标准正态分布思考为什么样本方差比总体方差要小因为一个是总体方差,一个是样本均值的方差;不同2、特点1与标准正态分布曲线相比,自由度v 越小,t 分布曲线愈平坦,曲线中间愈低,曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v 愈大,t 分布曲线愈接近正态分布曲线,当自由度v=∞时,t 分布曲线为标准正态分布曲线;定理三：设X1,X2,X3.;;Xn 是来自正态总体N μ,δ2的样本,则有样本均值X~N μ,δ2/n,S 为样本方差 ）（μ1-n t ~n /S X 注意S 是样本方差;中心极限定理说的是样本均值的方差;八、F 分布F-distribution1、概念F 分布定义为：设X 、Y 为两个独立的随机变量,X 服从自由度为k1的卡方分布,Y 服从自由度为k2的卡方分布,这2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布2、特点1它是一种非对称分布；2它有两个自由度,即n1 -1和n2-1,相应的分布记为F n1 –1, n2-1, n1 –1通常称为分子自由度, n2-1通常称为分母自由度；3F 分布是一个以自由度和为参数的分布族,不同的自由度决定了F 分布的形状;4F 分布的性质：5残差平方和之比通常与F分布有关;九、逻辑分布logistic分类评定模型——最早应用最广的离散选择模型1、概念2、特点用作增长曲线并为二进制响应建模;在生物统计和经济领域使用;Logistic 分布由尺度和位置参数描述;Logistic 分布没有形状参数,也就是说其概率密度函数只有一个形状;下列图形显示了不同参数值对 Logistic 分布的效应;尺度参数的效应位置参数的效应Logistic 分布的形状与正态分布的形状相似,但 Logistic 分布的尾部更长;十、伽马分布1、概念——伽玛分布Gamma Distribution是统计学的一种连续概率函数;Gamma分布中的参数α称为形状参数shape parameter,β称为scale parameter;假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间, 密度函数为特征函数为伽马分布的可加性当两随机变量服从Gamma分布,且单位时间内频率相同时,Gamma数学表达式若随机变量X具有概率密度其中α>0,β>0,则称随机变量X服从参数α,β的伽马分布,记作Gα,β.九、extreme value distribution 极值分布十、DF分布与ADF分布——用于时间序列平稳性的单位根检验;八、pareto分布十、weibull分布。
16几个常用的抽样分布与抽样分布定理
(s
0),
(s 1)
s (s) ,(12)
3
3．性质：
1）期望与方差
提示： 2
X
2 1
X
2 n
若 2 ~ 2(n)，则 E( 2)= n，D( 2)=2n
证明： 因为Xi～N(0, 1)
所以
E
(
X
2 i
)
D( Xi
) [E( Xi
)]2
1 0 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
2 1
/
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
29
定理2结论(3)
假定
2 1
2 2
2,
就有
t T ( X Y ) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
(n1 n2 2)
其中
S2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2
即
( X Y ) (1 2 )
13
Ｔ 的概率密度为
(s) xs1e x d x (s 0),
0
f (t)
( n 1) 2
(1
t2
)
n1
2,
(12)
t
n ( n) n
2
14
2．基本性质：
(1) f ( t ) 关于 t = 0(纵轴)对称。
(2) f ( t ) 的极限为 N(0, 1) 的密度函数，即
lim f (t) (t)
标准化
定理1：设总体 X ~ N ( , 2 ) ，X1, X2,…, Xn 是
来自总体 X 的样本，
概率论常见分布性质及应用
概率论常见分布性质及应用概率论是研究随机现象的规律性及概率性问题的数学分支。
常见的概率论分布有离散分布和连续分布两种。
下面将对常见的概率论分布性质及其应用进行详细阐述。
一、离散分布：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散分布，它只有两个取值0和1，其中0发生的概率为p，1发生的概率为q=1-p。
伯努利分布通常用来表示只有两个可能结果的试验，如掷硬币的结果。
应用：伯努利分布可以用于模拟二项分布的单次试验结果，也可以用于描述二分类问题的概率分布。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验，在每次试验中，都有成功的概率p，失败的概率q=1-p。
将n次伯努利试验的成功次数定义为X，X的取值为0到n。
二项分布的概率质量函数可以表示为P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)。
应用：二项分布可以用于模拟多次试验的结果，如投掷硬币、扔骰子等。
在实际应用中，二项分布也可以用于描述二分类问题的概率分布，如判断客户是否购买某个产品。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布描述了在一个固定时间间隔内某个事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为P(X=k) = (lambda^k * e^(-lambda)) / k!，其中lambda为事件发生的平均次数。
应用：泊松分布广泛应用于描述实际生活中的随机事件，如交通事故发生的次数、电话呼叫的次数等。
此外，泊松分布还可以用于模拟排队论中的到达与服务过程。
二、连续分布：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续分布，它的概率密度函数在一个有限区间内是常数，而在区间外为零。
均匀分布的概率密度函数可以表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a和b为区间的起始和结束点。
几种常用统计量的分布
P{
χ2
χ
2 a
(n)
}
f
a2 (n)
x dx a
的点χa 2(n)称为 χ2 分布单侧 分位点或双侧临界值，如图11-5 所示 .
图11-5
几种常用统计量的分布
定义4
设X ~ N ( ， 2 ) ，样本方差为S 2，则统计量χ2
(n
1)S 2
2
服从自由度为n
1
的χ 2分布，记作
χ2
n
/ n
几种常用统计量的分布
证明
X ~ N ( ， 2 ) ，( X1.，X 2 ， ，X n )是来自总体 X 的样本 ，
X
~
N ( ， 2 )(i 1，2 ，
，n) ，其线性函数 X
1 n
n i 1
Xi
也服从正态分布，即
E X
E1 n
n i 1
Xi
1n E
n i1
Xi
1 n n
(
EX i i 1，2
n) ，
1 n
1
DX
D n
i 1
Xi
n2
n
D Xi
i 1
1 n2 2 (
n2
n
X1 ，X 2 ， X n相互独立) ，
则X ~ N ( ， 2 ) ，故 X ~ N (0 ，1) .
n
/ n
几种常用统计量的分布
例1
解
因为总体 X 服从正态分布N 5 ，9 ，所以 X 服从正态分布N (5 ，9 ) ，故
图11-2
几种常用统计量的分布
显然，f x随着n不同而不同，且f x为偶函数 . 当n 时，有
lim f x
概率论与数理统计常用的统计分布
概率论与数理统计
2 X ~ N ( , ) ， X1 , X 2 ,... X n 是 定理 2 设总体
取自 X 的一个样本， X 与 S 为该样本的样 本均值与样本方差，则有
2 2 S 2 2 ( X i X )2 ~ 2 (n 1) （1） i 1
概率论与数理统计
设总体 X 的均值和方差 2 E( X ) , D( X ) 都存在. X1 , X 2 , , Xn 是来自总体 X 的样本，则 2 E ( X ) , D( X ) n , E ( S 2 ) 2
n n 1 1 E( X ) E( n X i ) n E( X i ) i 1 n i 1 n
n
X （2） T S / n ~ t (n 1)
概率论与数理统计
设 X1 , X 2 , , Xn 是总体 X ~ N ( , 2 ) 的样本， X , S 2分别为样本均值和样本方差，则有 X ~ t (n 1) S/ n 由定理一、定理二有 2 ( n 1) S X 2 Y ~ N ( 0 , 1) , 2 ~ (n 1) 2 / n 2 且 Y 与 独立，由 t 分布的定义有 X X / n Y ~ t (n 1) S/ n (n 1) S 2 / 2 S 2/n n 1
3 0.1 P3 |X | 99.7%. P | X | X | 0.03} 99.7%. P{| n 100
概率论与数理统计
例3 在设计导弹发射装置时, 重要事情之 一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方 差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标 中心的距离服从正态分布N(μ,100), 现在进 行了25次发射试验, 用S2记这25次试验中弹 着点偏离目标中心的距离的样本方差. 试求 S2超过50的概率.
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征概率分布是用来描述随机变量的取值的概率的函数。
不同的概率分布具有不同的特征和应用范围。
以下是常用的概率分布类型及其特征。
1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两个可能结果的离散随机变量的概率分布。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面。
伯努利分布的特征是它的均值和方差分别等于成功的概率（p）和失败的概率（1-p）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种描述离散随机变量成功次数的概率分布。
它描述了在n次独立试验中成功的次数。
例如，投掷一枚硬币n次，成功的次数即为正面出现的次数。
二项分布的特征是它的均值等于试验次数乘以成功概率，方差等于试验次数乘以成功概率乘以失败概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。
例如，在一小时内到达一些公共汽车站的乘客数。
泊松分布的特征是它的均值和方差相等，并且与单位时间内事件发生的频率（λ）相关。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，它以钟形曲线表示。
正态分布适用于连续变量，例如身高、体重等。
正态分布的特征是它的均值和方差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心，而方差决定了曲线的宽窄。
5. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：卡方分布适用于描述随机变量和它的平方之和的概率分布。
它在统计推断中经常用于检验统计模型的拟合优度。
卡方分布的特征是它的自由度决定了分布的形状。
6. t分布（Student's t-Distribution）：t分布适用于样本容量较小，总体标准差未知的情况。
t分布的特征是它的形状比正态分布更扁平，更厚尾。
7. F分布（F-Distribution）：F分布适用于进行方差分析等统计推断问题。
几种常见的分布
一、常见数据类型在正式的解释分布之前，我们先来看一看平时遇到的数据。
数据可大致分为离散型数据和连续型数据。
离散型数据离散型数据顾名思义就是只取几个特定的值。
例如：当你掷骰子的时候，结果只有1,2,3,4,5,6，不会出现类似1.5,2.5。
连续型数据在一个给定的范围内，连续型数据可以取任意值。
这个范围可以是有限的或者是无穷的。
例如：一个人的体重或者身高，可以取值54kg,54.4kg,54.33333kg等等都没有问题。
下面就开始介绍分布的类型。
二、分布类型伯努利分布（Bernoulli Distribution）首先从最简单的分布开始，伯努利分布实际上是一个听起来最容易理解的分布。
伯努利分布一次实验有两个可能的结果，比如1代表success及0代表failure。
随机变量X X一个取值为1并代表成功，成功概率为p p，一个取值为0表示失败，失败概率为q q或者说1−p1−p。
这里，概率分布函数为p x(1−p)1−x px(1−p)1−x，其中x∈(0,1)x∈(0,1)，我们也可以写成如下形式：P(x)={1−p，p，x=0x=1P(x)={1−p，x=0p，x=1成功和失败的概率没必要相同，也就是没必要都是0.5，但是这俩概率加和应该为1，比如可以是下面的图：这个图就是p(success)=0.15，p(failure)=0.85p(success)=0.15，p (failure)=0.85。
下面说一下随机变量的期望，一个分布的期望就是这个分布的均值。
服从伯努利分布的随机变量X X的期望值就是：E(X)=1∗p+0∗(1−p)=p E(X)=1∗p+0∗(1−p)=p服从伯努利分布的随机变量的方差是：V(X)=E(X2)−[E(X)]2=p−p2=p(1−p)V(X)=E(X2)−[E(X)]2=p−p2=p(1−p)还有许多伯努利分布的例子，比如说明天是否会下雨，今天会不会去健身，明天乒乓球比赛是不是会赢。
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一、
2
分布
二、t 分布 三、F分布
1
正态分布
定义: 设 X
N 0,1 即X的概率密度为 x2 1 x e 2, x 2
x2 2
对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
1 P X z 2
PT t (n)
t分布的上 分位点图形如 右图.
t分布的上分位 点可以查附表4.
t ( n )
f (t )dt
的点t(n)为t分布的上分位点.
t t1
18
例2:设 T～t(8),且P{|T|≤x0}=0.95,试求x0 的值.
解:P{|T|>x0}=1- P{|T|≤x0}=1-0.95=0.05, P{|T|>x0}= P{T>x0}+ P{T<-x0} 由t分布的概率密度函数的对称性知 P{T>x0}=P{T<-x0}
6
一、
2
2
分布
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1 , X 2 ,L , X n 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
X X2 L Xn
2 2 1 2
2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布. 记为
2 ~ 2 (n)
7
分布的密度函数为
[( n 1) 2] t f (t ) (1 ) n (n 2) n
2 n 1 2
, t
15
具有自由度为n的t分布的随机变量T的数 学期望和方差为:
E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对n >2 t分布的密度函数关于x=0对称，且
Lim f ( x; n) 0
n, D 2n
2
证：EX i 0, DX i 1,
2 i 4 i 2 2 i
X i ~ N (0,1)
EX i2 1,
DX EX ( EX ) 3 1 2, i 1,2,n
所以 E 2 E (
2
i 1 n i 1
n
X i2 )
2 Xi )
i 1 n i 1
n
EX i2 n.
2 DX i
D D(
2n.
10
4.应用中心极限定理可得，若 若 X ~ 2 (n) ，则当n充分大时， X n 2n 的分布近似正态分布N(0,1).
11
2 (n)
分布的密度函 数的图形如右 图.
12
χ 分布的分位点 对于(0,1)给定,称满足
P X 2.58 0.9951.
z0.005
3.) 同理可得
2.57 2.58 2.575 2
z0.001 3.01
5
一般, X与Y相互独立,且 X～N(1,12), Y～N(2,22) 则Z=X+Y仍然服从正态分布,且 X+Y～N(1+2,12+22), X-Y～N(1-2,12+22), 还可推广: 有限个相互独立的正态随机 变量的线性组合仍然服从正态分布
x
当n充分大时，其图形类似于标准正态分 布密度函数的图形.
16
f (x) 0.5 n=10 n=4 n=1
-3
-2
-1
o
1
2
3
x
图 6－ 4
不难看到，当n充分大时，t 分布近 似N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布 与N (0,1)分布相差很大.
17
t分布的分位点
T～t(n),对于(0,1)给定,称满足条件:
2
n y 1 1 n2 y2 e 2 f ( y ) 2 (n 2) 0
y0 y0
其中伽玛函数 ( x )通过积分
( x ) e t 0 来定义.
t x 1
dt , x 0
8
由 分布的定义，不难得到：
2
1. 设 X1 , X 2 ,L , X n 相互独立, 都服从正态分布 2 N ( , ), 则
2
1
2
2 2 ( X ) ~ ( n) i 2 i 1
n
2. 设 X 1 ~ (n1 ), X 2 ~ (n2 ),且X1,X2相互
2
独立，则 X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )
这个性质叫 分布的可加性.
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
2 2 2 ~ ( n ) 3.如果 , 则E
2
条件: 的点χ
P ( n)
2 2
2
( n )
f ( x)dx
2
(n)为χ 2(n)分布的上分位点.
χ (n)分布 的上分位点 图形如右图.
χ2(n)分布的上分位点可以查 附表5.
2
13
例1:求
2 2 0 ( 10 ) ， )。 .05 0.1 (20
解：从附表5查得
2 0.05 2 0.1
(10) 18.307 ，
(20) 28.412 ，
14
二、t 分布 2 定义: 设X～N(0,1) , Y～ (n) , 且X与Y相互 独立，则称变量 X T Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
t (n). 记为T～
T的密度函数为：
z
e
dx
的点 z 为标准正态分布的上
分位点
2
注:①图中阴影部分的面积为 , 它是事件 X z
发生的概率.
②
Z Z1
3
例. 求
z0.05 ,
z0.005 ,
z0.001 ,
即:已知, 求z .
解: 设X～N(0,1)
1.) 因为
P X z0.05 1 P X z0.05 1 0.05 0.95.
于是得P{|T|>x0}= 2 P{T>x0}=0.05 即 P{T>x0}=0.025, x0 =t0.025(8).
查表得t0.025(8)=2.3060. 即 x0 =2.3060.
P X 1.64 0.9495.
P X 1.65 0.9505.
z0.05 1.64 1.65 1.645. 2
4
2.)
P X z0.005 1 PX z0.005 1 0.005 0.995.
查表得:
P X 2.57 0.9949.