材料力学第3 章 扭 转习题及答案

第 三 章 扭 转一、判断题1．杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。

（ × ） 2．薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。

（ × ） 3．圆杆扭转变形实质上是剪切变形。

（ √ ） 4．非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。

（ √ ）5．材料相同的圆杆，它们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。

（ × ） 6．切应力互等定理，仅适用于纯剪切情况。

（ × ) 7．受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。

( √ ) 8．受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。

（ √ ) 9．受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。

（ × ) 10． 因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭矩达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。

（ √ )二、填空题1．一级减速箱中的齿轮直径大小不等，在满足相同的强度条件下，高速齿轮轴的直径要比低速齿轮轴的直径（ 小 ）。

2． 当实心圆轴的直径增加1培时，其抗扭强度增加到原来的（ 8 ）倍，抗扭刚度增加到原来的（ 16 ）倍。

3． 直径D=50mm 的圆轴，受扭矩T=2.15kn.m ,该圆轴横截面上距离圆心10mm 处的剪应力τ=（35.0 MPa ），最大剪应力τmax=（87.6 MPa ）。

4． 一根空心轴的内外径分别为d ，D ，当D=2d 时，其抗扭截面模量为（33256153215D d ππ或）。

5． 直径和长度均相等的两根轴，在相同的扭矩作用下，而材料不同，它们的τmax 是（ 相 ）同的，扭转角φ是（ 不 ）同的。

6． 等截面圆轴扭转时的单位长度相对扭转角为θ，若圆轴直径增大一倍，则单位长度扭转角将变为（16θ）。

三、选择题1．内、外径之比为α的空心圆轴，扭转时轴内的最大切应力为τ ，这时横截面上内边缘的切应力为（ B ）。

A τ ；B ατ ；C 零 ；D τα)1(4- 。

2．实心圆轴扭转时，不发生屈服的极限扭矩为0T ，若将其横截面面积增加一倍，则极限扭矩为（ C ）。

A 02T ；B 20T ；C 2 02T ；D 40T 。

3．两根受扭圆轴的直径和长度均相同，但材料不同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力1τ、2τ和扭转角1ϕ、2ϕ之间的关系为（ B ）。

A 2121,ϕϕττ== ； B 2121,ϕϕττ≠= ； C 2121,ϕϕττ=≠ ； D 2121,ϕϕττ≠≠ 。

4．阶梯圆轴的最大切应力发生在（ C ）。

A 扭矩最大的截面 ；B 直径最小的截面 ；C 单位长度扭转角最大的截面 ；D 不能确定 。

5．空心圆轴的外径为D ，内径为d ，α=d /D 。

其抗扭截面系数为（ D ）。

A )1(163απ-=D W P ； B )1(1623απ-=D W P ；C )1(1633απ-=D W P ； D )1(1643απ-=D W P 。

6．对于受扭的圆轴，关于如下结论： ① 最大剪应力只出现在横截面上；② 在横截面上和包含杆件轴线的纵向截面上均无正应力； ③ 圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。

现有四种答案，正确的是（ A ）。

A ②③对 ；B ①③对 ；C ①②对 ；D 全对 。

7．扭转切应力公式ρτρpnI M =适用于（ D ）杆件。

A 任意截面 ； B 任意实心截面 ； C 任意材料的圆截面 ； D 线弹性材料的圆截面 。

8．单位长度扭转角θ与（ A ）无关。

A 杆的长度 ；B 扭矩 ；C 材料性质 ；D 截面几何性质 。

9．汽车传动主轴所传递的功率不变，当轴的转速降低为原来的二分之一时，轴所受的外力偶的力偶矩较之转速降低前将（ A ）A 增为原来的两倍B 增为原来的四倍C 减为原来的一半D 不改变11. 传动轴转速n ＝250r/min ，此轴上轮C 输入功率为P=150kW ，轮A 、B 的输出功率P=50kW ，P=100kW 为使轴横截面上的最大扭矩最小，轴上三个轮子的布置从左到右应按顺序( A )安排比较合理。

A A 、C 、B B A 、B 、C C B 、A 、CD C 、B 、A12. 等截面圆轴，左段为钢，右段为铝，两端承受扭转力矩后，左、右两段( B )。

A 最大剪应力τmax不同，单位长度扭转角θ相同 B 最大剪应力τmax相同，单位长度扭转角θ不同 C 最大剪应力τmax和单位长度扭转角θ都不同 D 最大剪应力τmax和单位长度扭转角θ都相同13. 一圆轴用碳钢制作，校核其扭转角时，发现单位长度扭转角超过了许用值。

为保证此轴的扭转刚度，采用哪种措施最有效( C )。

A 改用合金钢材料 B 增加表面光洁度 C 增加轴的直径 D 减小轴的长度 14. 表示扭转变形程度的量( B )。

A 是扭转角ψ，不是单位长度扭转角θ B 是单位长度扭转角θ，不是扭转角ψ C 是扭转角ψ和单位长度扭转角θ D 不是扭转角ψ和单位长度扭转角θ15. 一空心钢轴和一实心铝轴的外径相同，比较两者的抗扭截面模量，可知( B )。

A 空心钢轴的较大 B 实心铝轴的较大C 其值一样大D 其大小与轴的剪切弹性模量有关三、 计算题1．试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩T ，并作扭矩图。

DA3000Nm 2000N ｍ 4000Nm 5000NmAC100cm 100cm100cm2. 图示圆轴上作用有四个外力偶矩m kN 11e ⋅=M ，m kN 6.02e ⋅=M ，m kN 2.04e 3e ⋅==M M 。

(1) 试画出该轴的扭矩图；(2) 若1e M 与2e M 的作用位置互换，扭矩图有何变化？解：2m2.5m2.5m (1)(2)1 e M 与2e M 的作用位置互换后，最大扭矩变小。

3. 如图所示的空心圆轴，外径D=100mm ，内径d =80mm ， l =500mm ，M 1=6kNm ，M 2=4kNm 。

（1）请绘出该轴的扭矩图并绘图表达AB 段空心圆轴横截面的扭矩T 及横截面上的剪应力分布；（2）求出该轴上的最大剪应力。

TB AC D解：扭矩图如上，则轴面极惯性矩I P =444443)64()(10080)(10 5.8103232D d m ππ----==⨯则最大剪应力τmax =336R 4105010P 34.45.810P T a MPa I ⨯⨯⨯==⨯4. 图示圆形截面轴的抗扭刚度为GI p ，每段长1m 。

试画其扭矩图并计算出圆轴两端的相对扭转角。

xT解：rad GI GIGI l T P PP i i 50)4010090(1=++-==∑ϕ（其中P GI 为国际单位）5．图示的传动轴长mm l 510= ，直径 D= 50 mm 。

现将此轴的一段钻成内径mm d 251=的内腔，而余下一段钻成mm d 382=的内腔。

若材料的许用切应力][τ=70 MPa ，试求： ( 1 ）此轴能承受的最大转矩max e M( 2 ）若要求两段轴内的扭转角相等，则两段的长度应分别为多少？解：（1）[][]m kN D d D Me D d D MeW T t ⋅=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==145.1116116423max423max max τπτπτ（2）407.111,42412121221121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-====D d D d I I l l GI l T GI l T P P P P 即ϕϕ mm l mm l mml l l 9.2111.298:5102121====+得又6．如图所示钢轴 AD 的材料许用切应力][τ=50 MPa ，切变模量 G = 80GPa ，许用扭转角m25.0][=θ 。

作用在轴上的转矩m N M A ⋅=800，m N M B ⋅=1200，m N M C ⋅=400。

试设计此轴的直径。

M/解：（1）扭矩图，m N T ⋅=800max（2）强度设计[]τπτ≤==163m axm axm ax DTW Tt得：[]m m TD 35.4316max=≥τπ（3）刚度设计[]θπϕ≤=='323max1maxmaxDGT GI TP得：[]mm G TD 51.6918025.010808003232494max=⨯⋅⋅⨯⨯=≥ππθπ（4）综合强度、刚度要求，取mm D 70=7. 钻探机钻杆的外径D =60mm ，内径d =50mm ，功率P =7.355kW ,轴的转速n =180r/min ，钻杆钻入土层的深度l =40m ，材料的切变模量G =80GPa ，许用切应力[]τ=40MPa ，假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，试求：（1）土壤对钻杆单位长度的阻力矩m ；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）计算A 、B 截面的相对扭转角。

Tl390.18N·m解：（1）T=M=9549 7.355390.18180N m N m ⨯∙=∙ 由平衡方程0;X M =∑ 由mL-T=0 则 m = TL=9.75 N m m ∙(2)扭矩图如图所示[][]34max max max max 3416= ,W = (1) 16(1).8MPa<40,P p T T D W D MPa πταττπατ-∴=≤-=即17钻刚满足强度条件（3）两端截面的相对扭转角为︒==-=-===⎰⎰⎰48.8148.0)1(232)1(32)(442440rad D G l mD Gm xdxGI dx x T d llPl l απαπϕϕ8．图示阶梯形圆轴的AC 段和CB 段的直径分别为cm 41=d 、cm 72=d ，轴上装有三个皮带轮。

已知由轮B 输入的功率为kW 303=P ，轮A 输出的功率为kW 131=P ，轴作匀速转动，转速m in r 200/n =，材料的许用切应力MPa 60][=τ，切变模量GPa 80=G ，许用单位长度扭转角m 2][/ =θ。

试校核该轴的强度和刚度。

m N T ⋅解：（1）扭矩图m N n P M ⋅===62120013954995491m N n P M ⋅===143220030954995493 m N M ⋅=-=811621143221432（2）强度校核3332,35.6716716cm d W CB t ===ππMPa W T W T CB t DB CBt CB CB 3.211035.6714326,,max ,max,=⨯===-τ3331,57.1216416cm d W AC t ===ππMPa W T AC t AC AC 4.491057.126216,max,=⨯==-τ[]MPa AC 60max,max=≤=τττ该轴强度满足要求 （3）刚度校核4442,72.23532732cm d I CB P ===ππ4441,13.2532432cm d I AC P ===ππm m rad GI T AC P AC AC ︒==⨯⨯⨯==-77.1031.01013.251080621'89,max ,ϕ m m rad GI T CBP CB CB ︒==⨯⨯⨯==-435.00076.01072.23510801432'89,max ,max ,ϕ[]m AC ︒=≤=2'''max ,max ϕϕϕ该轴刚度满足要求9．如图所示的传动轴中， A 轮输入的转矩m N M A ⋅=800, B 、 C 和 D 轮输出的转矩分别为m N M M C B ⋅==300，m N M D ⋅=200。