2018中考数学总复习三角形第3节等腰三角形课件新人教版
中考数学复习高频考点知识讲解与练习18---等腰三角形
中考数学复习高频考点知识讲解与练习第18讲等腰三角形【考点知识总汇】一、等腰三角形的判定与性质1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也（简写“”）。
2.性质（1）等腰三角形的两个底角（简写为“”）。
（2）等腰三角形顶角的、底边上的高和底边上的互相重合（简写成“三线合一”）。
（3）等腰三角形是图形，底边上的中线（或底边上的高或顶角的平分线）所在的直线是它的对称轴。
知识点总结：二、等边三角形的判定与性质1.判定（1）三个角的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于60 的三角形是等边三角形。
2.性质（1）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于。
（2）等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴。
21AB知识点总结： 1.由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质，但等边三角形具有的性质等腰三角形不一定具有。
2.等边三角形的性质和判定的题设和结论也正好相反，要注意区别。
三、线段的垂直平分线1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。
2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
知识点总结：1.线段的垂直平分线的性质是证明线段相等或垂直的重要方法。
2.垂直平分线的性质与判定的题设和结论也正好相反，注意区别。
高频考点1、等腰三角形的性质与判定【范例】如图， 90=∠ABC ，E D ,分别在AC BC ,上，DE AD ⊥，且DE AD =，点F 是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M 。
（1）求证：FCM FMC ∠=∠。
（2）AD 与MC 垂直吗？并说明理由。
得分要领：等腰三角形的“三线合一”，包括以下三个结论：如图，在△ABC 中，AC AB =。
1.若BC AD ⊥，则DC BD =，21∠=∠。
2.若DC BD =，则BC AD ⊥，21∠=∠。
3.若21∠=∠，则BC AD ⊥，DC BD =。
【考题回放】1.若等腰三角形的顶角为40 ，则它的底角数为（ ）A.40B.50C.60D.702.如图，在△ABC 中，AC AB =，且D 为BC 上一点，AD CD =，BD AB =，则B ∠的度数为（ ）A.30B.36C.40D.45第2题 第3题3.如图，在△ABC 中，AC AB =， 40=∠A ，点D 在AC 上，DC BD =，则ABD ∠的度数是。
最新人教版八年级数学上册《13.3.1 等腰三角形(第1课时)》优质教学课件
归纳总结
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
B
C
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高
线互相重合(三线合一）.
顶角平分线 即：等腰三角形 底边上的高线
底边上的中线
具备其 中一条
另外两 条成立
探究新知
C1 C5
这样分类 就不会漏
啦！
C3
C6
A
8个
C7
B
C4
C8
C2
分别以A、B、C为顶角 顶点来分类讨论！
课堂小结
等边对等角
注意是指同一个三角形中
等
腰
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中
三
三线合一
线才有这一性质.而腰上的高和中线与底
角
角的平分线不具有这一性质
形
的
性
（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有
（×）
（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
（√）
（5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
（ ×）
（6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（√）
探究新知
素ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ考点 1 等腰三角形性质的应用
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且
BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角； ∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC； （2）指出图中有几个等腰三角形？
数学语言：如图, 在△ABC中,
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
A
∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
人教版八年级数学上册课件 第十三章 轴对称 等腰三角形 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定
27 2
(cm)
17．(14分)(原创题)已知△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点， 以AD为一边在AD的右侧作等边三角形ADE.
(1)如图①，点D在线段BC上移动时，求证：CE＋CD＝AB； (2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，那么： ①线段CE，CD，AB之间有怎样的数量关系？请加以证明； ②∠DCE的度数为___6_0_°___； (3)如图③，点D在线段BC的反向延长线上移动时，∠DCE的大小是否 发生变化？线段CE，CD，AB之间又有怎样的数量关系？请直接写出结 论．
2．(3分)如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，
则∠ADB的度数为( ) D
A．25°
B．60°
C．85°
D．95°
3．(3分)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线 上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝___1_5_°___．
4 ． (3 分 ) 如 图 ， 在 等 边 三 角 形 ABC 中 ， CD⊥AB 于 点 D ， 过 点 D 作 DE∥BC交AC于点E，若△ABC的边长为2，则△ADE的周长是__3__．
∠E，∴DB＝DE
6．(3分)下列四个说法中，正确的有( D ) ①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形 是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个 角相等的等腰三角形是等边三角形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．(3分)等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是 ( C)
14．(台州中考)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC 上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪 下的△DEF的周长是___6_．
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形
（B ）
A．4
B．8
C．12
D．16
6．已知，AD 是等腰三角形 ABC 的中线，若 AC＝5，BD＝3，则 AD＝44 .
7．(2022·台州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D，E，F 分别为 AB， BC，CA 的中点，若 EF 的长为 10，则 CD 的长为 1010 .
8．(2022·云南)已知△ABC 是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC 的顶 角度数是 404°0°或 或1 100°0°.
下列结论中错误的是
（A ）
A．BF＝1
B．DC＝3
C．AE＝5
D．AC＝9
11．(2022·梧州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D，E 分别是 AB，
AC 边上的中点，连接 CD，DE.如果 AB＝5 m，BC＝3 m，那么 CD＋DE
的长是
（ B）
A．3 m
B．4 m
C．5 m
D．6 m
大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点 M，N，作直线 MN，分别交 AC，
AB 于点 E，F，则 AE 的长度为
（A ）
A.52
B．3
C．2 2
D.130
5．(2022·贵阳)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间
的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角
Hale Waihona Puke 边的长分别为 1 和 3，则中间小正方形的周长是
S2，S3.若 S1＋S2＋S3＝2S0，则线段 OP 长的最小值是
33 A. 2
53 B. 2
C．3 3
73 D. 2
（ B）
15．(2022·龙东)△ABC和△ADE都是等边三角形．
人教版初中数学中考考点系统复习 第19讲 等腰三角形与直角三角形
60°
的三角形是等边三角形；
（2）三个内角都⑰
的三角形是等边三角形；
定
（3）有一个角是⑱
的等腰三角形是等边三角形
面
【拓展补充】如图，顶角为36°（或底角为72°）的等腰三角形叫做黄金三角形. 性质：
（2）底角的平分线BF将其分成底角为36°（△ABF）和顶角为36°（△BCF）的 等腰三角形； （3）过点F作FE⊥AB于点E，则EF为腰AB的垂直平分线.
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
第2题图
3.（甘肃中考）如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（ B ）
A.（1，1）
第3题图
4.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使 △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ A ）
A.5
B.6
C.7
三角形的性质或三角函数进行求解.
对点训练 8.（2022·荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受
损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面 的夹角为60°，则金字塔原来的高度为（ B ） A.120 m
9.（陕西中考）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ D ）
质 （4）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为顶角⑤ 平分
线 所在的直线（如图中AD所在的直线）
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形； 判
（2）如果一个三角形有两个角⑥ 相等 ，那么这两个角所对的边也
八年级数学 第十二章 第3节 等腰三角形 人教新课标版
初二数学第十二章第3节等腰三角形人教新课标版一、学习目标：1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30的直角三角形的性质。
二、重点、难点：重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30的直角三角形的性质。
难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。
三、考点分析：本节知识内容是初中数学的基础，考试题型多，方法灵活。
对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定，即边角的相互转化。
这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。
在综合题中，对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见，中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题，如函数中的动点，考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。
知识点一：等腰三角形的有关概念例1.如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。
思路分析：这里要求根据条件说明图形的名称，而不是凭直观和想象。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，另外的两个角叫做底角。
解答过程：图中的等腰三角形有ABC∆和ADB∆。
其中∠；∠和C ABC∠，底角是CBA ∆的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是BAC∠，底角是∠A和ABD∠。
∆的腰是DA和DB，底边是AB，顶角是BDAADB解题后的思考：解决此类题目应先找到两腰，然后根据其他元素与两腰的相对位置关系来进行识别。
例2. 已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________； 思路分析：长为3的边是否是腰并不清楚，故应分类讨论。
解答过程：当3为底边时，其他两边均为(133)25-÷=；当3为腰长时，其他两边为3和13337--=。
人教版八年级上册数学习题课件-13.3.1 等腰三角形的性质
11．(2018·湖州)如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线， 若 AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( B ) A．20° B．35° C．40° D．70°
12．如图，在△ABC 中，AB＝BC，BE⊥AC 于点 E，AD⊥BC 于点 D，AD＝BD，AD 与 BE 交于点 F，连接 CF.求证 BF ＝2AE.
6．(2018·包头)如图，在△ABC 中，AB＝AC，△ADE 的顶点 D， E 分别在 BC，AC 上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C＋ ∠BAC＝145°，则∠EDC 的度数为( ) A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
【点拨】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∴∠B＋∠C＋∠BAC＝2∠C＋∠BAC＝180°. 又∵∠C＋∠BAC＝145°，∴∠C＝35°. ∵∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠AED＝45°. ∴∠EDC＝∠AED－∠C＝10°.
(2)若∠BAC＝α(α＞30°)，∠BAD＝30°，求∠EDC 的度数；
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝12(180°－∠BAC)＝90°－12α. ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝90°－12α＋α－30°，且 AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－∠DAC)＝105°－12α. ∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝120°－12α－105°－12α＝15°.
4．如图，在△ABC 中，∠ABC＝63°，点 D，E 分别是△ABC 的边 BC，AC 上的点，且 AB＝AD＝DE＝EC，则∠C 的度 数是( A ) A．21° B．19° C．18° D．17°
5．(中考·泰安)如图，在△PAB 中，PA＝PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°， 则∠P 的度数为( D ) A．44° B．66° C．88° D．92°
最新新人教版八年级数学13.3.1等腰三角形课件PPT(1)ppt课件
成品性状
阿 胶 小方块，黑色或乌黑色，质坚硬。 蛤粉炒阿胶 圆球形，灰白色或灰褐色，质松泡 蒲黄炒阿胶 圆球形，棕褐色，质松泡。
炮制作用及应用
阿 胶 生用长于滋阴补血，用于血虚痿黄， 眩晕心悸，心烦失眠，虚风内动，温燥伤肺， 干咳无痰。 蛤粉炒阿胶 炒后降低滋腻之性，矫嗅矫味， 蛤粉炒善于补肺润燥，用于阴虚咳嗽，久咳少 痰或痰中带血。烫后质地酥脆，宜入丸散。 蒲黄炒阿胶 蒲黄炒止血安络力强，多用于阴 虚咯血，崩漏，便血。
由此得出结论：
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线 合一”）
当堂测试
4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A_D__ = ∠C__A_D__，B_D___= _C_D__.
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 相互重合. (简写成:等边对等角)
讨论：
（1）性质1（等腰三角形的两个底角相等） 的条件和结论分别是什么？
（2）用数学符号如何表达条件和结论？
（3）如何证明？
已知：△ABC中，AB=AC.
A
求证：∠B=∠C.
证明：作底边BC的中线AD. ∵ AB=AC
作底边的高线 证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边高线AD.
B
在Rt△BAD和△RtCAD中，
D
C
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角w形ww的.123对0.o应rg 角相等).
中考数学一轮复习 第四单元 三角形 第18讲 等腰三角形课件
2021/12/9
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变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数. (1)请你解答(jiědá)以上的变式题; (2)解答(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如 果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的
2021/12/9
第十八页，共二十三页。
(2018·绍兴(shào xīnɡ))数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°) 例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
综上所述,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
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内容 总结 (nèiróng)
第18讲 等腰三角形。以学生熟悉的一副三角板为背景结合中点和垂线求线段的长度,看似简单实 则不易(bù yì),是考查能力的一道好题.。①当点C在线段OB上时,如图1,。②当点C在线段OB的延长线上时,如图2,。错误鉴定
或5
25
2
或
试真题·练易
命题(mìng tí)点 等腰三角形的性质
1.(2016·山西,15,3分)如图,已知点C为线段(xiànduàn)AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连 接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD 于点H,则HG的长为3- .5
A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2
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中考数学 三角形与全等三角形复习课件 新人教版
A．80°
C．100°
B．90°
D．110°
(3)(2010·广州)在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5 ，则DE的长是( A．2.5 B ．5 ) C．10 D．15
(4)(2010·济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这 个三角形是( )
A．直角三角形
C．钝角三角形
B．锐角三角形
D．等边三角形
(5) （2011·黄冈）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角 ∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝______.
【点拨】本组题主要考查三角形的有关概念和性质．
【解答】(1)B 由三角形三边关系可得11＜x＜15，∴满足条件的正 整数x为12,13,14，∴这样的三角形有3个．
(2)一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)如果两个直角三角形的斜边及一条 直角边 分别对应相等，那么 这两个直角三角形全等．简记为HL. 3．证明三角形全等的思路
找夹角 (1)已知两边找直角 找另一边 (2)已知一边一角
边为角的对边时，找另一角 找夹角的另一边 边为角的邻边时找夹边的另一角 找边的对角
考点三
全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
(1)全等三角形的 对应边 、 对应角 分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、 面积相等．
考点四
全等三角形的判定
1．一般三角形全等的判定
(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等 ，那么这两个三角形全等
个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
中考数学总复习讲练 第三节 等腰三角形与直角三角形
第三节 等腰三角形与直角三角形)直角三角形的有关计算1．分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于F ，若∠F ＝30°，DE ＝1，则EF 的长是( B )A ．3B ．2C .D ．1(第1题图)(第2题图)2．4分)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高．动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以 cm /s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t s (0＜t ＜8)，则t ＝__6__ s 时，S 1＝2S 2.3．12分)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ，其中∠BAC ＝45°，∠ACD ＝30°，点E 为CD 边上的中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 所在直线翻折得到△AD′E ，D ′E 交AC 于F 点．若AB ＝6 cm .(1)AE 的长为__4__cm ；(2)试在线段AC 上确定一点P ，使得DP ＋EP 的值最小，并求出这个最小值； (3)求点D′到BC 的距离．解：∵Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝60°.∵E 是CD 边上的中点，∴AE ＝DE ，∴△ADE 是等边三角形．∵△ADE 沿着AE 所在直线翻折得到△AD′E ，∴△AD ′E 是等边三角形．∴∠AED′＝60°，∵∠EAC ＝∠DAC －∠EAD ＝30°，∴∠EFA ＝90°，即AC 所在直线垂直平分线段ED′，∴点E ，D ′关于直线AC 对称．连接DD′交AC 与点P ，∴此时DP ＋EP 值最小，且DP ＋EP ＝DD′.∵△ADE 是等边三角形，AD ＝AE ＝4，∴DD ′＝2×AD·cos 30°＝2×4×23＝12，即DP ＋EP 的最小值是12；(3)连接CD ′，BD ′，过D′作D′G ⊥BC 于点G.∵AC 垂直平分ED′，∴AE ＝AD′，CE ＝CD′.∵AE ＝CE ，∴AD ′＝CD′＝4.∵AB ＝BC ，BD ′＝BD′，∴△ABD ′≌△CBD ′(SSS )，∴∠D ′BG ＝45°，∴D ′G ＝GB.设D′G ＝x cm ，则CG ＝(6－x)c m ，∴x 2＋(6－x)2＝(4)2，解得x 1＝3－，x 2＝3＋(不合题意，舍去)．∴点D′到BC 的距离为(3－)cm .勾股定理(1次)4．12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，设c 为最长边，当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状(按角分类)．(1)当△ABC 三边分别为6，8，9时，△ABC 为__锐角__三角形；当△ABC 三边分别为6，8，11时，△ABC 为__钝角__三角形；(2)猜想，当a 2＋b 2__>__c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2__<__c 2时，△ABC 为钝角三角形；(3)判断当a ＝2，b ＝4时，△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围．解：∵c 为最长边，∴4≤c ＜6，①a 2＋b 2＞c 2，即c 2＜20，0＜c ＜2，∴当4≤c<2时，△ABC 是锐角三角形；②a 2＋b 2＝c 2，c 2＝20，c ＝2，∴当c ＝2时，△ABC 是直角三角形；③a 2＋b 2＜c 2，c 2＞20，c ＞2，∴当2＜c ＜6时，△ABC 是钝角三角形．直角三角形的判定(1次)5．10分)如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，连接CE ，CF.(1)求证：△ABF ≌△CBE ；(2)判断△CEF 的形状，并说明理由．证明：(1)略；(2)△CEF 是直角三角形．理由：∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE ＝∠FEB ＝45°，∴∠AFB ＝135°.又∵△ABF ≌△CBE ，∴∠CEB ＝∠AFB ＝135°，∴∠CEF ＝∠CEB －∠FEB ＝135°－45°＝90°，∴△CEF 是直角三角形．等腰三角形的性质(1次)6．4分)如图，在△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；……，按此做法进行下去，∠A n 的度数为__2n －180°__．(第6题图)(第7题图)7．考试)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝6，CD 为AB 边上的高，点P 为射线CD 上一动点，当点P 运动到使△ABP 为等腰三角形时，BP 的长度为__4或6__．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为__(2，4)或(3，4)或(8，4)__．中考考点清单) 等腰三角形的性质与判定(高频考点)性质BC 直角三角形的性质与判定(高频考点)(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边中考重难点突破)等腰三角形的性质与判定【例1】，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC ＝15°，则∠A＝________．【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.【学生解答】50°1．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数为(B)A．30°B．36°C．40°D．45°,(第1题图)),(第2题图)) 2．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝__6__cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝__35__°.4．)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝2，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵BD ＝CD ，∴R t △BDE ≌Rt △CDF ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝30°，AD ＝2，∴AC ＝cos30°AD＝4.直角三角形的相关计算【例2】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10.DE 垂直平分AC 交AB 于点E ，则DE 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】根据题意，DE 是AC 的垂直平分线．∵∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线．∵BC ＝＝6，∴DE ＝21BC ＝3.【学生解答】D5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ∥AB ，∠ACD ＝40°，则∠B 的度数为( B ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°,(第5题图)) ,(第6题图)6．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为( A )A ．1B ．2C .D ．1＋ 7．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B 、C 不重合)，作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则BE ＋CF 的值( C )A ．不变B ．增大C ．减小D ．先变大再变小,(第7题图)) ,(第8题图))8．如图，正方形ABCD 的面积为1，则连接相邻两边中点EF ，以EF 为边的正方形EFGH 的周长为( B )A .B ．2C .＋1D ．2＋19．如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1＋S 2＝S 3图形个数有( D )A ．1B ．2C ．3D ．410．明)已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，连接AD ，BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，交AC 于E.若△ABD 是等边三角形，求DE 的长．解：∵△ABD 为等边三角形，AB ＝10，∴∠ADB ＝60°，AD ＝AB ＝10，∵DH ⊥AB ，∴AH ＝21AB ＝5，∴DH ＝5，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，∴∠AEH ＝45°，∴EH ＝AH ＝5，∴DE ＝DH －EH ＝5－5.。
中考数学复习 第四单元 三角形 第19课时 等腰三角形数学课件1
(2)选①②证明如下:
在△BOE和△COD中,
∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,
∴△BOE≌△COD,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
2
角形 ABC 的底角的度数为
.
[答案] 15°或45°或75°
[解析]分情况讨论:
(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①,此时∠C=45°;
1
(2)当∠ABC 为底角,∠BAC 为锐角时,如图②,BD= AC,∴∠BAC=30°,则∠ABC=75°;
2
1
(3)当∠ABC 为底角,∠BAC 为钝角时,如图③,BD= AC,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,
又∵∠ADB=∠C+∠DAC,
∴2∠C=∠ADB,
70°
∴∠C=
2
=35°.
图19-2
| 考向精练 |
1.[2018·湖州]如图19-3,AD,CE分别是
[答案]B
△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,
[解析] ∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 (
∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,
-∠ECD=180°-50°-50°=80°,故选D.
3.[2019·黔三州]如图19-5,以△ABC的顶
[答案] 34°
点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于
[解析]根据题意可得
点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则
中考数学总复习第四章三角形第3节等腰三角形课件新人
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人教版《等腰三角形》课件演示PPT初中数学3
∴ △ABD≌ △ACD （SSS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相
等幻灯片 12）
方法二
A
证明: 作BC边上 的高AD
则∠ADB＝∠ADC ＝90º
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB＝AC
AD＝AD （公共边）B
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等 幻灯片 12）
作业
1、习题教科书第1、4、6题 2、证明性质2另两个命题。
例题：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在 AC 上，且BD=BC=AD. 求△ABC各内角的 度数？
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
（等边对等角)
2x
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
（简写成三线合一） 此失彼，而使知识体系得不到延续。
5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
A 情感态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 。
1 全等三角形的对应边、对应角相等
请大家交流合作证明性质 2
BDC
猜想与论证：
等腰三角形底边上的中线也是 底边上的高和顶角平分线。
(5)解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本 章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。本章的难点是解一元二次方程。 1.复习资料要精，使用过程中，始终注重其系统性。千万不要贪多，资料多了，不但使自己身陷题海，不能自拔，而且会因为你的顾
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