高等流体力学-第二讲
合集下载
高等流体力学：02-第2讲-高等流体力学基础
z y x z
y x
而右边相乘的结果仍为一微分算子，可对其它函数作微分运算
F
Fx
x
Fy
y
Fz
z
F
(Fy
z
Fz
)i y
(Fz
x
Fx
) z
j
(Fx
y
Fy
)k x
(u) 0
1.2 雷诺输运定理
欧拉法需要对控制体进行分析，而拉格朗日法需要对系统或流体微粒进行分析。但质量 守恒、动量守恒和能量守恒等物理定律是直接应用于系统的。所以我们将物理定律从系统转
Sxy Syy S zy
Sxz Syz S zz
x 1( 2 1(
v x u
u ) y w )
2 z x
1 (v u ) 2 x y
v y 1 (w v ) 2 y z
1 2
( u z
wx )
1 2
(
w y
v z
)
.
w
z
(1-4-4)
由此可以把流场中任何邻近两点速度的变化关系用微团基本运动的组合来表达。
(1-3-1)
或写为
D
Dt
V (t)
dD
V (t)
t
(u)dV
0.
(1-3-2)
dV u nˆdA，
V (t) t
A(t )
(1-3-3)
为积分形式的欧拉型连续性方程。式中 u nˆ dA 为通过微团控制体表面积的物质通量。
A(t )
由于 V(t)是任取的，因此得，
(u) 0 ，
1.3.2 任意物理量的输运
若把 (Q) 看作某一物理量， Q 是单位质量流体的某种动力学物理量，有
第二讲 流体力学的基本知识
◆ 液压传动中的压力就是我们物理学中压强的概 念。是指当液体相对静止时，液体单位面积上所受 的法向力。 ◆ P=F/A ◆ 单位是帕。1MPa=_____Pa ◆ 2.压力是怎样产生的？ ◆ 我们可以这么认为，液体或气体受到挤压会膨胀产 生压力。
密闭容器内的流体的特点 密闭容器中液体各点的压力是相等的。 密闭液体可以用于管路中向各个方向传递动力。
2.如题图所示连通器，中间有一活动隔板T，已知活塞面 积A1=1×10－3 m2， A2=5×10－3 m2，F1=200N，G=2500N， 活塞自重不计，问： （1）当中间用隔板T隔断时，连通器两腔压力P1、P2各是 多少？ （2）当把中间隔板抽去,使连通器连通时，两腔压力P1、 P2各是多少?力F1能否举起重物G？ （3）当抽去中间隔板T后若要使两活塞保持平衡,F1应是 多少?
液压油
学习目标 1.理解掌握液压油的性质 2.掌握液压油的类型 3.能够选用正确的液压油 4.学会分析液压油的故障
液体是液压传动的工作介质。最常用的工作介 质是液压油。 ◆ 1.液压油的性质 ◆ 1）密度 M M-液体的质量； V V-液体的体积。 一般液压油的密度为：900kg/m3 ◆ 2）可压缩性 ◆ 指液体在外力作用下体积减小的特性； ◆ 一般认为油液是不可压缩的。
料脱落的颗粒和纤维剥落的油漆、碎渣等。
• • • •
2.油液污染的危害 污染物包括：金属材料75%、尘埃15%、其它10% 1）对油泵的危害：使油泵润滑部分磨损加剧。 2）对液压阀的危害：使阀心移动困难或卡住阀口 密封不严，使阀失去控制性能。 • 3）对油缸危害：加速密封的损坏，油缸内表面拉 伤，内外泄露增加。 • 4）对过滤器的危害：会使滤网阻塞，油泵吸油困 难，回油不畅。严重时击穿滤心。 • 5）油液变质降低油液原有的特性和使用期。
密闭容器内的流体的特点 密闭容器中液体各点的压力是相等的。 密闭液体可以用于管路中向各个方向传递动力。
2.如题图所示连通器，中间有一活动隔板T，已知活塞面 积A1=1×10－3 m2， A2=5×10－3 m2，F1=200N，G=2500N， 活塞自重不计，问： （1）当中间用隔板T隔断时，连通器两腔压力P1、P2各是 多少？ （2）当把中间隔板抽去,使连通器连通时，两腔压力P1、 P2各是多少?力F1能否举起重物G？ （3）当抽去中间隔板T后若要使两活塞保持平衡,F1应是 多少?
液压油
学习目标 1.理解掌握液压油的性质 2.掌握液压油的类型 3.能够选用正确的液压油 4.学会分析液压油的故障
液体是液压传动的工作介质。最常用的工作介 质是液压油。 ◆ 1.液压油的性质 ◆ 1）密度 M M-液体的质量； V V-液体的体积。 一般液压油的密度为：900kg/m3 ◆ 2）可压缩性 ◆ 指液体在外力作用下体积减小的特性； ◆ 一般认为油液是不可压缩的。
料脱落的颗粒和纤维剥落的油漆、碎渣等。
• • • •
2.油液污染的危害 污染物包括：金属材料75%、尘埃15%、其它10% 1）对油泵的危害：使油泵润滑部分磨损加剧。 2）对液压阀的危害：使阀心移动困难或卡住阀口 密封不严，使阀失去控制性能。 • 3）对油缸危害：加速密封的损坏，油缸内表面拉 伤，内外泄露增加。 • 4）对过滤器的危害：会使滤网阻塞，油泵吸油困 难，回油不畅。严重时击穿滤心。 • 5）油液变质降低油液原有的特性和使用期。
高等流体力学第2讲
I 对于时间的变化率称为系统导数
DI D Dt Dt
0
fd 0
如何将系统导数转换成适合于控制体的形式？
A01
A02 A01
A02
0 (t t)
在 t 时刻取系统体积0 ，
0 (t)
同时以它所占的空间作为控制体 。
02
03 A A0 (t) 01
02 01
由图中可知，时间间隔 t内， 经过此微元面积流出的流体体积，
必定近似充满在以d A0为基底
而其棱边为向量
vt
的柱形体积内，
此微元体积为
(v
n)tdA0
A02
方程（1）右端的第二个积分：
f (x,t t) d0
dA0 n
02
f (x,t t)(v n)tdA0
I 01
t
f t
t t
d 0
f (x,t t)(v n)tdA0 f (x,t)(v n)tdA0
A0 1
A0 2
由系统导数的定义 DI lim I Dt t0 t
A01
A02
0 (t t)
dx dy dz x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
涡面 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的曲面。
涡管 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的闭合曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的管状曲面。
在 t 时刻， = 0 ，相应的表面A = A0
0( t )内的各流体质点，经过时间 t 后，
高等流体力学-第2章
，可得
xx
yy
1 M
2
xx
yy
zz
M
2
2 2 2 u 1 u 1 v w 1 2 2 V 2 V 2 V 2 2 2 u 1 v 1 u w 1 2 2 V 2 V 2 V 2 2 2 u 1 w 1 u v 1 2 2 V 2 V 2 V
u V
2
u V
2
V r V , 2 V
2 2
2
2
1 M
29
2.4 小扰动理论的应用—绕波形壁的 二维流
波形壁： y F x h cos 2 x / l 当 h / l 1 ,满足小扰动条件 求流场归结为二阶偏微分方程边值问题
M
2
(C)
M
2
zz
18
2M
2
v V
u w 1 xy V 2 V V
yz
用量级比较法简化上式 第一步简化：
利用小扰动假设
,代入(1)
即
/ X Y / 2 Y g X
2
2
const
X g X 0 化为两个常微分方程 2 Y g Y 0
31
通解
X A sin gx B cos gx Y C exp gy D exp gy
连续：
x
j
V
j
0
(1)
流体力学 第二讲
5. ε— δ 恒等式 εi jk εimn = δ jm δkn − δ jn δkm 证法一： en × (e j × ek ) = εmpi enp · εi q e j ekq = εmpi δnp · εi q δ j δkq = εmni εi jk = (en · ek )e j − (en · e j )ek = δkn δ jm − δ jn δkm 证法二： em × en = εipq δmp δnq = εimn ek × (em × en ) = ε j i δk εimn = εi jk εimn 例：证明 div(a × b) = b · rota − a · rotb
a的模 a2 = a · a = ai ai = a2 i 3. 置换符号 εi jk 0 εi jk = 1 −1 a × b = εi jk a j bk , a11 det A = a21 a31 a12 a22 a32
i, j, k 中有两个以上指标相同 i, j, k 为偶排列，如 123，231，312 i, j, k 为奇排列，如 132，213，321
∂x ∂q 1 ∂x ∂q 2 ∂x ∂q 3
2
+
∂y ∂q 1 ∂y ∂q 2 ∂y ∂q 3
2
+
∂z ∂q 1 ∂z ∂q 2 ∂z ∂q 3
2
H2 =
2
+
2
+
2
H3 =
2
+
2
+
2
据此可求得柱坐标系、球坐标系的拉梅系数如下 orθz : orθλ : H1 = 1, H2 = r, H3 = 1 H1 = 1, H2 = r, H3 = r sin θ
高等流体力学课件 高等流体力学(2)
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
ijk ek
a j xi
kijek
a j xi
ijkei
ak x j
旋度
a
ei
xi
(a jej ) ei
ej
a j xi
ijkek
a j xi
ijkei
ak x j
e1 123
a3 x2
132
a2 x3
e2
231
a1 x3
213
25
二阶反对称张量A
反偶矢量
0 a12 a31 0 3 2
A
aij
a12
0
a23
3
0
1
a31 a23 0 2 1 0
式中：aij＝- ijk k
ijl aij＝-ijl ijk k 2 lk k 2k
k
1 2
ijl
aij
A b b
26
（2）笛卡尔张量
张量的微分运算
x2
s x1
0
梯度场是无旋场
8
（1）指标表示法和符号约定
(
a)
ei
xi
jlm
am xl
ej
ij ,lmn 求导时当作常数对待。
jlm ij
xi
am xl
mjl
x j
am xl
123
x2
a1 x3
132
x3
a1 x2
231
x3
心态决定选择，选择决定人生 让激情成为你成功的动力
独立思考—真正科学家的标志
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两种运算。
高等流体力学第2讲
第二讲 流体运动微分方程一、应力张量作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。
作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即0lim n A A∆→∆=∆Pp （2-1）式中 n 为表面积ΔA 的外法线方向；ΔP 为作用在表面积ΔA 上的表面力。
p n 除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。
因此，有(,,)n n M t =p p n需要特别指出，○1应力p n 表示的是作用在以n 为外法线方向的作用面上应力，其下标n 并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；○2一般来说，应力p n 的方向并不与作用面的外法线n 一致，p n 除了有n 方向的分量p nn 外，还有τ方向的分量p n τ。
只有当p n τ=0时p n 才与n 的方向一致；○3图中ΔA 右侧的流体通过ΔA 作用在左侧流体上的力为ΔP =p n ΔA ，而ΔA 左侧的流体通过ΔA 作用在右侧流体上的力为ΔP =p －n ΔA ，这两个力互为作用力和反作用力，所以有n n A A -∆=-∆p p可得p n =-p -n （2-2）n －或简写为x y z n n n =++n i j k （2-3）设ΔABC 的面积为ΔS ，于是ΔMBC 、ΔMCA 、ΔMAB 的面积可分别以ΔS x 、ΔS y 、ΔS z表示为x x y y zz S Sn S Sn S Sn∆=∆⎧⎪∆=∆⎨⎪∆=∆⎩ （2-4）四面体的体积可表示为13V Sh ∆=∆式中h 为M 点到ΔABC 的距离。
根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为0x x y y z z n S S S S V ---∆+∆+∆+∆+∆=p p p p f当四面体趋近于M 点时，h 为一阶小量，ΔS 为二阶小量，ΔV 为三阶小量，略去高阶小量后可得0x x y y z z n S S S S ---∆+∆+∆+∆=p p p p再考虑式（2-2）和（2-4）可得n x x y y z z n n n =++p p p p （2-5）上式在直角坐标系中的投影可表示为nx x xx y yx z zx p n p n p n p =++ny x xy y yy z zy p n p n p n p =++ （2-6） nz x xz y yz z zz p n p n p n p =++上式也可以用矩阵形式表示为xxxy xz nxnynz xyz yxyy yz zx zyzz p p p p p p =n n n p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2-7） 也可以表示为n =⋅p n P式中 P =xxxy xz yxyy yz zx zyzz p p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2-8）称为应力张量。
高等流体力学-第二讲
14
第二章 流体运动基本方程
当流体不可压时， 当流体不可压时，有：
∂ 1 ∂v i ∂v j 1 ∂ ∂v j r r ∇⋅s = = [ ( + )] = ( ) = (∇ ⋅ ∇)v = ∆v ∂x i ∂x i 2 ∂x j ∂x i 2 ∂x i ∂x i
∂s ij
N—S方程为 方程为
1 ∂p µ ∂ ∂v j 张量表示： 张量表示： = fj − + + vi ( ) ∂xi ∂t ρ ∂x j ρ ∂xi ∂xi
2
第二章 流体运动基本方程
2、雷诺输运定理（Reynolds’ Transport Theorem） 、雷诺输运定理（ ）
考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体 上体积分随时间的变化率间的关系。 上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 ） 对一物理量Φ x,y,z,t ,z,t）， 对一物理量Φ（x,y,z,t）， 质量体体积为： 质量体体积为：VM； 时刻，对应控制的体积为： t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面： 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S 质量体内总量： 质量体内总量：
r r d r ma = (mv ) = ΣF dt
r ρv dτ
r ∫∫∫ ρv dτ
VM
动量平衡的表示： 动量平衡的表示：
r D r r ∫∫∫ ρ v d τ = ∫∫∫ ρ f d τ + ∫∫ p n ds V S Dt V
M M
8
第二章 流体运动基本方程
（3）动量矩平衡的概念 ） 动量矩对时间的导数： 动量矩对时间的导数： d
2）微分形式 ） 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12
第二章 流体运动基本方程
2、动量平衡——流体运动方程
1）积分形式
v d n ( v v )ds fd pn ds S V S t V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2）微分形式
守恒形式 v ( v v ) f P 矢量表示： t
2
外界对质量体所做的功率
单位时间内输入质量体的热量
Q qd kT nds
VM S
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
10
第二章 流体运动基本方程
二、基本方程的推导
用控制体描述的基本定律——欧拉描述法的表现形式。 1、质量守恒——连续性方程
1）积分形式
s ij
N—S方程为
1 p v j 张量表示： vi fj ( ) t x i x j x i x i
矢量表示：
v j
v j
v 1 (v )v f p v t
北京工业大学市政学科部——马长明
P ij ji
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
16
第二章 流体运动基本方程
4、能量守恒
1）积分形式： e s d n (ve s )ds v f b d v pnds t V S V S qd kT nds
Φ 表示的损失包括： 非对称膨胀或压缩 + 流体形状改变两部分
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
18
第二章 流体运动基本方程
三、N—S方程的求解途径
1、流体力学方程组的封闭性 ( v ) 0 连续方程： t
Dv v [ (v )v ] f P 运动方程： Dt t
高等流体(水）力学讲稿
9
第二章 流体运动基本方程
（4）能量守恒的概念 热力学第二定律： dE s dW Q
dt
dt
微体积流体的能量： e d (e 1 v 2 gz )d s 质量体的总能量：
1 2 (e v gz )d VM 2
DW f v d v pn ds S Dt V M
M dm d const
VM VM
质量守恒的表示：
DM D d 0 Dt Dt V M
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
7
第二章 流体运动基本方程
（2）动量平衡的概念 牛顿第二定律：
微体积的动量： 质量体的总动量：
d m a ( m v ) F dt
（2）对矢量函数
n ads ad
S V
高等流体(水）力学讲稿
北京工业大学市政学科部——马长明
6
第二章 流体运动基本方程
4、基本定律的概念 基本定律的质量体形式表示——拉格朗日描述法的表现形式
（1）质量守恒定律的概念 微体积的质量： dm d 质量体的总质量：
当Φ 为矢量时，须注意通量项的表示（面的法线方 向与速度矢量的点积）： v jΦi d n (vΦ)ds n j (v jΦi )ds S S Vc x j
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
5
第二章 流体运动基本方程
3、体积分与面积分的转换关系——广义高斯公式
高等流体(水）力学讲稿
北京工业大学市政学科部——马长明
13
第二章 流体运动基本方程
3）N—S方程（Navier—Stokes Equations） 引进牛顿流体本构方程，运动方程称为N—S方程。
P ij p ij 2 sij ( v ) ij
ij x i
V S
2）微分形式
De DT cV q (kT ) P : v Dt Dt
其中对牛顿流体
2 P : v p v ( v ) 2 ( s : s) p v
Ф ——耗散函数，为不可逆过程。
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
第二讲 流体运动基本方程
一、基本方程推导的基础知识 二、基本方程的推导 三、N—S方程的求解途径 四、经典问题的解析解 五、小雷诺数下N—S方程的近似解
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
1
第二讲 流体运动基本方程
一、基本方程推导的基础知识
1、质量体与控制体的概念 （1）定义 1）质量体：选定的具有确定不变的流体质点所组成的流体 团——对应于拉氏描述。 2）控制体：依据研究问题而选定的，相对于所选定的坐标 系固定不动的有限空间——相应于欧拉描述。 （2）特点与区别 几个方面比较：1）相对于所选定的坐标系是否有运动？ 2）体内流体体积是否变化？ 3）自身形状是否变化？ 4）通过界面是否有质量交换？ 5）通过界面是否有动量交换？ 6）通过界面是否有能量交换？
μ 、λ 为常数，在直角坐标下有
P
v [ p ij 2 s ij l ij ] x i x l
s ij p v l 2 ( ) x j x i x j x l
P p 2 s ( v ) 矢量表示：
对控制体的导数
I (t t ) I (t ) I (t ) (r , t )d lim t 0 t t V t 1 lim (r , t t )d (r , t )d t 0 V t V
ui 张量表示： x 0 ；i =1，2，3 i
11
高等流体(水）力学讲稿
第二章 流体运动基本方程
5）应用举例 确定沿变深度矩形截面河道的水面波动运动，其在一维假设下的连 续方程表达形式。 解：1、描述参数
设河道宽：B，河道静止水深：h(x); 波面高度：ξ (x,t)，一维断面均匀流速u(x,t)；
17
第二章 流体运动基本方程
3）耗散函数Ф 在直角坐标中的表示 取：λ =-2μ /3 2 u v 2 v w 2 w u 2 [( ) ( ) ( ) ] 3 x y y z z x
u v 2 v w 2 w u 2 [( ) ( ) ( ) ] y x z y x z
(m r v ) r F
r vd
质量体的总动量矩：
r vd
VM
动量矩平衡的表示：
D r v d r fd r pn ds VM S Dt V M
北京工业大学市政学科部——马长明
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
2
第二章 流体运动基本方程
2、雷诺输运定理（Reynolds’ Transport Theorem）
考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体 上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 对一物理量Φ （x,y,z,t）， 质量体体积为：VM； t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S 质量体内总量：
张量表示：
v j t Pij ( v i v j ) f j x i x i
非守恒形式 Dv v [ (v )v ] f P 矢量表示： Dt Dv j
t v j v j Pij 张量表示： ( vi ) f j Dt t x i x i
高等流体(水）力学讲稿
15
第二章 流体运动基本方程
3、动量矩平衡
1）积分形式：
r v d n [v (r v )]ds r fd r pn ds S V S t V
2）微分形式 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。
~ I (t ) (r , t )d
VM
控制体内总量：
I (t ) (r , t )d
VC
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
3
第二章 流体运动基本方程
对质量体的导数
~ ~ D ~ D I (t t ) I ( t ) I (t ) ( r , t )d lim t 0 Dt Dt V M ,t t 1 lim0 (r , t t )d (r , t )d t V M ,t t V M ,t t
（1）标量函数
S
n ads ad
(v ) nds (v )d
S V
V
a j (n )ads ( )ad x d S V V x i i
能量方程：
De DT cV q (kT ) P : v Dt Dt
当设k、cV、μ 及λ 为常数下，有未知量12个： {ρ 、u、v、w、T、p及六个σ ij} 需补充7个方程，即： 状态方程： ( p, T ) 本构方程： P p 2 s ( v )
C C C
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
4
第二章 流体运动基本方程
（2）推证结果
D d d (v ) nds S Dt V M t VC
当控制体的体积Vc不变时，有：
D d (v ) nds d VC t S Dt V M
北京工业大学市政学科部——马长明