高一数学数列与等差数列PPT教学课件
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数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
《等差数列的概念》课件
。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差等比数列的证明ppt课件
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
等差数列课件ppt课件
等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
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目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
高中数学等差数列ppt课件
人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
等差数列公式ppt课件
下节课预告
• 下节课我们将学习等差数列在实际生活中的应用，以及如何利 用等差数列解决实际问题。同时，我们还将学习等差数列的性 质，进一步加深对等差数列的理解。
感谢观看
THANKS
一般形式
等差数列的通项公式可以 表示为an=kn+b，其中k 和b是常数，n是项数。
特殊形式
当k=0时，等差数列变为 常数列；当b=0时，等差 数列变为等差序列。
扩展形式
通过变换通项公式，我们 可以得到其他形式的等差 数列。
等差数列通项公式的应用
数学问题求解
数学建模
利用通项公式可以求解等差数列中的 未知数。
日常计数
在日常生活中，我们经常使用等差 数列来计数物品，例如按顺序排列 的电话号码、门牌号等。
等差数列在数学领域中的应用
数学分析
在数学分析中，等差数列是研究 函数和级数的重要工具，可以用
于证明一些数学定理和性质。
几何学
在几何学中，等差数列可以用于 计算一些几何形状的周长、面积
和体积等。
组合数学
在组合数学中，等差数列可以用 于计算组合数的公式和性质。
通过建立数学模型，我们可以利用通 项公式解决实际问题。
实际应用
等差数列在日常生活和科学研究中有 着广泛的应用，例如在统计学、物理 学等领域。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
01
通过对等差数列的性质进行归纳 和演绎，利用倒序相加法推导出 等差数列的求和公式。
02
倒序相加法的原理是将等差数列 的前n项和与后n项和相加，再除 以2得到n项和的公式。
等差数列求和公式还可以用于解决一 些实际问题，例如计算存款的本金和 利息、计算工资等。
《等差数列》PPT课件
解： 因为
an 是等差数列，它的公差为d.所以有
= (a1 d ) d a1 2d
两边都等于a1 ，
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d (a1 2d ) d 当 a1 n 3 d 1时，等式 a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
2.2.0 引理：
1. 在现实生活中，我们经常这样数数， 从0开始，每隔5数一次，可以得到数 列：0, 5,____,____,____,____,….
2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥 运会上，女子举重被正式列为比赛项 目.该项目共设置了7个级别.其中较轻 的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63.
练习６
a4 6、等差数列{an }中，
则
3a1 , ak 9a1
k 13
小结：
1、等差数列的概念：
an an 1 d (n 2, n N ）
或
an 1 an d （n N ）
2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三
例后思考：
等差数列的通项公式
例后思考
an = a1+(n-1)d 中 ，
an , a1 , n ,d 这四个变 量 ， 知道其中三个量
就可以求余下的一个
量.
例题2
在等差数列
a
n
a5 10, a12 31 , 中，
求 首项 a1 与公差
解：
d
.
a5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31
an 是等差数列，它的公差为d.所以有
= (a1 d ) d a1 2d
两边都等于a1 ，
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d (a1 2d ) d 当 a1 n 3 d 1时，等式 a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
2.2.0 引理：
1. 在现实生活中，我们经常这样数数， 从0开始，每隔5数一次，可以得到数 列：0, 5,____,____,____,____,….
2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥 运会上，女子举重被正式列为比赛项 目.该项目共设置了7个级别.其中较轻 的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63.
练习６
a4 6、等差数列{an }中，
则
3a1 , ak 9a1
k 13
小结：
1、等差数列的概念：
an an 1 d (n 2, n N ）
或
an 1 an d （n N ）
2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三
例后思考：
等差数列的通项公式
例后思考
an = a1+(n-1)d 中 ，
an , a1 , n ,d 这四个变 量 ， 知道其中三个量
就可以求余下的一个
量.
例题2
在等差数列
a
n
a5 10, a12 31 , 中，
求 首项 a1 与公差
解：
d
.
a5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31
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且 S 2 n 1 ( 2 n 1 ) a n( n N ＊ );
(2)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则Sk,S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N＊)仍成等差数列,且S3k＝3(S2k-Sk)．
重庆市万州高级中学 曾国荣
§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
例题. 定义域为－1，1的函数f (x)满足：对于任意
§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
例.设等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别
为Sn、Tn，若
Sn Tn
7n1 ，求 4n27
a 11 b 11
的值．
点评:关于等差数列前n项的和,通常有下面的结论
(1)等差数列前n项和 S n n (a m 2 a n m 1 )(m ， n N ＊ ),
重庆市万州高级中学 曾国荣
§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
等差数列的判定方法
1.定义法：an－an－1=d(常数)
2.数列{an}是等差数列的充要条件是： ①｛pan+q｝成等差数列(p、q是常数)
②2an+1=an+an+2(n∈N*)
③前n项和Sn=An2+Bn(A、B是常数）
重庆市万州高级中学 曾国荣
21 21
f ( 1) 3
f
(an
)是以f
(
1)为 3
首
项，f (
1)为 3
公差的等
差数列
( 4 )f( a n ) 1 n 1 1 n
f( a 1 ) f( a 2 ) f( a 1 0 0 ) 1 2 1 0 0 5 0 5 0
重庆市万州高级中学 曾国荣
2021/2/18
§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
等差数列
定义:一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它
前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就
叫做等差数列. an1and
这个常数叫做这个数列的公差, 通常用d表示
重庆市万州高级中学 曾国荣
§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
重庆市万州高级中学 曾国荣
§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
(3)证明： f (an1)
f (an )
f
an1 1 an1
an an
f
1 2n1 1 2n1
1 2n1 1
1 2n1
1 2n
1 2n 1 2n 1 2n
f ( 1) 3
而f (a1)
f
1 1
若d0,则an为递增数列
数列
重庆市万州高级中学 曾国荣
§3.1数列与等差数列
当 n为 奇 数 时 ，
高2008级数学复习课件
1 ） S n n a n 1 ( 项 数 与 中 间 项 的 积 ）
2
2 ） S 奇 S 偶 a n （ 1中 间 项 ）
x、y －1，1都有f
(x)
f
( y)
f
xy 1 xy
(1)判定f (x)的奇偶性并证明你的结论；
（2）证明:
f (x)
f (y)
f
xy
1
xy
(3)若an
1 1
2n 2n
(n
N ), 证明数列
f
(an )是等差数列；
（4）若f
(
1) 3
1, 试求f
(a1)
f
(a2 )
f (a100)的值。
等差数列的性质
a,A ,b成等差 a数 b2列 A
a m a n m n d
若 p q m n , 则 a p a q a m a n
项数成等差的项，仍成等差数列
若 m n 2 p , 则 a m a n 2 a p
依次每k项之和仍成等差数列
若 a n , b n 为等 pn 差 a qn b 仍 数为 列等
重庆市万州高级中学 曾国荣
§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
(1)f(x)是奇函数
证明：令xy0,则f(0)f(0)f(0),f(0)0
f(x)f(x)f 1xxx2f(0)0 f(x)是奇函数
( 2 ) 证 明 ： f( x ) f( y ) f( x ) f( y ) f 1 x x y y
2
3 ） S奇 n1(项 数 加 1 比 项 数 减 1 ） S偶 n1
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§3.1数列与等差数列
高2008级数学复习课件
当n为偶数时
1 ） S n n a n 2 2 a n 2 1 ( 项 数 与 中 间 两 项 平 均 数 的 积 ）
2）S偶S奇n2d
3)S奇
an
2
(中间两项的比）
S偶 an1 2
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(1)等差数列前n项和 S n n (a m 2 a n m 1 )(m ， n N ＊ ),
且 S 2 n 1 ( 2 n 1 ) a n( n N ＊ );
(2)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则Sk, S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N＊)仍成等差数列,且S3k＝3(S2k-Sk)．
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对等差数列前项和的最值问题
(1)利用{an}: 当a1>0,d<0,前n项和有最大值可由
a a
n n
1
0
0
求得n的值.
当a1<0,d>0,前n项和有最小值可由
a a
n n
1
0
0
求得n的值.
(2)利用Sn：
由Snd 2n2(a1d 2)n利用二次函数配方法求得最值时n的值
(2)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则Sk,S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N＊)仍成等差数列,且S3k＝3(S2k-Sk)．
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例题. 定义域为－1，1的函数f (x)满足：对于任意
§3.1数列与等差数列
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例.设等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别
为Sn、Tn，若
Sn Tn
7n1 ，求 4n27
a 11 b 11
的值．
点评:关于等差数列前n项的和,通常有下面的结论
(1)等差数列前n项和 S n n (a m 2 a n m 1 )(m ， n N ＊ ),
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等差数列的判定方法
1.定义法：an－an－1=d(常数)
2.数列{an}是等差数列的充要条件是： ①｛pan+q｝成等差数列(p、q是常数)
②2an+1=an+an+2(n∈N*)
③前n项和Sn=An2+Bn(A、B是常数）
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21 21
f ( 1) 3
f
(an
)是以f
(
1)为 3
首
项，f (
1)为 3
公差的等
差数列
( 4 )f( a n ) 1 n 1 1 n
f( a 1 ) f( a 2 ) f( a 1 0 0 ) 1 2 1 0 0 5 0 5 0
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2021/2/18
§3.1数列与等差数列
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等差数列
定义:一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它
前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就
叫做等差数列. an1and
这个常数叫做这个数列的公差, 通常用d表示
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(3)证明： f (an1)
f (an )
f
an1 1 an1
an an
f
1 2n1 1 2n1
1 2n1 1
1 2n1
1 2n
1 2n 1 2n 1 2n
f ( 1) 3
而f (a1)
f
1 1
若d0,则an为递增数列
数列
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当 n为 奇 数 时 ，
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1 ） S n n a n 1 ( 项 数 与 中 间 项 的 积 ）
2
2 ） S 奇 S 偶 a n （ 1中 间 项 ）
x、y －1，1都有f
(x)
f
( y)
f
xy 1 xy
(1)判定f (x)的奇偶性并证明你的结论；
（2）证明:
f (x)
f (y)
f
xy
1
xy
(3)若an
1 1
2n 2n
(n
N ), 证明数列
f
(an )是等差数列；
（4）若f
(
1) 3
1, 试求f
(a1)
f
(a2 )
f (a100)的值。
等差数列的性质
a,A ,b成等差 a数 b2列 A
a m a n m n d
若 p q m n , 则 a p a q a m a n
项数成等差的项，仍成等差数列
若 m n 2 p , 则 a m a n 2 a p
依次每k项之和仍成等差数列
若 a n , b n 为等 pn 差 a qn b 仍 数为 列等
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(1)f(x)是奇函数
证明：令xy0,则f(0)f(0)f(0),f(0)0
f(x)f(x)f 1xxx2f(0)0 f(x)是奇函数
( 2 ) 证 明 ： f( x ) f( y ) f( x ) f( y ) f 1 x x y y
2
3 ） S奇 n1(项 数 加 1 比 项 数 减 1 ） S偶 n1
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当n为偶数时
1 ） S n n a n 2 2 a n 2 1 ( 项 数 与 中 间 两 项 平 均 数 的 积 ）
2）S偶S奇n2d
3)S奇
an
2
(中间两项的比）
S偶 an1 2
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(1)等差数列前n项和 S n n (a m 2 a n m 1 )(m ， n N ＊ ),
且 S 2 n 1 ( 2 n 1 ) a n( n N ＊ );
(2)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则Sk, S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N＊)仍成等差数列,且S3k＝3(S2k-Sk)．
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对等差数列前项和的最值问题
(1)利用{an}: 当a1>0,d<0,前n项和有最大值可由
a a
n n
1
0
0
求得n的值.
当a1<0,d>0,前n项和有最小值可由
a a
n n
1
0
0
求得n的值.
(2)利用Sn：
由Snd 2n2(a1d 2)n利用二次函数配方法求得最值时n的值