2.1花边有多宽(二)
%BC%9A2.1花边有多宽(共2课时)教案(北师...
2.1花边有多宽（一）教学目标：知识与技能目标：1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．过程与方法目标：1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念情感态度与价值观目标：从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．重点、难点、关键：1．重点：（1）掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。
（2）培养学生的数学意识及解决简单的实际问题的能力。
2．难点：（1）用配方法解一元二次方程。
（2）一元二次方程教学过程：生活实例1观察：挂图显示出生活中丰富多彩的花边图案：有长方形，有圆形，有正方形，有椭圆形等（课前收集）；在课本图2一二的长方形花边上．问：这块四周建有宽度相等的底边的地毯，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？通过上述丰富的实例，为学生归纳出一元二次方程的概念提供帮助。
问：连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和？问：上述三个生活实例、数学问题得出下列三个方程：1．（8一2x）（5一2x）=182．x2+(x+1)2+(x+2)2=（x+3）2+(x+4)23．(x+6)2+72=102议一议：上述三个方程有什么共同特点？问：有大小两个圆形花坛，小四花坛面积比大花坛面积少10m，小圆花坛的周长比大花坛的周长短10m，设大花坛周长为x，借你列出关于x的方程。
随堂练习：随堂练习1、2课堂小结：本节课首先通过丰富的实例。
观察、归纳出一元二次方程的有关概念，体会方程的模型思想。
要掌握的概念（二）一元二次方程定义（2）一元二次方程一般式：（3）二次项、一次项、常数项的有关概念。
注意：任何一个关于x的一元二次方程都可以化为一般式。
作业：课本习题2．11、22.1花边有多宽（二）教学目标：知识与技能目标：1．经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
2.1 花边有多宽 课件2
程 ( x 5)( x 2) 54 2 化为一般形式，得： x 7 x 44 0
，
。
8、
9、
5、如图，一个长为 10 m的梯子斜靠在墙 上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m， 如果梯子的顶端下滑 1m ，那么梯子的底端 滑动多少米? 解：设梯子底端滑动 x m，则 2 2 2 可列出方程 ( x 6) 7 10 ； 2 化为一般形式，得： x 12 x 15 0 ， 2 其中二次项是 、二次项系数 x 1 是 、一次项是 12 x 、一次 项系数是 12 和常数项是 15 。
方程的两边都是关于未知数的整式， 这样的方程叫做整式方程。 如：
2x 3 5
分母中含有未知数的方程叫分式方程。 2 如： 3
x2
一元一次方程： 元：所含的未知数的个数； 次：未知数的最高次数
问题1： 一个数的平方与1的和等于50，求这个数。 若设这个数为x ，则可得方程 x 1 50 。
应用 1.关于x的方程（k-3）x2+2x-1=0， 当 k 3 时，是一元二次方程。
k 3 0
关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0 当k 1 时是一元二次方程；当 k 1时 是一元一次方程。
一元二次方程： k 1 0, 即：k 1
2
一元一次方程：k 1 0，但（ 2 k 1) 0
6、把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次
方程的一般形式为 5 x 36 x 32 0 ，
2
它的二次项系数是 是
36
Байду номын сангаас
2.1、花边有多宽(二)
学习目标：1、探索一元二次方程的解或近似解．2、培养学生的估算意识和能力．3、经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力．学习重难点：1、探索一元二次方程的解或近似解2、培养学生的估算意识和能力．一、课堂前置1、什么叫做一元二次方程？什么叫一元二次方程的一般式？2、探索一元二次方程的解或近似解估算地毯花边的宽地毯花边的宽x(m)，满足方程(8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x2―13x+11=0 你能求出x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0，因为x表示地毯的宽度。
（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
估算梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102也就是x2+12x―15=0二、小组交流1、关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.2、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗?三、分享表达1、一元二次方程的一般形式是__________.2、将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.3、将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________.4、方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________.5、方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.6、若ab ≠0，则a 1x 2+b1x =0的常数项是__________. 7、如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.8、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？9、如图2，所示，某小区规划在一个长为40 m 、宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m 2，求甬路的宽度.图210、直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，求此直角三角形的面积.11、现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。
九年级上册数学 2.1 花边有多宽2
教学中可以备用的一些素材或者背景本节课的内容是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的第一节《花边有多宽》的第二课时。
对于本节课我刚开始感觉有点无从下手，“夹逼”的思想由何而来？在本节课中有着怎样的应用？我感觉学生不知从何学起，并且抓不到具体的知识点，在认真研读教材查阅资料的基础上，我把本节课的实际教学过程中的几个点写出来，以供老师们参考。
这节课开始我设置了一个问题情境如下：“有一根带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速找到这一处断裂处？先让学生进行讨论，然后让各小组代表提出该组讨论出的方法进行比较，后来我总结出方法。
用万用表先量出1～50m是否通，这样就能排除50m没有问题的电线，其次再用同样的方法测量1～25m的电线是否有问题，然后又可以排除25m，如此下去，就能很快找到断裂处的范围。
我感觉这种设置既贴近学生生活实际，又关注了数学本身的要求。
这个实例不但激发了学生的学习兴趣，还能很好地让学生体会和理解“夹逼”的思想。
并且我在学生探索的过程中采用鼓励和引导的方法。
通过对上述问题提出的方法进行讨论，培养学生自主探索合作交流等良好的学习习惯。
在自主探索合作交流中学生的自豪感和成功感得到升华。
通过对上述方法的讨论和对比，自然得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤：（1）在未知数x的取值范围内排除一部分取值。
（2）根据题意所列的具体情况再次进行排除。
（3）列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选。
（4）最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。
在此基础上，再利用接下来的题目让学生体会“夹逼”思想在具体问题情境中的应用。
“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛。
因初中学生所学知识面所限，在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法。
其具体的指导思想是：将一元二次方程变形为一般形式：ax2+bx+c=0，分别将x1,x2代入等式左边，当获得的值为一正、一负时，方程必定有一根x0，而且x1＜x0 ＜x2。
2.1花边有多宽(2)
独立 作业
知识的升华
1、P47习题2.2 1,2题;
祝你成功！
独立 作业
知识的升华
根据题意,列出方程,并估算方程的解： 1.一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和 x+2 宽各是多少？ 解：设矩形的宽为xm，则长为(x ＋2) m, 根据题意得： x (x＋2) ＝120. 即 x2 ＋ 2x－120 ＝0. x
第二章 一元二次方程
花边有多宽(2)
做一做度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
做一做
☞
估算一元二次方程的解
解：如果设花边的宽为xm , 根据题意得
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 即2x2-13x+11 = 0. 你能求出x吗?怎么去估计x呢？ 8 你能猜得出x取值的大 x 致范围吗? x （8－2x） X可能小于等于0吗?说 5 说你的理由. 2
解：根据题意得 5＝10+2.5t-5t2. 即 2t2 –t－2＝0.
根据题意,t的取值范围大致是0<t<3. 完成下表(在0<t<3这个范围内取值计算,逐步逼近):
t 2t2-t-2 … 0 … -2 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3 …
-1 -0.68 -0.32 0.08
0.52 4 13 …
做一做
☞
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑 动多少米？ 解：如果设梯子底端 滑动x m，根据题意得 数学化 8m 1m
北师大九年级上册数学课件2.1花边有多宽(2)
化成一般式，得
x2 2x 120 0
列表：
x
8
9
10 11 12
x2 2x 120 －40 －21 0 23 48
x=10
所以苗圃宽为10m，长为12m。
巩固练习
1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两 个数的平方和，你能求出这五个连续整数分别是 多少吗？
巩固练习
1.1m<x<1.2m。
－5.9 0.84 2.29 3.76
新知归纳 估算法求一元二次方程的近似解： (1)猜想未知数的取值范围； (2)通过列表，用“夹逼”法求出方程的近似解。
范例讲解
例1、一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比 宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解： 设苗圃的宽为xm，则长为(x+2)m，根据题意，得
2、有一条长为16m的绳子，你能否用它围出一 个面积为15m2的矩形？若能，则矩形的长、宽 各是多少？
巩固练习
3、一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正 常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定 的翻腾动作，并且调整好如水 姿势，否则就容易出现失误。 假设运动员起跳后的运动时间 t(s)和运动员跳离水面的高度 h(m)满足关系式h=10+2.5t－5t2， 那么他最多有多长时间完成规 定动作？
3
x2 12x 15 －15 －2 13 30
(1) 你能猜出滑动距离x (m)的大致范围吗？
在1m和2m之间。
(2) 求解过程整理如下：
夹
x
0
0.5
1
1.5
2
逼
x2 12x 15 －15 －8.75 －2 5.25 13
法
2.1 第二章1花边有多宽
第二章 一元二次方程第一课时 1、花边有多宽学习目标：1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
重点：认识产生一元二次方程知识的必要性 难点：列方程的探索过程 教学过程：一、简要回顾，方程思想简要回顾方程知识，方程在生活中的应用，以及用方程思想解决实际问题时的大致思路：1、把待求的量用字母表示出来；2、把已知量与未知量放在同等地位进行运算；3、寻求建立等量关系4、解方程（组）体会感悟：往往解决一个未知数的问题，就需要建立一个等量关系；解决两个未知数的问题，则需要建立两个等量关系。
……二、展示素材，创设情境在处理下面的每一个素材时，都带领学生经历探求思路、建立方程、分析特点三个过程，并从中激发学生的学习兴趣。
1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m ，宽为5m 。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽？2、趣味数学口算：365141312111022222++++这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为《难题》的名画中写在教室黑板上的一道题，此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。
拉钦斯基（1836～1902）一度曾在大学中任自然科学教授，后来辞去大学的职务，成为一名普通的乡村教师，在这期间，对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。
从惊奇与趣味中激发学生思考：这样的数组还有吗？如何求解？设未知数的技巧。
联想勾股定理中：222543=+，……3、梯子移动如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m 。
如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？及时教育学生，要学会用数学的眼光观察生活中的现象，培养自己发现问题与解决问题的能力。
4、莲花问题平平湖水清可鉴， 面上半尺生红莲。
出泥不染婷婷立， 忽被强风吹一边。
渔人观看忙向前， 花离原位两尺远。
21花边有多宽1
21花边有多宽1免费～～～2.1花边有多宽1 (2)_________________________________一、探索发现 (3)_________________________________问题1:一块四周镶有宽度相等的花边的地一元二次方程的定义: 毯，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央_____________________________________ 一元二次方程的一般形式:2长方形图案的面积为18m，那么花边有多________________ 宽, 其中，设:花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为______m，宽为______m，根据二、巩固练习题意，得_________________ 1(下列方程中，关于x的一元二次方程是问题2:某校初三某毕业班的每一个同学都( )希望向全班其他同学赠送一张自己的毕业112A k+5k+6=0 B ，,22留念照，这样将互送2550张照片，你知道xx这个班共有多少名学生吗, 22C ax+bx+c=0 D 3(x+1)=2(x+1) 提示:设全班共有x名同学，则每个人要向别人送_____张，所以可列方程2. 把下列方程化成一般形式，并写出它们的_______________ 二次项系数、一次项系数及常数项问题3:某商场国庆期间搞促销活动，一件(1) (x-1)(x+2)=4 800元的商品第一次降价后，销售较慢，于是又进行了第二次降价，第二次降价的百分率是第一次的2倍，结果以476元的价格迅(2)2(x+2)+8=3x(x-1) 速销售一空，那么每次降价的百分率是多少,1提示:设第一次降价的百分率为x，则第二2(3)1，3x,,x 次降价的百分率为_______，所以可列方程3_______________问题4:如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，2(4) (x，2),4,,2如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米,分析:如图，由勾股定理可知，滑动前梯子的底端(5) (2,3x)(x，2),5距墙______m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙________m，根据题意，22(6) (x,3),(2x，1)得_________________总结归纳:观察上面所的方程，说说它们有什么共同的特点(8-2x)(5-2x)=18 x(x-1)=2550 n-23(若(m-3)x-3nx+3=0是关于x的一元二222800(1-x)(1-2x) =476 (x+6)+7=10 次方程，则( )A m?0，n=3B m?3，n=4 特点:(1)__________________________C m?0，n=4D m?3，n?0 免费～～～免费～～～224(已知关于x的方程(k-1)x+(k+1)x-2=0 (1)当k取何值时，此方程为一元一次方程 (2)当k取何值时，此方程为一元二次方程225、方程，当t 2tx，tx,3,x,x,2t时，它是关于x的一元一次方程，当t时，它是一元二次方程。
花边有多宽(二)教学案例
第二章 一元二次方程1．花边有多宽（二）一、教学目标知识技能:结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
数学思考:经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
问题解决:进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，提高学生解决问题的能力。
情感态度:培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。
二、教学重、难点重点:探究一元二次方程的解或者近似解，发展学生估算意识和能力 难点：用估算的方法寻求一元二次方程的解三、教法学生合作交流教师引导四、教具准备小黑板五、教学过程1、情境创设在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；()2221076x =++，即：01512x x 2=-+。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？2、探索新知(1)、有一根外带有塑料皮长为100m 的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。
(2)、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；（1）x 可能小于0吗?说说你的理由．（2）x 可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流．（3）完成下表： x0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2-13x+11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．由于方程的解是整数解，学生都能通过列表计算直接找到方程的解，这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而增强了学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。
2.1花边有多宽(二)
2.1 花边有多宽（二）教学目标：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促动学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和水平。
3、进一步提升学生分析问题的水平，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识. 教学重点：估算一元二次方程的解和近似解。
教学难点：估算一元二次方程的解和近似解。
一、课前导读1、方程-2x 2-3x+5=0的二次项是________，一次项是________，常数项是______，二次项系数是______，一次项系数是________。
2、小明在写作业时，一不小心，方程的一次项系数被墨水盖住了，但从题中的条件，他知道方程的解为x=5，方程为3x 2- □x - 5=0。
请你协助小明求出被墨水盖住的数是多少。
3、为估算方程x 2-2x-8=0的解，填写下表：所以可判断方程x 2-2x-8=0的解为______________________。
二、情境引入在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程： （8－2x ）(5－2x)=18，即：0111322=+-x x ；(x ＋6) 2＋72=10 2 ，即：01512x x 2=-+。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？1、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程： （8－2x ）(5－2x)=18，即：0111322=+-x x ； （1）x 可能小于0吗?说说你的理由．（2）x 可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴实行交流．（3）完成下表：（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴实行交流。
三、做一做上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程()2221076x =++，把这个方程化为一般形式为01512x x 2=-+（1）小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法准确吗?为什么? （2）底端滑动的距离可能是2 m 吗? 可能是3 m 吗?为什么? （3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? （4）x 的整数部分是几? 十分位是几? 四、练习与提升1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。
花边有多宽(二)教学案例
第二章一元二次方程1．花边有多宽（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程。
因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题。
同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。
在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解。
同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书基于学生已有的估算意识和能力以及对方程的解的理解的基础之上，提出了本节课的具体学习任务：经历一元二次方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《花边有多宽》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
3、进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。
2.1 花边有多宽2
教学中可以备用的一些素材或者背景本节课的内容是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的第一节《花边有多宽》的第二课时。
对于本节课我刚开始感觉有点无从下手，“夹逼”的思想由何而来？在本节课中有着怎样的应用？我感觉学生不知从何学起，并且抓不到具体的知识点，在认真研读教材查阅资料的基础上，我把本节课的实际教学过程中的几个点写出来，以供老师们参考。
这节课开始我设置了一个问题情境如下：“有一根带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速找到这一处断裂处？先让学生进行讨论，然后让各小组代表提出该组讨论出的方法进行比较，后来我总结出方法。
用万用表先量出1～50m是否通，这样就能排除50m没有问题的电线，其次再用同样的方法测量1～25m的电线是否有问题，然后又可以排除25m，如此下去，就能很快找到断裂处的范围。
我感觉这种设置既贴近学生生活实际，又关注了数学本身的要求。
这个实例不但激发了学生的学习兴趣，还能很好地让学生体会和理解“夹逼”的思想。
并且我在学生探索的过程中采用鼓励和引导的方法。
通过对上述问题提出的方法进行讨论，培养学生自主探索合作交流等良好的学习习惯。
在自主探索合作交流中学生的自豪感和成功感得到升华。
通过对上述方法的讨论和对比，自然得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤：（1）在未知数x的取值范围内排除一部分取值。
（2）根据题意所列的具体情况再次进行排除。
（3）列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选。
（4）最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。
在此基础上，再利用接下来的题目让学生体会“夹逼”思想在具体问题情境中的应用。
“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛。
因初中学生所学知识面所限，在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法。
其具体的指导思想是：将一元二次方程变形为一般形式：ax2+bx+c=0，分别将x1,x2代入等式左边，当获得的值为一正、一负时，方程必定有一根x0，而且x1＜x0 ＜x2。
《2.1花边有多宽(2)》学案
《2.1花边有多宽(2)》学案 姓名课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空)1.方程3x 2+8＝0的一次项系数是 .2. 方程300=3x 2,则 x 为 .3. 方程（x-1）2＝100，则x 为 .4. a 2+2ab + b 2 = .5. 某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x ，根据题意列方程_________.典型例题分析例1：一个矩形的花园,面积为50 m 2，宽比长少5 m,求这个花园的长和宽各是多少米？[点拨] 列方程解应用题的关键是找到题目中的等量关系，本题中的等量关系是：矩形的面积=长×宽.在学习一元二次方程的解法以前,可以用估算的方法得到该一元二次方程的解,要使得到的解符合实际意义,所以可直接考虑x 为正即可,实际上x =－10时, x 2+5x －50＝0也成立,但因－10不合题意,应舍去.解：设矩形花园的宽为x m,则长为(x +5)m,根据题意,得：整理得 估算一元二次方程的解:x4 5 6∴ 答:例2：观察长方体盒子的制作过程:把一块长方形的纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形,然后把四边折起来,就可以做成一个没有盖子的长方体盒子.如图(1),,一块长为40cm,宽为30cm 的纸片,在四个角上剪去四个相同的小正方形,然后做成图(2)所示的底面积为的750cm 2的没有盖子的长方体盒子.若设小正方形的边长为,那么这个盒子底部的长与宽分别为 和 ,根据题意,可列方程 ,整理成一般形式得 .解:(40-2x ); (30-2x ) ; (40-2x )(30-2x )=750;2 x 2-70x +225＝0.[点拨]:看此题，阅读量很大，平面图形与立体图形全面展现，但实际只要抓住矩形面积即可求解.故在审题过程中应抓住题目的本质，不要被题意所迷惑，认真分析图中各量之间的关系.例3：已知关于x 的方程(m +3)21mx +2(m －1) x －1＝0.(1) m 为何值时,它是一元二次方程. (2) (1) 40cm 30cm x cm(2)m为何值时,它是一元一次方程.[点拨]此题要根据一元二次方程和一元一次方程的定义来确定m的值.此方程为一元二次方程的条件是m2－1=2且m +3≠0; 此方程为一元一次方程的条件应按以下几个方面讨论:①m +3=0且m－1≠0；②m2－1=1且(m +3) +2(m－1) ≠0；③m2－1=0且2(m－1)≠0.解：⑴由21230mm⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，得出m =3∴当m =3时, 原方程为一元二次方程.(2) 若使原方程为一元一次方程,则m的情况应分为以下三种情况讨论:①由1030mm-≠⎧⎪⎨+=⎪⎩，得出m = －3；②由21132(1)0mm m⎧-=⎪⎨++-≠⎪⎩，得出m = ±2；③由2102(1)0mm⎧-=⎨-≠⎩，得出m = －1.∴当m = －3或±2或－1时,原方程为一元一次方程..《2.1花边有多宽(2)》基础训练一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1．下列叙述正确的是 （ ）A.形如ax 2+bx +c =0的方程叫一元二次方程B.方程4x 2+3x =6不含有常数项C.(2－x )2=0是一元二次方程D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为02. 两数的和比m 少5，这两数的积比m 多3，这两数若为相等的实数，则m 等于 ( )A.13或1B.－13C.1D.不能确定3. 关于x 2=－2的说法，正确的是 ( )A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）4. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m _________时，是一元一次方程.5. 如图，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x 的矩形，剩余部分的面积为9， 可列出方程为_____________，解得x =_________.6. 方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是 .三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7. (m -2)21m x + (m +2) x +4＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值,并求此时方程的根.8. 已知关于x 的方程(m +1)x 2+( n 2－2)x +3=0.（1）当m ，n 为何值时，此方程是一元二次方程？（2）当m ，n 为何值时，此方程是一元一次方程？拓展延伸一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1．某公司利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x ，可以列方程得（ ）A.5(1+x )=9B.5(1+x )2=9C.5(1+x )+5(1+x )2=9D.5+5(1+x )+5(1+x )2=92. (常德)根据下列表格中所列出的当x 取不同数值时代数式2ax bx c ++值的变化情况，判断方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是( ) x6.17 6.18 6.19 6.20 代数式的值 －0.03 －0.01 0.02 0.04Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.1x << Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.2x << 3. 方程x 2－2(3x －2)+(x +1)=0的一般形式是（ ）A.x 2－5x +5=0B.x 2+5x +5=0C.x 2+5x －5=0D.x 2+5=0二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上） 4. (常德)已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）．5. (河北) 在分式方程2221x x x x++=+中，如果设2y x x =+，那么原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是 .6.(潍坊)已知01a a b x ≠≠=，，若是方程2100ax bx +-=的一个解，则2222a b a b--的值是 ． 三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7. 现有长40米，宽30米的一块场地，欲在其中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来．8.关于x 的方程（2m 2+m -3）x m +1+5x =13可能是一元二次方程吗？为什么？（2m 2+m -3）x m -1+5x =13呢?。
2.1花边有多宽
年 级：九年级 辅导科目：数学
课时数：3 学科教师
2.1 花边有多宽
备课时间：
1、要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽” ， “梯子
教学目标 的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想。 2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳 分析的能力。
6、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉 教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出 方程．
数学化 x
x－2
x－4 （五）课后作业
4
尺
1.一元二次方程的一般形式是__________. 2.将方程－5x2+1=6x 化为一般形式为__________.其二次项是__________，一次项系数为__________，常数项为 __________.方程(x+1)2=2x，方程 2x2=－8，方程 5(x2－ 2 x+1)=－3 2 x+2 呢 3.若 ab≠0，则
思考题
10．.直角三角形的周长为 2+ 6 ，斜边上的中线为 1，求此直角三角形的面积.
题目题库： 一、判断题（下列方程中，是一无二次方程的在括号内划“√” ，不是一元二次方程的，在括号内划“×” ） 2 1.5x +1=0 2.3x2+
1 +1=0 x
3.4x2=ax(其中 a 为常数) 4.2x2+3x=0 5.
1 =1,x=__________. 2
村里面有一块长方形的耕地，面积为 300 m2,现在交给王叔来耕，已知耕地的长是宽的 3 倍，如图：你能帮王叔 算算这块地的长和宽吗？
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子洲三中导学案
2011-2012学年第学期年级班组姓名编写者审核者使用时间2012年月日
课题：2.1花边有多宽(二)课时：
教学目标
(一)教学知识点
1．探索一元二次方程的解或近似解．
2．培养学生的估算意识和能力．
(二)能力训练要求
1．经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力．
(三)情感与价值观要求
通过师生的共同活动，激发学生探求知识的欲望，从而加强学生估算意识和能力的培养．教学重点
探索一元二次方程的解或近似解．
教学难点
培养学生的估算意识和能力．
教学方法
分组讨论法
Ⅱ．讲授新课
[师]要求地毯的花边有多宽，由前面我们知道：地毯花边的宽x(m)满足方程
(8-2x)(5-2x)＝18．
可以把它化为2x2-13x+11=0．
由此可知：只要求出2x2-13x+11＝0
的解，那么地毯花边的宽度即可求出．
如何求呢? [生]可以选取一些值代入方程，看能否有使得方程左、右两边的值都相等的数值．如果有，则可求出花边的宽度．
[师]噢，那如何选取数值呢?大家来分组讨论讨论．(出示投影片§2．1．2 B)
1．x可能小于0吗?说说你的理由．
2．x可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流．
3．x的值应选在什么范围之内?
4．完成下表：
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
2x2-13x+11
5．你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．
[生甲]因为x表示地毯的宽度，所以不可能取小于0的数．
[生乙]x既不可能大于4，也不可能大于2．5．因为如果x大于4，那么地毯的长度8- 2x就小于0，如果x大于2．5时，那么地毯的宽度同样是小于0．
[生丙]x的值应选在0和2．5之间．
[生丁]表中的值为：
当x＝0时，2x2-13x+11＝11(依次类推)，即
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x2-13x+11 11 4.75 0 -4 -7 -9
[生戊]由上面的讨论可以知道：当x=1时，2x2-13x+11＝0，正好与右边的值相等．所以由此可知：x＝1是方程2x2-13x+11=0的解，从而得知；地毯花边的宽为1 m．
[生己]我没有把原方程化为一般形式，而是把18分解为6× 8．然后凑数：8-2x＝6，5-2x＝3，两个一元一次方程的解正好为同解，x＝1．
这样，地毯花边的宽度就可以求出来，即它为1 m ．
[师]同学们讨论得真棒，接下来大家来看上节课的另一实际问题，(出示投影片§ 2．1．2 C) 如图，一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m ，如果梯子的顶端下滑1 m ，
那么梯子的底端滑动多少米?
[师]上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102．
把这个方程化为一般形式为 x 2+12x-15＝0．
那么你知道梯子底端滑动的距离是多少吗?即你能求出x 吗?同学们来做一做．(出示投影片§ 2．1．2 D)
1．小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法正确吗?为什么? 2．底端滑动的距离可能是2 m 吗?可能是3 m 吗?为什么? 3．你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? 4．x 的整数部分是几?十分位是几?
[生甲]小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法不正确．因为当x ＝1时，x 2
+12x-15＝-2≠0，即x ＝1不满足方程，所以他的说法不正确．
[生乙]底端滑动的距离既不可能是2 m ，也不可能是3 m ．因为当x ＝2时，x 2
+12x-15=13≠0，当x=3时，x 2
+12x-15=30≠0，即x ＝2，x ＝3都不满足方程，所以都不可能． [生丙]因为梯子滑动的距离是正值，所以我选取了一些值，列表如下：
x
0 1 2 3
4
x 2
+12x-15
-15 -2 13 30 49
由表中可知，当x ＝1，x ＝2时，x 2+12x-15的值分别为-2，13，而0介于负数和正 数之间，所以我猜测；的大致范围是在1和2之间．
[生丁]由刚才的讨论可知：x 的大致范围是在1和2之间，所以x 的整数部分是1．我在1和2之间取了一些值，如下表：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 x 2
+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
5.25
6.76
8.29
由表中可知：x 在1．1和1．2之间，所以x 的十分位是1．
[师]同学们回答得很好，下面来看小亮的求解过程．(出示投影片§2．1．2 E) 小亮把他的求解过程整理如下：
x 0 0.5 1 1.5 2 x 2
+12x-15
-15
-8.75
-2
5.25
13
所以1<x<1．5． 进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 x 2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以1．1<x<1．2．因此J 的整数部分是1，十分位是1．你们的结果怎样呢? [生齐声]与他的一样．
[师]很好，对于这两个问题的具体解决，我们是先根据实际问题确定了其解的大致范围，然后通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得了问题的解或近似解． “夹逼”思想是数学中近似计算的重要思想，大家应了解．
接下来，我们来解决上节课的第2个问题，以巩固本节课所学的知识． Ⅲ．课堂练习 课本P 46随堂练习
1．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数 分别是多少吗?。