江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研测试数学试题(解析版)

2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷 数学（正题） 2018．11一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置)1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð ▲ ． 考点：集合的运算。

答案： {}1,2解析：因为{}3,4,5A =，所以，U A =ð{}1,22．命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是 ▲ ． 考点：常用逻辑用语中的命题的否定。

答案：2,210x R x x ∀∈-+<解析：把“存在”改“任意”，否定结论，注意符号。

3．已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ▲ ． 考点：平面向量的坐标运算，数量积，向量垂直的概念。

答案：1解析：因为a b ⊥，所以，a b ＝0，即（2，m ）（1，－2）＝0，即2－2m ＝0，解得：m ＝14．函数()lg(2)f x x =-的定义域是 ▲ ． 考点：对数函数、二次根式的定义。

答案：[)2,2-解析：依题意，有：2020x x ->⎧⎨+≥⎩，解得：22x -≤<，注意一个有等号，另一个没有等号。

5．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 ▲ ． 考点：扇形面积的计算，弧度制下弧长的运算。

答案：6π解析：弧长l ＝6×3π＝2π 扇形面积：＝12lR ＝6π6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S = ▲ ． 考点：等比数列的前n 项和。

答案：10解析：4241221(1)14(1)S a q q S a q -==+=-，所以，23q =， 8481441(1)110(1)S a q q S a q -==+=- 7.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数， 且0,0,0A ωϕ>><<π）的部分图象如图所示， 则ϕ的值为 ▲ ．考点：正弦函数的图象及其性质。

答案：3π 解析：T ＝47()3126πππ+=，2ππω=，2ω=， 当x ＝712π时，y 取最小值－A ，所以，7sin(2)12A πϕ⨯+＝－A ， 7362ππϕ+=，ϕ＝3π8．已知二次函数2()23f x x x =-++,不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6(规定：闭区间[],a b 的长度为b a -)，则实数m 的值是 ▲ ．考点：一元二次不等式及其解法。

答案：－5解析：2()23f x x x m =-++≥，即2230x x m --+≤ 对于方程，2230x x m --+=有：122x x +=，123x x m =-依题意，得：｜12x x -｜＝6｜12x x -6 解得：m ＝－59．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每12m 的造价为150元，池壁每12m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为 ▲ m ．考点：基本不等式，列不等式解应用题。

答案：160解析：设水池底部长为xm ，宽为ym ，则有 3xy ＝4800，即xy ＝1600总造价Z ＝150×xy ＋6×120×（x ＋y）150720xy ≥+⨯＝240000+57600＝297600 当x ＝y ＝40时，总造价最低，此时，水池底的周长为160m10．在ABC △中，sin 2sin cos 0A B C +=，则A 的最大值是 ▲ ． 考点：正弦定理和余弦定理，基本不等式。

答案：π6解析：因为sin 2sin cos 0A B C +=，由正弦定理，得：2cos a b C +＝0，即22222a b c a b ab +-+⨯＝0，化简，得：2222a c b =-cosA ＝2222224b c a bc +-＝2234b c bc +≥=所以，A 的最大值是π611．已知函数()2,1,eln ,1,x x f x x x x≥+<=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，则()13x f x 的取值范围是 ▲ ．考点：函数的导数及其应用，函数图象的性质。

答案：2(1,0)e-解析：x ＜1时，显然f （x ）是增函数，f （x ）＜1+2e12．已知数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列{}n b 的通项公式为2n b n =,若将数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ，则6c 的值为 ▲ ．考点：数列的综合应用，应用数学知识解决问题的能力。

答案：256解析：设m k a b =，则有：251m k +=， 即(1)(1)5k k m +-=因为m 是正整数，所以，k+1或k －1是5的整数倍 设k+1＝5t 或k －1＝5t ，即 k ＝5t －1或k ＝5t+1所以，k ＝4、6、9、11、14、16、19、21… 所以，6c ＝162＝25613．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM u u u r u u u u r⋅的最小值为 ▲ ．考点：平面向量的综合应用。

答案：21 4解析：14．函数()xf x e x a =-在(1,2)-上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．考点：函数的导数及其应用，分类讨论的数学思想。

答案：-1a ≤或3a ≥ 解析：二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知(2cos23,2sin 2)αα=+m ，(sin ,cos )ββ=n ． （1）若6βπ=，且()f α=⋅m n ，求()f α在[0,]2π上的取值范围；（2）若//m n ，且αβ+、α的终边不在y 轴上，求tan()tan αβα+的值．16．(本题满分14分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A ， 35a =，636A =．数列{}n b 的前n 项和为n B ，且21n n B b =-．（1）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．17 ．(本题满分14分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （点D 与点O ，C 不重合），其中AD ，BD ，CD 段建设架空木栈道，已知2AB =km ，设建设的架空木栈道的总长为y km ．（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．18．(本题满分16分)已知()x x af x e e=-是奇函数． （1）求实数a 的值；（2）求函数222()x x y e e f x λ-=+-在),0[∞+∈x 上的值域； （3）令()()2g x f x x =-，求不等式32(1)(13)0g x g x ++-<的解集．19．(本题满分16分)已知数列{}n a 的首项为1，定义：若对任意的*n N ∈，数列{}n a 满足13n n a a +->，则称数列{}n a 为“M 数列”．（1）已知等差数列{}n a 为“M 数列”， 其前n 项和S n 满足2S 22n n n <+()*n N ∈，求数列{}n a 的公差d 的取值范围；（2）已知公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，记数列{}n b 满足34n n b a =，且数列{}n b 不为“M 数列，求数列{}n a 的通项公式．20．(本题满分16分)设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数．（1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >．①求实数a 的取值范围； ②比较12x x 与2a的大小关系，并说明理由．2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2018．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟． 2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，在答题卡上填涂选作标志，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（本题满分10分）已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC的外接圆于点F ，连结FB ，FC . （1）求证：FB FC =；（2）若AB 是△ABC 外接圆的直径，120EAC ︒∠=，6BC =，求AD 的长．B ．（本题满分10分）已知可逆矩阵A =273a⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求1-A 的特征值．C ．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程． D ．（本题满分10分）已知函数()f x =()g x x 使()g()f x x a +>成立，求实数a 的取值范围． 22．（本题满分10分）如图，在四棱锥P A B C D -中， BC ⊥PB ，AB BC ⊥，//AD BC ，3AD =，22PA BC AB ===，PB(1)求二面角P CD A --的余弦值；(2)若点E 在棱PA 上，且//BE 平面PCD ，求线段BE 的长．23．（本题满分10分）已知函数0cos ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n *N ∈，等式1πππ()()444n n nf f -+=2018—2019学年第一学期高三期中调研试 数学参考答案与评分标准 2018．11一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1. {}1,22. 2,210x R x x ∀∈-+<3. 14. [)2,2-5. 6π6. 107.3π 8. 5- 9. 160 10. π611. 2(1,0)e - 12. 256 13. 21414. -1a ≤或3a ≥二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)解：（1）因为6βπ=，所以1(2=n ．所以3()cos22f ααα=⋅+m n =， ………………2分 即3()2sin(2)62f παα=++， ………………3分 因为[0,]2απ∈，所以72[,]666απππ+∈；所以1sin(2)[,1]62απ+∈-； ………………5分所以()f α的取值范围是17[,]22． ………………7分（2）由//m n ，所以(2cos23)cos 2sin 2sin 0αβαβ+-=， ………………9分 所以2cos(2)3cos 0αββ++=， ………………10分 所以2cos()cos 2sin()sin 3cos()cos 3sin()sin 0αβααβααβααβα+-+++++=， 因为αβ+、α的终边不在y 轴上，所以cos(),cos αβα+均不为0，所以5cos()cos sin()sin 0αβααβα+++=， ………………12分 因为所以tan()tan 5αβα+=-． ………………14分 16．(本题满分14分)解：（1）因为{}n a 是等差数列, 设{}n a 的公差为d ，由35a =，636A =，得1125,2512,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………2分所以11a =，2d =，所以21n a n =-； ………………4分 由21n n B b =-可知，当1n =时，11b =； ………………5分 当2n ≥时，1121n n B b --=-，所以1122n n n n B B b b ---=-，从而12(2)n n b b n -=≥， ………………7分 又11b =，所以12(2)nn b n b -=≥，所以{}n b 是等比数列， ………………8分 所以12n n b -=． ………………9分（2）因为n n n c a b =⋅，所以1(21)2n n c n -=-⋅，01221123123252(23)2(21)2n n n n S c c c c n n --=++++=⋅+⋅+⋅++-+-L L ，12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-+-L ， ………………11分所以01212212222222(21)212(21)212nn nn n S n n ---=⋅+⋅+⋅++⋅--=+⨯---L ，所以(23)23n n S n =-+． ………………14分 17. (本题满分14分)解：（1）由DAO θ∠=，OC AB ⊥，1OA OB ==，则1cos DA DB θ==，tan DO θ=，所以1tan DC θ=-， ………………4分 所以22sin 1tan 1cos cos y DA DB DC θθθθ-=++=+-=+,04πθ<<. ………………7分（注：表达式2分，θ的的取值范围1分）(2) 22sin 1cos y θθ-'=， ………………9分令0y '=,得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=， ………………10分当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；当64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数.………………12分所以，当6πθ=时，min 1y = ，此时tan DO θ==………………13分答：当D 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 处时,能使三段木栈道总长度最短. ………………14分18．(本题满分16分)解：（1）函数的定义域为R ，因为()f x 为奇函数，由()()f x f x -=-可知，(0)0f =， 所以10a -=，所以1a =； ………………3分当1a =时，11()()x xx xf x e e f x e e ---=-=-+=-，此时()f x 为奇函数． ………………4分 （2）令1x x e t e -=（0t ≥），所以22212x x e t e+=+所以2()22h t t t λ=-+，对称轴t λ=， ………………5分 ①当0λ≤时，[)()(0),h t h ∈+∞，所求值域为[)2,+∞； ………………7分②当0λ>时，[)()(),h t h λ∈+∞，所求值域为)22,λ⎡-+∞⎣； ………………9分（3）因为1()x x f x e e=-为奇函数，所以()()2()()2(),g x f x x f x x g x -=---=-+=- 所以()()2g x f x x =-为奇函数，所以32(1)(13)0g x g x ++-<等价于32(1)(31)g x g x +<-， ………………10分 又1()()22220x xg x f x e e ''=-=+--=≥当且仅当0x =时，等号成立， 所以()()2g x f x x =-在R 上单调增，所以32131x x +<-， ………………13分 即32320x x -+<，又32232(1)(22)0x x x x x -+=---<，所以1x <或11x << ………………15分所以不等式的解集是(,1(1,1-∞U ． ………………16分 19．(本题满分16分)解：（1）因为等差数列{}n a 为“M 数列”，所以3d >， ………………2分由 11a =，得 (1)2n n n S n d -=+， 由题意，得2(1)222n n n d n n -+<+对n N *∈均成立， 即()142n d n -<+对n N *∈均成立， …………………4分 当1n =时，3d >均成立； …………………5分当2n ≥时，421n d n +<-恒成立，因为4264411n n n +=+>--，所以34d <≤， ………………7分综上可得，数列{}n a 的公差d 的取值范围是34d <≤． …………………8分（2）设数列{}n a 的公比为q ，则111n n n a a q q --==， 因为公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”， 所以1111(1)(1)3n n n n a a a q q q q --+-=-=->，所以q 至少为大于等于2的正整数； …………………9分 又112n nn n a a q a a +--=-≥，所以数列1{}n n a a --单调递增，所以在数列1{}n n a a --中，21a a -为最小项， …………………11分 由{}n a 为“M 数列”，可知只需213a a ->，即 13q ->，所以4q > ………12分 同理，在1{}n n b b --中，“21b b -”为最小项， 因为{}n b 不是“M 数列”，所以存在13m m b b --≤，又“21b b -”为最小项，所以213b b -≤， 即 1(1)4a q -≤，所以5q ≤…………………14分 因为*q N ∈，5q 所以=，15n n a -=． …………………16分20．(本题满分16分)解：（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，得1()2f x x'=-， 所以(1)1f '=，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =； ………………3分（2）①()1ln f x ax x =--（0x >）,得11()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 单调递减不满足题意； ………………4分 当0a >时，1(0,)x a ∈，()0f x '<；1(,)x a∈+∞，()0f x '>； 所以()f x 在1(0,)a 上单调减，在1(,)a+∞上单调增．因为函数()f x 有两个零点，所以min 1()()0f x f a=<，得01a <<． …………6分 下证：在区间1(0,)a 和1(,)a+∞内分别存在一个零点.在1(0,)a内，因为1()0a f e e =>，而1()0f a <，又()f x 在1(0,)a 上单调减，所以由零点存在性原理可知：在1(0,)a内()f x 有一个零点； ………………9分法一：在1(,)a+∞内，可以证明ln 1x x x ≤-<，所以<ln x <，所以211()1ln 1)1f x ax x ax a a a=-->----，取202(1)x a =+，得221111)1(1)110a a a a a a a --=+--=+>， 而1()0f a <，又()f x 在1(,)a +∞上单调递增，所以由零点存在性原理可知：在1(,)a+∞内()f x 有一个零点． ………………12分法二:在1(,)a+∞内，因为ln 1x x x ≤-<（易证），所以即ln x <，所以()1ln 1f x ax x ax =-->--t 且2()21g t at t =--，因为01a <<，所以存在0t ，使得0()0g t >，所以0()0f t >，而1()0f a <，又()f x 在1(,)a+∞上单调增，所以由零点存在性原理可知在1(,)a+∞内，()f x 有一个零点． ………………12分法三:在1(,)a+∞内取20a x e =，所以2202224()1(2)2a aa f x ae e a a a =--=--，令2(2)t t a=>，2()2t g t e t t =--，可证：2t e t >， 所以22()2(1)0t g t e t t t t t t =-->-=->，所以0()0f x >，而1()0f a <，又()f x 在1(,)a+∞上单调增，所以由零点存在性原理可知在1(,)a+∞内，()f x 有一个零点． ………………12分 ②122x x a+>． ………………13分 证明如下：由111ln 0ax x --=，221ln 0ax x --=，所以1122()ln xa x x x -=即1212lnx x a x x =-，要证122x x a +>，即证1122122()ln x x x x x x ->+，即证1121222(1)ln 1x xx x x x ->+，令12(1)xt t x =>，令2(1)()l n 1t ht t t -=-+，()()22214(1)()011t h t t t t t -'=-=>++，所以()(1)0h t h >=，所以122x x a+>． ………………16分2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加) 参考答案与评分标准 2018．1121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（本题满分10分）证明：（1）∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ，∵四边形AFBC 内接于圆,∴∠DAC =∠FBC ，∵∠EAD =∠F AB =∠FCB ， ∴∠FBC =∠FCB ，∴FB = FC . ……………5分(2) ∵AB 是圆的直径，∴∠90ACD ︒=，∵120EAC ︒∠=，1602DAC EAC ︒∠=∠=，30D ︒∠=，在Rt △ACB 中，∵BC = 6，∠BAC =60°，∴AC又在Rt △ACD 中，∠D =30°，AC∴AD10分B ．（本题满分10分） 解：由1-⋅=A A E 可知，1221073701ab a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A 所以141ab -=，7210b -=，1431a -+= …………………3分 所以5,3a b ==； …………………5分所以13275--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，232()8175f λλλλλ-==-+-， …………………8分 由()0f λ=，14λ=24λ= …………………10分 C ．（本题满分10分）解：（1）由22sin cos 1αα+=，所以圆C 的普通方程22(2)4x y -+=，………………3分 又点O 为极点，Ox 为极轴，所以222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，所以圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=； ………6分 （2）设OA 的中点为00(,)ρθ，则00(2,)A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 的中点所在曲线的极坐标方程为2cos ρθ=． …………………10分 D ．（本题满分10分）解：因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝(3，1)·(x ＋2，14－x )…………………3分≤3＋12·(x ＋2)＋(14－x )＝8, …………………5分当且仅当x ＋214－x ＝31,即x ＝10时取等号． …………………7分所以f (x )＋g (x )的最大值是8． …………………8分 所以a <8，即实数a 的取值范围是(－∞,8)．…………………10分 22．（本题满分10分）解： (1)在△PAB 中，因为=2PA ，PB =1AB ，所以222=+PA AB PB，所以PB ⊥AB ．所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示．…………………1分 所以(1,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D ，P ，(1,1,0)CD uu u r =，(0,2,PC u u u r=． 易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ．……2分 设平面PCD 的一个法向量为=(,,)x y z m ，则0,0.CDPC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u ruu u rm m 即0,2.x y y +=⎧⎪⎨⎪⎩ 令=2z ，则=m ． ……………………4分 设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,α⋅=<>===⋅n m n m n m即二面角P CD A --． …………………6分(2)因为点E 在棱PA ，所以AE AP uu u r uu u r λ=，[0,1]λ∈． 因为=1AP u u u r（-，所以=)AE λu u u r （-，(1)BE BA AE u u r u u r u u u r λ=+=-．又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量，所以0BE uur ⋅=m 1)0λ-+=，所以1=3λ． …………………9分所以2(3BE uur =，所以==BE BE uur ． …………………10分23．（本题满分10分）解：(1)法一：由已知102cos sin cos ()()()x x xf x f x x x x ''===--， …………………1分故21223sin cos cos 2sin 2cos ()()()()x x x x xf x f x x x x x x '''==--=-++， …………………2分 所以12228(),()22f f ππ=-=ππ，即12()2f π＋2()022f ππ=． …………………3分法二：由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-， …………………1分即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+，所以12()2f π+23()0222f COS πππ==． …………………3分(2)由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-，即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+，2333()()sin cos()2f x xf x x x π+==+，3444()()cos cos()2f x xf x x x π+==+． 下面用数学归纳法证明等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n Ν*∈都成立． …………………6分 ①当1n =时，由上可知等式成立；② 假设当n k =时等式成立，即1()()cos()2k k k kf x xf x x -π+=+．因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x xf x --+'''+=++=++，(1)[cos()]sin()()cos[]2222k k k k x x x x πππ+π''+=-++=+， 所以1(1)(1)()()cos[]2k k k k f x xf x x ++π++=+． 因此当1n k =+时，等式成立． …………………9分 综合①，②可知等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n *∈Ν都成立． 令4x π=，可得1()()cos()()44442n n n nf f n *-πππππ+=+∈Ν．所以1()())444n n nf f n Ν*-πππ+=∈． …………………10分。