高中数学人教版必修1函数及其表示 课件PPT
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人教版高中数学必修一第一章函数的概念课件PPT
例3 (1)已知函数f(x)＝2x＋1，求f(0)和f [f (0)]； 解 f(0)＝2×0＋1＝1. ∴f [f (0)]＝f(1)＝2×1＋1＝3. (2)求函数 g(x)＝01，，xx为为无有理理数数， 的定义域，值域； 解 x为有理数或无理数，故定义域为R. 只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}.
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中 都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( C ) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→|1x| B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
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第一章 1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中 都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( C ) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→|1x| B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
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第一章 1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
课件_人教版高中数学必修一函数PPT课件_优秀版
y 1是函数吗？
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （3） y=x 2 （5） y2+x2=1
（2）|y|=x （4）y2 =x （6）y2-x2=1
(1)能 (2)不能 (4)不能 (5)不能
(3)能 (6)不能
问题：
如何判断给定的两个变量之间是否具有函
数关系？
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1 如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？ （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a,b)
(3)f(x) x1 1 2x
练 习 ： 求 下 列 函 数 的 定 义 域 （1）f(x)= x+1 x-3
（2）f(x)= 5-x x 3
（3）f(x)= (x-1)0 x2 x
两个函数相同：
（ 1 ） 对 应 关 系 f ， 定 义 域 ， 值 域 都 相 同
定义域，定义域到值域的对应关系 相同
②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每 请阅读课本P48关于区间的内容
（4） {x|x < -9}∪{x| -9 < x<20}
如(4)何不判能断一给定个的两个值变量，之间是是否具否有函都数关有系？ 惟一确定的一个函数值y和它对 应。 (5)不能
（2） {x|x ≥9} 判断下列图象能表示函数图象的是（ ） 定义域、对应法则、值域 （1）{x|5 ≤ x<6} 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。 ②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （3） y=x 2 （5） y2+x2=1
（2）|y|=x （4）y2 =x （6）y2-x2=1
(1)能 (2)不能 (4)不能 (5)不能
(3)能 (6)不能
问题：
如何判断给定的两个变量之间是否具有函
数关系？
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1 如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？ （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a,b)
(3)f(x) x1 1 2x
练 习 ： 求 下 列 函 数 的 定 义 域 （1）f(x)= x+1 x-3
（2）f(x)= 5-x x 3
（3）f(x)= (x-1)0 x2 x
两个函数相同：
（ 1 ） 对 应 关 系 f ， 定 义 域 ， 值 域 都 相 同
定义域，定义域到值域的对应关系 相同
②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每 请阅读课本P48关于区间的内容
（4） {x|x < -9}∪{x| -9 < x<20}
如(4)何不判能断一给定个的两个值变量，之间是是否具否有函都数关有系？ 惟一确定的一个函数值y和它对 应。 (5)不能
（2） {x|x ≥9} 判断下列图象能表示函数图象的是（ ） 定义域、对应法则、值域 （1）{x|5 ≤ x<6} 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。 ②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。
人教版高中数学必修1《函数的概念》PPT课件
•(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的 值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般情况下， 它是一个变量．f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝ 3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
• 2．同一个函数：
•如果两个函数定义的域
以是两个不同的函数．
• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
• (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．
()
• (2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．
()
• (3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着
值域中不同的y.
()
2．• 若 (f4(x))在＝x函2－数x的＋1定，则义f中(3)，＝_集___合__B__是. 函数的值域．
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
• 提示：(1)这种看法不对．
•符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是 自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是 一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描 述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号， 不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x) 外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
• [答案] (1)B (2)C
• [方法技巧] • 1．判断对应关系是否为函数的2个条件
• (1)A，B必须是非空数集．
• (2)A 中 任 意 一 元 素 在 B 中 有 且 只 有 一 个 元 素 与 之 对 应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系， “一对多”的不是函数关系． • 2.根据图形判断对应是否为函数的方法
• 2．同一个函数：
•如果两个函数定义的域
以是两个不同的函数．
• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
• (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．
()
• (2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．
()
• (3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着
值域中不同的y.
()
2．• 若 (f4(x))在＝x函2－数x的＋1定，则义f中(3)，＝_集___合__B__是. 函数的值域．
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
• 提示：(1)这种看法不对．
•符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是 自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是 一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描 述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号， 不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x) 外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
• [答案] (1)B (2)C
• [方法技巧] • 1．判断对应关系是否为函数的2个条件
• (1)A，B必须是非空数集．
• (2)A 中 任 意 一 元 素 在 B 中 有 且 只 有 一 个 元 素 与 之 对 应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系， “一对多”的不是函数关系． • 2.根据图形判断对应是否为函数的方法
人教版高一数学必修一函数的表示法课件PPT
4.每次在课堂上给学生布置任务时,要事先想好如何应对 那些很快就完成任务的学生。同时,要注意提醒那些动作 缓慢,迟迟没有动手的学生。
5.做好准备。备课时就要准备妤课堂材料。这样,在讲 课的时候,才能顺利地从一个主题过渡到下一个主题,不会 因冷场而出现空闲时间。
课题导入
1.已知f (x) 2x 1,求f (3) 2.已知f (x 1) 2x 1,求f (2) 思考第二个问中，可以通过条件 得到f (x)的解析式么？
1.2.2函数的表示法
第二课时 抽象函数的解析式求法
目标引领
1.掌握解析式的几种求法 2.理解在解决函数问题中的整体代换的思
想。
独立自学
1.2.2函数的表示法
第二课时 抽象函数的解析式求法
目标引领
1.掌握解析式的几种求法 2.理解在解决函数问题中的整体代换的思
想。
独立自学
想一想： 已知f (2x 1) x2 x 1，求f (x)
引导探究
1.换元法求函数解析式
例 1.已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
2.用配凑法求解析式
3.待定系数法求函数解析式
例4.若f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x) 的解析式。
已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1， f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
4.用消去法求函数解析式
例5.已知3f(x)+2f(-x)=2x,求f(x)
1.若3 f (1 ) 2 f (x) 2x, 求f(x) x
1.求解抽象函数解析式的方法 （1）换元法 （2）配凑法 （3）待定系数 （4）消去法 2.理解函数问题中整体代换的思想
当堂诊学
人教版高中数学必修一1.2.1函数的的概念_ppt课件
题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋ ＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋ －1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ， 所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义， 需满足x3＋ －12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项 系数的讨论而出错
【例 4】 已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根 式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；
高中数学必修一全册课件人教版(共99张PPT)
例如：1∈N， -5 ∈ Z, Q 1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝｛ｂ，ｏ，ｋ｝ 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。｛1,4｝｛（1,4）｝
的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以”
1 乘以10再加20 30
2
40
3
50
4
60
5
70
6
80
7
90
8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
？
2
？
3
？
5
？
6
？
7
？
8
？
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝｛ｂ，ｏ，ｋ｝ 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。｛1,4｝｛（1,4）｝
的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以”
1 乘以10再加20 30
2
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7
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8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
？
2
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3
？
5
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6
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7
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8
？
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
人教版高中数学必修一《函数的表示法》PPT课件
图 1-2-7 思路探究：可按点 E 所在的位置分 E 在线段 AB，E 在线段 AD 及 E 在线段 CD 三类分别求解．
人教版高中数学必修一
[解] 过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H. 因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝2 2 cm， 所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm. (1)当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝21x2； (2)当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋2x－2×2＝2x－2；
人教版高中数学必修一
PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P LO R I G N E W K N O W L E D G E
[自 主 预 习·探 新 知]
分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围 ，有着不同的 对对应关系，则称这样的函数为分段函数． 思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是 一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？ [提示] 分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数 的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域．
3)，f
f
－52的值；
(2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值.
人教版高中数学必修一
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝ －5＋1＝－4， f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f －52＝－52＋1＝－23， 而－2<－32<2， ∴f f －52＝f －32＝－322＋2×－23＝94－3＝－43.
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[解] 过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H. 因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝2 2 cm， 所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm. (1)当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝21x2； (2)当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋2x－2×2＝2x－2；
人教版高中数学必修一
PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P LO R I G N E W K N O W L E D G E
[自 主 预 习·探 新 知]
分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围 ，有着不同的 对对应关系，则称这样的函数为分段函数． 思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是 一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？ [提示] 分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数 的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域．
3)，f
f
－52的值；
(2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值.
人教版高中数学必修一
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝ －5＋1＝－4， f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f －52＝－52＋1＝－23， 而－2<－32<2， ∴f f －52＝f －32＝－322＋2×－23＝94－3＝－43.
高中数学必修一课件：1.2.1 函数的概念(共30张PPT)
是否为函数？
那么，为了解决这个问题，我们有必要给 函数的定义加入新的内容。
引例探究
【引例1】一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中 目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度 h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是 h=130t-4.9t2（※）
引例探究 【引例2】近几年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示 了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年 的变化情况
分别表示为 a, , a, , , b, , b
典例剖析
【例1】 函数 f x x 3 1
x 2
（1） 求函数的定义域； x | x 3,且x 2
（2）
求f
3
，
f
2 3
的值；
f
3
1,
f
2 3
3 8
33 8
（3） 当 a 0 时，求 f a ， f a 1 的值.
【练习3】已知函数 y f (2x 1) 的定义域
为 1, 2 ， 求函数 y f (x) 的定义域。
【练习4】已知函数y f (x2 )的定义域为2,3,
求函数y f ( x 1)的定义域。
解 Q 2 x 3,0 x2 9,
0 x 1 9,1 x 82,
∴ f ( x 1)的定义域为{x |1 x 82}
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【练习3】已知函数 y f (x) 的定义域
为 1, 2 ， 求函数 y f (2x 1)的定义域。
0,
3 2
那么，为了解决这个问题，我们有必要给 函数的定义加入新的内容。
引例探究
【引例1】一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中 目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度 h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是 h=130t-4.9t2（※）
引例探究 【引例2】近几年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示 了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年 的变化情况
分别表示为 a, , a, , , b, , b
典例剖析
【例1】 函数 f x x 3 1
x 2
（1） 求函数的定义域； x | x 3,且x 2
（2）
求f
3
，
f
2 3
的值；
f
3
1,
f
2 3
3 8
33 8
（3） 当 a 0 时，求 f a ， f a 1 的值.
【练习3】已知函数 y f (2x 1) 的定义域
为 1, 2 ， 求函数 y f (x) 的定义域。
【练习4】已知函数y f (x2 )的定义域为2,3,
求函数y f ( x 1)的定义域。
解 Q 2 x 3,0 x2 9,
0 x 1 9,1 x 82,
∴ f ( x 1)的定义域为{x |1 x 82}
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【练习3】已知函数 y f (x) 的定义域
为 1, 2 ， 求函数 y f (2x 1)的定义域。
0,
3 2
人教版高中数学必修一1.2.1(函数的概念)ppt课件
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
33 3
3
（3）因为a>0,所以f（a），f（a-1）有意义
f(a) a1 1 a2
f( a 1 )a 1 3 1a 2 1
a 1 2
a 1
练习.
求下列函数的定义域： (1)f(x)＝x＋ 1 2； (2)f(x)＝ 3x＋2； (3)f(x)＝ x＋1＋3－ 1 x.
•(3)如果f(x)是二次根式(偶次根式)， 其定义域为使被开方数非负的自变x的所有取值 组成的集合；
(4)如果f(x)是由以上几个部分的代数式构成的，
义域为几部分的交集；
x (5)f(x)＝ 的定0义域为{x|x≠0}．
•(6)如果函数有实际背景，那么除符合 上述要求外，还要符合实际情况．函数 定义域要用集合形式表示，
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
33 3
3
（3）因为a>0,所以f（a），f（a-1）有意义
f(a) a1 1 a2
f( a 1 )a 1 3 1a 2 1
a 1 2
a 1
练习.
求下列函数的定义域： (1)f(x)＝x＋ 1 2； (2)f(x)＝ 3x＋2； (3)f(x)＝ x＋1＋3－ 1 x.
•(3)如果f(x)是二次根式(偶次根式)， 其定义域为使被开方数非负的自变x的所有取值 组成的集合；
(4)如果f(x)是由以上几个部分的代数式构成的，
义域为几部分的交集；
x (5)f(x)＝ 的定0义域为{x|x≠0}．
•(6)如果函数有实际背景，那么除符合 上述要求外，还要符合实际情况．函数 定义域要用集合形式表示，
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
人教版高中数学必修一1.2《函数的概念》课件PPT课件
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做 函数的定义域.与x的值对应的y值叫做函数
值,函数值的集合f ( x) x A叫做函数的值域.
乘2
1
1 A
2
2 3 4B
35
6
平方
1
－1 1
A2
－2
4
3
B
－3
9
(1)
(2)
求倒数
11
1
2 A 3
12B
3
41
4
(3)
下列图象中不能作为函数y f ( x)的
-5
-4
-3
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
-1
-1.5
-2
-2.5
2.5 2 1.5 1 0.5
-5
-4
-3
-2
-1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
2.5 2
1.5 1
0.5
1
2
3
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5
-5
-4
-3
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-1
1
2
3
4
5
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
2.5 2 1.5 1 0.5
-5 -4 -3 -2 -1
A={1991仿,199照2,1实993例,199(41,1)9(925,)1，996试,19恩9描7,格 1述99尔8上,19系9表9,数2中000,2001} B={53.8,恩52格.9, 尔50.1系, 49数.9, 和48.6时, 46间.4, (4年4.5食,)4的1物.9关,支39系.出2, .3金7.9额}
值,函数值的集合f ( x) x A叫做函数的值域.
乘2
1
1 A
2
2 3 4B
35
6
平方
1
－1 1
A2
－2
4
3
B
－3
9
(1)
(2)
求倒数
11
1
2 A 3
12B
3
41
4
(3)
下列图象中不能作为函数y f ( x)的
-5
-4
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-2
-1
-0.5
1
2
3
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5
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-2
-2.5
2.5 2 1.5 1 0.5
-5
-4
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-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
2.5 2
1.5 1
0.5
1
2
3
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-5
-4
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-1
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-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
2.5 2 1.5 1 0.5
-5 -4 -3 -2 -1
A={1991仿,199照2,1实993例,199(41,1)9(925,)1，996试,19恩9描7,格 1述99尔8上,19系9表9,数2中000,2001} B={53.8,恩52格.9, 尔50.1系, 49数.9, 和48.6时, 46间.4, (4年4.5食,)4的1物.9关,支39系.出2, .3金7.9额}
高中数学必修一《函数的概念》PPT课件
教学过程
函数
结构分析
创
观
抽
分 新 提分
设
察
象
析 知 炼层
情
分
概
探 演 总作
景
析
括
讨 练 结业
引
探
形
深 形 分自
入
索
成
化 成 享主
课
新
概
概 反 收探
题
知
念
念 馈 获究
教学环节1——创设情境 引入课题
函数
教学环节2——观察分析 探索新知
实例（1）：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮 弹的射高为 845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间 t（单位：s）变化的规律是：h =130t-5t2.
0x
0x
0x
0x
0x
0x
教学环节5——新知演练 及时反馈
函数
1.y x(x 1)是函数吗？
2.y x2 1是函数吗？
教学环节5——新知演练 及时反馈
函数
设A,B是非空的数集，如果按照某种确定
的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数,
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那
么就称f:A→B为从集合A 到集合B的一个函数，
人教版普通高中新课程标准实验教科书必修(1）
1.2.1 函数的概念
Yy==ff(x(x))
背景分析
函数
教材分析
函数是中学 数学一个重 要的基本概 念，在整个 高中教学中 起着承上启 下的作用.
函数概念及 数学思想已 广泛渗透到 数学的各个 领域，是进 一步学习数 学的基础.
背景分析
函数
学情分析
有利因素
人教版高中数学必修一函数的表示法(一)课件PPT
解：设票价为y元，里程为x公里，由题意知自变量的取值范围是(0,20].
根据“票价规则”，得到以下解析式：
y 5 4 3
2 1
2,0 x 5
y
3,5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
o 5 10 15 20 x
例5．某路公共汽车，行进的站数与票价 关系如下表：
行进的 站数
例5．A、B两地相距150km，某汽车以每
小时50km的速度从A地到B地,在B地停留 2小时后，又以每小时60km的速度返回A 地. (1)写出该车离开A地的距离s(km)关于
时间t(h)的函数关系； (2)并画出图象.
例6．如图，在边长为4的正方形ABCD的 边上有一点P，沿着折线BCDA由B点 (起 点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程 为S，△ABP的面积为y，求△ABP的面积 y与P点移动的路程S间的函数关系式.
例5．A、B两地相距150km，某汽车以每
小时50km的速度从A地到B地,在B地停留 2小时后，又以每小时60km的速度返回A 地. (1)写出该车离开A地的距离s(km)关于
时间t(h)的函数关系； (2)并画出图象.
例6．如图，在边长为4的正方形ABCD的 边上有一点P，沿着折线BCDA由B点 (起 点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程 为S，△ABP的面积为y，求△ABP的面积 y与P点移动的路程S间的函数关系式.
2.三种函数表示方法的相互转换； 3.分段函数的定义及表示法； 4.分段函数的表达式虽然不止一个，
但它不是几个函数，而是一个函数．
课后作业
1.阅读教材； 2.习案:作业7，第P160至P161； 3.预习下节内容．
思考题：你能作出函数 的函数图象吗？
根据“票价规则”，得到以下解析式：
y 5 4 3
2 1
2,0 x 5
y
3,5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
o 5 10 15 20 x
例5．某路公共汽车，行进的站数与票价 关系如下表：
行进的 站数
例5．A、B两地相距150km，某汽车以每
小时50km的速度从A地到B地,在B地停留 2小时后，又以每小时60km的速度返回A 地. (1)写出该车离开A地的距离s(km)关于
时间t(h)的函数关系； (2)并画出图象.
例6．如图，在边长为4的正方形ABCD的 边上有一点P，沿着折线BCDA由B点 (起 点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程 为S，△ABP的面积为y，求△ABP的面积 y与P点移动的路程S间的函数关系式.
例5．A、B两地相距150km，某汽车以每
小时50km的速度从A地到B地,在B地停留 2小时后，又以每小时60km的速度返回A 地. (1)写出该车离开A地的距离s(km)关于
时间t(h)的函数关系； (2)并画出图象.
例6．如图，在边长为4的正方形ABCD的 边上有一点P，沿着折线BCDA由B点 (起 点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程 为S，△ABP的面积为y，求△ABP的面积 y与P点移动的路程S间的函数关系式.
2.三种函数表示方法的相互转换； 3.分段函数的定义及表示法； 4.分段函数的表达式虽然不止一个，
但它不是几个函数，而是一个函数．
课后作业
1.阅读教材； 2.习案:作业7，第P160至P161； 3.预习下节内容．
思考题：你能作出函数 的函数图象吗？
人教版A版必修一《函数的概念及其表示》课件ppt
自主诊断 2.(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是
√
√
√
在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中， 图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函 数图象.
自主诊断
3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是
A.y＝ x3＋－3x与 y＝
x＋3 3－x
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式.
0
(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，
①
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，
②
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2(x∈R).
思维升华
函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
√B.y＝x2 与 y＝(x－1)2 √C.y＝ x2与 y＝x
√D.y＝1 与 y＝x0
自主诊断
对于 A 选项，y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， 并且 x3＋－3x＝ x3＋－3x，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同， 所以是同一个函数；
√C.f(x)＝x－，xx，≥x0<，0， g(t)＝|t|
D.f(x)＝x＋1，g(x)＝xx2－－11
对于 A，f(x)＝ x2的定义域为 R，g(x)＝( x)2 的定义域为[0，＋∞)， 不是同一个函数； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一 个函数； 对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数； 对于 D，f(x)＝x＋1 的定义域为 R，g(x)＝xx2－－11的定义域为{x|x≠1}， 不是同一个函数.
人教版必修一函数的概念及表示方法(课堂PPT)
②中两个函数的定义域都是R，并且f(x)＝ 所以它们是相等函数．
＝ |2x ＋ 1| ，
③中f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)的定义域都是Z， 值域也相同(都是奇数集)，但对应法则不同，所以不是相 等函数．
④中f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域都是R，尽管它们表 示自变量的字母不同，但是，对应法则都是“乘3加2”， 是相同的对应法则，所以是相等函数．
[例 1] (1)由下列式子能否确定 y 是 x 的函数？
①x2＋y2＝2； ② x－1＋ y－1＝1；
③y＝ x－2＋ 1－x.
(2)已知 f(x)＝3x－1，求 f(2)，f(2a－1)．
[分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的任意一个元 素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应”进行判断． (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域到值域的对应 法则，只要将自变量允许值代入，就可以求得对应的函数 值．
故填②④.
[例1] (1)如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一动
点M，沿折线BCD由点B向点D移动，设点M移动的路程为x，
△ABM的周长为y，求函数y＝f(x)的表达式为
．
(2)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤) 如表所示.
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
③由x1－－2x≥≥00 ，得解集为∅，故由它不能确定 y 是 x 的 函数．
(2)f(2)＝3×2－1＝5，f(2a－1)＝3(2a－1)－1＝6a－4.
二、填空题 7．函数 y＝2xx－＋11的图象过点(p,4)，则实数 p＝______.
二、填空题 7．函数 y＝2xx－＋11的图象过点(p,4)，则实数 p＝______.
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例7.已知f (x)是一次函数 ,且f ( f (x)) 4x 3,求f (x)的解析式.
求 法
函数解析式的求法——解方程组法
例8.已知f
(x)
2
f
1
x(x
0),
求f
( x)的解析式 .
x
求 法
函数解析式的求法——赋值法
依据题目提供的关系式特征,能够由特殊到一般寻找普遍规 律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律,得出函数的解析 式.
例5.已知函数f (x) x2 1, g(x) 2x 1 求函数f (g(x))的解析式.
求 法
函数解析式的求法——配凑法
已知函数f (g(x))和g(x)的解析式，求f (x)的解析式， 我们可以先从f (g(x))配凑出g(x)，再将等式两边的 g(x)用x替代，从而得到f (x)的解析式.
映射与函数的区别与联系
映射f : A B中, A、B是两个非空集合， 而函数y f (x), x A, y B中，A、B 只 能是数集， 函数是数集到数集的映射.
映射是函数概念的推广, 映射不一定是函数; 函数一定是映射,函数是一种特殊的映射
映射概念的理解
例1.判断下列对应是不是集合A到集合B的映射： 1.A N , B N ,对应关系f : x | x 3 |; 2.A {平面内的圆}, B {平面内的矩形},对应关系 f :"作圆的内接矩形"; 3.A {高一年的男生}, B {男生的身高},对应关系 f :"每个男生对应自己的身高"; 4.A {x | 0 x 2}, B {y | 0 y 6},对应关系 f :xy1x
求 法
函数解析式的求法——解方程组法
例8.已知f
(x)
2
f
1
x(x
0),
求f
( x)的解析式 .
x
求 法
函数解析式的求法——赋值法
依据题目提供的关系式特征,能够由特殊到一般寻找普遍规 律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律,得出函数的解析 式.
例5.已知函数f (x) x2 1, g(x) 2x 1 求函数f (g(x))的解析式.
求 法
函数解析式的求法——配凑法
已知函数f (g(x))和g(x)的解析式，求f (x)的解析式， 我们可以先从f (g(x))配凑出g(x)，再将等式两边的 g(x)用x替代，从而得到f (x)的解析式.
映射与函数的区别与联系
映射f : A B中, A、B是两个非空集合， 而函数y f (x), x A, y B中，A、B 只 能是数集， 函数是数集到数集的映射.
映射是函数概念的推广, 映射不一定是函数; 函数一定是映射,函数是一种特殊的映射
映射概念的理解
例1.判断下列对应是不是集合A到集合B的映射： 1.A N , B N ,对应关系f : x | x 3 |; 2.A {平面内的圆}, B {平面内的矩形},对应关系 f :"作圆的内接矩形"; 3.A {高一年的男生}, B {男生的身高},对应关系 f :"每个男生对应自己的身高"; 4.A {x | 0 x 2}, B {y | 0 y 6},对应关系 f :xy1x
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2. f (x) x 10 .
| x |x
复合函数的定义域
• 若函数y=f(t),t=g(x),则称函数y=f(g(x))为复 合函数.
• 函数y=f(g(x))的定义域由y=f(t)与t=g(x)的定 义域共同决定:
• 1.若已知函数f(x)的定义域为数集A,则函数
f(g(x))的定义域由g(x) A给出.
分段函数
2x, x ,1,
例3.已知函数f
(
x)
2, x [1,1],
2x, x f
1
,
f
4.5,
f
f
1
;
2 2
2
(2)若f (a) 6,求a的值.
分段函数
例7.已知f (x)是一次函数 ,且f ( f (x)) 4x 3,求f (x)的解析式.
求 法
函数解析式的求法——解方程组 法
例8.已知f
(x)
2
f
1 x
x(x
0), 求f
( x)的解析式 .
求 法
函数解析式的求法——赋值法
依据题目提供的关系式特征,能够由特殊到一般寻找普遍规 律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律,得出函数的解析 式.
例6.已知f ( x 1) x 2 x,求f (x)的解析式.
求 法
函数解析式的求法——待定系数 法
已知f (x)的函数类型,求f (x)的解析式时,可根据函数类型设出 先设函数解析式, 再代入关系式, 利用恒等式求出选定系数; 或根据已知条件列出关于待定系数的方程(组),通过解方程(组) 求出待定系数,从而得到f (x)的解析式.
3.{x | 1 x 1或2 x 6}
函数的概念
一般地,设A、B是非空的数集,如果按照 某种①确定的对应关系 f,使对于集合A 中的② 任意 一个数x,在集合B中都有 ③唯一确定 的数 f(x)和它对应,那么 就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个 函数,记作④y=f(x),x∈A.
区间的概念及应用
判断题 1.任何两个集合之间都可以建立函数关系.( ) 2.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.( ) 3.根据函数的定义,定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( ) 4.区间可以表示任何集合.( )
• 例1. 把下列数集用区间表示:
1.x | x 2;
2.{x | x 0}
函数的概念
例2.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( ) A.A={-1,0,1},B={0,1}, f:A中的数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1}, f:A中的数开方 C.A=Z,B=Q, f:A中的数取倒数 D.A=R,B={正实数}, f:A中的数取绝对值
例3.下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域, 以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
2
判断某个对应是
否是映射看两个
方面：一看原象 集A中每个元素 在象集B中是否 都有象；二原象 的象是否唯一。
映射概念的理解
例2.已知(x, y)在映射f作用下的象为(x y, xy). (1)求(2,3)在f作用下的象; (2)若在f作用下的象是(2,3), 求它的原象.
分段函数
如果函数 y= f(x),x∈A,根据自变量 x 在不同的取值范围内,函数有着 ④ 不同的对应关 ,则称这样的函数为分段函数.
例6.已知f ( x 1) x 2 x,求f (x)的解析式.
求 法
函数解析式的求法——换元法
已知f (g(x))和g(x)的解析式，求f (x)的解析式， 可以先令t g(x)，转化成用t表示x，然后代入 f (g(x))中得到f (t)，再把t换成x，即得f (x)的解 析式（. 要特别注意t的取值范围）
求函数值与值域
求函数的值域问题必须明确两点: 一是值域的概念; 二是函数的定义域和对应关系,对应关系相同,而 定义域不同,其值域就可能不同.
求函数值域的方法: 1.观察法 2.配方法 3.换元法 4.分离常数法 5.结合图像法
求函数值与值域
例7.求下列函数的值域 (1) y x 1 (2) y x2 2x 3, x [0,3) (3) y 2x 1
x3 (4) y 2x x 1
函数相等问题
与用哪个字 母无关
函数相等问题
例8.判断下列各组函数是否是相等函数. (1)f(x)=x2 -x+1,g(t)=t2 -t+1 (2)f(x)= x 1 x 1, g(x) x2 1
映射概念的理解
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一 个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一 个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之 对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B 的一个映射. 原象：A中的元素称为原象； 象：B中的元素称为象。
1.A N , B N ,对应关系f : x | x 3 |; 2.A {平面内的圆}, B {平面内的矩形},对应关系 f :"作圆的内接矩形"; 3.A {高一年的男生}, B {男生的身高},对应关系 f :"每个男生对应自己的身高"; 4.A {x | 0 x 2}, B {y | 0 y 6},对应关系 f :xy1x
例9.已知f (x)是R上的函数,且满足f (0) 1,并且对于任意的x, y 都有f (x y) f (x) y(2x y 1),求f (x)的解析式.
求 法
函数解析式的求法——函数图象辅助 法
例10.根据如图所示的函数 y f (x)的图象,写出函数 y f (x) 的解析式 .
高中数学人教版必修1 函数及其表示 课件PPT
1.2.1 函数的概念
思维导图
定义 域
求定 义域
复合函数 定义域
函数 概念
对应 关系
函数 相等
开区间 （a,b)
区间
闭区间 [a,b]
值域
半开半闭 [a,b) (a,b]
值域 求法
区间的概念及应用
1.一般区间的表示(a,b为实数,且a<b)
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
映射与函数的区别与联系
映射f : A B中, A、B是两个非空集合， 而函数y f (x), x A, y B中，A、B 只 能是数集， 函数是数集到数集的映射.
映射是函数概念的推广, 映射不一定是函数; 函数一定是映射,函数是一种特殊的映射
映射概念的理解
例1.判断下列对应是不是集合A到集合B的映射：
• 2.若已知函数f(g(x))的定义域为数集A,则函数 f(x)的定义域为g(x)在A中的值域.
复合函数的定义域
例5.(1)已知函数f (x)的定义域为[1,3], 求函数f (2x 1)的定义域; (2)已知函数f (2x 1)的定义域为[1,3], 求函数f (x)的定义域.
求函数值与值域
1、已知函数解析式（对应关系）求函数值时， 直接将自变量的值代入解析式中求解即可；如 果自变量以代数式的形式出现，则将代数式看 作一个整体，代替解析式中的自变量.
例6.已知f (x) 1 (x R, x 2), g(x) x 4(x R). 2x
(1)求f(1),g(1)的值; (2)求f[g(1)],g[f(1)]的值; (3)求f[g(x)],g[f(x)]的表达式.
x, x 2 例4.函数f (x) x 1,2 x 4,若f (a) 3,
3x, x 4 求a的取值范围.
函数解析式的求法
代入 法
配凑 法
换元 法
待定 系数
法
函数解 析式的
求法
解方 程组 法
赋值 法
图象辅 助法
函数解析式的求法——代入法
已知函数f (x)和g(x)解析式，求函数f (g(x))的解析式 常用代入法。
例5.已知函数f (x) x2 1, g(x) 2x 1 求函数f (g(x))的解析式.
求 法
函数解析式的求法——配凑法
已知函数f (g(x))和g(x)的解析式，求f (x)的解析式， 我们可以先从f (g(x))配凑出g(x)，再将等式两边的 g(x)用x替代，从而得到f (x)的解析式.
名称 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间
2.特殊区间的表示
符号 ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
数轴表示
定义 R 符号
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x<a}
区间的概念及应用
应用区间需要注意的几个问题： 1. 区间是一个连续数集，并非所有的数 集都可用区间表示，如{1，2，3}. 2. 用到区间时，要特别注意是否包含区 间的端点值，如(1,2),[1,2),(1,2]是不 同的区间. 3. 区间符号里两个数（或字母）之间用 “，”隔开. 4. 这里规定左端点值a必须 右端点 值b。
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做 函数的⑤ 定义域 ;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数 值的集合{ f(x)|x∈A}叫做函数的⑥ .值域
函数的概念
• 1、函数的定义域、值域不能为空集； • 2、定义域、对应关系、值域是函数的三要素，
缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本， 当定义域和对应关系确定时，值域也就确定； • 3、对应关系f是函数的本质特征； • 4、函数定义强调“三性”：任意性、存在性、 唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意 性）元素x，都有（存在性）唯一（唯一性）的 元素y与之对应.这三性只要有一个不满足，就不 能构成函数.
| x |x
复合函数的定义域
• 若函数y=f(t),t=g(x),则称函数y=f(g(x))为复 合函数.
• 函数y=f(g(x))的定义域由y=f(t)与t=g(x)的定 义域共同决定:
• 1.若已知函数f(x)的定义域为数集A,则函数
f(g(x))的定义域由g(x) A给出.
分段函数
2x, x ,1,
例3.已知函数f
(
x)
2, x [1,1],
2x, x f
1
,
f
4.5,
f
f
1
;
2 2
2
(2)若f (a) 6,求a的值.
分段函数
例7.已知f (x)是一次函数 ,且f ( f (x)) 4x 3,求f (x)的解析式.
求 法
函数解析式的求法——解方程组 法
例8.已知f
(x)
2
f
1 x
x(x
0), 求f
( x)的解析式 .
求 法
函数解析式的求法——赋值法
依据题目提供的关系式特征,能够由特殊到一般寻找普遍规 律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律,得出函数的解析 式.
例6.已知f ( x 1) x 2 x,求f (x)的解析式.
求 法
函数解析式的求法——待定系数 法
已知f (x)的函数类型,求f (x)的解析式时,可根据函数类型设出 先设函数解析式, 再代入关系式, 利用恒等式求出选定系数; 或根据已知条件列出关于待定系数的方程(组),通过解方程(组) 求出待定系数,从而得到f (x)的解析式.
3.{x | 1 x 1或2 x 6}
函数的概念
一般地,设A、B是非空的数集,如果按照 某种①确定的对应关系 f,使对于集合A 中的② 任意 一个数x,在集合B中都有 ③唯一确定 的数 f(x)和它对应,那么 就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个 函数,记作④y=f(x),x∈A.
区间的概念及应用
判断题 1.任何两个集合之间都可以建立函数关系.( ) 2.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.( ) 3.根据函数的定义,定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( ) 4.区间可以表示任何集合.( )
• 例1. 把下列数集用区间表示:
1.x | x 2;
2.{x | x 0}
函数的概念
例2.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( ) A.A={-1,0,1},B={0,1}, f:A中的数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1}, f:A中的数开方 C.A=Z,B=Q, f:A中的数取倒数 D.A=R,B={正实数}, f:A中的数取绝对值
例3.下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域, 以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
2
判断某个对应是
否是映射看两个
方面：一看原象 集A中每个元素 在象集B中是否 都有象；二原象 的象是否唯一。
映射概念的理解
例2.已知(x, y)在映射f作用下的象为(x y, xy). (1)求(2,3)在f作用下的象; (2)若在f作用下的象是(2,3), 求它的原象.
分段函数
如果函数 y= f(x),x∈A,根据自变量 x 在不同的取值范围内,函数有着 ④ 不同的对应关 ,则称这样的函数为分段函数.
例6.已知f ( x 1) x 2 x,求f (x)的解析式.
求 法
函数解析式的求法——换元法
已知f (g(x))和g(x)的解析式，求f (x)的解析式， 可以先令t g(x)，转化成用t表示x，然后代入 f (g(x))中得到f (t)，再把t换成x，即得f (x)的解 析式（. 要特别注意t的取值范围）
求函数值与值域
求函数的值域问题必须明确两点: 一是值域的概念; 二是函数的定义域和对应关系,对应关系相同,而 定义域不同,其值域就可能不同.
求函数值域的方法: 1.观察法 2.配方法 3.换元法 4.分离常数法 5.结合图像法
求函数值与值域
例7.求下列函数的值域 (1) y x 1 (2) y x2 2x 3, x [0,3) (3) y 2x 1
x3 (4) y 2x x 1
函数相等问题
与用哪个字 母无关
函数相等问题
例8.判断下列各组函数是否是相等函数. (1)f(x)=x2 -x+1,g(t)=t2 -t+1 (2)f(x)= x 1 x 1, g(x) x2 1
映射概念的理解
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一 个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一 个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之 对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B 的一个映射. 原象：A中的元素称为原象； 象：B中的元素称为象。
1.A N , B N ,对应关系f : x | x 3 |; 2.A {平面内的圆}, B {平面内的矩形},对应关系 f :"作圆的内接矩形"; 3.A {高一年的男生}, B {男生的身高},对应关系 f :"每个男生对应自己的身高"; 4.A {x | 0 x 2}, B {y | 0 y 6},对应关系 f :xy1x
例9.已知f (x)是R上的函数,且满足f (0) 1,并且对于任意的x, y 都有f (x y) f (x) y(2x y 1),求f (x)的解析式.
求 法
函数解析式的求法——函数图象辅助 法
例10.根据如图所示的函数 y f (x)的图象,写出函数 y f (x) 的解析式 .
高中数学人教版必修1 函数及其表示 课件PPT
1.2.1 函数的概念
思维导图
定义 域
求定 义域
复合函数 定义域
函数 概念
对应 关系
函数 相等
开区间 （a,b)
区间
闭区间 [a,b]
值域
半开半闭 [a,b) (a,b]
值域 求法
区间的概念及应用
1.一般区间的表示(a,b为实数,且a<b)
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
映射与函数的区别与联系
映射f : A B中, A、B是两个非空集合， 而函数y f (x), x A, y B中，A、B 只 能是数集， 函数是数集到数集的映射.
映射是函数概念的推广, 映射不一定是函数; 函数一定是映射,函数是一种特殊的映射
映射概念的理解
例1.判断下列对应是不是集合A到集合B的映射：
• 2.若已知函数f(g(x))的定义域为数集A,则函数 f(x)的定义域为g(x)在A中的值域.
复合函数的定义域
例5.(1)已知函数f (x)的定义域为[1,3], 求函数f (2x 1)的定义域; (2)已知函数f (2x 1)的定义域为[1,3], 求函数f (x)的定义域.
求函数值与值域
1、已知函数解析式（对应关系）求函数值时， 直接将自变量的值代入解析式中求解即可；如 果自变量以代数式的形式出现，则将代数式看 作一个整体，代替解析式中的自变量.
例6.已知f (x) 1 (x R, x 2), g(x) x 4(x R). 2x
(1)求f(1),g(1)的值; (2)求f[g(1)],g[f(1)]的值; (3)求f[g(x)],g[f(x)]的表达式.
x, x 2 例4.函数f (x) x 1,2 x 4,若f (a) 3,
3x, x 4 求a的取值范围.
函数解析式的求法
代入 法
配凑 法
换元 法
待定 系数
法
函数解 析式的
求法
解方 程组 法
赋值 法
图象辅 助法
函数解析式的求法——代入法
已知函数f (x)和g(x)解析式，求函数f (g(x))的解析式 常用代入法。
例5.已知函数f (x) x2 1, g(x) 2x 1 求函数f (g(x))的解析式.
求 法
函数解析式的求法——配凑法
已知函数f (g(x))和g(x)的解析式，求f (x)的解析式， 我们可以先从f (g(x))配凑出g(x)，再将等式两边的 g(x)用x替代，从而得到f (x)的解析式.
名称 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间
2.特殊区间的表示
符号 ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
数轴表示
定义 R 符号
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x<a}
区间的概念及应用
应用区间需要注意的几个问题： 1. 区间是一个连续数集，并非所有的数 集都可用区间表示，如{1，2，3}. 2. 用到区间时，要特别注意是否包含区 间的端点值，如(1,2),[1,2),(1,2]是不 同的区间. 3. 区间符号里两个数（或字母）之间用 “，”隔开. 4. 这里规定左端点值a必须 右端点 值b。
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做 函数的⑤ 定义域 ;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数 值的集合{ f(x)|x∈A}叫做函数的⑥ .值域
函数的概念
• 1、函数的定义域、值域不能为空集； • 2、定义域、对应关系、值域是函数的三要素，
缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本， 当定义域和对应关系确定时，值域也就确定； • 3、对应关系f是函数的本质特征； • 4、函数定义强调“三性”：任意性、存在性、 唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意 性）元素x，都有（存在性）唯一（唯一性）的 元素y与之对应.这三性只要有一个不满足，就不 能构成函数.