粘性流体力学参考资料

2
l12
d 2 u1 dx22
2
2
(6－45）
l1 是附加混合长度，不过由试验确定 l1 很复杂。 d、混合长度理论没有考虑压力脉动对动量传递的影响，
而压力脉动可以跨越lm而传递的，考虑到压力脉动的影 响，流体微团的动量不可能在lm范围内保持不变。
12
Karman相似理论：Karman（1930）提出了一种湍流 局部相似性假设。他认为在自由湍流场中各空间点的湍 流脉动具有几何相似性，也就是说，各点的湍流脉动对 同一个时间尺度和长度尺度只有比例系数的差别，因此 只要用一个时间和速度比尺就能确定湍动结构。对于二
(6－39）
9
t
lm2
du1 dx2
(6－40）
根据实验研究可以得到以下几点： a、由试验得到的 lm ，不象假设的那样为流体微团的
尺寸，而是与流动的平均尺度一样的量级。 b 、lm 不 是 空 间 常 数 。 在 边 界 层 中 根 据 尼 古 拉 兹 和
Klebanoff试验，在内层（壁面区）
lm
i
kx2
(6－41）
t
i
kx2v*
式中i表示内层，k=0.40~0.41，v*
阻力。
w
,
w是壁面摩擦
10
在边界层的外层（核心区）：
lm o 1 t o 2v*
(6－42）
式中o表示外层，1 0.075 ~ 0.09 ， 2 0.06 ~ 0.075 ，
为间隙因子。
Van Driest（1959）年提出在内层：
对三维流动
u1u2
t
u1 x2
t
u1 x2
uiu
j
t
Dij
t
ui x j
u j xi
2 t Sij
(6－34） (6－35）
3
应力张量表示
ij pij t Dij
(6－36）
其中： t湍流动力粘性系数，或称涡旋粘性系数，t t 是湍流运动粘性系数。
上述假设所以能提出是基于对湍流脉动引起的动量
速度与混合长度lm的乘积成正比
t u1lm
混合长度lm类比于气体分子运动的自由行程，在lm一段
特征长度之内湍流微团保持自己的动量不变。
6
图6－6 混合长度与脉 动速度
对于图中二维不可压定常湍流：
ux2 l ux2 ux2 l
假设微团从x2 l 或 x2 l运动至 x2，对于 x2 来讲，
脉动速度
u
2
0
或
u
2
0
，
7
u1
x2
l
u1
x2
l
d u1(x2 ) dx2
x x2
... ...
u1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u1 x2
l
u1 x2
l
d u1 dx2
由于u1 ~ u1, 所以微团从 x2 l 运动到 x2 时 u1 0,
u2还 可0，以也认就为是u说2 u~1u和1，u这2 是是异因号为的当。x2 l 处的微团
交换与气体分子运动引起的粘性切应力进行简单的类比
的结果。对于 一般在定温下可认为是常数，但 t不
是常量，因为湍流的动量交换取决于湍流的平均运动。
流动只在一个方向上有明确的速度梯度时，可以认
为 t是个标量。在一般情况下，当i=j时
uiui
2k
2 t
ui xi
(6－37）
4
式中k为湍动能(k
1 2
uiui )
雷诺统计模式以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、 张量分析和其他手段，包含合理的推理和猜测，提出假设， 建立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。 迄今为止的湍流模拟没有一个是建立在完全严密的理论基础 上，因此也称之为湍流的半经验理论。目前虽然没有建立适 用于任何流动条件的通用湍流模式的前景，但针对各种具体 流动，已成功地发展了一些模型，它们在工程技术应用中发 挥着越来越大的作用。
目前的湍流统计模式主要有两类:湍流涡粘模式和雷诺应 力模式。
2
1、湍流涡粘模式
涡粘模式理论是目前工程中常用的模式，它的表达 式和分子粘性类似，因此比较容易将N－S方程数值解 法推广到雷诺平均方程的计算中来。
(1)、涡粘性模型
布西内斯克（Boussinesq J.,1877）提出二维湍流
的雷诺应力与粘性应力作用相似的假设，即局部的雷 诺应力与平均速度梯度成正比：
维湍流场，混合长度lm的表达式为：
lm
k du1 d 2 u1
dx1 dx12
(6－46）
二维湍流场中，流体微团的动量传递还伴随着旋转，
（UP是射流入射速度，d是射流孔径）。当UP＝40m/s ，
d=25mm，则 t 0.0116m2 / s 大约是空气 的1000倍。
5
（2）混合长度理论
Prandtl混合长度理论依然从Boussinesq的假设 出发，对于二维湍流，令：
t
t
u1 x2
式中 t 为湍流雷诺切应力，并 t 认为与湍流的脉动
到达点 x2 时，恰巧在 x2 l 微团的左边时，就会产
生碰撞，而产生横向运动 u1 ，这样 u2 ~ u1 。同样, 当向两中个间微 补团 充到 也达 会产x2生点u2时。向相反运动时，周围的微团会
8
图6－7 u2的产生
认为
u
2
常数 l du1 dx2
12
u1u2
lm 2
du1 dx2
du1 dx2
lm
i
k
x2
1
exp
x2
25.3v
(6－43）
11
式中k 0.435 ，在外层：
lm o 0.09
(6－44）
c、根据上述公式在管流中 u1
u1 max
时，u1
x2
0
，那么，
t12 0 ，而事实上 t12 0 ，为此Prandtl提出修正：
1
t12
lm
2
d u1 dx1
第六章 湍流基本理论
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
湍流的基本特征和统计平均方法 湍流连续方程和雷诺方程 湍流能量方程 雷诺平均统计模式 湍流的相关函数和谱分析 拟序结构 湍流大涡数值模拟
1
第四节 雷诺平均统计模式
在雷诺方程中的不封闭量是雷诺应力，因此统计模式的 目标是封闭雷诺平均方程，建立足够的雷诺应力方程组（代 数的、微分的或一般泛函形式的）使得平均运动方程可解。
ui 0 xi
那么 uiui 0
，如果 t 是一个标量，
，而实际上
uiui
2k 3
。
为此Boussinesq修正（6－35），提出对于三维湍流
uiu
j
2 3
kij
t
Dij
(6－38）
Townsend.A.A测得在圆柱尾迹的充分湍流区，
t
0.0164U
0
d
,
(U
是来流速度，d是圆柱直径）。
0
Hinze J.O.在空气的圆截面射流中测得t 0.0116U pd