一元函数微积分学在物理学上的应用1
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]分析：微元法解法二、[的微元球心，任取下半球取中x轴垂直水平面并通过球心，方向向上，原点为取2,dx)(1x,]上的小区间[xxdx]相应的球体中的薄片，其重量为薄片即[1,0处需)x在水中浮力与重力相等，当球从水中取出时，此薄片移至离水面高为(12为于是，对下半球作的功dxx,(S1x))(1作功dwF02dx)(1wx(1x)11其重量为]相应的球体中的薄片，,xdx[0,1]上小区间[x任取上半球中的微元薄片即22dx)1，需作功dw1x((1x1)dx,当球从水中取出时，它移动的距离为12dxx于是对上半球作的功为w)(120101322)x1x)(x)dxdx(对整个球做的功为www1(121 12013浮于水面的木球提高水面，/m0.2m，密度为500kg例2(4)（功4）要将一半径为.问需要作功多少？分析：根据浮力定律知道球的上半部浮于水面下半部没于水中，（由浮力定律[1比重水的比重），所以只要提高0.2m即可将此球提离水面，由于在整个 2 过程中浮力与提力都在作功，所以应有提力所作的功克服重力所作的功浮力所作的功]解：建立坐标如图，取[y,ydy][R,0]dV)yg(ydFyg(dm)则对应于此小区间，浮力作功的功元素为dw浮22)dyy[(R]yg01422)12.315(gRRkJy)dyWgy( 浮4R43)kJ12.315500[从而有WWW20.525((0.2)]9.80.2 浮重提3WWW与前例类似：WWW浮重浮下重上重提．
例2(2)（功2）设有一半径为.R，长度为l的圆柱体平放在深度为2R的水池中，1））（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（,现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至x2R处，计算位于[x,x1]上的体积微元移至[2Rx,2Rxdx]时所作的微元功。由于在水面上方与下方所受力不同，所以应分开计算，注意到介于x与xdx之间的体积微元为 2222dx(长宽lRx2R高x)dxl2它在水面下方需移动Rx，上方需移动RxRR 2222dxxRx2)Rxdxl)R(w2l(1)(RxRRR 223(21)RlRx1)lR4(2dx0例2(3)（功3）、设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要作多少功？4解法一：[分析：把球的质量集中到球心，球从水中取出作功问题可以看成质 34量为的质点向上移动距离为1时变力所作的功，问题归结为求出变力， 3即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力，因球的比重为1球受的重力球的体积，球受的浮力沉在水中部分的体积它的合力球露出水面部分的体积。当球心向上移动距离h时，(0h1)，球露出水面部分的体积为h2h222)(h(1z)dz 3330162132h112())]hw因此，球从水中取出要作的功为[(dh 123332120．
例2(5)（功5）在底面积为.S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积S）从点a处推移到点b处，计算在移动过程中，气体压力所作的功？解：取坐标系为图，活塞的位置可以用坐标x来表示，由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，k压强P与体积V的乘积是常数k，即PVk，或P VkVxS，P xS kkSS作用在活塞上的力：Fp xSx在气体膨胀过程中，体积V是变的，因而x也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]，设[x,xdx]为[a,b]上的任一小区间，当活塞kk从x移动到xdx时，变力F所作的功近似于dx,即dwdx xxbkbdxklnw xaa3的某种液体，m液面距离，盛有比重为m8kN/例2(6)（功6）.一球形贮液灌，半径为10灌顶部出口4m，（如图所示）已将灌中全部液体从顶部出口抽出，需作多少功？解：作x轴通过球心且正向铅直向下，原点在灌顶部出口处，长度单位取为m，取x为积分变量，x[4.20] 222x20(x10)dx[考察x,xdx]上液体，高度为,底圆半径为10x 2223)dx(比重8体积(20xx路程）8dw20x(xx)dx202031129632325990(dxdwkJ8(20xx))w 344*本题也可选择x轴的原点在球心，这时变量x的范围和功元素的表达式都要随之改变
设有长为12cm的非均匀杆AB,AM部分的质量与动点M到端点A的距离x的平方52成正比，杆的全部质量为360g,则杆的质量的表达式m(x)x,杆在任一点 2 (x)=5x
M处的线密度
5522(x)mx)x5,x百度文库x)=(m(x)=kx解：,令x12,m360得k,所以m 22
b所作的功到b变力沿直线运动从a变力作功：dx)F(wx)(xFa
一元函数微积分学在物理学上的应用速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心
用导数描述某些物理量1.速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。(t),内转过的角度则物体在时刻2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔t0，t的(t).(t)角速度3.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T与时间(t).Tt的冷却速度为t的函数关系为T=T(t),则物体在时刻段干的质量为mm(x),0点算起，则杆在点0，xx处的3.一根杆从一端(x).(x)=m线密度是这段时间内通过导线横截面的电量为QQ(t4.一根导线在),0,t则导线(t).t的电流强度I(t)=Q在时刻5.某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度T时所需的热量为q(T),(T).时的比热C(T)=q则物体在温度T(t).t时刻的功率为ww(t),6.某力在0,t则时间内作的功w例1 .
例2(1)（功1.）一圆柱形的注水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作x轴如图所示取深度x为积分变量，它的变化区间为[0，5]相应于[0，上任一小区间5][x,xdx]的一薄层水的高度为dx，因此如x的单位为m，2dxkN,这薄层水的重力为9.8把这层水吸出桶外需作的功近似为3dxx88dw25253462(kJ8dxw所求的功为882x82) 20．
例2(2)（功2）设有一半径为.R，长度为l的圆柱体平放在深度为2R的水池中，1））（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（,现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至x2R处，计算位于[x,x1]上的体积微元移至[2Rx,2Rxdx]时所作的微元功。由于在水面上方与下方所受力不同，所以应分开计算，注意到介于x与xdx之间的体积微元为 2222dx(长宽lRx2R高x)dxl2它在水面下方需移动Rx，上方需移动RxRR 2222dxxRx2)Rxdxl)R(w2l(1)(RxRRR 223(21)RlRx1)lR4(2dx0例2(3)（功3）、设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要作多少功？4解法一：[分析：把球的质量集中到球心，球从水中取出作功问题可以看成质 34量为的质点向上移动距离为1时变力所作的功，问题归结为求出变力， 3即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力，因球的比重为1球受的重力球的体积，球受的浮力沉在水中部分的体积它的合力球露出水面部分的体积。当球心向上移动距离h时，(0h1)，球露出水面部分的体积为h2h222)(h(1z)dz 3330162132h112())]hw因此，球从水中取出要作的功为[(dh 123332120．
例2(5)（功5）在底面积为.S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积S）从点a处推移到点b处，计算在移动过程中，气体压力所作的功？解：取坐标系为图，活塞的位置可以用坐标x来表示，由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，k压强P与体积V的乘积是常数k，即PVk，或P VkVxS，P xS kkSS作用在活塞上的力：Fp xSx在气体膨胀过程中，体积V是变的，因而x也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]，设[x,xdx]为[a,b]上的任一小区间，当活塞kk从x移动到xdx时，变力F所作的功近似于dx,即dwdx xxbkbdxklnw xaa3的某种液体，m液面距离，盛有比重为m8kN/例2(6)（功6）.一球形贮液灌，半径为10灌顶部出口4m，（如图所示）已将灌中全部液体从顶部出口抽出，需作多少功？解：作x轴通过球心且正向铅直向下，原点在灌顶部出口处，长度单位取为m，取x为积分变量，x[4.20] 222x20(x10)dx[考察x,xdx]上液体，高度为,底圆半径为10x 2223)dx(比重8体积(20xx路程）8dw20x(xx)dx202031129632325990(dxdwkJ8(20xx))w 344*本题也可选择x轴的原点在球心，这时变量x的范围和功元素的表达式都要随之改变
设有长为12cm的非均匀杆AB,AM部分的质量与动点M到端点A的距离x的平方52成正比，杆的全部质量为360g,则杆的质量的表达式m(x)x,杆在任一点 2 (x)=5x
M处的线密度
5522(x)mx)x5,x百度文库x)=(m(x)=kx解：,令x12,m360得k,所以m 22
b所作的功到b变力沿直线运动从a变力作功：dx)F(wx)(xFa
一元函数微积分学在物理学上的应用速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心
用导数描述某些物理量1.速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。(t),内转过的角度则物体在时刻2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔t0，t的(t).(t)角速度3.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T与时间(t).Tt的冷却速度为t的函数关系为T=T(t),则物体在时刻段干的质量为mm(x),0点算起，则杆在点0，xx处的3.一根杆从一端(x).(x)=m线密度是这段时间内通过导线横截面的电量为QQ(t4.一根导线在),0,t则导线(t).t的电流强度I(t)=Q在时刻5.某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度T时所需的热量为q(T),(T).时的比热C(T)=q则物体在温度T(t).t时刻的功率为ww(t),6.某力在0,t则时间内作的功w例1 .
例2(1)（功1.）一圆柱形的注水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作x轴如图所示取深度x为积分变量，它的变化区间为[0，5]相应于[0，上任一小区间5][x,xdx]的一薄层水的高度为dx，因此如x的单位为m，2dxkN,这薄层水的重力为9.8把这层水吸出桶外需作的功近似为3dxx88dw25253462(kJ8dxw所求的功为882x82) 20．