§2.1.1 花边有多宽

§2．1 花边有多宽
课时安排
2课时
从容说课
方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解．本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解．
第一课时
课题
§2．1．1 花边有多宽(一)
教学目标
(一)教学知识点
1．一元二次方程的概念
2．一元二次方程的有关概念．
(二)能力训练要求
1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．
2．理解一元二次方程的概念
(三)情感与价值观要求
从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．
教学重点
一元二次方程的概念a≠0
教学难点
一元二次方程的概念:a≠0
教学方法
启发诱导式
教具准备
投影片四张
第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．1 A)
第二张：数学问题(记作投影片§2．1．1 B)
第三张：实际问题(记作投影片§2．1．1 C)
第四张：想一想(记作投影片§2．1．1 D)
教学过程
Ⅰ．创设现实情景、引入新课
[师]前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗?
[生]黄金比是0.618．
[师]很好，你知道黄金比为什么是0．618吗?
……
[师]好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……
从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程．
与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型．
下面我们来学习第一节：花边有多宽．
Ⅱ．讲授新课
[师]我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 A)；大家来讨论讨论．
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?
[生]我们可以利用列方程来求解．
[师]很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法．
[生]要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．
这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2．
这个题所要求的是；地毯的花边有多宽．
本题是以面积为等量关系．
[师]这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程．
[师生共析]如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程
(8-2x)(5-2x)＝18
注意：
1．利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽． 2．用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等．
[师]好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2．1．1 B)：
观察下面等式
102+112+122＝132+142．
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
[生]这个题我们也可以利用数量关系列方程．
[师]很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢? [生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4．
[生乙]根据题意，则可得到方程
x2+(x+1)2+(x+2)2
=(x+3)2+(x+4)2．
[生丙]老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程
(x-2)2+(x-1)2+x2
＝(x+1)2+(x+2)2．
这样行吗?
[师]丙同学的思路很好，这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．
下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 C)：
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?
[师]同学们分组讨论，列出方程．
[生甲]墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．
[生乙]设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程．
(x+6)2+(8-1)2＝102，
即(x+6)2+72＝102．
[师]同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 2．1．1 D)：
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(5-2x)＝18，
x2+(x+1)2+(x+2)2
=(x+3)2+(x+4)2，
(x+6)2+72＝102．
这三个方程有什么共同特点?
[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式．
[生乙]我把这三个方程进行了化简，即
(1)(8-2x)(5-2x)＝18，
40-26x+4x2＝18，
4x2-26x+22＝0．
(2)x2+(x+1)2+(x+2)2
＝(x+3)2+(x+4)2，
x2+x2+2x+1+x2+4x+4
=x2+6x+9+x2+8x+16，
x2-8x-20＝0．
(3)(x+6)2+72=102，
x2+12x+36+49=100，
x2+12x-15=0．
由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和．
[生丙]把这三个方程经过化简后，最高次数是二次．
[生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数．
[师]同学们总结得很好．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax2+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．注意：
1．一元二次方程必须同时满足以下三点；
(1)方程是整式方程．
(2)它只含有一个未知数．
(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a≠0．
2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．
因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0《a≠0》的形式，所以我们把ax2+bx+c＝O(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．注意：
(1)当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a≠0.
(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式．
Ⅲ．应用、深化
课本P43随堂练习
1．从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗?
请根据这一问题列出方程．
解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x2＝(x-4)2+(x-2)2，
即x2-12x+20=0
2．把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：方程(3x+2)2＝4(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32＝0．
方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32．
Ⅳ．课时小结
本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．
1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．
2．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝O(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．
3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．
Ⅴ.课后作业
(一)课本P44习题2．1 1、2
(二)1．预习内容：P44-P46
2．预习提纲
探索一元二次方程的解或近似解，
Ⅵ．活动与探究
1．当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元一次方程?
[过程]让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax2+bx+c＝0，当a≠0时．是一元
二次方程；当a＝0且b≠0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程．
[结果]
当a≠1时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b．
当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．
板书设计
§2．1．1 花边有多宽(一)
一、1．设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m．根据题意，可得(8-2x)(5-2x)＝18．
2．设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4．根据题意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2．
3．设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m．
根据题意，可得(x+6)2+72＝102．
二、议一议
三个方程的共同特点：
(1)只含有一个未知数．
(2)整式方程．
(3)可化为ax2+bx+c＝0．
三、1．一元二次方程的定义．
2．一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c＝0(a≠0)
ax2是二次项，a是系数
bx是一次项，b是系数
c是常数项
四、练习
五、小结
六、课后作业。