初中数学竞赛专题：不定方程

初中数学竞赛专题：不定方程 §21.1 二元一次不定方程

21.1.1★求不定方程2x y -=的正整数解．

解析 因为312-=,422-=,532-=,…,所以这个方程的正整数解有无数组,它们是

2,

,x n y n =+⎧⎨

=⎩

其中n 可以取一切正整数． 21.1.2★求11157x y +=的整数解． 解析1 将方程变形得

71511

y

x -=

． 因为x 是整数,所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =,01y =-是这个方程的一组整数解, 所以方程的解为

215,

111,x t y t =-⎧⎨

=-+⎩

t 为整数． 解析2 先考察11151x y +=,通过观察易得

()()1141531⨯-+⨯=,

所以

()()114715377⨯-⨯+⨯⨯=,

可取028x =-,0 21y =．从而

2815,

2111,x t y t =--⎧⎨

=+⎩

t 为整数． 评注 如果a 、b 是互质的整数,c 是整数,且方程

ax by c += ①

有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为

00,

,x x bt y y at =-⎧⎨

=+⎩

其中0t =,±1,±2,±3,…．

21.1.3★求方程62290x y +=的非负整数解． 解析 因为(6,22)=2,所以方程两边同除以2得

31145x y +=． ①

由观察知,14x =,11y =-是方程

3111x y += ②

的一组整数解,从而方程①的一组整数解为

()00

454180,

45145,x y =⨯=⎧⎪⎨

=⨯-=-⎪⎩ 所以方程①的一切整数解为

18011,

453.

x t y t =-⎧⎨

=-+⎩ 因为要求的原方程的非负整数解,所以必有

180110,4530.t t -⎧⎨

-+⎩

≥③

≥④ 由于t 是整数,由③、④得15≤t ≤16,所以只有t =15,t =16两种可能． 当t =15时,x =15,0y =；当t =16时,x =4,y = 3．所以原方程的非负整数解是

15,

0,

x y =⎧⎨

=⎩4,

3.x y =⎧⎨=⎩

21.1.4★求方程719213x y +=的所有正整数解．

解析 这个方程的系数较大,用观察法去求其特殊解比较困难,碰到这种情况我们可用逐步缩小系数

的方法使系数变小,最后再用观察法求解． 用方程

719213x y +=①

的最小系数7除方程①的各项,并移项得

213193530277

y y

x y --=

=-+

．② 因为x 、y 是整数,故

357

y

u -=也是整数,于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255

u u

y u --=

=-+

．③ 令

325

u

v -= (整数),由此得 253u v +=．④

由观察知1u =-,1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于

是方程①有一组解025x =,02y =,所以它的一切解为

2519,

27.x t y t =-⎧⎨

=+⎩

0,1,2,t =±±

由于要求方程的正整数解,所以

25190,

270.t t ->⎧⎨

+>⎩

解不等式,得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为

25,2,x y =⎧⎨

=⎩6,

9.

x y =⎧⎨=⎩ 21.1.5★求方程3710725x y +=的整数解．

解析 因为10723733=⨯+,371334=⨯+,33841=⨯+． 为用37和107表示1,我们把上述辗转相除过程回代,得 1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4 =37-9×(37-33)=9×33-8×37

=9×(107-2×37)-8×37=9×107-26×37 =37×(-26)+107×9,

由此可知126x =-,19y =是方程371071x y +=的一组整数解．于是

()02526650x =⨯-=-,0259225y =⨯=

是方程3710725x y +=的一组整数解．所以原方程的一切整数解为

650107,

22537,x t y t =--⎧⎨

=+⎩

t 是整数． 21.1.6★求方程92451000x y z +-=的整数解．

解析 设9243x y t +=,即38x y t +=,于是351000t z -=．原方程可化为

38,351000.x y t t z +=⎧⎨

-=⎩

①

② 用前面的方法可以求得①的解为

38,

3,x t u y t u =-⎧⎨

=-+⎩

u 是整数． ②的解为

20005,

10003,t v z v =+⎧⎨

=+⎩

v 是整数．

消去t ,得

6000815,200035,10003,x u v y u v z v =-+⎧⎪

=-+-⎨⎪=+⎩

,u v 是整数． 21.1.7★求方程23723x y z ++=的整数解． 解析 设23x y t +=,则

23,723.x y t t z +=⎧⎨

+=⎩

①

② 对于①,0x t =-,0y t =是一组特解,从而①的整数解为

3,

2,x t u y t u =--⎧⎨

=+⎩

u 是整数． 又02t =,03z =是方程②的一组特解,于是②的整数解为

3,

27,z v t v =-⎧⎨

=+⎩

v 是整数． 所以,原方程的整数解为

273,272,3.x v u y v u z v =---⎧⎪

=++⎨⎪=-⎩

u 、v 是整数． 21.1.8★求方程组57952,

35736x y z x y z ++=⎧⎨

++=⎩

的正整数解．

解析 消去z ,得 210z y +=． ①．

易知04x =,02y =是它的一组特解,从而①的整数解为

4,

22,x t y t =-⎧⎨

=+⎩

t 是整数． 代入原方程组,得所有整数解为

4,22,2.x t y t z t =-⎧⎪

=+⎨⎪=-⎩

t 是整数． 由0x >,0y >,0z >得

12t -<<,

所以t =0,1,故原方程组的正整数解为