四川省雅安市高三数学第三次诊断考试试题理(扫描版,无答案)
四川省雅安市高三数学下学期第三次诊断考试试卷 理(含解析)
四川省雅安市2017届高三下学期第三次诊断考试理科数学一、选择题：共12题1．设全集U={0,-1,-2,-3,-4}，集合M={0,-1,-2}，N={0,-3,-4}，那么(CUM)∩N为A.{0} B.{-3,-4} C.{-1,-2} D.∅【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算.依题意，全集U={0,-1,-2,-3,-4}，集合M={0,-1,-2}，N={0,-3,-4}，CUM={-3,-4}，那么(CUM)∩N={-3,-4}，故选B.2．复数z=-3+i2+i的共轭复数是A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】本题主要考查复数的概念及复数的四则运算.复数z=-3+i2+i=(-3+i)(2-i)(2+i)(2-i)=-5+5i5=-1+i，其共轭复数是-1-i，故选D.3．若y=f(x)是定义域在R上的函数，则y=f(x)为奇函数的一个充要条件为A.f(0)=0B.对∀x∈R，f(x)=0都成立C.∃x0∈R，使得f(x0)+f(-x0)=0D.对∀x∈R，f(x)+f(-x)=0都成立【答案】D【解析】本题主要考查函数的性质.对于选项A，f(0)=0为y=f(x)为奇函数必要不充分条件；对于选项B，对∀x∈R，f(x)=0都成立为奇函数必要不充分条件；对于选项C，∃x0∈R，使得f(x0)+f(-x0)=0为奇函数必要不充分条件；对于选项D，根据函数奇偶性定义，对∀x∈R，f(x)+f(-x)=0都成立y=f(x)为奇函数的一个充要条件，故选D.4．0πcosxdx=A.1B.-2C.0D.π【答案】C【解析】本题主要考查定积分.0πcosxdx=sinx|0π=sinπ-sin0=0，故选C.5．执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为A.i≤3B.i≤4C.i≤6D.i≤7【答案】A【解析】本题考查流程图.第一次,S=1+21=3,i=1+1=2; 第二次,S=3+22=7,i=2+1=3;第三次,S=7+23=15,i=3+1=4; 第四次,S=15+24=31,i=4+1=5.输出31,所以判断框中应填入的条件为i≤3.选A.【备注】高考中流程图的考查一般不超过5步即可出结果,注意运算过程的准确性.6．将函数f(x)=sin(4x+π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后关于直线x=π12对称，则φ的最小值为A.π6B.5π24C.π4D.7π24【答案】B【解析】本题主要考查三角函数图像及三角函数性质.将函数f(x)=sin(4x+π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位得y=sin[4(x+φ)+π3]，其图像关于直线x=π12对称，则4(π12+φ)+π3=kπ+π2,k∈Z，解得φ=kπ4-π24,，当k=1时，k∈Z，φ的最小值为5π24，故选B.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.3πB.10π3C.6πD.8π3【答案】A【解析】本题主要考查三视图及空间几何体的体积.依题意，该几何体为圆柱的一部分，将两个该几何体拼接成一个圆柱，圆柱体积为12×π×(2+4)=6π，故该几何体体积为3π，故选A.8．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是A.(-∞,-2)B.[-2,+∞)C.[-2,2]D.[0,+∞)【答案】B【解析】本题主要考查基本不等式.当x=0时，不等式恒成立，当x≠0时，将问题转化为-a≤1|x|+|x|，由1|x|+|x|≥2，故-a≤2即a≥-2，故选B.9．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)，则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是A.16(π-3)B.16(π-2)C.8(2π-32)D.8(2π-3)【答案】B【解析】本题主要考查空间几何体的表面积.设该四棱柱高为h，由球的直径为四棱柱的体对角线，即22+22+h2=42，得h=22，则四棱柱的侧面积S侧=4×2×22=142，球的表面积为S=4π×22=16π，则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16(π-2)，故选B.10．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A=3asinB，且c=2b，则ab等于A.32B.43C.2D.3【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理及余弦定理.由2bsin2A=3asinB，得4sinBsinAcosA=3sinAsinB，得cosA=34，又c=2b，根据余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2×34=2b2，得ab=2，故选C.11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且当PA与抛物线相切时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A.5-12B.2+12C.2+1D.5-1【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，由|PA|=m|PB|，则|PA|=m|PN|则1m=|PN||PA|设PA的倾斜角为α,则sinα=1m，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1)，即x2-4kx+4=0，则△=16k2-16=0，则k=±1，则P(2,1)，则双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(2-1)，则双曲线的离心率为22(2-1)=2+1，故选C.12．已知函数f(x)=|lnx|，g(x)=0|x2-4|-2(0<x≤1)(x>1)则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为A.2个B.4个C.6个D.8个【答案】B【解析】本题主要考查函数与方程.当0＜x≤1时，|f(x)+g(x)|=|lnx|.由|lnx|=1，得x=1e或x=e（舍）.当x＞1时，由|f(x)+g(x)|=1，则g(x)=1-f(x)或g(x)=-1-f(x)，作图.由图（1）知g(x)=1-f(x)有两个实数根，由图（2）知g(x)=-1-f(x)有1个实数根.综上，|f(x)+g(x)|=1有4个实数根，故选B.二、填空题：共4题13．变量x，y满足约束条件x+y-2≥0x-y-2≤0y≥1，则目标函数z=x+3y的最小值.【答案】4【解析】本题主要考查简单的线性规划问题.依题意，作出可行域，当目标函数z=x+3y平移至点A(1,1)时，z取最小值为4，故填4.14．展开式(x2-2x3)5中的常数项为.【答案】40【解析】本题主要考查二项式定理.依题意，展开式(x2-2x3)5中的通项为Tr+1=C5r(x2)5-r(-2x3)r=C5r(-2)rx10-5r，令10-5r=0得r=2，故展开式中的常数项为C52(-2)2=40，故填40.15．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有个.【答案】27个【解析】本题主要考查两个计数原理.由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，先考虑等边三角形情况则a=b=c=1，2，3，4，5，6，此时n有6个再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b当a=b=1时，c<a+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；当a=b=2时,c<4,则c=1,3(c=2的情况等边三角形已经讨论了)，此时n有2个；当a=b=3时，c<6，则c=1，2，4，5，此时n有4个；当a=b=4时，c<8，则c=1，2，3，5，6，有5个；当a=b=5时，c<10，有c=1，2，3，4，6，有5个；当a=b=6时，c<12，有c=1，2，3，4，5，有5个；由加法原理知n有2+4+5+5+5+6=27，故填27.16．直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N.若c2=a2+b2，P为圆O上任意一点，则PM⋅PN的取值范围是.【答案】[-6,10]【解析】本题主要考查平面向量数量积.取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，由c2=a2+b2，则O点到直线MN的距离OA=|c|a2+b2=1，x2+y2=16的半径r=4，则Rt△AON中,设∠AON=θ,得cosθ=OAON=14，cos∠MON=cos2θ=2cos2θ-1=18-1=-78，可得,OM⋅ON=|OM|⋅|ON|cos∠MON=4×4×(-78)=-14，则PM⋅PN=(OM-OP)⋅(ON-OP)=OM⋅ON+OP2-OP⋅(OM+ON)=-14+16-2OP⋅OA=2-2|OP|⋅|OA|⋅cos∠AOP=2-8cos∠AOP，当OP,OA同向时，取得最小值且为2-8=-6，当OP,OA反向时，取得最大值且为2+8=10.则PM⋅PN的取值范围是-6,10，故填[-6,10].三、解答题：共7题17．在等差数列{an}中，a2+a7=-23，a3+a8=-29(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an+bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.【答案】(1)设等差数列{an}的公差是d.由已知(a3+a8)-(a2+a7)=2d=-6∴d=-3∴a2+a7=2a1+7d=-23，得a1=-1，∴数列{an}的通项公式为an=-3n+2(2)由数列{an+bn}是首项为1，公比为q的等比数列，∴an+bn=qn-1，∴bn=qn-1-an=3n-2+qn-1，∴Sn=[1+4+7+⋯+(3n-2)]+(1+q+q2+⋯+qn-1)∴当q=1时，Sn=n(3n-1)2+n=3n2+n2当q≠1时，Sn=n(3n-1)2+1-qn1-q【解析】本题主要考查数列的通项公式及数列求和.(1)设等差数列{an}的公差是d.利用(a3+a8)-(a2+a7)=2d=-6，求得d的值，代入a2+a7=-23求得a1，从而求得数列的通项公式.(2)由数列{an+bn}是首项为1，公比为q的等比数列，得an+bn=qn-1，由(1)得bn=qn-1-an=3n-2+qn-1，利用分组求和对q进行讨论求得数列的和.18．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,你是否有理由认为“体育迷”与性别有关？(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为x.若每次抽取的结果是相互独立的,求x的分布列,期望e(x)和方差d(x).附：x2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2【答案】(Ⅰ)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下：由2×2列联表中数据代入公式计算,得：x2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100×(30×10-45×15)275×25×45×55=10033≈3.030.因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14,由题意,X～B(3,14),从而X的分布列为：E(X)=np=3×14=34,D(X)=np(1-p)=3×14×34=916.【解析】本题考查统计案例及随机变量的期望值与方差.解答本题时要注意(1)利用题中所给的数据，计算得到相关数据，通过对比确定是否具有相关性；(2)根据条件确定随机变量所成分布列机器类型，并利用二项分布的计算公式求随机变量的期望值与方差.19．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=10.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若二面角A-PC-D的大小为60°，求AP的值.【答案】(1)证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得CE=BC-AD2=1，DE=DC2-CE2=3，所以BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，所以∠BOC=90°，即AC⊥BD.由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC.(2)作OH⊥PC于点H，连接DH.由(1)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC.所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH.故∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，所以∠DHO=60°.在Rt△DOH中，由DO=2，得OH=63.在Rt△PAC中，PAPC=OHOC.设PA=x，可得xx2+18=36.解得x=32211，即AP=32211.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理及空间角.(1)设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E.利用四边形ABCD求得CE，DE的值，从而求得∠DBC=∠BCA=45°，∠BOC=90°，即AC⊥BD，然后利用线面垂直的判定定理证得BD⊥平面PAC.(2)作OH⊥PC于点H，连接DH.利用(1)证得∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，且∠DHO=60°，在Rt△PAC中，解三角形求得AP的值.20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为22，直线l：y=kx+m 与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点(0,-12).(1)求椭圆C的标准方程；(2)当△AOB(O为坐标原点)面积取最大值时，求直线l的方程.【答案】(1)由已知可得e=ca=22,2b=2,a2=b2+c2解得a2=2，b2=1，故椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程y=kx+m,x22+y2=1,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.当△=8(2k2-m2+1)>0，即2k2>m2-1时，x1+x2=-4km1+2k2，x1⋅x2=2m2-21+2k2.所以x1+x22=-2km1+2k2，y1+y22=m1+2k2.当k=0时，线段AB的垂直平分线显然过点(0,-12)S△AOB=12|AB|⋅|m|=12⋅|m|⋅22⋅1-m2=2(1-m2)⋅m2因为m∈(-1,0)∪(0,1),所以m2∈(0,1)S△AOB≤2⋅(1-12)⋅12=22，当m2=12时，取到等号.则l:y=±22当k≠0时，因为线段AB的垂直平分线过点(0,-12)，所以y1+y22-(-12)x1+x22-0=-1k，化简整理得2k2+1=2m.由2k2+1=2m,2k2+1>m2,得0<m<2.又原点O到直线AB的距离为d=|m|1+k2.|AB|=1+k2|x1-x2|=21+k24k2-2m2+21+2k2所以S△AOB=12|AB|⋅d=|m|4k2-2m2+21+2k2而2k2+1=2m且0<m<2，则S△AOB=124m-2m2，0<m<2.所以当m=1，即k2=12时，S△AOB取得最大值22.综上S△AOB的最大值为22，此时直线l:y=22x+1或y=-22x+1或y=±22【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系及其应用.(1)由已知可得e=ca=22,2b=2,a2=b2+c2求得a2，b2，从而求得椭圆的方程.(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线方程和椭圆方程联立，消去y得关于x的方程，利用韦达定理结合弦长公式求得S△AOB，由线段AB的垂直平分线过点(0,-12)，得y1+y22-(-12)x1+x22-0=-1k，求得k,m的关系，然后利用基本不等式求得最大值，利用等号成立条件求得k的值，从而求得直线方程.21．已知函数f(x)=lnx-12ax2(a∈R).(1)若f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)讨论函数f(x)在区间[1,e2]上零点的个数.【答案】(1)由题可知f(x)的定义域为(0,+∞)，因为f(x)=lnx-12ax2，所以f'(x)=1x-ax=1-ax2x又因为直线2x+y+2=0的斜率为-2，∴(-2)×1-4a2=-1，解得a=0(2)由(1)知：f'(x)=1x-ax=1-ax2x，当a≤0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，由f'(x)>0得x<1a，由f'(x)<0得x>1a，所以f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减.综上所述：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减.(3)由(2)可知，当a<0时，f(x)在[1,e2]上单调递增，而f(1)=-12a>0，故f(x)在[1,e2]上没有零点；当a=0时，f(x)在[1,e2]上单调递增，而f(1)=-12a=0，故f(x)在[1,e2]上有一个零点；当a>0时，①若1a≤1，即a≥1时，f(x)在[1,e2]上单调递减，∵f(1)=-12a<0，∴f(x)在[1,e2]上没有零点；②若1<1a≤e2，即1e4<a<1时，f(x)在[1,1a]上单调递增，在[1a,e2]上单调递减，而f(1)=-12a<0，f(1a)=-12lna-12，f(e2)=2-12ae4，若f(1a)=-12lna-12<0，即a>1e时，f(x)在[1,e2]上没有零点；若f(1a)=-12lna-12=0，即a=1e时，f(x)在[1,e2]上有一个零点；若f(1a)=-12lna-12>0，即a<1e时，由f(e2)=2-12ae4>0得a<4e4，此时，f(x)在[1,e2]上有一个零点；由f(e2)=2-12ae4≤0得a≥4e4，此时，f(x)在[1,e2]上有两个零点；③若1a≥e2，即0<a≤1e4时，f(x)在[1,e2]上单调递增，∵f(1)=-12a<0，f(e2)=2-12ae4>0，∴f(x)在[1,e2]上有一个零点.综上所述：当0≤a<4e4或a=1e时，f(x)在[1,e2]上有一个零点；当a<0或a>1e时，f(x)在[1,e2]上没有零点；当4e4≤a<1e时，f(x)在[1,e2]上有两个零点.【解析】本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用及函数与方程.(1)求导后，利用导数的几何意义求得a的值.(2)对函数求导，对参数a分类讨论，利用导数符号求得函数的单调区间.(3)对参数a分类讨论，利用(2)中结论，结合函数图像判断函数的零点个数.22．平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为x=3cosαy=sinα(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ-π4)=2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；(2)设点P(0,2)，直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|.【答案】解:(1)由x=3cosαy=sinα消去参数α，得x29+y2=1，即曲线C的普通方程为x29+y2=1由ρsin(θ-π4)=2，得ρsinθ-ρcosθ=2，(*)将x=ρcosθy=ρsinθ代入(*)，化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为x=tcosπ4y=2+tsinπ4(t为参数)，即x=22ty=2+22t(t为参数)，代入x29+y2=1并化简，得5t2+182t+27=0，Δ=(182)2-4×5×27=108>0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=-1825<0，t1⋅t2=275>0，∴t1<0，t2<0所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=1825【解析】本题主要考查参数方程与极坐标.(1)由x=3cosαy=sinα消去参数α，求得曲线C的普通方程，由ρsin(θ-π4)=2，得ρsinθ-ρcosθ=2，化简得y=x+2，从而求得直线的倾斜角.(2)(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，求得直线l的参数方程为x=22ty=2+22t(t为参数)，代入x29+y2=1，利用韦达定理结合参数方程的几何意义求得|PA|+|PB|的值.23．已知函数f(x)=|x+1|(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)-f(-b).【答案】(1)①当x≤-1时，原不等式可化为-x-1≤-2x-2，解得x<-1②当-1<x<-12时，原不等式可化为x+1<-2x-2，解得x<-1，此时原不等式无解；③当x≥-12时，原不等式可化为x+1<2x，解得x>1综上，M={x|x<-1或x>1}.(2)证明：因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|，所以，要证f(ab)>f(a)-f(-b)，只需证|ab+1|>|a+b|，即证|ab+1|2>|a+b|2，即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，即证a2b2-a2-b2+1>0，即证(a2-1)(b2-1)>0.因为a，b∈M，所以a2>1，b2>1，所以(a2-1)(b2-1)>0成立，所以原不等式成立. 【解析】本题主要考查绝对值不等式.(1)利用零点分区间对自变量x分类讨论，求得不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式证得f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|，故要证f(ab)>f(a)-f(-b)，只需证|ab+1|>|a+b|，利用分析法证得不等式.11。
四川省雅安市高三下学期三诊数学(理)试题及答案
雅安市高三第三次诊断性考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数满足，则的虚数是（）A. B. C. D.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半径等于米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）A. 平方米B. 平方米C. 平方米D. 平方米4. 若实数，满足，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.5. 已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（）A. B. C. D.7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.8. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的（ ）A. B. C. D.9. 过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两条渐近线于，两点，若为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.10. 已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A.B.C. D.11. 已知函数只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.12. 在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的图象在区间上的对称轴方程为__________．14. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，，则__________．15. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为，则表中空格处的值为__________．16. 已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角，，的对边分别为，，，已知，若，且，求的值.18. 某校初一年级全年级共有名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级人中抽出人来作进一步调查.（1）从抽出的人中选出人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于万字的概率；（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的人中挑选出阅读量低于万字和高于万字的同学，再从中随机选出人来长期跟踪调查，求这人中来自阅读量为万到万字的人数的概率分布列和期望值.19. 如图，在四棱锥中，底面，为的中点，底面为直角梯形，，，且.（1）求证：平面，平面平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.20. 已知椭圆：过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设为整数，且对于任意正整数.若恒成立，求的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为：（为参数）.（1）求圆和直线的极坐标方程；（2）点的极坐标为，直线与圆相交于，，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.雅安市高三第三次诊断性考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数满足，则的虚数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵复数满足∴∴的虚数是故选C.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合∴∵集合∴故选B.3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半径等于米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）A. 平方米B. 平方米C. 平方米D. 平方米【答案】B【解析】因为圆心角为，半径等于4米，所以圆心到弦的距离为|OB|=2，，所以矢等于4-2=2米，弦长为所以弧田的面积约为，故选B。
四川省雅安市高三下学期三诊数学(理)试题
四川省雅安市高三下学期三诊数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数z 满足(34)1z i ⋅-=，则z 的虚数是（ ） A ．425-B ．425i -C ．425D ．425i 2.已知集合{}12A x x =-<<，{}22B x y x x ==--，则A B = （ ）A ．{}10x x -<< B ．{}10x x -<≤ C ．{}02x x << D ．{}02x x ≤<3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ）A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米4.若实数x ，y 满足360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．155.已知1(2)nx x+展开式的各个二项式系数的和为128，则1(2)nx x+的展开式中2x 的系数（ ）A ．448B ．560C ．7D ．356.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.已知函数3()7sin f x x x x =--+，若2()(2)0f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,3)-∞ C ．(1,2)- D ．(2,1)- 8.执行如图的程序框图，如果输入8p =，则输出的S =（ ）A ．6364B ．12764C ．127128D ．2551289.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．510.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，23AC =，60ABC ∠=，且棱锥O ABC -的体积为463，则球O 的表面积为（ ） A ．10π B ．24π C ．36π D ．48π11.已知函数2()22x x f x xe kx e kx =--+只有一个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．[0,]e C ．(,)e -∞ D ．[0,)e12.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[2,2]-C ．11[,]22-D ．22[,]22- 二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.函数()3sin(2)3f x x π=+的图象在区间(0,)2π上的对称轴方程为 ．14.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，满足：100010182a a π+=，620122b b =，则2201632015tan1a a b b +=+ ．15.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为 0.70.35y x =+，则表中空格处y 的值为 ．x3 4 5 6y2.53416.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()272cos sin 216f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭()x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()12f A =，若2b c a +=，且6AB AC ⋅=，求a 的值.18.某校初一年级全年级共有500名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为8.3万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级500人中抽出20人来作进一步调查.（1）从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率；（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的20人中挑选出阅读量低于5万字和高于11万字的同学，再从中随机选出3人来长期跟踪调查，求这3人中来自阅读量为11万到13万字的人数的概率分布列和期望值.19.如图，在四棱锥S ABCD-中，SD⊥底面ABCD，M为SD的中点，底面ABCD为直角梯形，AB AD⊥，//AB CD，且222CD AB AD===.（1）求证：//AM平面SBC，平面SBC⊥平面SDB；（2）若SB与平面SDC所成角的正弦值为33，求二面角A SB C--的余弦值.20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,2)，且离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）过(1,0)-的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.21.已知函数()1ax f x e ax =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设m 为整数，且对于任意正整数(2)n n ≥.若2(1)(!)n n n m -<恒成立，求m 的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为(2,0)，半径为2，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a x =++-（其中a R ∈）. （1）当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()32f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.数学试题(理科)参考答案一、选择题1-5: CBBCA 6-10: BDCDA 11、12：DA二、填空题13. 12x π=14. 3- 15. 4.5 16. 3 三、解答题17. 解答：271313()sin(2)2sin 1cos 2sin 2cos 2cos 2sin 262222f x x x x x x x x π=--+=-++=+sin(2)6x π=+.（Ⅰ）最小正周期：22T ππ==， 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈; （Ⅱ）由1()sin(2)62f A A π=+=可得：5222()666A k k k Z πππππ+=++∈或而()0,A π∈所以3A π=，又因为2a b c =+， 而1cos 6,122AB AC bc A bc bc ⋅===∴=， 222221()4cos 11122248b c a a a a A bc +--∴==-=-=-，23a ∴=.18. 解答：(1)设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为x ，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为y 则： 40.168100.25120.158.30.10.250.151x y x y ⨯+++⨯+⨯=⎧⎨++++=⎩，可得0.2,0.3x y ∴==，∴按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人.112226142622220299190C C A C A P C A +∴==或2214222202991190C A P C A =-=或11226142622099190C C A A P A +∴==或214220991190A P A =-=， ∴从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率为99190. (2) 设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量ξ 由题意知随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，31221332323333555361(1),(2),(3)101010C C C C C P P P C C C ξξξ∴=========故ξ的分布列为ξ1 2 3 P310 610110361123 1.8101010E ξ∴=⨯+⨯+⨯=， ∴这3人来自阅读量为11万到13万的人数的期望值为1.8.19．（1）证明：设SC 中点是E ，连接,BE ME 则12ME //DC ， 12AB//DC ， ABEM 为平行四边形，//AM EB ，EB ⊂ 平面SBC ，AM ⊄平面SBC ， //AM ∴平面SBC ，ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，且222===AD AB CD ， 2DB BC ∴==，DB BC ∴⊥，⊥SD 底面ABCD ，SD BC ∴⊥，SD DB D = ，BC ∴⊥底面SBD ，BC ⊂底面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SDB.（2）SB 与平面SDC 所成角的正弦值为33， 1SD ∴=，建立如图所示的空间直角坐标系(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0)S ∴∴平面SAB 的法向量1(1,0,1)n = ，平面SBC 的法向量2(1,1,2)n =， 223cos ,2n n ∴<>= . ∴二面角C SB A --的余弦值为32-.20.解答：（1） 椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点(0,2），且离心率为22∴ 222222b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 即2224,2a b c ===，∴椭圆E 的方程22142x y +=. (Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面， 当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ． 由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=， 所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++， 从而022y m 2=+. 所以222222200000095525()y (my )y (m +1)y +my +44216GH x =++=++=. 22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-， 故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++， 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面，当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 则112299(,),G (,)44GA x y B x y =+=+，由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=， 12122223y +y =,y y =m 2m 2m ∴++. 1212121222121229999G ()()=(m )(m )4444525172(m 1)()041616(m 2)GA B x x y y y y y y m y y y y ∴∙=+++++++=++++=>+ 0cos ,G GA B >>∴< ，又,G GA B 不共线，所以AGB ∠为锐角，故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．21．解：（1）=a -a=a( ， 当a>0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增， 当a=0时，显然无单调区间，当a<0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增，综上：当a=0时，无单调区间，a 时，减区间为，增区间为(0，) . （2）令a=1，由（1）可知f （x ）的最小值为f(0)=0，f （x ），(当0x =时取得“=”)，令x=n-1，1n e n ->>， 所以0121n e e e e-⨯⨯⋅⋅⋅⨯>123n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 所以(n 1)2!n e n ->， 两边进行2(1)n n -次方得2(1)(!)n n n e -<， 所以m 的最小值为3.选考题：22、解：圆的直角坐标方程为，代入圆得：，化简得圆的极坐标方程：， 由:1x t l y t=-⎧⎨=+⎩得， l ∴的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=即12sin()4ρπθ=+.（2）由(1,)2P π得点P 的直角坐标为(1,0)P ， 直线的参数的标准方程可写成22212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入圆得：2222(2)(1)222t t --++=， 化简得：，，.23解:解：（1）当1a =-时，函数()212f x x x =-+-， 则不等式为2126x x -+-≥，① 2x ≥时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：3x ≥； ②当122x ≤<时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：5x ≥.此时不等式无解； ③当12x <时，原不等式为1226x x -+-≥，解得：1x ≤-， 原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.方法二：当1a =-时，函数()212f x x x =-+-33,211,22133,x 2x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩，画出函数()f x 的图象，如图： 结合图象可得原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.（2）不等式2()32f x a x ≥--即为22x a x ++-232a x ≥--， 即关于x 的不等式22223x a x a ++-≥恒成立. 而222x a x ++-224x a x =++-(2)(24)x a x ≥+--4a =+， 所以243a a +≥，解得243a a +≥或243a a +≤-， 解得413a -≤≤或a φ∈. 所以a 的取值范围是4[1,]3-.。
四川省雅安市高三数学下学期三诊试题理
四川省雅安市2018届高三数学下学期三诊试题 理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数z 满足(34)1z i ⋅-=，则z 的虚数是（ ） A ．425-B ．425i -C ．425D ．425i 2.已知集合{}12A x x =-<<，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}10x x -<< B ．{}10x x -<≤ C ．{}02x x << D ．{}02x x ≤< 3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ）A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米4.若实数x ，y 满足360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．155.已知1)nx展开式的各个二项式系数的和为128，则1(2)n x的展开式中2x 的系数（ ）A ．448B ．560C ．7D ．356.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7.已知函数3()7sin f x x x x =--+，若2()(2)0f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,3)-∞C ．(1,2)-D ．(2,1)- 8.执行如图的程序框图，如果输入8p =，则输出的S =（ ）A ．6364 B ．12764 C ．127128 D ．2551289.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 D10.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，AC =60ABC ∠=，且棱锥O ABC -，则球O 的表面积为（ ） A ．10π B ．24π C ．36π D ．48π11.已知函数2()22xxf x xe kx e kx =--+只有一个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．[0,]e C ．(,)e -∞ D ．[0,)e12.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）A ．[B ．[C ．11[,]22-D ．[ 二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.函数())3f x x π=+的图象在区间(0,)2π上的对称轴方程为 ．14.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，满足：100010182a a π+=，620122b b =，则2201632015tan1a a b b +=+ ．15.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中空格处y 的值为 ．16.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()272cos sin 216f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭()x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()12f A =，若2b c a+=，且6AB AC ⋅=，求a 的值.18.某校初一年级全年级共有500名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为8.3万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级500人中抽出20人来作进一步调查.（1）从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率；（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的20人中挑选出阅读量低于5万字和高于11万字的同学，再从中随机选出3人来长期跟踪调查，求这3人中来自阅读量为11万到13万字的人数的概率分布列和期望值.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，M 为SD 的中点，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，且222CD AB AD ===.（1）求证：//AM 平面SBC ，平面SBC ⊥平面SDB ；（2）若SB 与平面SDC A SB C --的余弦值.20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点.（1）求椭圆E 的方程；（2）过(1,0)-的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 21.已知函数()1axf x e ax =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设m 为整数，且对于任意正整数(2)n n ≥.若2(1)(!)n n n m -<恒成立，求m 的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为(2,0)X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a x =++-（其中a R ∈）. （1）当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()32f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案一、选择题1-5: CBBCA 6-10: BDCDA 11、12：DA 二、填空题13. 12x π=14. 4.5 16. 3 三、解答题 17. 解答：2711()sin(2)2sin 1cos 22cos 2cos 2262222f x x x x x x x x π=--+=-++=+sin(2)6x π=+.（Ⅰ）最小正周期：22T ππ==， 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈; （Ⅱ）由1()sin(2)62f A A π=+=可得：5222()666A k k k Z πππππ+=++∈或而()0,A π∈所以3A π=，又因为2a b c =+， 而1cos 6,122AB AC bc A bc bc ⋅===∴=， 222221()4cos 11122248b c a a a a A bc +--∴==-=-=-，a ∴=18. 解答：(1)设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为x ，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为y则： 40.168100.25120.158.30.10.250.151x y x y ⨯+++⨯+⨯=⎧⎨++++=⎩，可得0.2,0.3x y ∴==，∴按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人.112226142622220299190C C A C A P C A +∴==或2214222202991190C A P C A =-=或11226142622099190C C A A P A +∴==或214220991190A P A =-=， ∴从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率为99190. (2) 设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量ξ 由题意知随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，31221332323333555361(1),(2),(3)101010C C C C C P P P C C C ξξξ∴=========故ξ的分布列为123 1.8101010E ξ∴=⨯+⨯+⨯=， ∴这3人来自阅读量为11万到13万的人数的期望值为1.8.19．（1）证明：设SC 中点是E ，连接,BE ME 则12ME //DC ， 12AB//DC ， ABEM 为平行四边形，//AM EB ，EB ⊂平面SBC ，AM ⊄平面SBC ，//AM ∴平面SBC ，ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，且222===AD AB CD ，DB BC ∴==DB BC ∴⊥，⊥SD底面ABCD，SD BC∴⊥，SD DB D=，BC∴⊥底面SBD，BC⊂底面SBC，∴平面SBC⊥平面SDB.（2）SB与平面SDC所成角的正弦值为1SD∴=，建立如图所示的空间直角坐标系(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0) S∴∴平面SAB的法向量1(1,0,1)n=，平面SBC的法向量2(1,1,2)n=，223cos,n n∴<>=.∴二面角CSBA--的余弦值为-20.解答：（1）椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点，且离心率为2∴222b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 即2224,2a b c ===，∴椭圆E 的方程22142x y +=.(Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面，当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=，所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++， 从而022y m 2=+.所以222222200000095525()y (my )y (m +1)y +my +44216GH x =++=++=.22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-，故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++， 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面， 当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，设点1122(,),(,)A x y B x y ，则112299(,),G (,)44GA x y B x y =+=+，由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=，12122223y +y =,y y =m 2m 2m ∴++. 1212121222121229999G ()()=(m )(m )4444525172(m 1)()041616(m 2)GA B x x y y y y y y m y y y y ∴∙=+++++++=++++=>+ 0cos ,G GA B >>∴<，又,G GA B 不共线，所以AGB ∠为锐角，故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 21．解：（1）=a-a=a(，当a>0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增，当a=0时，显然无单调区间， 当a<0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增， 综上：当a=0时，无单调区间，a时，减区间为，增区间为(0，) .（2）令a=1，由（1）可知f （x ）的最小值为f(0)=0，f （x ），(当0x =时取得“=”)，令x=n-1， 1n en ->>，所以0121n e e e e -⨯⨯⋅⋅⋅⨯>123n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 所以(n 1)2!n e n ->，两边进行2(1)n n -次方得2(1)(!)n n n e -<， 所以m 的最小值为3. 选考题：22、解：圆的直角坐标方程为，代入圆得：， 化简得圆的极坐标方程：，由:1x tl yt =-⎧⎨=+⎩得，l ∴的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=即1)4ρπθ=+.（2）由(1,)2P π得点P 的直角坐标为(1,0)P ， 直线的参数的标准方程可写成1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入圆得：22(2)(1)222--++=， 化简得：，，.23解:解：（1）当1a =-时，函数()212f x x x =-+-， 则不等式为2126x x -+-≥，① 2x ≥时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：3x ≥； ②当122x ≤<时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：5x ≥.此时不等式无解；③当12x <时，原不等式为1226x x -+-≥，解得：1x ≤-， 原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.方法二：当1a =-时，函数()212f x x x =-+-33,211,22133,x 2x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩，画出函数()f x 的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.（2）不等式2()32f x a x ≥--即为22x a x ++-232a x ≥--，即关于x 的不等式22223x a x a ++-≥恒成立. 而222x a x ++-224x a x =++-(2)(24)x a x ≥+--4a =+， 所以243a a +≥，解得243a a +≥或243a a +≤-， 解得413a -≤≤或a φ∈.所以a 的取值范围是4[1,]3-.。
四川省雅安市高中级第三次诊断性考试.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作四川省雅安市高中2013级第三次诊断性考试数学试题(理科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= A. 5-5iB. 7-5iC. 5+5iD. 7+5i2、已知实数集R ，集合A={x|x<0x 2}>或，集合B=}1-x y |{y =，则=⋂B A)(C RA.{x|1<x<2}B.{x|1≤x ≤2}C.{x|1≤x<2}D.{x|0≤x ≤2}3、已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、相距1400m 的A 、B 两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3s ，已知声速340m/s ，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为 A.5170B.7051C.3517D. 15、如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是A ．7B ．8C ．9D ．106、已知)(x f =Asin(x ωϕ+)(A>0，ω>0，0<ϕ<π)，其导函数/()f x 的图象如图所示，则)(πf 的值为 A. 2 B. 3 C ．22 D ．237、一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为A. 5和2B. 5和3C. 5和4D. 4和38、假设你家订了一份牛奶,送奶工人在早上6:00-7:00之间把牛奶送到你家,你离开家去上学的时间在早上6:30-7:30之间,则你在离开家前能收到牛奶的概率是 A.18B.58C.12D.789、已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 A. 30条 B. 56条 C. 60条D. 66条10、已知函数x x x x f ln )(+=，若存在实数),2(+∞∈m ，使得)2()(-≤m k m f 成立，则整数k 的最小取值为 A. 3 B. 4C. 5D. 6第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11、=+25.0log 10log 255_________________.12、621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为_________（用数字表示）.13、若,0,1>>b a 且,2=+b a 则ba 411+-的最小值为______. 14、在ABC ∆中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则 BC=________.15、定义在R 上的偶函数)(x f 满足对任意R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，96)(2-+-=x x x f ，若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有3个零点，则实数a 的取值范围是____________.三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、（本题满分12分）等差数列}{n a 中,9,155432==++a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设213+=n a n b ,求数列}b 21a {n n ⋅+的前n 项和n S 17、（本题满分12分）已知函数12cos 2)32cos(2)(+-+=x x x f ωπω (ω>0)的最小正周期为π.(I)求函数)(x f 图象的对称中心；(Ⅱ)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若△ABC 为锐角三角形且0)(=A f ，求bc的取值范围． 18、（本题满分12分）某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：)90,80[，)100,90[，)110,100[，]120,110[．（Ⅰ）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的概率： ①有且仅有1名学生成绩不低于110分；②成绩在)100,90[内至多1名学生；（Ⅱ）在成绩是)100,80[内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在)100,90[内人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望)(X E .19、（本题满分12分）圆O 上两点C ，D 在直径AB 的两侧(如图甲), 沿直径AB 将圆O 折起形成一个二面角(如图乙), 若∠DOB 的平分线交弧于点G ，交弦BD 于点E,F 为线段BC 的中点.（Ⅰ）证明:平面OGF ∥平面CAD;（Ⅱ）若二面角C-AB-D 为直二面角，且AB=2， ，求直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值. 20、（本题满分13分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其离心率为32，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为423+. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在曲线C 上，且异于点A 、B ，直线AP ，BP 与直线:l y=2-分别交于点M ，N ．(1)设直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； (2)求线段MN 长的最小值． 21、（本题满分14分）已知函数)(1)(,2)(2R a ax x g ax e x f x ∈+=-=.(Ⅰ)设函数)()()(x f x g x h -=,其导函数为/()h x ，若/()h x 在),0[+∞上具有单调性，求a 的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求证：)(41)1()31()21()1(*N n n n f f f f ∈+>+⋅⋅⋅+++.雅安市高中2013级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDABDCBDCC二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11、2 12、15 13、9 14、3 15、310<<a . 三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、（本题满分12分） 解:(Ⅰ)设数列{}由题意得首项的公差为,1a d a n且⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==++941563915115432d a d a a a a a 即 解得⎩⎨⎧==211d a所以数列{}12-=n a a n n 的通项公式为 ……………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得n n n a b 3231==+ 所以n n n n b a 3..21=+ 所以+++=323.33.23.11n S 13.+n n两式相减得++++-=433333(22n S 13.)3+++n n n ………………………10 分43).12(323..1233.31313111+++-+=-+=+---=n n n n n n S n n n 即）（）（………………………………12 分17、（本题满分12分）解: (1)由条件得12cos 2)32cos(2)(+-+=x x x f π1)62sin(212cos 2sin 3++-=+--=πx x x …………………………………3分由)(62Z k k x ∈=+ππ解得212ππk x +-= 故所求对称中心为)1,212(ππk +-)(Z k ∈…………………………………………6分（2）由01)62s i n (2)(=++-=πA A f 解得3π=A ，32π=+C B ，所以21t a n 23s i n )32s i n (s i n s i n +=-==C C C C B c b π又ABC ∆为锐角三角形，故26ππ<<C所以221tan 2321<+=<C cb ，即c b 的取值范围是)2,21(………………………12分 18（本题满分12分）19、（本题满分12分）解析：(Ⅰ) 为 的一条中位线又OF平面平面平面………………………………………………………（2分）又为的平分线OG又可知AD……………………………………………（4分）又OG平面平面平面………………………………………………………（5分）又为平面内的两条相交直线平面OGF∥平面CAD………………………………………………………（6分）（Ⅱ）二面角C-AB-D为直二面角，即平面CAB平面由已知得为斜边的中点，则CO平面又中，AD=1,又，ADGO为菱形，设DG中点为M,则即直线OM,OB,OC两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系………………（8分）则B为(0,1,0) C为(0,0,1) D为（，）G为（，） F为（0，，）…………………………………………（9分）（，）为直线FG的一个方向向量………………………（10分）设为平面的一个法向量则又，（，）令y=1,则（分）=则直线FG与平面BCD所成角的正弦值为…………………………………（12分）20、（本题满分13分）解：(Ⅰ)C 的方程为：2214xy+= ……………………………………………………4分(Ⅱ) (1)由题意，A (0,1)，B (0，－1)，令P (x 0，y 0)，则x 0≠0，∴直线AP 的斜率k 1＝y 0－1x 0，BP 的斜率k 2＝y 0＋1x 0.又点P 在椭圆上，∴x 204＋y 20＝1(x 0≠0)， 从而有k 1k 2＝y 20－1x 20＝1－x 204－1x 20＝－14. 即k 1k 2为定值． ………………………………………………7分 (2)由题设可以得到直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)， 直线BP 的方程为y －(－1)＝k 2(x －0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k 1x ，y ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3k 1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k 2x ，y ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1k 2，y ＝－2，∴直线AP 与直线l 的交点M ⎝⎛⎭⎫－3k 1，－2， 直线BP 与直线l 的交点N ⎝⎛⎭⎫－1k 2，－2. 又k 1k 2＝－14，∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪－3k 1＋1k 2＝⎪⎪⎪⎪3k 1＋4k 1＝⎪⎪⎪⎪3k 1＋|4k 1| ≥2⎪⎪⎪⎪3k 1·|4k 1|＝43，当且仅当⎪⎪⎪⎪3k 1＝|4k 1|，即k 1＝±32时等号成立， 故线段MN 长的最小值是4 3. ………………………………………………13分21、（本题满分14分）解：(Ⅰ) ∵12)()()(2+-+=-=xe ax ax xf xg xh ，∴a e ax x h x22)('+-=，设a e ax x h x m x22)()('+-==，则xe a x m -=2)('，…………2分（1）若02)('≤-=xe a x m 在),0[+∞上恒成立，则xe a ≤2，故21≤a ； （2）若02)('≥-=xe a x m 在),0[+∞上恒成立，则xe a ≥2，此时，),1[+∞∈xe ，故不存在a 使xe a ≥2恒成立综上所述，a 的范围是：]21-，（∞………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知当21=a 时，121)(2+-+=xe x x x h ， 0)0()(1)('''=≤+-=h x h e x x h x ，，),0[)(+∞在x h 上为减函数，所以0)0()(=≤h x h ，即01212<+-+x e x x ， 所以121)(,12122+>+>-x x f x x e x即，依次令n x 1,,31,21,1⋅⋅⋅=得：,1)1(21)1(,,1)31(21)31(,1)21(21)21(,1121)1(2222+⨯>⋅⋅⋅+⨯>+⨯>+⨯>nn f f f f 累加得：马鸣风萧萧 41)n1-121]11-n 141-3131-2121-1[21])1(1431321211[21)131211(21)1()31()21()1(2222+≥+=+++⋅⋅⋅+++=++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯>++⋅⋅⋅+++>+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n nnf f f f （）（）（）（）（ 故)(41)1()31()21()1(*N n n n f f f f ∈+>+⋅⋅⋅+++………….……………14分。
四川省雅安市高考数学三模试卷(理科)
四川省雅安市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共25分)1. （2分）已知集合，则=（）A .B .C . ，或D . ，或2. （2分） (2018高二下·张家口期末) 已知复数（是虚数单位），则（是的共轭复数）的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·镇海模拟) 已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{an}的前100项的和为（）A . ﹣200B . ﹣100C . 0D . ﹣504. （2分）(2017·丰台模拟) 血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是（）A . 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B . 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C . 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D . 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒5. （2分）若已知两个变量x 和y 之间具有线性相关系，4 次试验的观测数据如下：x3456y 2.534 4.5经计算得回归方程 =bx+a系数b=0.7，则a等于（）A . 0.34B . 0.35C . 0.45D . 0.446. （3分） (2017高二下·和平期末) 某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是（）A . 70B . 98C . 108D . 1207. （2分）下列函数中，以π为周期的偶函数是（）A . y=|sinx|B . y=sin|x|C .D .8. （2分） (2019高一上·集宁月考) 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B . +12C . +10D . 24π9. （2分）点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（）A . 仍保持平静B . 不断波动C . 周期性保持平静D . 周期性保持波动11. （2分）当实数x,y满足不等式时，恒有成立，则实数a的取值集合是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·河南模拟) 已知关于x的方程|2x3﹣8x|+mx=4有且仅有2个实数根，则实数m的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C . （﹣2，2）D . （﹣1，1）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高三上·上海模拟) 若（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11 ，则a0+a1+…+a11的值为________．14. （1分） (2016高二上·蕉岭开学考) 等边△ABC的边长为1，记 = ， = ， = ，则• ﹣﹣• 等于________．15. （1分）(2020·银川模拟) 已知，则的值为________.16. （2分）数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n（n=1，2，3，…），则a1=________ {an}的通项公式是：________三、解答题 (共7题；共45分)17. （5分） (2016高二上·枣阳开学考) 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18. （5分）(2018·北京) 如图，在三菱柱ABC- 中，平面ABC。
四川省雅安市高考数学三诊试卷(理科).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年四川省雅安市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣x=0}，N={﹣1，0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，1} C．{0} D．φ【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：M={x|x2﹣x=0}={0，1}，N={﹣1，0}，则M∩N={0}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量共线定理即可得出．【解析】：解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了向量共线定理，属于基础题．3．（5分）设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解析】：解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件，比较基础．4．（5分）设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】：二倍角的正弦；三角函数的化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解析】：解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．【点评】：本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C． 4 D．7【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解析】：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．【点评】：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2π D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．【解析】：解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选A．【点评】：本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．7．（5分）已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A．2 B．±2 C．±D．【考点】：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．【解析】：解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，故选：B．【点评】：本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．（5分）若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：易得总的基本事件包含的区域为单位圆，面积S=π，由根的存在性可得满足条件的区域为阴影部分，可求面积S′，由概率公式可得．【解析】：解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，∵关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（a+b）≥0，即a+b≤1，表示图中阴影部分，其面积S′=π﹣（π﹣）=+故所求概率P==故选：A．【点评】：本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的存在性和不等式与平面区域，属中档题．9．（5分）过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．y=x﹣1 D．y=﹣x﹣1【考点】：轨迹方程．【专题】：导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值﹣1，从而得到两切线焦点的轨迹方程．【解析】：解：由抛物线x2=4y得其焦点坐标为F（0，1）．设A（），B（），直线l：y=kx+1，联立，得：x2﹣4kx﹣4=0．∴x1x2=﹣4…①．又抛物线方程为：，求导得，∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为…②抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为…③由①②③得：y=﹣1．∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=﹣1．故选：A．【点评】：本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．10．（5分）对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x）满足f（1）≠1，且对∀n∈N*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，则f（2015）=（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，分别令n=1，2，3，4，…，求得几个特殊的函数值，归纳得到当n为奇数时，f（n）=n+1，当n为偶数时，f（n）=n﹣1．检验成立，即可得到f（2015）．【解析】：解：由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，由f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即2+f（2）+f（2）=4，解得f（2）=1，再由f（2）+f（3）+f（f（2））=7，解得f（3）=4，再由f（3）+f（4）+f（f（3））=10，解得f（4）=3，再由f（4）+f（5）+f（f（4））=13，解得f（5）=6，再由f（5）+f（6）+f（f（5））=16，解得f（6）=5，…归纳可得，当n为奇数时，f（n）=n+1，当n为偶数时，f（n）=n﹣1．经检验，当n为奇数时，f（n）+f（n+1）+f（f（n））=n+1+n+f（n+1）=2n+1+n=3n+1成立；同样n为偶数时，仍然成立．则f（2015）=2016．故选：C．【点评】：本题考查抽象函数的运用，主要考查赋值法的运用，通过几个特殊，计算得到结果再推出一般结论，再验证，是解本题的常用方法．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知（1+2i）z=3﹣i（i为虚数单位），则复数z=．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接由复数代数形式的除法运算化简求值即可得答案．【解析】：解：由（1+2i）z=3﹣i，得．故答案为：．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12．（5分）在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为﹣1．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：概率与统计．【分析】：所有二项式系数的和是32，可得2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和．【解析】：解：∵所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和=（﹣1）5=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查了二项式定理及其性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（5分）若函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值2或﹣1．【考点】：二次函数的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用二次函数的性质以及函数的零点判定定理推出结果即可．【解析】：解：函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，说明函数是二次函数，函数的图象与x轴有一个交点，即△=4a2﹣4（a+2）=0解得a=2或﹣1故答案为：2或﹣1．【点评】：本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．14．（5分）曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于π．【考点】：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将y=2sin（x+）cos（x﹣）的解析式化简得y=sin（2x）+1，令y=，解得x=kπ+±（k∈N），代入易得|P2P4|的值．【解析】：解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=cos（2x﹣）+1=sin（2x）+1若y=2sin（x+）cos（x﹣）=则2x=2kπ+±（k∈N）x=kπ+±（k∈N）故|P2P4|=π故答案为：π【点评】：求两个函数图象的交点间的距离，关于是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．15．（5分）以下命题，错误的是①②③（写出全部错误命题）①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，则m≥③若函数f（x）=﹣m有两个零点，则m＜④已知f（x）=log a x（0＜a＜1），k，m，n∈R+且不全等，．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：导数的综合应用；简易逻辑．【分析】：①若f（x）没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，可得△≤0，解出即可判断出正误；②f（x）在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，解出即可判断出正误；③f′（x）=，利用单调性可得：当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）有两个零点，则，解得即可判断出正误；④由于f（x）=log a x（0＜a＜1），可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．k，m，n∈R+且不全等，kd ，，，等号不全相等，即可判断出正误．【解析】：解：①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a﹣1）2﹣36≤0，解得﹣2≤a≤4，因此①不正确；②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，因此m∈R且m≠，因此②不正确；③f′（x）=，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f （e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）=﹣m有两个零点，则，解得，因此③不正确．④∵f（x）=log a x（0＜a＜1），∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵k，m，n∈R+且不全等，则，，，等号不全相等，，因此正确．综上可得：错误的是①②③．故答案为：①②③．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量，，函数（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a＞b，求a，b的值．【考点】：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）由题意结合数量积的定义可得f（x）的解析式，由整天法可求单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1，进而可得，结合余弦定理和结合可解答案．【解析】：解：（Ⅰ）由题意可得：===（3分）由，得．（5分）所以f（x）的单调增区间是．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1∵C是三角形内角，∴，即，（7分）∴cosC==，即a2+b2=7．（9分）将代入可得，解之得：a2=3或4，∴a=或2，∴b=2或，（11分）∵a＞b，∴a=2，b=．（12分）【点评】：本题为三角函数和解三角形的综合应用，涉及余弦定理，属中档题．17．（12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．（II）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．（Ⅲ）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．【解析】：解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．所以x=0.0125．（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12，因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，，，，，．所以X的分布列为：．（或）所以X的数学期望为1．【点评】：本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力．18．（12分）如图1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=，以D为折痕，将Rt△ADE折起到图2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C′，A′B′，设F是线段A′C上的动点，满足=（1）证明：平面FBE⊥平面A′DC；（2）若二面角F﹣BE﹣C的大小为45°，求λ的值．【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知得A′D⊥DE，A′D⊥平面DBCE，从而A′D⊥BE，由1﹣tan∠BED•tan ∠CDE=0，得BE⊥DC，由此能证明平面FEB⊥平面A′DC．（2）作FG⊥DC，垂足为G，设BE交DC于O点，连OF，则∠FOG为二面角F﹣BE﹣C 的平面角，由FG∥A′D，得FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），从而OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，由此结合已知条件能求出．【解析】：解：（1）证明：∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，∴A′D⊥平面DBCE，∴A′D⊥BE，∵D，E分别是线段AB、AC的中点，∴DE==，BD=，…（2分）在直角三角形DEB中，∵tan=，tan，1﹣tan∠BED•tan∠CDE=0，∴∠BED+∠CDE=90°，得BE⊥DC，∴BE⊥平面A′DC，又BE⊂平面FEB，∴平面FEB⊥平面A′DC．…（6分）（2）解：作FG⊥DC，垂足为G，则FG⊥平面DBCE，设BE交DC于O点，连OF，由（1）知，∠FOG为二面角F﹣BE﹣C的平面角，…（7分）由FG∥A′D，则=λ，∴FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），∵DO==，∴OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，在Rt△OGF中，由tan∠FOG===1，…（10分）得．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）=3x2﹣2x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=是数列{b n}的前n项和，求使得2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立的实数λ的范围．【考点】：数列的求和；数列与函数的综合．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，得到，求出首项，判断数列是等差数列，然后求解通项公式．（2另一类消费求出数列的和，然后结合不等式求出λ≥2016即可．【解析】：解：（1）∵点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，∴当n=1时，a1=S1=3﹣2=1…（2分）当n≥2时，=6n﹣5…（5分）当n=1时，6n﹣1=1符合∴…（6分）（2）∵，∴=…（10分）∴2T n＜1又∵2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立∴1≤λ﹣2015故λ≥2016…（12分）【点评】：本题考查等差数列的判定，数列求和的方法，数列与函数相结合，以及不等式的应用，考查计算能力．20．（13分）已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在两点E，F使，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）设A（t，t）且t＞0，通过，以及椭圆的离心率，A在椭圆上，列出方程求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），利用，得到方程组，利用E，F在椭圆上，代入椭圆方程，利用平方差法求出EF的斜率，得到直线EF的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出|EF|，求出三角形的高，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值．【解析】：解：（1）根据题意，不妨设A（t，t）且t＞0，，，∴…①（1分），…②（2分），…③，a2﹣b2=c2…④，联立①②③④解得：a2=3，b2=1∴椭圆的方程为：…（6分）（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），∵，∴…（7分）∵E，F在椭圆上，则，相减可得，，∴直线EF的方程为：，即，代入，整理得：，∴，…（9分），===，∵原点O（0，0）到直线EF的距离为，…（11分）=，…（12分）=，当时等号成立，所以△OEF得最大值为．…（13分）【点评】：本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质的综合应用，基本不等式以及斜率与圆锥曲线相结合，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）已知f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=，其中m，a均为实数，（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a=0，求证对|恒成立；（3）设a=2，若对∀给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值．（2）通过m=1，a=0，化简f（x）=x﹣1，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立．（3）由（1）得g（x）的最大值，求出函数f（x）的导数，判断m≤0，不满足题意；当m ＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），f（x）的极值点必在区间（0，e）内，求出m的范围，当，利用g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，推出关系式，通过构造函数w（x）=2e x﹣x，通过导数求解函数的最值，然后推出．【解析】：解：（1）∵，∴，∴（﹣∞，1）↑，（1，+∞）↓，∴g（x）极大值g（1）=1，无极小值；…（4分）（2）∵m=1，a=0，∴f（x）=x﹣1，在[3，4]上是增函数∴，在[3，4]上是增函数设3≤x1＜x2≤4，则原不等式转化为即…（6分）令，即证∀x1＜x2，h（x2）＜h（x1），即h（x）在[3，4]↓∵h′（x）=1﹣e x＜0在[3，4]恒成立即h（x）在[3，4]↓，即所证不等式成立．…（9分）（3）由（1）得g（x）在（0，1）↑（1，e）↓，g（x）max=g（1）=1所以，g（x）∈（0，1]又不符合题意当m＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），那么由题意知f（x）的极值点必在区间（0，e）内，即得，且函数f（x）在由题意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，∴内，，下面证时，f（t）≥1，取t=e﹣m，先证．令w（x）=2e x﹣x，∴内恒成立，∴w（x）↑，∴，∴2e m﹣m＞0，再证f（e﹣m）≥1，∵，∴．…（14分）【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。
四川省雅安市(高中2017级)2020届高三第三次诊断性考试数学(理科)试卷及其详细解析
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四川省雅安市高考数学三诊试卷(理科)
高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.当＜m＜1时，复数z=（3m-2）+（m-1）i在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设x∈R，则“x＜2”是“x2-x-2＜0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A. 2+B. 4+C. 2+2D. 55.已知实数x，y满足，则的最大值为（）A. B. C. D. 16.从6人中选出4人分别到碧峰峡、蒙顶山、喇叭河、龙苍沟四个景区游览，要求每个景区有一人游览，每人只游览一个景区，且这6人中甲，乙两人不去龙苍沟游览，则不同的选择方案共有（）A. 168种B. 216种C. 240种D. 360种7.若执行如图的程序框图，输出S的值为5，则判断框中应填入的条件是（）A. k＜33？B. k＜32？C. k＜31？D. k＜30？8. 已知等差数列{a n }，a 1=-2018，前n 项和为S n ，，则S 2019=（ ）A. 0B. 1C. 2018D. 20199. 已知函数f （x ）=2ef ′（e ）ln x -（e 是自然对数的底数），则f （x ）的极大值为（ ）A. 2e -1B.C. 1D. 2ln210. 在半径为2的圆O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠COD =120°，P 是线段CD 上异于C 、D 的点，则的取值范围是（ ）A. [-3，-1）B. （1，3）C. [-3，0）D. （-3，3）11. 如图，圆锥的高，底面⊙O 的直径AB =2，C 是圆上一点，且∠CAB =30°，D为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D.12. 定义域为[a ，b ]的函数y =f （x ）图象的两个端点为A 、B ，向量，M （x ，y ）是f （x ）图象上任意一点，其中x =λa +（1-λ）b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f （x ）在[a ，b ]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值．若函数定义在[1，2]上，则该函数的线性近似阈值是（ ）A. B. C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.展开式中的常数项是______（用数字作答）．14. 从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设X 表示抽到的次品件数，则DX =______．15. 已知函数f （n ）=n 2cos （n π），且a n =f （n ）+f （n +1），则a 1+a 2+…+a 20=______．16.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，点A的坐标为（2，6），点P是C上的任意一点，当P在点P1时，|PF|-|PA|取得最大值，当P在点P2时，|PF|-|PA|取得最小值，则P1，P2两点间的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.平面向量，，．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，b=1，，求a的值．18.2018年12月28日，成雅铁路开通运营，使川西多个市县进入动车时代，融入全国高铁网，这对推动沿线经济社会协调健康发展具有重要意义．在试运行期间，铁道部门计划在成都和雅安两城之间开通高速列车，假设每天7：00-8：00，8：00-9：00两个时间段内各发一趟列车由雅安到成都（两车发车情况互不影响），雅安发车时间及其概率如表所示：若小王、小李二人打算乘动车从雅安到成都游玩，假设他们到达雅安火车站候车的时间分别是周六7：00和7：20（只考虑候车时间，不考虑其它因素）．（1）求小王候车10分钟且小李候车30分钟的概率；（2）设小李候车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）．19.如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面EOD；（Ⅱ）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．20.已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别是A1、A2，长轴长为，CD是以原点为圆心，|OF1|为半径的圆的任一条直径，四边形A1CA2D的面积最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过原点的直线l：y＝kx+m与椭圆交于A、B两点，①若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；②若直线l的斜率是直线OA、OB斜率的等比中项，求△OAB面积的取值范围.21.设f（x）=．（1）证明：f（x）在（0，1）上单调递减；（2）若0＜a＜x＜1，证明：g（x）＞1．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（φ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，（1）求椭圆C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）若点P的极坐标为（1，），直线l与椭圆C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知不等式x+|x-a|≥1的解集为R．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，请画出f（x）=x+|x-a|的图象．答案和解析1.【答案】D【解析】解：当＜m＜1时，复数z的实部3m-2∈（0，1），虚部m-1∈．复数z=（3m-2）+（m-1）i在复平面上对应的点（3m-2，m-1）位于第四象限．故选：D．当＜m＜1时，复数z的实部3m-2∈（0，1），虚部m-1∈．即可得出．本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：x2-x-2＜0，解得-1＜x＜2．∴“x＜2”是“x2-x-2＜0”的必要不充分条件．故选：B．x2-x-2＜0，解出即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵双曲线，∴a2=2，b2=1∴c2=a2+b2=3∴=故选：C．先确定双曲线的几何量，再利用离心率公式，即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．5.【答案】D【解析】解：作出实数x，y满足，对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（-3，0）的斜率，由图象知DA的斜率最大，由得A（-2，1），则DA的斜率k==1，则的最大值为：1．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质，结合斜率的公式进行转化求解即可．本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质结合直线斜率的公式，以及数形结合是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：①当从6人中选出4人，这4人中没有甲也没有乙，则不同的选择方案有=24种，②当从6人中选出4人，这4人中有甲但没有乙，则不同的选择方案有=72种，③当从6人中选出4人，这4人中没有甲但有乙，则不同的选择方案有=72种，④当从6人中选出4人，这4人中有甲且有乙，则不同的选择方案有=72种，综合①②③④得：不同的选择方案共有24+72+72+72=240，故选：C．由排列组合及计数问题得：：①当从6人中选出4人，这4人中没有甲也没有乙，则不同的选择方案有=24种，②当从6人中选出4人，这4人中有甲但没有乙，则不同的选择方案有=72种，③当从6人中选出4人，这4人中没有甲但有乙，则不同的选择方案有=72种，④当从6人中选出4人，这4人中有甲且有乙，则不同的选择方案有=72种，综合①②③④得：不同的选择方案共有24+72+72+72=240，得解．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，属中档题．7.【答案】B【解析】解：程序的功能是计算S=log23•log34•log45…log k（k+1）=…==log2（k+1），由log2（k+1）=5，得k+1=32，则k=31，此时k=k+1=32，不满足条件输出S=5，即k≤31成立，k=32不成立，则条件为k＜32？故选：B．根据程序框图，理解程序框图功能，结合对数的运算法则进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序框图以及结合对数的运算法则进行化简是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：因为数列{a n}为等差数列，所以=，又因为，所以{}是为首项是-2018，公差为1的等差数列，所以=-2018+（2019-1）×1=0，所以S2019=0．故选：A．等差数列{a n}，设其公差为d，则=，又因为，所以{}是为首项是-2018，公差为1的等差数列，所以可求，可得S2019．本题考查了等差数列的前n项和、等差数列的定义、通项公式、等差数列和一次函数的关系等，属于基础题．9.【答案】D【解析】【分析】求出f′（e）的值，求出函数f（x）的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，求出f′（e）的值是解题的关键．【解答】解：f′（x）=-，故f′（e）=，故f（x）=2ln x-，令f′（x）=-＞0，解得：0＜x＜2e，令f′（x）＜0，解得：x＞2e，故f（x）在（0，2e）递增，在（2e，+∞）递减，∴x=2e时，f（x）取得极大值2ln2，故选D．10.【答案】C【解析】解：由已知有=-，||∈[1，2），=（））=-（）+ 2=-4+2∈[-3，0），故选：C．由平面向量的线性运算及数量积的运算得：由已知有=-，||∈[1，2），=（））=-（）+2=-4+2∈[-3，0），得解．本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，属中档题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力．由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中求解即可．【解答】解：因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD，又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线所以AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC所以平面POD⊥平面PAC在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角在Rt△ODA中，OD=OA•sin30°=，在Rt△POD中，OH==，在Rt△OHC中，sin∠OCH=，故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为．故选：C．12.【答案】B【解析】解：由已知可得：A（1，2），B（2，1），AB直线方程为y=-x+3，由向量，因为λ+（1-λ）=1，则点N，A，B三点共线，即N（x，-x+3），又M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b，则M（x，），则|MN|=|-x+3-|=|3-（x+）|，当x∈[1，2]时，易得0≤|3-（x+）|，则k≥3-2，即k的最小值为3+2，则该函数的线性近似阈值是3-2，故选：B．先阅读理解定义，再利用重要不等式求最值即可得解．本题考查了对即时定义的理解及重要不等式，属中档题．13.【答案】15【解析】解：∵展开式的通项为=C6r x12-3r要求常数项，只要令12-3r=0可得r=4T5=C64=15故答案为：15要求常数项，只要在展开式的通项=C6r x12-3r中，令12-3r=0可求r，然后代入可求本题主要考查了二项式的通项的应用，属于基础性试题14.【答案】1.96【解析】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1-p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．判断概率满足的类型，然后求解方差即可．本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．15.【答案】-20【解析】解：函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则：，故：，，…所以：，则：a1+a2+…+a20=1+2-2-3+3+4+…-21-20=-20故答案为：-20．首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了抛物线的简单性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．当点P、A、M在同一直线上时，此时|PF|-|PA|取得最大值，当点P、A、F在同一直线上时，此时|PF|-|PA|取得最小值，分别求出点P1，P2的坐标，即可求出答案．【解答】解：F是抛物线C：y2=8x的焦点，则F（2，0），点A的坐标为（2，6），其准线方程为x=-2，过P作PM垂直于抛物线的准线，则|PF|-|PA|=|PM|-|PA|≤|AM|，故当点P、A、M在同一直线上时，此时|PF|-|PA|取得最大值，由，解得x=，y=6，即P1（，6），∵|PF|-|PA|=-（|PA|-|PF|）≥-|AF|，故当点P、A、F在同一直线上时，此时|PF|-|PA|取得最小值，由，解得x=2，y=-4，即P2（2，-4），则|P1P2|==，故答案为：．17.【答案】解：（1）向量，，所以=2-sin（2x+）-2sin2x=2-sin2x cos-cos2x sin-2（）═1-sin2x+cos2x=cos（2x+）+1，令2kπ-π≤2x+≤2kπ，解得kπ-≤x≤kπ-，所以函数f（x）的单调增区间为：[kπ-，kπ-]，k∈Z；（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又因为＜B+＜，所以B+=，即B=，因为b=1，c=，由余弦定理得；1=a2+3-2a×cos，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2；经验证，a=1或a=2都满足题意．【解析】（1）利用平面向量数量积公式求得f（x）的解析式，再求f（x）的单调增区间；（2）由题意求得B的值，再利用余弦定理求得a的值．本题考查了平面向量数量积应用问题，也考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题．18.【答案】解：（1）小王的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为：P1（10）=0.2，P1（30）=0.3，P1（50）=0.5．小李的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟、70分钟、90分钟的概率为：P2（10）=0.3，P2（30）=0.5，P2（50）=0.2×0.2=0.04．P2（70）=0.2×0.3=0.06，P2（90）=0.2×0.5=0.1，∴小王候车10分钟且小李候车30分钟的概率P=0.2×0.5=0.1（6分）（2）X的所有可能取值为10，30，50，70，90（单位：分钟），（）．【解析】（1）小王候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为P1（10）=0.2，P1（30）=0.3，P1（50）=0.5；小李的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为P2（10）=0.3，P2（30）=0.5，P2（50）=0.2×0.2=0.04，由此能求出甲、乙两人候车时间相等的概率．（2）X的所有可能取值为10，30，50，70，90分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵AB=2CD，O是线段AB的中点，∴OB=CD，又∵OB∥CD，∴四边形OBCD为平行四边形，又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，又∵O是等腰直角△EAB斜边上的中点，∴EO⊥AB，∵EO∩DO=O，面EOD，∴AB⊥平面EOD，又∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面EOD．（Ⅱ）解：∵平面ABE⊥平面ABCD，面ABE面ABCD=AB，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，OD面ABCD，∴EO⊥OD，∴OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵△EAB为等腰直角三角形，且CD=BC=1，∴OA=OB=OD=OE=1，∴O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），∴=（-1，0，0），=（0，-1，1），设平面ECD的一个法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∵OD⊥平面ABE，∴是平面ABE的一个法向量，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|==，∴平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小为45°．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力、数形结合思想，属于中档题．（Ⅰ）推导出四边形OBCD为平行四边形，AB⊥OD，EO⊥AB，从而AB⊥平面EOD，由此能证明平面ABE⊥平面EOD．（Ⅱ）以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．20.【答案】解：（1）由对称性可知四边形A1CA2D为平行四边形，且当CD与x轴垂直时，四边形A1CA2D的面积取得最大值，∴=2，又2a=2，故a=，c=1，∴b==1，∴椭圆方程为+y2=1；（2）联立方程组，消去y得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，∴△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）＞0，即m2＜2k2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，①∵F1（-1，0），F2（1，0），故k1==，k2==，∴k1+k2=+=0，即2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0，∴2k•+（m-k）•（-）-2m=0，化简得：m=-2k．∴直线l的方程为y=kx-2k=k（x-2），∴直线l过定点（2，0）；②∵直线l的斜率是直线OA、OB斜率的等比中项，∴k2=k OA k OB，即=k2，∴=k2，∴km（x1+x2）+m2=0，即m2-=0，∵m≠0，∴k2=，代入m2＜2k2+1可得m2＜2，∵|AB|==•=•．点O到直线AB的距离d==，∴S△AOB=|AB|•d==．∵0＜m2＜2，∴0＜S△AOB≤，故△OAB面积的取值范围为.【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆性质，弦长公式等内容，属于较难题．（1）根据条件列方程组，求出a，b，c即可得出椭圆方程；（2）①联立方程组，根据根与系数的关系和k1+k2=0得出k，m的关系，从而得出直线l的定点坐标；②根据根与系数的关系和等比中项列方程，得出k的值，代入判别式得出m的范围，求出弦长和O带直线AB的距离，得出三角形的面积关于m的函数，从而得出面积的范围．21.【答案】解：（1）f′（x）=．令h（x）=1--ln x，则h′（x）=-=，x＞0，所以0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，又h（1）=0，所以h（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）单调递减．（2）g′（x）=a x ln a+ax a-1=a（a x-1ln a+x a-1），当0＜a≤时，ln a≤-1，所以a x-1ln a+x a-1≤x a-1-a x-1．由（1）得＜，所以（a-1）ln x＜（x-1）ln a，即x a-1＜a x-1，所以g′（x）＜0，g（x）在（a，1）上单调递减，即g（x）＞g（1）=a+1＞1．当＜a＜1时，-1＜ln a＜0．令t（x）=a x-x ln a-1，0＜a＜x＜1，则t′（x）=a x ln a-ln a=（a x-1）ln a＞0，所以t（x）在（0，1）上单调递增，即t（x）＞t（0）=0，所以a x＞x ln a+1．所以g（x）=a x+x a＞x a+x ln a+1=x（x a-1+ln a）+1＞x（1+ln a）+1＞1．综上，g（x）＞1．【解析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而证明结论．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．22.【答案】解：（1）将椭圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得椭圆C的普通方程：，将代入得：2ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=6，化简得椭圆C的极坐标方程为2ρ2+ρ2sin2θ-6=0，将代入ρcosθ+ρsinθ=1可得直线l的方程为x+y-1=0，故直线l的参数方程为（t为参数）；（2）P的极坐标为（1，），在直线l上，设A、B对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程（t为参数），代入得，则：，，∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=.【解析】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用方程组，整理成一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.【答案】解：（1）∵x+|x-a|≥x-x+a=a，∴不等式x+|x-a|≥1的解集为R等价于a≥1，a的取值范围是[1，+∞）（2）由（1）知a=1，f（x）=x+|x-1|=，图象如下：【解析】（1）不等式x+|x-a|≥1的解集为R等价于a≥1；（2）分段画图．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
四川省雅安市高三数学第三次诊断性试题 理 新人教A版
雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}02=-=x x x M ，{}0,1-=N ,则=N M IA. {}1,0,1-B. {}1,1-C. {}0D. φ2. 已知向量a r ＝(1,2)，b r ＝(x ，－4)，若a r ∥b r，则x =A ．4B ．－4C ．2D ．2-3. 设a,b ∈R,则“a ≥1且b ≥1”是“a+b ≥2”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为 A ．2512B ．2425C.2425-D ．1225-5. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 A. 1 B. 2 C. 4 D. 76. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A.283π-B. 83π-C. 82π- D . 23π7. 已知直线l ：50x ky --=与圆O :2210x y +=交于,A B两点且0OA OB ⋅=u u u r u u u r，则k =A.2B. 2±C.D.8. 若实数a ，b 满足a2＋b2≤1，则关于x 的方程x2－2x ＋a ＋b ＝0有实数根的概率是A. 3142π+ B ．314π+ C ．3152π+D ．315π+9.过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线12,l l ,则1l 与2l的交点P 的轨迹方程是（ ） A.1y =-B.2y =-C.1y x =-D. 1y x =--10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数)(x f 满足1)1(≠f ，且对*N n ∈∀,有,13))(()1()(+=+++n n f f n f n f 则=)2015(fA. 2014B. 2015C. 2016D. 2017 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11. 已知(1＋2i) z ＝3－i(i 为虚数单位)，则复数z =12. 在二项式22()n x x -的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .13. 若函数12)2()(2+++=ax x a x f 有零点，但不能用二分法求其零点，则a 的值______ 14．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|＝________15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）①若13)1()(23++-+=x x a x x f 没有极值点，则42<<-a ②31)(++=x mx x f 在区间()+∞-,3上单调，则31≥m ③若函数m x x x f -=ln )(有两个零点，则e m 1< ④已知且不全等，+∈<<=R n m k a x x f a ,,),10(log )()()()()2()2()2(n f m f k f n k f n m f m k f ++<+++++则三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）已知向量p u r ＝(2sin x ，3cos x)，q r ＝(－sin x,2sin x)，函数f(x)＝p u r ·q r(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f(C)＝1，c ＝1，ab ＝23， 且a>b ，求a ，b 的值． 17. （本题满分12分） 雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （1）求直方图中x 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 18. （本题满分12分）如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC的中点，4,22AB BC ==．以DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，设F 是线段A C'上的动点，满足CF CA λ'=u u u r u u u r ．（1）证明：平面FBE A DC '⊥平面；（2）若二面角F BE C --的大小为45°，求λ的值．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。
四川省雅安市高三下学期第三次诊断考试数学(理)试题 Word版含答案
雅安市高中2014级第三次诊断性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,3,4U =----，集合{}0,1,2M =--，{}0,3,4N =--，那么()U C M N I为（ ）A ．{}0B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅ 2．复数3i2iz -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i --3．若()y f x =是定义域在R 上的函数，则()y f x =为奇函数的一个充要条件为（ ） A ．()00f = B ．对x R ∀∈，()0f x =都成立 C ．0x R ∃∈，使得()()000f x f x +-= D ．对x R ∀∈，()()0f x f x +-=都成立 4．cos xdx π⎰（ ）A ．1B ．2-C ．0D ．π5．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤ 6．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．524π C ．4π D ．724π 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．103π C ．6π D ．83π8．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．[]2,2- D ．[)0,+∞9．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ）A．(16π B．(16π C．(82π- D．(82π 10．若ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于（ ） A ．32 B ．43CD11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） ABC1 D1 12．已知函数()ln f x x =，()2042g x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩()()011x x <≤>则方程()()1f x g x +=实根的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值 ．14．展开式5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项为 ．15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅uuu r uuu r的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，24BC AD ==，AB CD ==（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若二面角A PC D --的大小为60︒，求AP 的值.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为2，离心率为2，直线l ：y kx m=+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当AOB V （O 为坐标原点）面积取最大值时，求直线l 的方程. 21．已知函数()21ln 2f x x ax =-（a R ∈）. （1）若()f x 在点()()2,2f 处的切线与直线220x y ++=垂直，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）讨论函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；（2）设点()0,2P ，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； （2）设a ，b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.雅安市高中2014级第三次诊断性考试 数学试题（理科）参考答案及评分意见一、选择题1-5:BDDCA 6-10:BABBC 11、12：CB二、填空题13．4 14．40 15．27个 16．[]6,10-三、解答题17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差是d ．由已知()()382726a a a a d +-+==- 3d ∴=-2712723a a a d ∴+=+=-m ，得 11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，1n n n a b q -∴+=，1n n n b q a -∴=-=132n n q --+，()14732n S n ∴=++++-⎡⎤⎣⎦L ()211n q q q -+++++L ∴当1q =时，()312n n n S n -=+232n n +=当1q ≠时，()312n n n S -=+11nq q -- 18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++1003.03033=≈.因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意13,4X ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，从而X 的分布列为[来源:学&科&网]()13344E X np ==⨯=， ()()1D X np p =-13934416=⨯⨯=.19．（1）证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE BC ⊥于点E ． 由四边形ABCD 是等腰梯形得12BC ADCE -==，3DE ==， 所以BE DE =，从而得45DBC BCA ∠=∠=︒，所以90BOC ∠=︒，即AC BD ⊥． 由PA ⊥平面ABCD 得PA BD ⊥，因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ． （2）解：作OHPC ⊥于点H ，连接DH ． 由（1）知DO ⊥平面PAC ，故DO PC ⊥．所以PC ⊥平面DOH ，从而得PCOH ⊥，PC DH⊥． 故DHO ∠是二面角A PC D --的平面角，所以60DHO ∠=︒． 在Rt DOH V中，由DO =，得OH =Rt PAC V 中，PA OH PC OC =． 设PA x =6=x =，即AP = 20.解：（1）由已知可得222,222,c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得()22124kxkmx ++2220m +-=．当()228210k m =-+>V ，即2221k m >-时，122412km x x k -+=+，21222212m x x k-⋅=+． 所以1222212x x km k +-=+，122212y y m k+=+． 当0k =时，线段AB 的垂直平分线显然过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭12AOB S AB m =⋅=V 12m ⋅⋅=因为()1,0m ∈-()0,1U ,所以()20,1m ∈AOB S ≤V 2=，当212m =时，取到等号. 则l :y = 当0k ≠时，因为线段AB 的垂直平分线过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以121212202y y x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-1k=-，化简整理得2212k m +=． 由222212,21,k m k m ⎧+=⎪⎨+>⎪⎩得02m <<． 又原点O 到直线AB的距离为d =．12AB x =-=所以12AOBS AB d =⋅=V而2212k m +=且02m <<，则AOB S =V 02m <<.所以当1m =，即212k =时，AOB S V 取得最大值2．综上AOB S V此时直线l : 12y x =+或12y x =-+或2y =±21．解：（1）由题可知()f x 的定义域为()0,+∞，因为()21ln 2f x x ax =-，所以()1f x ax x '=-=21ax x-又因为直线220x y ++=的斜率为2-，()14212a-∴-⨯=-，解得0a = （2）由（1）知：()1f x ax x '=-=21ax x-，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，由()0f x '>得x <()0f x '<得x >()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.（3）由（2）可知，当0a <时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =->，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当0a =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =-=，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点； 当0a >时，1≤，即1a ≥时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，()1102f a =-<Q ，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；②若21e <≤，即411a e <<时，()f x在⎡⎢⎣上单调递增，在2e ⎤⎥⎦上单调递减，而()1102f a =-<，11ln 22f a =--，()24122f e ae =-，若1ln 2f a =--102<，即1a e >时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；若1ln 2f a =--102=，即1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；若1ln 2f a =--102>，即1a e <时，由()241202f e ae =->得44a e <，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；由()241202f eae =-≤得44a e≥，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点；③若2e ≥，即410a e <≤时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()1102f a =-<Q ，()241202f e ae =->，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点. 综上所述：当440a e ≤<或1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；当0a <或1a e>时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当441a e e≤<时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点. 选考题：22、解: (1)由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得()f x ，即曲线C 的普通方程为2219x y +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，(*) 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入(*)，化简得2y x =+， 所以直线l 的倾斜角为4π(2)由(1)知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，即222x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，(245∆=-⨯271080⨯=>，[来源:学|科|网]设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1205t t +=-<，122705t t ⋅=>，10t ∴<，20t < 所以PA PB +=12t t +=()125t t -+=23解:(1)(ⅰ)当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1x <-(ⅱ)当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时原不等式无解； (ⅲ)当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +<，解得1x > 综上，{1M x x =<-或}1x >.(2)证明：因为()()f a f b --=11a b +--+≤()11a b a b +--+=+，所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证2221a b ab ++>222a ab b ++，即证222210a b a b --+>，即证()()22110a b -->.因为a ，b M ∈，所以21a >，21b >，所以()()22110a b -->成立，所以原不等式成立.。