粘性流体力学第一章

现代混沌理论。70年代以来湍流发表的另一个 重要的方面是现代混沌理论（Chaos），从1963年 Lorenz开始，将Navier－Stokes方程简化成三个一 阶常微分方程组成的非线性动力系统。随着参数的 变化它会经历稳定解、周期解、具有间歇性的解和 湍乱无章的混沌解，这正是湍流发展过程和完全发 展了的湍流所具有的特征。

边界层的实验测量
在湍流边界层计算的发展中，边界层的实验测量， 其中最主要的是对速度分布规律的研究，这方面的 成果有普朗特（Prandtl 1933年）的内层律，卡门 的外层律（Karman 1930年），克劳塞（Clauser 1954年，1956年）压力梯度对外层律影响的修正， 科尔斯（Coles）的尾迹律, 以及1960年代克兰 （Kline）开始用氢气泡技术观察到的边界层猝发 (burst)现象。

第一节 粘性流体力学的发展
1、研究流体粘性的意义






流体存在着粘性，粘性是流体阻止其本身流动 的性质。当流场中存在速度梯度时，流体就会 产生阻力，这就是粘性。 在求解运动物体在流体中的阻力，以及涡旋的 扩散、热量的传递等问题时，粘性会起主导作 用不能忽略。 粘性流体力学就是研究在粘性不能忽略情况下 的流体的宏观运动，以及流体和在其中运动的 物体之间相互作用所遵循的规律。

在半经验理论基础上60年代以后进一步提出模式 理论——湍流计算模型主要有代数型零方程模型，包 括CS（Cebeci and Smith 1968）、PS（Patankar and Spalding 1968）和MH（Mellor and Herring 1968） 等模型；等效粘度模型（EVM），如常见一个方程和两 个方程（k-ε ）模型；以及应力代数模型（ASM），应 力微分模型（DSM），在应力模型方面周培源教授有重 大的贡献。
构造湍流模式总须引进封闭假设和待定常数。促使 人们考虑直接从Navier-Stokes方程出发模拟湍流，这 就是湍流的直接数值模拟(DNS),也称完全湍流数值模拟 （FTS）和大涡模拟（LES）。

湍流的数值模拟方法
谱方法 直接法(DNS) 伪谱法 涡动力学法 湍流研究方法 统计平均法 雷诺平均法(RANS) 统计法 大涡模拟(LES) 格子 Boltzmann 法(LBM)

微分解法

60年代以后随着计算机的发展，边界层的微分解 法也发展起来。1968年斯坦福（Stanford）大学举行 了一次专门会议估计常用的湍流边界层计算方法的精 度，确认了偏微分方程的解法比积分关系式方法更精 确，更普遍。 有层流边界层的SC法（Smith and Clutter 1963年） 和湍流边界层的CS法（Cebeci and Smith 1967年）。 有关三维边界层和边界层分离计算仍在不断发展。 有关湍流计算的模式理论等仍适用边界层的计算， 有关边界层流动的研究也是这些理论和方法发展的动 力。

1905年普朗特和1908年布拉休斯（Blasius）对平 板边界层引入了相似性解。

积分关系式法
1921年卡门（Von Karman）和波尔豪森 （Pohlhauses）引入了动量积分方程。从而提出了边 界层的动量积分关系式解法。 湍流边界层的积分关系式解法有多种，其中用的比 较广泛的是希德法（Head 1958年），此法的主要缺点 忽略了边界层上游的历史影响。 有多种改进和推广此法的方法，其中格林法 （Green 1973年）考虑了雷诺应力的变化以及上游的 历史影响，总的精度有明显的提高。以后依斯特 （East 1977年）把Green法发展成解湍流边界层的逆 方法，以便预估分离流动，得到了较好的结果

边界层逆解法
边界层计算的另一个活跃领域是边界层的逆解法。对 于二维定常分离边界层，当给定时，边界层方程在分离点 是奇点，用正解法无法求解。 D. Catherall et al（1966）首先提出了二维边界层 积分型逆解法。在二维边界层上主要应用East（1977）的 逆解法。 三维边界层在分离现象、判别和模拟方面比二维复杂， J. Cousteix(1981)提出了三维边界层的逆解法。以后Le Ballear（1981），Delery J and Formery（1983）， Radwan S. F. （1984）和Edwards D.E.（1987）等都进 行边界层逆解法的计算，并取得了满意的结果。

三维边界层计算和边界层的逆解法
边界层的计算主要集中发展了三维边界层计算和 边界层的逆解法的研究。

三维边界层的积分关系式法 主要是把Head法推广到三维边界层的计算，其中有 Moore. J （1973）计算径流叶轮的轮毂、外缘和叶片 面的三维边界层；Akakawa et al（1980）计算了轴流 泵叶片的三维边界层，并得出叶片后缘的脱流区； Lakshminarayance（1981）计算了透平叶片的三维边界 层；Furakawa et al计算水泵叶轮环面和叶片面边界层。

Cp 

( p  p )

1 2 U  2

 1  4sin 2 

图1－2 圆柱绕流的势流解

2、粘性流体力学的发展
粘性流体力学在理论上的发展首先是纳维（Navier 1827年在欧拉方程中加上了粘性项。 经过柯西（Cauchy）、泊松（Poisson 1829年）和 维纳特（Vanant 1843年）等人的研究。最后由斯托克 斯（Stokes 1845年）完成粘性流体运动的动量方程 （Navier－Stokes方程）。

差分法求解三维边界层

用差分法求解三维边界层较晚。 Nash. J. F.（1972）用一阶精度的显式差分 求解了机翼三维边界层，Nash. J. F.（1976）， Cebeci. J . et al(1977), Melean J. D. (1977), Tassa A. et al(1982)用隐式差分求解 了三维边界层。 Vatsa V. N (1984)导出了非正交旋转坐标系 中的三维边界层方程，引入了二维Levy－Less变 换，用零方程湍流模型方程封闭，并用分块因子 法求解。Anderson O. L. (1987)计算了叶轮叶片 面三维边界层。

积分关系式法在跨边界层积分时不可避免的要 失掉很多边界层的信息，不能反映边界层的湍流结 构，如切应力的分布，而且它需要对边界层的速度 剖面进行假设，所以此法不适用边界条件突然变化 和分离等情况。 但是在流体机械中，为了工程上的需要，此法 还要进一步发展以适用于三维边界层、非定常边界 层、可压缩边界层及温度边界层等分析计算的要求。
粘性流体力学
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 粘性流体的基本概念 粘性流体力学的基本方程 层流－NS方程的精确解 不可压流体层流边界层 层流不稳定性和转捩 湍流基本理论 不可压缩流体湍流边界层 射流与尾迹 内部流动

第一章 粘性流体的基本概念
第一节 粘性流体力学的发展 第二节 两种基本流态——层流、湍流 和雷诺数 第三节 流体的传输性质 第四节 应变率张量和应力张量 第五节 广义牛顿定律

2、粘性的影响
均匀流动流过一个二维圆柱（半径为R）的理想流 动的解是一个均匀流U∞与一个偶极子叠加而得到的势 y 流解。
B R r C

U  P

A
Hale Waihona Puke Baidu
R2 ur  U  cos  (1  2 ) r x R2 u  U  sin  (1  2 ) r

p  p 


2

2 U (1  4sin 2  )

雷诺平均湍流模式理论
代数涡粘模型 涡粘性模型 单方程模型 标准 k   双方程模型 Reynolds 平均理论 重整化群 k   二阶矩应力方程模型 Reynolds 应力模型 代数应力方程模型(ASM)

小尺度湍流分量的描述
研究原因：初始条件的微小扰动，经过一段时间 的发展可以完全改变湍流运动的细节；但是高雷诺数 的完全发展湍流的统计平均行为是稳定的。完全发展 湍流的这一特征决定了统计理论在湍流研究中的地位。 在湍流的统计理论中1922年L.Richardson提出了能 量串级过程，G. Taylor1935年引入了均匀和各向同性 湍流的概念。1941年Kolmogorov提出了小尺度分量的 新的相似性假设和局部各向同性湍流的理论。根据这 些假设推出了一些定律，直至60年代才能得到实验的 验证。

B

图1－1 雷诺试验

G T

K

如果试管内流速逐渐提高，可以看出颜色流束逐渐波动， 但还与周围流体没发生混杂。随着流速的进一步提高，颜色流 束开始断开，发生了局部混杂。当到某一流速Vcr＇（上临界流 速）时，颜色流体在尖针出口即与周围流体发生混杂，整个玻 璃管呈淡的颜色流。可以认为此时层流流态已完全破坏，流体 微团间发生强烈的动量交换，液流呈不规律的湍乱状态，称为 湍流。

1904年普朗特（Ludwig Prandtl）提出了边界层理 论，才把实验与理论分析结合起来。以后粘性流体力 学主要在边界层理论和湍流理论两个方面发展起来。

3 边界层理论的发展概况
边界层理论的建立
1904年普朗特提出了边界层理论，把流体分成两个 区域，离物面很近的区域，速度梯度很大，粘性力起很 大作用，但这层流体很薄，称作边界层，而外层按无粘 性流动处理。

如果实验开始是湍 流，逐渐减小管内 流速，到某一临界 值Vcr（下临界速 度,Vcr< Vcr＇）流 动也可以恢复到层 流状态。可以看出 实际流动中可以有 两种决然不同的状 态,层流与湍流， 这两种流动状态的 运动规律是完全不 同的。

对于确定的流体，温度固定（即粘度确定）时， 其流态决定于临界速度。因此引用下列量纲为1的组 合数作为判别流态的准则，对于管流： ' V Vcr d Vd ' cr d Recr  Recr  Re     称为雷诺数，d是管径， 是粘性系数。 上述试验上临界雷诺数和下临界雷诺数. 当 Re> Recr＇ 时为湍流， 当 Re < Recr 时为层流， 当 Recr＇> Re > Recr时，可以是湍流也可以是层流， 工程上多按湍流处理。 圆管中的临界雷诺数为：Recr ＝2300和 Recr＇ ＝ 8000～12000。

第二节 两种基本流态——层流、 湍流和雷诺数
1、层流和湍流
粘性流动存在两种流态——层流和湍流
Reynolds在1883年的著名试验研究了这一现象。 试验装置如图1－1所示。当大容器T中的流体处 于某一温度之下，阀门 K 开度很小时，玻璃管 G 内流 体以极低速度流动；此时，如让另一种与容器T内流 体比较相近似的有颜色的流体自小容器 B通过细管和 尖针流入玻璃管G，可以看出此股有颜色流体的流束 与周围的流体不发生混杂。此时流体做层状流动， 这种流体分层的流动状态叫做层流。流体层间只有 分子级的动量交换，而看不出流体间的混掺。

周培源1976年研究了网后均匀各向同性湍流的衰减 规律。同时在统计理论方面对湍流的封闭性做了很多工 作，主要有准正则近似理论、Kraichnan的直接相互近 似（DIA）和应用非平衡统计力学方法解决湍流的封闭 性问题。 湍流的拟序结构。70年代以来湍流的拟序结构成为 了研究湍流结构的新的起点。湍流的特征是间歇有序性， 即拟序结构的触发是不规律的，但一旦触发，它以近乎 确定的规律发展。这方面的研究包括发现和证实拟序结 构，如边界层中的猝发现象、混合层中的大涡；利用现 代信息处理技术（条件采样，模式识别）检测和分析拟 序结构；定量描述和了解拟序结构的生成和发展，应用 它控制湍流，和构造湍流模式。

4、湍流理论发展概况
致力于湍流大尺度分量的描述
大尺度分量与流动的边界条件和外力性质有关， 如湍流中动量和热量的交换，对于工程问题很重要。 在这方面对于管流、渠道、自由湍流和边界层做了很 多试验，在试验基础上产生了湍流的半经验理论。 这个理论主要包括20－30年代产生的Prandtl的混和 长度理论，Taylor的涡量传输理论和Karman的相似性 理论。这些半经验理论基于湍流微团运动和分子运动 的类比。