九年级数学上册第1课时 线段的比和比例的基本性质
九年级上册数学3.1.1比例的基本性质
内项为7,12；外项为6,14
二、探究比例的基本性质
1、用等式的基本性质推理证明比例的基本性质
动脑筋：自学课本62页内容，自主推理证明比例
的基本性质
比例的基本性质：
如果
a c b d
，那么ad=bc.
即，如果a:b=c:d，那么ad=bc.
练习：63页第一题
2、比例的基本性质的逆定理 说一说：如果ad=bc，其中a,b,c,d为非零实数，那么 b d
如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，我们就说这四个数 成比例。可写成a:b,c,d成比例，其中b,c称为比例内项，a,d称为比例外向。
练习 你能说出下面比例的内项和外项各是多少吗？
1、
3 6 4 8
内项为4,6,；外项为3,8
6 12 2、 7 14
成立吗？ 成立，因为a,b,c,d为非零实数的条件，使得该命题是比例 基本性质的逆定理
a c
3、比例基本性质的应用
a b （1）若2a=3b=4c,且abc≠0,则 的值是多少？ c 2b b 5 a b （2)已知 a 13 ，则 a b 的值是多少？
3.1 比例线段
3.1.1 比例的基本性质
一、回顾过去
对于等式4:5=8:10
1、大家认识吗？这种关系叫做什么？
这种关系叫做比（两个数相除），而“比”是由前项∶后 项组成的。 2、这个等式正确吗？为什么？
正确，因为4:5=0.8，而8:10=0.8，所以4:5=8:10 3、分别求它们的比值 “比值”（两个数相除的商）是前项除以后项所得 的商。4:5=0.8,8:10=0.8
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第1课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
通过学习比例线段，学生能够理解和掌握比例线段的概念，能够运用比例线段解决实际问题，为后续学习相似三角形和勾股定理等内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和操作来理解和掌握。
同时，学生可能对于比例线段的性质和应用有一定的困难，需要通过大量的练习和实际问题来巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过观察、操作、思考、交流等过程，培养自己的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，自主学习，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。
2.难点：比例线段的运用和实际问题的解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的实例和实际问题，引发学生的兴趣和思考，帮助学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
2.操作教学法：通过学生的实际操作和观察，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.互助合作学习法：通过小组讨论和合作，促进学生之间的交流和互助，提高学生的学习效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作相应的教学课件，展示比例线段的实例和实际问题。
2.教学素材：准备一些实际问题和相关练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学工具：准备直尺、三角板等工具，用于学生的实际操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，引发学生的兴趣和思考，引入比例线段的概念。
例如，展示两辆车的速度和时间的关系，让学生观察和思考它们之间的比例关系。
九年级数学上册第1课时 线段的比和比例的基本性质
作品编号：18972934852016000781学校：极兔市汉文镇周家屯小学*教师：玫霸*班级：走晋参班*第四章图形的相似1 成比例线段第1课时线段的比和比例的基本性质【知识与技能】1.通过简单实例了解两条线段的比的概念.2.了解比例的基本性质及应用.【过程与方法】经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.【情感态度】通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.【教学重点】成比例线段的基本性质.【教学难点】成比例线段的基本性质.一、情境导入，初步认识请写出线段AB和CD的比，并讨论线段的比有哪些地方是需要特别留意的？ 【教学说明】让学生初步了解线段的比就是线段长度的比.让学生在两个实例中理解线段的比要注意以下几点：1.线段的比是正数2.单位要统一3.线段的比与线段的长度无关二、思考探究，获取新知1.由下面的格点图可知，AB A B ''=_______，BC B C ''=_______，这样AB A B ''与BC B C ''之间有关系_______.【归纳结论】对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a b =d c（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.【教学说明】从具体的事例中感受线段的成比例.2.如果四条线段a 、b 、c 、d 成比例，即=a c b d .那么ad ＝bc 吗？如果ad ＝bc ，那么a 、b 、c 、d 成比例吗？ 【归纳结论】如果=a c b d ，那么ad=bc.如果ad=bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么=a c b d. 【教学说明】培养学生的自学能力及归纳能力.三、运用新知，深化理解1.一条线段的长度是另一条线段的3倍，则这两条线段的比为3∶1.2.已知3x=4y ，则x y= 43 .3.已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？ （1）a=16cm b=8cm c=5cm d=10cm;（2）a=8cm b=5cm c=6cm d=10cm.分析：（1）a b =2，d c=2，则a b =d c ，所以a 、b 、d 、c 成比例. （2）由已知得ab ≠cd ，ac ≠bd ，ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例.4.在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5cm ，求A ，B 两地间的实际距离.分析：利用比例尺的定义即“=图上距离比例尺实际距离”列出等量关系式. 解：设A 、B 两地间的实际距离为xcm ，则4.51200=x .解得x=900. ∴设A 、B 两地间的实际距离为900cm. 5.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，求线段d 的长.分析：由a 、b 、c 、d 是成比例线段得=a c b d ，代入计算求出线段d 的长. 解：∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴=a c b d ，即362=d. 解得d=4cm.6.已知三条线段的长分别为2、4、8，请你再添上一条线段，使它们成比例，求出所有符合条件的线段长.分析：解：设添加的线段长为x ，当x≤2时，x∶2=4∶8，x=1;当2≤x≤4时，2∶x=4∶8，x=4;当4≤x≤8时，2∶4=x∶8，x=4;当x≥8时，2∶4=8∶x，x=16.综上，符合条件的线段长可为：1，4，16.【教学说明】本题运用了分类讨论思想求解，解题的关键是找出各种可能的情况.先设要添加的线段长为x，然后使这四个数各自成比例，再算出x的值.四、师生互动，课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.1.布置作业:教材“习题4.1”中第1 题.2.完成练习册中相应练习.本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但内容比较简单，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，容易混淆.所以应多加训练.。
初中数学九年级上册《比例线段》
a 2.已知 b
c d
, 判断下例比例式是否成立，并
说明理由． (1) a b c d
bd
(2) a a c b bd
注意: 1.若a:b=k , 说明a是b的k倍。 2.两条线段的比与所采用的长度单位
无关，但求比时两条线段的长度单 位必须一致。 3.两条线段的比值是一个没有单位的 正数。 4.除了a=b外,a:b≠b:a, a 与 b 互为倒数
a2 即 a:b=2:3或 b = 3
如果改用米、毫米作为线段的长度单位， 那么a、b两条线段的比分别是：
a 0.02米 2 b = 0.03米 = 3
a 20毫米 2 b = 30毫米 ＝ 3
２．比例的基本性质:
a c ad bc(a,b, c, d都不为零) bd
例 （１1: ）1.２根a据=3下b 例; 条件，(求2)a:b的值a5 ． b4
(3)a=50mm , b=6cm ;
(4)a=3m , b=10mm .
答: (1) a:b=5
(2) a:b=1:100
(3) a:b=5:6 (4) a:b=300
例2
已知：A、B两地的实际距离AB=250m 画在地图上的距离A'B'=5cm
求：图上距离与实际距离的比 (即该地图的比例尺)
解：∵ AB=250m=25000cm
两个边数相同的多边形,如果他们的 对应角相等,对应边长度的比相等,那么 这两个多边形叫做形似多边形.
相似多边形对应边长度的比叫做 相似比或相似系数
1.线段的比
定义：在同一长度单位下，两条线段 的长度的比叫做这两条线段的比。
即如果用同一长度单位量得线段a、b的 am
九年级数学上册成比例线段练习题精选
第1课时 线段的比和比例的基本性质基础题知识点1 线段的比1．如图，线段AB∶BC＝1∶2，则AC∶BC 等于( )A ．1∶3B ．2∶3C ．3∶1D ．3∶22．已知a ＝0.2，b ＝0.04，则a∶b＝________.3．已知a ＝2 cm ，b ＝30 mm ，则a∶b＝________.4．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝10 cm ，在△DEF 中，ED ＝EF ＝12 cm ，DF ＝8 cm ，求AB 与EF 之比， AC 与DF 之比．知识点2 比例线段5．四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a ＝3 cm ，d ＝4 cm ，c ＝6 cm ，则b 等于( )A ．8 cm B.29cm C.92cm D ．2 cm 6．2013版《中华人民共和国全图》在左下角特别配有一幅放大的钓鱼岛插图，比例尺为1∶1 500 000，已知钓鱼岛东西长约3.5公里，则在地图上的东西长约为( )A ．0.002 3 cmB ．0.23 cmC ．4.29 cmD ．0.042 9 cm7．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为________米．8．已知a 、b 、c 、d 四条线段依次成比例，其中a ＝3 cm ，b ＝(x －1)cm ，c ＝5 cm ，d ＝(x ＋1)cm.求x 的值．知识点3 比例的基本性质9．已知x 3＝y 2，那么下列式子中一定成立的是( ) A ．2x ＝3y B ．3x ＝2yC ．x ＝2yD ．xy ＝610．若2y －5x ＝0，则x∶y 等于( )A ．2∶5B ．4∶25C ．5∶2D ．25∶411．已知线段m ，n ，且m n ＝34，求m ＋n m 的值． 中档题 12．不为0的四个实数a 、b 、c 、d 满足ab ＝cd ，改写成比例式错误的是( )A.a c ＝d bB.c a ＝b dC.d a ＝b cD.a b ＝c d13．有四组线段，每组线段长度如下：①2，1，2，2；②3，2，6，4；③12，1，5，2；④1，3，5，7，能组成比例的有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组14．将两块长a 米，宽b 米的长方形红布，加工成一个长c 米，宽d 米的长方形，有人就a ，b ，c ，d 的关系写出了如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是( )A.2a c ＝d bB.a c ＝d 2bC.2a d ＝c bD.a 2c ＝d b15．已知线段a ＝2，b ＝2＋3，c ＝2－ 3.(1)若a∶b＝c∶x，求线段x 的长；(2)若b∶y＝y∶c，求线段y 的长．16．在比例尺为1∶8 000 000的地图上，测量出太原到北京的铁路全长为6.4 cm ，若某火车从太原到北京一共行驶了3小时12分钟，求该火车的速度是多少．17．已知三条线段的长分别为1 cm 、2 cm 、 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长． 18．如图所示，若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝32，求线段PQ 的长．综合题19．在△ABC 中，AB ＝12，点E 在AC 上，点D 在AB 上，若AE ＝6，EC ＝4，且AD DB ＝AE EC. (1)求AD 的长；(2)试问DB AB ＝EC AC能成立吗？请说明理由．参考答案1．D 2.5∶1 3.2∶3 4.在Rt △ABC 中，根据勾股定理知，AC ＝AB 2＋BC 2＝10 2 cm ，则AB EF ＝1012＝56，AC DF ＝1028＝524. 5.D 6.B 7.9.6 8.依题意，得3x －1＝5x ＋1.解得x ＝4.经检验，x ＝4是原方程的解，∴x ＝4. 9.A 10.A 11.∵m n ＝34，∴可设m ＝3k ，则n ＝4k.∴m ＋n m ＝3k ＋4k 3k ＝73. 12.D 13.B 14.D 15.(1)由题意得22＋3＝2－3x .解得x ＝12.(2)由题意得2＋3y ＝y 2－3.解得y ＝±1.由于线段y 为正数，所以y ＝1. 16.6.4厘米×8 000 000＝51 200 000厘米＝512千米.3小时12分钟＝315小时．该火车的速度是512÷315＝160(千米/小时)． 17.设另一条线段长为x cm ，有三种情况：①1×2＝2x ，解得x ＝2；②2×2＝1×x，解得x ＝22；③1×2＝2x ，解得x ＝22.综上所述，另外一条线段的长是2 2 cm 或 2 cm 或22cm. 18.设AP ＝3x ，BP ＝2x.∵AB＝10，∴AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10.∴x＝2.∴AP＝6，BP ＝4.∵AQ BQ ＝32，∴可设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y.∴10＋y y＝32.解得y ＝20.∴PQ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝24. 19.(1)AD ＝365.(2)能，由AB ＝12，AD ＝365，故DB ＝245.于是DB AB ＝25.又EC AC ＝410＝25，故DB AB ＝EC AC.比例线段姓名__________一．选择题（共12小题）1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．2．已知=，那么的值为（）A．B．C．D．3．已知，则的值是（）A．B．C．D．4．（2016•闵行区一模）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）A．2000000cm2 B．20000m2C．4000000m2 D．40000m25．（2016•黄浦区一模）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm6．（2015春•成都校级期末）下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（）A．2，5，6，8 B．3，6，9，18C．1，2，3，4 D．3，6，7，97．（2015秋•龙海市校级期末）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．6cm、2cm、1cm、4cmB．4cm、5cm、6cm、7cmC．3cm、4cm、5cm、6cmD．6cm、3cm、8cm、4cm8．已知，则的值是（）A．3B．4C．﹣4D．﹣39．（2015秋•莘县期末）若==，且3a﹣2b+c=3，则2a+4b﹣3c的值是（）A．14 B．42 C．7 D．10．（2015春•苏州校级期末）已知线段a=l，c=5，线段b是线段a、c的比例中项，线段b的值为（）A．2.5 B．C．±2.5 D．±11．（2004•遂宁）如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（）A．：1B．1：C．：1D．1：12．（2014•牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．5二．填空题（共5小题）13．已知≠0，则的值为．14．（2015•兰州）如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=．15．（2015•大庆）已知=，则的值为．16．（2000•天津）已知，则a：b=．17．（2002•福州）已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为cm．三．解答题（共1小题）18．（2015秋•浦东新区月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且==≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．参考答案一．选择题（共12小题）1．B；2．B；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．A；9．D；10．B；11．A；12．A；二．填空题（共5小题）13．；14．3；15．-；16．19：13；17．6；三．解答题（共1小题）18．；成比例线段同步练习题精选命题：平顶山市状元郎数学辅导学校 杨书山【概念回顾】：1.四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如：d c b a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么这四条线段叫做__________，简称_________．2.成比例线段的性质：如果dc b a =，那么__________ 3.合比性质：_____________________________________4.等比性质：______________________________________________________________________________【练习题】：一、选择题：1、判断下列线段是否是成比例线段：（1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2．4．2、下列线段能成比例线段的是（ ）(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm(C)2cm,5cm,3cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3、已知32=b a ，则b b a +的值为（ ）(A)23 (B)34 (C)35 (D)53 4、若互不相等的四条线段的长a,b,c,d 满足a b ＝c d ，m 为任意实数，则下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）（A ） a ＋m b ＋m ＝c ＋m d ＋m （B ）a ＋b b ＝c ＋d c （C ）a c ＝d b （D ）a －b a ＋b ＝c －d c ＋d 5、如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ）(A)8 (B)16 (C)24 (D)326、若ac =bd ，则下列比例式中不正确的是 ( ) (A)c b d a = (B)d a c b = (C)d b c a = (D)dc a b = 7、若3x =x 4 ，则x 等于（ ） (A)12 (B)2 3 (C)- 2 3 (D)±2 38、若(m+n):n=5:2，则m:n 的值是（ ）(A)5:2 (B)2:3 (C)3:2 (D)2:59、若a b =c d ，下列各式中正确的个数有（ ）a d =c d , d:c=b:a, ab =a 2b 2 , a b =c+5d+5 , a b =a+c a+d , c d =ma mb (m ≠0)(A)1 (B)2 (C)3 (D)410、若ba c a cbc b a k 222-=-=-=，且a +b +c ≠0，则k 的值为（ ） (A)-1 (B)21 (C)1 (D)- 12 二、填空题1 、线段a=1cm ，b=4cm ，c=9cm ， 那么a 、b 、c 的第四比例项d=____2、已知5x-8y=0，则x+y x = ,如果053=-y x ，且y ≠0，那么yx = ． 3、如果x y ＝73 ，那么x －y y = ,x ＋y y = , x ＋y x ＋y＝ 4、如果5:4:3::=c b a ，那么=+--+cb ac b a 3532 ； 5、.若9810z y x ==, 则 ______=+++zy z y x ,已知x 5 =y 3 =z 4 ，则2x+y-z x+3y+z = 6、.若322=-y y x , 则_____=yx . 7、已知32==d c b a ，若0≠+d b ，则=++db c a 8、已知a b ＝c d ＝e f ＝35 ，b ＋d ＋f ＝50，那么a ＋c ＋e ＝9、若0622=--y xy x ，则=y x : ； 10、若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a . 11、若k ba c a cbc b a =+=+=+ 则k=______ 12、已知（－3）：5＝（－2）：（x －1），则x ＝14、已知a b ＝c d ＝e f ＝35 ，则____432432=+-+-f d b e c a 15、如果y y x +＝73 ，那么___=y x ，x －y y = , yx y x +-＝ 16、如图，已知ΔABC 中，CE AE DB AD =,AC=7cm,CE=3cm,AB=6cm,则AD= ; 17、已知S 正方形=S 矩形，矩形的长和宽分别为10cm 和6cm ，则正方形的边长为18、在Rt ΔABC 中，∠C=90°, ∠A=30°则a:b:c=19、已知x:y=2:3，则（3x+2y ）:(2x-3y)=20、已知5x+y 3x-2y =12 ，则x y = , x+y x-y = ;三、解答题1、已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +- (2)z y x z y x +-++354322、已知有三条线段长为1cm 、4cm 、9cm ，请你再添加一条线段，使这四条线段为成比例线段，求所添加线段的长A BCD E3. 已知0≠-=-=-z a c y c b x b a ，求x+y+z 的值.。
线段的比和比例的基本性质1
九 年 级 数 学 导 学 案 年级 九 班级学科 数 学 课题 线段的比和比例的基本性质 第 1 课时 总 2 课时 编制人 审核人 课型 新授课 使用者教 学 内 容学习目标1．结合实际情境了解线段比的概念，并会计算两条线段的比．2．结合实际情境了解比例线段的概念．3．理解并掌握比例的基本性质，并能进行简单应用． 学习过程一.复习回顾： 1．如图：，则线段AB 与CD 的比为AB ∶CD ＝ ．2．已知线段AB ＝2cm ，线段CD ＝2m ，则线段AB ∶CD ＝ ．通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。
二.新课学习：先阅读教材P 76－78页的内容，然后完成下面的问题：1．线段比的定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD ＝m ∶n 或写成AB CD ＝m n，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项．如果把m n表示成比值k ，则AB CD＝ 或AB ＝ . 2．求两条线段的比时，应保持两条线段的长度单位 ．3．比例线段的定义：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c与d 的比，即a b ＝c d，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．4．比例的性质：(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么 ；(2)如果ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么a b＝ ． 在求两条线段的比时，有哪些地方是需要特别留意的？归纳结论：(1)线段的比为正数；(2)单位要统一；(3)线段的比与所采用的长度单位无关．典例讲解：1．见教材P 78例1.2．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？(1)a ＝16cm ，b ＝8cm ，c ＝5cm ，d ＝10cm ；(2)a ＝8cm ，b ＝5cm ，c ＝6cm ，d ＝10cm .解：(1)a b ＝2，d c ＝2，则a b ＝d c，所以a 、b 、d 、c 成比例；(2)由已知得ab≠cd，ac ≠bd ，ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例．三.自主总结：1.线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k ；2.两条线段的比是有序的;与采用的单位无关，但要选用同一长度单位；3.比例线段的性质，运用比例线段的基本性质解决问题.四.达标测试1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 32．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( )A ．2B ．4C ．4.5D ．83．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( )A ．2 250厘米B ．3.6千米C ．2.25千米D ．36千米4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.5．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长．教后反思。
北师大数学九年级上册第四章比例线段
第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。
北师大版-数学-九年级上册-教案4.1 成比例线段
4．1 成比例线段第1课时 线段的比和比例的基本性质1．了解线段的比和比例线段的概念．2．掌握比例的基本性质，会求两条线段的比，并应用线段的比解决实际问题．(重点)阅读教材P76～79，完成下列内容：(一)知识探究1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比(ratio)就是它们________的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n.其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的________和________．如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD＝k 或AB ＝k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．2．四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称________．3．比例的基本性质如果a b ＝c d，那么ad ＝________. 如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b＝________. (二)自学反馈1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，32．把mn ＝pq 写成比例式，错误的是( )A.m p ＝q nB.p m ＝n qC.q m ＝n pD.m n ＝p q活动1 小组讨论例 如图，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD ＝AD AB，那么a 的值应当是多少？解：根据题意可知，AB ＝a m ，AE ＝13a m ，AD ＝1 m. 由AE AD ＝AD AB，得 13a 1＝1a， 即13a 2＝1. ∴a 2＝3.开平方，得a ＝3(a ＝－3舍去)．本例提供了应用比例基本性质的一个具体情境，应注意阅读和理解题意，然后由比例式得到等积式，再通过计算求得结果．易错提示：开平方后求得的结果，需要检验是否符合题意．活动2 跟踪训练1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 32．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( )A ．2B ．4C ．4.5D ．83．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( )A ．2 250厘米B ．3.6千米C ．2.25千米D ．36千米4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.5．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长． 活动3 课堂小结1．线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k.2．两条线段的比是有序的；与采用的单位无关，但要选用同一长度单位．3．两条线段的比在实际生活中的应用．【预习导学】(一)知识探究1．长度 前项 后项 2.a b ＝c d 比例线段 3.bc c d(二)自学反馈1．B 2.D【合作探究】活动2 跟踪训练1．C 2.D 3.D 4.905．∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2.解得AE ＝5.6.∴AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．第2课时 等比性质1．理解并掌握等比性质．(重点)2．运用等比性质解决有关问题．(难点)阅读教材P79～80，自学“例2”，完成下列内容：(一)知识探究等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝________. 注意在运用等比性质时，前提条件是：分母b ＋d ＋…＋n ≠0.(二)自学反馈如果a b ＝c d ＝52(b ＋d ≠0)，那么a ＋c b ＋d＝________.活动1 小组讨论例 在△ABC 与△DEF 中，若AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长． 解：∵AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34， ∴AB ＋BC ＋CA DE ＋EF ＋FD ＝AB DE ＝34. ∴4(AB ＋BC ＋CA)＝3(DE ＋EF ＋FD)，即DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)． 又∵△ABC 的周长为18 cm ，即AB ＋BC ＋CA ＝18 cm ，∴DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)＝43×18＝24(cm)， 即△DEF 的周长为24 cm.在应用等比性质时，要抓住题目已知条件：三角形ABC 的周长，即三边之和为18 cm.活动2 跟踪训练1．已知a b ＝c d ＝e f＝4，且a ＋c ＋e ＝8，则b ＋d ＋f 等于( ) A ．4 B ．8C ．32D ．22．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝k ，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为( ) A ．2 B ．－1C ．2或－1D ．不存在3．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，则a ＋e b ＋f＝________. 4．如果a b ＝c d ＝e f＝k(b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________.5．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，求a ＋2c －3e b ＋2d －3f的值． 活动3 课堂小结等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.【预习导学】(一)知识探究 a b(二)自学反馈52【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.234.3 5．∵a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，∴a b ＝2c 2d ＝－3e －3f ＝23.∵b ＋2d －3f ≠0，∴a ＋2c －3e b ＋2d －3f ＝23.。
4.1第1课时线段的比和比例的基本性质-北师大版九年级数学上册习题课件
ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.∴AB＝5.∵S ＝ AB·CD＝ BC·AC，∴CD＝ ＝ 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
△ABC
2 2 AB 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时 线段的比和比例的基本性质
2.4，∴在 Rt△ADC 中，AD＝ 试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时 线段的比和比例的基本性质
AC2－CD2＝1.8，∴BD＝AB－AD＝3.2，∴AD∶CD
试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
＝CD∶BD＝3∶4，即线段 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
AD、CD、CD、BD
是成比例线段．
(2)比例尺 在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比通
常称为比例尺．比例尺是两条线段的比的一种． 注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
知识点 2 比例线段的定义 四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝dc，那么这四 条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段． (1)a、b、c、d 分别叫做比例的第一、二、三、四比例项； (2)a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项． 提示：判断给定的四条线段是否成比例的方法：先将四条线段统一单位，再按 大小顺序排列好，看前两条线段之比与后两条线段之比是否相等；也可看最长线段 与最短线段长度的乘积与剩余两条线段长度的乘积是否相等，若相等则成比例，否 则不成比例．
湘教版九年级数学上册教案 比例的基本性质
3.1比例线段3.1.1比例的基本性质教学目标【知识与技能】1、了解相似形、线段的比概念；2、会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题.3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形.【过程与方法】通过现实情境,进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系.【情感态度】1、有关比例的计算,让学生懂得数学在现实生活中的作用,从而增强学生学好数学的信心；2、通过解答实际问题,激发学生学数学的兴趣,增长社会见识；3、在与他人的共同探索、讨论问题的过程中,增强合作交流的意识.教学重点：理解线段比的概念及其求解.教学难点：求线段的比,注意线段长度单位要统一.教学方法：探索、发现法教学准备：多媒体课件思考探究,获取新知1.阅读与思考题(1)什么是两个数的比？2与-3的比；-4与6的比.如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？(2)比与比例有什么区别？(3)用字母a,b,c,d 表示数,上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？【归纳结论】如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例.通常我们把a,b,c.d 四个实数成比例表示成a ∶b=c ∶d 或da cb =,其中a,d 叫作比例外项,b,c 叫作比例内项. 2.如果四个数a 、b 、c 、d 成比例,即d a c b =,那么a b d c=吗？反过来呢？ 【教学说明】引导学生利用等式的性质一起证明.由此,你能得到比例的基本性质吗？ 【归纳结论】比例的基本性质：如果d a c b =,那么a b d c =.3.已知四个数a 、b 、c 、d 成比例,即：d ac b =,下列各式成立吗？若成立,请说明理由. bd a c =；a b c d=；a b c d b d++=. 分析：(1)比较条件和结论的形式得到解题思路；(2)采用设比值较为简单.【教学说明】这三个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值.4.根据下列条件,求a ∶b 的值.（1）4a=5b,(2) 78a b =. 解：（1）∵4a=5b,∴54a b =. （2）∵78a b =,∴8a=7b, ∴78a b =. 三、运用新知,深化理解1.已知：x ∶(x+1)=(1—x)∶3,求x.解：根据比例的基本性质得,3.已知a ∶b ∶c=1∶3∶5且a+2b-c=8,求a 、b 、c.解：设a=x,则b=3x,c=5x,∴x+2×3x-5x=8,2x=8,x=4,∴a=4,b=3×4=12,c=5×4=20.4.已知x∶y=3∶4,x∶z=2∶3,求x∶y∶z的值.解：因为x∶y=3∶4=6∶8,x∶z=2∶3=6∶9,所以x∶y∶z=6∶8∶9.7.操场上有一群学生在玩游戏,其中男生与女生的人数比例是3∶2,后来又有6名女同学参加进来,此时男生与女生人数的比为5∶4,求原来有多少名男生和女生？【教学说明】引导学生用比例的性质解决问题.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题3.1”中第1、5题.教学反思1、教师可以根据学生的实际情况进行适当调整,设置出适合个人教学的情境.书上的情境设置应该是适用于广大地区的,老师也可以根据自己身边的熟悉的事物来设置情境,或是就用教科书上的情境.具有地方特色的教学资源,不仅丰富了学生对家乡风景的认识和了解,也上学生感受到数学知识在生活中的应用.2、教学中穿插了让同桌之间用不同的单位测量课本的长与宽(精确到0.1cm),并求出这两条线段的长度之比.添加这个环节目的是对学生得出“两条线段长度的比与所采用的长度单位无关”的结论埋下伏笔.学生已经有了全等图形和比例的知识作为铺垫,生活中也存在大量相似图形的例子,所以学生学习起来不会很难,可以大胆的放手让学生自己去动手操作、动脑思考,老师可以在适当的时候给予帮助和补充.3、教材上的例题可以交给学生自学,然后通过随堂联系加以巩固.如果不能达到预期效果,时间允许的话可以补充相关的练习.。
湘教版九年级上册3.1.1比例的基本性质(共21张PPT)
那么 成立吗？
b d
在 ad= bc两边同除以bd，得 :
a c
a c
b d
ad=bc
（其中a， b， c， d为非零实数）
两内项之积等于两外项之积.
a c
说明：由 =>ad＝bc的形式是唯一的，
b d
a c
而由ad＝bc=> 的形式不唯一，有8个不同的比例式．
称a， b， c， d成比例， 其中b，c称为比例内项， a， d称
为比例外项。
a c
如果a， b， c， d成比例，即
①
b d
那么ad=bc吗？
在①式两边同乘bd，得
ad=bc．
归纳总结
比例的基本性质:
a c
, 那么 ad=bc．
如果
b d
如果ad= bc，其中a， b， c， d 为非零实数，
b d
ad 为外项, bc 为内项,4种
ad 为内项, bc 为外项,4种
a:b=c:d
b:a=d:c
a:c=b:d
b:d=a:c
d:b=c:a
c:a=d:b
d:c=b:a
c:d=a:b
例题讲解
例1 已知四个非零实数a，b，c，d 成比例，
a c
即
①
b d
下列各式成立吗？若成立，请说明理由．
=
+ +
=
②
=
③
④
+
=
+
⑤
①
=
=
②
4.1.1线段的比与比例的基本性质(教案)北师大版数学九年级上册
第四章图形的相似1成比例线段第1课时线段的比与比例的基本性质教学目标：1.结合实际情境了解线段比的概念,并会计算两条线段的比.2.结合实际情境了解比例线段的概念.3.理解并掌握比例的基本性质,并能进行简单应用.4.通过现实情境,进一步提高学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识.教学重难点：重点:理解线段的比与成比例线段的概念及求解.难点:判断四条线段是否成比例及比例基本性质的灵活应用.教学方法：讲授法、练习法教学课时：1教学过程：导入新课请观察下列几幅图片,你能发现些什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗?解:这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同,是因为它们图上对应的线段的长度不同.讲授新知知识点1线段的比已知线段a=30 cm,b=60 cm,c=0.15 m,d=30 cm.(1)求线段a与线段b的比;(2)求线段c与线段d的比.[点拨]先化为相同单位,然后进行计算.解:(1)a∶b=30∶60=1∶2.(2)0.15 m=15 cm,c∶d=15∶30=1∶2.[归纳]如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ,n ,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n 或写成AB CD =m n .其中,AB ,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m n表示成比值k ,那么AB CD =k 或AB=k ·CD. 知识点2 成比例线段计算下列四条线段中a ∶b 与c ∶d 的值,你能发现什么?(1)a=2 cm,b=4 cm,c=3 m,d=6 m;(2)a=0.8,b=1,c=2.4,d=3.解:(1)a ∶b=2∶4=1∶2;c ∶d=3∶6=1∶2,两个比相等.(2)a ∶b=0.8∶1=4∶5;c ∶d=2.4∶3=4∶5,两个比相等.[归纳]四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =c d,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段.注意:(1)若a ∶b=k ,说明a 是b 的k 倍;(2)两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致;(3)两条线段的比值是一个没有单位的正数. 知识点3 比例的基本性质有四条线段:a=3,b=4,c=6,d=8,它们成比例吗?计算ad 与bc 的值,你能发现什么? 解:它们成比例,ad=bc.[归纳]如果a ,b ,c ,d 四个数成比例,即a b = c d .那么ad=bc.如果ad=bc (a ,b ,c ,d 都不等于0),那么a b = c d . 范例应用例1 如图所示,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=8 cm,AC=6 cm,CD 是斜边AB 上的高,求CD ∶AB 的值.解:在Rt △ABC 中,由勾股定理,得AB=√AC 2+BC 2=√62+82=10(cm ),由面积公式,得S △ABC = 12AC ·BC=12AB ·CD.所以CD=6×810 = 245(cm ).所以CD ∶AB = 245∶10=1225.例2 下列四个数成比例的是(A)A.3,9,5,15B.1,2,3,4C.2,4,5,8D.3,5,7,9例3 若x ∶3=5∶(x+2),求x 的值.解:因为x ∶3=5∶(x+2),则x (x+2)=3×5.即x 2+2x15=0. 解得x=5或x=3.所以x 的值为5或3.课堂训练1.如果3x=5y,则下列比例式成立的是(B)A.x y = 35B.x y = 53C.x 3 = y 5D.3x = 5y2.已知a b =52,那么下列等式中正确的是(A)A.2a=5bB.a+b=7C.a=5,b=2D.a 2 = b 5 3.在比例尺为1∶2 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.4 cm,甲、乙两地的实际距离是 48 km.4.如图所示,有矩形ABCD 和矩形A'B'C'D',AB=8 cm,BC=12 cm,A'B'=4 cm,B'C'=6 cm.则线段A'B',AB,B'C',BC 是成比例线段吗?解:因为AB=8 cm ,BC=12 cm ,A'B'=4 cm ,B'C'=6 cm ,所以A'B'AB =48=12,B'C'BC = 612=12. 所以A'B'AB =B'C'BC .所以A'B',AB ,B'C',BC 是成比例线段.5.已知三个数2,4,8,请你再添上一个数,使它们成比例,求出所有符合条件的数. 解:设添加的数为x ,当2∶4=8∶x 时,x=16.2∶4=x ∶8时,x=4.2∶x=4∶8时,x=4.x ∶2=4∶8时,x=1.所以可以添加的数有1,4,16.课堂小结1.线段比的概念.2.成比例线段的概念、判断及注意事项.3.比例的基本性质.板书设计第四章 图形的相似1 成比例线段第1课时 线段的比与比例的基本性质1.线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n 或写成AB CD =m n.2.成比例线段:四条线段a,b,c,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =c d ,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段.3.比例的基本性质:如果a,b,c,d 四个数成比例,即a b =c d ,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d 都不等于0),那么a b =c d .教学反思：本节课主要学习比例线段的概念及性质,成比例线段的概念及比例的基本性质,对学生而言,这个概念基于图形背景中,比较直观,学生比较容易理解.比例的性质,是后续研究相似图形的基础,同时也可以为分式的运算提供一些便捷,而且比例的基本性质中蕴含着一些基本的数学方法,可适当运用到后续知识的学习中,是本节课重要的教学任务.。
湘教版数学九年级上册3.1.1《比例的基本性质》(第1课时)教学设计
湘教版数学九年级上册3.1.1《比例的基本性质》（第1课时）教学设计一. 教材分析《比例的基本性质》是湘教版数学九年级上册3.1.1的内容，本节课主要让学生掌握比例的基本性质，包括比例的定义、比例的表示方法、比例的性质等。
通过本节课的学习，为学生后续学习比例的应用和解决实际问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了代数、几何等基础知识，具备一定的逻辑思维和运算能力。
但对于比例的概念和性质，部分学生可能还较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行引导和启发，使他们在课堂上能够更好地理解和掌握比例的基本性质。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握比例的定义、表示方法，以及比例的基本性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生发现规律、归纳总结的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：比例的定义、表示方法及比例的基本性质。
2.难点：比例性质的发现和归纳。
五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提问、引导，激发学生的思考，让学生主动探索比例的基本性质。
2.小组合作：学生分组讨论，共同发现和总结比例的性质，培养学生的合作意识。
3.实例讲解：结合具体例子，让学生理解比例的性质在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示比例的基本性质的相关图片和例子。
2.练习题：准备一些有关比例的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的比例现象，如身高与鞋码的关系，引出比例的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示比例的定义和表示方法，让学生初步认识比例。
然后通过一些具体例子，引导学生发现比例的基本性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用比例的基本性质解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成，检验他们对比例基本性质的掌握程度。
线段的比与比例的基本性质
第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时 线段的比与比例的基本性质掌握比例的基本性质，并能进行简单应用【学习目标】 1．结合实际情境了解线段比的概念，并会计算两条线段的比． 2．结合实际情境了解比例线段的概念．3．理解并掌握比例的基本性质，并能进行简单应用． 【学习重点】理解线段的比和比例线段的概念，会求两条线段的比及判断线段是否成比例． 【学习难点】掌握比例的基本性质，并能进行简单应用．情景导入 生成问题1．如图：，则线段AB 与CD 的比为AB ∶CD ＝3∶8．2．已知线段AB ＝2cm ，线段CD ＝2m ，则线段AB ∶CD ＝1∶100． 自学互研 生成能力知识模块 探索线段的比与比例的基本性质先阅读教材P 76－78页的内容，然后完成下面的问题：1．线段比的定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD ＝m ∶n 或写成AB CD ＝m n ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项．如果把mn 表示成比值k ，则ABCD＝k 或AB ＝kCD.2．求两条线段的比时，应保持两条线段的长度单位相同．3．比例线段的定义：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．4．比例的性质：(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么ad ＝bc ；(2)如果ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么a b ＝cd．在求两条线段的比时，有哪些地方是需要特别留意的？归纳结论：(1)线段的比为正数；(2)单位要统一；(3)线段的比与所采用的长度单位无关． 典例讲解： 1．见教材P 78例1.2．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？(1)a ＝16cm ，b ＝8cm ，c ＝5cm ，d ＝10cm ；(2)a ＝8cm ，b ＝5cm ，c ＝6cm ，d ＝10cm .解：(1)a b ＝2，d c ＝2，则a b ＝dc ，所以a 、b 、d 、c 成比例；(2)由已知得ab ≠cd ，ac ≠bd ，ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例．对应练习：1．已知一矩形的长a ＝1.35m ，宽b ＝60cm ，则a ∶b ＝9∶4． 2．下列各组线段(单位：cm )中，成比例线段的是 ( D )A ．1，2，2，3B ．1，2，3，4C ．1，3，2，4D ．1，2，2，43．如图所示，已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b ＝1∶2，其斜边长为45cm ，那么这个三角形的面积是( B )A ．32cm 2B ．16cm 2C ．8cm 2D ．4cm 24.如图，点C 、D 是线段AB 上的两点，AC ＝1cm ，CD ＝2cm ，DB ＝3cm ，找出图中能成比例的四条线段，并用比例式表示．解：∵AC CD ＝12，BD AB ＝36＝12，∴AC CD ＝BDAB.(答案不唯一)交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 探索线段的比与比例的基本性质检测反馈 达成目标1．如图，线段AB ∶BC ＝1∶2，那么，AC ∶BC 等于( D )A ．1∶3B ．2∶3C ．3∶1D ．3∶2 2．等边三角形的一边与这边上的高的比是( C ) A .3∶2 B .3∶1 C ．2∶ 3 D ．1∶ 3 3．下列线段中，能成比例的是( D ) A ．2cm ，3cm ，4cm ，5cm B ．1.5cm ，2.5cm ，4cm ，5cm C ．1.1cm ，2.2cm ，3.3cm ，4.4cm D ．1cm ，2cm ，3cm ，6cm4．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且a ＝6，c ＝4，d ＝2，则b ＝__3．5．如图，已知矩形ABCD(AB＜BC)，AB＝1.将矩形ABCD对折，得到小矩形ABFE，如果AEAB的值恰好与ABAD的值相等，求原矩形ABCD的边AD的长．解：设AD长为x，则AE＝12x，由AEAB＝ABAD，得12x1＝1x，即12x2＝1，解得x1＝－2(舍去)，x2＝ 2.∴AD＝ 2.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
4.1.1 线段的比和比例的基本性质九年级上册数学北师大版
1a
由 AE AD , 得 3 1 ,即 1 a 2 1.
a
AD
AB
1
3
a 2 3.开平方，得a 3 （a - 3舍去）
.
随堂练习
1.你知道地图比例尺的含义吗？生活中还有哪些
利用线段比的事例？
梯子
黄金分割
2.一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，求这
两条线段的比.
5:1
a = c.
么
d
b
例1
如图，一块矩形绸布的长AB = a m, AD =
1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩
形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原
绸布的宽与长的比相同，即
那么 a 的值应当是多少？
AE AD
AD AB
，
解：根据题意可知，AB am，
AE 1 am , AD 1m ,
求AD的长.
解：∵AB=12 ,∴BD=AB-AD=12-AD，
∵AE = 6 cm，EC = 5 cm，且
AD
6
72
,∴
=
,
12−AD5 ∴AD=11 . Nhomakorabea=
AD AE
cm，且 DB = EC
6.如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折
痕），得到两个全等的小矩形.如果小矩形长边与短
边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩
形的长边与短边的比是多少?
解：设小矩形的长边为x短边为y，则原来矩形的
长边为2y，短边为x.
由题意,得x:y=2y:x,
2
2
即:2 = ,解得 y=
九年级衔接教程----比例的性质定理
一、知识点：
1、比例基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做“比例的基本性质”。
比例的基本性质：如果a∶b=c∶d，那么ad=bc。
比例的性质定理：如果ad=bc，那么a∶b=c∶d。
2、反比定理：在一个比例中，两个比的前、后项同时交换位置，比例式仍然成立。
用字母表达，就是
如果，2∶6=3∶9，则6∶2=9∶3。
3、更比定理：一个比例的两个内项（或两个外项）交换位置，比例式仍然成立。
用字母表达就是
例如，若3∶4=6∶8，
则3∶6=4∶8（交换内项）；或8∶4=6∶3（交换外项）。
4、合比定理：比例式中，一个比的前、后项之和与其后项的比，等于另一个比的前、后项之和与其后项的比。
用字母表达，就是
例如，3∶4=6∶8，
则（3+4）∶4=（6+8）∶8，即7∶4=14∶8。
5、分比定理：比例式中，每一个比的前项减后项的差与它的后项的比相等。
用字母表达就是
例如，8∶6=4∶3，则（8-6）∶6=（4-3）∶3，即2∶6=1∶3。
6、合分比定理：比例式中，每一个比的前、后项之和与它的前项减后项的差的比相等。
用字母表达就是
例如，5∶2=25∶10，
则（5+2）∶（5-2）=（25+10）∶（25-10），即7∶3=35∶15。
7、等比定理：如果若干个比相等，那么这些比的前项之和与它们的后项之和的比，仍等于原来的每一个比。
用字母表达就是
例如，1∶2=3∶6=4∶8，
则（1+3+4）∶（2+6+8）=1∶2=3∶6=1∶8，即8∶16=1∶2=3∶6=4∶8。
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*学校：慧方明朗市泉山明镇坝靓小学*
*教师：如来风*
*班级：飞龙1班*
作品编号：GLK520321119875425963854145698357
第四章图形的相似
1 成比例线段
第1课时线段的比和比例的基本性质
【知识与技能】
1.通过简单实例了解两条线段的比的概念.
2.了解比例的基本性质及应用.
【过程与方法】
经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.
【情感态度】
通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.
【教学重点】
成比例线段的基本性质.
【教学难点】
成比例线段的基本性质.
一、情境导入，初步认识
请写出线段AB和CD的比，并讨论线段的比有哪些地方是需要特别留意的？
【教学说明】让学生初步了解线段的比就是线段长度的比.
让学生在两个实例中理解线段的比要注意以下几点：
1.线段的比是正数
2.单位要统一
3.线段的比与线段的长度无关
二、思考探究，获取新知
1.由下面的格点图可知，AB A B ''=_______，BC B C ''=_______，这样AB A B ''与BC B C ''
之间有关系_______.
【归纳结论】对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a b =d c
（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.
【教学说明】从具体的事例中感受线段的成比例.
2.如果四条线段a 、b 、c 、d 成比例，即
=a c b d .那么ad ＝bc 吗？如果ad ＝bc ，那么a 、b 、c 、d 成比例吗？ 【归纳结论】如果
=a c b d ，那么ad=bc.如果ad=bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么=a c b d
. 【教学说明】培养学生的自学能力及归纳能力.
三、运用新知，深化理解
1.一条线段的长度是另一条线段的3倍，则这两条线段的比为3∶1.
2.已知3x=4y ，则x y
= 43 . 3.已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？
（1）a=16cm b=8cm c=5cm d=10cm;
（2）a=8cm b=5cm c=6cm d=10cm.
分析：（1）a b =2，d c =2，则a b =d c ，所以a 、b 、d 、c 成比例. （2）由已知得ab ≠cd ，ac ≠bd ，ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例.
4.在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5cm ，求A ，B 两地间的实际距离.
分析：利用比例尺的定义即“=图上距离比例尺实际距离
”列出等量关系式. 解：设A 、B 两地间的实际距离为xcm ，则
4.51200
=x .解得x=900. ∴设A 、B 两地间的实际距离为900cm. 5.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，求线段d 的长.
分析：由a 、b 、c 、d 是成比例线段得
=a c b d ，代入计算求出线段d 的长. 解：∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，
∴=a c b d ，即362=d
. 解得d=4cm.
6.已知三条线段的长分别为2、4、8，请你再添上一条线段，使它们成比例，求出所有符合条件的线段长.
分析：
解：设添加的线段长为x ，
当x ≤2时，x ∶2=4∶8，x=1;
当2≤x ≤4时，2∶x=4∶8，x=4;
当4≤x ≤8时，2∶4=x ∶8，x=4;
当x≥8时，2∶4=8∶x，x=16.
综上，符合条件的线段长可为：1，4，16.
【教学说明】本题运用了分类讨论思想求解，解题的关键是找出各种可能的情况.先设要添加的线段长为x，然后使这四个数各自成比例，再算出x的值.
四、师生互动，课堂小结
1.本节课你有哪些收获？
2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？
【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.
1.布置作业:教材“习题4.1”中第1 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但内容比较简单，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，容易混淆.所以应多加训练.。