5-2_推迟势5-3(2)电偶极辐射

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推迟势
1. 点电荷在空间激发的标势 ρ( x, t ) = Q(t )δ ( x)，考虑对称性 设点电荷处于原点， 取球坐标且 ϕ = ϕ ( r , t ) 与 θ , φ 无关。标势的达朗贝
尔方程化为：
1 ∂ 2 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ Q ( t )δ ( r ) ( r ) − =− 2 2 2 ∂ r ∂ r ε0 r c ∂t
+
∂J ( x ′, t ′ ) ⋅ ∇ ′t ′ ∂t ′
∇r = −∇ ′r
r ′ µ0 J ( x , t − c ) A( x, t ) = dV ′ 4π ∫V r
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t ′= c
1 ∂J ( x ′, t ′ ) − ⋅ ∇ ′r c ∂t ′
t ′= c
∇ ⋅ J ( x ′, t ′ ) = ∇ ′ ⋅ J ( x ′, t ′ )
结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3． R与 λ 的关系
∫ J ( x ′ )(1 − ikn ⋅ x ′ − ...)dV ′
2π n ⋅ x ′
当 l ≈ x ′ << λ 时 kn ⋅ x ′ =
λ
<< 2π
近似公式可以仅取积分中的第一项，有：
A( x ) =
µ 0 e ik R 4π R
∫V r
1 ∂ρ ( x ′ , t ′ ) dV ′ ∂t ′
∇⋅ A+
1 ∂ϕ µ 0 = c 2 ∂t 4π
∫ r [∇′ ⋅ J ′( x′, t ′) t′=c +
1
∂ρ ( x ′ , t ′ ) ]dV ′ ∂t ′
=0
0 电荷守恒定律
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第五章第三节
§5.3 电偶极辐射
1 1 ，即 k >> ， R R
A( x , t ) =
µ 0 e ikR i p 4π R
µ 0 e ikR 4π R
p = ∫ J ( x′, t )dV ′
..
i
∫ J ( x ′ )dV ′
0
2．偶极辐射的电场强度和磁感应强度 i µ µ eikR i eikR i eikR B = ∇× A = 0 ∇× ( p) = 0 ∇( ) × p+ ∇× p 4π R 4π R R ikR R ikR 1 ikR ∇ → ik e 1 1 ∇ = (∇ )eikR + ∇eikR =− 3 e + ike k = kn R R R R R 1 n ikR = (− + ik)e R R
讨论： （1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播 方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺 旋关系； （2）电场、磁场正比于1 / R ， 因此它是空间传 播的球面波，且为横电磁波（TEM波），在 R →∞ 时可以近似为平面波； （3）注意如果 R >> λ （λ >> R ） 不能被满 足，可以证明电场不再与传播方向垂直，即电力 线不再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传播的是 横磁波（TM波）
设场点到小区域电荷、电流中某点 x′的距离 r >> l （小区域的线度），则有 R ≈ r（R 为坐标原点到 场点的距离）。将
1 1 = 在 x′ = 0点展开： r x − x′
r≈
R2 1 n ⋅ x′ = R( ) ≈ R(1 − ) = R − n ⋅ x′ R + n ⋅ x′ 1 + n ⋅ x′ / R R
∂E ∂t
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上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一 般公式。与稳恒电流磁场相比这里 A 附加了一个 因子 e − iω t ，称为推迟相因子。
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∇× B = µ0 J + ε 0 µ0
2
二．矢势的展开 二．矢势的展开 1．A在小电荷、电流区域的级数展开
∫ J ( x ′ )d V ′
偶极辐射公式
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三．偶极辐射
1．用 p 表示偶极辐射矢势
p=∫
A( x ) =
i
p = ∫ x′ ρ ( x′, t )dV ′
J ( x , t )dV ′
考虑远区条件 R >> λ ， 所以有： ∇ e ≈ ike n R R
ikR ikR
1
λ
>>
∇ ⋅ J ( x ′, t ′ ) = 1 ∂J ( x ′, t ′ ) 1 ∂J ( x ′, t ′ ) ∂J ( x ′, t ′ ) ⋅ ∇t ′ = − ⋅ ∇r = ⋅ ∇ ′r ∂t ′ ∂t ′ ∂t ′ c c
t ′= c
1 ∂ϕ =0 c 2 ∂t
∇ ′ ⋅ J ( x ′, t ′) = ∇ ′ ⋅ J ( x ′, t ′) = ∇ ′ ⋅ J ( x ′, t ′ )
r ρ ( x′, t − ) c dV ′ ϕ ( x, t ) = ∫ V 4πε 0r
3. 矢势 A 的解 由于A 满足的方程形式上与 ϕ 满足的方程一 样，类比得到 A 的解：
证：令 t ′ = t − r = t ′( t , x , x′) c µ0 1 1 µ0 J ( x′, t ′) [ ∇ ⋅ J ( x′, t ′) +J ( x′, t ′)∇ ]dV ′ ∇⋅ A = ∇⋅ dV ′ = r 4π ∫ r r 4π ∫V
µ J ( x′)e ikr dV ′ ，则：A( x , t ) = A( x )e − iω t 令 A( x ) = 0 ∫ 4π r
B ( x , t ) = ∇ × A ( x , t ) = B ( x ) e − iω t
E ( x, t ) = ic ∇ × B( x , t ) （在 J = 0 的区域成立） k
− ∇ ′ ⋅ J ( x′, t ′ )
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1
∇⋅ A =
µ0 ⎧ 1 1 1 ⎫ ⎨ ∇′ ⋅ J ′( x′, t ′) dV ′ − ∫ [ ∇′ ⋅ J ′( x, t ) + J ( x′, t ′)∇′ ]dV ′ ⎬ 4π ⎩∫ r r r t =c ⎭
− iω t 设电荷电流分布 J ( x′, t ) = J ( x′ )e ρ ( x′, t ) = ρ ( x ′ )e − iω t
同样可以得到：
随时间正弦 或余弦变化
ϕ ( x, t ) = [∫
ρ ( x′ )e ikr dV ′]e − iω t 4πε 0 r
ϕ ( x , t ) = ϕ ( x )e − iω t
z 电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射 出来的。宏观上，主要是利用载有高频交 变电流的天线产生辐射，微观上，一个做 变速运动的带电粒子即可产生辐射。 z 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期 运动，且电荷体系线度远远小于电荷到观 测点的距离的情况。
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电偶极辐射
一. 计算辐射场的一般公式
将此式代入推迟势的公式后得到（k = ω c ）
A( x, t ) =
µ0 J ( x′, t − r / c ) µ0 J ( x′)e ikr ′ dV [ dV ′]e − iω t = 4π ∫ r 4π ∫ r
根据洛仑兹条件 因此只要求 ic 2 可以得到矢势与 ϕ ( x) = − ∇ ⋅ A( x′) 出矢势即可 ω 得到标势 标势的关系： 此情况下电磁场也是时谐电磁场：
u( r , t ) 令 ϕ (r , t ) = r
r Q( x′, t − ) c ′ ：ϕ( x, t ) = 若点电荷不在原点而在空间 x 点 4πε 0r 可以证明上述解的形式满足＊式
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Q(t − ) c 4 π ε0 r
2. 连续电荷分布在空间产生的电势
二.证明 ϕ 、A 满足洛仑兹条件 ∇ ⋅ A +
A( x ) =
µ0 4π
∫
J ( x′)e ik ( R− n⋅ x′ ) dV ′ R − n ⋅ x′
A( x) =
µ0 J( x′)eikr dV′ 4π ∫ r
2．求解 A( x ) 的公式
因为 R >> x ′ ≥ n ⋅ x ′ ，所以分母中的 n ⋅ x ′ 可以舍 去。但是要注意，相因子中的 n ⋅ x ′不能轻易舍去。 2π n ⋅ x′ 原因： 相对 2π 不一定是小量。 λ x 2 利用 e = 1 + x + x + ... 得到：
J ( x ′ , t ) = J ( x ′ )e − i ω t ρ ( x ′ , t ) = ρ ( x ′ )e − i ω t
条件下辐射场的近似公式
A( x ) =
µ 0e i k R 4πR
在满足 l << R ， l << λ 的前提下，按 R 与 λ 的关系还可分为三种情况： （1）R << λ（近区） R 2π R << , e ik R ≈ 1 传播时间 t = < T c k 这一区域内变化电磁场与静场性质类似。 （2）R ≈ λ （感应区） 过度区，电磁场的行为很复杂，一般不详细 研究这一区域。 （3）R >> λ （远区，即辐射区） 电磁波在脱离了场源后的传播区域，也是 本课程主要讨论的内容。
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3
利用 E( x, t ) =
ic ∇× B( x, t ) k
ii
E ( x, t ) =
e ikR ii ( p× n) × n 4πε 0c 2 R