高等流体力学-第二讲
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高等流体力学：02-第2讲-高等流体力学基础
z y x z
y x
而右边相乘的结果仍为一微分算子，可对其它函数作微分运算
F
Fx
x
Fy
y
Fz
z
F
(Fy
z
Fz
)i y
(Fz
x
Fx
) z
j
(Fx
y
Fy
)k x
(u) 0
1.2 雷诺输运定理
欧拉法需要对控制体进行分析，而拉格朗日法需要对系统或流体微粒进行分析。但质量 守恒、动量守恒和能量守恒等物理定律是直接应用于系统的。所以我们将物理定律从系统转
Sxy Syy S zy
Sxz Syz S zz
x 1( 2 1(
v x u
u ) y w )
2 z x
1 (v u ) 2 x y
v y 1 (w v ) 2 y z
1 2
( u z
wx )
1 2
(
w y
v z
)
.
w
z
(1-4-4)
由此可以把流场中任何邻近两点速度的变化关系用微团基本运动的组合来表达。
(1-3-1)
或写为
D
Dt
V (t)
dD
V (t)
t
(u)dV
0.
(1-3-2)
dV u nˆdA，
V (t) t
A(t )
(1-3-3)
为积分形式的欧拉型连续性方程。式中 u nˆ dA 为通过微团控制体表面积的物质通量。
A(t )
由于 V(t)是任取的，因此得，
(u) 0 ，
1.3.2 任意物理量的输运
若把 (Q) 看作某一物理量， Q 是单位质量流体的某种动力学物理量，有
第二讲 流体力学的基本知识
◆ 液压传动中的压力就是我们物理学中压强的概 念。是指当液体相对静止时，液体单位面积上所受 的法向力。 ◆ P=F/A ◆ 单位是帕。1MPa=_____Pa ◆ 2.压力是怎样产生的？ ◆ 我们可以这么认为，液体或气体受到挤压会膨胀产 生压力。
密闭容器内的流体的特点 密闭容器中液体各点的压力是相等的。 密闭液体可以用于管路中向各个方向传递动力。
2.如题图所示连通器，中间有一活动隔板T，已知活塞面 积A1=1×10－3 m2， A2=5×10－3 m2，F1=200N，G=2500N， 活塞自重不计，问： （1）当中间用隔板T隔断时，连通器两腔压力P1、P2各是 多少？ （2）当把中间隔板抽去,使连通器连通时，两腔压力P1、 P2各是多少?力F1能否举起重物G？ （3）当抽去中间隔板T后若要使两活塞保持平衡,F1应是 多少?
液压油
学习目标 1.理解掌握液压油的性质 2.掌握液压油的类型 3.能够选用正确的液压油 4.学会分析液压油的故障
液体是液压传动的工作介质。最常用的工作介 质是液压油。 ◆ 1.液压油的性质 ◆ 1）密度 M M-液体的质量； V V-液体的体积。 一般液压油的密度为：900kg/m3 ◆ 2）可压缩性 ◆ 指液体在外力作用下体积减小的特性； ◆ 一般认为油液是不可压缩的。
料脱落的颗粒和纤维剥落的油漆、碎渣等。
• • • •
2.油液污染的危害 污染物包括：金属材料75%、尘埃15%、其它10% 1）对油泵的危害：使油泵润滑部分磨损加剧。 2）对液压阀的危害：使阀心移动困难或卡住阀口 密封不严，使阀失去控制性能。 • 3）对油缸危害：加速密封的损坏，油缸内表面拉 伤，内外泄露增加。 • 4）对过滤器的危害：会使滤网阻塞，油泵吸油困 难，回油不畅。严重时击穿滤心。 • 5）油液变质降低油液原有的特性和使用期。
密闭容器内的流体的特点 密闭容器中液体各点的压力是相等的。 密闭液体可以用于管路中向各个方向传递动力。
2.如题图所示连通器，中间有一活动隔板T，已知活塞面 积A1=1×10－3 m2， A2=5×10－3 m2，F1=200N，G=2500N， 活塞自重不计，问： （1）当中间用隔板T隔断时，连通器两腔压力P1、P2各是 多少？ （2）当把中间隔板抽去,使连通器连通时，两腔压力P1、 P2各是多少?力F1能否举起重物G？ （3）当抽去中间隔板T后若要使两活塞保持平衡,F1应是 多少?
液压油
学习目标 1.理解掌握液压油的性质 2.掌握液压油的类型 3.能够选用正确的液压油 4.学会分析液压油的故障
液体是液压传动的工作介质。最常用的工作介 质是液压油。 ◆ 1.液压油的性质 ◆ 1）密度 M M-液体的质量； V V-液体的体积。 一般液压油的密度为：900kg/m3 ◆ 2）可压缩性 ◆ 指液体在外力作用下体积减小的特性； ◆ 一般认为油液是不可压缩的。
料脱落的颗粒和纤维剥落的油漆、碎渣等。
• • • •
2.油液污染的危害 污染物包括：金属材料75%、尘埃15%、其它10% 1）对油泵的危害：使油泵润滑部分磨损加剧。 2）对液压阀的危害：使阀心移动困难或卡住阀口 密封不严，使阀失去控制性能。 • 3）对油缸危害：加速密封的损坏，油缸内表面拉 伤，内外泄露增加。 • 4）对过滤器的危害：会使滤网阻塞，油泵吸油困 难，回油不畅。严重时击穿滤心。 • 5）油液变质降低油液原有的特性和使用期。
高等流体力学第2讲
I 对于时间的变化率称为系统导数
DI D Dt Dt
0
fd 0
如何将系统导数转换成适合于控制体的形式？
A01
A02 A01
A02
0 (t t)
在 t 时刻取系统体积0 ，
0 (t)
同时以它所占的空间作为控制体 。
02
03 A A0 (t) 01
02 01
由图中可知，时间间隔 t内， 经过此微元面积流出的流体体积，
必定近似充满在以d A0为基底
而其棱边为向量
vt
的柱形体积内，
此微元体积为
(v
n)tdA0
A02
方程（1）右端的第二个积分：
f (x,t t) d0
dA0 n
02
f (x,t t)(v n)tdA0
I 01
t
f t
t t
d 0
f (x,t t)(v n)tdA0 f (x,t)(v n)tdA0
A0 1
A0 2
由系统导数的定义 DI lim I Dt t0 t
A01
A02
0 (t t)
dx dy dz x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
涡面 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的曲面。
涡管 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的闭合曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的管状曲面。
在 t 时刻， = 0 ，相应的表面A = A0
0( t )内的各流体质点，经过时间 t 后，
高等流体力学-第2章
，可得
xx
yy
1 M
2
xx
yy
zz
M
2
2 2 2 u 1 u 1 v w 1 2 2 V 2 V 2 V 2 2 2 u 1 v 1 u w 1 2 2 V 2 V 2 V 2 2 2 u 1 w 1 u v 1 2 2 V 2 V 2 V
u V
2
u V
2
V r V , 2 V
2 2
2
2
1 M
29
2.4 小扰动理论的应用—绕波形壁的 二维流
波形壁： y F x h cos 2 x / l 当 h / l 1 ,满足小扰动条件 求流场归结为二阶偏微分方程边值问题
M
2
(C)
M
2
zz
18
2M
2
v V
u w 1 xy V 2 V V
yz
用量级比较法简化上式 第一步简化：
利用小扰动假设
,代入(1)
即
/ X Y / 2 Y g X
2
2
const
X g X 0 化为两个常微分方程 2 Y g Y 0
31
通解
X A sin gx B cos gx Y C exp gy D exp gy
连续：
x
j
V
j
0
(1)
流体力学 第二讲
5. ε— δ 恒等式 εi jk εimn = δ jm δkn − δ jn δkm 证法一： en × (e j × ek ) = εmpi enp · εi q e j ekq = εmpi δnp · εi q δ j δkq = εmni εi jk = (en · ek )e j − (en · e j )ek = δkn δ jm − δ jn δkm 证法二： em × en = εipq δmp δnq = εimn ek × (em × en ) = ε j i δk εimn = εi jk εimn 例：证明 div(a × b) = b · rota − a · rotb
a的模 a2 = a · a = ai ai = a2 i 3. 置换符号 εi jk 0 εi jk = 1 −1 a × b = εi jk a j bk , a11 det A = a21 a31 a12 a22 a32
i, j, k 中有两个以上指标相同 i, j, k 为偶排列，如 123，231，312 i, j, k 为奇排列，如 132，213，321
∂x ∂q 1 ∂x ∂q 2 ∂x ∂q 3
2
+
∂y ∂q 1 ∂y ∂q 2 ∂y ∂q 3
2
+
∂z ∂q 1 ∂z ∂q 2 ∂z ∂q 3
2
H2 =
2
+
2
+
2
H3 =
2
+
2
+
2
据此可求得柱坐标系、球坐标系的拉梅系数如下 orθz : orθλ : H1 = 1, H2 = r, H3 = 1 H1 = 1, H2 = r, H3 = r sin θ
高等流体力学课件 高等流体力学(2)
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
ijk ek
a j xi
kijek
a j xi
ijkei
ak x j
旋度
a
ei
xi
(a jej ) ei
ej
a j xi
ijkek
a j xi
ijkei
ak x j
e1 123
a3 x2
132
a2 x3
e2
231
a1 x3
213
25
二阶反对称张量A
反偶矢量
0 a12 a31 0 3 2
A
aij
a12
0
a23
3
0
1
a31 a23 0 2 1 0
式中：aij＝- ijk k
ijl aij＝-ijl ijk k 2 lk k 2k
k
1 2
ijl
aij
A b b
26
（2）笛卡尔张量
张量的微分运算
x2
s x1
0
梯度场是无旋场
8
（1）指标表示法和符号约定
(
a)
ei
xi
jlm
am xl
ej
ij ,lmn 求导时当作常数对待。
jlm ij
xi
am xl
mjl
x j
am xl
123
x2
a1 x3
132
x3
a1 x2
231
x3
心态决定选择，选择决定人生 让激情成为你成功的动力
独立思考—真正科学家的标志
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两种运算。
高等流体力学第2讲
第二讲 流体运动微分方程一、应力张量作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。
作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即0lim n A A∆→∆=∆Pp （2-1）式中 n 为表面积ΔA 的外法线方向；ΔP 为作用在表面积ΔA 上的表面力。
p n 除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。
因此，有(,,)n n M t =p p n需要特别指出，○1应力p n 表示的是作用在以n 为外法线方向的作用面上应力，其下标n 并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；○2一般来说，应力p n 的方向并不与作用面的外法线n 一致，p n 除了有n 方向的分量p nn 外，还有τ方向的分量p n τ。
只有当p n τ=0时p n 才与n 的方向一致；○3图中ΔA 右侧的流体通过ΔA 作用在左侧流体上的力为ΔP =p n ΔA ，而ΔA 左侧的流体通过ΔA 作用在右侧流体上的力为ΔP =p －n ΔA ，这两个力互为作用力和反作用力，所以有n n A A -∆=-∆p p可得p n =-p -n （2-2）n －或简写为x y z n n n =++n i j k （2-3）设ΔABC 的面积为ΔS ，于是ΔMBC 、ΔMCA 、ΔMAB 的面积可分别以ΔS x 、ΔS y 、ΔS z表示为x x y y zz S Sn S Sn S Sn∆=∆⎧⎪∆=∆⎨⎪∆=∆⎩ （2-4）四面体的体积可表示为13V Sh ∆=∆式中h 为M 点到ΔABC 的距离。
根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为0x x y y z z n S S S S V ---∆+∆+∆+∆+∆=p p p p f当四面体趋近于M 点时，h 为一阶小量，ΔS 为二阶小量，ΔV 为三阶小量，略去高阶小量后可得0x x y y z z n S S S S ---∆+∆+∆+∆=p p p p再考虑式（2-2）和（2-4）可得n x x y y z z n n n =++p p p p （2-5）上式在直角坐标系中的投影可表示为nx x xx y yx z zx p n p n p n p =++ny x xy y yy z zy p n p n p n p =++ （2-6） nz x xz y yz z zz p n p n p n p =++上式也可以用矩阵形式表示为xxxy xz nxnynz xyz yxyy yz zx zyzz p p p p p p =n n n p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2-7） 也可以表示为n =⋅p n P式中 P =xxxy xz yxyy yz zx zyzz p p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2-8）称为应力张量。
高等流体力学-第二讲
14
第二章 流体运动基本方程
当流体不可压时， 当流体不可压时，有：
∂ 1 ∂v i ∂v j 1 ∂ ∂v j r r ∇⋅s = = [ ( + )] = ( ) = (∇ ⋅ ∇)v = ∆v ∂x i ∂x i 2 ∂x j ∂x i 2 ∂x i ∂x i
∂s ij
N—S方程为 方程为
1 ∂p µ ∂ ∂v j 张量表示： 张量表示： = fj − + + vi ( ) ∂xi ∂t ρ ∂x j ρ ∂xi ∂xi
2
第二章 流体运动基本方程
2、雷诺输运定理（Reynolds’ Transport Theorem） 、雷诺输运定理（ ）
考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体 上体积分随时间的变化率间的关系。 上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 ） 对一物理量Φ x,y,z,t ,z,t）， 对一物理量Φ（x,y,z,t）， 质量体体积为： 质量体体积为：VM； 时刻，对应控制的体积为： t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面： 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S 质量体内总量： 质量体内总量：
r r d r ma = (mv ) = ΣF dt
r ρv dτ
r ∫∫∫ ρv dτ
VM
动量平衡的表示： 动量平衡的表示：
r D r r ∫∫∫ ρ v d τ = ∫∫∫ ρ f d τ + ∫∫ p n ds V S Dt V
M M
8
第二章 流体运动基本方程
（3）动量矩平衡的概念 ） 动量矩对时间的导数： 动量矩对时间的导数： d
2）微分形式 ） 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。
高等流体力学 第二章 流体力学的基本概念
流体的体积m3vmv对于各点密度不同的非均质流体在流体的空间中某点取包含该点的微小体积则该点的密度为lim0该体积内流体的质量122流体的相对密度流体的相对密度是指某种流体的密度与4时水的密度的比值用符号d来表示的比值用符号d来表示
第二章 流体力学的基本概念
连续介质假设 流动性 压缩性 粘性
1
第一节 流体的特征和连续介质假设
表1-4
压强 p （10 Pa）
5
0℃水在不同压强下的 值
4.9 0.539 9.8 0.537 19.6 0.531 39.2 0.523 78.4 0.515
（×10 -9 m2 /N）
17
气体的压缩性要比液体的压缩性大得多，这是由于气 体的密度随着温度和压强的改变将发生显著的变化。对于 完全气体，其密度与温度和压强的关系可用热力学中的状 态方程表示，即 p RT （1-6）
气体的压缩性都很大。从热力学中可知，当温度不变 时，完全气体的体积与压强成反比，压强增加一倍，体积 减小为原来的一半；当压强不变时，温度升高1℃体积就 比0℃时的体积膨胀1/273。所以，通常把气体看成是可压 缩流体，即它的密度不能作为常数，而是随压强和温度的 变化而变化的。我们把密度随温度和压强变化的流体称为 可压缩流体。 把液体看作是不可压缩流体，气体看作是可压缩流体， 都不是绝对的。在实际工程中，要不要考虑流体的压缩性， 要视具体情况而定。例如，研究管道中水击和水下爆炸时， 水的压强变化较大，而且变化过程非常迅速，这
动 力 黏 度 104 （ P a·s） 10.1 10.6 — 11.6 6.5 9.7 — 14900 2.9 19.2 72 — 0.21 2.8 15.6
11
表1-2
在标准大气压和20℃常用气体性质
第二章 流体力学的基本概念
连续介质假设 流动性 压缩性 粘性
1
第一节 流体的特征和连续介质假设
表1-4
压强 p （10 Pa）
5
0℃水在不同压强下的 值
4.9 0.539 9.8 0.537 19.6 0.531 39.2 0.523 78.4 0.515
（×10 -9 m2 /N）
17
气体的压缩性要比液体的压缩性大得多，这是由于气 体的密度随着温度和压强的改变将发生显著的变化。对于 完全气体，其密度与温度和压强的关系可用热力学中的状 态方程表示，即 p RT （1-6）
气体的压缩性都很大。从热力学中可知，当温度不变 时，完全气体的体积与压强成反比，压强增加一倍，体积 减小为原来的一半；当压强不变时，温度升高1℃体积就 比0℃时的体积膨胀1/273。所以，通常把气体看成是可压 缩流体，即它的密度不能作为常数，而是随压强和温度的 变化而变化的。我们把密度随温度和压强变化的流体称为 可压缩流体。 把液体看作是不可压缩流体，气体看作是可压缩流体， 都不是绝对的。在实际工程中，要不要考虑流体的压缩性， 要视具体情况而定。例如，研究管道中水击和水下爆炸时， 水的压强变化较大，而且变化过程非常迅速，这
动 力 黏 度 104 （ P a·s） 10.1 10.6 — 11.6 6.5 9.7 — 14900 2.9 19.2 72 — 0.21 2.8 15.6
11
表1-2
在标准大气压和20℃常用气体性质
第二讲 流体力学 血液流变学
vB
1 1 2 2 p p v v B A 2 A 2 B g hB hA
5.24 104 Pa
2.3.2 伯努利方程的应用
1. 水平管中压强与流速的关系
结论：v 大的地方 P 小；v 小的地方 P 大
由连续性方程可知，流速与截面积成反比。所以， 理想流体在不均匀水平管中作定常流动时，管子截 面积大处压强大，截面积小处压强小.于是在管子细 处所造成的低压可使外界液体或气体被吸入，这个 现象称为空吸作用（suction effect）.
例题 设有流量为0.12m3/s的水流过如图所示的管子. A 点的 压强为 2×105Pa, A点的截面积为 100cm2, B 点的截面积为 60cm2. 假设水的黏性可以忽略不计, 求A、B两点的流速和 B点的压强.
Q 0.12 vA 2 12 m s 1 S A 10
Q 0.12 1 vB 20 m s S B 60104
（2）欧拉法（Eulerian method）：关注流体中某 点，又称流场法。
在流体运动的实际研究中 , 对流体每个质点的来龙去脉 并不关心, 所以常常采用欧拉法来描述流体的运动.
2.1.2 速度场 定常流动
一般情况下, 流体流动时空间各 点的流速随位置和时间的不同而 不同, 即
v v( x, y, z, t )
两边除ΔV ,
1 2 1 2 p1 v1 gh1 p2 v2 gh2 2 2
理想流体的伯努利方程
1 2 p v gh 常量 2
例题2-1 均匀地将水注入一 容器中，如图2-6所示.注入的
流量为150cm · s ，容器的底
部有个面积为0.50cm 的小 孔，使水不断流出.求达到稳
1 1 2 2 p p v v B A 2 A 2 B g hB hA
5.24 104 Pa
2.3.2 伯努利方程的应用
1. 水平管中压强与流速的关系
结论：v 大的地方 P 小；v 小的地方 P 大
由连续性方程可知，流速与截面积成反比。所以， 理想流体在不均匀水平管中作定常流动时，管子截 面积大处压强大，截面积小处压强小.于是在管子细 处所造成的低压可使外界液体或气体被吸入，这个 现象称为空吸作用（suction effect）.
例题 设有流量为0.12m3/s的水流过如图所示的管子. A 点的 压强为 2×105Pa, A点的截面积为 100cm2, B 点的截面积为 60cm2. 假设水的黏性可以忽略不计, 求A、B两点的流速和 B点的压强.
Q 0.12 vA 2 12 m s 1 S A 10
Q 0.12 1 vB 20 m s S B 60104
（2）欧拉法（Eulerian method）：关注流体中某 点，又称流场法。
在流体运动的实际研究中 , 对流体每个质点的来龙去脉 并不关心, 所以常常采用欧拉法来描述流体的运动.
2.1.2 速度场 定常流动
一般情况下, 流体流动时空间各 点的流速随位置和时间的不同而 不同, 即
v v( x, y, z, t )
两边除ΔV ,
1 2 1 2 p1 v1 gh1 p2 v2 gh2 2 2
理想流体的伯努利方程
1 2 p v gh 常量 2
例题2-1 均匀地将水注入一 容器中，如图2-6所示.注入的
流量为150cm · s ，容器的底
部有个面积为0.50cm 的小 孔，使水不断流出.求达到稳
高等流体力学笔记第2讲
高等流体力学笔记第2讲第二章流体运动学§2.1描述流体运动的两种方法一、拉格朗日法（Lagrangemethord）从流体质点为研究对象研究流体运动的一种方法。
也叫质点系法。
在拉格朗日法中，流体质点的运动轨迹的方程可表示为：某某(a,b,c,t)yy(a,b,c,t)（2—1）zz(a,b,c,t)式中某,y,z为流体质点的轨迹座标值。
a,b,c称为拉格朗日变量，是流体质点的标识符，不同的流体质点a,b,c的值不同t为时间变量。
式（2—1），当a,b,c为一组常数时t为变数时，表示某个确定的流体质点随时间t运动的运动轨迹座标值轨迹线。
当t为固定值，a,b,c为一组变数时，表示该组质点在某一固定时刻所处的位置（即空间位置的座标值）。
流体质点的轨迹也可用向径表示：r某iyjzkr(a,b,c,t)对于某个确定的流体质点，其速度向量V可用向径随时间的变化率表示：VdFdt对于不同质点的流体质点，a,b,c为变数所以速度向量应表示为r对时间的偏导数形式：VrV(a,b,c,t)t在直角正交坐标系中速度向量的表达为：Vuivjwk其中u某yz，v，wttt质点的加速度：V2F2a(a,b,c,t)attaa某iayjazku2某v2yw2za某,ay,aztt2tt2tt2同样，其它流体质点的物理量也均可表示成为拉格朗日变数的函数：密度：(a,b,c,t)压力：pp(a,b,c,t)温度：TT(a,b,c,t)一般情况下所有的流体质点的物理量均可表示成：BB(a,b,c,t)B可以是标量，如,p,T,也可以是矢量如r,V,a可统一称为流体质点的物理量。
二、欧拉法（Eulermethord）从流动空间点为研究对象研究流体运动的一种方法，如叫作流场法。
在欧拉法中，流体物理量均为空间位置和时间的函数不再关注流体某一空间位置是何流体质点，因此流体的各种物理量均可表示为：流速（场）VV(某,y,z,t)密度（场）(某,y,z,t)压强（场）pp(某,y,z,t)温度（场）TT(某,y,z,t)在这里的表达式中(某,y,z)是流动空间位置的座标值。
计算流体力学(中科院力学所)_第2讲-双曲型方程组
令：
R=u+
∫ ρ dρ
c
同理，沿特征线 ： 同理，沿特征线2： 对于等熵完全气体
dx / dt = u c
2c R=u+ γ 1 2c S = u + γ 1
du c dρ + =0 沿特征线1： 沿特征线 ： dα ρ dα u 1 c S = + dρ 2 2 ρ 保持不变 dR / dα =
A sin x 0 ≤ x ≤ 2π u ( x,0) = 0 others ρ ( x,0) = 1; p( x,0) = 1
考虑一维无粘流动（ 方程）， 考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时 方程），初始时 刻（t=0）流动状态如下： ）流动状态如下：
xa ≤ x ≤ xb u ′( x), ρ ′( x) u, ρ = 0, ρ 0 (= const ) others
（3） ） C （2） ） （1） ）
x B
A
给定x3,t3 利用 （假设t3充分小） 给定
x3 x1 = (u1 + c1 )(t3 t1 ) x3 x2 = (u 2 c2 )(t3 t 2 )
区域（ ），（ ），（4） 区域（2），（ ） 未扰动 区域（ ） 区域（1）内的流动使用基本 方法计算
双曲型
Copyright by Li Xinliang
2
1) 一阶常系数偏微方程组
U U +A =0 x t U = (u1 , u 2 ,......u m )T
如果矩阵A 可以被对角化： 如果矩阵 可以被对角化： A = S 1 ΛS
U U + S 1 ΛS =0 t x S U U + ΛS =0 t x
高等流体力学第二部分讲义
p y
dxdydz
z方向，微元流体所受合压力
C
D.Βιβλιοθήκη NBp zdxdydz
微元流体所受合压力
A ZY
∂p ∂p ∂p
X
- ( ∂xi + ∂yj+ ∂zk)dxdydz
G
H
.M
.
OF
E
第二章 流体静力学
2、微元体所受的质量力：
F=F i +F j+F k=(Xi +Yj+Zk)ρdxdydz
绝对真空
则：绝对压强=相对压强＋大气压强 p´=p+pa
第二章 流体静力学
绝对压强总是≥0，但相对压强不一定。若某流体
点处在B点，从图可知，B点相对压强为负。
pv=pa- p´
p
2、压强的度量单位
（1） 以压强的基本定义出
A.
. A点相对压强 大气压强pa
B
真空度
发即单位面积上的压力，单位 A点绝对压强 B点绝对压强 绝对真空
hD hC h
o α
a y
左侧受水压力，水面大 气压强为pa，在平板表面所在 y b 的平面上建立坐标，原点o取在平板
. .dA C
.
yC yD
x
D
表面与液面的交线上，ox轴与交线重合，oy轴沿平
板向下。
第二章 流体静力学
则微元面dA所受压强p=γh
压力dP=pdA=γhdA=γysinαdA
整个平面由无数dA组成， 则整个平板所受水静压力 由dP求和得到。
第二章 流体静力学
第五节 压强的计算基准和度量单位
1、 计算基准
（1) 绝对压强：
以无一点气体存在的绝对真空为零点起算的压
高等计算流体力学讲义(2)
t1 ⎡ dx + ∫ ⎢ F U ( x ( t ) − ε , t ) dt − U ( x ( t ) − ε , t ) t2 dt ⎢ ⎣
(
)
x = x ( t ) −ε
令 ε → 0 ，则上式可简化为：
∫
t2
t1
⎡ dx ⎢ F (U (x(t ) + 0, t )) − U ( x(t ) + 0, t ) dt ⎢ ⎣ U + = U ( x(t ) + 0, t )
高等计算流体力学讲义（2）
第二章 可压缩流动的数值方法
§1. Euler 方程的基本理论 0 概述
在计算流体力学中，传统上，针对可压缩 Navier－Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分 别构造数值方法。 其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法； 而粘性项的离散相对简单， 一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的 Euler 方程的解法。在推广到 Navier－ Stokes 方程时，只需在 Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler 方程是一种典型 的非线性守恒系统。 下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及 Euler 方程的一些数学理论， 作为研究数值方法的基础。
R
间变化，但其总量保持守恒。 多维守恒律可以写为
G G G ∂U + ∇ • ( Fi + Gj + Hk ) = 0 ∂t
守恒律的空间导数项可以写为散度形式。 守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式
（2）
1
∂U ∂U + A(U ) =0 ∂t ∂x A 是 m × m 矩阵，称为系数矩阵或 Jacobi 矩阵，其具体形式为
⎧ −1 x ≤ 0 u0 ( x ) = ⎨ x>0 ⎩1
高等流体力学2
在运动流体中流体质点的位置随时间变化，因而 流体线和流体面的空间位置及形状也随时间变化。 由于流体是连续介质，所以流体线和流体面在运 动和变形过程中不会发生断裂，始终为连续曲线 和连续曲面。
2.3 质点的加速度公式和质点导数
1．质点加速度
质点加速度 质点速度矢量 V 对时间的变化率。
V1 ( x1 x1 , x2 x2 , x3 x3 , t t )
V0 ( x1 , x2 , x3 , t )
V1 V0 V a lim lim t 0 t 0 t t
质点加速度
V V1 x1 x1 , x2 x2 , x3 x3 , t t V0 x1 , x2 , x3 , t V V V V t x1 x2 x3 t x1 x2 x3
设 ds =dx1e1+dx2e2+dx3e3 为流线上 A 点的一微元弧长， V = V1e1+V2e2+V3e3 为流体质点在 A 点的流速。 速度矢量 V 与微元矢量 ds 相平行，所以
dx3 dx1 dx2 流线方程 V1 x1 , x2 , x3 , t V2 x1 , x2 , x3 , t V3 x1 , x2 , x3 , t
流线一般不相交（驻点、奇点除外）。
cx1 cx2 , V2 2 例 已知流场速度为 V1 2 , V3 0 , 2 2 x1 x2 x1 x2 其中 c 是常数，求流线方程。 x
解由 得
dx dx1 dx2 3 V1 V2 V3
2
dx1 dx2 x1 x2 dx3 0
x1 x1 A, t 质点的空间位置 x2 x2 A, t x3 x3 A, t
2.3 质点的加速度公式和质点导数
1．质点加速度
质点加速度 质点速度矢量 V 对时间的变化率。
V1 ( x1 x1 , x2 x2 , x3 x3 , t t )
V0 ( x1 , x2 , x3 , t )
V1 V0 V a lim lim t 0 t 0 t t
质点加速度
V V1 x1 x1 , x2 x2 , x3 x3 , t t V0 x1 , x2 , x3 , t V V V V t x1 x2 x3 t x1 x2 x3
设 ds =dx1e1+dx2e2+dx3e3 为流线上 A 点的一微元弧长， V = V1e1+V2e2+V3e3 为流体质点在 A 点的流速。 速度矢量 V 与微元矢量 ds 相平行，所以
dx3 dx1 dx2 流线方程 V1 x1 , x2 , x3 , t V2 x1 , x2 , x3 , t V3 x1 , x2 , x3 , t
流线一般不相交（驻点、奇点除外）。
cx1 cx2 , V2 2 例 已知流场速度为 V1 2 , V3 0 , 2 2 x1 x2 x1 x2 其中 c 是常数，求流线方程。 x
解由 得
dx dx1 dx2 3 V1 V2 V3
2
dx1 dx2 x1 x2 dx3 0
x1 x1 A, t 质点的空间位置 x2 x2 A, t x3 x3 A, t
高等流体力学第2章
2013-8-12
系统与控制体 雷诺输运定理 基本方程组的一般论述 微分形式的连续性方程 微分形式的运动方程 微分形式的能量方程 积分形式的流体力学方程组 状态方程 初始条件及边界条件 流体力学的理论模型
第二章 流体运动的基本方程组
3
高等流体力学
第一节 系统与控制体
一、系 统
第一节 系统与控制体
一、系统——对应于拉格朗日描述
• 系统边界的形状和所包围空间的大小， 可以随运动而发生变化； • 系统与外界之间可以有力的作用及能量 的交换，但无质量的交换。
2013-8-12
高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
5
第一节 系统与控制体
一、系 统
说明：
• 由于力学中的一些基本定律是建立在质点 和质点系上的，因此，当以系统作为研究 对象时，流体力学的力学定律就可以直接 用原始的数学形式进行表达。
2013-8-12
变换
d 0 dx0dy0dz0 D0dadbdc
d dxdydz Ddadbdc
高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
24
第四节 微分形式的连续性方程
二、拉格朗日型的连续性方程
d 0 dx0dy0dz0 D0dadbdc
d dxdydz Ddadbdc
系统：
系统指某一确定的流体质点的集合。拉格 朗日描述中，以系统作为研究对象。 • 系统以外的环境称为外界；
• 系统与外界的界面称为系统的边界。
2013-8-12
高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
4
第一节 系统与控制体
一、系 统
系统的特点：
• 系统将随系统内的质点一起运动，系统 内的质点始终包含在系统内；
系统与控制体 雷诺输运定理 基本方程组的一般论述 微分形式的连续性方程 微分形式的运动方程 微分形式的能量方程 积分形式的流体力学方程组 状态方程 初始条件及边界条件 流体力学的理论模型
第二章 流体运动的基本方程组
3
高等流体力学
第一节 系统与控制体
一、系 统
第一节 系统与控制体
一、系统——对应于拉格朗日描述
• 系统边界的形状和所包围空间的大小， 可以随运动而发生变化； • 系统与外界之间可以有力的作用及能量 的交换，但无质量的交换。
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
5
第一节 系统与控制体
一、系 统
说明：
• 由于力学中的一些基本定律是建立在质点 和质点系上的，因此，当以系统作为研究 对象时，流体力学的力学定律就可以直接 用原始的数学形式进行表达。
2013-8-12
变换
d 0 dx0dy0dz0 D0dadbdc
d dxdydz Ddadbdc
高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
24
第四节 微分形式的连续性方程
二、拉格朗日型的连续性方程
d 0 dx0dy0dz0 D0dadbdc
d dxdydz Ddadbdc
系统：
系统指某一确定的流体质点的集合。拉格 朗日描述中，以系统作为研究对象。 • 系统以外的环境称为外界；
• 系统与外界的界面称为系统的边界。
2013-8-12
高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
4
第一节 系统与控制体
一、系 统
系统的特点：
• 系统将随系统内的质点一起运动，系统 内的质点始终包含在系统内；
第02讲绪论-作用在流体上的力
⎧ f x ρΔV ⎪ ⎨ f y ρΔV ⎪ ⎩ f z ρΔV
再考虑表面力，设与坐标面平行的三个 表面上的平均压力分别为pxx、 pyy、 pzz，倾 斜面上的平均压力为，则各微元面积上的压 力为：
⎧ p xx△ACD ⎪ p △ABD ⎪ yy ⎨ ⎪ p zz △ABC ⎪ p△BCD ⎩
1气液两相街面上的表面张力气液两相街面上的表面张力液体中的气泡空气中的水滴在没有外力场作用下总是呈圆球形这表明在热平衡时液滴表面好像有一张紧的薄膜包裹着如果将界面分割成两部分则分割线上必有某种张力使界面处于平衡这种张力称为表面张力surfacetension
第二讲 绪 论（2）
(Introduction)
x 对于理想流体，不存在剪切应力，界面上允许流体有切向滑移，但流 y b
体不能穿透界面，即流－固界面上，速度在法线方向上的投影相等：
v ⋅ n = vb ⋅ n
v n = vbn
该式称为理想流体在界面上的不可穿透条 件(Impenetrable Condition )。
u x
3 作用在流体上的力
作用在流体上的力，按物理成因可分为惯性力、重力、粘性力、压力 和电磁力等。 按力的作用方式可分为质量力、表面力和表面张力等。
⎧ du ⎪− dt ρΔV ⎪ ⎪ dv ⎨− ρΔV ⎪ dt ⎪ dw ⎪− dt ρΔV ⎩
最后考虑惯性力，设微元四面体的运动速度在坐标轴上的分量为 u 、 v 、 w，则惯性力的分量为：
微元四面体所受各种外力应该平衡，各坐标轴方向的合力应该为 零：
du ⎧ f x ρΔV + p xx△ACD − p△BCD cos(n, x) − ρΔV = 0 ⎪ dt ⎪ dv ⎪ f y ρΔV + p yy△ACD − p△BCD cos(n, y ) − ρΔV = 0 ⎨ dt ⎪ dw ⎪ ⎪ f z ρΔV + p zz △ACD − p△BCD cos(n, z ) − dt ρΔV = 0 ⎩
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12
第二章 流体运动基本方程
2、动量平衡——流体运动方程
1）积分形式
v d n ( v v )ds fd pn ds S V S t V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2）微分形式
守恒形式 v ( v v ) f P 矢量表示： t
2
外界对质量体所做的功率
单位时间内输入质量体的热量
Q qd kT nds
VM S
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10
第二章 流体运动基本方程
二、基本方程的推导
用控制体描述的基本定律——欧拉描述法的表现形式。 1、质量守恒——连续性方程
1）积分形式
s ij
N—S方程为
1 p v j 张量表示： vi fj ( ) t x i x j x i x i
矢量表示：
v j
v j
v 1 (v )v f p v t
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P ij ji
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16
第二章 流体运动基本方程
4、能量守恒
1）积分形式： e s d n (ve s )ds v f b d v pnds t V S V S qd kT nds
Φ 表示的损失包括： 非对称膨胀或压缩 + 流体形状改变两部分
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高等流体(水）力学讲稿
18
第二章 流体运动基本方程
三、N—S方程的求解途径
1、流体力学方程组的封闭性 ( v ) 0 连续方程： t
Dv v [ (v )v ] f P 运动方程： Dt t
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9
第二章 流体运动基本方程
（4）能量守恒的概念 热力学第二定律： dE s dW Q
dt
dt
微体积流体的能量： e d (e 1 v 2 gz )d s 质量体的总能量：
1 2 (e v gz )d VM 2
DW f v d v pn ds S Dt V M
M dm d const
VM VM
质量守恒的表示：
DM D d 0 Dt Dt V M
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7
第二章 流体运动基本方程
（2）动量平衡的概念 牛顿第二定律：
微体积的动量： 质量体的总动量：
d m a ( m v ) F dt
（2）对矢量函数
n ads ad
S V
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6
第二章 流体运动基本方程
4、基本定律的概念 基本定律的质量体形式表示——拉格朗日描述法的表现形式
（1）质量守恒定律的概念 微体积的质量： dm d 质量体的总质量：
当Φ 为矢量时，须注意通量项的表示（面的法线方 向与速度矢量的点积）： v jΦi d n (vΦ)ds n j (v jΦi )ds S S Vc x j
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5
第二章 流体运动基本方程
3、体积分与面积分的转换关系——广义高斯公式
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13
第二章 流体运动基本方程
3）N—S方程（Navier—Stokes Equations） 引进牛顿流体本构方程，运动方程称为N—S方程。
P ij p ij 2 sij ( v ) ij
ij x i
V S
2）微分形式
De DT cV q (kT ) P : v Dt Dt
其中对牛顿流体
2 P : v p v ( v ) 2 ( s : s) p v
Ф ——耗散函数，为不可逆过程。
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第二讲 流体运动基本方程
一、基本方程推导的基础知识 二、基本方程的推导 三、N—S方程的求解途径 四、经典问题的解析解 五、小雷诺数下N—S方程的近似解
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1
第二讲 流体运动基本方程
一、基本方程推导的基础知识
1、质量体与控制体的概念 （1）定义 1）质量体：选定的具有确定不变的流体质点所组成的流体 团——对应于拉氏描述。 2）控制体：依据研究问题而选定的，相对于所选定的坐标 系固定不动的有限空间——相应于欧拉描述。 （2）特点与区别 几个方面比较：1）相对于所选定的坐标系是否有运动？ 2）体内流体体积是否变化？ 3）自身形状是否变化？ 4）通过界面是否有质量交换？ 5）通过界面是否有动量交换？ 6）通过界面是否有能量交换？
μ 、λ 为常数，在直角坐标下有
P
v [ p ij 2 s ij l ij ] x i x l
s ij p v l 2 ( ) x j x i x j x l
P p 2 s ( v ) 矢量表示：
对控制体的导数
I (t t ) I (t ) I (t ) (r , t )d lim t 0 t t V t 1 lim (r , t t )d (r , t )d t 0 V t V
ui 张量表示： x 0 ；i =1，2，3 i
11
高等流体(水）力学讲稿
第二章 流体运动基本方程
5）应用举例 确定沿变深度矩形截面河道的水面波动运动，其在一维假设下的连 续方程表达形式。 解：1、描述参数
设河道宽：B，河道静止水深：h(x); 波面高度：ξ (x,t)，一维断面均匀流速u(x,t)；
17
第二章 流体运动基本方程
3）耗散函数Ф 在直角坐标中的表示 取：λ =-2μ /3 2 u v 2 v w 2 w u 2 [( ) ( ) ( ) ] 3 x y y z z x
u v 2 v w 2 w u 2 [( ) ( ) ( ) ] y x z y x z
(m r v ) r F
r vd
质量体的总动量矩：
r vd
VM
动量矩平衡的表示：
D r v d r fd r pn ds VM S Dt V M
北京工业大学市政学科部——马长明
北京工业大学市政学科部——马长明
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2
第二章 流体运动基本方程
2、雷诺输运定理（Reynolds’ Transport Theorem）
考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体 上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 对一物理量Φ （x,y,z,t）， 质量体体积为：VM； t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S 质量体内总量：
张量表示：
v j t Pij ( v i v j ) f j x i x i
非守恒形式 Dv v [ (v )v ] f P 矢量表示： Dt Dv j
t v j v j Pij 张量表示： ( vi ) f j Dt t x i x i
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15
第二章 流体运动基本方程
3、动量矩平衡
1）积分形式：
r v d n [v (r v )]ds r fd r pn ds S V S t V
2）微分形式 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。
~ I (t ) (r , t )d
VM
控制体内总量：
I (t ) (r , t )d
VC
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高等流体(水）力学讲稿
3
第二章 流体运动基本方程
对质量体的导数
~ ~ D ~ D I (t t ) I ( t ) I (t ) ( r , t )d lim t 0 Dt Dt V M ,t t 1 lim0 (r , t t )d (r , t )d t V M ,t t V M ,t t
（1）标量函数
S
n ads ad
(v ) nds (v )d
S V
V
a j (n )ads ( )ad x d S V V x i i
能量方程：
De DT cV q (kT ) P : v Dt Dt
当设k、cV、μ 及λ 为常数下，有未知量12个： {ρ 、u、v、w、T、p及六个σ ij} 需补充7个方程，即： 状态方程： ( p, T ) 本构方程： P p 2 s ( v )
C C C
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4
第二章 流体运动基本方程
（2）推证结果
D d d (v ) nds S Dt V M t VC
当控制体的体积Vc不变时，有：
D d (v ) nds d VC t S Dt V M
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